Trong trường hợp sự kiện quan tâm là tổng của các sự kiện khác, công thức cộng được sử dụng để tìm xác suất của nó.

Công thức bổ sung có hai loại chính - cho các sự kiện chung và cho các sự kiện không chung. Bạn có thể biện minh cho các công thức này bằng cách sử dụng biểu đồ Venn (Hình 21). Nhớ lại rằng trong các biểu đồ này, xác suất của các sự kiện bằng số bằng diện tích của các khu vực tương ứng với các sự kiện này.

Đối với hai sự kiện không tương thích :

P (A + B) = P (A) + P (B).(8, a)

Đối với N sự kiện không tương thích , xác suất của tổng của chúng bằng tổng xác suất của các sự kiện này:

= . (8b)

Từ công thức để thêm các sự kiện không tương thích, có hai hệ quả quan trọng .

Hệ quả 1.Đối với các sự kiện tạo thành một nhóm hoàn chỉnh, tổng xác suất của chúng bằng một:

= 1.

Điều này được giải thích như sau. Đối với các sự kiện tạo thành một nhóm hoàn chỉnh, ở phía bên trái của biểu thức (8b) là xác suất một trong các sự kiện sẽ xảy ra Và tôi , nhưng vì nhóm hoàn chỉnh sử dụng hết danh sách các sự kiện có thể xảy ra, một trong những sự kiện như vậy chắc chắn sẽ xảy ra. Như vậy, vế trái chứa xác suất của một sự kiện chắc chắn sẽ xảy ra - một sự kiện nhất định. Xác suất của nó bằng một.

Hệ quả 2.Tổng xác suất của hai biến cố đối nhau bằng một:

P (A) + P (Ā)= 1.

Hệ quả này nối tiếp hệ quả trước đó, vì các sự kiện đối lập luôn tạo thành một nhóm hoàn chỉnh.

Ví dụ 15

TẠI xác suất để ở trạng thái làm việc của thiết bị kỹ thuật là 0,8. Tìm xác suất hỏng hóc của thiết bị này trong cùng thời gian quan sát.

R sự hòa tan.

Lưu ý quan trọng. Trong lý thuyết độ tin cậy, thông thường biểu thị xác suất của trạng thái làm việc bằng chữ cáiR, và xác suất thất bại là một lá thư q. Trong những gì tiếp theo, chúng tôi sẽ sử dụng các ký hiệu này. Cả hai xác suất đều là hàm của thời gian. Vì vậy, trong một khoảng thời gian dài, xác suất trạng thái có thể hoạt động của bất kỳ đối tượng nào bằng không. Xác suất hỏng hóc của bất kỳ đối tượng nào cũng gần bằng 0 trong một khoảng thời gian nhỏ. Trong trường hợp khoảng thời gian quan sát không được quy định trong các nhiệm vụ, thì giả thiết rằng nó là như nhau đối với tất cả các đối tượng đang xem xét.

Việc tìm kiếm một thiết bị ở trạng thái khỏe mạnh và hỏng hóc là những sự kiện đối lập nhau. Sử dụng Hệ quả 2, chúng tôi thu được xác suất thiết bị bị lỗi:

q \ u003d 1 - p \ u003d 1 - 0,8 \ u003d 0,2.

Đối với hai sự kiện chung công thức cộng xác suất giống như:

P (A + B) \ u003d P (A) + P (B) - P (AB), (9)

được minh họa bằng biểu đồ Venn (Hình 22).

Thật vậy, để tìm toàn bộ vùng bóng mờ (nó tương ứng với tổng các sự kiện A + B), cần phải trừ diện tích của vùng chung cho tổng diện tích của các hình A và B (nó tương ứng với tích của các sự kiện AB), vì nếu không nó sẽ được tính đến hai lần.

Đối với ba sự kiện chung, công thức cộng xác suất trở nên phức tạp hơn:

P (A + B + C) \ u003d P (A) + P (B) + P (C) - P (AB) - P (AC) - P (BC) + P (ABC).(10)

Trong biểu đồ Venn (Hình 23), xác suất mong muốn về mặt số bằng tổng diện tích của vùng được tạo thành bởi các sự kiện A, B và C (để đơn giản, hình vuông đơn vị không được hiển thị trên đó).

Sau khi trừ diện tích của các khu AB, AC và CB cho tổng diện tích của các khu A, B và C, thì tổng diện tích của khu ABC được cộng lại ba lần và trừ đi ba lần. Do đó, để tính cho khu vực này, nó phải được thêm vào biểu thức cuối cùng.

Với sự gia tăng số lượng các số hạng, công thức cộng ngày càng trở nên cồng kềnh hơn, nhưng nguyên tắc cấu tạo của nó vẫn như cũ: đầu tiên, xác suất của các sự kiện được lấy riêng lẻ được cộng lại, sau đó sẽ trừ đi xác suất của tất cả các sự kết hợp từng cặp của các sự kiện. , xác suất của các sự kiện được thực hiện bởi bộ ba được thêm vào, xác suất của sự kết hợp của các sự kiện được thực hiện bởi bộ bốn và v.v.

Cuối cùng, cần nhấn mạnh : công thức cộng xác suất chung sự kiện có số lượng từ ba trở lên là cồng kềnh và bất tiện khi sử dụng, việc sử dụng nó để giải quyết vấn đề là không thực tế.

Ví dụ 16

Đối với sơ đồ cung cấp điện dưới đây (Hình 24), xác định xác suất sự cố của toàn bộ hệ thống Q C bởi xác suất thất bại q i các phần tử riêng lẻ (máy phát điện, máy biến áp và đường dây).

Trạng thái thất bại các yếu tố riêng lẻ của hệ thống cung cấp điện, cũng như và trạng thái sức khỏe luôn là những sự kiện chung theo cặp, vì không có trở ngại cơ bản nào đối với việc sửa chữa đồng thời, ví dụ, một đường dây và một máy biến áp. Sự cố của hệ thống xảy ra khi bất kỳ phần tử nào của nó bị lỗi: máy phát điện hoặc máy biến áp thứ nhất hoặc đường dây, hoặc máy biến áp thứ 2, hoặc sự cố của bất kỳ cặp nào, bất kỳ bộ ba nào hoặc cả bốn phần tử. Do đó, sự kiện mong muốn - sự cố hệ thống là tổng các sự cố của các phần tử riêng lẻ. Để giải quyết vấn đề, có thể sử dụng công thức để thêm các sự kiện chung:

Q c \ u003d q g + q t1 + q l + q t2 - q g q t1 - q g q l - q g q t2 - q t1 q l - q t1 q t2 - q l q t2 + q g q t1 q l + q g q l q t2 + q g q t1 q t2 + q t1 q t2 q l - q g q t1 q l q t2.

Giải pháp này một lần nữa thuyết phục sự rườm rà của công thức cộng cho các sự kiện chung. Trong tương lai, một cách khác hợp lý hơn để giải quyết vấn đề này sẽ được xem xét.

Giải pháp thu được ở trên có thể được đơn giản hóa có xét đến thực tế là xác suất sự cố của các phần tử riêng lẻ của hệ thống cung cấp điện trong thời gian một năm thường được sử dụng trong tính toán độ tin cậy là khá nhỏ (bậc 10-2). Do đó, tất cả các số hạng ngoại trừ bốn số đầu tiên có thể bị loại bỏ, điều này thực tế sẽ không ảnh hưởng đến kết quả số. Sau đó, bạn có thể viết:

Q với≈q g + q t1 + q l + q t2.

Tuy nhiên, những đơn giản hóa như vậy phải được xử lý một cách thận trọng, nghiên cứu kỹ hậu quả của chúng, vì những thuật ngữ thường bị loại bỏ có thể trở nên tương xứng với những thuật ngữ đầu tiên.

Ví dụ 17

Xác định xác suất trạng thái khỏe mạnh của hệ thống R S, bao gồm ba phần tử dự trữ lẫn nhau.

Quyết định. Các phần tử dự trữ lẫn nhau trên sơ đồ logic phân tích độ tin cậy được hiển thị được kết nối song song (Hình 25):

Hệ thống dự phòng hoạt động khi phần tử thứ nhất, thứ hai hoặc thứ ba hoạt động, hoặc bất kỳ cặp nào đang hoạt động hoặc cả ba phần tử cùng nhau. Do đó, trạng thái có thể hoạt động của hệ thống là tổng các trạng thái có thể hoạt động của các phần tử riêng lẻ. Bằng công thức cộng cho các sự kiện chung R c \ u003d R 1 + R 2 + R 3 - R 1 R 2 - R 1 R 3 - R 2 R 3 + R 1 R 2 R 3. , ở đâu R 1, R 2 và R 3 là xác suất của trạng thái có thể hoạt động của các phần tử 1, 2 và 3, tương ứng.

Trong trường hợp này, không thể đơn giản hóa giải pháp bằng cách loại bỏ các sản phẩm được ghép nối, vì giá trị gần đúng như vậy sẽ cho sai số đáng kể (các sản phẩm này thường gần bằng số với ba số hạng đầu tiên). Như trong ví dụ 16, bài toán này có một giải pháp khác nhỏ gọn hơn.

Ví dụ 18

Đối với đường dây tải điện hai mạch (Hình 26), xác suất sự cố của mỗi mạch đã biết là: q 1 = q 2= 0,001. Xác định xác suất để đường truyền có thông lượng một trăm phần trăm - P (R 100), thông lượng năm mươi phần trăm - P (R 50), và xác suất hệ thống sẽ bị lỗi - Q.

Đường dây có 100% công suất khi cả mạch 1 và mạch 2 đều hoạt động:

P (100%) \ u003d p 1 p 2 \ u003d (1 - q 1) (1 - q 2) \ u003d

= (1 – 0,001)(1 – 0,001) = 0,998001.

Dòng không thành công khi cả mạch thứ nhất và thứ hai bị lỗi:

P (0%) \ u003d q 1 q 2 \ u003d 0,001 ∙ 0,001 \ u003d 10 -6.

Đường dây có công suất năm mươi phần trăm khi mạch thứ nhất hoạt động và mạch thứ 2 không thành công hoặc khi mạch thứ 2 hoạt động và mạch thứ nhất không thành công:

P (50%) \ u003d p 1 q 2 + p 2 q 1 \ u003d 2 ∙ 0,999 ∙ 10 -3 \ u003d 0,001998.

Biểu thức cuối cùng sử dụng công thức cộng cho các sự kiện không tương thích với nhau.

Các sự kiện được xem xét trong bài toán này tạo thành một nhóm hoàn chỉnh, vì vậy tổng xác suất của chúng là một.

Việc nghiên cứu lý thuyết xác suất bắt đầu bằng việc giải các bài toán cộng và nhân các xác suất. Điều đáng nói ngay là khi nắm vững lĩnh vực kiến ​​thức này, học sinh có thể gặp phải một vấn đề: nếu các quá trình vật lý, hóa học có thể được hình dung và hiểu theo kinh nghiệm thì mức độ trừu tượng của toán học rất cao, và hiểu ở đây chỉ có kinh nghiệm. .

Tuy nhiên, trò chơi rất đáng giá, bởi vì các công thức - cả những công thức được xem xét trong bài viết này và những công thức phức tạp hơn - được sử dụng ở khắp mọi nơi ngày nay và có thể hữu ích trong công việc.

Nguồn gốc

Lạ lùng thay, động lực cho sự phát triển của phần toán học này lại là ... cờ bạc. Thật vậy, xúc xắc, tung đồng xu, poker, cò quay là những ví dụ điển hình sử dụng phép cộng và nhân các xác suất. Trên ví dụ về các nhiệm vụ trong bất kỳ sách giáo khoa nào, có thể thấy rõ điều này. Mọi người quan tâm đến việc học cách tăng cơ hội chiến thắng, và tôi phải nói rằng, một số đã thành công trong việc này.

Ví dụ, đã ở trong thế kỷ 21, một người, mà chúng tôi sẽ không tiết lộ tên, đã sử dụng kiến ​​thức này tích lũy qua nhiều thế kỷ để “làm sạch” sòng bạc theo đúng nghĩa đen, giành được vài chục triệu đô la tại roulette.

Tuy nhiên, bất chấp sự quan tâm ngày càng tăng đối với chủ đề này, chỉ đến thế kỷ 20, cơ sở lý thuyết mới được phát triển để làm cho “cái thuyền” hoàn chỉnh. Ngày nay, trong hầu hết mọi ngành khoa học, người ta có thể tìm thấy các phép tính bằng phương pháp xác suất.

Khả năng áp dụng

Một điểm quan trọng khi sử dụng các công thức cộng và nhân xác suất, xác suất có điều kiện là tính thỏa mãn của định lý giới hạn trọng tâm. Nếu không, mặc dù học sinh có thể không nhận ra điều đó, nhưng tất cả các phép tính, dù chúng có vẻ hợp lý đến đâu, cũng sẽ không chính xác.

Đúng vậy, người học có động cơ cao bị cám dỗ để sử dụng kiến ​​thức mới bất cứ khi nào có cơ hội. Nhưng trong trường hợp này, người ta nên chậm lại một chút và phác thảo nghiêm ngặt phạm vi áp dụng.

Lý thuyết xác suất đề cập đến các sự kiện ngẫu nhiên, theo nghĩa thực nghiệm là kết quả của các thí nghiệm: chúng ta có thể tung một con xúc xắc sáu mặt, rút ​​một quân bài từ một bộ bài, dự đoán số bộ phận bị lỗi trong một lô. Tuy nhiên, trong một số câu hỏi, không thể sử dụng các công thức từ phần này của toán học. Chúng ta sẽ thảo luận về các tính năng của việc xem xét xác suất của một sự kiện, các định lý của phép cộng và phép nhân các sự kiện ở cuối bài viết, nhưng bây giờ chúng ta hãy chuyển sang các ví dụ.

Các khái niệm cơ bản

Một sự kiện ngẫu nhiên là một số quá trình hoặc kết quả có thể xuất hiện hoặc không xuất hiện như một kết quả của một thử nghiệm. Ví dụ, chúng ta ném một chiếc bánh mì sandwich - nó có thể rơi bơ lên ​​hoặc bơ rơi xuống. Một trong hai kết quả sẽ là ngẫu nhiên và chúng tôi không biết trước kết quả nào sẽ diễn ra.

Khi nghiên cứu phép cộng và phép nhân các xác suất, chúng ta cần thêm hai khái niệm.

Sự kiện chung là những sự kiện như vậy, sự xuất hiện của một trong số đó không loại trừ sự xuất hiện của sự kiện kia. Giả sử hai người bắn vào một mục tiêu cùng một lúc. Nếu một trong số chúng tạo ra một quả thành công, nó sẽ không ảnh hưởng đến khả năng bắn trúng hồng tâm hoặc trượt của quả thứ hai.

Những sự kiện không nhất quán sẽ là những sự kiện như vậy, việc xảy ra đồng thời là điều không thể xảy ra. Ví dụ, bằng cách chỉ lấy ra một quả bóng từ hộp, bạn không thể lấy cả hai màu xanh và đỏ cùng một lúc.

Chỉ định

Khái niệm xác suất được ký hiệu bằng chữ cái viết hoa La tinh P. Hơn nữa, trong ngoặc đơn, có các đối số biểu thị một số sự kiện.

Trong các công thức của định lý cộng, xác suất có điều kiện, định lý nhân, bạn sẽ thấy các biểu thức trong ngoặc, ví dụ: A + B, AB hoặc A | B. Chúng sẽ được tính toán theo nhiều cách khác nhau, và bây giờ chúng ta sẽ chuyển sang chúng.

Phép cộng

Hãy xem xét các trường hợp sử dụng các công thức cộng và nhân các xác suất.

Đối với các sự kiện không tương thích, công thức cộng đơn giản nhất có liên quan: xác suất của bất kỳ kết quả ngẫu nhiên nào sẽ bằng tổng xác suất của mỗi kết quả này.

Giả sử có một hộp có 2 viên bi xanh, 3 đỏ và 5 viên bi vàng. Có tổng cộng 10 mục trong hộp. Phần trăm sự thật của tuyên bố rằng chúng ta sẽ vẽ một quả bóng màu xanh hoặc màu đỏ là bao nhiêu? Nó sẽ bằng 2/10 + 3/10, tức là năm mươi phần trăm.

Trong trường hợp các sự kiện không tương thích, công thức trở nên phức tạp hơn, vì một thuật ngữ bổ sung được thêm vào. Chúng ta sẽ trở lại nó trong một đoạn văn, sau khi xem xét thêm một công thức nữa.

Phép nhân

Phép cộng và nhân xác suất của các sự kiện độc lập được sử dụng trong các trường hợp khác nhau. Nếu, theo điều kiện của thử nghiệm, chúng tôi hài lòng với một trong hai kết quả có thể xảy ra, chúng tôi sẽ tính tổng; nếu chúng ta muốn lần lượt nhận được hai kết quả nhất định, chúng ta sẽ sử dụng một công thức khác.

Quay trở lại ví dụ từ phần trước, chúng ta muốn vẽ quả bóng màu xanh lam trước rồi đến quả bóng màu đỏ. Con số đầu tiên chúng ta biết là 2/10. Chuyện gì xảy ra tiếp theo? Còn lại 9 viên bi, còn lại mấy viên màu đỏ - ba viên. Theo tính toán, bạn nhận được 3/9 hoặc 1/3. Nhưng làm gì với hai con số bây giờ? Câu trả lời đúng là nhân để có 2/30.

Sự kiện chung

Bây giờ chúng ta có thể chuyển sang công thức tính tổng cho các sự kiện chung. Tại sao chúng ta lạc đề khỏi chủ đề? Để tìm hiểu cách nhân lên các xác suất. Bây giờ chúng ta cần kiến ​​thức này.

Chúng ta đã biết hai số hạng đầu tiên sẽ là bao nhiêu (giống như trong công thức cộng đã xét trước đó), nhưng bây giờ chúng ta cần trừ tích các xác suất mà chúng ta vừa học cách tính. Để rõ ràng, chúng ta viết công thức: P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB). Nó chỉ ra rằng trong một biểu thức, cả phép cộng và phép nhân các xác suất đều được sử dụng.

Giả sử chúng ta phải giải quyết một trong hai vấn đề để nhận được tín dụng. Chúng ta có thể giải quyết câu hỏi đầu tiên với xác suất là 0,3 và câu hỏi thứ hai - 0,6. Giải: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Lưu ý rằng chỉ tính tổng các số ở đây sẽ không đủ.

Xác suất có điều kiện

Cuối cùng, có khái niệm về xác suất có điều kiện, các đối số của chúng được chỉ ra trong dấu ngoặc và được phân tách bằng một thanh dọc. Mục nhập P (A | B) đọc như sau: "xác suất của sự kiện A cho trước sự kiện B".

Hãy xem một ví dụ: một người bạn đưa cho bạn một thiết bị nào đó, hãy coi đó là một chiếc điện thoại. Nó có thể bị hỏng (20%) hoặc tốt (80%). Bạn có thể sửa chữa bất kỳ thiết bị nào rơi vào tay mình với xác suất là 0,4 hoặc bạn không thể làm được điều này (0,6). Cuối cùng, nếu thiết bị trong tình trạng hoạt động, bạn có thể đến được đúng người với xác suất 0,7.

Thật dễ dàng để thấy xác suất có điều kiện hoạt động như thế nào trong trường hợp này: bạn không thể liên lạc với người đó nếu điện thoại bị hỏng, và nếu nó còn tốt, bạn không cần sửa nó. Do đó, để có được bất kỳ kết quả nào ở "cấp độ thứ hai", bạn cần biết sự kiện nào đã được thực hiện ở cấp độ đầu tiên.

Tính toán

Hãy xem xét các ví dụ về giải các bài toán cộng và nhân các xác suất, sử dụng dữ liệu từ đoạn trước.

Trước tiên, hãy tìm xác suất mà bạn sẽ sửa chữa thiết bị được giao cho bạn. Để làm được điều này, đầu tiên, nó phải bị lỗi, và thứ hai, bạn phải sửa chữa. Đây là một bài toán nhân điển hình: chúng ta nhận được 0,2 * 0,4 = 0,08.

Xác suất để bạn ngay lập tức được gặp đúng người là bao nhiêu? Dễ hơn đơn giản: 0,8 * 0,7 \ u003d 0,56. Trong trường hợp này, bạn nhận thấy điện thoại đang hoạt động và đã thực hiện cuộc gọi thành công.

Cuối cùng, hãy xem xét tình huống này: bạn nhận được một chiếc điện thoại bị hỏng, sửa nó, sau đó bấm số, và người ở đầu dây đối diện nhấc máy. Ở đây, yêu cầu nhân ba thành phần: 0,2 * 0,4 * 0,7 \ u003d 0,056.

Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu bạn có hai điện thoại không hoạt động cùng một lúc? Bạn có khả năng sửa được ít nhất một trong số chúng như thế nào? về phép cộng và nhân các xác suất, vì các sự kiện chung được sử dụng. Bài giải: 0,4 + 0,4 - 0,4 * 0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Vì vậy, nếu hai thiết bị bị hỏng rơi vào tay bạn, bạn sẽ có thể sửa nó trong 64% trường hợp.

Cân nhắc sử dụng

Như đã đề cập ở đầu bài viết, việc sử dụng lý thuyết xác suất cần có chủ ý và có ý thức.

Chuỗi thí nghiệm càng lớn thì giá trị dự đoán về mặt lý thuyết càng gần với giá trị thu được trong thực tế. Ví dụ, chúng ta đang tung một đồng xu. Về mặt lý thuyết, biết về sự tồn tại của các công thức cộng và nhân các xác suất, chúng ta có thể dự đoán số lần đầu và đuôi sẽ rơi ra nếu chúng ta tiến hành thí nghiệm 10 lần. Chúng tôi đã tiến hành một thử nghiệm và thật trùng hợp, tỷ lệ các cạnh bị rơi ra là 3 trên 7. Nhưng nếu bạn tiến hành một loạt 100, 1000 lần thử trở lên, thì hóa ra biểu đồ phân phối ngày càng gần với lý thuyết một: 44 đến 56, 482 đến 518, v.v.

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng thí nghiệm này đang được tiến hành không phải với một đồng xu, mà là với việc sản xuất một số chất hóa học mới, xác suất của nó mà chúng ta không biết. Chúng tôi sẽ chạy 10 thí nghiệm và không thu được kết quả thành công, chúng tôi có thể nói chung chung: "không thể thu được chất này." Nhưng ai biết được, nếu chúng ta thực hiện nỗ lực thứ mười một, liệu chúng ta có đạt được mục tiêu hay không?

Vì vậy, nếu bạn đang tìm kiếm điều chưa biết, vào một lĩnh vực chưa được khám phá, thì lý thuyết xác suất có thể không áp dụng được. Mỗi nỗ lực tiếp theo trong trường hợp này có thể thành công và những khái niệm chung chung như "X không tồn tại" hoặc "X là không thể" sẽ là quá sớm.

Từ cuối cùng

Vì vậy, chúng ta đã xem xét hai loại xác suất cộng, nhân và xác suất có điều kiện. Khi nghiên cứu sâu hơn về lĩnh vực này, cần phải học cách phân biệt các tình huống khi mỗi công thức cụ thể được sử dụng. Ngoài ra, bạn cần hiểu liệu các phương pháp xác suất có thể áp dụng chung trong việc giải quyết vấn đề của bạn hay không.

Nếu bạn thực hành, sau một thời gian, bạn sẽ bắt đầu thực hiện tất cả các thao tác cần thiết chỉ trong tâm trí của bạn. Đối với những người yêu thích trò chơi bài, kỹ năng này có thể được coi là cực kỳ có giá trị - bạn sẽ tăng đáng kể cơ hội chiến thắng của mình bằng cách chỉ tính xác suất của một lá bài hoặc bộ đồ cụ thể rơi ra. Tuy nhiên, kiến ​​thức thu được có thể dễ dàng áp dụng vào các lĩnh vực hoạt động khác.

Nhu cầu thực hiện các hành động đối với xác suất xảy ra khi xác suất của một số sự kiện đã được biết và cần phải tính toán xác suất của các sự kiện khác có liên quan đến các sự kiện này.

Phép cộng xác suất được sử dụng khi cần tính xác suất của một tổ hợp hoặc tổng lôgic của các sự kiện ngẫu nhiên.

Tổng các sự kiện Một và B chỉ định Một + B hoặc Một ∪ B. Tổng của hai sự kiện là một sự kiện xảy ra nếu và chỉ khi có ít nhất một trong các sự kiện đó xảy ra. Nó có nghĩa là Một + B- một sự kiện xảy ra nếu và chỉ khi một sự kiện xảy ra trong quá trình quan sát Một hoặc sự kiện B, hoặc đồng thời Một và B.

Nếu sự kiện Một và B không nhất quán lẫn nhau và xác suất của chúng được đưa ra, xác suất một trong những sự kiện này sẽ xảy ra do một lần thử được tính bằng cách cộng các xác suất.

Định lý về phép cộng các xác suất. Xác suất xảy ra một trong hai sự kiện không tương thích lẫn nhau bằng tổng xác suất của các sự kiện này:

Ví dụ, hai phát súng đã được bắn trong khi đi săn. Biến cố NHƯNG- đánh một con vịt từ lần bắn đầu tiên, sự kiện TẠI- đánh từ lần bắn thứ hai, sự kiện ( NHƯNG+ TẠI) - đánh từ phát thứ nhất hoặc thứ hai hoặc từ hai phát. Vì vậy, nếu hai sự kiện NHƯNG và TẠI là các sự kiện không tương thích, sau đó NHƯNG+ TẠI- sự xuất hiện của ít nhất một trong những sự kiện này hoặc hai sự kiện.

ví dụ 1 Một hộp chứa 30 quả bóng có cùng kích thước: 10 quả đỏ, 5 quả xanh và 15 quả bóng trắng. Tính xác suất để một quả bóng màu (không phải màu trắng) được lấy ra mà không cần nhìn.

Quyết định. Giả sử rằng sự kiện NHƯNG- "quả bóng màu đỏ được lấy đi", và sự kiện TẠI- "Quả bóng màu xanh được lấy đi." Sau đó, sự kiện là "một quả bóng màu (không phải màu trắng) được lấy đi". Tìm xác suất của một sự kiện NHƯNG:

và các sự kiện TẠI:

Sự kiện NHƯNG và TẠI- không tương thích lẫn nhau, vì nếu lấy một quả bóng thì không thể lấy các quả bóng có màu sắc khác nhau. Do đó, chúng tôi sử dụng phép cộng các xác suất:

Định lý cộng các xác suất cho một số sự kiện không tương thích. Nếu các sự kiện tạo thành tập hợp các sự kiện hoàn chỉnh, thì tổng xác suất của chúng bằng 1:

Tổng xác suất của các sự kiện đối lập cũng bằng 1:

Các sự kiện đối lập tạo thành một tập hợp các sự kiện hoàn chỉnh và xác suất của một tập hợp các sự kiện hoàn chỉnh là 1.

Xác suất của các sự kiện ngược lại thường được ký hiệu bằng các chữ cái nhỏ. P và q. Đặc biệt,

từ đó các công thức sau đây cho xác suất của các sự kiện ngược lại tuân theo:

Ví dụ 2 Mục tiêu trong dấu gạch ngang được chia thành 3 vùng. Xác suất để một người chơi bắn súng nhất định bắn vào mục tiêu trong vùng đầu tiên là 0,15, ở vùng thứ hai - 0,23, ở vùng thứ ba - 0,17. Tìm xác suất người bắn trúng mục tiêu và xác suất người bắn trượt mục tiêu.

Giải: Tìm xác suất để người bắn trúng mục tiêu:

Tìm xác suất để người bắn trượt mục tiêu:

Các nhiệm vụ khó hơn trong đó bạn cần áp dụng cả phép cộng và phép nhân xác suất - trên trang "Các nhiệm vụ khác nhau cho phép cộng và phép nhân xác suất".

Bổ sung xác suất của các sự kiện chung lẫn nhau

Hai sự kiện ngẫu nhiên được cho là liên kết với nhau nếu sự xuất hiện của một sự kiện không loại trừ sự xuất hiện của sự kiện thứ hai trong cùng một quan sát. Ví dụ, khi ném một con xúc xắc, sự kiện NHƯNGđược coi là sự xuất hiện của số 4, và sự kiện TẠI- giảm một số chẵn. Vì số 4 là số chẵn nên hai sự kiện tương thích với nhau. Trong thực tế, có các nhiệm vụ tính toán xác suất xảy ra một trong các sự kiện chung lẫn nhau.

Định lý cộng các xác suất cho các biến cố chung. Xác suất mà một trong các sự kiện chung sẽ xảy ra bằng tổng xác suất của các sự kiện này, từ đó trừ đi xác suất xuất hiện chung của cả hai sự kiện, nghĩa là tích của các xác suất. Công thức tính xác suất của các sự kiện chung như sau:

Bởi vì các sự kiện NHƯNG và TẠI tương thích, sự kiện NHƯNG+ TẠI xảy ra nếu một trong ba sự kiện có thể xảy ra: hoặc AB. Theo định lý cộng các biến cố xung khắc, ta tính như sau:

Biến cố NHƯNG xảy ra nếu một trong hai sự kiện không tương thích xảy ra: hoặc AB. Tuy nhiên, xác suất xảy ra một sự kiện từ một số sự kiện không tương thích bằng tổng xác suất của tất cả các sự kiện này:

Tương tự:

Thay các biểu thức (6) và (7) vào biểu thức (5), chúng ta thu được công thức xác suất cho các biến cố chung:

Khi sử dụng công thức (8), cần lưu ý rằng các sự kiện NHƯNG và TẠI có thể:

• Độc lập với nhau;
• Phụ thuộc lẫn nhau.

Công thức xác suất cho các sự kiện độc lập lẫn nhau:

Công thức xác suất cho các sự kiện phụ thuộc lẫn nhau:

Nếu sự kiện NHƯNG và TẠI không nhất quán, thì sự trùng hợp của chúng là một trường hợp không thể xảy ra và do đó, P(AB) = 0. Công thức xác suất thứ tư cho các sự kiện không tương thích như sau:

Ví dụ 3 Trong đua ô tô, khi lái xe thứ nhất tính xác suất thắng, khi lái xe ở xe thứ hai. Để tìm:

• xác suất để cả hai xe cùng thắng;
• xác suất để có ít nhất một ô tô trúng thưởng;

1) Xác suất để ô tô thứ nhất trúng giải không phụ thuộc vào kết quả của ô tô thứ hai, do đó các biến NHƯNG(xe đầu tiên thắng) và TẠI(xe thứ hai thắng) - các sự kiện độc lập. Tìm xác suất để cả hai xe cùng thắng:

2) Tìm xác suất để một trong hai xe trúng thưởng:

Các nhiệm vụ khó hơn trong đó bạn cần áp dụng cả phép cộng và phép nhân xác suất - trên trang "Các nhiệm vụ khác nhau cho phép cộng và phép nhân xác suất".

Tự giải quyết vấn đề cộng các xác suất, rồi xem xét giải pháp

Ví dụ 4 Hai đồng xu được ném. Biến cố Một- mất quốc huy trên đồng tiền đầu tiên. Biến cố B- mất quốc huy trên đồng tiền thứ hai. Tìm xác suất của một sự kiện C = Một + B .

Phép nhân xác suất

Phép nhân xác suất được sử dụng khi tính xác suất của một tích hợp lý của các sự kiện.

Trong trường hợp này, các sự kiện ngẫu nhiên phải độc lập. Hai sự kiện được cho là độc lập với nhau nếu sự xuất hiện của một sự kiện không ảnh hưởng đến xác suất xuất hiện của sự kiện thứ hai.

Định lý nhân xác suất cho các biến cố độc lập. Xác suất xảy ra đồng thời hai sự kiện độc lập NHƯNG và TẠI bằng tích xác suất của các sự kiện này và được tính theo công thức:

Ví dụ 5Đồng xu được tung ba lần liên tiếp. Tìm xác suất để quốc huy bị rơi ra ngoài cả ba lần.

Quyết định. Xác suất để quốc huy rơi vào lần tung đồng xu đầu tiên, lần thứ hai và lần thứ ba. Tìm xác suất để quốc huy rơi ra cả ba lần:

Tự giải các bài toán nhân các xác suất rồi xem lời giải

Ví dụ 6 Có một hộp với chín quả bóng tennis mới. Ba quả bóng được lấy cho trò chơi, sau khi trò chơi được đặt lại. Khi chọn bóng, họ không phân biệt bóng đã chơi và chưa chơi. Xác suất để sau ba trò chơi không còn bi nào trong hộp?

Ví dụ 7 32 chữ cái của bảng chữ cái tiếng Nga được viết trên các thẻ bảng chữ cái đã cắt. Năm lá bài được rút ngẫu nhiên, lần lượt và được đặt trên bàn theo thứ tự xuất hiện của chúng. Tìm xác suất để các chữ cái tạo thành từ "end".

Ví dụ 8 Từ một bộ bài đầy đủ (52 tờ), bốn thẻ được lấy ra cùng một lúc. Tìm xác suất để cả bốn thẻ này đều giống nhau.

Ví dụ 9 Vấn đề tương tự như trong ví dụ 8, nhưng mỗi thẻ được trả lại bộ bài sau khi được rút ra.

Các nhiệm vụ phức tạp hơn, trong đó bạn cần áp dụng cả phép cộng và phép nhân các xác suất, cũng như tính tích của một số sự kiện, trên trang "Các nhiệm vụ khác nhau để cộng và nhân các xác suất".

Xác suất mà ít nhất một trong các sự kiện độc lập lẫn nhau sẽ xảy ra có thể được tính bằng cách trừ tích các xác suất của các sự kiện đối lập cho 1, nghĩa là theo công thức:

Ví dụ 10 Hàng hóa được giao nhận bằng ba phương thức vận tải: đường sông, đường sắt và đường bộ. Xác suất để hàng được giao bằng đường sông là 0,82, đường sắt 0,87, đường bộ là 0,90. Tìm xác suất để hàng hóa được giao bằng ít nhất một trong ba phương thức vận tải.

Các định lý về phép cộng và nhân các xác suất.

Định lý cộng các xác suất của hai biến cố. Xác suất của tổng của hai sự kiện bằng tổng xác suất của các sự kiện này mà không có xác suất xảy ra chung của chúng:

P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB).

Định lý về phép cộng các xác suất của hai sự kiện xung khắc. Xác suất của tổng của hai sự kiện không tương thích bằng tổng xác suất của các sự kiện này:

P (A + B) = P (A) + P (B).

Ví dụ 2.16. Người bắn sẽ bắn vào một mục tiêu được chia thành 3 khu vực. Xác suất trúng khu vực thứ nhất là 0,45, khu vực thứ hai - 0,35. Tìm xác suất để người bắn trúng khu vực thứ nhất hoặc khu vực thứ hai bằng một lần bắn.

Quyết định.

Sự kiện NHƯNG- "người bắn trúng khu vực đầu tiên" và TẠI- “người bắn trúng khu vực thứ hai” - không nhất quán (đánh ở một khu vực không bao gồm việc đi vào khu vực khác), vì vậy định lý cộng có thể áp dụng.

Xác suất mong muốn bằng:

P (A + B) = P (A) + P (B) = 0,45+ 0,35 = 0,8.

Định lý cộng P sự kiện không tương thích. Xác suất của tổng n sự kiện không tương thích bằng tổng xác suất của:

P (A 1 + A 2 + ... + A p) \ u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A p).

Tổng xác suất của các sự kiện đối lập bằng một:

Xác suất sự kiện TẠI giả sử một sự kiện đã xảy ra NHƯNG, được gọi là xác suất có điều kiện của sự kiện TẠI và được đánh dấu như thế này: P (B / A), hoặc R A (B).

. Xác suất của tích của hai sự kiện bằng tích của xác suất của một trong số chúng với xác suất có điều kiện của sự kiện kia, với điều kiện là sự kiện đầu tiên xảy ra:

P (AB) = P (A) P A (B).

Biến cố TẠI không phụ thuộc vào sự kiện NHƯNG, nếu

P A (B) \ u003d P (B),

những thứ kia. xác suất sự kiện TẠI không phụ thuộc vào việc liệu sự kiện có xảy ra hay không NHƯNG.

Định lý nhân các xác suất của hai biến cố độc lập.Xác suất của tích của hai sự kiện độc lập bằng tích của các xác suất của chúng:

P (AB) = P (A) P (B).

Ví dụ 2.17. Xác suất bắn trúng mục tiêu khi bắn của khẩu thứ nhất và khẩu thứ hai lần lượt bằng: p 1 = 0,7; p 2= 0,8. Tìm xác suất để ít nhất một trong các khẩu bắn được một quả vô lê (của cả hai khẩu).

Quyết định.

Xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi khẩu không phụ thuộc vào kết quả bắn từ khẩu kia, do đó các sự kiện NHƯNG- "Phát súng đầu tiên" và TẠI- "phát súng thứ hai" là độc lập.

Xác suất sự kiện AB- "cả hai khẩu đều bắn trúng":

Xác suất mong muốn

P (A + B) \ u003d P (A) + P (B) - P (AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Định lý nhân xác suất P sự kiện.Xác suất của một tích của n sự kiện bằng tích của một trong số chúng bằng xác suất có điều kiện của tất cả các sự kiện khác, được tính toán giả sử rằng tất cả các sự kiện trước đó đã xảy ra:

Ví dụ 2.18. Một bình đựng 5 quả cầu trắng, 4 đen và 3 bi xanh. Mỗi bài kiểm tra bao gồm một thực tế là một quả bóng được rút ra một cách ngẫu nhiên mà không trả lại nó. Tìm xác suất để một quả bóng trắng xuất hiện trong lần thử thứ nhất (sự kiện A), một quả bóng đen trong lần thử thứ hai (sự kiện B) và một quả bóng xanh trong lần thử thứ ba (sự kiện C).

Quyết định.

Xác suất để quả cầu trắng xuất hiện trong lần thử thứ nhất:

Xác suất xuất hiện một quả bóng đen trong lần thử thứ hai, được tính toán giả sử rằng một quả bóng trắng xuất hiện trong lần thử đầu tiên, tức là xác suất có điều kiện:

Xác suất để một quả bóng màu xanh lam xuất hiện trong lần thử thứ ba, được tính toán giả sử rằng một quả bóng màu trắng xuất hiện trong lần thử nghiệm đầu tiên và một quả bóng màu đen xuất hiện trong lần thử nghiệm thứ hai, tức là xác suất có điều kiện:

Xác suất mong muốn bằng:

Định lý nhân xác suất P các sự kiện độc lập.Xác suất của một tích của n sự kiện độc lập bằng tích các xác suất của chúng:

P (A 1 A 2 ... A p) \ u003d P (A 1) P (A 2) ... P (A p).

Xác suất để có ít nhất một trong các sự kiện xảy ra. Xác suất xuất hiện của ít nhất một trong các sự kiện A 1, A 2, ..., A p, độc lập trong tổng thể, bằng hiệu giữa xác suất của các sự kiện đối lập:

.

Ví dụ 2.19. Xác suất bắn trúng mục tiêu khi bắn từ ba khẩu súng như sau: p 1 = 0,8; p 2 = 0,7;p 3= 0,9. Tìm xác suất để có ít nhất một lần bắn trúng (sự kiện NHƯNG) với một khẩu súng từ tất cả các loại súng.

Quyết định.

Xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi khẩu súng không phụ thuộc vào kết quả bắn của các khẩu súng khác, vì vậy các sự kiện đang xét A 1(trúng phát súng đầu tiên), A 2(trúng phát súng thứ hai) và A 3(cú đánh của khẩu súng thứ ba) là độc lập trong tổng thể.

Xác suất của các sự kiện ngược lại với các sự kiện A 1, A 2 và A 3(tức là xác suất bỏ lỡ), tương ứng, bằng:

, , .

Xác suất mong muốn bằng:

Nếu các sự kiện độc lập A 1, A 2, ..., A p có cùng một xác suất R, thì xác suất xảy ra của ít nhất một trong những sự kiện này được biểu thị bằng công thức:

Р (А) = 1 - q n,

ở đâu q = 1-p

2.7. Công thức xác suất tổng. Công thức Bayes.

Hãy để sự kiện NHƯNG có thể xảy ra nếu một trong các sự kiện không tương thích xảy ra N 1, N 2, ..., N p, tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh. Vì không biết trước sự kiện nào trong số những sự kiện này sẽ xảy ra, chúng được gọi là giả thuyết.

Xác suất của một sự kiện xảy ra NHƯNGđược tính toán bởi công thức xác suất tổng:

P (A) \ u003d P (N 1) P (A / N 1) + P (N 2) P (A / N 2) + ... + P (N p) P (A / N p).

Chúng ta hãy giả định rằng một thử nghiệm đã được thực hiện, do đó sự kiện NHƯNGđã xảy ra. Xác suất sự kiện có điều kiện N 1, N 2, ..., N p liên quan đến sự kiện NHƯNG xác định Công thức Bayes:

,

Ví dụ 2.20. Trong một nhóm 20 sinh viên đến dự kỳ thi, có 6 sinh viên xuất sắc, 8 sinh viên khá, 4 sinh viên đạt yêu cầu và 2 sinh viên chuẩn bị kém. Đề thi có 30 câu hỏi. Một học sinh chuẩn bị tốt có thể trả lời tất cả 30 câu hỏi, một học sinh chuẩn bị tốt có thể trả lời 24, một học sinh đạt yêu cầu có thể trả lời 15 và một học sinh kém có thể trả lời 7.

Một học sinh được chọn ngẫu nhiên trả lời ba câu hỏi ngẫu nhiên. Tìm xác suất để sinh viên này được chuẩn bị: a) xuất sắc; b) xấu.

Quyết định.

Các giả thuyết - "học sinh được chuẩn bị tốt";

- “học sinh được chuẩn bị tốt”;

- “học sinh được chuẩn bị một cách thỏa đáng”;

- "học sinh chuẩn bị kém."

Trước khi trải nghiệm:

; ; ; ;

7. Thế nào được gọi là một nhóm sự kiện hoàn chỉnh?

8. Những sự kiện nào được gọi là có khả năng xảy ra như nhau? Cho ví dụ về các sự kiện như vậy.

9. Thế nào được gọi là kết quả sơ cấp?

10. Kết quả nào mà tôi gọi là thuận lợi cho sự kiện này?

11. Những thao tác nào có thể được thực hiện trên các sự kiện? Cung cấp cho họ định nghĩa. Chúng được chỉ định như thế nào? Cho ví dụ.

12. Thế nào được gọi là xác suất?

13. Xác suất của một sự kiện nhất định là gì?

14. Xác suất của một sự kiện không thể xảy ra là bao nhiêu?

15. Các giới hạn của xác suất là gì?

16. Xác suất hình học trên mặt phẳng được xác định như thế nào?

17. Xác suất được định nghĩa như thế nào trong không gian?

18. Xác suất trên đường thẳng được xác định như thế nào?

19. Xác suất của tổng hai biến cố là bao nhiêu?

20. Xác suất của tổng hai biến cố không tương đồng là bao nhiêu?

21. Xác suất của tổng n sự kiện không tương đồng là bao nhiêu?

22. Xác suất có điều kiện là gì? Cho một ví dụ.

23. Xây dựng định lý nhân xác suất.

24. Làm thế nào để tìm xác suất xuất hiện của ít nhất một trong các biến cố?

25. Những sự kiện nào được gọi là giả thuyết?

26. Công thức xác suất tổng và công thức Bayes được áp dụng khi nào?

Phép cộng và nhân các xác suất. Bài viết này sẽ tập trung giải quyết các vấn đề trong lý thuyết xác suất. Trước đó, chúng ta đã phân tích một số nhiệm vụ đơn giản nhất, để giải quyết chúng, chỉ cần biết và hiểu công thức là đủ (tôi khuyên bạn nên lặp lại nó).

Có những nhiệm vụ phức tạp hơn một chút, để giải quyết chúng bạn cần phải biết và hiểu rõ: quy tắc cộng xác suất, quy tắc nhân xác suất, các khái niệm về các sự kiện phụ thuộc và độc lập, các sự kiện ngược lại, các sự kiện liên kết và xung khắc. Đừng sợ các định nghĩa, mọi thứ đều đơn giản)).Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chỉ xem xét các nhiệm vụ như vậy.

Một số lý thuyết quan trọng và đơn giản:

không tương thích nếu sự xuất hiện của một trong số họ loại trừ sự xuất hiện của những người khác. Có nghĩa là, chỉ một sự kiện cụ thể có thể xảy ra hoặc một sự kiện khác.

Một ví dụ cổ điển: khi ném một viên xúc xắc (xúc xắc), chỉ một viên có thể rơi ra, hoặc chỉ hai, hoặc chỉ ba, v.v. Mỗi sự kiện trong số này không tương thích với những sự kiện khác và sự xuất hiện của một trong số chúng loại trừ sự xuất hiện của sự kiện kia (trong một thử nghiệm). Tương tự với đồng xu - việc mất "đại bàng" loại trừ khả năng mất "đuôi".

Điều này cũng áp dụng cho các kết hợp phức tạp hơn. Ví dụ, hai ngọn đèn được thắp sáng. Mỗi người trong số họ có thể cháy hết hoặc không trong một thời gian. Có các tùy chọn:

1. Lần đầu tiên cháy hết và lần thứ hai cháy hết
2. Lần đầu tiên cháy hết và lần thứ hai không cháy hết
3. Đầu tiên không cháy hết và thứ hai cháy hết
4. Đầu tiên không cháy hết và thứ hai cháy hết.

Tất cả 4 biến thể của sự kiện này đều không tương thích - chúng chỉ đơn giản là không thể xảy ra cùng nhau và không có biến thể nào với bất kỳ biến thể nào khác ...

Định nghĩa: Sự kiện được gọi là chung nếu sự xuất hiện của một trong số chúng thì không loại trừ sự xuất hiện của cái còn lại.

Ví dụ: một quân hậu sẽ được lấy từ một bộ bài và một quân bích sẽ được lấy từ một bộ bài. Hai sự kiện được xem xét. Những sự kiện này không loại trừ lẫn nhau - bạn có thể vẽ Queen of Spades và do đó cả hai sự kiện sẽ xảy ra.

Về tổng xác suất

Tổng của hai sự kiện A và B được gọi là sự kiện A + B, bao gồm thực tế là sự kiện A hoặc sự kiện B hoặc cả hai sẽ xảy ra cùng một lúc.

Nếu xảy ra không tương thích các sự kiện A và B, thì xác suất của tổng các sự kiện này bằng tổng các xác suất của các sự kiện:

Ví dụ về xúc xắc:

Chúng tôi ném một con xúc xắc. Xác suất nhận được một số nhỏ hơn bốn là bao nhiêu?

Các số nhỏ hơn bốn là 1,2,3. Chúng ta biết rằng xác suất nhận được 1 là 1/6, 2 là 1/6 và 3 là 1/6. Đây là những sự kiện không tương thích. Chúng ta có thể áp dụng quy tắc cộng. Xác suất nhận được một số nhỏ hơn bốn là:

Thật vậy, nếu chúng ta tiếp tục từ khái niệm xác suất cổ điển: thì số kết quả có thể xảy ra là 6 (số tất cả các mặt của hình lập phương), số kết quả thuận lợi là 3 (một, hai hoặc ba). Xác suất mong muốn là 3 đến 6 hoặc 3/6 = 0,5.

* Xác suất của tổng của hai sự kiện chung bằng tổng xác suất của những sự kiện này mà không tính đến sự xuất hiện chung của chúng: P (A + B) \ u003d P (A) + P (B) -P (AB )

Nhân các xác suất

Để hai biến cố A và B xung khắc xảy ra, xác suất của chúng lần lượt là P (A) và P (B). Tích của hai sự kiện A và B được gọi là sự kiện A B, bao gồm thực tế là các sự kiện này sẽ xảy ra cùng nhau, tức là cả sự kiện A và sự kiện B. đều xảy ra. Xác suất của một sự kiện đó bằng tích xác suất của các sự kiện A và B.Tính theo công thức:

Như bạn đã nhận thấy, liên kết logic "AND" có nghĩa là phép nhân.

Một ví dụ với cùng một con xúc xắc:Ném một con súc sắc hai lần. Xác suất để lăn hai con số sáu là bao nhiêu?

Xác suất để lăn được số sáu lần đầu tiên là 1/6. Lần thứ hai cũng bằng 1/6. Xác suất nhận được sáu quả cả lần đầu tiên và lần thứ hai đều bằng tích của các xác suất:

Nói một cách đơn giản: khi một sự kiện xảy ra trong một thử nghiệm, VÀ sau đó một thử nghiệm khác xảy ra, thì xác suất chúng xảy ra cùng nhau bằng tích xác suất của các sự kiện này.

Chúng tôi giải quyết vấn đề với xúc xắc, nhưng chúng tôi chỉ sử dụng suy luận logic, chúng tôi không sử dụng công thức tích. Trong các bài toán được xem xét dưới đây, ta không thể làm mà không có công thức, hay nói đúng hơn là lấy kết quả dễ hơn và nhanh hơn.

Điều đáng nói là một sắc thái nữa. Khi lập luận trong việc giải quyết vấn đề, khái niệm về tính ĐƠN GIẢN của các sự kiện được sử dụng. Các sự kiện xảy ra ĐƠN GIẢN - điều này không có nghĩa là chúng xảy ra trong một giây (tại một thời điểm). Điều này có nghĩa là chúng xảy ra trong một khoảng thời gian nhất định (với một lần kiểm tra).

Ví dụ:

Hai ngọn đèn cháy hết trong vòng một năm (có thể nói - đồng thời trong vòng một năm)

Hai ô tô bị phá vỡ trong vòng một tháng (có thể nói - đồng thời trong vòng một tháng)

Xúc xắc được ném ba lần (các điểm rơi ra cùng một lúc, có nghĩa là trong một lần kiểm tra)

Biathlete thực hiện năm phát súng. Các sự kiện (ảnh) xảy ra trong một lần thử nghiệm.

Các sự kiện A và B là độc lập nếu xác suất của một trong hai không phụ thuộc vào sự xuất hiện hoặc không xảy ra của sự kiện kia.

Xem xét các nhiệm vụ:

Hai nhà máy sản xuất cùng một loại kính cho đèn pha ô tô. Nhà máy đầu tiên sản xuất 35% số kính này, nhà máy thứ hai - 65%. Nhà máy thứ nhất sản xuất 4% số kính bị lỗi và nhà máy thứ hai - 2%. Tìm xác suất để một chiếc kính vô tình mua ở cửa hàng bị lỗi.

Nhà máy thứ nhất sản xuất 0,35 sản phẩm (kính). Xác suất mua được thủy tinh bị lỗi của nhà máy thứ nhất là 0,04.

Nhà máy thứ hai sản xuất kính 0,65. Xác suất mua được thủy tinh bị lỗi của nhà máy thứ hai là 0,02.

Xác suất để chiếc kính được mua ở nhà máy đầu tiên VÀ đồng thời nó bị lỗi là 0,35 ∙ 0,04 = 0,0140.

Xác suất để chiếc kính được mua ở nhà máy thứ hai VÀ đồng thời nó bị lỗi là 0,65 ∙ 0,02 = 0,0130.

Mua thủy tinh bị lỗi trong một cửa hàng ngụ ý rằng nó (thủy tinh bị lỗi) đã được mua TỪ NHÀ MÁY đầu tiên HOẶC từ nhà máy thứ hai. Đây là các sự kiện không tương thích, nghĩa là chúng tôi thêm các xác suất kết quả:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

Trả lời: 0,027

Nếu kiện tướng A. chơi trắng thì thắng kiện tướng B. với xác suất là 0,62. Nếu A. chơi đen thì A. đánh B. với xác suất là 0,2. Các kiện tướng A. và B. chơi hai ván, và trong ván thứ hai, họ đổi màu các quân cờ. Tìm xác suất để A. thắng cả hai lần.

Cơ hội giành chiến thắng trong trò chơi đầu tiên và thứ hai là độc lập với nhau. Người ta nói rằng một kiện tướng phải chiến thắng cả hai lần, nghĩa là, chiến thắng lần đầu tiên VÀ đồng thời giành chiến thắng lần thứ hai. Trong trường hợp khi các sự kiện độc lập phải xảy ra cùng nhau, xác suất của các sự kiện này được nhân lên, tức là quy tắc nhân được sử dụng.

Xác suất để tạo ra các sự kiện này sẽ bằng 0,62 ∙ 0,2 = 0,124.

Đáp số: 0,124

Trong phần thi hình học, học sinh nhận được một câu hỏi trong danh sách các đề thi. Xác suất để đây là một câu hỏi nội tiếp đường tròn là 0,3. Xác suất đây là câu hỏi Hình bình hành là 0,25. Không có câu hỏi nào liên quan đến hai chủ đề này cùng một lúc. Tìm xác suất để sinh viên đó đạt được câu hỏi thuộc một trong hai chủ đề này trong kỳ thi.

Nghĩa là, cần tìm xác suất để học sinh nhận được câu hỏi ĐỀU thuộc chủ đề “Đường tròn nội tiếp” HOẶC về chủ đề “Hình bình hành”. Trong trường hợp này, các xác suất được tính tổng, vì các sự kiện này không tương thích và bất kỳ sự kiện nào trong số này có thể xảy ra: 0,3 + 0,25 = 0,55.

* Sự kiện rời rạc là sự kiện không thể xảy ra đồng thời.

Đáp số: 0,55

Vận động viên bơi lội bắn năm lần vào các mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một lần bắn là 0,9. Tìm xác suất để vận động viên hai môn phối hợp bắn trúng mục tiêu trong bốn lần đầu tiên và bắn trượt mục tiêu cuối cùng. Làm tròn kết quả đến hàng trăm gần nhất.

Vì vận động viên điền kinh bắn trúng mục tiêu với xác suất 0,9 nên anh ta bắn trượt với xác suất 1 - 0,9 = 0,1

* Đánh trượt và bắn trúng là các sự kiện không thể xảy ra đồng thời với một lần bắn, tổng xác suất của các sự kiện này là 1.

Chúng ta đang nói về hoa hồng của một số sự kiện (độc lập). Nếu một sự kiện xảy ra và đồng thời một sự kiện khác (tiếp theo) xảy ra đồng thời (thử nghiệm), thì xác suất của những sự kiện này được nhân lên.

Xác suất tạo ra các sự kiện độc lập bằng tích các xác suất của chúng.

Như vậy, xác suất của biến cố "trúng, trúng, trúng, trúng, trượt" bằng 0,9 ∙ 0,9 ∙ 0,9 ∙ 0,9 ∙ 0,1 = 0,06561.

Làm tròn đến hàng trăm, chúng tôi nhận được 0,07

Trả lời: 0,07

Cửa hàng có hai máy thanh toán. Mỗi lỗi trong số chúng đều có thể bị lỗi với xác suất 0,07, bất kể động cơ tự động khác là gì. Tìm xác suất để ít nhất một ô tô có thể sử dụng được.

Tìm xác suất để cả hai dữ liệu tự động bị lỗi.

Các sự kiện này là độc lập, do đó xác suất sẽ bằng tích các xác suất của các sự kiện này: 0,07 ∙ 0,07 = 0,0049.

Điều này có nghĩa là xác suất để cả hai tự động đang hoạt động hoặc một trong số chúng sẽ bằng 1 - 0,0049 = 0,9951.

* Cả hai đều có thể sử dụng được và một số là hoàn toàn - đáp ứng điều kiện "ít nhất một".

Người ta có thể trình bày xác suất của tất cả các sự kiện (độc lập) để kiểm tra:

1. “bị lỗi-bị lỗi” 0,07 ∙ 0,07 = 0,0049

2. “Lỗi tốt” 0,93 ∙ 0,07 = 0,0651

3. "Bị lỗi-bị lỗi" 0,07 ∙ 0,93 = 0,0651

4. “lành mạnh” 0,93 ∙ 0,93 = 0,8649

Để xác định xác suất có ít nhất một ô tô hoạt động trong tình trạng tốt, cần phải thêm các xác suất của các sự kiện độc lập 2,3 và 4: một sự kiện nhất định Một sự kiện được gọi là một sự kiện chắc chắn xảy ra do một trải nghiệm. Sự kiện được gọi là Không thể nào nếu nó không bao giờ xảy ra do kinh nghiệm.

Ví dụ, nếu một quả bóng được rút ngẫu nhiên từ một hộp chỉ chứa các quả bóng màu đỏ và xanh lá cây, thì sự xuất hiện của một quả bóng màu trắng trong số các quả bóng được rút ra là một sự kiện không thể xảy ra. Sự xuất hiện của màu đỏ và sự xuất hiện của các quả bóng màu xanh lá cây tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh.

Sự định nghĩa: Các sự kiện được gọi là đều có thể , nếu không có lý do gì để tin rằng một trong số chúng sẽ xuất hiện do kết quả của thử nghiệm với xác suất lớn hơn.

Trong ví dụ trên, sự xuất hiện của các quả bóng màu đỏ và màu xanh lá cây là các sự kiện có khả năng xảy ra như nhau nếu hộp chứa cùng số lượng quả bóng màu đỏ và xanh lá cây. Nếu có nhiều quả bóng màu đỏ trong hộp hơn quả bóng màu xanh lá cây, thì sự xuất hiện của quả bóng màu xanh lá cây ít hơn sự xuất hiện của quả bóng màu đỏ.

Trong chúng ta sẽ xem xét thêm các bài toán trong đó sử dụng tổng và tích các xác suất của các sự kiện, đừng bỏ lỡ!

Đó là tất cả. Chúc các bạn thành công!

Trân trọng, Alexander Krutitskikh.

Maria Ivanovna mắng Vasya:
Petrov, tại sao hôm qua bạn không ở trường ?!
Mẹ tôi đã giặt quần cho tôi hôm qua.
- Vậy thì sao?
- Và tôi đang đi ngang qua ngôi nhà và thấy rằng của bạn đang bị treo cổ. Tôi đã nghĩ rằng bạn sẽ không đến.

P.S: Tôi sẽ rất biết ơn nếu bạn kể về trang web trên mạng xã hội.