Bình chứa người da đen và người da trắng. Vấn đề về bóng

Nhiệm vụ 174tv

a) 3 viên bi trắng;
b) ít hơn 3 viên bi trắng;
c) ít nhất một quả bóng màu trắng.

Nhiệm vụ 176tv

Một bình đựng 6 quả cầu đen và 5 quả cầu trắng. 5 quả bóng được rút ra một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để trong số đó có:
a) 3 viên bi trắng;
b) ít hơn 3 viên bi trắng;
c) ít nhất một quả bóng màu trắng.

Nhiệm vụ 178tv

Một bình đựng 4 quả cầu đen và 5 quả cầu trắng. 4 quả bóng được rút ra một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để trong số đó có:
a) 2 viên bi trắng;
b) ít hơn 2 bi trắng;
c) ít nhất một quả bóng màu trắng.

Nhiệm vụ 180tv

Một bình đựng 6 quả cầu đen và 7 quả cầu trắng. 4 quả bóng được rút ra một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để trong số đó có:
a) 4 viên bi trắng;
b) ít hơn 4 viên bi trắng;
c) ít nhất một quả bóng màu trắng.

Nhiệm vụ 184tv

Một bình đựng 8 quả cầu đen và 6 quả cầu trắng. 4 quả bóng được rút ra một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để trong số đó có:
a) 3 viên bi trắng;
b) ít hơn 3 viên bi trắng;
c) ít nhất một quả bóng màu trắng.

Nhiệm vụ 186tv

Một bình đựng 4 quả cầu đen và 6 quả cầu trắng. 4 quả bóng được rút ra một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để trong số đó có:
a) 3 viên bi trắng;
b) ít hơn 3 viên bi trắng;
c) ít nhất một quả bóng màu trắng.

Nhiệm vụ 188tv

Một bình đựng 5 quả bóng đen và 6 quả cầu trắng. 5 quả bóng được rút ra một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để trong số đó có:
a) 4 viên bi trắng;
b) ít hơn 4 viên bi trắng;
c) ít nhất một quả bóng màu trắng.

Công việc số 1

Những sự kiện ngẫu nhiên

6 tùy chọn.

Nhiệm vụ 1.1. Ném ba đồng xu. Tìm xác suất để "quốc huy" chỉ xuất hiện trên hai đồng xu.

Sự kiện được điều tra A - chỉ có hai trong số ba đồng xu sẽ có huy hiệu. Một đồng xu có hai mặt tức là ném ba đồng xu sẽ có 8 sự kiện, ba trường hợp chỉ có hai đồng xu sẽ có hình huy hiệu. Xác suất của sự kiện A được tính bằng công thức:

P (A) = m / n = 3/8.

Trả lời: xác suất 3/8.

Nhiệm vụ 1.2. Từ EVENT được tạo thành từ các thẻ, mỗi thẻ có một chữ cái được viết trên đó. Sau đó, các thẻ được trộn và lấy ra mà không trả lại từng thẻ một. Tìm xác suất để các chữ cái được lấy ra theo thứ tự của từ đã cho.

Bài kiểm tra bao gồm việc lấy ra các thẻ có các chữ cái theo thứ tự ngẫu nhiên mà không trả lại. Sự kiện cơ bản là một chuỗi các chữ cái nhận được. Sự kiện A là nhận từ đúng SỰ KIỆN . Các biến cố cơ bản là hoán vị của 7 chữ cái, có nghĩa là theo công thức ta có n = 7!

Các chữ cái trong từ EVENT không lặp lại, vì vậy không thể thực hiện hoán vị trong đó từ không thay đổi. Số của họ là 1.

Vì vậy,

P (A) = 1/7! = 1/5040.

Trả lời: P (A) = 1/5040.

Nhiệm vụ 1.3. Như bài toán trước, hãy tìm xác suất tương ứng của trường hợp từ đã cho là từ ANTONOV ILYA.

Vấn đề này được giải quyết tương tự như trước.

n = 11 !; M = 2! * 2! = 4.

P (A) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200

Trả lời: P (A) = 1/9979200.

Nhiệm vụ 1.4. Một bình đựng 8 quả cầu đen và 6 quả cầu trắng. 5 quả bóng được rút ra một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để trong số đó có:

a) 3 viên bi trắng;

b) ít hơn 3 viên bi trắng;

c) ít nhất một quả bóng màu trắng.

8 giờ Bài kiểm tra sẽ là bốc thăm ngẫu nhiên 5 quả bóng. Sơ cấp

6 sự kiện b là tất cả các kết hợp có thể có của 5 trong số 14 quả bóng. Số của họ là

a) A 1 - trong số các quả bóng rút ra có 3 quả bóng màu trắng. Vì vậy, trong số các quả bóng rút ra có 3 quả bóng màu trắng và 2 quả bóng màu đen. Sử dụng quy tắc nhân, chúng tôi nhận được

P (A 1) \ u003d 560/2002 \ u003d 280/1001.

b) A 2 - trong số các quả bóng được rút ra có ít hơn 3 quả màu trắng. Sự kiện này bao gồm ba sự kiện không tương thích:

Trong 1 - trong số các quả bóng được rút ra chỉ có 2 quả bóng trắng và 3 quả bóng đen,

B 2 - trong số các quả bóng được rút ra chỉ có một quả bóng trắng và 4 quả bóng đen

Trong 3 - không có một quả bóng trắng nào trong số các quả bóng được rút ra, cả 5 quả bóng đều đen:

A 2 \ u003d B 1 B 2 B 3.

Vì các sự kiện B 1, B 2 và B 3 không tương thích, bạn có thể sử dụng công thức:

P (A 2) \ u003d P (B 1) + P (B 2) + P (B 3);

P (A 2) \ u003d 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 \ u003d 483/1001.

c) - trong số các quả bóng được rút ra không có một quả bóng trắng nào. Trong trường hợp này:

P (A 3) \ u003d 1 - P () \ u003d 1 - 28/1001 \ u003d 973/1001.

Trả lời: P (A 1) \ u003d 280/1001, P (A 2) \ u003d 483/1001, P (A 3) \ u003d 973/1001.

Bài toán 1.6. Bình thứ nhất chứa 5 bi trắng và 7 bi đen, bình thứ hai chứa 6 bi trắng và 4 bi đen. Người ta lấy ngẫu nhiên 2 bi từ bình thứ nhất và 2 bi từ bình thứ hai. Tìm xác suất để trong số các bi được rút ra:

a) tất cả các quả bóng cùng màu;

b) chỉ có ba quả bóng màu trắng;

c) ít nhất một quả bóng màu trắng.

Urn 1 Urn 2 Balls được rút ra từ cả hai bình một cách độc lập. Thử nghiệm

5 b 6 b đang rút ra hai quả bóng từ bình thứ nhất và hai quả bóng

7h 4h kể từ bình thứ hai. Các sự kiện cơ bản sẽ là sự kết hợp

2 hoặc 2 trong số 12 hoặc 10 quả bóng tương ứng.

2 2 a) A 1 - tất cả các quả bóng được vẽ cùng màu, tức là tất cả họ đều trắng

hoặc tất cả màu đen.

Chúng tôi xác định cho mỗi urn tất cả các sự kiện có thể xảy ra:

Trong bình thứ nhất lấy ra 1 - 2 bi trắng;

B 2 - 1 bi trắng và 1 bi đen được rút ra từ bình thứ nhất;

Có 3 - 2 bi đen được rút ra từ bình thứ nhất;

C 1 - 2 bi trắng được lấy ra từ bình thứ hai;

C 2 - 1 bi trắng và 1 bi đen được rút ra từ bình thứ hai;

C 3 - 2 bi đen được rút ra từ bình thứ hai.

Vậy A 1 = , do đó, có tính đến tính độc lập và không tương thích của các sự kiện, chúng tôi có được

P (A 1) \ u003d P (B 1) * P (C 1) + P (B 3) * P (C 3).

Hãy tìm số lượng sự kiện sơ cấp n 1 và n 2 lần lượt cho bình thứ nhất và bình thứ hai. Chúng ta có:

Tìm số lượng từng phần tử của các sự kiện xác định các sự kiện sau:

B 1: m 11 = C 1: m 21 =

B 2: m 12 \ u003d C 2: m 22 \ u003ng

B 3: m 13 \ u003ng C 3: m 23 \ u003ng

Vì thế,

P (A 1) \ u003d 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 \ u003d 5/99 + 7/165 \ u003d 46/495.

b) A 2 - trong số các quả bóng được rút ra chỉ có 3 quả bóng màu trắng. Trong trường hợp này

A 2 \ u003d (B 1 C 2 (B 2 C 1);

P (A 2) \ u003d P (B 1) * P (C 1) + P (B 2) * P (C 2)

P (A 2) \ u003d 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 \ u003d 33/99 \ u003d 1/3.

c) A 3 - trong số các quả bóng được rút ra có ít nhất một quả bóng màu trắng.

Không có quả bóng trắng nào trong số các quả bóng được rút ra. sau đó

P () = P (B 3) * P (C 3) = 21/66 * 6/45 = 7/165;

P (A 3) \ u003d 1 - P () \ u003d 1 - 7/165 \ u003d 158/165.

Trả lời: P (A 1) \ u003d 46/495, P (A 2) \ u003d 1/3, P (A 3) \ u003d 158/165.

Bài toán 1.7. Một bình đựng 5 bi trắng đen, thêm vào đó 4 bi trắng. Sau đó, người ta lấy ngẫu nhiên ra 3 bi từ trong bình. Tìm xác suất để tất cả các viên bi rút ra đều có màu trắng, giả sử rằng tất cả các câu có thể có về nội dung ban đầu của bình đều có khả năng như nhau.

Ở đây có hai hình thức kiểm tra: thứ nhất, người ta đưa ra vật chứa ban đầu của chiếc bình và sau đó rút ngẫu nhiên quả cầu thứ 3, và kết quả của lần kiểm tra thứ hai phụ thuộc vào kết quả của lần đầu tiên. Do đó, công thức xác suất tổng được sử dụng.

sự kiện A - 3 bi trắng được rút ngẫu nhiên. Xác suất của sự kiện này phụ thuộc vào cách thành phần ban đầu bóng trong bình.

Xem xét các sự kiện:

Trong 1 - có 5 quả bóng màu trắng trong bình;

Trong 2 - có 4 bi trắng và 1 bi đen trong bình;

Trong 3 - có 3 bi trắng và 2 bi đen trong bình;

Trong 4 - có 2 bi trắng và 3 bi đen trong bình;

Lúc 5 - có 1 quả bóng trắng và 4 quả bóng đen trong bình.

Lúc 6 - có 5 quả bóng đen trong bình;

Tổng số kết quả sơ cấp

Hãy tìm xác suất có điều kiện sự kiện A trong các điều kiện khác nhau.

P (A / B 1) \ u003d 1.

P (A / B 2) \ u003d 56/84 \ u003d 2/3.

P (A / B 3) \ u003d 35/84 \ u003d 5/12.

P (A / B 4) \ u003d 5/21.

P (A / B 5) \ u003d 5/42.

P (A / B 6) \ u003d 1/21.

P (A) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.

Trả lời: P (A) = 209/504.

Bài toán 1.9. Có 11 khẩu súng trường trong kim tự tháp, 3 trong số đó có ống ngắm quang học. Một người bắn súng bắn từ súng trường có ống ngắm có thể bắn trúng mục tiêu với xác suất 87/100 và bắn từ súng trường không có ống ngắm quang học với xác suất 52/100. Tìm xác suất để người bắn trúng mục tiêu bằng cách bắn từ một khẩu súng trường được chọn ngẫu nhiên.

Xét rằng các khẩu súng trường được chọn lần lượt, chúng ta thu được và lần lượt là (đối với B 1) và (đối với B 2); do đó P (B 1) \ u003d 3/11, P (B 2) \ u003d 8/11.

Xác suất có điều kiện được chỉ định trong câu lệnh bài toán:

P (A / B 1) = 0,87 và P (A.B 2) = 0,52.

Vì thế,

P (A) = 0,87 * 3/11 + 0,52 * 8/11 = 0,615.

Trả lời: P (A) = 0,615.

Bài toán 1.10. Trong xưởng lắp ráp, một động cơ điện được kết nối với thiết bị. Động cơ điện được cung cấp bởi ba nhà sản xuất. Trong kho có các động cơ điện của các nhà máy này lần lượt là M 1 = 13, M 2 = 12 và M 3 = 17 cái, có thể hoạt động không hỏng hóc đến hết thời gian bảo hành với xác suất là 0,91 , Lần lượt là 0,82 và 0,77. Người công nhân lấy ngẫu nhiên một động cơ điện và lắp vào thiết bị. Tìm xác suất để một động cơ điện được lắp đặt và vận hành liên tục cho đến khi kết thúc thời hạn bảo hành do nhà sản xuất thứ nhất, thứ hai hoặc thứ ba cung cấp.

Xác suất có điều kiện được đưa ra trong điều kiện của bài toán: P (A / B 1) \ u003d 0,91, P (A / B 2) \ u003d 0,82, P (A / B 3) \ u003d 0,77.

Tương tự như bài toán trước, chúng ta tìm các xác suất:

P (B 1) \ u003d 13/42 \ u003d 0,3095; P (B 2) \ u003d 12/42 \ u003d 0,2857; P (B 3) \ u003d 17/42 \ u003d 0,4048;

P (A) = 0,91 * 0,3095 + 0,82 * 0,2857 + 0,77 * 0,4048 = 0,8276.

Theo công thức Bayes (1.8.), Chúng tôi tính xác suất có điều kiện của các sự kiện (giả thuyết) B 1:

P (B 1 / A) \ u003d

P (B 2 / A) \ u003d

P (B 3 / A) \ u003d

Trả lời: P (B 1 / A) \ u003d 0,3403, P (B 2 / A) \ u003d 0,2831, P (B 3 / A) \ u003d 0,3766

Công việc số 2

biến ngẫu nhiên.

6 - tùy chọn.

Nhiệm vụ 2.1. Trong mỗi n kiểm tra độc lập biến cố A xảy ra với xác suất không đổi là 0,36. Tính tất cả các xác suất p k, k = 0, 1, 2, ..., 11, trong đó k là tần suất của biến cố A. Vẽ các xác suất p k. Tìm tần suất có thể xảy ra nhất.

Được cho: n = 11, p = 0,36, q = 1 - p = 0,64.

Để tìm: p 0, p 1, p 2, ..., p 11 và k.

Sử dụng công thức Bernoulli. Giá trị của p 0 được tính theo công thức đầu tiên và các xác suất còn lại p k - tính theo công thức thứ hai.

Đối với công thức, chúng tôi tính hệ số không đổi

p / q \ u003d 0,36 / 0,64 \ u003d 0,5625, p 0 \ u003d * 0,36 0 * 0,64 11 \ u003d 0,0073787.

Ta ghi kết quả các phép tính vào bảng 1. Nếu các phép tính đúng thì đẳng thức

Dựa trên các xác suất tìm được, chúng tôi xây dựng đồ thị của chúng (Hình 1).

Hãy tìm tần số có khả năng xảy ra cao nhất theo các điều kiện đã cho:

np - q = 11 * 0,36 - 0,64 = 3,32.np + k = 4,32

Do đó, tần số có khả năng xảy ra cao nhất là k = 4 và như đã nhận được trước đó, giá trị của p 3 là giá trị lớn nhất.

Bảng 1

k	(n-k-1) / k	p k	k	(n-k-1) / k	p k
	-	0,9926213

Hình 1 Đồ thị xác suất p k

Nhiệm vụ 2.2. Trong mỗi lần thử nghiệm độc lập, biến cố A xảy ra với xác suất không đổi là 0,47. Tìm xác suất để biến cố A xảy ra:

a) đúng 330 lần;

b) nhỏ hơn 330 và nhiều hơn 284 lần;

c) hơn 330 lần.

một) Được cho: n = 760, p = 0,47, M = 330.

Để tìm: Tr 760 (330).

Chúng tôi sử dụng định lý cục bộ Moivre - Laplace. Chúng ta tìm thấy:

Chúng ta tìm giá trị của hàm j (x) từ bảng:

j (1,98) = 0,0562, P 760 (330) = 0,0562 / 13,76 = 0,00408.

b) Để tìm: R 760 (284

Chúng ta sử dụng định lý tích phân của Moivre - Laplace.

Chúng ta tìm thấy:

Chúng ta tìm giá trị của hàm Ф (х) từ bảng:

R 760 (284

trong) Để tìm: R 760 (330

Chúng tôi có: x 1 \ u003d -1,98,

R 760 (330

Nhiệm vụ 2.4. Tại tổng đài điện thoại, một kết nối không chính xác xảy ra với xác suất 1/800. Tìm xác suất để trong số 5600 mối liên hệ có:

a) đúng 2 kết nối không chính xác;

b) ít hơn 3 kết nối không chính xác;

c) hơn 8 kết nối không chính xác.

a) Cho: n = 5600, p = 1/800, k = 2.

Để tìm: Tr 800 (2).

Chúng tôi nhận được:

l \ u003d 5600 * 1/800 \ u003d 7.

P 800 (2) = .

b) Được cho k<3.

Để tìm: P 200 (k<3).

P 800 (k<3) = Р 800 (0) + Р 800 (1) + Р 800 (2) = 0,0223 + 0,0009 + 0,0064 = 0,0296.

trong) Được cho k> 8.

Để tìm: P 800 (k> 8).

Vấn đề này có thể được giải quyết đơn giản hơn, để tìm xác suất của sự kiện ngược lại, vì trong trường hợp này bạn cần tính ít số hạng hơn. Tính đến trường hợp trước, chúng tôi có

P 800 (k> 8) = 1 - P 800 (k8) = 1 - P 800 (k<9) = 1 - 0,7291 = 0,2709.

Vấn đề 2.6. Biến ngẫu nhiên X được cho bởi một loạt các phân phối.

X	8 12 16 24
R	0,11 0,14 0,50 0,25

Tìm hàm phân phối F (x) của biến ngẫu nhiên X và xây dựng đồ thị của nó. Tính cho X giá trị trung bình EX, phương sai DX và chế độ Mo.

Hãy vẽ đồ thị của hàm phân phối F (x). Giá trị trung bình của EX được tính theo công thức:

EX \ u003d 8 * 0,11 + 12 * 0,14 + 16 * 0,5 + 24 * 0,25 \ u003d 16,56.

Độ phân tán: E (X 2) \ u003d 8 2 * 0,11 + 12 2 * 0,14 + 16 2 * 0,5 + 24 2 * 0,25 \ u003d 299,2

DX = 299,2 - 16,52 2 = 26,2896.

Biểu đồ chức năng phân phối

Bài toán 2.7. Biến ngẫu nhiên X được cho bởi hàm mật độ xác suất

f (x) =

Tìm hàm phân phối F (x) của biến ngẫu nhiên X. Vẽ đồ thị của hàm f (x) và F (x). Tính cho X trung bình EX, phương sai DX, chế độ Mo và trung vị Me. K = 8, R = 12.

Hàm phân phối F (x) của một biến ngẫu nhiên liên tục được tìm thấy bằng công thức:

Dựng đồ thị của hàm số f (x) và F (x). Giá trị trung bình của X được tính theo công thức:

EX =

Để tìm phương sai X, chúng tôi sử dụng công thức:

E (X 2) \ u003d

DX = 40,5 - (4,5) 2.

Biểu đồ cho thấy f (x) đạt cực đại tại điểm x \ u003d 1/2 và do đó, Mo \ u003d 12. Để tìm trung vị Me, bạn cần giải phương trình x 2/256 \ u003d 1/2 hoặc x 2 \ u003d 128. Ta có x = ± 11,31, Me = 11,31.

Đồ thị của hàm phân phối F (x).

Công việc số 3.

Nhiệm vụ 3.1

Đối với mẫu A và B

Tạo một chuỗi biến thể;

Tính tần số tương đối (tần số) và tần số tích lũy;

Xây dựng đồ thị của chuỗi biến thiên (đa giác và biểu đồ);

Soạn một hàm phân phối thực nghiệm và xây dựng đồ thị của nó;

Tính các đặc trưng số của chuỗi biến thiên:

trung bình ,

phương sai,

độ lệch chuẩn ,

trung vị Tôi.

Nhiệm vụ 3.2.

Tính toán ước lượng không chệch của các tham số dân số, S 2, S theo

mẫu A và B (sử dụng kết quả thu được trong bài toán 3.1.), cũng như cột đầu tiên của mẫu B.

Mẫu A6

4	10	7	6	3	7	8	7	4	7	10	7	3	9	3
1	5	8	10	11	6	5	7	6	3	8	4	3	8	4
10	6	8	7	8	7	7	7	4	6	7	10	4	4	0
5	4	4	8	5	5	10	7	3	8	5	6	6	6	3
5	7	8	5	7	10	9	10	8	2	3	6	9

N = 73 Khoảng thời gian bắt đầu đầu tiên: 0 Độ dài khoảng thời gian: 1

Mẫu B6

324	296	313	323	312	321	322	301	337	322	329	307
301	328	312	318	327	315	319	317	309	334	323	340
326	322	314	335	313	322	319	325	312	300	323	335
339	326	298	298	337	322	303	314	315	310	316	321
312	315	331	322	321	336	328	315	338	318	327	323
325	314	297	303	322	314	317	330	318	320	312	333
332	319	325	319	307	305	316	330	318	335	327	321
332	288	322	334	295	318	329	305	310	304	326	319
317	316	316	307	309	309	328	317	317	322	316	304
303	350	309	327	345	329	338	311	316	324	310	306
308	302	315	314	343	320	304	310	345	312	330	324
308	326	313	320	328	309	306	306	308	324	312	309
324	321	313	330	330	315	320	313	302	295	337	346
327	320	307	305	323	331	345	315	318	331	322	315
304	324	317	322	312	314	308	303	333	321	312	323
317	288	317	327	292	316	322	319	313	328	313	309
329	313	334	314	320	301	329	319	332	316	300	300
304	306	314	323	318	337	325	321	322	288	313	314
307	329	302	300	316	321	315	323	331	318	334	316
328	294	288	312	312	315	321	332	319

N = 237 Khoảng thời gian bắt đầu đầu tiên: 285 Độ dài khoảng thời gian: 7

Giải quyết vấn đề.

Nhiệm vụ 3.1.

Đầu tiên, chúng tôi giải quyết vấn đề cho mẫu A. Chúng tôi tìm thấy: x min \ u003d 0 và x max \ u003d 11. Phạm vi (11 - 0 + 1 \ u003d 12) khá nhỏ, vì vậy chúng tôi sẽ tạo một chuỗi biến thể theo các giá trị (Bảng 1).

Bảng 1

Tất cả các tần số tương đối được tính toán với cùng một độ chính xác. Khi vẽ biểu đồ, chúng tôi mô tả các giá trị từ 0 đến 11 trên trục x và các giá trị từ 0 đến 0,25 trên trục n i / n (Hình 1 và 2).

Cơm. 1. Đa giác của chuỗi biến thiên của mẫu A

Cơm. 2. Biểu đồ của chuỗi biến thiên của mẫu A.

Hàm phân phối thực nghiệm F * (x) được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức và tần số tích lũy từ Bảng. 1. Chúng tôi có:

Khi vẽ đồ thị F * (x), chúng tôi đặt các giá trị của hàm trong phạm vi từ 0 đến 1,2 (Hình 3).

Hình 3. Đồ thị của hàm phân phối thực nghiệm của mẫu A.

Việc tính tổng giá trị trung bình cộng và phương sai theo các công thức và theo chuỗi biến thiên (xem Bảng 1) được trình bày trong Bảng. 2. Dựa vào tần số lớn nhất, ta xác định được c = 7, và bước của bảng là k = 1.

11 1 4 4 16 16 73 -58 470

Độ lệch chuẩn Chế độ Mo là giá trị có tần số lớn nhất, tức là Mo = 7. Trung vị Me là giá trị thứ 37 của dãy biến thiên: Me = 7.

Bây giờ, sử dụng mẫu B, chúng tôi tìm thấy x min = 288 và x max = 350. Phạm vi (350 - 288 + 1 = 63) là khá lớn, vì vậy chúng tôi sẽ biên dịch một chuỗi biến thể theo khoảng giá trị, sử dụng đầu cho trước của khoảng đầu tiên và độ dài của khoảng khi lấy mẫu (Bảng 3).

bàn số 3

Cơm. 4. Đa giác của dãy biến thiên của mẫu B.

Cơm. 5. Biểu đồ của chuỗi biến thiên của mẫu B.

Khi xây dựng đồ thị, chúng tôi vẽ các giá trị từ 285 đến 355 dọc theo trục x và các giá trị từ 0 đến 0,3 dọc theo trục thứ i / n (Hình 4 và 5).

Hơn nữa, chúng tôi lưu ý rằng phần cuối của nó được coi là đại diện cho mỗi khoảng thời gian. Lấy tọa độ của các điểm ở cuối các khoảng và tần số tích lũy tương ứng (xem Bảng 3) và nối các điểm này với các đường thẳng, chúng ta xây dựng đồ thị của hàm phân phối thực nghiệm (Hình 6).

Cơm. 6. Đồ thị của hàm phân phối thực nghiệm của mẫu B.

Để tính giá trị trung bình cộng và độ phân tán theo công thức và theo Bảng. 3, chúng tôi xác định c \ u003d 316 và k \ u003d 7. Chúng tôi tính toán số tiền bằng cách sử dụng bảng. 4 (Bảng 4).

Sử dụng các công thức, chúng tôi tính giá trị trung bình cộng và độ phân tán 227,8

å - 237 2637,9 - 28508,3

Trung vị được tìm theo công thức: Me =.

Nhiệm vụ 3.2.

Sử dụng công thức, chúng tôi tìm thấy các ước tính không chệch của phương sai và độ lệch chuẩn:

n = 73, S-2 = 5,8143, S2 = 73/72 × 5,8143 = 5,8951, S == 2,43.

Đối với mẫu B, chúng tôi có

393,92, = 177,47, n = 237, S 2 = 237/236 × 177,47 = 178,222, S = 13,35.

Các ước lượng không chệch cho cột đầu tiên của mẫu B được thu thập theo cách tương tự (nếu mẫu này chứa ít phần tử lặp lại, chuỗi biến thể có thể được bỏ qua).

Từ cái bình mà họ đang ở bóng, bao gồm đen trắng, vô tình lôi ra những quả bóng. Xác suất để trong số họ sẽ có bóng trắng đen?

Ví dụ 1. Trong bình thứ nhất: ba quả bóng đỏ, một bi trắng. Trong lọ thứ hai: một quả bóng đỏ, ba quả bóng trắng. Một đồng xu được ném ngẫu nhiên: nếu quốc huy được chọn từ chiếc bình đầu tiên, ngược lại, từ chiếc thứ hai.
Quyết định:
a) xác suất để rút được một quả bóng màu đỏ
A - có một quả bóng màu đỏ
P 1 - quốc huy rơi ra, P 2 - ngược lại

b) Một quả bóng màu đỏ được chọn. Tìm xác suất để nó được lấy ra từ bình thứ nhất, từ bình thứ hai.
B 1 - từ bình thứ nhất, B 2 - từ bình thứ hai
,

Ví dụ 2. Có 4 quả bóng trong một hộp. Có thể là: chỉ trắng, chỉ đen hoặc trắng và đen. (Chưa rõ thành phần).
Quyết định:
A là xác suất xuất hiện bóng trắng
a) Tất cả người da trắng:
(xác suất mà một trong ba tùy chọn có màu trắng bị bắt)
(xác suất xuất hiện một quả bóng trắng trong đó tất cả đều màu trắng)

b) Kéo ra nơi mọi người đều là người da đen



c) đưa ra một biến thể trong đó tất cả đều có màu trắng hoặc / và đen

- ít nhất một trong số chúng có màu trắng

P a + P b + P c =

Ví dụ 3. Một bình đựng 5 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen. 2 quả bóng được lấy ra liên tiếp. Tìm xác suất để cả hai bi đều màu trắng.
Quyết định:
5 quả bóng trắng, 4 quả bóng đen
P (A 1) - vẽ một quả bóng màu trắng

P (A 2) là xác suất để quả cầu thứ hai cũng màu trắng

P (A) - Các quả bóng trắng được chọn liên tiếp

Ví dụ 3a. Có 2 tờ tiền giả và 8 tờ tiền thật trong một gói. 2 tờ tiền liên tiếp được rút ra khỏi gói. Tìm xác suất cả hai đều sai.
Quyết định:
P (2) = 2/10 * 1/9 = 1/45 = 0,022

Ví dụ 4. Có 10 cái lọ. 9 bình đựng 2 bi đen và 2 bi trắng. Có 5 lòng trắng và 1 màu đen trong 1 lọ. Một quả bóng được rút ra từ một chiếc bình lấy ngẫu nhiên.
Quyết định:
P (A) -? người ta lấy ra một quả cầu màu trắng từ một cái lọ đựng 5 quả bóng màu trắng.
B - xác suất lấy ra khỏi bình, trong đó 5 chiếc màu trắng
, - lấy ra từ những người khác
C 1 - xác suất xuất hiện bóng trắng ở cấp 9.

C 2 - xác suất xuất hiện một quả bóng trắng, trong đó có 5 quả bóng

P (A 0) = P (B 1) P (C 1) + P (B 2) P (C 2)

Ví dụ 5. 20 con lăn hình trụ và 15 con lăn hình nón. Người nhặt lấy 1 con lăn và sau đó là một con khác.
Quyết định:
a) cả hai con lăn đều có dạng hình trụ
P (C 1) =; P (C 2) =
C 1 - hình trụ thứ nhất, C 2 - hình trụ thứ hai
P (A) = P (C 1) P (C 2) =
b) Ít nhất một hình trụ
K 1 - hình nón thứ nhất.
K 2 - hình nón thứ hai.
P (B) = P (C 1) P (K 2) + P (C 2) P (K 1) + P (C 1) P (C 2)
;

c) hình trụ thứ nhất, và hình trụ thứ hai thì không
P (C) = P (C 1) P (K 2)

e) Không phải là hình trụ đơn.
P (D) = P (K 1) P (K 2)

e) Đúng 1 xi lanh
P (E) = P (C 1) P (K 2) + P (K 1) P (K 2)

Ví dụ 6. Có 10 bộ phận tiêu chuẩn và 5 bộ phận bị lỗi trong một hộp.
Ba mảnh được rút ra một cách ngẫu nhiên.
a) Một trong số chúng bị lỗi
P n (K) = C n k p k q n-k,
P là xác suất sản phẩm bị lỗi

q là xác suất của các bộ phận tiêu chuẩn

n = 3, ba phần


b) hai trong ba phần bị khuyết tật P (2)
c) ít nhất một tiêu chuẩn
P (0) - không bị lỗi

P = P (0) + P (1) + P (2) - xác suất để ít nhất một bộ phận đạt tiêu chuẩn

Ví dụ 7. Bình thứ nhất chứa 3 quả bóng trắng và 3 quả bóng đen, và bình thứ hai chứa 3 quả bóng trắng và 4 quả bóng đen. Người ta chuyển 2 viên bi từ bình thứ nhất sang bình thứ 2 mà không cần nhìn, rồi từ bình thứ 2 rút ra 2 bi. Xác suất để chúng có màu khác nhau là bao nhiêu?
Quyết định:
Khi chuyển các quả bóng từ bình thứ nhất, có thể có các tùy chọn sau:
a) 2 bi trắng được rút ra liên tiếp
P WB 1 =
Sẽ luôn ít hơn một quả bóng trong bước thứ hai, vì một quả bóng đã được lấy ra ở bước đầu tiên.
b) một quả bóng trắng và một quả bóng đen được rút ra
Tình huống khi quả bóng trắng được rút ra trước, sau đó là quả bóng đen
P BC =
Tình huống khi quả bóng đen được rút ra trước, sau đó là quả bóng trắng
P BW =
Tổng: P CU 1 =
c) 2 bi đen được rút ra liên tiếp
P HH 1 =
Vì đã chuyển 2 viên bi từ bình thứ nhất sang bình thứ hai nên tổng số bi trong bình thứ hai là 9 (7 + 2). Theo đó, chúng tôi sẽ tìm kiếm tất cả các tùy chọn có thể có:
a) Đầu tiên một quả bóng màu trắng và sau đó một quả bóng đen được rút ra từ chiếc bình thứ hai

P BC 2 P BB 1 - nghĩa là xác suất để đầu tiên một quả bóng trắng được rút ra, sau đó một quả bóng đen, với điều kiện là 2 quả bóng trắng được rút ra từ chiếc bình đầu tiên liên tiếp. Đó là lý do tại sao số quả bóng trắng trong trường hợp này là 5 (3 + 2).
P BC 2 P BC 1 - nghĩa là xác suất để một quả bóng trắng được rút ra trước, sau đó một quả bóng đen, với điều kiện là các quả bóng trắng và đen được rút ra từ chiếc bình đầu tiên. Đó là lý do tại sao số quả bóng trắng trong trường hợp này là 4 (3 + 1), và số quả bóng đen là năm (4 + 1).
P BC 2 P BC 1 - nghĩa là xác suất để đầu tiên lấy ra bi trắng, sau đó là bi đen, với điều kiện liên tiếp cả hai bi đen được lấy ra từ bình thứ nhất. Đó là lý do tại sao số quả bóng đen trong trường hợp này là 6 (4 + 2).

Xác suất để 2 bi rút ra có các màu khác nhau bằng:

Đáp số: P = 0,54

Ví dụ 7a. Từ bình thứ nhất chứa 5 bi trắng và 3 bi đen, người ta chuyển ngẫu nhiên 2 bi sang bình thứ 2 chứa 2 bi trắng và 6 bi đen. Sau đó, 1 bi được rút ngẫu nhiên từ bình thứ 2.
1) Tính xác suất để bi rút ra từ bình 2 có màu trắng là bao nhiêu?
2) Quả bóng được lấy ra từ bình thứ 2 có màu trắng. Tính xác suất để các viên bi có màu sắc khác nhau được chuyển từ bình 1 sang bình 2.
Quyết định.
1) Sự kiện A - quả bóng lấy ra từ bình thứ 2 chuyển sang màu trắng. Hãy xem xét các tùy chọn sau đây để xảy ra sự kiện này.
a) Người ta đặt hai bi trắng từ bình thứ nhất vào bình thứ hai: P1 (bb) = 5/8 * 4/7 = 20/56.
Có 4 quả cầu màu trắng trong lọ thứ hai. Khi đó xác suất để lấy được bi trắng từ bình thứ hai là P2 (4) = 20/56 * (2 + 2) / (6 + 2) = 80/448
b) Người ta xếp các viên bi trắng và đen từ bình thứ nhất vào bình thứ hai: P1 (bc) = 5/8 * 3/7 + 3/8 * 5/7 = 30/56.
Có 3 quả cầu màu trắng trong lọ thứ hai. Khi đó xác suất để lấy được bi trắng từ bình thứ hai là P2 (3) = 30/56 * (2 + 1) / (6 + 2) = 90/448
c) Người ta đặt hai bi đen từ bình thứ nhất vào bình thứ hai: P1 (hh) = 3/8 * 2/7 = 6/56.
Có 2 quả cầu màu trắng trong lọ thứ hai. Khi đó xác suất để lấy được bi trắng từ bình thứ hai là P2 (2) = 6/56 * 2 / (6 + 2) = 12/448
Khi đó xác suất để bi rút ra từ bình thứ 2 có màu trắng bằng:
P (A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) Quả bóng được rút ra từ chiếc bình thứ 2 có màu trắng, tức là tổng xác suất là P (A) = 13/32.
Xác suất để các viên bi có các màu khác nhau (đen và trắng) được chuyển vào chiếc bình thứ hai và màu trắng được chọn là: P2 (3) = 30/56 * (2 + 1) / (6 + 2) = 90/448
P = P2 (3) / P (A) = 90/488/13/32 = 45/91

Ví dụ 7b. Bình thứ nhất đựng 8 quả bóng trắng và 3 quả bóng đen, bình thứ hai đựng 5 quả bóng trắng và 3 quả bóng đen. Một quả bóng được chọn ngẫu nhiên từ quả đầu tiên và hai quả bóng từ quả thứ hai. Sau đó, một viên bi được lấy ngẫu nhiên từ ba viên bi đã chọn. Quả bóng cuối cùng này hóa ra là màu đen. Tìm xác suất để một viên bi trắng được chọn từ chiếc lọ thứ nhất.
Quyết định.
Hãy xem xét tất cả các biến thể của biến cố A - trong số ba quả bóng, quả bóng được rút ra có màu đen. Làm thế nào nó có thể xảy ra rằng trong số ba quả bóng có màu đen?
a) Một quả bóng đen được lấy ra từ chiếc bình thứ nhất và hai quả bóng màu trắng được lấy từ chiếc bình thứ hai.
P1 = (3/11) (5/8 * 4/7) = 15/154
b) Một bi đen được lấy ra từ bình thứ nhất và hai bi đen được lấy từ bình thứ hai.
P2 = (3/11) (3/8 * 2/7) = 9/308
c) Một quả bóng đen được lấy ra từ chiếc bình thứ nhất, và một quả bóng trắng và một quả bóng đen được lấy từ chiếc bình thứ hai.
P3 = (3/11) (3/8 * 5/7 + 5/8 * 3/7) = 45/308
d) Một bi trắng được lấy từ bình thứ nhất và hai bi đen được lấy từ bình thứ hai.
P4 = (8/11) (3/8 * 2/7) = 6/77
e) Bình thứ nhất lấy ra một viên bi trắng, lấy ra từ bình thứ hai một bi trắng và một bi đen.
P5 = (8/11) (3/8 * 5/7 + 5/8 * 3/7) = 30/77
Tổng xác suất là: P = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 15/154 + 9/308 + 45/308 + 6/77 + 30/77 = 57/77
Xác suất để một quả cầu màu trắng được chọn từ một chiếc bình màu trắng là:
Pb (1) = P4 + P5 = 6/77 + 30/77 = 36/77
Khi đó xác suất để một quả bóng trắng được chọn từ chiếc bình thứ nhất, với điều kiện là một quả bóng màu đen được chọn từ ba quả bóng, bằng:
Pch \ u003d Pb (1) / P \ u003d 36/77/57/77 \ u003d 36/57

Ví dụ 7c. Bình thứ nhất chứa 12 quả trắng và 16 quả đen, bình thứ hai chứa 8 quả trắng và 10 quả đen. Đồng thời, một quả bóng được rút ra từ bình thứ nhất và thứ hai, trộn lẫn và trả lại từng quả một cho mỗi bình. Sau đó, một quả bóng được rút ra từ mỗi bình. Hóa ra chúng có cùng màu. Xác định xác suất để trong bình 1 còn lại bao nhiêu bi trắng như lúc đầu.

Quyết định.
Sự kiện A - đồng thời, một quả bóng được rút ra từ bình thứ nhất và thứ hai.
Xác suất để lấy được bi trắng từ bình thứ nhất: P1 (B) = 12 / (12 + 16) = 12/28 = 3/7
Xác suất để lấy được bi đen từ bình thứ nhất: P1 (H) = 16 / (12 + 16) = 16/28 = 4/7
Xác suất để lấy được bi trắng từ bình thứ hai: P2 (B) = 8/18 = 4/9
Xác suất để lấy được bi đen từ bình thứ hai: P2 (H) = 10/18 = 5/9

Sự kiện A đã xảy ra. Sự kiện B - một quả bóng được rút ra từ mỗi bình. Sau khi xáo trộn, xác suất để quả bóng trắng hoặc đen trở lại bình là ½.
Hãy xem xét các biến thể của sự kiện B - hóa ra chúng có cùng màu.

Cho chiếc lọ đầu tiên
1) một quả bóng màu trắng được đặt vào chiếc bình đầu tiên, và một quả bóng màu trắng được rút ra, với điều kiện là quả bóng màu trắng đã được rút ra trước đó, P1 (BB ​​/ A = B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) Người ta đặt một quả bóng trắng vào bình thứ nhất và một quả bóng trắng được rút ra, với điều kiện là một quả bóng đen được rút ra trước đó, P1 (BB ​​/ A = W) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) Người ta đặt một quả bóng trắng vào bình thứ nhất và một quả bóng đen được rút ra, với điều kiện là quả bóng trắng đã được rút trước đó, P1 (BC / A = B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) Người ta đặt một quả bóng màu trắng vào chiếc bình đầu tiên và một quả bóng màu đen được rút ra, với điều kiện là một quả bóng đen được rút ra trước đó, P1 (BC / A = Ch) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) Người ta đặt một quả bóng đen vào bình thứ nhất và một quả bóng trắng được rút ra, với điều kiện là quả bóng trắng đã được rút trước đó, P1 (BW / A = B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) một quả bóng đen được đặt vào chiếc bình đầu tiên và một quả bóng màu trắng được rút ra, với điều kiện là quả bóng đen đã được rút trước đó, P1 (BW / A = W) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) Người ta đặt một quả bóng đen vào chiếc bình đầu tiên, và một quả bóng đen được rút ra, với điều kiện là quả bóng trắng đã được rút trước đó, P1 (HH / A = B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) Người ta đặt một quả bóng đen vào bình thứ nhất, và một quả bóng đen được rút ra, với điều kiện là quả bóng đen được rút ra trước đó, P1 (HH / A = H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49

Đối với bình thứ hai
1) một quả bóng màu trắng được đặt vào chiếc bình đầu tiên và một quả bóng màu trắng được rút ra, với điều kiện là quả bóng màu trắng đã được rút ra trước đó, P1 (BB ​​/ A = B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) Người ta đặt một quả bóng trắng vào bình thứ nhất, và một quả bóng trắng được rút ra, với điều kiện là một quả bóng đen được rút ra trước đó, P1 (BB ​​/ A = W) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) Người ta đặt một quả bóng màu trắng vào chiếc bình thứ nhất và một quả bóng màu đen được rút ra, với điều kiện là quả bóng màu trắng được rút ra trước đó, P1 (BC / A = B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) người ta đặt một quả bóng màu trắng vào chiếc bình đầu tiên và một quả bóng màu đen được rút ra, với điều kiện là một quả bóng đen được rút ra trước đó, P1 (BC / A = Ch) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) Người ta đặt một quả bóng đen vào bình thứ nhất và một quả bóng trắng được rút ra, với điều kiện là quả bóng trắng đã được rút trước đó, P1 (BW / A = B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) một quả bóng đen được đặt vào chiếc bình đầu tiên và một quả bóng màu trắng được rút ra, với điều kiện là quả bóng đen đã được rút trước đó, P1 (BW / A = W) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/63
7) Người ta đặt một quả bóng đen vào chiếc bình đầu tiên, và một quả bóng đen được rút ra, với điều kiện là quả bóng trắng đã được rút trước đó, P1 (HH / A = B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) Người ta đặt một quả bóng đen vào chiếc bình đầu tiên, và một quả bóng đen được rút ra, với điều kiện là quả bóng đen được rút ra trước đó, P1 (HH / A = H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

Các quả bóng hóa ra có cùng màu:
a) trắng
P1 (B) = P1 (BB ​​/ A = B) + P1 (BB ​​/ A = B) + P1 (BW / A = B) + P1 (BW / A = B) = 9/98 + 13/98 + 33 / 392 + 6/49 = 169/392
P2 (B) = P1 (BB ​​/ A = B) + P1 (BB ​​/ A = B) + P1 (BW / A = B) + P1 (BW / A = B) = 2/21 + 1/7 + 1 / 12 + 8/63 = 113/252
b) đen
P1 (H) = P1 (BH / A = B) + P1 (BH / A = B) + P1 (BH / A = B) + P1 (BH / A = B) = 6/49 + 15/98 + 51 / 392 + 8/49 = 223/392
P2 (H) = P1 (WB / A = B) + P1 (BH / A = B) + P1 (BH / A = B) + P1 (BH / A = B) = 5/42 + 1/7 + 11 / 84 + 10/63 = 139/252

P = P1 (B) * P2 (B) + P1 (H) * P2 (H) = 169/392 * 113/252 + 223/392 * 139/252 = 5/42

Ví dụ 7g. Hộp thứ nhất chứa 5 quả bóng màu trắng và 4 quả bóng màu xanh, hộp thứ hai 3 và 1, và thứ ba 4 và 5, tương ứng. Một hộp được chọn ngẫu nhiên và một quả bóng được rút ra từ nó có màu xanh lam. Xác suất để bi này lấy từ hộp thứ hai là bao nhiêu?

Quyết định.
A - sự kiện khai thác bong bóng xanh. Xem xét tất cả các lựa chọn cho kết quả của một sự kiện như vậy.
H1 - quả bóng được rút ra từ hộp đầu tiên,
H2 - quả bóng được rút ra từ hộp thứ hai,
H3 - quả bóng được rút ra từ hộp thứ ba.
P (H1) = P (H2) = P (H3) = 1/3
Theo điều kiện của bài toán, các xác suất có điều kiện của biến cố A là:
P (A | H1) = 4 / (5 + 4) = 4/9
P (A | H2) = 1 / (3 + 1) = 1/4
P (A | H3) = 5 / (4 + 5) = 5/9
P (A) = P (H1) * P (A | H1) + P (H2) * P (A | H2) + P (H3) * P (A | H3) = 1/3 * 4/9 + 1 / 3 * 1/4 + 1/3 * 5/9 = 5/12
Xác suất để bi này lấy từ hộp thứ hai là:
P2 = P (H2) * P (A | H2) / P (A) = 1/3 * 1/4 / 5/12 = 1/5 = 0,2

Ví dụ 8. Năm hộp có 30 viên bi, mỗi hộp chứa 5 viên bi đỏ (đây là hộp cấu tạo H1), sáu hộp khác có 20 viên bi, mỗi hộp chứa 4 viên bi đỏ (đây là hộp cấu tạo H2). Tìm xác suất để một bi đỏ được rút ra ngẫu nhiên được đựng trong một trong năm hộp đầu tiên.
Lời giải: Nhiệm vụ của việc áp dụng công thức xác suất toàn phần.

Xác suất mà không tí nào quả bóng lấy được đựng trong một trong năm hộp đầu tiên:
P (H 1) = 5/11
Xác suất mà không tí nào Quả bóng đã lấy được đựng trong một trong sáu hộp:
P (H 2) = 6/11
Sự kiện đã xảy ra - một quả bóng màu đỏ được rút ra. Do đó, điều này có thể xảy ra trong hai trường hợp:
a) được kéo ra khỏi năm hộp đầu tiên.
P 5 = 5 quả bóng đỏ * 5 hộp / (30 quả bóng * 5 hộp) = 1/6
P (P 5 / H 1) \ u003d 1/6 * 5/11 \ u003d 5/66
b) được kéo ra từ sáu hộp khác.
P 6 = 4 quả bóng đỏ * 6 hộp / (20 quả bóng * 6 hộp) = 1/5
P (P 6 / H 2) \ u003d 1/5 * 6/11 \ u003d 6/55
Tổng: P (P 5 / H 1) + P (P 6 / H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Do đó, xác suất để một bi đỏ được rút ra ngẫu nhiên có trong một trong năm hộp đầu tiên là:
P k.sh. (H1) = P (P 5 / H 1) / (P (P 5 / H 1) + P (P 6 / H 2)) = 5/66/61/330 = 25/61

Ví dụ 9. Một bình đựng 2 bi trắng, 3 bi đen và 4 bi đỏ. Ba quả bóng được rút ra một cách ngẫu nhiên. Xác suất để có ít nhất hai quả bóng cùng màu là bao nhiêu?
Quyết định. Có ba kết quả có thể xảy ra của các sự kiện:
a) Trong số ba quả bóng được rút ra, có ít nhất hai quả bóng màu trắng.
P b (2) = P 2b
Tổng số kết quả cơ bản có thể xảy ra cho các thử nghiệm này bằng số cách rút ra 3 quả bóng trong số 9 quả bóng:

Tìm xác suất để 2 trong 3 bi trắng.

Số lượng tùy chọn để chọn trong 2 quả bóng trắng:

Số phương án để chọn từ 7 quả bóng khác quả bóng thứ ba:

b) Trong số ba quả bóng được rút ra, có ít nhất hai quả bóng đen (tức là 2 quả bóng đen hoặc 3 quả bóng đen).
Tìm xác suất để 2 trong 3 quả bóng có màu đen.

Số lượng tùy chọn để lựa chọn trong 3 quả bóng đen:

Số cách chọn trong số 6 quả bóng khác của một quả bóng:


P 2h = 0,214
Tìm xác suất để tất cả các bi được chọn đều có màu đen.

P h (2) = 0,214 + 0,0119 = 0,2259

c) trong số ba quả bóng được rút ra, có ít nhất hai quả bóng màu đỏ (tức là 2 quả bóng đỏ hoặc 3 quả bóng đỏ).
Hãy tìm xác suất để trong 3 viên bi được chọn có 2 viên màu đỏ.

Số lượng tùy chọn để lựa chọn trong 4 quả bóng đen:

Số cách chọn trong 5 bi trắng còn lại 1 bi trắng:


Tìm xác suất để tất cả các bi được chọn đều có màu đỏ.

P thành (2) = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Khi đó xác suất để có ít nhất hai quả bóng cùng màu là: P = P b (2) + P h (2) + P c (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138

Ví dụ 10. Bình thứ nhất đựng 10 quả bóng, trong đó có 7 quả bóng màu trắng; Bình thứ hai chứa 20 quả bóng, trong đó có 5 quả bóng màu trắng. Một quả bóng được rút ngẫu nhiên từ mỗi bình, và sau đó một quả bóng được rút ngẫu nhiên từ hai quả bóng này. Tìm xác suất để một bi trắng được rút ra.
Quyết định. Xác suất để một viên bi trắng được lấy ra từ chiếc bình thứ nhất là P (b) 1 = 7/10. Theo đó, xác suất rút được bi đen là P (h) 1 = 3/10.
Xác suất để một bi trắng được lấy ra từ chiếc bình thứ hai là P (b) 2 = 5/20 = 1/4. Theo đó, xác suất để rút được bi đen là P (h) 2 = 15/20 = 3/4.
Sự kiện A - một quả bóng trắng được lấy từ hai quả bóng
Xem xét kết quả của sự kiện A.

1. Một quả bóng trắng được lấy ra từ chiếc lọ thứ nhất và một quả bóng màu trắng được lấy từ chiếc lọ thứ hai. Sau đó, một quả bóng màu trắng được rút ra từ hai quả bóng này. P1 = 7/10 * 1/4 = 7/40
2. Một quả bóng màu trắng được rút ra từ chiếc lọ thứ nhất và một quả bóng màu đen được lấy từ chiếc lọ thứ hai. Sau đó, một quả bóng màu trắng được rút ra từ hai quả bóng này. P2 = 7/10 * 3/4 ​​= 21/40
3. Một quả bóng đen được lấy ra từ chiếc lọ thứ nhất và một quả bóng màu trắng được lấy từ chiếc lọ thứ hai. Sau đó, một quả bóng màu trắng được rút ra từ hai quả bóng này. P3 = 3/10 * 1/4 = 3/40

Vậy xác suất có thể tìm là tổng các xác suất trên.
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40

Ví dụ 11. Có n quả bóng tennis trong một hộp. Trong số họ đã chơi m. Đối với trò chơi đầu tiên, họ lấy ngẫu nhiên hai quả bóng và đặt chúng lại sau trò chơi. Trong ván thứ hai, họ cũng lấy ngẫu nhiên hai quả bóng. Xác suất để ván thứ hai được chơi với những quả bóng mới là bao nhiêu?
Quyết định. Xét sự kiện A - trò chơi được chơi lần thứ hai với những quả bóng mới. Hãy xem những sự kiện nào có thể dẫn đến điều này.
Ký hiệu bằng g = n-m, số viên bi mới trước khi kéo ra.
a) Hai quả bóng mới được rút ra cho trò chơi đầu tiên.
P1 = g / n * (g-1) / (n-1) = g (g-1) / (n (n-1))
b) trong trò chơi đầu tiên, họ rút ra một quả bóng mới và một quả bóng đã chơi.
P2 = g / n * m / (n-1) + m / n * g / (n-1) = 2mg / (n (n-1))
c) trong trò chơi đầu tiên, hai quả bóng đã chơi được lấy ra.
P3 = m / n * (m-1) / (n-1) = m (m-1) / (n (n-1))

Hãy xem xét các sự kiện của trò chơi thứ hai.
a) Hai quả bóng mới được rút ra, với điều kiện P1: vì các quả bóng mới đã được rút ra cho trò chơi đầu tiên, sau đó cho trò chơi thứ hai số lượng của chúng giảm đi 2 g-2.
P (A / P1) = (g-2) / n * (g-2-1) / (n-1) * P1 = (g-2) / n * (g-2-1) / (n- 1) * g (g-1) / (n (n-1))
b) Hai quả bóng mới được rút ra, theo điều kiện P2: vì một quả bóng mới đã được rút ra trong ván đầu tiên, thì ở ván thứ hai, số lượng của chúng giảm đi 1 g-1.
P (A / P2) = (g-1) / n * (g-2) / (n-1) * P2 = (g-1) / n * (g-2) / (n-1) * 2mg / (n (n-1))
c) Họ lấy ra hai quả bóng mới, với điều kiện P3: vì không có quả bóng mới nào được sử dụng trong ván đầu tiên nên số của chúng không thay đổi trong ván thứ hai g.
P (A / P3) = g / n * (g-1) / (n-1) * P3 = g / n * (g-1) / (n-1) * m (m-1) / (n (n-1))

Tổng xác suất P (A) = P (A / P1) + P (A / P2) + P (A / P3) = (g-2) / n * (g-2-1) / (n-1) * g (g-1) / (n (n-1)) + (g-1) / n * (g-2) / (n-1) * 2mg / (n (n-1)) + g / n * (g-1) / (n-1) * m (m-1) / (n (n-1)) = (n-2) (n-3) (n-m-1) (n-m) / (( n-1) ^ 2 * n ^ 2)
Đáp số: P (A) = (n-2) (n-3) (n-m-1) (n-m) / ((n-1) ^ 2 * n ^ 2)

Ví dụ 12. Các hộp thứ nhất, thứ hai và thứ ba mỗi hộp chứa 2 bi trắng và 3 bi đen, các hộp thứ tư và thứ năm mỗi hộp chứa 1 bi trắng và 1 bi đen. Một hộp được chọn ngẫu nhiên và một quả bóng được rút ra từ hộp đó. Xác suất có điều kiện để hộp thứ tư hoặc thứ năm được chọn nếu quả bóng được rút ra là màu trắng?
Quyết định.
Xác suất chọn được mỗi hộp là P (H) = 1/5.
Hãy xem xét các xác suất có điều kiện của sự kiện A - vẽ một quả bóng màu trắng.
P (A | H = 1) = 2/5
P (A | H = 2) = 2/5
P (A | H = 3) = 2/5
P (A | H = 4) = ½
P (A | H = 5) = ½
Tổng xác suất để rút được một quả bóng trắng:
P (A) = 2/5 * 1/5 + 2/5 * 1/5 + 2/5 * 1/5 + 1/2 * 1/5 + 1/2 * 1/5 = 0,44
Xác suất có điều kiện để hộp thứ tư được chọn
P (H = 4 | A) = 1/2 * 1/5 / 0,44 = 0,2273
Xác suất có điều kiện để hộp thứ năm được chọn
P (H = 5 | A) = 1/2 * 1/5 / 0,44 = 0,2273
Vì vậy, xác suất có điều kiện để hộp thứ tư hoặc thứ năm được chọn là
P (H = 4, H = 5 | A) = 0,2273 + 0,2273 = 0,4546

Ví dụ 13. Một bình đựng 7 quả cầu trắng và 4 bi đỏ. Sau đó, một quả bóng khác màu trắng hoặc đỏ hoặc đen được đặt vào trong bình và sau khi trộn một quả bóng được lấy ra. Anh ấy hóa ra là màu đỏ. Xác suất để a) một quả bóng màu đỏ được đặt là bao nhiêu? b) bóng đen?
Quyết định.
a) quả bóng màu đỏ
Sự kiện A - một quả bóng màu đỏ được rút ra. Sự kiện H - đặt một quả bóng màu đỏ. Xác suất để một quả cầu màu đỏ được đặt trong bình P (H = K) = 1/3
Khi đó P (A | H = K) = 1/3 * 5/12 = 5/36 = 0,139
b) bóng đen
Sự kiện A - một quả bóng màu đỏ được rút ra. Sự kiện H - đặt một quả bóng màu đen.
Xác suất để một quả cầu đen được đặt trong bình là P (H = H) = 1/3
Khi đó P (A | H = H) = 1/3 * 4/12 = 1/9 = 0,111

Ví dụ 14. Có hai bình đựng bóng. Một người có 10 quả bóng màu đỏ và 5 quả bóng màu xanh, người kia có 5 quả bóng màu đỏ và 7 quả bóng màu xanh. Xác suất để một bi đỏ được rút ngẫu nhiên từ bình thứ nhất và bi xanh từ bình thứ hai là bao nhiêu?
Quyết định. Cho biến cố A1 - một quả bóng màu đỏ được lấy ra từ chiếc bình thứ nhất; A2 - một quả bóng màu xanh lam được lấy ra từ chiếc bình thứ hai:
,
Các sự kiện A1 và A2 là độc lập. Xác suất xuất hiện chung của các sự kiện A1 và A2 bằng

Ví dụ 15. Có một bộ bài (36 miếng). Hai thẻ được rút ra một cách ngẫu nhiên. Xác suất để cả hai thẻ rút ra đều có màu đỏ?
Quyết định. Gọi sự kiện A 1 là lá bài rút ra đầu tiên của quân bài màu đỏ. Sự kiện A 2 - lá bài thứ hai được rút ra của bộ đồ màu đỏ. B - cả hai quân bài màu đỏ được rút ra. Vì cả biến cố A 1 và biến cố A 2 đều phải xảy ra nên B = A 1 · A 2. Các sự kiện A 1 và A 2 phụ thuộc, do đó P (B):
,
Từ đây

Ví dụ 16. Hai bình đựng các quả bóng chỉ khác nhau về màu sắc, trong bình thứ nhất có 5 quả bóng màu trắng, 11 quả bóng đen và 8 quả bóng màu đỏ, và trong bình thứ hai lần lượt có 10 quả bóng màu 8, 6 quả bóng màu đỏ. Một quả bóng được rút ngẫu nhiên từ cả hai bình. Xác suất để cả hai quả bóng cùng màu là bao nhiêu?
Quyết định.Đặt chỉ số 1 có nghĩa là màu trắng, chỉ số 2 màu đen; 3 - màu đỏ. Giả sử biến cố A i - một quả cầu có màu thứ i được lấy ra từ chiếc lọ thứ nhất; sự kiện B j - một quả cầu màu thứ j được lấy từ bình thứ hai; sự kiện A - cả hai quả bóng cùng màu.
A \ u003d A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3. Các sự kiện A i và B j là độc lập, trong khi A i · B i và A j · B j không tương thích với i ≠ j. Vì thế,
P (A) = P (A 1) P (B 1) + P (A 2) P (B 2) + P (A 3) P (B 3) =

Ví dụ 17. Người ta rút lần lượt từ một cái bình có 3 bi trắng và 2 bi đen cho đến khi xuất hiện màu đen. Xác suất để 3 bi được rút ra từ bình là bao nhiêu? 5 quả bóng?
Quyết định.
1) xác suất để 3 quả bóng được rút ra từ bình (tức là quả bóng thứ ba sẽ có màu đen và hai quả bóng đầu tiên sẽ có màu trắng).
P = 3/5 * 2/4 * 2/3 = 1/5
2) xác suất để 5 quả bóng được rút ra từ bình
một tình huống như vậy là không thể, bởi vì chỉ có 3 quả bóng màu trắng.
P = 0

Định nghĩa cổ điển về xác suất rút gọn khái niệm xác suất thành khái niệm về khả năng tương đương (khả năng xảy ra ngang nhau) của các sự kiện, được coi là sự kiện chính và không phải là đối tượng của một định nghĩa chính thức. Định nghĩa này có thể áp dụng trong trường hợp có thể chỉ ra một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích và có khả năng xảy ra như nhau - các kết quả cơ bản. Ví dụ, hãy xem xét một chiếc bình đựng các quả bóng.

Cho một bình đựng 7 quả bóng giống nhau, được trộn cẩn thận, trong đó có 2 quả bóng màu đỏ, 1 quả bóng xanh lam và 4 quả bóng màu trắng. Bài kiểm tra sẽ bao gồm thực tế là một quả bóng được lấy ngẫu nhiên từ bình đựng. Mỗi sự kiện có thể xảy ra trong thử nghiệm đang diễn ra là một kết quả cơ bản. Trong ví dụ này, bảy kết quả cơ bản, mà chúng tôi sẽ biểu thị E 1 , E 2 ,..., E 7. kết quả E 1 , E 2 - sự xuất hiện của một quả bóng màu đỏ, E 3 - sự xuất hiện của một quả bóng màu xanh lam, E 4 , E 5 , E 6 , E 7 - sự xuất hiện của một quả bóng màu trắng. Trong ví dụ của chúng tôi, các sự kiện E 1 , E 2 ,... E 7 - không tương thích theo cặp. Ngoài ra, chúng cũng có khả năng như nhau trong bài kiểm tra này. Hãy để sự kiện NHƯNG là một quả bóng được lấy ngẫu nhiên từ cái lọ hóa ra có màu (đỏ hoặc xanh).

Những kết quả cơ bản trong đó sự kiện mà chúng ta quan tâm NHƯNGđến, được gọi là kết quả thuận lợi Sự kiện NHƯNG. Trong ví dụ của chúng tôi, kết quả nghiêng về sự kiện NHƯNG, là kết quả E 1 , E 2 và E 3. Hợp lý như một thước đo khả năng xảy ra một sự kiện NHƯNG, nghĩa là, các xác suất R(NHƯNG), chấp nhận một con số bằng với tỷ lệ kết quả có lợi cho sự xuất hiện của sự kiện NHƯNG, cho tất cả các kết quả có thể có. Trong ví dụ của chúng tôi

R Ví dụ trên đã dẫn chúng ta đến định nghĩa xác suất, thường được gọi là kinh điển .

Xác suất của một sự kiện NHƯNGđược gọi là tỷ số của số m kết quả thuận lợi cho sự kiện này với tổng số N tất cả các kết quả cơ bản:

R(NHƯNG) = . (1.4.4)

Định nghĩa cổ điển của xác suất đóng vai trò như một mô hình toán học tốt của các thí nghiệm ngẫu nhiên đó, số lượng kết quả của chúng là hữu hạn và bản thân các kết quả đều có khả năng xảy ra như nhau.

VÍ DỤ 2. Một con xúc xắc được ném ra. Tìm xác suất để được không quá bốn điểm.

Quyết định. Tổng số kết quả sơ cấp N= 6 (có thể cuộn 1, 2, 3, 4, 5, 6). Trong số những kết quả này có lợi cho sự kiện NHƯNG(không quá bốn điểm sẽ giảm) chỉ có bốn kết quả m= 4. Do đó, xác suất mong muốn

VÍ DỤ 3. Xác suất để đoán 4 số bằng cách điền vào thẻ xổ số thể thao "6" trong số "49" là bao nhiêu?

Quyết định. Tổng số kết quả cơ bản của kinh nghiệm bằng số cách gạch bỏ 6 số trong số 49, nghĩa là N = C. Tìm số lượng kết quả có lợi cho sự kiện mà chúng tôi quan tâm
NHƯNG= (Dự đoán 4 số), có thể gạch bỏ 4 số trong số 6 số trúng thưởng C cách, trong khi hai số còn lại không được trúng thưởng. Bạn có thể gạch bỏ 2 số sai trong số 43 số không trúng thưởng C các cách. Do đó, số lượng các kết quả thuận lợi m = C× C. Có tính đến rằng tất cả các kết quả của thử nghiệm đều không tương thích và có thể xảy ra như nhau, chúng tôi tìm xác suất mong muốn bằng cách sử dụng công thức xác suất cổ điển:

P (A) =

VÍ DỤ 4. Một số điện thoại được chọn ngẫu nhiên gồm 5 chữ số. Xác suất lớn bao nhiêu để trong đó: 1) tất cả các số đều khác nhau; 2) có phải là tất cả các số lẻ?

Quyết định. 1. Vì mỗi vị trí trong số năm chữ số của số có năm chữ số có thể chứa bất kỳ số nào trong số các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, nên tất cả các số có năm chữ số khác nhau sẽ là 10 5 (00000 - 1 -th, 00001 - 2, 00002 -3, ..., 99998 - 99999, và cuối cùng là 99999 - 100000). Các số trong đó tất cả các số khác nhau là vị trí của 10 phần tử của 5.

Công thức cho số vị trí từ N các yếu tố của k:

K! == n (n - 1) ... (n - k + 1).

Do đó, số lượng các trường hợp thuận lợi m= = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 và xác suất mong muốn

P (A) = = 0,3024.

2. Từ 5 số lẻ (1, 3, 5, 7, 9) có thể lập thành 5 5 số có năm chữ số khác nhau. 5 5 là số kết quả thuận lợi m . Vì tất cả các trường hợp có thể xảy ra như nhau n = 10 5 , thì xác suất mong muốn

P (A) ==== 0,03125.

VÍ DỤ 5. Một bộ bài đầy đủ (52 tờ) được chia ngẫu nhiên thành hai gói bằng nhau gồm 26 tờ. Tìm xác suất của các sự kiện sau:

NHƯNG- trong mỗi gói sẽ có hai con át chủ bài;

TẠI- trong một trong các gói sẽ không có con át, và trong gói kia - cả bốn;

Với- trong một trong các gói sẽ có một quân át, và trong gói còn lại - ba.

Quyết định. Tổng số kết quả cơ bản có thể có của bài kiểm tra bằng số cách rút được 26 lá trong số 52, tức là số kết hợp từ 52 đến 26, N=. Số sự kiện thuận lợi NHƯNG các trường hợp
m= (theo quy tắc cơ bản của tổ hợp), trong đó thừa số đầu tiên cho thấy hai con át trong số bốn con có thể được lấy theo cách, nhân tố thứ hai cho thấy 24 quân bài còn lại được lấy từ 48 quân bài không chứa con át theo cách. Xác suất mong muốn bằng tỷ lệ giữa số kết quả có lợi cho sự kiện NHƯNG, đến tổng số tất cả các kết quả:

Biến cố TẠI có thể được nhận ra theo hai cách như nhau: hoặc trong gói đầu tiên sẽ có tất cả bốn con át, và trong gói thứ hai - không có hoặc ngược lại:

Tương tự:

Lưu ý rằng định nghĩa cổ điển của xác suất được đưa ra cho trường hợp không gian của các sự kiện cơ bản là hữu hạn, và tất cả các kết quả và thử nghiệm đều có thể xảy ra và không tương thích với nhau.