Phép cộng và phép nhân xác suất có điều kiện. Định lý cộng cho xác suất của các sự kiện không tương thích

Xác suất của một sự kiện A là tỷ số giữa số m kết quả thử nghiệm có lợi cho sự khởi đầu của sự kiện A trên tổng số n của tất cả các kết quả không tương thích có thể có như nhau: P (A) = m / n.

Xác suất có điều kiện của một sự kiện A (hoặc xác suất của sự kiện A, với điều kiện là sự kiện B đã xảy ra), là số P B (A) \ u003d P (AB) / P (B), trong đó A và B là hai sự kiện ngẫu nhiên của cùng một phép thử .

Tổng của một số sự kiện hữu hạn được gọi là một sự kiện bao gồm sự xuất hiện của ít nhất một trong số chúng. Tổng của hai sự kiện được ký hiệu là A + B.

Quy tắc cộng xác suất :

sự kiện chung A và B:
P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB), trong đó P (A) là xác suất của sự kiện A, P (B) là xác suất của sự kiện B, P (A + B ) là xác suất để xảy ra ít nhất một trong hai sự kiện, P (AB) là xác suất xuất hiện chung của hai sự kiện.
quy tắc bổ sung sự kiện không tương thích A và B:
P (A + B) = P (A) + P (B), trong đó P (A) là xác suất của sự kiện A, P (B) là xác suất của sự kiện B.

Sản phẩm của một số lượng hữu hạn các sự kiện được gọi là một sự kiện bao gồm thực tế là mỗi sự kiện sẽ xảy ra. Tích của hai biến cố được ký hiệu là AB.

Quy tắc nhân xác suất :

sự kiện phụ thuộc A và B:
Р (АВ) = Р (А) * Р А (В) = Р (В) * Р В (А), trong đó Р А (В) là xác suất xuất hiện có điều kiện của sự kiện B, nếu sự kiện A đã xảy ra, Р В (А) là xác suất có điều kiện của sự kiện A, nếu sự kiện B đã xảy ra;
quy tắc nhân xác suất sự kiện độc lập A và B:
P (AB) = P (A) * P (B), trong đó P (A) là xác suất của sự kiện A, P (B) là xác suất của sự kiện B.

Ví dụ về giải quyết vấn đề về chủ đề “Các phép toán trên sự kiện. Quy tắc cộng và nhân các xác suất "

Nhiệm vụ 1 . Hộp chứa 250 bóng đèn, trong đó 100 bóng đèn 90W, 50 bóng 60W, 50 bóng 25W và 50 bóng đèn 15W. Xác định xác suất để công suất của bất kỳ bóng đèn nào được lấy ngẫu nhiên không vượt quá 60 oát.

Quyết định.

A \ u003d (công suất của bóng đèn là 90 W), xác suất P (A) \ u003d 100/250 \ u003d 0,4;
B \ u003d (công suất của bóng đèn là 60W);
C \ u003d (công suất của bóng đèn là 25W);
D = (công suất bóng đèn là 15W).

2. Sự kiện A, B, C, D biểu mẫu hệ thống hoàn chỉnh , vì tất cả chúng đều không tương thích và một trong số chúng chắc chắn sẽ xảy ra trong thí nghiệm này (chọn bóng đèn). Xác suất xuất hiện của một trong số chúng là một sự kiện đáng tin cậy, khi đó Р (А) + Р (В) + Р (С) + Р (D) = 1.

3. Các sự kiện (công suất bóng đèn không quá 60W) (tức là nhỏ hơn hoặc bằng 60W), và (công suất bóng đèn lớn hơn 60W) (trong trường hợp này - 90W) là ngược lại. Theo tính chất của các số đối P (B) + P (C) + P (D) = 1-P (A).

4. Cho rằng P (B) + P (C) + P (D) = P (B + C + D), ta nhận được P (B + C + D) = 1-P (A) = 1-0, 4 = 0,6.

Nhiệm vụ 2 . Xác suất bắn trúng mục tiêu của người bắn thứ nhất trong một lần bắn là 0,7 và của người bắn thứ hai - 0,9. Tìm xác suất để
a) mục tiêu sẽ bị bắn trúng chỉ bởi một người bắn;
b) mục tiêu sẽ bị bắn trúng bởi ít nhất một người bắn.

Quyết định.
1. Hãy xem xét các sự kiện sau:
А1 = (người bắn đầu tiên bắn trúng mục tiêu), Р (А1) = 0,7 so với điều kiện của bài toán;
А1 = (người bắn trượt đầu tiên), trong khi Р (А1) + Р (А̄1) = 1, vì А1 và А̄1 là các sự kiện đối lập. Do đó Р (А̄1) = 1-0,7 = 0,3;
А2 = (người bắn thứ hai bắn trúng mục tiêu), Р (А2) = 0,9 so với điều kiện của bài toán;
А2 = (người bắn trượt thứ hai), trong khi Р (А̄2) = 1-0,9 = 0,1.

2. Sự kiện A = (chỉ một người bắn trúng mục tiêu) có nghĩa là một trong hai sự kiện không tương thích đã xảy ra: A1А2 hoặc А1А2.
Theo quy tắc cộng các xác suất P (A) = P (A1Ā2) + P (Ā1A2).

Р (А1А̄2) = Р (А1) * Р (А̄2) = 0,7 * 0,1 = 0,07;
Р (А ± 1А2) = Р (А ± 1) * Р (А2) = 0,3 * 0,9 = 0,27.
Khi đó Р (А) = Р (А1А2) + Р (А ± 1А2) = 0,07 + 0,27 = 0,34.

3. Sự kiện B = (mục tiêu bị bắn trúng bởi ít nhất một người bắn) có nghĩa là người bắn thứ nhất bắn trúng mục tiêu, hoặc người bắn thứ hai bắn trúng mục tiêu, hoặc cả hai người bắn trúng mục tiêu.

Sự kiện B̄ = (mục tiêu không bị bắn bởi bất kỳ người bắn nào) ngược lại với sự kiện B, có nghĩa là P (B) = 1-P (B̄).
Sự kiện B̄ có nghĩa là sự xuất hiện đồng thời của các sự kiện độc lập Ā1 và Ā2, do đó P (B̄) = P (Ā1Ā2) = P (Ā1) * P (Ā2) = 0,3 * 0,1 = 0,3.
Khi đó Р (В) = 1-Р (B̄) = 1-0,3 = 0,7.

Nhiệm vụ 3 . Đề thi bao gồm ba câu hỏi. Xác suất sinh viên đó trả lời được câu hỏi đầu tiên là 0,7; trên thứ hai - 0,9; trên thứ ba - 0,6. Tìm xác suất để học sinh đang chọn một vé trả lời:
a) tất cả các câu hỏi
d) ít nhất hai câu hỏi.

Quyết định. 1. Hãy xem xét các sự kiện sau:
А1 = (học sinh trả lời câu hỏi đầu tiên), Р (А1) = 0,7 từ điều kiện của bài toán;
A1 = (học sinh không trả lời câu hỏi đầu tiên), trong khi P (A1) + P (Ā1) = 1, vì A1 và Ā1 là các biến cố đối nghịch nhau. Do đó Р (А̄1) = 1-0,7 = 0,3;
А2 = (học sinh trả lời câu hỏi thứ hai), Р (А2) = 0,9 từ điều kiện của bài toán;
А2 = (học sinh không trả lời câu hỏi thứ hai), trong khi Р (А̄2) = 1-0,9 = 0,1;
А3 = (học sinh trả lời câu hỏi thứ ba), Р (А3) = 0,6 từ điều kiện của bài toán;
А3 = (học sinh không trả lời câu hỏi thứ ba), trong khi Р (А̄3) = 1-0,6 = 0,4.

2. Sự kiện A = (học sinh trả lời tất cả các câu hỏi) có nghĩa là sự xuất hiện đồng thời của các sự kiện độc lập A1, A2 và A3, tức là. Р (А) = Р (А1А2А3) Theo quy tắc nhân xác suất của các biến cố độc lập: Р (А1А2А3) = Р (А1) * Р (А2) * Р (А3) = 0.7 * 0.9 * 0.6 = 0.378.
Khi đó P (A) = P (A1A2A3) = 0,378.

3. Sự kiện D = (học sinh trả lời ít nhất hai câu hỏi) có nghĩa là câu trả lời được đưa ra cho hai câu hỏi bất kỳ hoặc cho cả ba câu hỏi, tức là. một trong bốn sự kiện không tương thích đã xảy ra: A1A2Ā3 hoặc A1Ā2A3 hoặc А1А2А3 hoặc А1А2А3.
Theo quy tắc cộng xác suất của các biến cố xung khắc: P (D) = P (A1A2Ā3) + P (A1Ā2A3) + P (A1A2A3) + P (A1A2A3).

Theo quy tắc nhân xác suất của các sự kiện độc lập:
Р (A1A2Ā3) = Р (A1) * Р (A2) * Р (Ā3) = 0,7 * 0,9 * 0,4 = 0,252;
Р (А1Ā2А3) = Р (А1) * Р (Ā2) * Р (А3) = 0,7 * 0,1 * 0,6 = 0,042;
P (A1A2A3) = P (A1) * P (A2) * P (A3) = 0,3 * 0,9 * 0,6 = 0,162;
P (A1A2A3) \ u003d P (A1) * P (A2) * P (A3) \ u003d 0,7 * 0,9 * 0,6 \ u003d 0,378.
Khi đó Р (D) = 0,252 + 0,042 + 0,162 + 0,378 = 0,834.

Định lý cộng

Xem xét các sự kiện ngẫu nhiên không tương thích.

Được biết, các sự kiện ngẫu nhiên không tương thích $ A $ và $ B $ trong cùng một thử nghiệm có xác suất lần lượt là $ P \ left (A \ right) $ và $ P \ left (B \ right) $. Hãy để chúng tôi tìm xác suất của tổng $ A + B $ của các sự kiện này, tức là xác suất xuất hiện của ít nhất một trong số chúng.

Giả sử rằng trong phép thử này, số tất cả các sự kiện cơ bản có thể có bằng nhau là $ n $. Trong số này, các sự kiện $ A $ và $ B $ được ưu tiên bởi các sự kiện cơ bản của $ m_ (A) $ và $ m_ (B) $. Vì các sự kiện $ A $ và $ B $ không tương thích nên sự kiện $ A + B $ được ưu tiên bởi các sự kiện cơ bản của $ m_ (A) + m_ (B) $. Chúng ta có $ P \ left (A + B \ right) = \ frac (m_ (A) + m_ (B)) (n) = \ frac (m_ (A)) (n) + \ frac (m_ (B) ) (n) = P \ left (A \ right) + P \ left (B \ right) $.

Định lý 1

Xác suất của tổng của hai sự kiện không tương thích bằng tổng xác suất của chúng.

Lưu ý 1

Hệ quả 1. Xác suất của tổng số các sự kiện không tương thích bất kỳ bằng tổng xác suất của các sự kiện này.

Hệ quả 2. Tổng xác suất của một nhóm đầy đủ các sự kiện không tương thích (tổng xác suất của tất cả các sự kiện cơ bản) bằng một.

Hệ quả 3. Tổng xác suất của các sự kiện đối lập bằng một, vì chúng tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích.

ví dụ 1

Xác suất để trời không bao giờ mưa trong thành phố trong một thời gian là $ p = 0,7 $. Tìm xác suất $ q $ để trong cùng một thời gian trời có mưa ở thành phố ít nhất một lần.

Các sự kiện "trong một thời gian nó không bao giờ mưa trong thành phố" và "một thời gian nó đã mưa trong thành phố ít nhất một lần" là đối lập nhau. Do đó $ p + q = 1 $, khi đó $ q = 1-p = 1-0,7 = 0,3 $.

Xem xét các sự kiện ngẫu nhiên chung.

Được biết, các sự kiện ngẫu nhiên chung $ A $ và $ B $ trong cùng một thử nghiệm có xác suất lần lượt là $ P \ left (A \ right) $ và $ P \ left (B \ right) $. Hãy để chúng tôi tìm xác suất của tổng $ A + B $ của các sự kiện này, tức là xác suất xuất hiện của ít nhất một trong số chúng.

Giả sử rằng trong phép thử này, số tất cả các sự kiện cơ bản có thể có bằng nhau là $ n $. Trong số này, các sự kiện $ A $ và $ B $ được ưu tiên bởi các sự kiện cơ bản của $ m_ (A) $ và $ m_ (B) $. Vì các sự kiện $ A $ và $ B $ là chung nên trong tổng số các sự kiện cơ bản của $ m_ (A) + m_ (B) $, một số nhất định $ m_ (AB) $ ủng hộ cả sự kiện $ A $ và sự kiện $ B $, tức là sự kiện cùng xuất hiện (sản phẩm của các sự kiện $ A \ cdot B $). Số lượng $ m_ (AB) $ này đã nhập cả $ m_ (A) $ và $ m_ (B) $. Vì vậy, sự kiện $ A + B $ được ưu tiên bởi $ m_ (A) + m_ (B) -m_ (AB) $ sự kiện sơ cấp. Ta có: $ P \ left (A + B \ right) = \ frac (m_ (A) + m_ (B) -m_ (AB)) (n) = \ frac (m_ (A)) (n) + \ frac (m_ (B)) (n) - \ frac (m_ (AB)) (n) = P \ left (A \ right) + P \ left (B \ right) -P \ left (A \ cdot B \ đúng) $.

Định lý 2

Xác suất của tổng của hai sự kiện chung bằng tổng xác suất của những sự kiện này trừ đi xác suất của tích của chúng.

Nhận xét. Nếu các sự kiện $ A $ và $ B $ không tương thích thì sản phẩm $ A \ cdot B $ của chúng là một sự kiện bất khả thi có xác suất là $ P \ left (A \ cdot B \ right) = 0 $. Do đó, công thức cộng xác suất của các sự kiện không tương thích là một trường hợp đặc biệt của công thức cộng xác suất của các sự kiện chung.

Ví dụ 2

Tìm xác suất để khi ném đồng thời hai con xúc xắc thì số 5 sẽ xuất hiện ít nhất một lần.

Khi ném đồng thời hai con xúc xắc, thì số tất cả các biến cố cơ bản có thể bằng nhau là $ n = 36 $, vì mỗi chữ số của con xúc xắc thứ hai có thể rơi vào mỗi chữ số của con xúc xắc thứ nhất. Trong số này, sự kiện $ A $ - con số 5 lăn trên con súc sắc đầu tiên - xảy ra 6 lần, sự kiện $ B $ - con số 5 lăn trên con súc sắc thứ hai - cũng xảy ra 6 lần. Trong tất cả mười hai lần, số 5 xuất hiện một lần trên cả hai viên xúc xắc. Vậy $ P \ left (A + B \ right) = \ frac (6) (36) + \ frac (6) (36) - \ frac (1) (36) = \ frac (11) (36) $.

Định lý nhân xác suất

Xem xét các sự kiện độc lập.

Các sự kiện $ A $ và $ B $ xảy ra trong hai lần thử liên tiếp được gọi là độc lập nếu xác suất xuất hiện của sự kiện $ B $ không phụ thuộc vào việc sự kiện $ A $ diễn ra hay không diễn ra.

Ví dụ, giả sử có 2 quả bóng trắng và 2 quả bóng đen trong một cái lọ. Kiểm tra là để trích xuất bóng. Sự kiện $ A $ là "một quả bóng trắng được rút ra trong lần thử đầu tiên". Xác suất $ P \ left (A \ right) = \ frac (1) (2) $. Sau thử nghiệm đầu tiên, bóng được đặt trở lại và thử nghiệm thứ hai được thực hiện. Sự kiện $ B $ - `` quả bóng trắng được rút ra trong lần thử thứ hai ''. Xác suất $ P \ left (B \ right) = \ frac (1) (2) $. Xác suất $ P \ left (B \ right) $ không phụ thuộc vào việc sự kiện $ A $ có diễn ra hay không, do đó các sự kiện $ A $ và $ B $ là độc lập.

Biết rằng các sự kiện ngẫu nhiên độc lập $ A $ và $ B $ của hai lần thử liên tiếp có xác suất xuất hiện lần lượt là $ P \ left (A \ right) $ và $ P \ left (B \ right) $. Hãy để chúng tôi tìm xác suất của tích $ A \ cdot B $ của các sự kiện này, tức là xác suất xảy ra chung của chúng.

Giả sử rằng trong lần thử đầu tiên, số tất cả các sự kiện sơ cấp có thể có như nhau là $ n_ (1) $. Trong số này, $ A $ được ưa chuộng bởi $ m_ (1) $ các sự kiện sơ cấp. Chúng ta cũng giả sử rằng trong phép thử thứ hai, số tất cả các sự kiện cơ bản có thể có bằng nhau là $ n_ (2) $. Trong số này, sự kiện $ B $ được ưa chuộng bởi $ m_ (2) $ sự kiện sơ cấp. Bây giờ hãy xem xét một sự kiện cơ bản mới, bao gồm sự xuất hiện liên tiếp của các sự kiện từ lần thử thứ nhất và thứ hai. Tổng số các sự kiện cơ bản có thể xảy ra như nhau bằng $ n_ (1) \ cdot n_ (2) $. Vì các sự kiện $ A $ và $ B $ là độc lập, nên từ con số này, sự kiện $ A $ và sự kiện $ B $ (tích của các sự kiện $ A \ cdot B $) được ưu tiên bởi $ m_ (1) \ cdot m_ (2) $ sự kiện. Ta có: $ P \ left (A \ cdot B \ right) = \ frac (m_ (1) \ cdot m_ (2)) (n_ (1) \ cdot n_ (2)) = \ frac (m_ (1) ) (n_ (1)) \ cdot \ frac (m_ (2)) (n_ (2)) = P \ left (A \ right) \ cdot P \ left (B \ right) $.

Định lý 3

Xác suất của tích của hai sự kiện độc lập bằng tích của xác suất của những sự kiện này.

Xem xét các sự kiện phụ thuộc.

Trong hai lần thử nghiệm liên tiếp, các sự kiện $ A $ và $ B $ xảy ra. Một sự kiện $ B $ được cho là phụ thuộc vào sự kiện $ A $ nếu xác suất xuất hiện của sự kiện $ B $ phụ thuộc vào việc sự kiện $ A $ có diễn ra hay không. Khi đó xác suất của sự kiện $ B $, được tính trong điều kiện sự kiện $ A $ diễn ra, được gọi là xác suất có điều kiện của sự kiện $ B $ với điều kiện $ A $ và được ký hiệu là $ P \ left (B / A \ đúng) $.

Ví dụ, giả sử có 2 quả bóng trắng và 2 quả bóng đen trong một cái lọ. Thử nghiệm là chiết xuất của quả bóng. Sự kiện $ A $ là "một quả bóng trắng được rút ra trong lần thử đầu tiên". Xác suất $ P \ left (A \ right) = \ frac (1) (2) $. Sau thử nghiệm đầu tiên, quả bóng không được đặt lại và thử nghiệm thứ hai được thực hiện. Sự kiện $ B $ - `` quả bóng trắng được rút ra trong lần thử thứ hai ''. Nếu một quả bóng trắng được rút ra trong lần thử đầu tiên, thì xác suất là $ P \ left (B / A \ right) = \ frac (1) (3) $. Nếu một quả bóng đen được rút ra trong lần thử đầu tiên, thì xác suất là $ P \ left (B / \ overline (A) \ right) = \ frac (2) (3) $. Như vậy, xác suất của sự kiện $ B $ phụ thuộc vào sự kiện $ A $ có diễn ra hay không, do đó, sự kiện $ B $ phụ thuộc vào sự kiện $ A $.

Giả sử rằng các sự kiện $ A $ và $ B $ xảy ra trong hai lần thử liên tiếp. Biết rằng biến cố $ A $ có xác suất xảy ra $ P \ left (A \ right) $. Người ta cũng biết rằng sự kiện $ B $ phụ thuộc vào sự kiện $ A $ và xác suất có điều kiện của nó trong điều kiện $ A $ bằng $ P \ left (B / A \ right) $.

Định lý 4

Xác suất của tích của sự kiện $ A $ và sự kiện $ B $ phụ thuộc vào nó, tức là xác suất xuất hiện chung của chúng, có thể được tìm thấy bằng công thức $ P \ left (A \ cdot B \ right) = P \ left (A \ right) \ cdot P \ left (B / A \ right) $.

Công thức đối xứng $ P \ left (A \ cdot B \ right) = P \ left (B \ right) \ cdot P \ left (A / B \ right) $ cũng hợp lệ, trong đó sự kiện $ A $ được giả định là phụ thuộc vào sự kiện $ B $.

Đối với các điều kiện của ví dụ cuối cùng, chúng ta tìm xác suất để quả bóng trắng được rút ra trong cả hai lần thử. Một sự kiện như vậy là một sản phẩm của các sự kiện $ A $ và $ B $. Xác suất của nó là $ P \ left (A \ cdot B \ right) = P \ left (A \ right) \ cdot P \ left (B / A \ right) = \ frac (1) (2) \ cdot \ frac ( 1) (3) = \ frac (1) (6) $.

Phép cộng và nhân các xác suất. Bài viết này sẽ tập trung giải quyết các vấn đề trong lý thuyết xác suất. Trước đó, chúng ta đã phân tích một số nhiệm vụ đơn giản nhất, để giải quyết chúng, chỉ cần biết và hiểu công thức là đủ (tôi khuyên bạn nên lặp lại nó).

Có những nhiệm vụ phức tạp hơn một chút, để giải quyết chúng bạn cần phải biết và hiểu rõ: quy tắc cộng xác suất, quy tắc nhân xác suất, các khái niệm về các sự kiện phụ thuộc và độc lập, các sự kiện ngược lại, các sự kiện liên kết và xung khắc. Đừng sợ các định nghĩa, mọi thứ đều đơn giản)).Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chỉ xem xét các nhiệm vụ như vậy.

Một số lý thuyết quan trọng và đơn giản:

không tương thích nếu sự xuất hiện của một trong số họ loại trừ sự xuất hiện của những người khác. Có nghĩa là, chỉ một sự kiện cụ thể có thể xảy ra hoặc một sự kiện khác.

Một ví dụ cổ điển: khi ném một viên xúc xắc (xúc xắc), chỉ một viên có thể rơi ra, hoặc chỉ hai, hoặc chỉ ba, v.v. Mỗi sự kiện trong số này không tương thích với những sự kiện khác và sự xuất hiện của một trong số chúng loại trừ sự xuất hiện của sự kiện kia (trong một thử nghiệm). Tương tự với đồng xu - việc mất "đại bàng" loại trừ khả năng mất "đuôi".

Điều này cũng áp dụng cho các kết hợp phức tạp hơn. Ví dụ, hai ngọn đèn được thắp sáng. Mỗi người trong số họ có thể cháy hết hoặc không trong một thời gian. Có các tùy chọn:

Lần đầu tiên cháy hết và lần thứ hai cháy hết
Lần đầu tiên cháy hết và lần thứ hai không cháy hết
Đầu tiên không cháy hết và thứ hai cháy hết
Đầu tiên không cháy hết và thứ hai cháy hết.

Tất cả 4 biến thể của sự kiện này đều không tương thích - chúng chỉ đơn giản là không thể xảy ra cùng nhau và không có biến thể nào với bất kỳ biến thể nào khác ...

Định nghĩa: Sự kiện được gọi là chung nếu sự xuất hiện của một trong số chúng thì không loại trừ sự xuất hiện của cái còn lại.

Ví dụ: một quân hậu sẽ được lấy từ một bộ bài và một quân bích sẽ được lấy từ một bộ bài. Hai sự kiện được xem xét. Những sự kiện này không loại trừ lẫn nhau - bạn có thể vẽ Queen of Spades và do đó cả hai sự kiện sẽ xảy ra.

Về tổng xác suất

Tổng của hai sự kiện A và B được gọi là sự kiện A + B, bao gồm thực tế là sự kiện A hoặc sự kiện B hoặc cả hai sẽ xảy ra cùng một lúc.

Nếu xảy ra không tương thích các sự kiện A và B, thì xác suất của tổng các sự kiện này bằng tổng các xác suất của các sự kiện:

Ví dụ về xúc xắc:

Chúng tôi ném một con xúc xắc. Xác suất nhận được một số nhỏ hơn bốn là bao nhiêu?

Các số nhỏ hơn bốn là 1,2,3. Chúng ta biết rằng xác suất nhận được 1 là 1/6, 2 là 1/6 và 3 là 1/6. Đây là những sự kiện không tương thích. Chúng ta có thể áp dụng quy tắc cộng. Xác suất nhận được một số nhỏ hơn bốn là:

Thật vậy, nếu chúng ta tiếp tục từ khái niệm xác suất cổ điển: thì số kết quả có thể xảy ra là 6 (số tất cả các mặt của hình lập phương), số kết quả thuận lợi là 3 (một, hai hoặc ba). Xác suất mong muốn là 3 đến 6 hoặc 3/6 = 0,5.

* Xác suất của tổng của hai sự kiện chung bằng tổng xác suất của những sự kiện này mà không tính đến sự xuất hiện chung của chúng: P (A + B) \ u003d P (A) + P (B) -P (AB )

Nhân các xác suất

Để hai biến cố A và B xung khắc xảy ra, xác suất của chúng lần lượt là P (A) và P (B). Tích của hai sự kiện A và B được gọi là sự kiện A B, bao gồm thực tế là các sự kiện này sẽ xảy ra cùng nhau, tức là cả sự kiện A và sự kiện B. đều xảy ra. Xác suất của một sự kiện đó bằng tích xác suất của các sự kiện A và B.Tính theo công thức:

Như bạn đã nhận thấy, liên kết logic "AND" có nghĩa là phép nhân.

Một ví dụ với cùng một viên xúc xắc:Ném một con súc sắc hai lần. Xác suất để lăn hai con số sáu là bao nhiêu?

Xác suất để lăn được số sáu lần đầu tiên là 1/6. Lần thứ hai cũng bằng 1/6. Xác suất nhận được sáu quả cả lần đầu tiên và lần thứ hai đều bằng tích của các xác suất:

Nói một cách đơn giản: khi một sự kiện xảy ra trong một thử nghiệm, VÀ sau đó một thử nghiệm khác xảy ra, thì xác suất chúng xảy ra cùng nhau bằng tích xác suất của các sự kiện này.

Chúng tôi giải quyết vấn đề với xúc xắc, nhưng chúng tôi chỉ sử dụng suy luận logic, chúng tôi không sử dụng công thức tích. Trong các bài toán được xem xét dưới đây, ta không thể làm mà không có công thức, hay nói đúng hơn là lấy kết quả dễ hơn và nhanh hơn.

Điều đáng nói là một sắc thái nữa. Khi lập luận trong việc giải quyết vấn đề, khái niệm về tính ĐƠN GIẢN của các sự kiện được sử dụng. Các sự kiện xảy ra ĐƠN GIẢN - điều này không có nghĩa là chúng xảy ra trong một giây (tại một thời điểm). Điều này có nghĩa là chúng xảy ra trong một khoảng thời gian nhất định (với một lần kiểm tra).

Ví dụ:

Hai ngọn đèn cháy hết trong vòng một năm (có thể nói - đồng thời trong vòng một năm)

Hai ô tô bị phá vỡ trong vòng một tháng (có thể nói - đồng thời trong vòng một tháng)

Xúc xắc được ném ba lần (các điểm rơi ra cùng một lúc, có nghĩa là trong một lần kiểm tra)

Biathlete thực hiện năm phát súng. Các sự kiện (ảnh) xảy ra trong một lần thử nghiệm.

Các sự kiện A và B là độc lập nếu xác suất của một trong hai không phụ thuộc vào sự xuất hiện hoặc không xảy ra của sự kiện kia.

Xem xét các nhiệm vụ:

Hai nhà máy sản xuất cùng một loại kính cho đèn pha ô tô. Nhà máy đầu tiên sản xuất 35% số kính này, nhà máy thứ hai - 65%. Nhà máy thứ nhất sản xuất 4% số kính bị lỗi và nhà máy thứ hai - 2%. Tìm xác suất để một chiếc kính vô tình mua ở cửa hàng bị lỗi.

Nhà máy thứ nhất sản xuất 0,35 sản phẩm (kính). Xác suất mua được thủy tinh bị lỗi của nhà máy thứ nhất là 0,04.

Nhà máy thứ hai sản xuất kính 0,65. Xác suất mua được thủy tinh bị lỗi của nhà máy thứ hai là 0,02.

Xác suất để chiếc kính được mua ở nhà máy đầu tiên VÀ đồng thời nó bị lỗi là 0,35 ∙ 0,04 = 0,0140.

Xác suất để chiếc kính được mua ở nhà máy thứ hai VÀ đồng thời nó bị lỗi là 0,65 ∙ 0,02 = 0,0130.

Mua thủy tinh bị lỗi trong một cửa hàng ngụ ý rằng nó (thủy tinh bị lỗi) đã được mua từ nhà máy đầu tiên HOẶC từ nhà máy thứ hai. Đây là các sự kiện không tương thích, nghĩa là chúng tôi thêm các xác suất kết quả:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

Trả lời: 0,027

Nếu kiện tướng A. chơi trắng thì thắng kiện tướng B. với xác suất là 0,62. Nếu A. chơi đen thì A. đánh B. với xác suất là 0,2. Các kiện tướng A. và B. chơi hai ván, và trong ván thứ hai, họ đổi màu các quân cờ. Tìm xác suất để A. thắng cả hai lần.

Cơ hội giành chiến thắng trong trò chơi đầu tiên và thứ hai là độc lập với nhau. Người ta nói rằng một kiện tướng phải chiến thắng cả hai lần, nghĩa là, chiến thắng lần đầu tiên VÀ đồng thời giành chiến thắng lần thứ hai. Trong trường hợp khi các sự kiện độc lập phải xảy ra cùng nhau, xác suất của các sự kiện này được nhân lên, tức là quy tắc nhân được sử dụng.

Xác suất để tạo ra các sự kiện này sẽ bằng 0,62 ∙ 0,2 = 0,124.

Đáp số: 0,124

Trong phần thi hình học, học sinh nhận được một câu hỏi trong danh sách các đề thi. Xác suất để đây là một câu hỏi nội tiếp đường tròn là 0,3. Xác suất đây là câu hỏi Hình bình hành là 0,25. Không có câu hỏi nào liên quan đến hai chủ đề này cùng một lúc. Tìm xác suất để sinh viên đó đạt được câu hỏi thuộc một trong hai chủ đề này trong kỳ thi.

Tức là, cần tìm xác suất để học sinh trả lời được câu hỏi ĐỀU thuộc chủ đề “Đường tròn nội tiếp” HOẶC về chủ đề “Hình bình hành”. Trong trường hợp này, các xác suất được tính tổng, vì các sự kiện này không tương thích và bất kỳ sự kiện nào trong số này có thể xảy ra: 0,3 + 0,25 = 0,55.

* Sự kiện rời rạc là sự kiện không thể xảy ra đồng thời.

Đáp số: 0,55

Vận động viên bơi lội bắn năm lần vào các mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một lần bắn là 0,9. Tìm xác suất để vận động viên hai môn phối hợp bắn trúng mục tiêu trong bốn lần đầu tiên và bắn trượt mục tiêu cuối cùng. Làm tròn kết quả đến hàng trăm gần nhất.

Vì vận động viên điền kinh bắn trúng mục tiêu với xác suất 0,9 nên anh ta bắn trượt với xác suất 1 - 0,9 = 0,1

* Đánh trượt và bắn trúng là các sự kiện không thể xảy ra đồng thời với một lần bắn, tổng xác suất của các sự kiện này là 1.

Chúng ta đang nói về hoa hồng của một số sự kiện (độc lập). Nếu một sự kiện xảy ra và đồng thời một sự kiện khác (tiếp theo) xảy ra đồng thời (thử nghiệm), thì xác suất của những sự kiện này được nhân lên.

Xác suất tạo ra các sự kiện độc lập bằng tích các xác suất của chúng.

Như vậy, xác suất của biến cố "trúng, trúng, trúng, trúng, trượt" bằng 0,9 ∙ 0,9 ∙ 0,9 ∙ 0,9 ∙ 0,1 = 0,06561.

Làm tròn đến hàng trăm, chúng tôi nhận được 0,07

Trả lời: 0,07

Cửa hàng có hai máy thanh toán. Mỗi lỗi trong số chúng đều có thể bị lỗi với xác suất 0,07, bất kể động cơ tự động khác là gì. Tìm xác suất để ít nhất một ô tô có thể sử dụng được.

Tìm xác suất để cả hai dữ liệu tự động bị lỗi.

Các sự kiện này là độc lập, do đó xác suất sẽ bằng tích các xác suất của các sự kiện này: 0,07 ∙ 0,07 = 0,0049.

Điều này có nghĩa là xác suất để cả hai tự động đang hoạt động hoặc một trong số chúng sẽ bằng 1 - 0,0049 = 0,9951.

* Cả hai đều có thể sử dụng được và một số là hoàn toàn - đáp ứng điều kiện "ít nhất một".

Người ta có thể trình bày xác suất của tất cả các sự kiện (độc lập) để kiểm tra:

1. “bị lỗi-bị lỗi” 0,07 ∙ 0,07 = 0,0049

2. “Lỗi tốt” 0,93 ∙ 0,07 = 0,0651

3. "Bị lỗi-bị lỗi" 0,07 ∙ 0,93 = 0,0651

4. “lành mạnh” 0,93 ∙ 0,93 = 0,8649

Để xác định xác suất có ít nhất một ô tô hoạt động trong tình trạng tốt, cần phải thêm các xác suất của các sự kiện độc lập 2,3 và 4: một sự kiện nhất định Một sự kiện được gọi là một sự kiện chắc chắn xảy ra do một trải nghiệm. Sự kiện được gọi là Không thể nào nếu nó không bao giờ xảy ra do kinh nghiệm.

Ví dụ, nếu một quả bóng được rút ngẫu nhiên từ một hộp chỉ chứa các quả bóng màu đỏ và xanh lá cây, thì sự xuất hiện của một quả bóng màu trắng trong số các quả bóng được rút ra là một sự kiện không thể xảy ra. Sự xuất hiện của màu đỏ và sự xuất hiện của các quả bóng màu xanh lá cây tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh.

Sự định nghĩa: Các sự kiện được gọi là đều có thể , nếu không có lý do gì để tin rằng một trong số chúng sẽ xuất hiện do kết quả của thử nghiệm với xác suất lớn hơn.

Trong ví dụ trên, sự xuất hiện của các quả bóng màu đỏ và màu xanh lá cây là các sự kiện có khả năng xảy ra như nhau nếu hộp chứa cùng số lượng quả bóng màu đỏ và xanh lá cây. Nếu có nhiều quả bóng màu đỏ trong hộp hơn quả bóng màu xanh lá cây, thì sự xuất hiện của quả bóng màu xanh lá cây ít hơn sự xuất hiện của quả bóng màu đỏ.

Trong chúng ta sẽ xem xét thêm các bài toán trong đó sử dụng tổng và tích các xác suất của các sự kiện, đừng bỏ lỡ!

Đó là tất cả. Chúc các bạn thành công!

Trân trọng, Alexander Krutitskikh.

Maria Ivanovna mắng Vasya:
Petrov, tại sao hôm qua bạn không ở trường ?!
Mẹ tôi đã giặt quần cho tôi hôm qua.
- Vậy thì sao?
- Và tôi đang đi ngang qua ngôi nhà và thấy của bạn đang bị treo cổ. Tôi đã nghĩ rằng bạn sẽ không đến.

P.S: Tôi sẽ rất biết ơn nếu bạn kể về trang web trên mạng xã hội.

Tại ước tính xác suất xuất hiện của bất kỳ sự kiện ngẫu nhiên nào, điều rất quan trọng là phải có ý tưởng trước liệu xác suất () xuất hiện của sự kiện mà chúng ta quan tâm có phụ thuộc vào cách các sự kiện khác phát triển hay không.

Trong trường hợp sơ đồ cổ điển, khi tất cả các kết quả đều có khả năng xảy ra như nhau, chúng ta đã có thể tự mình ước tính các giá trị xác suất của từng sự kiện mà chúng ta quan tâm. Chúng ta có thể làm điều này ngay cả khi sự kiện là một tập hợp phức tạp của một số kết quả cơ bản. Và nếu một số sự kiện ngẫu nhiên xảy ra đồng thời hoặc liên tiếp? Điều này ảnh hưởng đến xác suất của sự kiện mà chúng ta quan tâm như thế nào?

Nếu tôi tung con xúc xắc một vài lần và muốn nhận được sáu con và lần nào tôi cũng không gặp may, điều đó có nghĩa là tôi nên tăng tiền đặt cược của mình lên vì theo lý thuyết xác suất, tôi sắp gặp may? Than ôi, lý thuyết xác suất không nói gì về loại này. Không có xúc xắc, không có thẻ, không có xu không thể nhớ những gì họ đã cho chúng tôi thấy lần trước. Đối với họ không thành vấn đề cho dù là lần đầu tiên hay lần thứ mười hôm nay tôi thử thách số phận của mình. Mỗi lần tôi lăn lại, tôi chỉ biết một điều: và lần này xác suất để lăn một "sáu" một lần nữa là 1/6. Tất nhiên, điều này không có nghĩa là con số tôi cần sẽ không bao giờ rơi ra ngoài. Nó chỉ có nghĩa là phần thua của tôi sau lần tung đầu tiên và sau bất kỳ lần tung nào khác là những sự kiện độc lập.

Sự kiện A và B được gọi là sống độc lập, nếu việc thực hiện một trong số chúng không ảnh hưởng đến xác suất của sự kiện kia theo bất kỳ cách nào. Ví dụ, xác suất bắn trúng mục tiêu của khẩu đầu tiên trong hai khẩu súng không phụ thuộc vào việc khẩu súng kia có bắn trúng mục tiêu hay không, do đó các sự kiện "khẩu súng thứ nhất bắn trúng mục tiêu" và "khẩu súng thứ hai bắn trúng mục tiêu" là độc lập.

Nếu hai sự kiện A và B độc lập và biết xác suất của mỗi sự kiện trong số chúng, thì xác suất xảy ra đồng thời của cả sự kiện A và sự kiện B (ký hiệu là AB) có thể được tính bằng cách sử dụng định lý sau.

Định lý nhân xác suất cho các sự kiện độc lập

P (AB) = P (A) * P (B)- xác suất đồng thời hai sống độc lập sự kiện là công việc xác suất của những sự kiện này.

Ví dụ.Xác suất bắn trúng mục tiêu khi bắn của khẩu thứ nhất và khẩu thứ hai lần lượt là: p 1 = 0,7; p 2 = 0,8. Tìm xác suất để cả hai súng bắn trúng một quả vôlê.

Quyết định: Như chúng ta đã thấy, các sự kiện A (trúng phát súng thứ nhất) và B (trúng phát súng thứ hai) là độc lập, tức là P (AB) \ u003d P (A) * P (B) \ u003d p 1 * p 2 \ u003d 0,56.

Điều gì xảy ra với ước tính của chúng tôi nếu các sự kiện bắt đầu không độc lập? Hãy thay đổi ví dụ trước một chút.

Ví dụ.Hai người bắn trong một cuộc thi bắn vào các mục tiêu, và nếu một trong số họ bắn chính xác, thì đối thủ bắt đầu lo lắng và kết quả của anh ta xấu đi. Làm thế nào để biến tình huống hàng ngày này thành một vấn đề toán học và vạch ra cách giải quyết nó? Trực giác rõ ràng rằng cần phải bằng cách nào đó tách biệt hai kịch bản, để sáng tác, trên thực tế, hai kịch bản, hai nhiệm vụ khác nhau. Trong trường hợp đầu tiên, nếu đối thủ bắn trượt, kịch bản sẽ thuận lợi cho vận động viên thần kinh và độ chính xác của anh ta sẽ cao hơn. Trong trường hợp thứ hai, nếu đối thủ không nhận ra cơ hội của mình, thì xác suất bắn trúng mục tiêu của vận động viên thứ hai sẽ giảm xuống.

Để phân tách các kịch bản có thể xảy ra (chúng thường được gọi là giả thuyết) về sự phát triển của các sự kiện, chúng ta thường sử dụng lược đồ "cây xác suất". Sơ đồ này có ý nghĩa tương tự như cây quyết định, mà bạn có thể đã phải xử lý. Mỗi nhánh là một kịch bản riêng biệt, chỉ bây giờ nó có ý nghĩa riêng của cái gọi là có điều kiện xác suất (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

Sơ đồ này rất thuận tiện cho việc phân tích các sự kiện ngẫu nhiên liên tiếp.

Vẫn phải làm rõ một câu hỏi quan trọng hơn: giá trị ban đầu của xác suất ở đâu tình huống thực tế ? Rốt cuộc, lý thuyết xác suất không hoạt động với các đồng xu và xúc xắc giống nhau, phải không? Thông thường những ước tính này được lấy từ số liệu thống kê, và khi không có số liệu thống kê, chúng tôi tiến hành nghiên cứu của riêng mình. Và chúng ta thường phải bắt đầu nó không phải với việc thu thập dữ liệu, mà với câu hỏi về những thông tin chúng ta thường cần.

Ví dụ.Trong một thành phố có 100.000 dân, giả sử chúng ta cần ước tính quy mô thị trường cho một sản phẩm không thiết yếu mới, chẳng hạn như dầu dưỡng tóc đã qua xử lý màu. Hãy xem xét sơ đồ "cây xác suất". Trong trường hợp này, chúng ta cần ước lượng gần đúng giá trị của xác suất trên mỗi "nhánh". Vì vậy, ước tính của chúng tôi về dung lượng thị trường:

1) 50% tổng số cư dân của thành phố là phụ nữ,

2) trong số tất cả phụ nữ, chỉ có 30% nhuộm tóc thường xuyên,

3) trong số này, chỉ 10% sử dụng dầu dưỡng cho tóc nhuộm,

4) trong số này, chỉ 10% có thể tập hợp đủ can đảm để thử một sản phẩm mới,

5) 70% trong số họ thường mua mọi thứ không phải từ chúng tôi mà từ đối thủ cạnh tranh của chúng tôi.

Quyết định: Theo luật nhân xác suất, chúng tôi xác định xác suất của sự kiện mà chúng tôi quan tâm là A \ u003d (một người dân thành phố mua loại son dưỡng mới này từ chúng tôi) \ u003d 0,00045.

Nhân giá trị xác suất này với số lượng cư dân của thành phố. Do đó, chúng tôi chỉ có 45 người mua tiềm năng và với điều kiện một lọ sản phẩm này đủ dùng trong vài tháng, giao dịch không sôi động cho lắm.

Tuy nhiên, có những lợi ích từ các đánh giá của chúng tôi.

Đầu tiên, chúng ta có thể so sánh các dự báo của các ý tưởng kinh doanh khác nhau, chúng sẽ có các “ngã ba” khác nhau trên sơ đồ, và tất nhiên, các giá trị xác suất cũng sẽ khác nhau.

Thứ hai, như chúng ta đã nói, một biến ngẫu nhiên không được gọi là ngẫu nhiên vì nó không phụ thuộc vào bất cứ điều gì cả. Chỉ cô ấy chính xác giá trị không được biết trước. Chúng tôi biết rằng số lượng người mua trung bình có thể tăng lên (ví dụ: bằng cách quảng cáo một sản phẩm mới). Vì vậy, thật hợp lý khi tập trung vào những "ngã ba" mà sự phân bố xác suất không đặc biệt phù hợp với chúng ta, vào những yếu tố mà chúng ta có thể ảnh hưởng.

Hãy xem xét một ví dụ định lượng khác về nghiên cứu hành vi người tiêu dùng.

Ví dụ. Trung bình có khoảng 10.000 người ghé thăm chợ thực phẩm mỗi ngày. Xác suất để một khách đi chợ bước vào gian hàng sữa là 1/2. Được biết, tại gian hàng này, trung bình mỗi ngày bán được 500 kg sản phẩm các loại.

Có thể lập luận rằng vật mua trung bình trong gian hàng chỉ nặng 100 g?

Thảo luận. Dĩ nhiên là không. Rõ ràng là không phải tất cả những ai bước vào gian hàng đều mua thứ gì đó ở đó.

Như trong biểu đồ, để trả lời câu hỏi về trọng lượng mua trung bình, chúng ta phải tìm câu trả lời cho câu hỏi, xác suất một người vào gian hàng mua thứ gì đó ở đó là bao nhiêu. Nếu chúng tôi không có những dữ liệu đó theo ý của chúng tôi, nhưng chúng tôi cần chúng, chúng tôi sẽ phải tự lấy chúng, sau khi quan sát những khách tham quan gian hàng một thời gian. Giả sử quan sát của chúng tôi cho thấy chỉ 1/5 số khách đến gian hàng mua một thứ gì đó.

Ngay sau khi chúng tôi có được những ước tính này, nhiệm vụ đã trở nên đơn giản. Trong số 10.000 người đến chợ, sẽ có 5.000 người vào gian hàng sữa, chỉ có 1.000 người mua, khối lượng mua trung bình là 500 gam. Điều thú vị cần lưu ý là để xây dựng một bức tranh hoàn chỉnh về những gì đang xảy ra, logic của "phân nhánh" có điều kiện phải được xác định ở mỗi giai đoạn lập luận của chúng ta một cách rõ ràng như thể chúng ta đang làm việc với một tình huống "cụ thể", và không với các xác suất.

Nhiệm vụ tự kiểm tra

1. Cho mạch điện gồm n phần tử mắc nối tiếp, mỗi phần tử hoạt động độc lập với các phần tử còn lại.

Đã biết xác suất p không hỏng hóc của mỗi phần tử. Xác định xác suất hoạt động đúng của toàn bộ đoạn mạch (biến cố A).

2. Học sinh biết 20 trong số 25 đề thi. Tìm xác suất để học sinh biết ba câu hỏi mà giám khảo đưa ra.

3. Sản xuất bao gồm bốn giai đoạn liên tiếp, mỗi giai đoạn vận hành thiết bị mà xác suất hỏng hóc trong tháng tiếp theo lần lượt là p 1, p 2, p 3 và p 4. Tìm xác suất để trong một tháng không có trường hợp ngừng sản xuất do hỏng hóc thiết bị.

Các khái niệm cơ bản
Các sự kiện được gọi là không tương thích nếu sự xuất hiện của một trong số chúng loại trừ sự xuất hiện của các sự kiện khác trong cùng một thử nghiệm. Nếu không, chúng được gọi là khớp.
Một nhóm hoàn chỉnh là một tập hợp các sự kiện, sự kết hợp của chúng là một sự kiện đáng tin cậy.
Các mặt đối lập là hai sự kiện có thể xảy ra duy nhất tạo thành một nhóm hoàn chỉnh.
Sự kiện được gọi là phụ thuộc nếu xác suất xuất hiện của một trong số chúng phụ thuộc vào sự xuất hiện hoặc không xảy ra của các sự kiện khác.
Các sự kiện được gọi là độc lập nếu xác suất của một trong số chúng không phụ thuộc vào sự xuất hiện hoặc không xảy ra của các sự kiện khác.
Định lý cộng cho xác suất của các sự kiện không tương thích
P (A + B) = P (A) + P (B),
trong đó A, B là các sự kiện không tương thích.

Định lý cộng cho xác suất sự kiện chung
P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB), trong đó A và B là các biến cố chung.

Định lý nhân các xác suất của các sự kiện độc lập
,
trong đó A và B là các sự kiện độc lập.
Định lý nhân các xác suất của các biến cố phụ thuộc
P (AB) \ u003d P (A) P A (B),
trong đó P A (B) là xác suất xuất hiện của sự kiện B, với điều kiện là sự kiện A đã xảy ra; A và B là các sự kiện phụ thuộc.

Nhiệm vụ 1.
Người bắn súng bắn hai phát vào mục tiêu. Xác suất bắn trúng của mỗi lần bắn là 0,8. Tạo một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện và tìm xác suất của chúng. Quyết định.
Kiểm tra - Hai phát súng được bắn vào mục tiêu.
Biến cố NHƯNG- thất bại cả hai lần.
Biến cố TẠI- đánh một lần.
Biến cố Với- đã nhận nó cả hai lần.
.

Kiểm soát: P(A) +P(B) +P(C) = 1.
Nhiệm vụ 2.
Theo dự báo của các nhà khí tượng Р (mưa) = 0,4; P (gió) = 0,7; P (mưa gió) = 0,2. Xác suất trời mưa hoặc gió là bao nhiêu? Quyết định. Theo định lý cộng xác suất và do sự tương thích của các sự kiện được đề xuất, chúng ta có:
P (mưa hoặc gió hoặc cả hai) \ u003d P (mưa) + P (gió) - P (mưa và gió) \ u003d 0,4 + 0,7-0,2 \ u003d 0,9.
Nhiệm vụ 3.
Tại ga đi, có 8 đơn đặt hàng cho lô hàng: 5 - nội địa và 3 - xuất khẩu. Xác suất để hai đơn hàng được chọn ngẫu nhiên là hàng tiêu dùng trong nước là bao nhiêu? Quyết định. Biến cố NHƯNG- đơn hàng đầu tiên được thực hiện ngẫu nhiên - trong nước. Biến cố TẠI- thứ hai cũng dành cho tiêu dùng trong nước. Chúng ta cần tìm xác suất. Sau đó, theo định lý về phép nhân xác suất của các sự kiện phụ thuộc, chúng ta có

Nhiệm vụ 4.
Từ một lô sản phẩm, người bán hàng chọn ngẫu nhiên các sản phẩm có chất lượng cao nhất. Xác suất để vật phẩm được chọn đạt loại cao nhất là 0,8; lớp một - 0,7; lớp hai - 0,5. Tìm xác suất để trong ba sản phẩm được chọn ngẫu nhiên có:
a) chỉ có hai hạng cao cấp;
b) mọi người đều khác nhau. Quyết định. Hãy để sự kiện là một sản phẩm của cấp cao nhất; sự kiện - một sản phẩm của lớp đầu tiên; sự kiện - một sản phẩm của lớp thứ hai.
Theo điều kiện của bài toán; ; Các sự kiện là độc lập.
a) Sự kiện NHƯNG- chỉ có hai sản phẩm cao cấp sẽ giống như thế này sau đó

b) Sự kiện TẠI- cả ba sản phẩm đều khác nhau - chúng tôi diễn đạt như thế này: , sau đó .
Nhiệm vụ 5.
Xác suất bắn trúng mục tiêu khi bắn từ ba khẩu súng như sau: p1 = 0,8; p2=0,7; p3= 0,9. Tìm xác suất để có ít nhất một lần bắn trúng (sự kiện NHƯNG) với một khẩu súng từ tất cả các loại súng. Quyết định. Xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi khẩu súng không phụ thuộc vào kết quả bắn từ các khẩu súng khác, do đó, các sự kiện được xem xét (bắn trúng khẩu súng thứ nhất), (bắn trúng khẩu súng thứ hai), và (bắn trúng khẩu súng thứ ba ) độc lập trong tổng thể.
Xác suất của các sự kiện đối lập với các sự kiện (tức là xác suất bỏ lỡ) tương ứng bằng:

Xác suất mong muốn
Nhiệm vụ 6.
Nhà in có 4 xưởng in. Đối với mỗi máy, xác suất để nó hiện đang chạy là 0,9. Tìm xác suất để lúc này có ít nhất một máy đang chạy (sự kiện NHƯNG). Quyết định. Các sự kiện “máy đang chạy” và “máy không chạy” (tại thời điểm này) đối lập nhau, vì vậy tổng xác suất của chúng bằng một:
Do đó xác suất máy hiện không chạy bằng
Xác suất mong muốn. Bài toán 7. Trong phòng đọc có 6 cuốn sách giáo khoa về lý thuyết xác suất, trong đó có 3 cuốn có ràng buộc. Thủ thư lấy ngẫu nhiên hai cuốn sách giáo khoa. Tìm xác suất để cả hai cuốn sách giáo khoa đều bị ràng buộc.

Quyết định. Hãy xem xét các sự kiện sau:
A1 - cuốn sách giáo khoa đầu tiên được đóng sách;
A2 là cuốn sách giáo khoa thứ hai được lấy.
Một sự kiện bao gồm thực tế là cả hai cuốn sách giáo khoa đã lấy đều bị ràng buộc. Các sự kiện A1 và A2 là phụ thuộc, vì xác suất xuất hiện của sự kiện A2 phụ thuộc vào sự xuất hiện của sự kiện A1. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sử dụng định lý nhân các xác suất của các biến cố phụ thuộc:.
Xác suất xuất hiện của sự kiện A1 p (A1) theo định nghĩa cổ điển của xác suất:
P (A1) = m / n = 3/6 = 0,5.
Xác suất xảy ra sự kiện A2 được xác định bằng xác suất có điều kiện của sự kiện A2 trong điều kiện xảy ra sự kiện A1, tức là (A2) == 0,4.
Sau đó, xác suất mong muốn của sự kiện xảy ra:
P (A) = 0,5 * 0,4 = 0,2.