Giải pháp thay thế trực tuyến. Video bài học "Phương pháp cộng đại số

Với video này, tôi bắt đầu một loạt các bài học về hệ phương trình. Hôm nay chúng ta sẽ nói về việc giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp bổ sung- là một trong những nhất những cách đơn giản nhưng cũng là một trong những hiệu quả nhất.

Phương pháp cộng bao gồm ba bước đơn giản:

Nhìn vào hệ thống và chọn một biến có cùng hệ số (hoặc ngược lại) trong mỗi phương trình;
Chạy phép trừ đại số(vì những con số đối lập- cộng) các phương trình với nhau, và sau đó đưa thích điều khoản;
Giải phương trình mới thu được sau bước thứ hai.

Nếu mọi thứ được thực hiện một cách chính xác, thì ở đầu ra, chúng ta sẽ nhận được một phương trình duy nhất với một biến- Nó sẽ không khó để giải quyết. Sau đó, nó chỉ còn lại để thay thế gốc được tìm thấy vào hệ thống ban đầu và nhận được câu trả lời cuối cùng.

Tuy nhiên, trên thực tế thì không đơn giản như vậy. Cái này có một vài nguyên nhân:

Giải phương trình bằng phép cộng ngụ ý rằng tất cả các hàng phải chứa các biến có cùng hệ số / đối nghịch. Nếu yêu cầu này không được đáp ứng thì sao?
Không phải lúc nào, sau khi cộng / trừ các phương trình theo cách này, chúng ta sẽ có được một công trình đẹp và dễ dàng giải quyết. Có thể bằng cách nào đó đơn giản hóa các phép tính và tăng tốc độ tính toán không?

Để có câu trả lời cho những câu hỏi này, đồng thời để đối phó với một số điều khôn ngoan bổ sung mà nhiều sinh viên "ngã lòng", hãy xem video hướng dẫn của tôi:

Với bài học này, chúng ta bắt đầu chuỗi bài giảng về hệ phương trình. Và chúng ta sẽ bắt đầu với cái đơn giản nhất trong số chúng, cụ thể là những cái có chứa hai phương trình và hai biến. Mỗi người trong số họ sẽ là tuyến tính.

Hệ thống là tài liệu học lớp 7, tuy nhiên bài học này cũng sẽ hữu ích cho các bạn học sinh THPT muốn củng cố kiến thức về chủ đề này.

Nói chung, có hai phương pháp để giải các hệ thống như vậy:

Phương pháp bổ sung;
Một phương pháp thể hiện một biến này theo một biến khác.

Hôm nay chúng ta sẽ giải quyết với phương pháp đầu tiên - chúng ta sẽ sử dụng phương pháp trừ và cộng. Nhưng đối với điều này, bạn cần phải hiểu thực tế sau: một khi bạn có hai hoặc nhiều phương trình, bạn có thể lấy hai phương trình bất kỳ và cộng chúng lại với nhau. Chúng được thêm vào từng thời hạn, tức là "Xs" được thêm vào "Xs" và những cái tương tự được đưa ra, "trò chơi" thành "trò chơi" - những cái tương tự lại được đưa ra và những gì ở bên phải của dấu bằng cũng được thêm vào nhau và những cái tương tự được cũng được đưa ra ở đó.

Kết quả của các phép tính như vậy sẽ là một phương trình mới, mà nếu nó có nghiệm, chắc chắn chúng sẽ nằm trong số các nghiệm nguyên của phương trình ban đầu. Vì vậy, nhiệm vụ của chúng ta là thực hiện phép trừ hoặc phép cộng theo cách mà $ x $ hoặc $ y $ biến mất.

Làm thế nào để đạt được điều này và công cụ nào để sử dụng cho việc này - chúng ta sẽ nói về vấn đề này ngay bây giờ.

Giải các bài toán dễ bằng phương pháp cộng

Vì vậy, chúng ta đang học cách áp dụng phương pháp cộng bằng cách sử dụng ví dụ của hai biểu thức đơn giản.

Nhiệm vụ 1

\ [\ left \ (\ begin (align) & 5x-4y = 22 \\ & 7x + 4y = 2 \\\ end (align) \ right. \]

Lưu ý rằng $ y $ có hệ số $ -4 $ trong phương trình đầu tiên và $ + 4 $ trong phương trình thứ hai. Chúng trái ngược nhau, vì vậy thật hợp lý khi giả định rằng nếu chúng ta cộng chúng lại với nhau, thì trong số lượng kết quả, các “trò chơi” sẽ tiêu diệt lẫn nhau. Chúng tôi thêm và nhận được:

Chúng tôi giải quyết việc xây dựng đơn giản nhất:

Tuyệt vời, chúng tôi đã tìm thấy X. Làm gì với anh ta bây giờ? Chúng ta có thể thay thế nó vào bất kỳ phương trình nào. Hãy đặt nó trong cái đầu tiên:

\ [- 4y = 12 \ còn lại | : \ left (-4 \ right) \ right. \]

Trả lời: $ \ left (2; -3 \ right) $.

Nhiệm vụ 2

\ [\ left \ (\ begin (align) & -6x + y = 21 \\ & 6x-11y = -51 \\\ end (align) \ right. \]

Ở đây, tình hình cũng hoàn toàn tương tự, chỉ với Xs. Hãy đặt chúng lại với nhau:

Chúng tôi có những gì đơn giản nhất phương trình đường thẳng, hãy giải quyết nó:

Bây giờ chúng ta hãy tìm $ x $:

Trả lời: $ \ left (-3; 3 \ right) $.

Điểm quan trọng

Như vậy là chúng ta vừa giải xong hai hệ phương trình tuyến tính đơn giản bằng phương pháp cộng. Một lần nữa các điểm chính:

Nếu có các hệ số ngược lại cho một trong các biến, thì cần phải cộng tất cả các biến trong phương trình. Trong trường hợp này, một trong số chúng sẽ bị phá hủy.
Chúng ta thay biến tìm được vào bất kỳ phương trình nào của hệ để tìm biến thứ hai.
Bản ghi cuối cùng của câu trả lời có thể được trình bày theo nhiều cách khác nhau. Ví dụ, như thế này - $ x = ..., y = ... $, hoặc ở dạng tọa độ của điểm - $ \ left (...; ... \ right) $. Tùy chọn thứ hai là thích hợp hơn. Điều chính cần nhớ là tọa độ đầu tiên là $ x $ và tọa độ thứ hai là $ y $.
Quy tắc viết câu trả lời dưới dạng tọa độ điểm không phải lúc nào cũng áp dụng được. Ví dụ: nó không thể được sử dụng khi vai trò của các biến không phải là $ x $ và $ y $, mà là $ a $ và $ b $ chẳng hạn.

Trong các bài toán sau, chúng ta sẽ xem xét kỹ thuật trừ khi các hệ số không đối nhau.

Giải các bài toán dễ bằng phương pháp trừ

Nhiệm vụ 1

\ [\ left \ (\ begin (align) & 10x-3y = 5 \\ & -6x-3y = -27 \\\ end (align) \ right. \]

Lưu ý rằng không có hệ số đối lập ở đây, nhưng có những hệ số giống hệt nhau. Do đó, chúng tôi trừ phương trình thứ hai khỏi phương trình thứ nhất:

Bây giờ chúng ta thay giá trị của $ x $ vào bất kỳ phương trình nào của hệ. Hãy đi trước:

Trả lời: $ \ left (2; 5 \ right) $.

Nhiệm vụ 2

\ [\ left \ (\ begin (align) & 5x + 4y = -22 \\ & 5x-2y = -4 \\\ end (align) \ right. \]

Chúng ta lại thấy cùng một hệ số $ 5 $ cho $ x $ trong phương trình thứ nhất và thứ hai. Do đó, thật hợp lý khi giả sử rằng bạn cần trừ đi thứ hai cho phương trình đầu tiên:

Chúng tôi đã tính toán một biến. Bây giờ, hãy tìm ví dụ thứ hai bằng cách thay thế giá trị của $ y $ vào cấu trúc thứ hai:

Trả lời: $ \ left (-3; -2 \ right) $.

Các sắc thái của giải pháp

Vậy chúng ta thấy gì? Về bản chất, sơ đồ không khác gì so với giải pháp của các hệ thống trước đây. Sự khác biệt duy nhất là chúng tôi không cộng các phương trình, nhưng trừ chúng. Chúng tôi đang thực hiện phép trừ đại số.

Nói cách khác, ngay khi bạn nhìn thấy một hệ thống gồm hai phương trình với hai ẩn số, điều đầu tiên bạn cần xem xét là các hệ số. Nếu chúng giống nhau ở bất kỳ đâu, các phương trình sẽ bị trừ, và nếu chúng ngược lại, phương pháp cộng sẽ được áp dụng. Điều này luôn được thực hiện để một trong số chúng biến mất, và trong phương trình cuối cùng vẫn còn sau phép trừ, chỉ một biến sẽ còn lại.

Tất nhiên, đó không phải là tất cả. Bây giờ chúng ta sẽ xem xét các hệ thống trong đó các phương trình nói chung là không nhất quán. Những thứ kia. không có các biến như vậy trong chúng giống nhau hoặc đối lập. Trong trường hợp này, để giải quyết các hệ thống như vậy, tiếp nhận bổ sung, cụ thể là phép nhân mỗi phương trình với một hệ số đặc biệt. Làm thế nào để tìm ra nó và làm thế nào để giải quyết các hệ thống như vậy nói chung, bây giờ chúng ta sẽ nói về điều này.

Giải bài toán bằng cách nhân với một hệ số

Ví dụ 1

\ [\ left \ (\ begin (align) & 5x-9y = 38 \\ & 3x + 2y = 8 \\\ end (align) \ right. \]

Chúng ta thấy rằng không phải đối với $ x $ hay đối với $ y $, các hệ số không chỉ đối nghịch nhau mà nói chung chúng không tương quan theo bất kỳ cách nào với một phương trình khác. Các hệ số này sẽ không biến mất theo bất kỳ cách nào, ngay cả khi chúng ta cộng hoặc trừ các phương trình với nhau. Vì vậy, cần phải áp dụng nhân giống. Hãy cố gắng loại bỏ biến $ y $. Để làm điều này, chúng ta nhân phương trình thứ nhất với hệ số của $ y $ từ phương trình thứ hai và phương trình thứ hai với hệ số của $ y $ từ phương trình thứ nhất mà không thay đổi dấu. Chúng tôi nhân rộng và có một hệ thống mới:

\ [\ left \ (\ begin (align) & 10x-18y = 76 \\ & 27x + 18y = 72 \\\ end (align) \ right. \]

Hãy xem xét nó: đối với $ y $, các hệ số ngược lại. Trong tình huống như vậy, nó là cần thiết để áp dụng phương pháp cộng. Hãy thêm:

Bây giờ chúng ta cần tìm $ y $. Để thực hiện việc này, hãy thay thế $ x $ trong biểu thức đầu tiên:

\ [- 9y = 18 \ còn lại | : \ left (-9 \ right) \ right. \]

Trả lời: $ \ left (4; -2 \ right) $.

Ví dụ số 2

\ [\ left \ (\ begin (align) & 11x + 4y = -18 \\ & 13x-6y = -32 \\\ end (align) \ right. \]

Một lần nữa, các hệ số cho không có biến nào là nhất quán. Hãy nhân với các hệ số với $ y $:

\ [\ left \ (\ begin (align) & 11x + 4y = -18 \ left | 6 \ right. \\ & 13x-6y = -32 \ left | 4 \ right. \\\ end (align) \ right . \]

\ [\ left \ (\ begin (align) & 66x + 24y = -108 \\ & 52x-24y = -128 \\\ end (align) \ right. \]

Của chúng tôi hệ thống mới tương đương với hệ số trước đó, nhưng các hệ số tại $ y $ trái ngược nhau và do đó có thể dễ dàng áp dụng phương pháp cộng ở đây:

Bây giờ, hãy tìm $ y $ bằng cách thay $ x $ vào phương trình đầu tiên:

Trả lời: $ \ left (-2; 1 \ right) $.

Các sắc thái của giải pháp

Quy tắc quan trọng ở đây là: luôn chỉ nhân với số dương- điều này sẽ giúp bạn tránh những sai lầm ngu ngốc và gây khó chịu liên quan đến việc thay đổi các biển báo. Nói chung, sơ đồ giải pháp khá đơn giản:

Chúng ta nhìn vào hệ thống và phân tích từng phương trình.
Nếu chúng ta thấy rằng không phải đối với $ y $ hay đối với $ x $ thì các hệ số đều không nhất quán, tức là chúng không bằng nhau cũng không đối nghịch, khi đó chúng ta thực hiện như sau: chọn biến cần loại bỏ, sau đó xem xét các hệ số trong các phương trình này. Nếu chúng ta nhân phương trình thứ nhất với hệ số từ phương trình thứ hai và nhân phương trình thứ hai tương ứng với hệ số từ phương trình thứ nhất, thì cuối cùng chúng ta sẽ nhận được một hệ thống hoàn toàn tương đương với hệ số trước đó và các hệ số là $ y $ sẽ nhất quán. Tất cả các hành động hoặc phép biến đổi của chúng ta chỉ nhằm mục đích nhận được một biến trong một phương trình.
Chúng tôi tìm thấy một biến.
Ta thay biến tìm được vào một trong hai phương trình của hệ và tìm biến thứ hai.
Chúng ta viết câu trả lời dưới dạng tọa độ của điểm, nếu chúng ta có các biến $ x $ và $ y $.

Nhưng ngay cả một thuật toán đơn giản như vậy cũng có sự tinh tế của nó, ví dụ, các hệ số của $ x $ hoặc $ y $ có thể là phân số và các số "xấu xí" khác. Bây giờ chúng ta sẽ xem xét các trường hợp này một cách riêng biệt, vì trong đó bạn có thể hành động theo một cách hơi khác so với theo thuật toán tiêu chuẩn.

Giải bài toán về số phân số

Ví dụ 1

\ [\ left \ (\ begin (align) & 4m-3n = 32 \\ & 0.8m + 2,5n = -6 \\\ end (align) \ right. \]

Đầu tiên, lưu ý rằng phương trình thứ hai chứa phân số. Nhưng lưu ý rằng bạn có thể chia 4 đô la cho 0,8 đô la. Chúng tôi nhận được $ 5 $. Hãy nhân phương trình thứ hai với $ 5 $:

\ [\ left \ (\ begin (align) & 4m-3n = 32 \\ & 4m + 12,5m = -30 \\\ end (align) \ right. \]

Chúng tôi trừ các phương trình cho nhau:

$ n $ chúng tôi đã tìm thấy, bây giờ chúng tôi tính $ m $:

Đáp số: $ n = -4; m = 5 $

Ví dụ số 2

\ [\ left \ (\ begin (align) & 2,5p + 1,5k = -13 \ left | 4 \ right. \\ & 2p-5k = 2 \ left | 5 \ right. \\\ end (align) \ bên phải.\]

Ở đây, như trong hệ thống trước, có tỷ lệ cược phân số Tuy nhiên, đối với không có biến nào trong số các biến, các hệ số khớp với nhau một số nguyên lần. Do đó, chúng tôi sử dụng thuật toán tiêu chuẩn. Thoát khỏi $ p $:

\ [\ left \ (\ begin (align) & 5p + 3k = -26 \\ & 5p-12,5k = 5 \\\ end (align) \ right. \]

Hãy sử dụng phương pháp trừ:

Hãy tìm $ p $ bằng cách thay $ k $ vào cấu trúc thứ hai:

Đáp số: $ p = -4; k = -2 $.

Các sắc thái của giải pháp

Đó là tất cả sự tối ưu hóa. Trong phương trình đầu tiên, chúng tôi không nhân với bất kỳ thứ gì, và phương trình thứ hai được nhân với $ 5 $. Kết quả là, chúng tôi đã thu được một phương trình nhất quán và thậm chí giống nhau cho biến đầu tiên. Trong hệ thống thứ hai, chúng tôi đã hành động theo thuật toán tiêu chuẩn.

Nhưng làm thế nào để tìm các số mà bạn cần nhân các phương trình? Rốt cuộc, nếu bạn nhân với số phân số, chúng tôi nhận được phân số mới. Do đó, các phân số phải được nhân với một số sẽ cho một số nguyên mới, và sau đó, các biến sẽ được nhân với các hệ số, tuân theo thuật toán tiêu chuẩn.

Cuối cùng, tôi muốn thu hút sự chú ý của bạn đến định dạng của bản ghi phản hồi. Như tôi đã nói, vì ở đây chúng tôi không có $ x $ và $ y $ ở đây, nhưng các giá trị khác, chúng tôi sử dụng ký hiệu không chuẩn của biểu mẫu:

Giải hệ phương trình phức tạp

Là phần hợp âm cuối cùng của video hướng dẫn ngày hôm nay, chúng ta hãy xem xét một số hệ thống phức tạp. Sự phức tạp của chúng sẽ bao gồm thực tế là chúng sẽ chứa các biến ở cả bên trái và bên phải. Do đó, để giải quyết chúng, chúng ta sẽ phải áp dụng tiền xử lý.

Hệ thống số 1

\ [\ left \ (\ begin (align) & 3 \ left (2x-y \ right) + 5 = -2 \ left (x + 3y \ right) +4 \\ & 6 \ left (y + 1 \ right) -1 = 5 \ left (2x-1 \ right) +8 \\\ end (align) \ right. \]

Mỗi phương trình đều mang một độ phức tạp nhất định. Do đó, với mỗi biểu thức, hãy làm như với một cấu trúc tuyến tính bình thường.

Tổng cộng, chúng tôi nhận được hệ thống cuối cùng, tương đương với hệ thống ban đầu:

\ [\ left \ (\ begin (align) & 8x + 3y = -1 \\ & -10x + 6y = -2 \\\ end (align) \ right. \]

Hãy xem xét các hệ số của $ y $: $ 3 $ khớp với $ 6 $ hai lần, vì vậy chúng ta nhân phương trình đầu tiên với $ 2 $:

\ [\ left \ (\ begin (align) & 16x + 6y = -2 \\ & -10 + 6y = -2 \\\ end (align) \ right. \]

Các hệ số của $ y $ hiện bằng nhau, vì vậy chúng tôi trừ hệ số thứ hai cho phương trình đầu tiên: $$

Bây giờ chúng ta hãy tìm $ y $:

Trả lời: $ \ left (0; - \ frac (1) (3) \ right) $

Hệ thống số 2

\ [\ left \ (\ begin (align) & 4 \ left (a-3b \ right) -2a = 3 \ left (b + 4 \ right) -11 \\ & -3 \ left (b-2a \ right ) -12 = 2 \ left (a-5 \ right) + b \\\ end (align) \ right. \]

Hãy biến đổi biểu thức đầu tiên:

Hãy đối phó với thứ hai:

\ [- 3 \ left (b-2a \ right) -12 = 2 \ left (a-5 \ right) + b \]

\ [- 3b + 6a-12 = 2a-10 + b \]

\ [- 3b + 6a-2a-b = -10 + 12 \]

Tổng cộng, hệ thống ban đầu của chúng tôi sẽ có dạng sau:

\ [\ left \ (\ begin (align) & 2a-15b = 1 \\ & 4a-4b = 2 \\\ end (align) \ right. \]

Nhìn vào các hệ số của $ a $, chúng ta thấy rằng phương trình đầu tiên cần được nhân với $ 2 $:

\ [\ left \ (\ begin (align) & 4a-30b = 2 \\ & 4a-4b = 2 \\\ end (align) \ right. \]

Chúng tôi trừ phần thứ hai khỏi lần xây dựng đầu tiên:

Bây giờ tìm $ a $:

Trả lời: $ \ left (a = \ frac (1) (2); b = 0 \ right) $.

Đó là tất cả. Tôi hy vọng video hướng dẫn này sẽ giúp bạn hiểu chủ đề khó này, cụ thể là giải hệ phương trình tuyến tính đơn giản. Sẽ còn nhiều bài về chủ đề này nữa: chúng ta cùng phân tích thêm ví dụ phức tạp, nơi sẽ có nhiều biến hơn và bản thân các phương trình đã là phi tuyến tính. Hẹn sớm gặp lại!

Thông thường, học sinh gặp khó khăn trong việc lựa chọn phương pháp giải hệ phương trình.

Trong bài này, chúng ta sẽ xem xét một trong những cách giải hệ thống - phương pháp thay thế.

Nếu một nghiệm chung của hai phương trình được tìm thấy, thì các phương trình này được cho là tạo thành một hệ thống. Trong một hệ phương trình, mỗi ẩn số biểu thị cùng một số trong tất cả các phương trình. Để chứng tỏ rằng những phương trình này tạo thành một hệ thống, chúng thường được viết bên dưới cái kia và kết hợp với một dấu ngoặc nhọn, chẳng hạn

Chúng ta lưu ý rằng đối với x = 15 và y = 5, cả hai phương trình của hệ đều đúng. Cặp số này là nghiệm của hệ phương trình. Mỗi cặp giá trị chưa biết thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ.

Một hệ thống có thể có một giải pháp (như trong ví dụ của chúng tôi), vô số giải pháp và không có giải pháp nào.

Làm thế nào để giải quyết các hệ thống bằng cách sử dụng phương pháp thay thế? Nếu hệ số của một số ẩn số trong cả hai phương trình đều bằng nhau trong giá trị tuyệt đối(nếu chúng không bằng nhau, thì chúng ta cân bằng), sau đó bằng cách cộng cả hai phương trình (hoặc trừ một phương trình với nhau), bạn có thể nhận được một phương trình với một ẩn số. Sau đó, chúng tôi giải phương trình này. Chúng tôi xác định một ẩn số. Chúng ta thay giá trị thu được của ẩn số vào một trong các phương trình của hệ (ở phương trình thứ nhất hoặc thứ hai). Chúng tôi tìm thấy một ẩn số khác. Hãy xem các ví dụ về ứng dụng của phương pháp này.

ví dụ 1 Giải hệ phương trình

Ở đây các hệ số của y bằng giá trị tuyệt đối bằng nhau nhưng ngược dấu. Hãy thử từng số hạng để thêm các phương trình của hệ thống.

Giá trị kết quả x \ u003d 4, chúng tôi thay thế vào một số phương trình của hệ thống (ví dụ: vào phương trình đầu tiên) và tìm giá trị của y:

2 * 4 + y \ u003d 11, y \ u003d 11 - 8, y \ u003d 3.

Hệ của chúng ta có nghiệm x = 4, y = 3. Hoặc đáp án có thể được viết trong ngoặc đơn, là tọa độ của một điểm, ở vị trí thứ nhất là x, ở vị trí thứ hai là y.

Trả lời: (4; 3)

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình

Chúng tôi cân bằng các hệ số cho biến x, vì điều này, chúng tôi nhân phương trình thứ nhất với 3 và phương trình thứ hai với (-2), chúng tôi nhận được

Hãy cẩn thận khi thêm phương trình

Khi đó y \ u003d - 2. Ta thay số (-2) vào y trong phương trình đầu tiên, ta được

4x + 3 (-2) \ u003d - 4. Chúng ta giải phương trình này 4x \ u003d - 4 + 6, 4x \ u003d 2, x \ u003d ½.

Trả lời: (1/2; - 2)

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình

Nhân phương trình đầu tiên với (-2)

Giải quyết hệ thống

chúng ta nhận được 0 = - 13.

Không có hệ nghiệm, vì 0 không bằng (-13).

Trả lời: Không có giải pháp nào.

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình

Lưu ý rằng tất cả các hệ số của phương trình thứ hai đều chia hết cho 3,

hãy chia phương trình thứ hai cho ba và chúng ta nhận được một hệ thống bao gồm hai phương trình giống hệt nhau.

Hệ này có vô số nghiệm, vì phương trình thứ nhất và thứ hai giống nhau (chúng ta chỉ có một phương trình có hai biến). Làm thế nào để trình bày các giải pháp của hệ thống này? Hãy biểu diễn biến y từ phương trình x + y = 5. Ta được y = 5 - x.

sau đó câu trả lời sẽ được viết như thế này: (x; 5-x), x là số bất kỳ.

Ta xét nghiệm của hệ phương trình bằng phương pháp cộng. Nếu bạn còn thắc mắc hoặc điều gì chưa rõ, hãy đăng ký học và chúng tôi sẽ cùng bạn khắc phục mọi vấn đề.

blog.site, với việc sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn.

Hệ phương trình tuyến tính với hai ẩn số là hai hoặc nhiều phương trình tuyến tính mà bạn cần tìm tất cả chúng giải pháp chung. Chúng ta sẽ xem xét hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số. Hình thức chung một hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số được thể hiện trong hình dưới đây:

(a1 * x + b1 * y = c1,
(a2 * x + b2 * y = c2

Ở đây x và y là các biến chưa biết, a1, a2, b1, b2, c1, c2 là một số số thực. Giải hệ hai phương trình tuyến tính có hai ẩn số là một cặp số (x, y) sao cho các số này được thay vào các phương trình của hệ thì mỗi phương trình của hệ sẽ biến thành một đẳng thức thực. Có một số cách để giải một hệ phương trình tuyến tính. Hãy xem xét một trong những cách giải hệ phương trình tuyến tính, đó là phương pháp cộng.

Thuật toán giải bằng phương pháp cộng

Thuật toán giải hệ phương trình tuyến tính với hai phương pháp cộng chưa biết.

1. Nếu được yêu cầu, bằng cách phép biến đổi tương đương cân bằng các hệ số cho một trong các biến chưa biết trong cả hai phương trình.

2. Cộng hoặc trừ các phương trình kết quả để có được một phương trình tuyến tính với một ẩn số

3. Giải phương trình kết quả với một ẩn số và tìm một trong các biến số.

4. Thay biểu thức kết quả vào bất kỳ phương trình nào trong hai phương trình của hệ và giải phương trình này, do đó nhận được biến thứ hai.

5. Kiểm tra giải pháp.

Ví dụ về giải pháp bằng phương pháp cộng

Để rõ hơn, chúng ta giải bằng phương pháp cộng hệ thống tiếp theo phương trình tuyến tính với hai ẩn số:

(3 * x + 2 * y = 10;
(5 * x + 3 * y = 12;

Vì không có biến nào có hệ số giống nhau nên chúng ta cân bằng các hệ số của biến y. Để làm điều này, hãy nhân phương trình đầu tiên với ba và phương trình thứ hai với hai.

(3 * x + 2 * y = 10 | * 3
(5 * x + 3 * y = 12 | * 2

Lấy hệ phương trình sau:

(9 * x + 6 * y = 30;
(10 * x + 6 * y = 24;

Bây giờ trừ đi đầu tiên trong phương trình thứ hai. Chúng tôi trình bày giống như các điều khoản và giải phương trình tuyến tính kết quả.

10 * x + 6 * y - (9 * x + 6 * y) = 24-30; x = -6;

Chúng tôi thay thế giá trị kết quả vào phương trình đầu tiên từ hệ thống ban đầu của chúng tôi và giải phương trình kết quả.

(3 * (- 6) + 2 * y = 10;
(2 * y = 28; y = 14;

Kết quả là cặp số x = 6 và y = 14. Chúng tôi đang kiểm tra. Chúng tôi thực hiện một sự thay thế.

(3 * x + 2 * y = 10;
(5 * x + 3 * y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Như bạn có thể thấy, chúng tôi có hai điểm bằng nhau thực sự, do đó, chúng tôi đã tìm ra giải pháp phù hợp.

Chúng ta sẽ phân tích hai dạng giải hệ phương trình:

1. Lời giải của hệ thống theo phương pháp thay thế.
2. Nghiệm của hệ bằng phép cộng (trừ) từng số hạng của các phương trình của hệ.

Để giải hệ phương trình phương pháp thay thế bạn cần tuân theo một thuật toán đơn giản:
1. Chúng tôi bày tỏ. Từ bất kỳ phương trình nào, chúng ta biểu diễn một biến.
2. Thay thế. Chúng tôi thay thế trong một phương trình khác thay vì biến được biểu thị, giá trị kết quả.
3. Chúng tôi giải phương trình kết quả với một biến. Chúng tôi tìm ra giải pháp cho hệ thống.

Để giải quyết hệ thống theo thuật ngữ cộng (trừ) cần:
1. Chọn một biến mà chúng ta sẽ tạo ra các hệ số giống nhau.
2. Chúng tôi cộng hoặc trừ các phương trình, kết quả là chúng tôi nhận được một phương trình với một biến.
3. Chúng tôi giải phương trình tuyến tính kết quả. Chúng tôi tìm ra giải pháp cho hệ thống.

Nghiệm của hệ là các giao điểm của các đồ thị của hàm số.

Chúng ta hãy xem xét chi tiết giải pháp của các hệ thống bằng cách sử dụng các ví dụ.

Ví dụ 1:

Hãy giải bằng phương pháp thay thế

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thay thế

2x + 5y = 1 (1 phương trình)
x-10y = 3 (phương trình thứ 2)

1. Express
Có thể thấy rằng trong phương trình thứ hai có một biến x với hệ số là 1, do đó việc biểu diễn biến x từ phương trình thứ hai là dễ dàng nhất.
x = 3 + 10y

2. Sau khi biểu thị, ta thay 3 + 10y vào phương trình thứ nhất thay cho biến x.
2 (3 + 10y) + 5y = 1

3. Chúng tôi giải phương trình kết quả với một biến.
2 (3 + 10y) + 5y = 1 (mở ngoặc)
6 + 20y + 5y = 1
25y = 1-6
25y = -5 |: (25)
y = -5: 25
y = -0,2

Nghiệm của hệ phương trình là giao điểm của các đồ thị, do đó ta cần tìm x và y, vì giao điểm gồm x và y Hãy tìm x, trong đoạn đầu tiên ta biểu diễn ta thay y vào đó.
x = 3 + 10y
x = 3 + 10 * (- 0,2) = 1

Thông thường khi viết điểm ở vị trí đầu tiên, chúng ta viết biến x, và ở vị trí thứ hai là biến y.
Trả lời: (1; -0,2)

Ví dụ số 2:

Hãy giải quyết bằng cách cộng (trừ) từng số hạng.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng

3x-2y = 1 (1 phương trình)
2x-3y = -10 (phương trình thứ 2)

1. Chọn một biến, giả sử chúng ta chọn x. Trong phương trình đầu tiên, biến x có hệ số là 3, trong phương trình thứ hai - 2. Chúng ta cần làm cho các hệ số giống nhau, vì điều này, chúng ta có quyền nhân các phương trình hoặc chia cho bất kỳ số nào. Nhân phương trình thứ nhất với 2 và phương trình thứ hai với 3 để được hệ số tổng thể 6.

3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2

2x-3y = -10 | * 3
6x-9y = -30

2. Từ phương trình thứ nhất, trừ biến thứ hai để loại bỏ biến x. Giải phương trình tuyến tính.
__6x-4y = 2

5y = 32 | : 5
y = 6,4

3. Tìm x. Chúng ta thay y tìm được vào bất kỳ phương trình nào, giả sử trong phương trình đầu tiên.
3x-2y = 1
3x-2 * 6.4 = 1
3x-12,8 = 1
3x = 1 + 12,8
3x = 13,8 |: 3
x = 4,6

Giao điểm sẽ là x = 4,6; y = 6,4
Trả lời: (4,6; 6,4)

Bạn có muốn chuẩn bị cho các kỳ thi miễn phí? Gia sư trực tuyến là miễn phí. Không đua đâu.

Sử dụng phương pháp cộng, các phương trình của hệ thống được thêm vào từng số hạng, trong khi 1 hoặc cả hai (một số) phương trình có thể được nhân với bất kỳ số nào. Kết quả là, chúng đi đến một SLE tương đương, trong đó một trong các phương trình chỉ có một biến.

Để giải quyết hệ thống thuật ngữ theo thuật ngữ cộng (trừ) làm theo các bước tiếp theo:

1. Chúng tôi chọn một biến mà các hệ số giống nhau sẽ được thực hiện.

2. Bây giờ bạn cần phải cộng hoặc trừ các phương trình và nhận được một phương trình với một biến.

Giải pháp hệ thống là các giao điểm của các đồ thị của hàm số.

Hãy xem các ví dụ.

ví dụ 1

Hệ thống đưa ra:

Sau khi phân tích hệ thống này, bạn có thể thấy rằng các hệ số của biến có giá trị tuyệt đối bằng nhau và khác nhau về dấu (-1 và 1). Trong trường hợp này, các phương trình có thể dễ dàng được thêm vào từng số hạng:

Các hành động được khoanh đỏ được thực hiện trong tâm trí.

Kết quả của phép cộng số hạng là sự biến mất của biến y. Nó nằm trong điều này và Đây, trên thực tế, là ý nghĩa của phương pháp - để loại bỏ biến số đầu tiên.

-4 - y + 5 = 0 → y = 1,

Như một hệ thống, giải pháp trông giống như sau:

Câu trả lời: x = -4 , y = 1.

Ví dụ 2

Hệ thống đưa ra:

Trong ví dụ này, bạn có thể sử dụng phương pháp "trường học", nhưng nó có một điểm trừ khá lớn - khi bạn biểu diễn một biến bất kỳ từ bất kỳ phương trình nào, bạn sẽ nhận được một nghiệm ở dạng phân số thông thường. Và việc giải các phân số cần đủ thời gian và xác suất mắc sai lầm tăng lên.

Do đó, tốt hơn là sử dụng phép cộng (trừ) từng số hạng của các phương trình. Hãy phân tích hệ số của các biến tương ứng:

Tìm một số có thể chia hết cho 3 và hơn thế nữa 4 , trong khi cần thiết rằng con số này càng nhỏ càng tốt. nó bội số chung nhỏ nhất. Nếu bạn khó tìm đúng số thì bạn có thể nhân các hệ số:.

Bước tiếp theo:

Nhân phương trình thứ nhất với,

Nhân phương trình thứ 3 với,