Một phân số tuần hoàn thập phân vô hạn tuần hoàn có nghĩa là gì. Số thập phân, định nghĩa, ghi âm, ví dụ, hành động với số thập phân

Ngay ở trường tiểu học, học sinh phải đối mặt với phân số. Và sau đó chúng xuất hiện trong mọi chủ đề. Không thể quên những hành động với những con số này. Vì vậy, bạn cần phải biết tất cả các thông tin về phân số thường và thập phân. Những khái niệm này rất đơn giản, điều chính là hiểu mọi thứ theo thứ tự.

Tại sao cần phân số?

Thế giới xung quanh chúng ta bao gồm toàn bộ các đối tượng. Do đó, không cần cổ phiếu. Nhưng cuộc sống hàng ngày không ngừng thúc đẩy con người làm việc với các bộ phận của đồ vật và sự vật.

Ví dụ, sô cô la bao gồm một số lát. Hãy xem xét tình huống mà ô của nó được tạo thành bởi mười hai hình chữ nhật. Nếu bạn chia nó thành hai, bạn nhận được 6 phần. Nó sẽ được chia thành ba. Nhưng năm người sẽ không thể đưa ra toàn bộ số lát sô cô la.

Nhân tiện, những lát cắt này đã là phân số. Và sự phân chia sâu hơn của chúng dẫn đến sự xuất hiện của các số phức tạp hơn.

"Phân số" là gì?

Đây là một số bao gồm các phần của một. Nhìn bề ngoài, nó giống như hai số được phân tách bằng dấu gạch ngang hoặc dấu gạch chéo. Tính năng này được gọi là phân số. Số được viết trên cùng (bên trái) được gọi là tử số. Cái ở dưới cùng (bên phải) là mẫu số.

Trên thực tế, thanh phân số hóa ra là một dấu hiệu chia. Nghĩa là, tử số có thể được gọi là một số bị chia, và mẫu số có thể được gọi là một số chia.

Các phân số là gì?

Trong toán học, chỉ có hai dạng trong số chúng: phân số thường và phân số thập phân. Học sinh làm quen với những cái đầu tiên ở lớp tiểu học, gọi chúng đơn giản là “phân số”. Lần thứ hai học ở lớp 5. Đó là khi những cái tên này xuất hiện.

Phân số chung là tất cả những phân số được viết dưới dạng hai số cách nhau một dấu thanh. Ví dụ, 4/7. Số thập phân là số trong đó phần phân số có ký hiệu vị trí và được phân cách với phần nguyên bằng dấu phẩy. Ví dụ, 4.7. Học sinh cần phải rõ rằng hai ví dụ được đưa ra là các số hoàn toàn khác nhau.

Mọi phân số đơn giản đều có thể được viết dưới dạng số thập phân. Câu nói này hầu như luôn đúng và ngược lại. Có những quy tắc cho phép bạn viết một phân số thập phân như một phân số thông thường.

Các loại phân số này có những loài con nào?

Tốt hơn là nên bắt đầu theo thứ tự thời gian, vì chúng đang được nghiên cứu. Phân số chung đứng trước. Trong số đó, 5 phân loài có thể được phân biệt.

Sửa. Tử số của nó luôn nhỏ hơn mẫu số.

Sai. Tử số của nó lớn hơn hoặc bằng mẫu số.

Giảm được / không thể điều chỉnh được. Nó có thể đúng hoặc sai. Một điều quan trọng nữa là tử số và mẫu số có chung nhân tử hay không. Nếu có, thì họ phải chia cả hai phần của phân số, nghĩa là, để giảm nó.

Trộn. Một số nguyên được gán cho phần phân số đúng (không chính xác) thông thường của nó. Và nó luôn đứng bên trái.

Tổng hợp. Nó được hình thành từ hai phân số được chia cho nhau. Đó là, nó có ba tính năng phân số cùng một lúc.

Số thập phân chỉ có hai phân loài:

cuối cùng, nghĩa là, một trong đó phần phân số bị giới hạn (có phần cuối);

vô hạn - một số có các chữ số sau dấu thập phân không kết thúc (chúng có thể được viết vô tận).

Làm thế nào để chuyển đổi số thập phân sang thông thường?

Nếu đây là một số hữu hạn, thì một liên kết dựa trên quy tắc sẽ được áp dụng - như tôi nghe nói, vì vậy tôi viết. Tức là bạn cần đọc chính xác và viết nó ra nhưng không có dấu phẩy mà phải có dòng phân số.

Như một gợi ý về mẫu số bắt buộc, hãy nhớ rằng nó luôn là một và một vài số không. Phần thứ hai cần phải được viết bằng bao nhiêu chữ số ở phần phân số của số được đề cập.

Làm thế nào để chuyển phân số thập phân thành phân số bình thường nếu phần nguyên của chúng bị thiếu, nghĩa là, bằng 0? Ví dụ: 0,9 hoặc 0,05. Sau khi áp dụng quy tắc đã chỉ định, hóa ra bạn cần viết số nguyên bằng không. Nhưng nó không được chỉ định. Nó vẫn còn để viết ra các phần phân số. Đối với số đầu tiên, mẫu số sẽ là 10, đối với thứ hai - 100. Nghĩa là, các ví dụ được chỉ ra sẽ có các số là câu trả lời: 9/10, 5/100. Hơn nữa, giá trị sau hóa ra có thể giảm đi 5. Do đó, kết quả của nó phải được viết bằng 1/20.

Làm thế nào để tạo một phân số bình thường từ một số thập phân nếu phần nguyên của nó khác 0? Ví dụ: 5.23 hoặc 13.00108. Cả hai ví dụ đều đọc phần nguyên và ghi giá trị của nó. Trong trường hợp đầu tiên, đây là 5, trong trường hợp thứ hai là 13. Sau đó, bạn cần chuyển sang phần phân số. Với họ, nó là cần thiết để thực hiện các hoạt động tương tự. Số thứ nhất có 23/100, số thứ hai có 108/100000. Giá trị thứ hai cần được giảm một lần nữa. Đáp án là hỗn số: 5 23/100 và 13 27/25000.

Làm thế nào để chuyển một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành một phân số chung?

Nếu nó không theo chu kỳ, thì hoạt động đó không thể được thực hiện. Thực tế này là do mỗi phần thập phân luôn được chuyển đổi thành cuối cùng hoặc tuần hoàn.

Điều duy nhất được phép làm với một phân số như vậy là làm tròn nó. Nhưng khi đó số thập phân sẽ xấp xỉ bằng vô hạn đó. Nó đã có thể được biến thành một cái bình thường. Nhưng quá trình ngược lại: chuyển đổi sang số thập phân - sẽ không bao giờ cung cấp giá trị ban đầu. Nghĩa là, các phân số vô hạn không tuần hoàn không được chuyển thành phân số thông thường. Điều này phải được ghi nhớ.

Làm thế nào để viết một phân số vô hạn tuần hoàn dưới dạng một thông thường?

Trong các số này, một hoặc nhiều chữ số luôn xuất hiện sau dấu thập phân, được lặp lại. Chúng được gọi là thời kỳ. Ví dụ: 0,3 (3). Đây "3" trong khoảng thời gian. Chúng được phân loại là hợp lý, vì chúng có thể được chuyển đổi thành các phân số thông thường.

Những người đã gặp phải các phân số tuần hoàn đều biết rằng chúng có thể là nguyên chất hoặc hỗn hợp. Trong trường hợp đầu tiên, dấu chấm bắt đầu ngay từ dấu phẩy. Trong phần thứ hai, phần phân số bắt đầu với bất kỳ số nào, và sau đó bắt đầu lặp lại.

Quy tắc mà bạn cần viết một số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng một phân số thông thường sẽ khác nhau đối với hai loại số này. Nó là khá dễ dàng để viết các phân số tuần hoàn thuần túy như một phân số thông thường. Đối với những số cuối cùng, chúng cần được chuyển đổi: viết dấu chấm vào tử số và số 9 sẽ là mẫu số, lặp lại bao nhiêu lần nếu có chữ số trong chu kỳ.

Ví dụ: 0, (5). Số không có phần nguyên nên bạn cần chuyển ngay sang phần phân số. Viết 5 vào tử số và viết 9 ở mẫu số, tức là, đáp số sẽ là phân số 5/9.

Quy tắc về cách viết một phân số thập phân thông thường là một phân số hỗn hợp.

Nhìn vào độ dài của chu kỳ. Vì vậy, nhiều 9 sẽ có một mẫu số.

Viết ra mẫu số: số chín đầu tiên, sau đó đến số không.

Để xác định tử số, bạn cần viết hiệu của hai số. Tất cả các chữ số sau dấu thập phân sẽ được giảm bớt cùng với dấu chấm. Có thể trừ - không có kinh.

Ví dụ: 0,5 (8) - viết phân số thập phân tuần hoàn dưới dạng phân số chung. Phần phân số trước dấu chấm là một chữ số. Vì vậy, số không sẽ là một. Cũng chỉ có một chữ số trong khoảng thời gian - 8. Tức là, chỉ có một chữ số chín. Đó là, bạn cần phải viết 90 ở mẫu số.

Để xác định tử số của 58, bạn cần phải trừ đi 5. Nó ra 53. Ví dụ, bạn sẽ phải viết 53/90 như một câu trả lời.

Làm thế nào để chuyển đổi các phân số thông thường sang số thập phân?

Tùy chọn đơn giản nhất là một số có mẫu số là số 10, 100, v.v. Sau đó, mẫu số bị loại bỏ đơn giản và dấu phẩy được đặt giữa phần phân số và phần nguyên.

Có những trường hợp khi mẫu số dễ dàng biến thành 10, 100, v.v. Ví dụ, các số 5, 20, 25. Chỉ cần nhân chúng với 2, 5 và 4 tương ứng là đủ. Chỉ cần nhân không chỉ mẫu số mà còn nhân tử số với cùng một số.

Đối với tất cả các trường hợp khác, một quy tắc đơn giản sẽ có ích: chia tử số cho mẫu số. Trong trường hợp này, bạn có thể nhận được hai câu trả lời: một phần cuối cùng hoặc một phần thập phân tuần hoàn.

Các phép toán với phân số chung

Cộng và trừ

Học sinh làm quen với họ sớm hơn những người khác. Và lúc đầu các phân số có cùng mẫu số, sau đó khác nhau. Các quy tắc chung có thể được rút gọn thành một kế hoạch như vậy.

Tìm bội chung nhỏ nhất của các mẫu số.

Viết thừa số phụ cho tất cả các phân số thông thường.

Nhân tử số và mẫu số với thừa số được xác định cho chúng.

Cộng (trừ) tử số của các phân số và giữ nguyên mẫu số chung.

Nếu tử số của số hạng nhỏ hơn số hạng con, thì bạn cần tìm xem chúng ta có một hỗn số hay một phân số thích hợp.

Trong trường hợp đầu tiên, phần nguyên cần lấy một. Thêm một mẫu số vào tử số của một phân số. Và sau đó thực hiện phép trừ.

Ở thứ hai - cần áp dụng quy tắc trừ số bé hơn cho số lớn hơn. Tức là, trừ mô-đun của giá trị nhỏ nhất khỏi mô-đun của chuỗi con và đặt dấu “-” để phản hồi.

Xem kỹ kết quả của phép cộng (trừ). Nếu bạn nhận được một phân số không phù hợp, thì bạn phải chọn toàn bộ phần đó. Tức là chia tử số cho mẫu số.

Nhân và chia

Để thực hiện chúng, các phân số không cần phải thu gọn về một mẫu số chung. Điều này giúp bạn dễ dàng thực hiện hành động hơn. Nhưng họ vẫn phải tuân theo các quy tắc.

Khi nhân các phân số thông thường, cần xét các số ở tử số và mẫu số. Nếu tử số và mẫu số có chung tử số thì có thể rút gọn chúng.

Nhân tử số.

Nhân các mẫu số.

Nếu bạn nhận được một phân số có thể rút gọn, thì nó phải được đơn giản hóa một lần nữa.

Khi chia, trước tiên bạn phải thay phép chia bằng phép nhân, và phép chia (phân số thứ hai) bằng một nghịch đảo (hoán đổi tử số và mẫu số).

Sau đó tiến hành như trong phép nhân (bắt đầu từ điểm 1).

Trong các tác vụ mà bạn cần nhân (chia) với một số nguyên, phần sau được cho là viết dưới dạng một phân số không đúng. Tức là, với mẫu số là 1. Sau đó tiến hành như mô tả ở trên.

Các phép toán với số thập phân

Cộng và trừ

Tất nhiên, bạn luôn có thể biến một số thập phân thành một phân số chung. Và hành động theo kế hoạch đã được mô tả. Nhưng đôi khi sẽ thuận tiện hơn khi hành động mà không có bản dịch này. Sau đó, các quy tắc cộng và trừ của họ sẽ hoàn toàn giống nhau.

Cân bằng số chữ số ở phần thập phân của số, nghĩa là sau dấu thập phân. Gán số lượng số không còn thiếu trong đó.

Viết các phân số sao cho dưới dấu phẩy.

Cộng (trừ) như số tự nhiên.

Bỏ dấu phẩy.

Nhân và chia

Điều quan trọng là bạn không cần phải thêm các số không vào đây. Các phân số phải được để lại như chúng được đưa ra trong ví dụ. Và sau đó đi theo kế hoạch.

Đối với phép nhân, bạn cần viết các phân số lần lượt dưới các phân số khác, không chú ý đến dấu phẩy.

Nhân giống số tự nhiên.

Đặt dấu phẩy vào câu trả lời, đếm từ cuối bên phải của câu trả lời có bao nhiêu chữ số ở phần phân số của cả hai thừa số.

Để chia, trước tiên bạn phải chuyển số bị chia thành số tự nhiên. Nghĩa là, nhân nó với 10, 100, v.v., tùy thuộc vào bao nhiêu chữ số ở phần phân số của số bị chia.

Nhân số cổ tức với cùng một số.

Chia một số thập phân cho một số tự nhiên.

Đặt dấu phẩy vào câu trả lời tại thời điểm kết thúc việc chia cả phần.

Điều gì sẽ xảy ra nếu có cả hai loại phân số trong một ví dụ?

Đúng vậy, trong toán học thường có các ví dụ mà bạn cần thực hiện các phép toán trên phân số thông thường và phân số thập phân. Có hai giải pháp khả thi cho những vấn đề này. Bạn cần phải cân nhắc các con số một cách khách quan và chọn ra con tốt nhất.

Cách thứ nhất: biểu diễn số thập phân thông thường

Sẽ phù hợp nếu khi chia hoặc chuyển đổi, thu được các phân số cuối cùng. Nếu ít nhất một số cho một phần tuần hoàn, thì kỹ thuật này bị cấm. Vì vậy, ngay cả khi bạn không thích làm việc với các phân số thông thường, bạn sẽ phải đếm chúng.

Cách thứ hai: viết các phân số thập phân như bình thường

Kỹ thuật này thuận tiện nếu có 1-2 chữ số ở phần sau dấu thập phân. Nếu có nhiều hơn trong số chúng, một phân số bình thường rất lớn có thể xuất hiện và các mục thập phân sẽ cho phép bạn tính toán nhiệm vụ nhanh hơn và dễ dàng hơn. Vì vậy, luôn luôn cần phải tỉnh táo đánh giá nhiệm vụ và lựa chọn phương pháp giải quyết đơn giản nhất.

Thực tế là nhiều căn bậc hai là số vô tỉ, không làm giảm ý nghĩa của chúng, đặc biệt, số $ \ sqrt2 $ rất thường được sử dụng trong các tính toán khoa học và kỹ thuật khác nhau. Con số này có thể được tính toán với độ chính xác cần thiết trong từng trường hợp cụ thể. Bạn có thể nhận được con số này với bao nhiêu chữ số thập phân mà bạn có đủ kiên nhẫn.

Ví dụ: số $ \ sqrt2 $ có thể được xác định thành sáu chữ số thập phân: $ \ sqrt2 = 1.414214 $. Giá trị này không khác nhiều so với giá trị thực, vì $ 1,414214 \ times 1,414214 = 2,000001237796 $. Câu trả lời này khác với 2 chỉ hơn một phần triệu. Do đó, giá trị của $ \ sqrt2 $, bằng $ 1,414214 $, được coi là khá chấp nhận được để giải quyết hầu hết các vấn đề thực tế. Trong trường hợp yêu cầu độ chính xác cao hơn, không khó để có được nhiều chữ số có nghĩa sau dấu thập phân như cần thiết trong trường hợp này.

Tuy nhiên, nếu bạn tỏ ra cứng đầu hiếm có và cố gắng moi Căn bậc hai từ số $ \ sqrt2 $ cho đến khi bạn đạt được kết quả chính xác, bạn sẽ không bao giờ hoàn thành công việc của mình. Đó là một quá trình vô tận. Bất kể bạn nhận được bao nhiêu chữ số thập phân, sẽ luôn có thêm một vài chữ số nữa.

Thực tế này có thể làm bạn ngạc nhiên nhiều như biến $ \ frac13 $ thành một số thập phân vô hạn $ 0,333333333… $, v.v. vô hạn hoặc biến $ \ frac17 $ thành $ 0,142857142857142857… $ vô hạn. Thoạt nhìn, có vẻ như những căn bậc hai vô hạn và vô tỷ này là những hiện tượng có cùng bậc, nhưng điều này hoàn toàn không phải như vậy. Rốt cuộc, những phân số vô hạn này có tương đương với phân số, trong khi $ \ sqrt2 $ không có tương đương như vậy. Và tại sao, chính xác? Thực tế là phần thập phân tương đương của $ \ frac13 $ và $ \ frac17 $, cũng như vô số các phân số khác, là các phân số vô hạn tuần hoàn.

Đồng thời, phần thập phân tương đương của $ \ sqrt2 $ là một phân số không tuần hoàn. Tuyên bố này cũng đúng với bất kỳ số vô tỉ nào.

Vấn đề là bất kỳ số thập phân nào gần đúng với căn bậc hai của 2 là phần không tuần hoàn. Bất kể chúng ta tiến xa đến đâu trong các phép tính, bất kỳ phân số nào chúng ta nhận được sẽ không tuần hoàn.

Hãy tưởng tượng một phân số với một số lượng lớn các chữ số không tuần hoàn sau dấu thập phân. Nếu đột nhiên sau chữ số thứ một phần triệu, toàn bộ dãy chữ số thập phân được lặp lại, thì số thập phân- tuần hoàn và đối với nó có một tương đương ở dạng một tỷ lệ số nguyên. Nếu một phân số có một số khổng lồ (hàng tỷ hoặc hàng triệu) chữ số thập phân không tuần hoàn tại một thời điểm nào đó có một dãy chữ số lặp lại vô tận, ví dụ: $… 55555555555… $, thì điều này cũng có nghĩa là phân số này là tuần hoàn và có giá trị tương đương cho nó dưới dạng một tỷ lệ của các số nguyên.

Tuy nhiên, trong trường hợp các số tương đương thập phân của chúng hoàn toàn không tuần hoàn và không thể trở thành tuần hoàn.

Tất nhiên, bạn có thể đặt câu hỏi sau: “Và ai có thể biết và nói chắc chắn điều gì xảy ra với một phần nhỏ, chẳng hạn, sau dấu hiệu nghìn tỷ? Ai có thể đảm bảo rằng phân số sẽ không trở thành tuần hoàn? Có nhiều cách để chứng minh một cách không thể chối cãi rằng số vô tỉ là không tuần hoàn, nhưng những cách chứng minh như vậy đòi hỏi một bộ máy toán học phức tạp. Nhưng nếu đột nhiên biến một số vô tỉ trở thành phân số tuần hoàn, điều này có nghĩa là hoàn toàn sụp đổ nền tảng của khoa học toán học. Và trên thực tế, điều này khó có thể xảy ra. Điều này không chỉ để bạn ném các khớp ngón tay từ bên này sang bên kia, có một lý thuyết toán học phức tạp ở đây.

Bài văn này là về số thập phân. Ở đây chúng ta sẽ giải quyết kí hiệu thập phân của số thập phân, giới thiệu khái niệm phân số thập phân và đưa ra ví dụ về phân số thập phân. Tiếp theo, chúng ta hãy nói về các chữ số của phân số thập phân, cho biết tên của các chữ số. Sau đó, chúng ta sẽ tập trung vào phân số thập phân vô hạn tuần hoàn, nói về phân số tuần hoàn và không tuần hoàn. Tiếp theo, chúng tôi liệt kê các hành động chính với phân số thập phân. Suy ra, chúng ta thiết lập vị trí của các phân số thập phân trên tia tọa độ.

Điều hướng trang.

Ký hiệu thập phân của một số phân số

Đọc số thập phân

Hãy phát biểu một vài từ về quy tắc đọc phân số thập phân.

Các phân số thập phân, tương ứng với các phân số bình thường chính xác, được đọc giống như các phân số bình thường này, chỉ có "số nguyên" được thêm vào trước. Ví dụ: phân số thập phân 0,12 tương ứng với phân số thông thường 12/100 (nó đọc là "mười hai phần trăm"), do đó, 0,12 được đọc là "không phẩy mười hai phần trăm".

Các phân số thập phân, tương ứng với hỗn số, được đọc giống hệt như các hỗn số này. Ví dụ: phân số thập phân 56.002 tương ứng với một số hỗn hợp, do đó, phân số thập phân 56.002 được đọc là "năm mươi sáu phẩy hai phần nghìn".

Địa điểm trong số thập phân

Trong ký hiệu của phân số thập phân, cũng như trong ký hiệu của số tự nhiên, giá trị của mỗi chữ số phụ thuộc vào vị trí của nó. Thật vậy, số 3 trong số thập phân 0,3 có nghĩa là ba phần mười, trong số thập phân 0,0003 - ba phần mười nghìn, và trong số thập phân 30.000.152 - ba chục nghìn. Vì vậy, chúng ta có thể nói về chữ số trong số thập phân, cũng như về các chữ số trong số tự nhiên.

Tên các chữ số trong phần thập phân đến dấu thập phân hoàn toàn trùng với tên các chữ số trong số tự nhiên. Và tên của các chữ số trong phần thập phân sau dấu thập phân có thể nhìn thấy từ bảng sau.

Ví dụ, trong phân số thập phân 37.051, số 3 ở hàng chục, 7 ở hàng đơn vị, 0 ở vị trí thứ mười, 5 ở vị trí trăm, 1 ở vị trí nghìn.

Các chữ số trong phần thập phân cũng khác nhau về thâm niên. Nếu chúng ta chuyển từ chữ số này sang chữ số khác từ trái sang phải trong ký hiệu thập phân, thì chúng ta sẽ chuyển từ người lớn tuổiđến cấp bậc cơ sở. Ví dụ: chữ số hàng trăm lớn hơn chữ số phần mười và chữ số phần triệu nhỏ hơn chữ số hàng trăm. Trong phần thập phân cuối cùng này, chúng ta có thể nói về các chữ số có nghĩa nhiều nhất và ít có nghĩa nhất. Ví dụ: trong số thập phân 604,9387 cao cấp (cao nhất) chữ số là chữ số hàng trăm và cơ sở (thấp nhất)- vị trí thứ mười nghìn.

Đối với các phân số thập phân, việc mở rộng thành các chữ số diễn ra. Nó tương tự như việc mở rộng các chữ số của số tự nhiên. Ví dụ, khai triển thập phân của 45,6072 là: 45,6072 = 40 + 5 + 0,6 + 0,007 + 0,0002. Và các thuộc tính của phép cộng từ việc mở rộng phân số thập phân thành chữ số cho phép bạn chuyển sang các biểu diễn khác của phân số thập phân này, ví dụ: 45,6072 = 45 + 0,6072 hoặc 45,6072 = 40,6 + 5,007 + 0,0002 hoặc 45,6072 = 45,0072 + 0,6 .

Cuối số thập phân

Cho đến thời điểm này, chúng ta mới chỉ nói về phân số thập phân, trong bản ghi có một số hữu hạn chữ số sau dấu thập phân. Những phân số như vậy được gọi là phân số thập phân cuối cùng.

Sự định nghĩa.

Cuối số thập phân- Đây là các phân số thập phân, các bản ghi chứa một số lượng ký tự (chữ số) hữu hạn.

Dưới đây là một số ví dụ về số thập phân cuối cùng: 0,317, 3,5, 51.1020304958, 230 032.45.

Tuy nhiên, không phải mọi phân số chung đều có thể được biểu diễn dưới dạng phân số thập phân hữu hạn. Ví dụ, phân số 5/13 không thể được thay thế bằng phân số bằng nhau có một trong các mẫu số 10, 100, ..., do đó, nó không thể chuyển thành phân số thập phân cuối cùng. Chúng ta sẽ nói thêm về vấn đề này trong phần lý thuyết về chuyển đổi phân số thông thường sang phân số thập phân.

Số thập phân vô hạn tuần hoàn: phân số tuần hoàn và phân số không tuần hoàn

Khi viết một phân số thập phân sau dấu thập phân, bạn có thể cho phép khả năng có vô số chữ số. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ xem xét cái gọi là phân số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Sự định nghĩa.

Số thập phân vô tận- Đây là các phân số thập phân, trong hồ sơ có vô số chữ số.

Rõ ràng là chúng ta không thể viết đầy đủ các phân số thập phân vô hạn tuần hoàn, do đó, khi ghi chúng, chúng chỉ được giới hạn ở một số hữu hạn chữ số sau dấu thập phân và đặt một dấu chấm lửng biểu thị một dãy chữ số liên tục vô hạn. Dưới đây là một số ví dụ về phân số thập phân vô hạn tuần hoàn: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Nếu bạn nhìn kỹ hai phân số thập phân vô tận cuối cùng, thì trong phân số 2.111111111 ... số lặp lại vô hạn 1 sẽ thấy rõ, và trong phân số 69.74152152152 ..., bắt đầu từ chữ số thập phân thứ ba, nhóm số lặp lại 1, 5 và 2 có thể nhìn thấy rõ ràng. Các phân số thập phân vô hạn tuần hoàn như vậy được gọi là tuần hoàn.

Sự định nghĩa.

Số thập phân tuần hoàn(hoặc đơn giản phân số tuần hoàn) là các phân số thập phân vô hạn tuần hoàn, trong bản ghi của chúng, bắt đầu từ một vị trí thập phân nhất định, một số chữ số hoặc một nhóm chữ số, được gọi là giai đoạn phân số.

Ví dụ, chu kỳ của phân số tuần hoàn 2.111111111… là số 1, và chu kỳ của phân số 69.74152152152… là một nhóm các số như 152.

Đối với các phân số thập phân vô hạn tuần hoàn, một ký hiệu đặc biệt đã được chấp nhận. Để ngắn gọn, chúng tôi đồng ý viết khoảng thời gian một lần, đặt nó trong ngoặc đơn. Ví dụ, phân số tuần hoàn 2.111111111… được viết là 2, (1), và phân số tuần hoàn 69.74152152152… được viết là 69.74 (152).

Điều đáng chú ý là đối với cùng một phân số thập phân tuần hoàn, bạn có thể chỉ định các khoảng thời gian khác nhau. Ví dụ: số thập phân tuần hoàn 0,73333… có thể được coi là phân số 0,7 (3) với chu kỳ là 3, cũng như phân số 0,7 (33) với chu kỳ là 33, v.v. 0,7 (333), 0,7 (3333 ), ... Bạn cũng có thể xem phân số tuần hoàn 0,73333 ... như thế này: 0,733 (3), hoặc như thế này 0,73 (333), v.v. Ở đây, để tránh sự mơ hồ và không nhất quán, chúng tôi đồng ý coi chu kỳ của phân số thập phân là chu kỳ ngắn nhất trong tất cả các dãy chữ số lặp lại có thể có và bắt đầu từ vị trí gần nhất đến dấu thập phân. Nghĩa là, chu kỳ của phân số thập phân 0,73333… sẽ được coi là dãy có một chữ số 3 và chu kỳ bắt đầu từ vị trí thứ hai sau dấu thập phân, tức là 0,73333… = 0,7 (3). Một ví dụ khác: phân số tuần hoàn 4,7412121212… có chu kỳ là 12, chu kỳ bắt đầu từ chữ số thứ ba sau dấu thập phân, tức là, 4,7412121212… = 4,74 (12).

Phân số thập phân vô hạn tuần hoàn nhận được bằng cách chuyển đổi thành phân số thập phân của phân số thông thường mà mẫu số của chúng chứa các thừa số nguyên tố khác 2 và 5.

Ở đây, điều đáng nói là phân số tuần hoàn với chu kỳ là 9. Dưới đây là ví dụ về các phân số như vậy: 6,43 (9), 27, (9). Các phân số này là một ký hiệu khác cho các phân số tuần hoàn có chu kỳ 0 và theo thông lệ người ta thường thay thế chúng bằng các phân số tuần hoàn có chu kỳ 0. Để làm điều này, dấu chấm 9 được thay bằng dấu chấm 0 và giá trị của chữ số cao nhất tiếp theo được tăng lên một. Ví dụ, một phân số có chu kỳ 9 ở dạng 7.24 (9) được thay thế bằng phân số tuần hoàn với chu kỳ 0 ở dạng 7.25 (0) hoặc một phân số thập phân cuối cùng bằng 7,25. Một ví dụ khác: 4, (9) = 5, (0) = 5. Đẳng thức của một phân số có chu kỳ là 9 và phân số tương ứng với chu kỳ là 0 dễ dàng được thiết lập sau khi thay các phân số thập phân này bằng các phân số thông thường bằng nhau của chúng.

Cuối cùng, chúng ta hãy xem xét kỹ hơn các số thập phân vô hạn, không có dãy chữ số lặp lại vô hạn. Chúng được gọi là không tuần hoàn.

Sự định nghĩa.

Số thập phân không lặp lại(hoặc đơn giản phân số không tuần hoàn) là các số thập phân vô hạn không có dấu chấm.

Đôi khi các phân số không tuần hoàn có dạng tương tự như các phân số tuần hoàn, ví dụ: 8.02002000200002 ... là một phân số không tuần hoàn. Trong những trường hợp này, bạn nên đặc biệt cẩn thận để nhận thấy sự khác biệt.

Lưu ý rằng phân số không tuần hoàn không được chuyển thành phân số thông thường, phân số thập phân vô hạn tuần hoàn biểu diễn số vô tỉ.

Các phép toán với số thập phân

Một trong những hành động với số thập phân là so sánh và bốn số học cơ bản cũng được định nghĩa phép toán với số thập phân: cộng, trừ, nhân và chia. Hãy xem xét riêng từng hành động với phân số thập phân.

So sánh thập phân thực chất là dựa trên việc so sánh các phân số thông thường tương ứng với các phân số thập phân được so sánh. Tuy nhiên, việc chuyển đổi các phân số thập phân thành các phân số thông thường là một thao tác khá tốn công sức và các phân số không lặp lại vô hạn không thể được biểu diễn dưới dạng một phân số bình thường, vì vậy sẽ rất tiện lợi khi sử dụng phép so sánh một chút giữa các phân số thập phân. So sánh bit của các số thập phân tương tự như so sánh các số tự nhiên. Để biết thêm thông tin chi tiết, chúng tôi khuyên bạn nên nghiên cứu tài liệu bài viết so sánh phân số thập phân, quy tắc, ví dụ, cách giải.

Hãy chuyển sang bước tiếp theo - nhân số thập phân. Phép nhân phân số thập phân tận cùng được thực hiện tương tự như phép trừ phân số thập phân, quy tắc, ví dụ, cách giải phép nhân với một cột số tự nhiên. Trong trường hợp phân số tuần hoàn, phép nhân có thể rút gọn thành phép nhân các phân số thông thường. Đổi lại, phép nhân các phân số thập phân vô hạn tuần hoàn không tuần hoàn sau khi làm tròn được rút gọn thành phép nhân các phân số thập phân hữu hạn. Chúng tôi khuyên bạn nên nghiên cứu thêm tài liệu của bài viết phép nhân phân số thập phân, quy tắc, ví dụ, cách giải.

Số thập phân trên chùm tọa độ

Có sự tương ứng 1-1 giữa các dấu chấm và số thập phân.

Hãy tìm cách dựng điểm trên tia tọa độ tương ứng với một phân số thập phân cho trước.

Ta có thể thay phân số thập phân hữu hạn và phân số thập phân vô hạn tuần hoàn bằng các phân số thông thường bằng chúng, sau đó dựng các phân số thông thường tương ứng trên tia tọa độ. Ví dụ, một phân số thập phân 1,4 tương ứng với một phân số thông thường 14/10, do đó, điểm có tọa độ 1,4 bị xóa khỏi gốc theo hướng dương 14 đoạn bằng một phần mười của một đoạn.

Các phân số thập phân có thể được đánh dấu trên chùm tọa độ, bắt đầu từ việc khai triển phân số thập phân này thành các chữ số. Ví dụ: giả sử chúng ta cần xây dựng một điểm có tọa độ là 16.3007, vì 16.3007 = 16 + 0.3 + 0.0007, sau đó chúng ta có thể đến điểm này bằng cách đặt liên tiếp 16 đoạn đơn vị từ gốc tọa độ, 3 đoạn, độ dài trong đó bằng một phần mười đơn vị và 7 đoạn, độ dài của chúng bằng một phần mười nghìn của một đoạn đơn vị.

Phương pháp xây dựng số thập phân trên chùm tọa độ này cho phép bạn đến gần điểm tương ứng với một phân số thập phân vô hạn tuần hoàn theo ý muốn.

Đôi khi có thể vẽ chính xác một điểm tương ứng với một số thập phân vô hạn. Ví dụ, , thì phân số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,41421 ... này tương ứng với điểm thuộc tia tọa độ, cách gốc tọa độ bằng độ dài đường chéo của hình vuông có cạnh bằng 1 đoạn đơn vị.

Quá trình ngược lại để thu được một phân số thập phân tương ứng với một điểm cho trước trên chùm tọa độ được gọi là số đo thập phân của một đoạn. Hãy xem nó được thực hiện như thế nào.

Hãy để nhiệm vụ của chúng ta là đi từ điểm gốc đến một điểm đã cho trên đường tọa độ (hoặc tiếp cận vô hạn nếu không thể đến được). Với phép đo thập phân của một đoạn, chúng ta có thể tuần tự hoãn lại bất kỳ số lượng phân đoạn đơn vị nào từ gốc, sau đó là các đoạn có độ dài bằng một phần mười đoạn đơn, sau đó là các đoạn có độ dài bằng một phần trăm của một đoạn, v.v. . Bằng cách viết ra số đoạn thẳng được vẽ trên mỗi độ dài, chúng ta nhận được phân số thập phân tương ứng với một điểm cho trước trên tia tọa độ.

Ví dụ, để đến điểm M trong hình trên, bạn cần dành ra 1 đoạn đơn vị và 4 đoạn thẳng, độ dài của chúng bằng một phần mười đơn vị. Như vậy, điểm M tương ứng với phân số thập phân 1,4.

Rõ ràng là các điểm của chùm tọa độ, không thể đạt được trong quá trình đo thập phân, tương ứng với các phân số thập phân vô hạn.

Thư mục.

toán học: học. cho 5 ô. giáo dục phổ thông các tổ chức / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - ấn bản thứ 21, bị xóa. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 trang: ốm. ISBN 5-346-00699-0.
Toán học. Lớp 6: SGK. cho giáo dục phổ thông các cơ sở / [N. Ya. Vilenkin và những người khác]. - Xuất bản lần thứ 22, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p: bệnh. ISBN 978-5-346-00897-2.
Đại số học: sách giáo khoa cho 8 ô. giáo dục phổ thông các tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ấn bản thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : tôi sẽ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Toán học (sách hướng dẫn cho người nộp đơn vào các trường kỹ thuật): Proc. trợ cấp.- M.; Cao hơn school, 1984.-351 p., ill.

Được biết rằng nếu mẫu số P Phân số bất khả quy trong khai triển chính tắc của nó có thừa số nguyên tố không bằng 2 và 5, khi đó phân số này không thể được biểu diễn dưới dạng phân số thập phân hữu hạn. Nếu trong trường hợp này chúng ta cố gắng viết phân số bất khả quy ban đầu dưới dạng số thập phân, chia tử số cho mẫu số, thì quá trình chia không thể kết thúc, bởi vì nếu nó được hoàn thành sau một số bước hữu hạn, chúng ta sẽ nhận được một phân số thập phân hữu hạn trong thương, điều này mâu thuẫn với định lý đã chứng minh trước đó. Vì vậy, trong trường hợp này, ký hiệu thập phân cho một số hữu tỉ dương là một= được biểu diễn dưới dạng phân số vô hạn.

Ví dụ, phân số = 0,3636 .... Dễ dàng nhận thấy rằng các phần dư khi chia 4 cho 11 được lặp lại định kỳ, do đó, các chữ số thập phân sẽ được lặp lại định kỳ, tức là hóa ra số thập phân vô hạn tuần hoàn, có thể được viết là 0, (36).

Số 3 và 6 lặp lại định kỳ tạo thành một chu kỳ. Nó có thể chỉ ra rằng có một số chữ số giữa dấu phẩy và đầu của dấu chấm đầu tiên. Những con số này tạo thành tiền kỳ. Ví dụ,

0,1931818 ... Quá trình chia 17 cho 88 là vô hạn. Các số 1, 9, 3 tạo thành tiền kỳ; 1, 8 - dấu chấm. Các ví dụ mà chúng tôi đã xem xét phản ánh một mô hình, tức là bất kỳ số hữu tỉ dương nào cũng có thể được biểu diễn bằng phần thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

Định lý 1. Cho một phân số thông thường là bất khả quy và trong khai triển chính tắc của mẫu số N có một thừa số đơn giản khác 2 và 5. Khi đó phân số thông thường có thể được biểu diễn bằng một phân số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Bằng chứng. Chúng ta đã biết rằng quá trình chia một số tự nhiên mđến một số tự nhiên N sẽ là vô tận. Hãy để chúng tôi cho thấy rằng nó sẽ được định kỳ. Thật vậy, khi chia m trên N phần dư sẽ nhỏ hơn N, những thứ kia. số có dạng 1, 2, ..., ( N- 1), cho thấy rằng số lượng dư khác nhau là hữu hạn và do đó, bắt đầu từ một bước nhất định, một số dư sẽ được lặp lại, kéo theo sự lặp lại các chữ số thập phân của thương và phân số thập phân vô hạn tuần hoàn trở thành tuần hoàn.

Có hai định lý nữa.

Định lý 2. Nếu khai triển mẫu số của một phân số bất khả quy thành thừa số nguyên tố không bao gồm các số 2 và 5, thì khi chuyển phân số này thành phân số thập phân vô hạn tuần hoàn, sẽ thu được một phân số thuần túy tuần hoàn, tức là. Một phân số có dấu chấm bắt đầu ngay sau dấu thập phân.

Định lý 3. Nếu khai triển của mẫu số bao gồm thừa số 2 (hoặc 5) hoặc cả hai, thì phân số vô hạn tuần hoàn sẽ là hỗn hợp, tức là giữa dấu phẩy và đầu khoảng thời gian sẽ có một số chữ số (trước dấu chấm), cụ thể là bao nhiêu số lớn nhất trong số các số mũ của thừa số 2 và 5.

Các định lý 2 và 3 được mời để người đọc tự chứng minh.

28. Các cách đi từ vô hạn tuần hoàn
phân số thập phân thành phân số chung

Để có một phân số tuần hoàn một= 0, (4), tức là 0,4444 ....

Hãy nhân lên mộtđến 10, chúng tôi nhận được

10một= 4,444… 4… Þ 10 một = 4 + 0,444….

Những thứ kia. mười một = 4 + một, chúng tôi đã có phương trình cho một, giải quyết nó, chúng tôi nhận được: 9 một= 4 Þ một = .

Lưu ý rằng 4 vừa là tử số của phân số vừa là chu kỳ của phân số 0, (4).

luật lệ Việc chuyển đổi thành một phân số thông thường của một phân số thuần túy tuần hoàn được lập công thức như sau: tử số của phân số bằng chu kỳ và mẫu số bao gồm một số niken sao cho có các chữ số trong chu kỳ của phân số.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh quy tắc này cho một phân số có chu kỳ bao gồm P

một=. Hãy nhân lên một trên 10 N, chúng tôi nhận được:

10N × một = = + 0, ;

10N × một = + một;

(10N – 1) một = Þ a ==.

Vì vậy, quy tắc được xây dựng trước đây được chứng minh cho bất kỳ phân số tuần hoàn thuần túy nào.

Bây giờ hãy cho một phân số một= 0,605 (43) - hỗn hợp tuần hoàn. Hãy nhân lên một bằng 10 với một chỉ báo như có bao nhiêu chữ số trong khoảng thời gian trước, tức là đến 10 3, chúng tôi nhận được

10 3 x một= 605 + 0, (43) Þ 10 3 × một = 605 + = 605 + = = ,

những thứ kia. 10 3 x một= .

luật lệ Việc chuyển đổi thành phân số thông thường của phân số tuần hoàn hỗn hợp được lập công thức như sau: tử số của phân số bằng hiệu giữa số viết bằng chữ số trước đầu chu kì thứ hai và số viết bằng chữ số trước đầu kì thứ nhất. chu kỳ, mẫu số bao gồm một số chín như vậy có các chữ số trong chu kỳ và số các số không đó bao nhiêu chữ số trước đầu của kỳ đầu tiên.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh quy tắc này cho một phân số có tiền nghiệm bao gồm P chữ số và khoảng thời gian là đến các chữ số. Để có một phân số tuần hoàn

Chứng tỏ trong= ; r= ,

với= ; sau đó với=trong × 10k + r.

Hãy nhân lên một bằng 10 với số mũ như vậy có bao nhiêu chữ số trong khoảng thời gian trước, tức là trên 10 N, chúng tôi nhận được:

một× 10 N = + .

Có tính đến ký hiệu được giới thiệu ở trên, chúng tôi viết:

a × 10N= trong+ .

Vì vậy, quy tắc được xây dựng ở trên được chứng minh cho bất kỳ phân số tuần hoàn hỗn hợp nào.

Mọi phân số thập phân vô hạn tuần hoàn là một dạng viết một số hữu tỉ.

Vì sự đồng nhất, đôi khi một số thập phân hữu hạn cũng được coi là một số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kỳ là "0". Ví dụ: 0,27 = 0,27000 ...; 10,567 = 10,567000 ...; 3 = 3.000 ....

Giờ đây, phát biểu sau đây trở thành đúng: mọi số hữu tỉ có thể (và hơn nữa, theo một cách duy nhất) được biểu thị bằng một phân số thập phân vô hạn tuần hoàn và mọi phân số thập phân vô hạn tuần hoàn biểu thị đúng một số hữu tỉ (phân số thập phân tuần hoàn có chu kỳ là 9 không được xem xét).

Bạn còn nhớ làm thế nào trong bài học đầu tiên về phân số thập phân, tôi đã nói rằng có những phân số không thể biểu diễn dưới dạng số thập phân (xem bài “Phân số thập phân”)? Chúng ta cũng đã học cách quy đồng mẫu số của các phân số để kiểm tra xem có bất kỳ số nào khác 2 và 5 không.

Vì vậy: Tôi đã nói dối. Và hôm nay chúng ta sẽ học cách chuyển hoàn toàn bất kỳ phân số nào sang số thập phân. Đồng thời, chúng ta sẽ làm quen với cả lớp phân số có phần có nghĩa vô hạn.

Số thập phân lặp lại là bất kỳ số thập phân nào có:

Phần có nghĩa gồm vô số chữ số;

Vào những khoảng thời gian nhất định, các con số trong phần quan trọng được lặp lại.

Tập hợp các chữ số lặp lại tạo nên phần có nghĩa được gọi là phần tuần hoàn của phân số và số chữ số trong tập hợp này là chu kỳ của phân số. Đoạn còn lại của phần có ý nghĩa, không lặp lại được gọi là phần không tuần hoàn.

Vì có nhiều định nghĩa, nên cần xem xét chi tiết một số phân số sau:

Phần này xảy ra thường xuyên nhất trong các bài toán. Phần không tuần hoàn: 0; phần tuần hoàn: 3; độ dài chu kỳ: 1.

Phần không tuần hoàn: 0,58; phần tuần hoàn: 3; độ dài khoảng thời gian: lại 1.

Phần không tuần hoàn: 1; phần tuần hoàn: 54; độ dài khoảng thời gian: 2.

Phần không tuần hoàn: 0; phần tuần hoàn: 641025; độ dài chu kỳ: 6. Để thuận tiện, các phần lặp lại được ngăn cách với nhau bằng khoảng trắng - trong giải pháp này không cần thiết phải làm như vậy.

Phần không tuần hoàn: 3066; phần tuần hoàn: 6; độ dài chu kỳ: 1.

Như bạn có thể thấy, định nghĩa của một phân số tuần hoàn dựa trên khái niệm một phần quan trọng của một con số. Do đó, nếu bạn quên nó là gì, tôi khuyên bạn nên lặp lại nó - hãy xem bài học "".

Chuyển đổi sang số thập phân tuần hoàn

Xét một phân số thông thường có dạng a / b. Chúng ta hãy phân tích mẫu số của nó thành các thừa số đơn giản. Có hai lựa chọn:

Trong khai triển chỉ có thừa số 2 và 5 Các phân số này dễ dàng rút gọn thành số thập phân - xem bài “Phân số thập phân”. Chúng tôi không quan tâm đến điều đó;
Có một cái gì đó khác trong khai triển ngoài 2 và 5. Trong trường hợp này, phân số không thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân, nhưng nó có thể được chuyển thành một số thập phân tuần hoàn.

Để thiết lập một phân số thập phân tuần hoàn, bạn cần tìm phần tuần hoàn và phần không tuần hoàn của nó. Thế nào? Chuyển phân số thành phân số không đúng, rồi chia tử số cho mẫu số bằng một "góc".

Khi làm như vậy, những điều sau sẽ xảy ra:

Chia trước Toàn bộ phần nếu nó tồn tại;
Có thể có một số số sau dấu thập phân;
Sau một thời gian, các con số sẽ bắt đầu lặp lại.

Đó là tất cả! Các chữ số lặp lại sau dấu thập phân được biểu thị bằng phần tuần hoàn và phần ở phía trước - không tuần hoàn.

Nhiệm vụ. Chuyển đổi các phân số thông thường thành số thập phân tuần hoàn:

Tất cả các phân số không có phần nguyên, vì vậy chúng ta chỉ cần chia tử số cho mẫu số bằng một "góc":

Như bạn có thể thấy, những gì còn sót lại được lặp lại. Hãy viết phân số dưới dạng "đúng": 1,733 ... = 1,7 (3).

Kết quả là một phân số: 0,5833 ... = 0,58 (3).

Ta viết ở dạng thông thường: 4.0909 ... = 4, (09).

Ta được một phân số: 0,4141 ... = 0, (41).

Chuyển đổi từ số thập phân tuần hoàn sang thông thường

Xét một số thập phân tuần hoàn X = abc (a 1 b 1 c 1). Nó được yêu cầu để chuyển nó sang "hai tầng" cổ điển. Để thực hiện việc này, hãy làm theo bốn bước đơn giản:

Tìm chu kỳ của phân số, tức là đếm xem trong phần tuần hoàn có bao nhiêu chữ số. Cho nó là số k;
Tìm giá trị của biểu thức X · 10 k. Điều này tương đương với việc chuyển dấu thập phân sang phải một dấu chấm đầy đủ - xem bài học "Phép nhân và phép chia các phân số thập phân»;
Trừ biểu thức ban đầu khỏi số kết quả. Trong trường hợp này, phần định kỳ bị "đốt cháy", và vẫn còn phần chung;
Tìm X trong phương trình kết quả. Tất cả các phân số thập phân được chuyển đổi thành thông thường.

Nhiệm vụ. Chuyển đổi thành một phân số không chính xác thông thường của một số:

9,(6);
32,(39);
0,30(5);
0,(2475).

Làm việc với phân số đầu tiên: X = 9, (6) = 9,666 ...

Dấu ngoặc chỉ chứa một chữ số nên chu kỳ k = 1. Tiếp theo, ta nhân phân số này với 10 k = 10 1 = 10. Ta có:

10X = 10 9,6666 ... = 96,666 ...

Trừ phân số ban đầu và giải phương trình:

10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Bây giờ chúng ta hãy đối phó với phân số thứ hai. Vậy X = 32, (39) = 32.393939 ...

Chu kỳ k = 2, vì vậy chúng tôi nhân mọi thứ với 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 32.393939 ... = 3239.3939 ...

Trừ phân số ban đầu một lần nữa và giải phương trình:

100X - X = 3239.3939 ... - 32.3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Hãy chuyển sang phân số thứ ba: X = 0,30 (5) = 0,30555 ... Sơ đồ giống nhau, vì vậy tôi sẽ chỉ đưa ra các phép tính:

Chu kỳ k = 1 ⇒ nhân mọi thứ với 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555 ... = 3,05555 ...
10X - X = 3.0555 ... - 0.305555 ... = 2.75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

Cuối cùng, phân số cuối cùng: X = 0, (2475) = 0,2475 2475 ... Một lần nữa, để thuận tiện, các phần tuần hoàn được ngăn cách với nhau bằng dấu cách. Chúng ta có:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10.000X = 10.000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.