Cách cộng các phân số không đúng mẫu số. Cách học phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau

Ghi chú! Trước khi viết câu trả lời cuối cùng, hãy xem liệu bạn có thể giảm phân số bạn nhận được hay không.

Phép trừ các phân số có cùng mẫu số ví dụ:

Trừ một phân số thích hợp cho một.

Nếu cần trừ đơn vị một phân số đúng, chuyển đơn vị về dạng một phân số không đúng thì mẫu số của nó bằng mẫu số của phân số bị trừ.

Một ví dụ về việc trừ một phân số thích hợp cho một:

Mẫu số của phân số bị trừ = 7 Tức là chúng ta biểu diễn đơn vị dưới dạng phân số 7/7 không đúng và thực hiện phép trừ theo quy tắc trừ các phân số có cùng mẫu số.

Trừ một phân số thích hợp với một số nguyên.

Quy tắc trừ phân số - sửa từ số nguyên (số tự nhiên):

Chúng tôi dịch các phân số đã cho, có chứa một phần nguyên, thành các phân số không đúng. Chúng tôi nhận được các số hạng bình thường (không quan trọng nếu chúng có mẫu số khác nhau), chúng tôi xem xét theo các quy tắc được đưa ra ở trên;
Tiếp theo, chúng tôi tính toán sự khác biệt của các phân số mà chúng tôi nhận được. Kết quả là, chúng ta gần như sẽ tìm ra câu trả lời;
Chúng ta thực hiện phép biến đổi nghịch đảo, tức là chúng ta loại bỏ phân số không đúng - chúng ta chọn phần nguyên trong phân số.

Trừ một phân số thích hợp với một số nguyên: chúng ta biểu diễn một số tự nhiên dưới dạng hỗn số. Những thứ kia. ta lấy một đơn vị trong một số tự nhiên và chuyển nó về dạng một phân số không đúng, mẫu số giống như mẫu số của phân số bị trừ.

Ví dụ về phép trừ phân số:

Trong ví dụ, chúng tôi thay thế đơn vị bằng một phân số không đúng 7/7 và thay vì 3, chúng tôi viết ra một hỗn số và trừ một phân số khỏi phần phân số.

Phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau.

Hay nói một cách khác, phép trừ các phân số khác nhau.

Quy tắc trừ các phân số có mẫu số khác nhau.Để thực hiện phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau, trước hết cần đưa các phân số này về mẫu số chung nhỏ nhất (LCD), sau đó mới thực hiện phép trừ như đối với các phân số có cùng mẫu số.

Mẫu số chung của một số phân số là LCM (bội số chung ít nhất) các số tự nhiên là mẫu số của phân số đã cho.

Chú ý! Nếu tử số và mẫu số có thừa số chung trong phân số tận cùng thì phải rút gọn phân số đó. Một phân số không đúng được biểu diễn dưới dạng một phân số hỗn hợp. Để lại kết quả của phép trừ mà không giảm phân số nếu có thể là một giải pháp chưa hoàn thành cho ví dụ!

Quy trình trừ các phân số có mẫu số khác nhau.

tìm LCM cho tất cả các mẫu số;
đặt thêm số nhân cho tất cả các phân số;
nhân tất cả các tử số với một thừa số bổ sung;
chúng tôi viết các tích kết quả ở tử số, ký một mẫu số chung dưới tất cả các phân số;
trừ tử số của phân số, ký mẫu số chung dưới hiệu.

Theo cách tương tự, phép cộng và phép trừ các phân số được thực hiện khi có các chữ cái ở tử số.

Phép trừ phân số, ví dụ:

Phép trừ hỗn số.

Tại phép trừ các phân số hỗn hợp (số) riêng phần nguyên bị trừ đi phần nguyên và phần phân số bị trừ đi phần phân số.

Tùy chọn đầu tiên là trừ các phân số hỗn hợp.

Nếu các phần phân số như nhau mẫu số và tử số của phần nhỏ nhất (chúng tôi trừ đi) ≥ tử số của phần phân số của phân thức (chúng tôi trừ đi).

Ví dụ:

Tùy chọn thứ hai là trừ các phân số hỗn hợp.

Khi các phần phân số đa dạng mẫu số. Để bắt đầu, chúng ta giảm các phần của phân số thành một mẫu số chung, và sau đó chúng ta trừ phần nguyên cho số nguyên và phân số khỏi phân số.

Ví dụ:

Tùy chọn thứ ba là trừ các phân số hỗn hợp.

Phần nhỏ của giá trị nhỏ hơn phần nhỏ hơn của chuỗi con.

Ví dụ:

Tại vì Các phần của phân số có mẫu số khác nhau, có nghĩa là, như trong phương án thứ hai, trước tiên chúng ta đưa các phân số thông thường về một mẫu số chung.

Tử số của phần nhỏ hơn tử số của phần thập phân của chuỗi con.3 < 14. Vì vậy, chúng ta lấy một đơn vị từ phần nguyên và đưa đơn vị này về dạng một phân số không đúng với cùng mẫu số và tử số = 18.

Trong tử số từ phía bên phải, chúng tôi viết tổng của các tử số, sau đó chúng tôi mở dấu ngoặc trong tử số từ phía bên phải, nghĩa là, chúng tôi nhân tất cả mọi thứ và cho những cái tương tự. Chúng tôi không mở ngoặc ở mẫu số. Thông thường để sản phẩm theo mẫu số. Chúng tôi nhận được:

Một trong những ngành khoa học quan trọng nhất, ứng dụng của nó có thể được nhìn thấy trong các ngành như hóa học, vật lý và thậm chí cả sinh học, là toán học. Việc nghiên cứu khoa học này cho phép bạn phát triển một số phẩm chất tinh thần, cải thiện khả năng tập trung. Một trong những chủ đề đáng được quan tâm đặc biệt trong môn học Toán học là phép cộng và phép trừ phân số. Nhiều học sinh cảm thấy khó khăn trong học tập. Có lẽ bài viết của chúng tôi sẽ giúp hiểu rõ hơn về chủ đề này.

Cách trừ các phân số có mẫu số giống nhau

Phân số là những số giống nhau mà bạn có thể thực hiện các hành động khác nhau. Sự khác biệt của chúng so với số nguyên nằm ở sự hiện diện của một mẫu số. Đó là lý do tại sao khi thực hiện các hành động với phân số, bạn cần nghiên cứu một số tính năng và quy tắc của chúng. Trường hợp đơn giản nhất là phép trừ các phân số thông thường, các mẫu số của chúng được biểu diễn dưới dạng một số giống nhau. Sẽ không khó để thực hiện hành động này nếu bạn biết một quy tắc đơn giản:

Muốn thực hiện phép trừ phân số thứ hai, ta phải lấy tử số của phân số bị trừ để lấy tử số của phân số rút gọn. Ta viết số này vào tử số của hiệu và giữ nguyên mẫu số: k / m - b / m = (k-b) / m.

Ví dụ về phép trừ các phân số có mẫu số giống nhau

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Từ tử số của phân số rút gọn "7" ta lấy tử số của phân số bị trừ "3", ta được "4". Chúng tôi viết số này ở tử số của câu trả lời, và đặt ở mẫu số cùng một số ở mẫu số của phân số thứ nhất và thứ hai - "19".

Hình ảnh dưới đây cho thấy một vài ví dụ khác như vậy.

Hãy xem xét một ví dụ phức tạp hơn trong đó các phân số có cùng mẫu số bị trừ:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Từ tử số của phân số rút gọn "29" bằng cách trừ lần lượt các tử số của tất cả các phân số tiếp theo - "3", "8", "2", "7". Kết quả là, chúng tôi nhận được kết quả "9", chúng tôi viết ở tử số của câu trả lời, và ở mẫu số chúng tôi viết số ở mẫu số của tất cả các phân số này - "47".

Cộng các phân số có cùng mẫu số

Phép cộng và phép trừ các phân số thông thường được thực hiện theo nguyên tắc tương tự.

Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần thêm các tử số. Kết quả là tử số của tổng, và mẫu số không đổi: k / m + b / m = (k + b) / m.

Hãy xem nó trông như thế nào trong một ví dụ:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Đối với tử số của số hạng đầu tiên của phân số - "1" - chúng ta thêm vào tử số của số hạng thứ hai của phân số - "2". Kết quả - "3" - được viết ở tử số của số tiền, và mẫu số được giữ nguyên như ở phân số - "4".

Phân số có mẫu số khác nhau và phép trừ của chúng

Chúng ta đã xem xét hành động với các phân số có cùng mẫu số. Như bạn thấy, biết các quy tắc đơn giản, việc giải các ví dụ như vậy là khá dễ dàng. Nhưng nếu bạn cần thực hiện một hành động với các phân số có mẫu số khác nhau thì sao? Nhiều học sinh trung học bối rối trước những ví dụ như vậy. Nhưng ngay cả ở đây, nếu bạn biết nguyên tắc của lời giải, các ví dụ sẽ không còn làm khó bạn nữa. Ở đây cũng có một quy tắc, nếu không có quy tắc này thì giải pháp của những phân số như vậy chỉ đơn giản là không thể.

Muốn trừ các phân số có mẫu số khác nhau thì phải rút gọn chúng về cùng mẫu số nhỏ nhất.

Chúng tôi sẽ nói chi tiết hơn về cách thực hiện việc này.

Thuộc tính phân số

Để giảm một số phân số cùng mẫu số, bạn cần sử dụng tính chất chính tắc của phân số trong bài giải: sau khi chia hoặc nhân tử số và mẫu số với cùng một số, bạn được một phân số bằng một phân số đã cho.

Vì vậy, ví dụ, phân số 2/3 có thể có các mẫu số như "6", "9", "12", v.v., nghĩa là, nó có thể trông giống như bất kỳ số nào là bội số của "3". Sau khi chúng ta nhân tử số và mẫu số với "2", chúng ta được phân số 4/6. Sau khi chúng ta nhân tử số và mẫu số của phân số ban đầu với "3", chúng ta được 6/9, và nếu chúng ta thực hiện một hành động tương tự với số "4", chúng ta nhận được 8/12. Trong một phương trình, điều này có thể được viết là:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Làm thế nào để đưa nhiều phân số về cùng một mẫu số

Hãy xem xét làm thế nào để giảm một số phân số về cùng một mẫu số. Ví dụ, lấy các phân số được hiển thị trong hình dưới đây. Trước tiên, bạn cần xác định số nào có thể trở thành mẫu số cho tất cả chúng. Để làm cho nó dễ dàng hơn, hãy phân tích các mẫu số có sẵn thành các thừa số.

Không thể tính mẫu số của phân số 1/2 và phân số 2/3. Mẫu số 7/9 có hai thừa số là 7/9 = 7 / (3 x 3), mẫu số của phân số 5/6 = 5 / (2 x 3). Bây giờ bạn cần xác định xem yếu tố nào sẽ nhỏ nhất cho cả bốn phân số này. Vì phân số đầu tiên có số “2” ở mẫu số, có nghĩa là nó phải có ở tất cả các mẫu số, ở phân số 7/9 có hai nhân ba, nghĩa là chúng cũng phải có ở mẫu số. Xét trên, ta xác định được mẫu số gồm ba thừa số: 3, 2, 3 và bằng 3 x 2 x 3 = 18.

Xét phân số đầu tiên - 1/2. Mẫu số của nó chứa "2", nhưng không có một "3" duy nhất, mà phải có hai. Để làm điều này, chúng tôi nhân mẫu số với hai ba lần, nhưng theo tính chất của phân số, chúng tôi phải nhân tử số với hai nhân ba:
1/2 = (1 x 3 x 3) / (2 x 3 x 3) = 9/18.

Tương tự, chúng ta thực hiện các thao tác với các phân số còn lại.

2/3 - thiếu một ba và một hai ở mẫu số:
2/3 = (2 x 3 x 2) / (3 x 3 x 2) = 12/18.
7/9 hoặc 7 / (3 x 3) - mẫu số bị thiếu một quy:
7/9 = (7 x 2) / (9 x 2) = 14/18.
5/6 hoặc 5 / (2 x 3) - mẫu số bị thiếu một bộ ba:
5/6 = (5 x 3) / (6 x 3) = 15/18.

Tất cả cùng nhau trông như thế này:

Cách trừ và cộng các phân số có mẫu số khác nhau

Như đã nói ở trên, để cộng hoặc trừ các phân số có mẫu số khác nhau thì chúng phải quy đồng mẫu số, sau đó dùng quy tắc trừ các phân số có cùng mẫu số đã được mô tả.

Hãy xem xét điều này với một ví dụ: 4/18 - 3/15.

Tìm bội số của 18 và 15:

Số 18 gồm 3 x 2 x 3.
Số 15 gồm 5 x 3.
Bội số chung sẽ bao gồm các thừa số sau 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Sau khi mẫu số được tìm thấy, cần phải tính một thừa số sẽ khác nhau cho mỗi phân số, tức là số cần nhân không chỉ mẫu số mà cả tử số. Để làm điều này, chúng tôi chia số mà chúng tôi tìm thấy (bội chung) cho mẫu số của phân số mà các yếu tố bổ sung cần được xác định.

90 chia cho 15. Kết quả số "6" sẽ là một cấp số nhân cho 3/15.
90 chia cho 18. Kết quả là số "5" sẽ là cấp số nhân của 4/18.

Bước tiếp theo trong giải pháp của chúng tôi là đưa mỗi phân số về mẫu số "90".

Chúng tôi đã thảo luận về cách điều này được thực hiện. Hãy xem cách điều này được viết trong một ví dụ:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Nếu phân số với số nhỏ, thì bạn có thể xác định mẫu số chung, như trong ví dụ hiển thị trong hình dưới đây.

Tương tự được sản xuất và có các mẫu số khác nhau.

Phép trừ và có phần nguyên

Phép trừ phân số và phép cộng, chúng tôi đã phân tích chi tiết. Nhưng làm thế nào để trừ nếu phân số có phần nguyên? Một lần nữa, hãy sử dụng một số quy tắc:

Chuyển tất cả các phân số có phần nguyên thành phân số không đúng. Nói cách đơn giản, loại bỏ toàn bộ phần. Để làm điều này, số của phần nguyên được nhân với mẫu số của phân số, tích kết quả được thêm vào tử số. Số sẽ nhận được sau những hành động này là tử số của một phân số không đúng. Mẫu số không đổi.
Nếu các phân số có mẫu số khác nhau thì phải thu gọn chúng bằng nhau.
Thực hiện phép cộng hoặc phép trừ có cùng mẫu số.
Khi nhận được một phân số không đúng, hãy chọn toàn bộ.

Có một cách khác mà bạn có thể cộng và trừ các phân số với các phần nguyên. Đối với điều này, các hành động được thực hiện riêng biệt với các phần nguyên và riêng biệt với phân số, và kết quả được ghi lại cùng nhau.

Ví dụ trên bao gồm các phân số có cùng mẫu số. Trong trường hợp khi các mẫu số khác nhau, chúng phải được giảm xuống bằng nhau, và sau đó thực hiện các bước như trong ví dụ.

Trừ phân số với một số nguyên

Một trong những loại hành động khác với phân số là trường hợp phân số phải bị trừ Thoạt nhìn, một ví dụ như vậy có vẻ khó giải. Tuy nhiên, mọi thứ ở đây khá đơn giản. Để giải nó, cần phải chuyển một số nguyên thành một phân số và với một mẫu số như vậy, nó nằm trong phân số bị trừ. Tiếp theo, chúng ta thực hiện một phép trừ tương tự như phép trừ có cùng mẫu số. Ví dụ, nó trông như thế này:

7 - 4/9 = (7 x 9) / 9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Phép trừ các phân số được đưa ra trong bài viết này (Lớp 6) là cơ sở để giải các ví dụ phức tạp hơn, sẽ được xem xét ở các lớp tiếp theo. Kiến thức về chủ đề này sau đó được sử dụng để giải các hàm số, đạo hàm, v.v. Vì vậy, việc hiểu và nắm được các thao tác với phân số đã thảo luận ở trên là vô cùng quan trọng.

Bạn có thể thực hiện các hành động khác nhau với phân số, chẳng hạn như thêm phân số. Phép cộng phân số có thể được chia thành nhiều loại. Mỗi kiểu cộng phân số có các quy tắc và thuật toán thực hiện riêng. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn từng loại bổ sung.

Cộng các phân số cùng mẫu số.

Ví dụ, chúng ta hãy xem làm thế nào để cộng các phân số với một mẫu số chung.

Những người đi bộ đường dài đã đi bộ từ điểm A đến điểm E. Vào ngày đầu tiên, họ đi bộ từ điểm A đến điểm B, hoặc \ (\ frac (1) (5) \) suốt quãng đường. Vào ngày thứ hai, họ đã đi từ điểm B đến điểm D hoặc \ (\ frac (2) (5) \) cả quãng đường. Từ đầu quãng đường đến điểm D họ đã đi được quãng đường bao xa?

Để tìm khoảng cách từ điểm A đến điểm D, hãy cộng các phân số \ (\ frac (1) (5) + \ frac (2) (5) \).

Việc cộng các phân số có cùng mẫu số là bạn cần cộng tử số của các phân số này, mẫu số sẽ giữ nguyên.

\ (\ frac (1) (5) + \ frac (2) (5) = \ frac (1 + 2) (5) = \ frac (3) (5) \)

Ở dạng chữ, tổng của các phân số có cùng mẫu số sẽ có dạng như sau:

\ (\ bf \ frac (a) (c) + \ frac (b) (c) = \ frac (a + b) (c) \)

Trả lời: các khách du lịch đã đi du lịch \ (\ frac (3) (5) \) suốt chặng đường.

Cộng các phân số có mẫu số khác nhau.

Hãy xem xét một ví dụ:

Cộng hai phân số \ (\ frac (3) (4) \) và \ (\ frac (2) (7) \).

Để cộng các phân số có mẫu số khác nhau, trước tiên bạn phải tìm, và sau đó sử dụng quy tắc cộng các phân số có cùng mẫu số.

Đối với mẫu số 4 và 7, mẫu số chung là 28. Phân số thứ nhất \ (\ frac (3) (4) \) phải nhân với 7. Phân số thứ hai \ (\ frac (2) (7) \) phải bằng nhân với 4.

\ (\ frac (3) (4) + \ frac (2) (7) = \ frac (3 \ times \ color (red) (7) + 2 \ times \ color (red) (4)) (4 \ times \ color (red) (7)) = \ frac (21 + 8) (28) = \ frac (29) (28) = 1 \ frac (1) (28) \)

Ở dạng chữ, chúng ta nhận được công thức sau:

\ (\ bf \ frac (a) (b) + \ frac (c) (d) = \ frac (a \ times d + c \ times b) (b \ times d) \)

Phép cộng hỗn số hoặc hỗn số.

Phép cộng xảy ra theo quy luật cộng.

Đối với phân số hỗn hợp, thêm phần nguyên vào phần nguyên và phần phân số với phần phân số.

Nếu phần phân số của hỗn số có mẫu số bằng nhau thì cộng các tử số, mẫu số vẫn giữ nguyên.

Thêm hỗn số \ (3 \ frac (6) (11) \) và \ (1 \ frac (3) (11) \).

\ (3 \ frac (6) (11) + 1 \ frac (3) (11) = (\ color (red) (3) + \ color (blue) (\ frac (6) (11))) + ( \ color (red) (1) + \ color (blue) (\ frac (3) (11))) = (\ color (red) (3) + \ color (red) (1)) + (\ color ( blue) (\ frac (6) (11)) + \ color (blue) (\ frac (3) (11))) = \ color (red) (4) + (\ color (blue) (\ frac (6) + 3) (11))) = \ color (red) (4) + \ color (blue) (\ frac (9) (11)) = \ color (red) (4) \ color (blue) (\ frac (9) (11)) \)

Nếu phần phân số của hỗn số có mẫu số khác nhau thì ta tìm được mẫu số chung.

Hãy cộng hỗn số \ (7 \ frac (1) (8) \) và \ (2 \ frac (1) (6) \).

Mẫu số khác nhau, vì vậy bạn cần tìm một mẫu số chung, nó bằng 24. Nhân phân số thứ nhất \ (7 \ frac (1) (8) \) với thừa số 3 và phân số thứ hai \ ( 2 \ frac (1) (6) \) trên 4.

\ (7 \ frac (1) (8) + 2 \ frac (1) (6) = 7 \ frac (1 \ times \ color (red) (3)) (8 \ times \ color (red) (3) ) = 2 \ frac (1 \ times \ color (red) (4)) (6 \ times \ color (red) (4)) = 7 \ frac (3) (24) + 2 \ frac (4) (24 ) = 9 \ frac (7) (24) \)

Câu hỏi liên quan:
Làm thế nào để cộng các phân số?
Trả lời: trước tiên bạn cần quyết định xem biểu thức thuộc kiểu gì: phân số có cùng mẫu số, khác mẫu số hay hỗn số. Tùy theo dạng biểu thức mà ta tiến hành giải thuật.

Làm thế nào để giải các phân số có mẫu số khác nhau?
Trả lời: bạn cần tìm một mẫu số chung, sau đó thực hiện quy tắc cộng các phân số có cùng mẫu số.

Làm thế nào để giải quyết hỗn hợp phân số?
Trả lời: Thêm phần nguyên thành phần nguyên và phần phân số thành phần phân số.

Ví dụ 1:
Tổng của hai có thể tạo thành một phân số thích hợp không? Phân số sai? Cho ví dụ.

\ (\ frac (2) (7) + \ frac (3) (7) = \ frac (2 + 3) (7) = \ frac (5) (7) \)

Phân số \ (\ frac (5) (7) \) là một phân số thích hợp, nó là kết quả của tổng của hai phân số thích hợp \ (\ frac (2) (7) \) và \ (\ frac (3) (7) \).

\ (\ frac (2) (5) + \ frac (8) (9) = \ frac (2 \ lần 9 + 8 \ lần 5) (5 \ lần 9) = \ frac (18 + 40) (45) = \ frac (58) (45) \)

Phân số \ (\ frac (58) (45) \) là một phân số không đúng, nó là kết quả của tổng các phân số thích hợp \ (\ frac (2) (5) \) và \ (\ frac (8) (9) \).

Trả lời: Câu trả lời là có cho cả hai câu hỏi.

Ví dụ số 2:
Cộng các phân số: a) \ (\ frac (3) (11) + \ frac (5) (11) \) b) \ (\ frac (1) (3) + \ frac (2) (9) \).

a) \ (\ frac (3) (11) + \ frac (5) (11) = \ frac (3 + 5) (11) = \ frac (8) (11) \)

b) \ (\ frac (1) (3) + \ frac (2) (9) = \ frac (1 \ times \ color (red) (3)) (3 \ times \ color (red) (3)) + \ frac (2) (9) = \ frac (3) (9) + \ frac (2) (9) = \ frac (5) (9) \)

Ví dụ # 3:
Viết phân số hỗn hợp dưới dạng tổng của một số tự nhiên và một phân số thích hợp: a) \ (1 \ frac (9) (47) \) b) \ (5 \ frac (1) (3) \)

a) \ (1 \ frac (9) (47) = 1 + \ frac (9) (47) \)

b) \ (5 \ frac (1) (3) = 5 + \ frac (1) (3) \)

Ví dụ # 4:
Tính tổng: a) \ (8 \ frac (5) (7) + 2 \ frac (1) (7) \) b) \ (2 \ frac (9) (13) + \ frac (2) (13 ) \) c) \ (7 \ frac (2) (5) + 3 \ frac (4) (15) \)

a) \ (8 \ frac (5) (7) + 2 \ frac (1) (7) = (8 + 2) + (\ frac (5) (7) + \ frac (1) (7)) = 10 + \ frac (6) (7) = 10 \ frac (6) (7) \)

b) \ (2 \ frac (9) (13) + \ frac (2) (13) = 2 + (\ frac (9) (13) + \ frac (2) (13)) = 2 \ frac (11 ) (mười ba) \)

c) \ (7 \ frac (2) (5) + 3 \ frac (4) (15) = 7 \ frac (2 \ times 3) (5 \ times 3) + 3 \ frac (4) (15) = 7 \ frac (6) (15) + 3 \ frac (4) (15) = (7 + 3) + (\ frac (6) (15) + \ frac (4) (15)) = 10 + \ frac (10) (15) = 10 \ frac (10) (15) = 10 \ frac (2) (3) \)

Nhiệm vụ 1:
Vào bữa tối, họ ăn \ (\ frac (8) (11) \) chiếc bánh, và vào buổi tối, họ ăn \ (\ frac (3) (11) \). Bạn có nghĩ rằng chiếc bánh đã được ăn hết hay chưa?

Quyết định:
Mẫu số của phân số là 11, cho biết chiếc bánh đã được chia thành bao nhiêu phần. Vào bữa trưa, chúng tôi ăn 8 miếng bánh trong tổng số 11. Vào bữa tối, chúng tôi ăn 3 miếng bánh trong tổng số 11. Hãy cộng 8 + 3 = 11, chúng tôi ăn miếng bánh trong tổng số 11, tức là toàn bộ chiếc bánh.

\ (\ frac (8) (11) + \ frac (3) (11) = \ frac (11) (11) = 1 \)

Trả lời: Họ đã ăn hết chiếc bánh.

Xét phân số $ \ frac63 $. Giá trị của nó là 2, vì $ \ frac63 = 6: 3 = 2 $. Điều gì xảy ra nếu nhân tử số và mẫu số với 2? $ \ frac63 \ times 2 = \ frac (12) (6) $. Rõ ràng, giá trị của phân số không thay đổi, vì vậy $ \ frac (12) (6) $ cũng bằng 2 là y. nhân tử số và mẫu số bằng 3 và nhận được $ \ frac (18) (9) $, hoặc bằng 27 và nhận được $ \ frac (162) (81) $ hoặc bằng 101 và nhận được $ \ frac (606) (303) $. Trong mỗi trường hợp này, giá trị của phân số mà chúng ta nhận được khi chia tử số cho mẫu số là 2. Điều này có nghĩa là nó không thay đổi.

Mô hình tương tự cũng được quan sát trong trường hợp các phân số khác. Nếu tử số và mẫu số của phân số $ \ frac (120) (60) $ (bằng 2) chia cho 2 (kết quả của $ \ frac (60) (30) $) hoặc cho 3 (kết quả của $ \ frac (40) (20) $), hoặc bằng 4 (kết quả của $ \ frac (30) (15) $), v.v., thì trong mỗi trường hợp, giá trị của phân số không đổi và bằng 2.

Quy tắc này cũng áp dụng cho các phân số không bằng nhau. số nguyên.

Nếu nhân tử số và mẫu số của phân số $ \ frac (1) (3) $ với 2, ta được $ \ frac (2) (6) $, nghĩa là giá trị của phân số không thay đổi. Và trên thực tế, nếu bạn chia chiếc bánh thành 3 phần và lấy một trong số đó, hoặc chia thành 6 phần và lấy 2 phần, bạn sẽ nhận được lượng bánh như nhau trong cả hai trường hợp. Do đó, các số $ \ frac (1) (3) $ và $ \ frac (2) (6) $ giống hệt nhau. Hãy hình thành một quy tắc chung.

Tử số và mẫu số của bất kỳ phân số nào đều có thể nhân hoặc chia cho cùng một số và giá trị của phân số không thay đổi.

Quy tắc này rất hữu ích. Ví dụ, nó cho phép trong một số trường hợp, nhưng không phải luôn luôn, tránh các hoạt động với số lượng lớn.

Ví dụ, chúng ta có thể chia tử số và mẫu số của phân số $ \ frac (126) (189) $ cho 63 và nhận được phân số $ \ frac (2) (3) $ dễ tính hơn nhiều. Thêm một ví dụ nữa. Chúng ta có thể chia tử số và mẫu số của phân số $ \ frac (155) (31) $ cho 31 và nhận được phân số $ \ frac (5) (1) $ hoặc 5, vì 5: 1 = 5.

Trong ví dụ này, lần đầu tiên chúng ta gặp một phân số có mẫu số là 1. Những phân số như vậy đóng một vai trò quan trọng trong các phép tính. Cần nhớ rằng bất kỳ số nào cũng có thể chia hết cho 1 và giá trị của nó sẽ không thay đổi. Tức là, $ \ frac (273) (1) $ bằng 273; $ \ frac (509993) (1) $ bằng 509993, v.v. Do đó, chúng ta không cần chia số cho vì mọi số nguyên đều có thể được biểu diễn dưới dạng phân số có mẫu số là 1.

Với các phân số như vậy, mẫu số của chúng bằng 1, bạn có thể thực hiện các phép tính số học tương tự như với tất cả các phân số khác: $ \ frac (15) (1) + \ frac (15) (1) = \ frac (30) (1) $, $ \ frac (4) (1) \ times \ frac (3) (1) = \ frac (12) (1) $.

Bạn có thể hỏi việc sử dụng biểu diễn một số nguyên dưới dạng phân số là gì, sẽ có một đơn vị dưới thanh, vì sẽ thuận tiện hơn khi làm việc với một số nguyên. Nhưng thực tế là việc biểu diễn một số nguyên dưới dạng phân số cho chúng ta cơ hội thực hiện các hành động khác nhau hiệu quả hơn khi chúng ta xử lý cả số nguyên và số phân số cùng một lúc. Ví dụ, để học cộng các phân số với các mẫu số khác nhau. Giả sử chúng ta cần thêm $ \ frac (1) (3) $ và $ \ frac (1) (5) $.

Chúng tôi biết rằng bạn chỉ có thể cộng các phân số có mẫu số bằng nhau. Vì vậy, chúng ta cần học cách đưa phân số về dạng như vậy khi mẫu số của chúng bằng nhau. Trong trường hợp này, một lần nữa chúng ta cần thực tế là bạn có thể nhân tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số mà không làm thay đổi giá trị của nó.

Đầu tiên, chúng ta nhân tử số và mẫu số của phân số $ \ frac (1) (3) $ với 5. Ta được $ \ frac (5) (15) $, giá trị của phân số không thay đổi. Sau đó, chúng ta nhân tử số và mẫu số của phân số $ \ frac (1) (5) $ với 3. Ta được $ \ frac (3) (15) $, một lần nữa giá trị của phân số không thay đổi. Do đó, $ \ frac (1) (3) + \ frac (1) (5) = \ frac (5) (15) + \ frac (3) (15) = \ frac (8) (15) $.

Bây giờ chúng ta hãy thử áp dụng hệ thống này để cộng các số có chứa cả phần nguyên và phần phân số.

Chúng ta cần thêm $ 3 + \ frac (1) (3) +1 \ frac (1) (4) $. Đầu tiên, chúng ta chuyển đổi tất cả các số hạng thành phân số và nhận được: $ \ frac31 + \ frac (1) (3) + \ frac (5) (4) $. Bây giờ chúng ta cần quy tất cả các phân số về một mẫu số chung, vì điều này, chúng ta nhân tử số và mẫu số của phân số đầu tiên với 12, phân số thứ hai với 4 và phân số thứ ba với 3. Kết quả là chúng ta nhận được $ \ frac (36) (12) + \ frac (4) (12) + \ frac (15) (12) $, bằng $ \ frac (55) (12) $. Nếu bạn muốn thoát khỏi phân số không đúng, nó có thể được chuyển thành một số bao gồm một số nguyên và một phần phân số: $ \ frac (55) (12) = \ frac (48) (12) + \ frac (7) (12) $ hoặc $ 4 \ frac ( 7) (12) $.

Tất cả các quy tắc cho phép phép toán với phân số, mà chúng ta vừa nghiên cứu, cũng có giá trị trong trường hợp số âm. Vì vậy, -1: 3 có thể được viết dưới dạng $ \ frac (-1) (3) $ và 1: (-3) là $ \ frac (1) (- 3) $.

Vì cả hai phép chia một số âm cho một số dương và chia một số dương cho một kết quả âm đều cho một số âm, nên trong cả hai trường hợp, chúng ta sẽ nhận được câu trả lời dưới dạng một số âm. I E

$ (- 1): 3 = \ frac (1) (3) $ hoặc $ 1: (-3) = \ frac (1) (- 3) $. Dấu trừ khi được viết theo cách này đề cập đến toàn bộ phân số nói chung, chứ không phải riêng cho tử số hoặc mẫu số.

Mặt khác, (-1): (-3) có thể được viết dưới dạng $ \ frac (-1) (- 3) $, và vì khi chia một số âm cho một số âm sẽ cho một số dương nên $ \ frac (-1) (- 3) $ có thể được viết thành $ + \ frac (1) (3) $.

Phép cộng và phép trừ phân số âm được thực hiện tương tự như phép cộng và phép trừ phân số dương. Ví dụ: $ 1- 1 \ frac13 $ là gì? Hãy biểu diễn cả hai số dưới dạng phân số và nhận được $ \ frac (1) (1) - \ frac (4) (3) $. Hãy bớt các phân số về một mẫu số chung và nhận được $ \ frac (1 \ lần 3) (1 \ lần 3) - \ frac (4) (3) $, tức là $ \ frac (3) (3) - \ frac ( 4) (3) $ hoặc $ - \ frac (1) (3) $.

Cộng và trừ các phân số có cùng mẫu số
Cộng và trừ các phân số có mẫu số khác nhau
Khái niệm về NOC
Đưa các phân số về cùng mẫu số
Cách cộng một số nguyên và một phân số

1 Cộng và trừ các phân số có cùng mẫu số

Để thêm các phân số có cùng mẫu số, bạn cần thêm tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số, ví dụ:

Để trừ các phân số có cùng mẫu số, hãy lấy tử số của phân số thứ hai trừ tử số của phân số thứ nhất và giữ nguyên mẫu số, ví dụ:

Để thêm các phân số hỗn hợp, bạn phải cộng các phần nguyên của chúng một cách riêng biệt, sau đó cộng các phần phân số của chúng và viết kết quả dưới dạng một phân số hỗn hợp,

Nếu, khi cộng các phần của phân số, thu được một phân số không đúng, chúng ta chọn phần nguyên từ nó và thêm nó vào phần nguyên, ví dụ:

2 Cộng và trừ các phân số có mẫu số khác nhau

Để cộng hoặc trừ các phân số có mẫu số khác nhau, trước tiên bạn phải quy chúng về cùng mẫu số, sau đó thực hiện như đã chỉ ra ở đầu bài viết này. Mẫu số chung của một số phân số là LCM (bội số chung nhỏ nhất). Đối với tử số của mỗi phân số, các thừa số bổ sung được tìm thấy bằng cách chia LCM cho mẫu số của phân số này. Chúng ta sẽ xem xét một ví dụ sau, sau khi chúng ta tìm ra LCM là gì.

3 Bội số chung ít nhất (LCM)

Bội số chung nhỏ nhất của hai số (LCM) là số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho cả hai số này mà không có dư. Đôi khi, LCM có thể được tìm thấy bằng miệng, nhưng thường xuyên hơn, đặc biệt là khi làm việc với số lượng lớn, bạn phải tìm LCM bằng văn bản, sử dụng thuật toán sau:

Để tìm LCM của một số số, bạn cần:

Chia các số này thành thừa số nguyên tố
Lấy khai triển lớn nhất và viết các số này dưới dạng tích
Chọn trong các lần mở rộng khác, các số không xảy ra trong lần mở rộng lớn nhất (hoặc xuất hiện trong đó với số lần nhỏ hơn) và thêm chúng vào sản phẩm.
Nhân tất cả các số trong sản phẩm, đây sẽ là LCM.

Ví dụ, hãy tìm LCM của số 28 và 21:

4 Quy đồng các phân số về cùng mẫu số

Hãy quay lại với việc cộng các phân số với các mẫu số khác nhau.

Khi giảm các phân số về cùng một mẫu số, bằng LCM của cả hai mẫu số, chúng ta phải nhân tử số của các phân số này với số nhân bổ sung. Bạn có thể tìm chúng bằng cách chia LCM cho mẫu số của phân số tương ứng, ví dụ:

Vì vậy, để đưa các phân số về một chỉ số, trước tiên bạn phải tìm LCM (nghĩa là số nhỏ nhất chia hết cho cả hai mẫu số) của các mẫu số của các phân số này, sau đó đưa thêm thừa số vào tử số của phân số. Bạn có thể tìm chúng bằng cách chia mẫu số chung (LCD) cho mẫu số của phân số tương ứng. Sau đó, bạn cần nhân tử số của mỗi phân số với một thừa số bổ sung và đặt LCM làm mẫu số.

5 Cách cộng một số nguyên và một phân số

Để cộng một số nguyên và một phân số, bạn chỉ cần thêm số này vào trước phân số và bạn sẽ có được một phân số hỗn hợp chẳng hạn.