Xác định một quả bóng. Hình cầu, quả bóng, đoạn và khu vực

Một quả bóng là một vật thể bao gồm tất cả các điểm trong không gian nằm cách một điểm nhất định một khoảng không lớn hơn một khoảng cách nhất định. Điểm này được gọi là tâm của quả bóng và khoảng cách này được gọi là bán kính của quả bóng. Ranh giới của quả bóng được gọi là bề mặt hình cầu hoặc hình cầu. Các điểm của hình cầu là tất cả các điểm của quả bóng cách tâm một khoảng bằng bán kính. Bất kỳ đoạn nào nối tâm quả bóng với một điểm trên bề mặt hình cầu cũng được gọi là bán kính. Đoạn đi qua tâm quả cầu và nối hai điểm trên mặt cầu gọi là đường kính. Các đầu của bất kỳ đường kính nào được gọi là các điểm đối xứng đường kính của quả bóng.

Một quả bóng là một vật quay, giống như một hình nón và một hình trụ. Một quả bóng thu được bằng cách quay một hình bán nguyệt quanh đường kính của nó làm trục.

Diện tích bề mặt của quả bóng có thể được tìm thấy bằng các công thức:

trong đó r là bán kính của quả bóng, d là đường kính của quả bóng.

Thể tích của quả bóng được tính theo công thức:

V = 4/3 πr 3,

trong đó r là bán kính của quả bóng.

Định lý. Mỗi phần của quả bóng theo mặt phẳng là một đường tròn. Tâm của đường tròn này là đáy của đường vuông góc vẽ từ tâm quả bóng lên mặt phẳng cắt.

Dựa vào định lý này, nếu một quả bóng có tâm O, bán kính R cắt mặt phẳng α thì mặt cắt tạo thành một đường tròn bán kính r có tâm K. Tìm được bán kính tiết diện của quả bóng với mặt phẳng theo công thức

Từ công thức, rõ ràng là các mặt phẳng cách đều tâm sẽ cắt quả bóng theo những đường tròn bằng nhau. Bán kính của mặt cắt càng lớn, mặt phẳng cắt càng gần tâm bóng, tức là khoảng cách OK càng nhỏ. Bán kính lớn nhất có tiết diện là mặt phẳng đi qua tâm quả cầu. Bán kính của hình tròn này bằng bán kính của quả bóng.

Mặt phẳng đi qua tâm quả cầu gọi là mặt phẳng tâm. Tiết diện của quả cầu theo mặt phẳng đường kính được gọi là đường tròn lớn, tiết diện của hình cầu được gọi là đường tròn lớn, tiết diện của hình cầu được gọi là đường tròn lớn.

Định lý. Bất kỳ mặt phẳng đường kính nào của quả bóng đều là mặt phẳng đối xứng của nó. Tâm của quả bóng là tâm đối xứng của nó.

Mặt phẳng đi qua điểm A của mặt cầu và vuông góc với bán kính vẽ tới điểm A được gọi là mặt phẳng tiếp tuyến. Điểm A được gọi là điểm tiếp tuyến.

Định lý. Mặt phẳng tiếp tuyến chỉ có một điểm chung với quả bóng - điểm tiếp xúc.

Đường thẳng đi qua điểm A của mặt cầu vuông góc với bán kính vẽ tới điểm này được gọi là tiếp tuyến.

Định lý. Có vô số tiếp tuyến đi qua một điểm bất kỳ trên bề mặt hình cầu và tất cả chúng đều nằm trong mặt phẳng tiếp tuyến của quả cầu.

Một đoạn hình cầu là một phần của quả bóng bị một mặt phẳng cắt ra khỏi nó. Đường tròn ABC là đáy của hình cầu. Đoạn thẳng MN kẻ từ tâm N của đường tròn ABC đến giao điểm với mặt cầu là chiều cao của đoạn hình cầu. Điểm M là đỉnh của đoạn hình cầu.

Diện tích bề mặt của một đoạn hình cầu có thể được tính bằng công thức:

Thể tích của một đoạn hình cầu có thể được tìm thấy bằng công thức:

V = πh 2 (R – 1/3h),

Trong đó R là bán kính của đường tròn lớn, h là chiều cao của đoạn hình cầu.

Một hình cầu được tạo ra từ một đoạn hình cầu và một hình nón như sau. Nếu một đoạn hình cầu nhỏ hơn một bán cầu thì đoạn hình cầu được bổ sung bởi một hình nón, đỉnh của nó nằm ở tâm quả bóng và đáy là đáy của đoạn đó. Nếu đoạn này lớn hơn một bán cầu thì hình nón được chỉ định sẽ bị loại bỏ khỏi nó.

Hình cầu là một phần của quả bóng được giới hạn bởi bề mặt cong của một đoạn hình cầu (trong hình của chúng ta, đây là AMCB) và một bề mặt hình nón (trong hình của chúng ta, đây là OABC), đáy của nó là đáy của đoạn thẳng (ABC) và đỉnh là tâm của quả cầu O.

Thể tích của hình cầu được tìm thấy theo công thức:

V = 2/3 πR 2 H.

Lớp hình cầu là một phần của quả bóng được bao bọc giữa hai mặt phẳng song song (mặt phẳng ABC và DEF trong hình) cắt nhau trên bề mặt hình cầu. Bề mặt cong của lớp hình cầu được gọi là vành đai hình cầu (vùng). Các đường tròn ABC và DEF là đáy của vành cầu. Khoảng cách NK giữa các đáy của đai cầu chính là chiều cao của nó.

trang web, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu đều phải có liên kết tới nguồn.

HÌNH HỌC

Mục II. PHƯƠNG PHÁP

§22. QUẢ BÓNG. QUẢ CẦU.

1. Định nghĩa quả bóng và hình cầu. Các yếu tố của quả bóng và hình cầu.

Viên đạn là một vật thể hình học được hình thành bằng cách quay một vòng tròn quanh một trục chứa đường kính của nó (Hình 500).

Tâm của hình tròn quay được gọi là tâm của quả bóng, bán kính của hình tròn là bán kính của quả bóng và đường kính của hình tròn là đường kính của quả bóng. Trong Hình 500, điểm O là tâm quả bóng, OA và OB là bán kính của quả bóng, và AB là đường kính của quả bóng.

Bề mặt của quả bóng được gọi là hình cầu.

Tâm, bán kính, đường kính của hình cầu cũng chính là tâm, bán kính và đường kính của hình cầu.

Tất cả các điểm trên hình cầu đều có cùng khoảng cách, bằng bán kính, tính từ tâm hình cầu. Các điểm khác của quả bóng không thuộc hình cầu được gọi là điểm bên trong; những điểm như vậy được cho là nằm bên trong hình cầu. Các điểm bên trong của quả bóng nằm cách tâm quả bóng một khoảng nhỏ hơn bán kính.

Như vậy chúng ta đi đến một định nghĩa khác về hình cầu và quả bóng.

Hình cầu là một bề mặt bao gồm tất cả các điểm trong không gian cách đều nhau từ cùng một điểm. Điểm này được gọi là tâm của hình cầu và khoảng cách từ tâm hình cầu đến bất kỳ điểm nào của nó là bán kính của hình cầu.

Viên đạn là một khối hình học bao gồm tất cả các điểm trong không gian nằm ở khoảng cách không lớn hơn một điểm nhất định đến một điểm nhất định. Điểm này được gọi là tâm của quả bóng và khoảng cách này được gọi là bán kính của quả bóng.

Ví dụ. Bán kính hình cầu là 3,5 cm, điểm A nằm bên trong hoặc bên ngoài hình cầu nếu ở xa tâm hình cầu: 1) cm, 2) cm.

Sự định nghĩa.

Quả cầu (bề mặt bóng) là tập hợp tất cả các điểm trong không gian ba chiều có cùng khoảng cách tới một điểm, gọi là tâm của quả cầu(VỀ).

Một hình cầu có thể được mô tả như một hình ba chiều được hình thành bằng cách quay một vòng tròn quanh đường kính của nó một góc 180° hoặc một hình bán nguyệt quanh đường kính của nó một góc 360°.

Sự định nghĩa.

Quả bóng là tập hợp tất cả các điểm trong không gian ba chiều, khoảng cách từ đó không vượt quá một khoảng cách nhất định đến một điểm gọi là trung tâm của quả bóng(O) (tập hợp tất cả các điểm của không gian ba chiều được giới hạn bởi một hình cầu).

Một quả bóng có thể được mô tả như một hình ba chiều được hình thành bằng cách quay một vòng tròn quanh đường kính của nó một góc 180° hoặc một hình bán nguyệt quanh đường kính của nó một góc 360°.

Sự định nghĩa. Bán kính hình cầu (quả bóng)(R) là khoảng cách từ tâm quả cầu (quả bóng) ồđến bất kỳ điểm nào trên quả cầu (bề mặt quả bóng).

Sự định nghĩa. Đường kính quả cầu (quả bóng)(D) là đoạn nối hai điểm của hình cầu (bề mặt của quả bóng) và đi qua tâm của nó.

Công thức. Khối lượng hình cầu:

V=	4	π R 3 =	1	π D 3
	3		6

Công thức. Diện tích bề mặt của một quả cầu thông qua bán kính hoặc đường kính:

S = 4π R 2 = π D 2

phương trình hình cầu

1. Phương trình mặt cầu có bán kính R và tâm tại gốc hệ tọa độ Descartes:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Phương trình mặt cầu có bán kính R và tâm tại một điểm có tọa độ (x 0, y 0, z 0) trong hệ tọa độ Descartes:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Sự định nghĩa. Các điểm đối xứng đường kính là hai điểm bất kỳ trên bề mặt của một quả bóng (hình cầu) được nối với nhau bằng đường kính.

Tính chất cơ bản của hình cầu và quả bóng

1. Tất cả các điểm của hình cầu đều cách xa tâm như nhau.

2. Bất kỳ phần nào của hình cầu theo mặt phẳng đều là hình tròn.

3. Bất kỳ phần nào của quả bóng theo mặt phẳng đều là hình tròn.

4. Hình cầu có thể tích lớn nhất trong số các hình không gian có cùng diện tích bề mặt.

5. Qua hai điểm đối xứng bất kỳ, bạn có thể vẽ nhiều đường tròn lớn cho hình cầu hoặc nhiều đường tròn cho quả bóng.

6. Qua hai điểm bất kỳ, trừ những điểm có đường kính đối nhau, bạn chỉ có thể vẽ một đường tròn lớn cho hình cầu hoặc một đường tròn lớn cho quả bóng.

7. Hai đường tròn lớn bất kỳ của một quả bóng cắt nhau dọc theo một đường thẳng đi qua tâm quả bóng và hai đường tròn đó cắt nhau tại hai điểm đối xứng đường kính.

8. Nếu khoảng cách giữa tâm của hai quả bóng bất kỳ nhỏ hơn tổng bán kính của chúng và lớn hơn mô đun chênh lệch bán kính của chúng thì những quả bóng đó giao nhau, và một đường tròn được tạo thành trong mặt phẳng giao nhau.

cát tuyến, dây cung, mặt phẳng cát tuyến của hình cầu và tính chất của chúng

Sự định nghĩa. cát tuyến hình cầu là đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm. Các giao điểm được gọi là điểm xuyên thấu bề mặt hoặc các điểm vào và ra trên bề mặt.

Sự định nghĩa. Dây của hình cầu (quả bóng)- đây là đoạn nối hai điểm trên một hình cầu (bề mặt của quả bóng).

Sự định nghĩa. Mặt phẳng cắt là mặt phẳng cắt mặt cầu.

Sự định nghĩa. Mặt phẳng đường kính- đây là mặt phẳng cát tuyến đi qua tâm của hình cầu hoặc quả bóng, phần này tạo thành tương ứng vòng tròn lớn Và vòng tròn lớn. Đường tròn lớn và đường tròn lớn có tâm trùng với tâm của quả cầu (quả bóng).

Bất kỳ dây cung nào đi qua tâm của một hình cầu (quả bóng) đều là đường kính.

Hợp âm là một đoạn của một đường cát tuyến.

Khoảng cách d từ tâm hình cầu đến cát tuyến luôn nhỏ hơn bán kính hình cầu:

d< R

Khoảng cách m giữa mặt phẳng cắt và tâm quả cầu luôn nhỏ hơn bán kính R:

tôi< R

Vị trí của mặt cắt trên mặt cầu sẽ luôn là vòng tròn nhỏ, và trên quả bóng sẽ có phần vòng tròn nhỏ. Đường tròn nhỏ và đường tròn nhỏ có tâm riêng không trùng với tâm của hình cầu (quả bóng). Bán kính r của một đường tròn như vậy có thể được tìm thấy bằng công thức:

r = √R 2 - m 2,

Trong đó R là bán kính của quả cầu (quả bóng), m là khoảng cách từ tâm quả bóng đến mặt phẳng cắt.

Sự định nghĩa. Bán cầu (bán cầu)- đây là một nửa hình cầu (quả bóng), được hình thành khi nó bị cắt bởi một mặt phẳng đường kính.

Mặt phẳng tiếp tuyến, tiếp tuyến của hình cầu và tính chất của chúng

Sự định nghĩa. Tiếp tuyến với một hình cầu là đường thẳng chỉ tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm.

Sự định nghĩa. Mặt phẳng tiếp tuyến với hình cầu là mặt phẳng chỉ tiếp xúc với quả cầu tại một điểm.

Đường tiếp tuyến (mặt phẳng) luôn vuông góc với bán kính của hình cầu vẽ tới điểm tiếp xúc

Khoảng cách từ tâm hình cầu đến đường tiếp tuyến (mặt phẳng) bằng bán kính của hình cầu.

Sự định nghĩa. Đoạn bóng- đây là phần của quả bóng được cắt ra khỏi quả bóng bằng mặt phẳng cắt. Cơ sở của phân khúcđược gọi là vòng tròn hình thành tại vị trí của phần. Chiều cao phân đoạn h là độ dài đường vuông góc kẻ từ giữa đáy của đoạn thẳng đến bề mặt của đoạn đó.

Công thức. Diện tích bề mặt bên ngoài của một đoạn hình cầu có chiều cao h qua bán kính hình cầu R:

S = 2πRh

Quả bóng (quả cầu)

Bề mặt hình cầu. Quả bóng (quả cầu). Phần bóng: vòng tròn.

Định lý Archimedes. Các bộ phận của quả bóng: đoạn hình cầu,

lớp hình cầu, vành đai hình cầu, khu vực hình cầu.

Bề mặt hình cầu - Cái này quỹ tích điểm(những thứ kia. nhiềusố lượng tất cả các điểm)trong không gian, cách đều một điểm ồ , gọi là tâm của mặt cầu (Hình 90). Bán kính AOi đường kính AB được xác định tương tự như trong đường tròn.

Quả bóng (quả cầu) - Cái này một cơ thể được giới hạn bởi một bề mặt hình cầu Có thể lấy bóng bằng cách xoay hình bán nguyệt ( hoặc vòng tròn ) xung quanh đường kính. Tất cả các mặt phẳng của quả bóng là vòng tròn ( Hình.90 ). Đường tròn lớn nhất nằm trên đoạn đi qua tâm quả bóng và được gọi là vòng tròn lớn. Bán kính của nó bằng bán kính của quả bóng. Hai đường tròn lớn bất kỳ cắt nhau dọc theo đường kính của quả bóng ( AB, Hình 91 ). Đường kính này cũng là đường kính của các đường tròn lớn giao nhau. Qua hai điểm của mặt cầu nằm ở hai đầu có cùng đường kính(A và B, Hình 91 ), bạn có thể vẽ vô số vòng tròn lớn. Ví dụ, có thể vẽ vô số kinh tuyến qua các cực của Trái đất.

Thể tích của hình cầu nhỏ hơn một lần rưỡi so với thể tích của hình trụ bao quanh nó. (Hình 92 ), MỘT bề mặt của quả bóng nhỏ hơn một lần rưỡi so với tổng bề mặt của cùng một hình trụ ( Định lý Archimedes):

Đây S quả bóng Và V. quả bóng - bề mặt và thể tích của quả bóng tương ứng;

S xi lanh Và V. xi lanh - tổng bề mặt và thể tích của hình trụ ngoại tiếp.

Các bộ phận của quả bóng. Một phần của quả bóng (quả cầu) ), bị cắt khỏi nó bởi một mặt phẳng nào đó ( ABC, Hình 93), gọi điện quả bóng(hình cầu ) bộ phận. Vòng tròn ABC gọi điện nền tảngđoạn bóng. Đoạn đường MN vuông góc vẽ từ tâm N vòng tròn ABC cho đến khi nó giao nhau với một bề mặt hình cầu, được gọi là chiều caođoạn bóng. chấm M gọi điện đứng đầuđoạn bóng.

Phần hình cầu nằm giữa hai mặt phẳng song song ABC và DEF cắt nhau trên một mặt cầu (Hình 93), gọi điện lớp hình cầu; bề mặt cong của một lớp hình cầu được gọi là vành đai bóng(vùng). Vòng kết nối ABC và DEF – căn cứđai bóng. Khoảng cách N.K. giữa các đáy của vành đai hình cầu - của nó chiều cao. Phần của quả bóng được giới hạn bởi bề mặt cong của một đoạn hình cầu ( AMCB, Hình.93) và bề mặt hình nón OABC , cơ sở của nó là cơ sở của đoạn ( ABC ), và đỉnh là tâm của quả bóngồ , gọi điện khu vực hình cầu.

Một quả bóng và một quả cầu trước hết là những hình hình học, và nếu quả bóng là một vật thể hình học thì quả cầu là bề mặt của quả bóng. Những con số này đã được quan tâm từ hàng ngàn năm trước trước Công nguyên.

Sau đó, khi người ta phát hiện ra rằng Trái đất là một quả bóng và bầu trời là một thiên cầu, một hướng mới hấp dẫn trong hình học đã được phát triển - hình học trên một quả cầu hoặc hình học hình cầu. Để nói về kích thước và thể tích của một quả bóng, trước tiên bạn phải xác định nó.

Quả bóng

Một quả cầu có bán kính R có tâm tại điểm O trong hình học là một vật thể được tạo bởi tất cả các điểm trong không gian có một tính chất chung. Những điểm này nằm ở khoảng cách không vượt quá bán kính của quả bóng, nghĩa là chúng lấp đầy toàn bộ không gian nhỏ hơn bán kính của quả bóng theo mọi hướng tính từ tâm của nó. Nếu chúng ta chỉ xét những điểm cách đều tâm quả bóng, chúng ta sẽ xét bề mặt của nó hoặc vỏ quả bóng.

Làm thế nào tôi có thể lấy được bóng? Chúng ta có thể cắt một hình tròn ra khỏi giấy và bắt đầu xoay nó quanh đường kính của chính nó. Nghĩa là đường kính của đường tròn sẽ là trục quay. Hình được tạo thành sẽ là một quả bóng. Vì vậy, quả bóng còn được gọi là vật quay. Bởi vì nó có thể được hình thành bằng cách quay một hình phẳng - hình tròn.

Hãy lấy một chiếc máy bay nào đó và cắt quả bóng của chúng ta bằng nó. Giống như chúng ta cắt một quả cam bằng dao. Phần mà chúng ta cắt ra khỏi quả bóng được gọi là đoạn hình cầu.

Ở Hy Lạp cổ đại, họ không chỉ biết cách làm việc với một quả bóng và hình cầu như các hình hình học, chẳng hạn như sử dụng chúng trong xây dựng mà còn biết cách tính diện tích bề mặt của quả bóng và thể tích của quả bóng.

Hình cầu là tên gọi khác của bề mặt của quả bóng. Hình cầu không phải là một vật thể - nó là bề mặt của một vật thể xoay. Tuy nhiên, vì cả Trái đất và nhiều vật thể đều có dạng hình cầu, chẳng hạn như một giọt nước, nên việc nghiên cứu các mối quan hệ hình học bên trong quả cầu đã trở nên phổ biến.

Ví dụ: nếu chúng ta nối hai điểm của một hình cầu với nhau bằng một đường thẳng thì đường thẳng này được gọi là dây cung, và nếu dây cung này đi qua tâm của hình cầu trùng với tâm của quả bóng thì dây cung được gọi là đường kính của hình cầu.

Nếu chúng ta vẽ một đường thẳng tiếp xúc với hình cầu chỉ tại một điểm thì đường thẳng này sẽ được gọi là tiếp tuyến. Ngoài ra, tiếp tuyến này của hình cầu tại điểm này sẽ vuông góc với bán kính của hình cầu vẽ tới điểm tiếp xúc.

Nếu chúng ta kéo dài dây cung thành một đường thẳng theo hướng này hay hướng khác so với hình cầu thì dây cung này sẽ được gọi là cát tuyến. Hoặc chúng ta có thể nói khác đi - cát tuyến của hình cầu chứa hợp âm của nó.

Khối lượng bóng

Công thức tính thể tích của quả bóng là:

trong đó R là bán kính của quả bóng.

Nếu bạn cần tìm thể tích của một đoạn hình cầu, hãy sử dụng công thức:

V seg =πh 2 (R-h/3), h là chiều cao của đoạn hình cầu.

Diện tích bề mặt của quả bóng hoặc hình cầu

Để tính diện tích hình cầu hoặc diện tích bề mặt của quả bóng (chúng giống nhau):

trong đó R là bán kính của hình cầu.

Archimedes rất thích quả bóng và quả cầu, ông thậm chí còn yêu cầu để lại một bức vẽ trên lăng mộ của mình, trong đó có một quả bóng được khắc trong một hình trụ. Archimedes tin rằng thể tích của một quả bóng và bề mặt của nó bằng 2/3 thể tích và bề mặt của hình trụ chứa quả bóng đó.”