Tìm đạo hàm và xây dựng biểu đồ trực tuyến. Sơ đồ xây dựng đồ thị của hàm số; nghiên cứu hàm số cực trị bằng đạo hàm cấp cao; tính nghiệm của phương trình bằng phương pháp dây cung và tiếp tuyến

Một trong những sơ đồ khả thi để nghiên cứu hàm và xây dựng đồ thị được chia thành các giai đoạn giải bài toán sau: 1. Miền định nghĩa của hàm (O.O.F.). 2. Điểm ngắt chức năng, tính chất của chúng. Các asymptotes dọc. 3. Tính chẵn, lẻ, tuần hoàn của hàm số. 4. Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ. 5. Hành vi của hàm số ở vô cực. Các tiệm cận ngang và xiên. 6. Các khoảng đơn điệu của hàm số, điểm cực đại và cực tiểu. 7. Hướng độ lồi của đường cong. Điểm biến đổi. 8. Đồ thị hàm số. Ví dụ 1. Vẽ đồ thị hàm số y = 1. (vereiora hoặc lọn tóc của Maria Anyei). - toàn bộ trục số. 2. Không có điểm dừng; không có tiệm cận đứng. 3. Hàm số chẵn: , nên đồ thị của nó đối xứng qua trục Oy\ không tuần hoàn. Từ tính chẵn lẻ của hàm, chỉ cần xây dựng đồ thị của nó trên nửa đường thẳng x ^ O, sau đó phản chiếu nó theo trục Oy là đủ. 4. Tại x = 0 ta có Yx sao cho đồ thị của hàm số nằm trong nửa mặt phẳng trên y > 0. Sơ đồ xây dựng đồ thị của hàm số Nghiên cứu hàm số cực trị bằng đạo hàm bậc cao Tính nghiệm nghiệm của phương trình dùng phương pháp dây cung và tiếp tuyến để đồ thị có tiệm cận ngang y = O, không có tiệm cận xiên. Vậy hàm số tăng khi nào và giảm khi nào. Điểm x = 0 là tới hạn. Khi x đi qua điểm x = 0 thì đạo hàm y"(x) đổi dấu từ âm sang dương. Do đó, điểm x = 0 là điểm cực đại, y(Q) = I. Kết quả này khá hiển nhiên: / (x) = T^ IV*. Đạo hàm bậc hai triệt tiêu tại điểm x = . Ta xét điểm x = 4- (sau đây gọi là xét tính đối xứng). Khi có thì đường cong lồi xuống, khi ta có (đường cong là lồi lên trên). Do đó, điểm x = = - là đồ thị điểm uốn của hàm số. Chúng tôi tổng hợp kết quả nghiên cứu vào bảng: Điểm uốn max Điểm uốn Trong bảng, mũi tên “Y” biểu thị sự tăng của hàm số, mũi tên "\" biểu thị mức giảm của nó. Đồ thị của hàm số như hình 33. Ví dụ 2. Vẽ đồ thị của hàm số (đinh ba Newton ) - toàn bộ trục số, trừ điểm 2. Tính gián đoạn điểm của hàm số. Ta có đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng. 3. Hàm số không chẵn cũng không lẻ [hàm số vị trí tổng quát], không tuần hoàn. Giả sử ta có đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại điểm (-1,0), không có tiệm cận xiên và tiệm cận ngang nên có điểm tới hạn. Đạo hàm cấp hai của hàm số tại một điểm nên x = là điểm cực tiểu. Đạo hàm bậc hai biến thành uul tại một điểm và đổi dấu khi đi qua điểm này. Do đó, điểm này là điểm uốn của đường cong. Với) ta có e. Độ lồi của đường cong hướng xuống dưới; cho -tôi chúng tôi có. độ lồi của đường cong hướng lên trên. Kết quả nghiên cứu được tóm tắt trong bảng: Không tồn tại Không tồn tại Điểm uốn Không tồn tại. Đường tiệm cận đứng của đạo hàm triệt tiêu tại x = e,/2. và khi x đi qua điểm này thì y” đổi dấu. Do đó, là hoành độ của điểm uốn của đường cong. Chúng tôi tổng hợp kết quả nghiên cứu vào bảng: Điểm uốn. Đồ thị của hàm số như hình 2. 37. Ví dụ 4. Xây dựng đồ thị của hàm số toàn trục số, không bao gồm điểm Điểm Điểm gián đoạn loại hàm số loại 2. Vì Km .. nên là tiệm cận đứng trực tiếp của đồ thị hàm số. -định kỳ.Đặt y = 0, từ đó đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại điểm Do đó, đồ thị của hàm số có một tiệm cận xiên Từ điều kiện ta thu được - điểm tới hạn. của hàm y" = D > 0 ở mọi nơi trong miền định nghĩa, cụ thể là tại điểm - điểm cực tiểu của hàm. 7. Vì ở mọi nơi trong miền định nghĩa của hàm số, độ lồi của đồ thị của nó hướng xuống dưới. Kết quả nghiên cứu được tóm tắt trong bảng: Không tồn tại Không tồn tại Không tồn tại. x = 0 - tiệm cận đứng. Đồ thị của hàm số được hiển thị trong Hình. Ví dụ 5. Vẽ đồ thị hàm số toàn trục. 2. Liên tục ở mọi nơi. Không có tiệm cận đứng. 3. Vị trí chung, không định kỳ. 4. Hàm số triệt tiêu tại 5. Như vậy đồ thị của hàm số có tiệm cận nghiêng, đạo hàm triệt tiêu tại điểm và không tồn tại tại. Khi x đi qua điểm) đạo hàm không đổi dấu nên tại điểm x = 0 không có cực trị. Khi điểm x đi qua một điểm thì đạo hàm) đổi dấu từ “+” sang nên hàm số đạt cực đại. Khi x đi qua điểm x = 3 (x > I) thì đạo hàm y”(x) đổi dấu, tức là tại điểm x = 3 hàm số đạt cực tiểu. 7. Tìm đạo hàm bậc hai để dựng đồ thị của hàm Nghiên cứu hàm số cực trị sử dụng đạo hàm bậc cao Tính nghiệm của phương trình bằng phương pháp dây cung và tiếp tuyến Đạo hàm bậc hai y"(x) không tồn tại tại điểm x = 0 và khi x đi qua điểm x = 0 y" đổi dấu từ + thành sao cho điểm (0,0) của đường cong là điểm uốn với tiếp tuyến thẳng đứng. Tại điểm x = 3 không có điểm uốn trên đồ thị. Mọi nơi trong nửa mặt phẳng x > 0, độ lồi của đường cong hướng lên trên. Kết quả nghiên cứu được tóm tắt trong bảng: Không tồn tại Không tồn tại Không tồn tại Không tồn tại Không tồn tại Điểm uốn (0,0) với tiếp tuyến thẳng đứng Đồ thị của hàm số được trình bày dưới dạng Quả sung. 39. §7. Nghiên cứu hàm cực trị sử dụng đạo hàm bậc cao Để tìm điểm cực đại và cực tiểu của hàm số, có thể sử dụng công thức Taylor. Định lý Nó. Giả sử hàm f(x) trong một lân cận nào đó của điểm xq có đạo hàm cấp n, liên tục tại điểm xo. Giả sử 0. Khi đó nếu số n là số lẻ thì hàm f(x) tại điểm x0 có không cực đoan; khi n chẵn thì tại điểm x0 hàm f(x) đạt cực đại nếu /(n)(x0)< 0, и минимум, если /. В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 > 0, nằm trong khoảng, hiệu - /(x0) vẫn giữ nguyên dấu. Sử dụng công thức Taylor làm điều kiện, từ (1) ta thu được 1 điều kiện f(n*(r) liên tục tại một điểm và Φ Do đó, do tính ổn định của tên hàm liên tục nên tồn tại sao cho trong khoảng () không thay đổi và trùng với dấu của f(n)( xo), xét các trường hợp có thể xảy ra: 1) n là số chẵn và / Do đó I theo (2). Theo định nghĩa, điều này có nghĩa là điểm r là điểm cực tiểu của hàm /(r). 2) n - chẵn và. Khi đó chúng ta sẽ có i cùng với cái này và do đó, điểm i trong trường hợp này sẽ là điểm cực đại của hàm /(r). 3) n là số lẻ, / - Khi đó với x > x0 dấu > sẽ trùng với dấu của /(n)(th), và với r th thì nó sẽ ngược lại. Do đó, dù 0 có nhỏ đến đâu thì dấu của hiệu f(r) - f(r) sẽ không giống nhau với mọi x e (r - 6, r + £). Do đó, trong trường hợp này hàm f(r) tại điểm không có cực trị. Ví dụ. Xét hàm số A. Dễ dàng thấy rằng điểm x = 0 là điểm tới hạn của cả hai hàm số. Đối với hàm y = x4, đạo hàm đầu tiên khác 0 tại điểm x = 0 là đạo hàm bậc 4: Do đó, ở đây n = 4 là số chẵn và. Do đó, tại điểm x = 0 hàm số y = x4 có giá trị cực tiểu. Đối với hàm y = x), đạo hàm đầu tiên khác 0 tại điểm x = 0 là đạo hàm bậc 3. Vì vậy, trong trường hợp này n = 3 là số lẻ, và tại điểm x = 0 hàm số y = x3 không có cực trị. Bình luận. Sử dụng công thức Taylor, chúng ta có thể chứng minh định lý sau đây, trong đó biểu thị điều kiện đủ cho điểm uốn. "Định lý 12. Giả sử hàm /(r) trong một lân cận nào đó của điểm r0 có đạo hàm bậc thứ, liên tục tại điểm xq. Giả sử, nhưng /(n)(*o) Φ 0. Khi đó, nếu n là số lẻ thì điểm Mo(x0, f(xо)) là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x), hàm số là ví dụ đơn giản nhất. phương trình sử dụng phương pháp dây và tiếp tuyến Bài toán là tìm nghiệm thực của phương trình, giả sử thỏa mãn điều kiện sau: 1) hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, 6];2 ) các số f(a) và f(b) trái dấu: 3) trên đoạn [a, 6] tồn tại đạo hàm f"(x) và f"(x), bảo toàn dấu không đổi trên đoạn này. Từ điều kiện 1) và 2) theo định lý Bolzano-Cauchy (tr. 220), suy ra rằng hàm /(x) triệt tiêu ít nhất tại một điểm £ € ( a, b), tức là phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thực £ trong khoảng (a, 6). Vì, theo điều kiện 3), đạo hàm /"(x) trên [a, b\ vẫn giữ nguyên dấu không đổi, nên f(x) là đơn điệu trên [a, b] và do đó trong khoảng (a, b) phương trình (1) chỉ có một nghiệm thực. Xét phương pháp tính giá trị gần đúng của nghiệm thực duy nhất này £ € (a, 6) của phương trình ( I ) với bất kỳ mức độ chính xác nào. Có thể xảy ra bốn trường hợp (Hình 40): 1) Hình. 40 Để xác định, ta xét trường hợp khi f\x) > 0, f"(x) > 0 trên đoạn [a, 6) (Hình 41). Ta nối các điểm A(a, /(a) )) và B(b, f(b)) dây cung A B. Đây là đoạn đường thẳng đi qua hai điểm A và B, có phương trình là Điểm aj, tại đó dây cung AB cắt trục Ox, là nằm giữa ai (và gần đúng hơn với a. Giả sử trong (2) y = 0, chúng ta thấy Từ Hình 41 dễ dàng nhận thấy rằng điểm a\ sẽ luôn nằm ở phía mà các dấu f( x) và f"(x) ngược nhau. Bây giờ chúng ta vẽ một tiếp tuyến của đường cong y = f(x) tại điểm B(b, f(b)), tức là ở đầu đó của cung ^AB mà tại đó f (x) và /"(i) có cùng dấu. Đây là một điều kiện thiết yếu: nếu không có nó, giao điểm tiếp tuyến với trục Ox có thể không cung cấp một xấp xỉ nào cho nghiệm mong muốn. Điểm b\, tại mà tiếp tuyến cắt trục Ox, nằm giữa £ và b trên cùng một phía với 6, và gần đúng hơn b. Tiếp tuyến này được xác định bởi phương trình Giả sử y = 0 trong (3), ta tìm được b\ : Sơ đồ xây dựng đồ thị của hàm số Nghiên cứu hàm số cực trị sử dụng đạo hàm bậc cao Tính nghiệm nghiệm của phương trình bằng phương pháp dây cung và tiếp tuyến Do đó, ta có Cho sai số tuyệt đối của xấp xỉ C của nghiệm £ trước. Đối với sai số tuyệt đối của các giá trị gần đúng của aj và 6, căn £, chúng ta có thể lấy giá trị |6i - ai|. Nếu sai số này lớn hơn sai số cho phép thì khi lấy phân đoạn làm phân đoạn ban đầu, chúng ta sẽ tìm thấy các phép tính gần đúng sau đây của gốc. Tiếp tục quá trình này, chúng ta thu được hai dãy giá trị gần đúng.Các dãy (an) và (bn) là đơn điệu và bị giới hạn nên có giới hạn. Giả sử có thể chỉ ra rằng nếu đáp ứng các điều kiện trên thì 1 đến nghiệm duy nhất của phương trình / Ví dụ. Tìm nghiệm (phương trình r2 - 1 = 0 trên đoạn . Do đó, tất cả các điều kiện đều được đáp ứng để đảm bảo tồn tại một nghiệm duy nhất (phương trình x2 - 1 = 0 trên đoạn ... và phương thức sẽ hoạt động. 8 trong trường hợp của chúng ta a = 0, b = 2. Khi n = I từ (4) và (5) ta tìm được Khi n = 2 ta thu được gần đúng giá trị chính xác của nghiệm (có sai số tuyệt đối) Bài tập Xây dựng đồ thị hàm số: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên các đoạn cho trước: Khảo sát hành vi của các hàm số lân cận điểm cho trước bằng đạo hàm cấp cao: Đáp án

Thật không may, không phải tất cả học sinh và học sinh đều biết và yêu thích đại số, nhưng mọi người đều phải chuẩn bị bài tập về nhà, giải bài kiểm tra và làm bài kiểm tra. Nhiều người cảm thấy việc xây dựng đồ thị hàm số đặc biệt khó khăn: nếu ở đâu đó bạn không hiểu điều gì đó, học không xong hoặc bỏ sót thì không thể tránh khỏi sai sót. Nhưng ai lại muốn bị điểm kém?

Bạn có muốn tham gia vào nhóm những người theo đuôi và kẻ thua cuộc không? Để làm được điều này, bạn có 2 cách: ngồi đọc sách giáo khoa và điền vào các lỗ hổng kiến thức, hoặc sử dụng trợ lý ảo - dịch vụ tự động vẽ đồ thị hàm số theo điều kiện cho trước. Có hoặc không có giải pháp. Hôm nay chúng tôi sẽ giới thiệu cho bạn một số trong số họ.

Điều tuyệt vời nhất ở Desmos.com là giao diện, tính tương tác, khả năng tùy biến cao, khả năng sắp xếp kết quả thành bảng và lưu trữ công việc của bạn trong cơ sở dữ liệu tài nguyên miễn phí mà không giới hạn thời gian. Hạn chế là dịch vụ không được dịch hoàn toàn sang tiếng Nga.

Grafikus.ru

Grafikus.ru là một máy tính tiếng Nga đáng chú ý khác để tạo biểu đồ. Hơn nữa, anh ta xây dựng chúng không chỉ trong không gian hai chiều mà còn trong không gian ba chiều.

Dưới đây là danh sách không đầy đủ các nhiệm vụ mà dịch vụ này xử lý thành công:

Vẽ đồ thị 2D của các hàm số đơn giản: đường thẳng, parabol, hyperbol, lượng giác, logarit, v.v.
Vẽ đồ thị 2D của các hàm tham số: hình tròn, hình xoắn ốc, hình Lissajous và các hình khác.
Vẽ đồ thị 2D theo tọa độ cực.
Xây dựng bề mặt 3D của các chức năng đơn giản.
Xây dựng bề mặt 3D của các hàm tham số.

Kết quả hoàn thành sẽ mở ra trong một cửa sổ riêng biệt. Người dùng có các tùy chọn tải xuống, in và sao chép liên kết tới nó. Đối với trường hợp sau, bạn sẽ phải đăng nhập vào dịch vụ thông qua các nút mạng xã hội.

Mặt phẳng tọa độ Grafikus.ru hỗ trợ thay đổi ranh giới của các trục, nhãn của chúng, khoảng cách lưới, cũng như chiều rộng và chiều cao của chính mặt phẳng cũng như kích thước phông chữ.

Điểm mạnh lớn nhất của Grafikus.ru là khả năng tạo đồ họa 3D. Mặt khác, nó hoạt động không tệ hơn và không tốt hơn các tài nguyên tương tự.

Onlinecharts.ru

Trợ lý trực tuyến Onlinecharts.ru không xây dựng biểu đồ mà là sơ đồ của hầu hết các loại hiện có. Bao gồm:

Tuyến tính.
Cột.
Dạng hình tròn.
Với các vùng.
Xuyên tâm.
Đồ thị XY.
Bong bóng.
Điểm.
Bong bóng cực.
Kim tự tháp.
Đồng hồ tốc độ.
Cột-tuyến tính.

Sử dụng tài nguyên rất đơn giản. Hình thức của sơ đồ (màu nền, lưới, đường thẳng, con trỏ, hình dạng góc, phông chữ, độ trong suốt, hiệu ứng đặc biệt, v.v.) hoàn toàn do người dùng quyết định. Dữ liệu xây dựng có thể được nhập thủ công hoặc được nhập từ bảng vào tệp CSV được lưu trữ trên máy tính. Kết quả hoàn thiện có sẵn để tải xuống PC dưới dạng hình ảnh, tệp PDF, CSV hoặc SVG, cũng như để lưu trực tuyến trên trang web lưu trữ ảnh ImageShack.Us hoặc trong tài khoản cá nhân của bạn Onlinecharts.ru. Tùy chọn đầu tiên có thể được sử dụng bởi tất cả mọi người, tùy chọn thứ hai chỉ dành cho những người đã đăng ký.

Nhiệm vụ là tiến hành một nghiên cứu đầy đủ về hàm và xây dựng biểu đồ của nó.

Mọi học sinh đều trải qua những nhiệm vụ tương tự.

Trình bày thêm giả định kiến thức tốt. Chúng tôi khuyên bạn nên tham khảo phần này nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thuật toán nghiên cứu hàm bao gồm các bước sau.

Tìm miền định nghĩa của hàm số

Đây là một bước rất quan trọng trong việc nghiên cứu hàm số, vì tất cả các hành động tiếp theo sẽ được thực hiện trên miền định nghĩa.

Trong ví dụ của chúng ta, chúng ta cần tìm các số 0 của mẫu số và loại chúng khỏi vùng số thực.

(Trong các ví dụ khác có thể có nghiệm, logarit, v.v. Chúng ta hãy nhớ lại rằng trong những trường hợp này, miền định nghĩa được tìm kiếm như sau:
ví dụ, đối với nghiệm bậc chẵn, miền định nghĩa được tìm thấy từ bất đẳng thức ;
đối với logarit - miền định nghĩa được tìm thấy từ bất đẳng thức).

Nghiên cứu hành vi của hàm số trên ranh giới của miền định nghĩa, tìm các tiệm cận đứng.

Tại ranh giới của miền định nghĩa, hàm số có Các asymptotes dọc, nếu tại các điểm biên này là vô hạn.

Trong ví dụ của chúng tôi, các điểm biên của miền định nghĩa là .

Hãy xem xét hành vi của hàm khi tiếp cận các điểm này từ bên trái và bên phải, tại đó chúng ta tìm thấy giới hạn một phía:

Vì giới hạn một phía là vô hạn nên các đường thẳng là các đường tiệm cận đứng của đồ thị.

Kiểm tra hàm số chẵn hay lẻ.

Chức năng là thậm chí, Nếu như . Tính chẵn lẻ của hàm biểu thị tính đối xứng của đồ thị qua tọa độ.

Chức năng là số lẻ, Nếu như . Độ lẻ của hàm biểu thị tính đối xứng của đồ thị so với gốc tọa độ.

Nếu không có đẳng thức nào được thỏa mãn thì chúng ta có hàm có dạng tổng quát.

Trong ví dụ của chúng tôi, đẳng thức được giữ, do đó, hàm của chúng tôi là số chẵn. Chúng tôi sẽ tính đến điều này khi xây dựng biểu đồ - nó sẽ đối xứng qua trục oy.

Tìm khoảng các hàm số tăng, giảm, điểm cực trị.

Các khoảng tăng và giảm lần lượt là nghiệm của các bất đẳng thức và.

Những điểm tại đó đạo hàm triệt tiêu được gọi là đứng im.

Điểm tới hạn của chức năng gọi các điểm bên trong của miền định nghĩa mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc không tồn tại.

BÌNH LUẬN(có bao gồm các điểm tới hạn trong khoảng thời gian tăng và giảm hay không).

Chúng ta sẽ đưa các điểm tới hạn vào các khoảng tăng và giảm nếu chúng thuộc miền của hàm số.

Như vậy, để xác định các khoảng tăng và giảm của hàm

đầu tiên, chúng ta tìm đạo hàm;
thứ hai, chúng tôi tìm thấy những điểm quan trọng;
thứ ba, chúng tôi chia miền định nghĩa theo các điểm tới hạn thành các khoảng;
thứ tư, chúng ta xác định dấu của đạo hàm trên mỗi khoảng. Dấu cộng sẽ tương ứng với khoảng tăng, dấu trừ sẽ tương ứng với khoảng giảm.

Đi!

Chúng ta tìm đạo hàm trên miền định nghĩa (nếu có khó khăn, xem phần này).

Chúng tôi tìm thấy những điểm quan trọng cho việc này:

Chúng ta vẽ các điểm này trên trục số và xác định dấu của đạo hàm trong mỗi khoảng kết quả. Ngoài ra, bạn có thể lấy bất kỳ điểm nào trong khoảng và tính giá trị đạo hàm tại điểm đó. Nếu giá trị là dương thì chúng ta đặt dấu cộng lên khoảng trống này và chuyển sang giá trị tiếp theo, nếu nó âm thì chúng ta đặt dấu trừ, v.v. Ví dụ, , do đó, chúng tôi đặt dấu cộng phía trên khoảng đầu tiên bên trái.

Chúng tôi kết luận:

Theo sơ đồ, các điểm cộng/trừ đánh dấu các khoảng trong đó đạo hàm là dương/âm. Mũi tên tăng/giảm thể hiện chiều tăng/giảm.

Điểm cực trị của hàm số là những điểm tại đó hàm số được xác định và đi qua đó đạo hàm đổi dấu.

Trong ví dụ của chúng tôi, điểm cực trị là x=0. Giá trị của hàm lúc này là . Vì đạo hàm đổi dấu từ cộng sang trừ khi đi qua điểm x=0 nên (0; 0) là điểm cực đại cục bộ. (Nếu đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì ta sẽ có điểm cực tiểu cục bộ).

Tìm khoảng lồi, khoảng lõm của hàm số và điểm uốn.

Các khoảng lõm và lồi của hàm số được tìm thấy bằng cách giải các bất đẳng thức và tương ứng.

Đôi khi độ lõm được gọi là lồi xuống và lồi được gọi là lồi lên.

Ở đây, những nhận xét tương tự như trong đoạn văn về khoảng thời gian tăng và giảm cũng có giá trị.

Như vậy, để xác định độ lõm và khoảng lồi của hàm số:

đầu tiên, chúng ta tìm đạo hàm thứ hai;
thứ hai, chúng ta tìm các số 0 của tử số và mẫu số của đạo hàm bậc hai;
thứ ba, chúng tôi chia miền định nghĩa cho các điểm thu được thành các khoảng;
thứ tư, chúng ta xác định dấu của đạo hàm bậc hai trên mỗi khoảng. Dấu cộng sẽ tương ứng với khoảng lõm, dấu trừ sẽ tương ứng với khoảng lồi.

Đi!

Chúng ta tìm đạo hàm bậc hai trên miền định nghĩa.

Trong ví dụ của chúng ta, không có số 0 ở tử số mà chỉ có số 0 ở mẫu số.

Chúng ta vẽ các điểm này trên trục số và xác định dấu của đạo hàm bậc hai bên trong mỗi khoảng kết quả.

Chúng tôi kết luận:

Điểm đó được gọi là điểm uốn, nếu tại một điểm cho trước có tiếp tuyến với đồ thị của hàm số và đạo hàm bậc hai của hàm số đổi dấu khi đi qua .

Nói cách khác, các điểm uốn có thể là các điểm mà qua đó đạo hàm bậc hai đổi dấu; tại các điểm đó nó bằng 0 hoặc không tồn tại, nhưng những điểm này được bao gồm trong miền định nghĩa của hàm số.

Trong ví dụ của chúng tôi, không có điểm uốn, vì đạo hàm bậc hai thay đổi dấu khi đi qua các điểm và chúng không nằm trong miền định nghĩa của hàm.

Tìm các tiệm cận ngang và xiên.

Các tiệm cận ngang hoặc xiên chỉ nên được tìm khi hàm số được xác định ở vô cùng.

tiệm cận xiênđược tìm kiếm dưới dạng đường thẳng, ở đâu và .

Nếu như k=0 và b không bằng vô cùng thì tiệm cận xiên sẽ trở thành nằm ngang.

Những đường tiệm cận này là ai?

Đây là những đường mà đồ thị của hàm tiến tới vô cùng. Vì vậy, chúng rất hữu ích trong việc vẽ đồ thị hàm số.

Nếu không có tiệm cận ngang hoặc xiên, nhưng hàm số được xác định tại cộng vô cực và (hoặc) trừ vô cực, thì bạn nên tính giới hạn của hàm số tại cộng vô cực và (hoặc) trừ vô cực để có ý tưởng hành vi của đồ thị hàm số.

Ví dụ của chúng tôi

- tiệm cận ngang.

Điều này kết thúc việc nghiên cứu hàm số; chúng ta tiến hành vẽ đồ thị.

Chúng tôi tính toán các giá trị hàm tại các điểm trung gian.

Để vẽ đồ thị chính xác hơn, chúng tôi khuyên bạn nên tìm một số giá trị hàm tại các điểm trung gian (nghĩa là tại bất kỳ điểm nào trong miền định nghĩa của hàm).

Trong ví dụ của chúng ta, chúng ta sẽ tìm các giá trị của hàm tại các điểm x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4. Do tính chẵn lẻ của hàm nên các giá trị này sẽ trùng với các giá trị tại các điểm x=2, x=1, x=3/4, x=1/4.

Xây dựng đồ thị.

Đầu tiên, chúng ta xây dựng các đường tiệm cận, vẽ các điểm cực đại và cực tiểu cục bộ của hàm, các điểm uốn và các điểm trung gian. Để thuận tiện cho việc xây dựng biểu đồ, bạn cũng có thể chỉ định sơ đồ các khoảng tăng, giảm, lồi và lõm, không phải vô ích mà chúng ta đã nghiên cứu hàm =).

Vẫn còn phải vẽ các đường đồ thị đi qua các điểm đã đánh dấu, tiếp cận các đường tiệm cận và đi theo các mũi tên.

Với kiệt tác mỹ thuật này, nhiệm vụ nghiên cứu đầy đủ công năng và xây dựng đồ thị đã hoàn thành.

Đồ thị của một số hàm cơ bản có thể được xây dựng bằng đồ thị của các hàm cơ bản cơ bản.

Nếu bài toán yêu cầu nghiên cứu đầy đủ về hàm f (x) = x 2 4 x 2 - 1 cùng với việc xây dựng đồ thị của nó, thì chúng ta sẽ xem xét nguyên tắc này một cách chi tiết.

Để giải bài toán loại này, bạn nên sử dụng tính chất và đồ thị của các hàm cơ bản cơ bản. Thuật toán nghiên cứu bao gồm các bước sau:

Tìm miền định nghĩa

Vì nghiên cứu được thực hiện trên lĩnh vực định nghĩa của hàm nên cần phải bắt đầu từ bước này.

ví dụ 1

Ví dụ đã cho liên quan đến việc tìm các số 0 của mẫu số để loại chúng khỏi ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Kết quả là, bạn có thể nhận được gốc, logarit, v.v. Khi đó ODZ có thể được tìm kiếm nghiệm bậc chẵn loại g (x) 4 theo bất đẳng thức g (x) ≥ 0, cho logarit a g (x) theo bất đẳng thức g (x) > 0.

Nghiên cứu ranh giới của ODZ và tìm các tiệm cận đứng

Có các tiệm cận đứng tại các biên của hàm số khi giới hạn một phía tại các điểm đó là vô hạn.

Ví dụ 2

Ví dụ: xét các điểm biên bằng x = ± 1 2.

Khi đó cần nghiên cứu hàm số để tìm giới hạn một phía. Khi đó ta được: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f(x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f(x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (+ 0 ) 2 = + ∞

Điều này chứng tỏ giới hạn một phía là vô hạn, nghĩa là các đường thẳng x = ± 1 2 là các tiệm cận đứng của đồ thị.

Nghiên cứu hàm số chẵn hay lẻ

Khi điều kiện y (- x) = y(x) được thỏa mãn thì hàm số được coi là chẵn. Điều này cho thấy đồ thị nằm đối xứng với Oy. Khi điều kiện y (- x) = - y (x) được thỏa mãn thì hàm số được coi là lẻ. Điều này có nghĩa là tính đối xứng có liên quan đến gốc tọa độ. Nếu ít nhất một bất đẳng thức không được thỏa mãn, chúng ta thu được một hàm có dạng tổng quát.

Đẳng thức y (- x) = y (x) chỉ ra rằng hàm số chẵn. Khi xây dựng cần tính đến việc sẽ có sự đối xứng đối với Oy.

Để giải bất đẳng thức, người ta sử dụng các khoảng tăng giảm với các điều kiện lần lượt là f "(x) ≥ 0 và f" (x) ≤ 0.

Định nghĩa 1

Điểm cố định- đây là những điểm biến đạo hàm về 0.

Điểm quan trọng- đây là những điểm bên trong miền định nghĩa trong đó đạo hàm của hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Khi đưa ra quyết định, cần lưu ý những lưu ý sau:

đối với các khoảng tăng giảm hiện có của các bất đẳng thức dạng f " (x) > 0, các điểm tới hạn không được đưa vào nghiệm;
các điểm mà tại đó hàm số được xác định không có đạo hàm hữu hạn thì phải đưa vào các khoảng tăng và giảm (ví dụ y = x 3, trong đó điểm x = 0 thì hàm số xác định thì đạo hàm tại điểm này có giá trị vô cùng điểm, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 được tính vào khoảng tăng);
Để tránh bất đồng, nên sử dụng tài liệu toán học được Bộ Giáo dục khuyến khích.

Bao gồm các điểm tới hạn trong các khoảng tăng và giảm nếu chúng thỏa mãn miền định nghĩa của hàm.

Định nghĩa 2

Vì xác định các khoảng tăng giảm của hàm số cần tìm:

phát sinh;
điểm quan trọng;
chia miền định nghĩa thành các khoảng sử dụng các điểm tới hạn;
xác định dấu của đạo hàm trên mỗi khoảng, trong đó + là tăng và - là giảm.

Ví dụ 3

Tìm đạo hàm trên miền định nghĩa f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Giải pháp

Để giải quyết bạn cần:

tìm điểm dừng, ví dụ này có x = 0;
tìm các số 0 của mẫu số, ví dụ lấy giá trị 0 tại x = ± 1 2.

Chúng ta đặt các điểm trên trục số để xác định đạo hàm trên mỗi khoảng. Để làm điều này, chỉ cần lấy bất kỳ điểm nào trong khoảng và thực hiện phép tính là đủ. Nếu kết quả là dương, chúng ta mô tả + trên biểu đồ, nghĩa là hàm đang tăng và - nghĩa là hàm đang giảm.

Ví dụ: f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, nghĩa là khoảng đầu tiên bên trái có dấu +. Xét trên trục số.

Trả lời:

hàm tăng theo khoảng - ∞; - 1 2 và (- 1 2 ; 0 ] ;
có sự giảm trong khoảng [ 0 ; 1 2) và 1 2 ; + ∞ .

Trong sơ đồ, sử dụng + và -, độ dương và độ âm của hàm được mô tả và các mũi tên biểu thị sự giảm và tăng.

Điểm cực trị của hàm số là điểm tại đó hàm số được xác định và qua đó đạo hàm đổi dấu.

Ví dụ 4

Nếu chúng ta xem xét một ví dụ trong đó x = 0, thì giá trị của hàm trong đó bằng f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Khi dấu của đạo hàm thay đổi từ + thành - và đi qua điểm x = 0 thì điểm có tọa độ (0; 0) được coi là điểm cực đại. Khi dấu thay đổi từ - sang +, chúng ta đạt được điểm tối thiểu.

Độ lồi và độ lõm được xác định bằng cách giải các bất đẳng thức dạng f "" (x) ≥ 0 và f "" (x) ≤ 0. Ít được sử dụng hơn là tên lồi xuống thay vì lồi và lồi lên thay vì lồi.

Định nghĩa 3

Vì xác định các khoảng lõm và lồi cần thiết:

tìm đạo hàm bậc hai;
tìm các số 0 của hàm đạo hàm bậc hai;
chia vùng xác định thành các khoảng với các điểm xuất hiện;
xác định dấu của khoảng.

Ví dụ 5

Tìm đạo hàm thứ hai từ miền định nghĩa.

Giải pháp

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Chúng ta tìm thấy các số 0 của tử số và mẫu số, trong ví dụ của chúng ta, chúng ta có các số 0 của mẫu số x = ± 1 2

Bây giờ bạn cần vẽ các điểm trên trục số và xác định dấu của đạo hàm bậc hai trong mỗi khoảng. Chúng tôi hiểu điều đó

Trả lời:

hàm lồi từ khoảng - 1 2 ; 12 ;
hàm số lõm từ các khoảng - ∞ ; - 1 2 và 1 2; + ∞ .

Định nghĩa 4

Điểm uốn– đây là một điểm có dạng x 0 ; f(x 0) . Khi tiếp tuyến với đồ thị của hàm số thì khi đi qua x 0 hàm số đổi dấu ngược lại.

Nói cách khác, đây là điểm mà đạo hàm bậc hai đi qua và đổi dấu, và tại chính các điểm đó nó bằng 0 hoặc không tồn tại. Tất cả các điểm được coi là miền của hàm.

Trong ví dụ, rõ ràng là không có điểm uốn vì đạo hàm bậc hai đổi dấu khi đi qua các điểm x = ± 1 2. Ngược lại, chúng không nằm trong phạm vi định nghĩa.

Tìm các tiệm cận ngang và xiên

Khi xác định hàm số ở vô cùng, bạn cần tìm các tiệm cận ngang và xiên.

Định nghĩa 5

tiệm cận xiênđược mô tả bằng các đường thẳng cho bởi phương trình y = k x + b, trong đó k = lim x → ∞ f (x) x và b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Với k = 0 và b không bằng vô cùng, ta thấy tiệm cận xiên trở thành nằm ngang.

Nói cách khác, các tiệm cận được coi là các đường mà đồ thị của hàm tiến tới vô cùng. Điều này tạo điều kiện cho việc xây dựng nhanh chóng một đồ thị hàm số.

Nếu không có tiệm cận nhưng hàm số được xác định ở cả hai vô cực thì cần tính giới hạn của hàm tại các vô cực này để hiểu đồ thị của hàm sẽ hoạt động như thế nào.

Ví dụ 6

Hãy xem xét như một ví dụ rằng

k = lim x → ∞ f(x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f(x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

là một tiệm cận ngang. Sau khi kiểm tra chức năng, bạn có thể bắt đầu xây dựng nó.

Tính giá trị của hàm tại các điểm trung gian

Để làm cho biểu đồ chính xác hơn, nên tìm một số giá trị hàm tại các điểm trung gian.

Ví dụ 7

Từ ví dụ chúng ta đã xem xét, cần tìm các giá trị của hàm tại các điểm x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Vì hàm số chẵn nên ta được các giá trị trùng với các giá trị tại các điểm này, tức là ta được x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Hãy viết và giải:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Để xác định cực đại, cực tiểu của hàm số, điểm uốn, điểm trung gian cần xây dựng các đường tiệm cận. Để chỉ định thuận tiện, các khoảng tăng, giảm, lồi và lõm được ghi lại. Chúng ta hãy nhìn vào hình ảnh dưới đây.

Cần phải vẽ các đường đồ thị đi qua các điểm đã đánh dấu, điều này sẽ cho phép bạn tiếp cận các đường tiệm cận bằng cách đi theo các mũi tên.

Điều này kết thúc việc khám phá đầy đủ chức năng. Có những trường hợp xây dựng một số hàm cơ bản sử dụng các phép biến đổi hình học.

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter