Cách tìm đa thức đặc trưng của ma trận. Đa thức đặc trưng và số đặc trưng của ma trận

Cho ta một ma trận vuông có thứ tự N. Ma trận ma trận đặc trưng MỘTđược gọi là ma trận

=với biến λ nhận bất kỳ giá trị số nào.

Định thức của ma trận là đa thức N lũy thừa thứ của λ. Đa thức này gọi là đa thức đặc trưng của ma trận MỘT, phương trình =0 là phương trình đặc trưng của nó và các nghiệm của nó https://pandia.ru/text/78/250/images/image008_68.gif" width="15" Height="17 src="> được gọi là mọi khác không vectơ X, thỏa mãn điều kiện https://pandia.ru/text/78/250/images/image010_64.gif" width="19" Height="24 src="> – number.

Số này được gọi là giá trị riêng của phép biến đổi https://pandia.ru/text/78/250/images/image011_63.gif" width="201" Height="75"> (*)

Nếu biết giá trị riêng λ , thì tất cả các vectơ riêng của ma trận MỘT, thuộc giá trị riêng này, được tìm thấy dưới dạng nghiệm khác 0 của hệ này. Mặt khác, hệ thống đồng nhất này với ma trận vuông A–λE có nghiệm khác 0 X khi và chỉ nếu định thức của ma trận của hệ này bằng 0 và λ thuộc lĩnh vực được đề cập R. Nhưng điều này có nghĩa là λ là nghiệm của đa thức đặc trưng và thuộc trường R. Do đó, các số đặc trưng của ma trận thuộc trường chính và chỉ chúng là giá trị riêng của nó. Để tìm tất cả các giá trị riêng của ma trận MỘT bạn cần tìm tất cả các số đặc trưng của nó và chỉ chọn từ chúng những số thuộc trường chính R và tìm tất cả các vectơ riêng của ma trận MỘT cần tìm mọi thứ khác không giải pháp hệ thống (*) tại mỗi giá trị riêng λ ma trận MỘT.

Ví dụ 1. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận thực .

Giải pháp.Đa thức đặc trưng của ma trận MỘT có dạng:

https://pandia.ru/text/78/250/images/image014_58.gif" width="144" Height="75 src=">=(nhân (2) lần cột trên mỗi số (-2) và thêm với (1m cột) =https://pandia.ru/text/78/250/images/image016_45.gif" width="172" Height="75">=(nhân (1) lần cột trên mỗi số (-1) và thêm với (3m cột) = =(nhân lên (1) lần dòng tới số (2) và thêm với (2) lần dòng) = =(nhân lên (2) lần cột trên mỗi số (-2) và thêm với (3m cột) =
.

Như vậy, đa thức đặc trưng có nghiệm λ1=6, λ2=λ3= – 3. Tất cả chúng đều là số thực và do đó là giá trị riêng của ma trận MỘT.

Tại hệ λ=6 ( A–λE)X=0 trông giống như https://pandia.ru/text/78/250/images/image021_35.gif" width="57" Height="75 src=">..gif" width="153" Height="75 src= ">.

Giải pháp chung của nó là X=https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_28.gif" width="85" Height="27 src=">, nó cung cấp cái nhìn tổng quát về các vectơ riêng của ma trận MỘT, thuộc giá trị riêng λ= – 3.

Sự định nghĩa

Đối với một ma trận nhất định , , ở đâu E - ma trận đơn vị, là một đa thức trong , được gọi là Đặc biệt đa thức ma trận MỘT(đôi khi còn là “phương trình thế tục”).

Giá trị của đa thức đặc trưng là các giá trị riêng của ma trận là nghiệm của nó. Thật vậy, nếu phương trình có nghiệm khác 0 thì ma trận là số ít và định thức của nó bằng 0.

Các định nghĩa liên quan

Của cải

Liên kết

V. Yu. Kiselev, A. S. Pyartli, T. F. Kalugina. Toán học cao hơn. Đại số tuyến tính . - Đại học Năng lượng bang Ivanovo.

Quỹ Wikimedia. 2010.

Đường cong tham chiếu
Harald III (Vua Na Uy)

Xem thêm “Đa thức đặc trưng của ma trận” là gì trong các từ điển khác:

Đặc biệt đa thức- Trong toán học, đa thức đặc trưng có thể có nghĩa là: đa thức đặc trưng của ma trận, đa thức đặc trưng của dãy hồi quy tuyến tính, đa thức đặc trưng của phương trình vi phân thông thường.... ... Wikipedia

ĐẶC BIỆT ĐA THỨC- ma trận trên trường K là đa thức trên trường K. Bậc của X. m bằng bậc của ma trận vuông A, hệ số b1 bằng vết của ma trận (b1 = tr A. = a11+ a 22+ ... +a pp), hệ số b t bằng tổng tất cả các phụ chính của bậc thứ, cụ thể là bn=detA... Bách khoa toàn thư toán học

Đa thức ma trận tối thiểu- Thuật ngữ này còn có ý nghĩa khác, xem Đa thức tối thiểu. Đa thức ma trận tối thiểu là đa thức đơn nhất triệt tiêu có bậc tối thiểu. Tính chất Đa thức tối thiểu chia đa thức đặc trưng của ma trận... ... Wikipedia

Ma trận Lambda- Bài chi tiết: Hàm của ma trận Ma trận Lambda (ma trận λ, ma trận đa thức) là ma trận vuông có các phần tử là đa thức trên một trường số nhất định. Nếu có phần tử ma trận nào đó là đa thức... Wikipedia

PHỔ CỦA MA TRẬN- tập các giá trị riêng của nó. Xem thêm Đa thức đặc trưng của ma trận... Bách khoa toàn thư toán học

Số đặc trưng của ma trận- Vector riêng được biểu thị bằng màu đỏ. Nó, không giống như màu xanh lam, không thay đổi hướng và chiều dài trong quá trình biến dạng, do đó nó là một vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ = 1. Bất kỳ vectơ nào song song với vectơ đỏ... ... Wikipedia

Ma trận tương tự- Ma trận vuông A và B cùng cấp được gọi là tương tự nếu tồn tại ma trận P không suy biến cùng cấp sao cho: Các ma trận tương tự thu được bằng cách xác định cùng một phép biến đổi tuyến tính bằng một ma trận ở các ma trận khác nhau... ... Wikipedia

Ma trận đặc trưng

Phương trình đặc trưng- Đa thức đặc trưng là đa thức xác định các giá trị riêng của ma trận. Ý nghĩa khác: Đa thức đặc trưng của hàm truy hồi tuyến tính là đa thức. Nội dung 1 Định nghĩa ... Wikipedia

Định lý Hamilton- Định lý Hamilton Cayley là một định lý nổi tiếng của lý thuyết ma trận, được đặt theo tên của William Hamilton và Arthur Cayley. Định lý Hamilton Cayley Bất kỳ ma trận vuông nào cũng thỏa mãn phương trình đặc trưng của nó. Nếu... Wikipedia

Sự định nghĩa

Đối với một ma trận nhất định , , ở đâu E- ma trận đẳng thức là một đa thức trong , được gọi là Đặc biệt đa thức ma trận MỘT(đôi khi còn là “phương trình thế tục”).

Các định nghĩa liên quan

Của cải

Liên kết

V. Yu. Kiselev, A. S. Pyartli, T. F. Kalugina. Toán học cao hơn. Đại số tuyến tính . - Đại học Năng lượng bang Ivanovo.

Quỹ Wikimedia. 2010.

Xem thêm “Đa thức đặc trưng của ma trận” là gì trong các từ điển khác:

Trong toán học, đa thức đặc trưng có thể có nghĩa là: đa thức đặc trưng của ma trận, đa thức đặc trưng của dãy hồi quy tuyến tính, đa thức đặc trưng của phương trình vi phân thông thường.... ... Wikipedia

Ma trận trên trường K là đa thức trên trường K. Bậc của X. m bằng bậc của ma trận vuông A, hệ số b1 bằng vết của ma trận (b1 = tr A = a11+). a 22+ ... +a pp), hệ số b t bằng tổng tất cả các phụ chính của bậc thứ, cụ thể là bn=detA... Bách khoa toàn thư toán học

Thuật ngữ này có ý nghĩa khác, xem Đa thức tối thiểu. Đa thức ma trận tối thiểu là đa thức đơn nhất triệt tiêu có bậc tối thiểu. Tính chất Đa thức tối thiểu chia đa thức đặc trưng của ma trận... ... Wikipedia

Bài chi tiết: Hàm của ma trận Ma trận Lambda (ma trận λ, ma trận đa thức) là ma trận vuông có các phần tử là đa thức trên một trường số nào đó. Nếu có phần tử ma trận nào đó là đa thức... Wikipedia

Tập hợp các giá trị riêng của nó. Xem thêm Đa thức đặc trưng của ma trận... Bách khoa toàn thư toán học

Vector riêng được hiển thị bằng màu đỏ. Nó, không giống như màu xanh lam, không thay đổi hướng và chiều dài trong quá trình biến dạng, do đó nó là một vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ = 1. Bất kỳ vectơ nào song song với vectơ đỏ... ... Wikipedia

Các ma trận vuông A và B cùng cấp được gọi là tương tự nhau nếu tồn tại một ma trận P không đơn biến có cùng cấp sao cho: Các ma trận tương tự thu được bằng cách xác định cùng một phép biến đổi tuyến tính của ma trận trong các ma trận khác nhau... .. . Wikipedia

Đa thức đặc trưng là đa thức xác định các giá trị riêng của ma trận. Ý nghĩa khác: Đa thức đặc trưng của hàm truy hồi tuyến tính là đa thức. Nội dung 1 Định nghĩa ... Wikipedia

Định lý Hamilton Cayley là một định lý nổi tiếng của lý thuyết ma trận, được đặt theo tên của William Hamilton và Arthur Cayley. Định lý Hamilton Cayley Bất kỳ ma trận vuông nào cũng thỏa mãn phương trình đặc trưng của nó. Nếu... Wikipedia

Xét ma trận vuông A = ||аik||1n. Ma trận đặc trưng của ma trận A được gọi là ma trận LE-A.

l - a 11 -a 12 ... -a 1n

lE-A = -a21 l - a22 ... -a 2n

….…………………… .

A n1 -a n2 ... l - ann

Định thức của ma trận đặc tính

?(l) = |le-A| = |l dik - aik|1n

là đa thức vô hướng đối với l và được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A.

Ta sẽ gọi ma trận B(l) = ||bik(l)||1n, trong đó bik(l) là phần bù đại số của phần tử ldik - аik trong định thức?(l), ma trận liên kết của ma trận A .

Để tìm các số hạng dẫn đầu của đa thức đặc trưng, chúng ta sử dụng thực tế là giá trị của định thức bằng tổng các tích của các phần tử của nó, lấy một phần tử từ mỗi hàng và mỗi cột và được trang bị các dấu hiệu thích hợp. Vì vậy, để thu được số hạng có bậc cao nhất so với l, cần phải lấy tích của các phần tử có bậc cao nhất. Trong trường hợp của chúng tôi, sản phẩm như vậy sẽ chỉ là một sản phẩm của các phần tử đường chéo (l - a11) (l - a22) ... (l - ann). Tất cả các tích khác có trong định thức đều có bậc không cao hơn n-2, vì nếu một trong các thừa số của tích đó là aik (i ? k), thì tích này sẽ không chứa các yếu tố l-aii, l-acc và do đó sẽ có độ không lớn hơn n-2. Như vậy, ?(l) = (l - a11) ... (l - am) + số hạng bậc không cao hơn n-2, hoặc

?(l) = ln - (a11 + … + ann) ln-1 + …(22)

Tổng các phần tử đường chéo của ma trận được gọi là vết của nó. Công thức (22) cho thấy bậc của đa thức đặc trưng của ma trận bằng bậc của ma trận này, hệ số cao nhất của đa thức đặc trưng là 1, hệ số ln-1 bằng vết của ma trận lấy dấu ngược lại.

Định lý 3. Các đa thức đặc trưng của các ma trận cùng loại thì bằng nhau.

Đặc biệt, theo định lý này, các ma trận tương tự có dấu vết và định thức giống hệt nhau, vì dấu vết và định thức của ma trận, được lấy với các dấu thích hợp, là các hệ số của đa thức đặc trưng của nó.

Các nghiệm của đa thức đặc trưng của ma trận được gọi là các số đặc trưng hoặc giá trị riêng của nó. Nhiều nghiệm của đa thức đặc trưng được gọi là bội giá trị riêng của ma trận. Được biết, tổng của tất cả các nghiệm thực và phức của một đa thức bậc n, có hệ số cao nhất bằng 1, bằng hệ số bậc (n-1) của biến lấy dấu ngược lại. Do đó, công thức (22) cho thấy rằng trong trường số phức, tổng tất cả các giá trị riêng của ma trận bằng vết của nó.

Định lý Hamilton và Caelie. Mỗi ma trận là nghiệm của đa thức đặc trưng của nó, tức là ?(A)= 0.

?(l) = l - 2 -1 = lI - 5l + 7,

?(A) = AI - 5A + 7E = 3 5 -5 2 1 +7 1 0 = 0 0 = 0.