Cách cộng ma trận. Các phép toán cơ bản trên ma trận (cộng, nhân, hoán vị) và các tính chất của chúng

Năm thứ nhất, toán cao cấp, đang học ma trận và các hành động cơ bản trên chúng. Ở đây chúng ta hệ thống hóa các phép toán cơ bản có thể thực hiện được với ma trận. Bắt đầu làm quen với ma trận ở đâu? Tất nhiên, từ những điều đơn giản nhất - định nghĩa, khái niệm cơ bản và các thao tác đơn giản. Chúng tôi đảm bảo với bạn rằng tất cả những người dành ít nhất một chút thời gian cho chúng sẽ hiểu được các ma trận!

Định nghĩa ma trận

Ma trận là một bảng hình chữ nhật gồm các phần tử. Vâng, nói một cách đơn giản – một bảng số.

Thông thường, ma trận được ký hiệu bằng chữ Latinh in hoa. Ví dụ, ma trận MỘT , ma trận B và như thế. Ma trận có thể có kích thước khác nhau: hình chữ nhật, hình vuông và cũng có ma trận hàng và cột gọi là vectơ. Kích thước của ma trận được xác định bởi số hàng và số cột. Ví dụ: hãy viết một ma trận hình chữ nhật có kích thước tôi TRÊN N , Ở đâu tôi - số dòng, và N - số cột.

Các mặt hàng dành cho tôi=j (a11, a22, .. ) tạo thành đường chéo chính của ma trận và được gọi là đường chéo.

Bạn có thể làm gì với ma trận? Cộng/trừ, nhân với một số, nhân với nhau, chuyển đổi. Bây giờ về thứ tự tất cả các phép toán cơ bản trên ma trận.

Phép cộng và phép trừ ma trận

Hãy để chúng tôi cảnh báo ngay cho bạn rằng bạn chỉ có thể cộng các ma trận có cùng kích thước. Kết quả sẽ là một ma trận có cùng kích thước. Cộng (hoặc trừ) ma trận rất đơn giản - bạn chỉ cần cộng các phần tử tương ứng của chúng . Hãy đưa ra một ví dụ. Hãy thực hiện phép cộng hai ma trận A và B có kích thước hai nhân hai.

Phép trừ được thực hiện bằng cách tương tự, chỉ với dấu ngược lại.

Bất kỳ ma trận nào cũng có thể được nhân với một số tùy ý. Để làm điều này, bạn cần nhân từng phần tử của nó với số này. Ví dụ: hãy nhân ma trận A từ ví dụ đầu tiên với số 5:

Phép nhân ma trận

Không phải tất cả các ma trận đều có thể nhân với nhau. Ví dụ: chúng ta có hai ma trận - A và B. Chúng chỉ có thể được nhân với nhau nếu số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B. Trong trường hợp này Mỗi phần tử của ma trận kết quả nằm ở hàng thứ i và cột thứ j sẽ bằng tổng các tích của các phần tử tương ứng ở hàng thứ i của thừa số thứ nhất và cột thứ j của thư hai. Để hiểu thuật toán này, hãy viết ra cách nhân hai ma trận vuông:

Và một ví dụ với số thực. Hãy nhân các ma trận:

Hoạt động chuyển vị ma trận

Chuyển vị ma trận là một thao tác trong đó các hàng và cột tương ứng được hoán đổi cho nhau. Ví dụ: hãy hoán vị ma trận A từ ví dụ đầu tiên:

Định thức ma trận

Định thức hay định thức là một trong những khái niệm cơ bản của đại số tuyến tính. Ngày xửa ngày xưa, người ta nghĩ ra các phương trình tuyến tính, và sau đó họ phải nghĩ ra định thức. Cuối cùng, việc giải quyết tất cả những điều này là tùy thuộc vào bạn, vì vậy, hãy là nỗ lực cuối cùng!

Định thức là một đặc tính số của ma trận vuông, cần thiết để giải nhiều bài toán.
Để tính định thức của ma trận vuông đơn giản nhất, bạn cần tính hiệu giữa tích các phần tử của đường chéo chính và đường chéo phụ.

Định thức của ma trận cấp một, nghĩa là gồm một phần tử, bằng phần tử này.

Nếu ma trận là ba nhân ba thì sao? Điều này khó khăn hơn, nhưng bạn có thể quản lý nó.

Đối với ma trận như vậy, giá trị của định thức bằng tổng các tích các phần tử của đường chéo chính và tích các phần tử nằm trên các tam giác có mặt song song với đường chéo chính, từ đó tích của các phần tử của đường chéo phụ và tích của các phần tử nằm trên các tam giác có mặt của đường chéo phụ song song bị trừ đi.

May mắn thay, trong thực tế hiếm khi cần tính định thức của ma trận có kích thước lớn.

Ở đây chúng ta đã xem xét các phép toán cơ bản trên ma trận. Tất nhiên, trong cuộc sống thực, bạn có thể không bao giờ gặp phải dù chỉ một chút về hệ phương trình ma trận, hoặc ngược lại, bạn có thể gặp những trường hợp phức tạp hơn nhiều khi bạn thực sự phải vắt óc. Chính trong những trường hợp như vậy mới tồn tại các dịch vụ sinh viên chuyên nghiệp. Yêu cầu trợ giúp, nhận được giải pháp chi tiết và chất lượng cao, tận hưởng thành công trong học tập và thời gian rảnh rỗi.

Trong chủ đề này, chúng ta sẽ xem xét khái niệm ma trận cũng như các loại ma trận. Vì có rất nhiều thuật ngữ trong chủ đề này nên tôi sẽ thêm một bản tóm tắt ngắn gọn để giúp bạn dễ dàng điều hướng tài liệu hơn.

Định nghĩa ma trận và phần tử của nó. Ký hiệu.

Ma trận là một bảng gồm $m$ hàng và $n$ cột. Các phần tử của ma trận có thể là các đối tượng có bản chất hoàn toàn khác: số, biến hoặc, ví dụ, các ma trận khác. Ví dụ: ma trận $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ chứa 3 hàng và 2 cột; các phần tử của nó là số nguyên. Ma trận $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ gồm 2 hàng và 4 cột.

Các cách viết ma trận khác nhau: show\hide

Ma trận có thể được viết không chỉ bằng hình tròn mà còn có thể viết bằng dấu ngoặc vuông hoặc dấu ngoặc thẳng kép. Nghĩa là, các mục bên dưới có cùng một ma trận:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

Tích $m\times n$ được gọi là kích thước ma trận. Ví dụ: nếu một ma trận chứa 5 hàng và 3 cột thì chúng ta gọi là ma trận có kích thước $5\times 3$. Ma trận $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ có kích thước $3 \times 2$.

Thông thường, ma trận được biểu thị bằng chữ in hoa của bảng chữ cái Latinh: $A$, $B$, $C$, v.v. Ví dụ: $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Đánh số dòng đi từ trên xuống dưới; cột - từ trái sang phải. Ví dụ: hàng đầu tiên của ma trận $B$ chứa các phần tử 5 và 3, và cột thứ hai chứa các phần tử 3, -87, 0.

Các phần tử của ma trận thường được ký hiệu bằng chữ nhỏ. Ví dụ: các phần tử của ma trận $A$ được ký hiệu là $a_(ij)$. Chỉ số kép $ij$ chứa thông tin về vị trí của phần tử trong ma trận. Số $i$ là số hàng và số $j$ là số cột, tại giao điểm của số đó là phần tử $a_(ij)$. Ví dụ: tại giao điểm của hàng thứ hai và cột thứ năm của ma trận $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ phần tử $a_(25)= $59:

Theo cách tương tự, tại giao điểm của hàng đầu tiên và cột đầu tiên, chúng ta có phần tử $a_(11)=51$; tại giao điểm của hàng thứ ba và cột thứ hai - phần tử $a_(32)=-15$, v.v. Lưu ý rằng mục $a_(32)$ đọc là “a ba hai”, nhưng không phải là “a ba mươi hai”.

Để viết tắt ma trận $A$, có kích thước là $m\times n$, ký hiệu $A_(m\times n)$ được sử dụng. Bạn có thể viết nó chi tiết hơn một chút:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

trong đó ký hiệu $(a_(ij))$ biểu thị các phần tử của ma trận $A$. Ở dạng mở rộng hoàn toàn, ma trận $A_(m\times n)=(a_(ij))$ có thể được viết như sau:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Hãy giới thiệu một thuật ngữ khác - ma trận bằng nhau.

Hai ma trận có cùng kích thước $A_(m\times n)=(a_(ij))$ và $B_(m\times n)=(b_(ij))$ được gọi bình đẳng, nếu các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau, tức là $a_(ij)=b_(ij)$ cho tất cả $i=\overline(1,m)$ và $j=\overline(1,n)$.

Giải thích cho mục nhập $i=\overline(1,m)$: show\hide

Ký hiệu "$i=\overline(1,m)$" có nghĩa là tham số $i$ thay đổi từ 1 đến m. Ví dụ: ký hiệu $i=\overline(1,5)$ chỉ ra rằng tham số $i$ lấy các giá trị 1, 2, 3, 4, 5.

Vì vậy, để các ma trận bằng nhau phải thỏa mãn hai điều kiện: sự trùng hợp về kích thước và sự bằng nhau của các phần tử tương ứng. Ví dụ: ma trận $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ không bằng ma trận $B=\left(\begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ vì ma trận $A$ có kích thước $3\times 2$ và ma trận $B$ có kích thước $2\nhân $2. Ngoài ra, ma trận $A$ không bằng ma trận $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ , vì $a_( 21)\neq c_(21)$ (tức là $0\neq 98$). Nhưng đối với ma trận $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ chúng ta có thể viết $A= một cách an toàn F$ vì cả kích thước và phần tử tương ứng của ma trận $A$ và $F$ đều trùng nhau.

Ví dụ số 1

Xác định kích thước của ma trận $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Cho biết các phần tử $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ bằng nhau.

Ma trận này có 5 hàng và 3 cột nên kích thước của nó là $5\times 3$. Bạn cũng có thể sử dụng ký hiệu $A_(5\times 3)$ cho ma trận này.

Phần tử $a_(12)$ nằm ở giao điểm của hàng đầu tiên và cột thứ hai, do đó $a_(12)=-2$. Phần tử $a_(33)$ nằm ở giao điểm của hàng thứ ba và cột thứ ba, do đó $a_(33)=23$. Phần tử $a_(43)$ nằm ở giao điểm của hàng thứ tư và cột thứ ba, do đó $a_(43)=-5$.

Trả lời: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Các loại ma trận tùy thuộc vào kích thước của chúng. Các đường chéo chính và phụ. Dấu vết ma trận.

Cho trước một ma trận $A_(m\times n)$. Nếu $m=1$ (ma trận gồm một hàng), thì ma trận đã cho được gọi hàng ma trận. Nếu $n=1$ (ma trận gồm một cột), thì ma trận như vậy được gọi cột ma trận. Ví dụ: $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ là một ma trận hàng và $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ là ma trận cột.

Nếu ma trận $A_(m\times n)$ thỏa mãn điều kiện $m\neq n$ (tức là số hàng không bằng số cột), thì người ta thường nói rằng $A$ là hình chữ nhật ma trận. Ví dụ: ma trận $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ có kích thước $2\times 4 $, những cái đó. gồm 2 hàng và 4 cột. Vì số hàng không bằng số cột nên ma trận này có dạng hình chữ nhật.

Nếu ma trận $A_(m\times n)$ thỏa mãn điều kiện $m=n$ (tức là số hàng bằng số cột), thì $A$ được gọi là ma trận vuông cấp $ n$. Ví dụ: $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ là ma trận vuông bậc hai; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ là ma trận vuông bậc ba. Nói chung, ma trận vuông $A_(n\times n)$ có thể được viết như sau:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Các phần tử $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ được gọi là bật đường chéo chính ma trận $A_(n\times n)$. Những phần tử này được gọi là các yếu tố đường chéo chính(hoặc chỉ các phần tử đường chéo). Các phần tử $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ đang bật đường chéo bên (phụ); chúng được gọi là các phần tử đường chéo bên. Ví dụ: đối với ma trận $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \right)$ ta có:

Các phần tử $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ là các phần tử đường chéo chính; các phần tử $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ là các phần tử có đường chéo cạnh.

Tổng các phần tử trên đường chéo chính được gọi là theo sau là ma trận và được ký hiệu là $\Tr A$ (hoặc $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Ví dụ: đối với ma trận $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ ta có:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Khái niệm phần tử đường chéo cũng được sử dụng cho ma trận không vuông. Ví dụ: đối với ma trận $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ các phần tử đường chéo chính sẽ là $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Các loại ma trận tùy thuộc vào giá trị của các phần tử của chúng.

Nếu tất cả các phần tử của ma trận $A_(m\times n)$ đều bằng 0 thì ma trận đó được gọi là vô giá trị và thường được ký hiệu bằng chữ $O$. Ví dụ: $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - ma trận bằng 0.

Cho ma trận $A_(m\times n)$ có dạng sau:

Sau đó ma trận này được gọi hình thang. Nó có thể không chứa hàng 0, nhưng nếu chúng tồn tại thì chúng nằm ở cuối ma trận. Ở dạng tổng quát hơn, ma trận hình thang có thể được viết như sau:

Một lần nữa, các dòng null ở cuối là không cần thiết. Những thứ kia. Về mặt hình thức, chúng ta có thể phân biệt các điều kiện sau cho ma trận hình thang:

1. Tất cả các phần tử bên dưới đường chéo chính đều bằng 0.
2. Tất cả các phần tử từ $a_(11)$ đến $a_(rr)$ nằm trên đường chéo chính không bằng 0: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
3. Hoặc tất cả các phần tử của hàng $m-r$ cuối cùng đều bằng 0 hoặc $m=r$ (tức là không có hàng nào bằng 0).

Ví dụ về ma trận hình thang:

Hãy chuyển sang định nghĩa tiếp theo. Ma trận $A_(m\times n)$ được gọi bước, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

Ví dụ: ma trận bước sẽ là:

Để so sánh, ma trận $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ không phải là cấp bậc vì hàng thứ ba có phần 0 giống như hàng thứ hai. Tức là nguyên tắc “đường càng thấp thì phần 0 càng lớn” bị vi phạm. Tôi sẽ nói thêm rằng ma trận hình thang là trường hợp đặc biệt của ma trận bậc thang.

Hãy chuyển sang định nghĩa tiếp theo. Nếu tất cả các phần tử của ma trận vuông nằm dưới đường chéo chính đều bằng 0 thì ma trận đó được gọi là ma trận tam giác trên. Ví dụ: $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ là ma trận tam giác trên. Lưu ý rằng định nghĩa của ma trận tam giác trên không nói lên điều gì về giá trị của các phần tử nằm phía trên đường chéo chính hoặc trên đường chéo chính. Chúng có thể bằng 0 hoặc không - không thành vấn đề. Ví dụ: $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ cũng là một ma trận tam giác trên.

Nếu tất cả các phần tử của ma trận vuông nằm phía trên đường chéo chính đều bằng 0 thì ma trận đó được gọi là ma trận tam giác dưới. Ví dụ: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - ma trận tam giác dưới. Lưu ý rằng định nghĩa của ma trận tam giác dưới không nói lên điều gì về giá trị của các phần tử nằm dưới hoặc trên đường chéo chính. Chúng có thể bằng 0 hoặc không - không thành vấn đề. Ví dụ: $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ và $\left(\ Begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ cũng là các ma trận tam giác thấp hơn.

Ma trận vuông được gọi là đường chéo, nếu tất cả các phần tử của ma trận này không nằm trên đường chéo chính đều bằng 0. Ví dụ: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ kết thúc(mảng)\right)$. Các phần tử trên đường chéo chính có thể là bất kỳ thứ gì (bằng 0 hoặc không) - không thành vấn đề.

Ma trận đường chéo được gọi là đơn, nếu tất cả các phần tử của ma trận này nằm trên đường chéo chính đều bằng 1. Ví dụ: $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - ma trận nhận dạng bậc bốn; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ là ma trận nhận dạng bậc hai.

ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN. CÁC LOẠI MA TRẬN

Ma trận kích thước m× N gọi là một bộ m·n các số sắp xếp trong một bảng hình chữ nhật tôi dòng và N cột. Bảng này thường được đặt trong dấu ngoặc đơn. Ví dụ: ma trận có thể trông giống như:

Để ngắn gọn, một ma trận có thể được biểu thị bằng một chữ cái viết hoa, ví dụ: MỘT hoặc TRONG.

Nói chung, một ma trận có kích thước tôi× N viết nó như thế này

.

Các số tạo nên ma trận được gọi là phần tử ma trận. Thật thuận tiện khi cung cấp các phần tử ma trận với hai chỉ số một ij: Số đầu tiên cho biết số hàng và số thứ hai cho biết số cột. Ví dụ, số 23– phần tử ở hàng thứ 2, cột thứ 3.

Nếu một ma trận có số hàng bằng số cột thì ma trận đó được gọi là quảng trường, và số hàng hoặc số cột của nó được gọi là theo thứ tự ma trận. Trong các ví dụ trên, ma trận thứ hai là hình vuông - cấp của nó là 3 và ma trận thứ tư là cấp 1.

Ma trận trong đó số hàng không bằng số cột được gọi là hình hộp chữ nhật. Trong các ví dụ đây là ma trận đầu tiên và ma trận thứ ba.

Cũng có những ma trận chỉ có một hàng hoặc một cột.

Một ma trận chỉ có một hàng được gọi là ma trận - hàng(hoặc chuỗi) và ma trận chỉ có một cột ma trận - cột.

Ma trận có các phần tử đều bằng 0 được gọi là vô giá trị và được biểu thị bằng (0) hoặc đơn giản là 0. Ví dụ:

.

Đường chéo chính của ma trận vuông ta gọi là đường chéo đi từ góc trên bên trái đến góc dưới bên phải.

Ma trận vuông trong đó tất cả các phần tử nằm dưới đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là hình tam giác ma trận.

.

Một ma trận vuông trong đó tất cả các phần tử, có lẽ ngoại trừ các phần tử trên đường chéo chính, đều bằng 0, được gọi là đường chéo ma trận. Ví dụ, hoặc.

Ma trận đường chéo trong đó tất cả các phần tử đường chéo đều bằng một được gọi là đơn ma trận và được ký hiệu bằng chữ E. Ví dụ: ma trận đẳng thức bậc 3 có dạng .

HÀNH ĐỘNG TRÊN MA TRẬN

Ma trận đẳng thức. Hai ma trận MỘT Và Bđược gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng số hàng và số cột và các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau một ij = b ij. Do đó, nếu Và , Cái đó A=B, Nếu như a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 Và a 22 = b 22.

Chuyển đổi. Xét một ma trận tùy ý MỘT từ tôi dòng và N cột. Nó có thể được liên kết với ma trận sau B từ N dòng và tôi cột, trong đó mỗi hàng là một cột ma trận MỘT có cùng số (do đó mỗi cột là một hàng của ma trận MỘT có cùng số). Do đó, nếu , Cái đó .

Ma trận này B gọi điện chuyển đổi ma trận MỘT, và sự chuyển đổi từ MỘTĐẾN chuyển âm B.

Vì vậy, chuyển vị là sự đảo ngược vai trò của các hàng và cột trong ma trận. Ma trận chuyển thành ma trận MỘT, thường được ký hiệu TẠI.

Giao tiếp giữa ma trận MỘT và chuyển vị của nó có thể được viết dưới dạng .

Ví dụ. Tìm ma trận chuyển vị của ma trận đã cho.

Phép cộng ma trận.Để các ma trận MỘT Và B bao gồm cùng số hàng và cùng số cột, tức là có cùng kích thước. Khi đó để cộng ma trận MỘT Và B cần thiết cho các phần tử ma trận MỘT thêm các phần tử ma trận Bđứng ở những nơi giống nhau. Như vậy tổng của hai ma trận MỘT Và B gọi là ma trận C, được xác định bởi quy tắc, ví dụ:

Ví dụ. Tìm tổng của ma trận:

Dễ dàng chứng minh rằng phép cộng ma trận tuân theo các định luật sau: giao hoán A+B=B+A và kết hợp ( A+B)+C=MỘT+(B+C).

Nhân một ma trận với một số.Để nhân một ma trận MỘT mỗi số k mọi phần tử của ma trận đều cần thiết MỘT nhân với số này. Vì vậy, sản phẩm ma trận MỘT mỗi số k có một ma trận mới, được xác định theo quy tắc hoặc .

Đối với bất kỳ số nào Một Và b và ma trận MỘT Và Bđẳng thức sau đây có giá trị:

Ví dụ.

Phép nhân ma trận. Hoạt động này được thực hiện theo một quy luật đặc biệt. Trước hết, chúng tôi lưu ý rằng kích thước của ma trận nhân tử phải nhất quán. Bạn chỉ có thể nhân những ma trận trong đó số cột của ma trận thứ nhất trùng với số hàng của ma trận thứ hai (tức là độ dài của hàng đầu tiên bằng chiều cao của cột thứ hai). Công việc ma trận MỘT không phải là ma trận B gọi là ma trận mới C=AB, các phần tử của nó được cấu tạo như sau:

Vì vậy, ví dụ, để thu được sản phẩm (tức là trong ma trận C) phần tử nằm ở hàng thứ 1 và cột thứ 3 từ 13, bạn cần lấy hàng thứ 1 trong ma trận thứ 1, cột thứ 3 trong ma trận thứ 2, sau đó nhân các phần tử của hàng với các phần tử của cột tương ứng và cộng các kết quả thu được. Và các phần tử khác của ma trận tích thu được bằng cách sử dụng tích tương tự của các hàng của ma trận thứ nhất và các cột của ma trận thứ hai.

Nói chung, nếu chúng ta nhân một ma trận A = (aij) kích cỡ tôi× Nđến ma trận B = (bij) kích cỡ N× P, khi đó ta được ma trận C kích cỡ tôi× P, các phần tử của nó được tính như sau: phần tử c ij thu được là kết quả của tích của các nguyên tố Tôi hàng thứ của ma trận MỘT tới các phần tử tương ứng j cột ma trận thứ B và sự bổ sung của họ.

Từ quy tắc này, bạn luôn có thể nhân hai ma trận vuông có cùng cấp và kết quả là chúng ta thu được một ma trận vuông có cùng cấp. Đặc biệt, một ma trận vuông luôn có thể nhân với chính nó, tức là làm vuông nó.

Một trường hợp quan trọng khác là nhân ma trận hàng với ma trận cột và chiều rộng của ma trận thứ nhất phải bằng chiều cao của ma trận thứ hai, dẫn đến ma trận bậc nhất (tức là một phần tử). Thật sự,

.

Ví dụ.

Vì vậy, những ví dụ đơn giản này cho thấy rằng các ma trận, nói chung, không giao hoán với nhau, tức là A∙B ≠ B∙A . Vì vậy, khi nhân ma trận, bạn cần theo dõi cẩn thận thứ tự của các thừa số.

Có thể xác minh rằng phép nhân ma trận tuân theo luật kết hợp và phân phối, tức là (AB)C=A(BC) Và (A+B)C=AC+BC.

Cũng dễ dàng kiểm tra được rằng khi nhân một ma trận vuông MỘT vào ma trận nhận dạng E theo cùng thứ tự, chúng ta lại thu được một ma trận MỘT, Và AE=EA=A.

Sự thật thú vị sau đây có thể được lưu ý. Như bạn đã biết, tích của 2 số khác 0 không bằng 0. Đối với ma trận, điều này có thể không đúng, tức là. tích của 2 ma trận khác 0 có thể bằng ma trận 0.

Ví dụ, Nếu như , Cái đó

.

KHÁI NIỆM VỀ ĐỊNH ĐỊNH

Cho ma trận bậc hai - ma trận vuông gồm hai hàng và hai cột .

Định thức bậc hai tương ứng với một ma trận cho trước là số thu được như sau: a 11 a 22 – a 12 a 21.

Định thức được biểu thị bằng ký hiệu .

Vì vậy, để tìm định thức bậc hai, bạn cần trừ tích các phần tử dọc theo đường chéo thứ hai khỏi tích các phần tử của đường chéo chính.

Ví dụ. Tính định thức bậc hai.

Tương tự, chúng ta có thể xét ma trận bậc ba và định thức tương ứng của nó.

Yếu tố quyết định bậc ba, tương ứng với một ma trận vuông bậc ba cho trước, là số được ký hiệu và thu được như sau:

.

Do đó, công thức này cho phép khai triển định thức bậc ba theo các phần tử của hàng đầu tiên một 11, một 12, một 13 và chuyển cách tính định thức bậc ba thành phép tính định thức bậc hai.

Ví dụ. Tính định thức bậc ba.

Tương tự, người ta có thể giới thiệu các khái niệm về định thức thứ tư, thứ năm, v.v. thứ tự, giảm thứ tự của chúng bằng cách mở rộng sang các phần tử của hàng thứ nhất, với các dấu “+” và “–” của các thuật ngữ xen kẽ nhau.

Vì vậy, không giống như ma trận là một bảng số, định thức là một số được gán cho ma trận theo một cách nhất định.

Hướng dẫn này sẽ giúp bạn học cách thực hiện các phép toán với ma trận: cộng (trừ) ma trận, hoán vị ma trận, nhân ma trận, tìm ma trận nghịch đảo. Tất cả tài liệu đều được trình bày dưới dạng đơn giản và dễ tiếp cận, các ví dụ liên quan được đưa ra, vì vậy ngay cả một người chưa chuẩn bị cũng có thể học cách thực hiện các hành động với ma trận. Để tự theo dõi và tự kiểm tra, bạn có thể tải xuống máy tính ma trận miễn phí >>>.

Tôi sẽ cố gắng giảm thiểu các tính toán lý thuyết; ở một số chỗ có thể giải thích “trên ngón tay” và sử dụng các thuật ngữ phi khoa học. Những người yêu thích lý thuyết vững chắc, xin đừng tham gia vào việc chỉ trích, nhiệm vụ của chúng tôi là học cách thực hiện các phép toán với ma trận.

Để chuẩn bị SIÊU NHANH về chủ đề (ai là người “bùng cháy”), có một khóa học pdf chuyên sâu Ma trận, định thức và kiểm tra!

Ma trận là một bảng hình chữ nhật có một số yếu tố. BẰNG yếu tố chúng ta sẽ xem xét các con số, tức là các ma trận số. YẾU TỐ là một thuật ngữ. Nên nhớ thuật ngữ này, nó sẽ xuất hiện thường xuyên, không phải ngẫu nhiên mà tôi dùng chữ đậm để làm nổi bật nó.

Chỉ định: ma trận thường được ký hiệu bằng chữ Latinh in hoa

Ví dụ: Hãy xem xét một ma trận hai nhân ba:

Ma trận này bao gồm sáu yếu tố:

Tất cả các số (phần tử) bên trong ma trận đều tồn tại độc lập, nghĩa là không có bất kỳ phép trừ nào:

Nó chỉ là một bảng (bộ) số!

Chúng tôi cũng sẽ đồng ý đừng sắp xếp lại số, trừ khi có quy định khác trong phần giải thích. Mỗi số có vị trí riêng và không thể xáo trộn được!

Ma trận được đề cập có hai hàng:

và ba cột:

TIÊU CHUẨN: khi nói về kích thước ma trận thì lúc đầu cho biết số hàng và chỉ sau đó là số cột. Chúng ta vừa chia nhỏ ma trận hai nhân ba.

Nếu số hàng và số cột của một ma trận bằng nhau thì ma trận đó được gọi là quảng trường, Ví dụ: – một ma trận ba nhân ba.

Nếu ma trận có một cột hoặc một hàng thì các ma trận đó còn được gọi là vectơ.

Trên thực tế, chúng ta đã biết khái niệm ma trận từ khi còn đi học; ví dụ, hãy xem xét một điểm có tọa độ “x” và “y”: . Về cơ bản, tọa độ của một điểm được viết thành ma trận một nhân hai. Nhân tiện, đây là một ví dụ giải thích tại sao thứ tự của các số lại quan trọng: và là hai điểm hoàn toàn khác nhau trên mặt phẳng.

Bây giờ chúng ta chuyển sang học các phép toán với ma trận:

1) Hành động một. Loại bỏ dấu trừ khỏi ma trận (đưa dấu trừ vào ma trận).

Hãy quay lại ma trận của chúng ta . Như bạn có thể nhận thấy, có quá nhiều số âm trong ma trận này. Điều này rất bất tiện từ quan điểm thực hiện các hành động khác nhau với ma trận, thật bất tiện khi viết quá nhiều điểm trừ và đơn giản là nó trông xấu về mặt thiết kế.

Hãy di chuyển dấu trừ ra ngoài ma trận bằng cách đổi dấu MỖI phần tử của ma trận:

Ở mức 0, như bạn hiểu, dấu không thay đổi; số 0 cũng bằng 0 ở Châu Phi.

Ví dụ ngược lại: . Nó trông xấu xí.

Hãy đưa dấu trừ vào ma trận bằng cách đổi dấu MỖI phần tử của ma trận:

Chà, hóa ra nó đẹp hơn nhiều. Và quan trọng nhất, việc thực hiện bất kỳ hành động nào với ma trận sẽ DỄ DÀNG HƠN. Bởi vì có một dấu hiệu toán học dân gian như sau: càng nhiều điểm trừ càng dễ nhầm lẫn và sai sót.

2) Màn hai. Nhân một ma trận với một số.

Ví dụ:

Thật đơn giản, để nhân một ma trận với một số, bạn cần mọi phần tử ma trận nhân với một số nhất định. Trong trường hợp này - ba.

Một ví dụ hữu ích khác:

– nhân một ma trận với một phân số

Đầu tiên chúng ta hãy xem phải làm gì KHÔNG CẦN:

KHÔNG CẦN nhập một phân số vào ma trận; thứ nhất, nó chỉ làm phức tạp thêm các thao tác tiếp theo với ma trận và thứ hai, nó khiến giáo viên khó kiểm tra lời giải (đặc biệt nếu – đáp án cuối cùng của bài tập).

Và đặc biệt, KHÔNG CẦN chia từng phần tử của ma trận cho trừ bảy:

Từ bài viết Toán học dành cho người chưa biết hoặc bắt đầu từ đâu, chúng ta nhớ rằng trong toán học cao hơn, họ cố gắng tránh phân số thập phân bằng dấu phẩy bằng mọi cách có thể.

Điều duy nhất là tốt nhất là Việc cần làm trong ví dụ này là thêm dấu trừ vào ma trận:

Nhưng nếu chỉ TẤT CẢ phần tử ma trận được chia cho 7 Không một dâu vêt, thì có thể (và cần thiết!) để chia.

Ví dụ:

Trong trường hợp này, bạn có thể CẦN PHẢI nhân tất cả các phần tử của ma trận với , vì tất cả các số ma trận đều chia hết cho 2 Không một dâu vêt.

Lưu ý: trong lý thuyết toán phổ thông không có khái niệm “phép chia”. Thay vì nói “cái này chia cho cái kia”, bạn luôn có thể nói “cái này nhân với một phân số”. Nghĩa là phép chia là trường hợp đặc biệt của phép nhân.

3) Màn ba. Chuyển đổi ma trận.

Để chuyển vị một ma trận, bạn cần viết các hàng của nó vào các cột của ma trận chuyển vị.

Ví dụ:

ma trận chuyển vị

Ở đây chỉ có một dòng và theo quy tắc, nó phải được viết thành một cột:

– ma trận chuyển vị.

Ma trận chuyển vị thường được biểu thị bằng chỉ số trên hoặc số nguyên tố ở trên cùng bên phải.

Ví dụ từng bước:

ma trận chuyển vị

Đầu tiên chúng ta viết lại hàng đầu tiên vào cột đầu tiên:

Sau đó chúng ta viết lại dòng thứ hai vào cột thứ hai:

Và cuối cùng, chúng ta viết lại hàng thứ ba thành cột thứ ba:

Sẵn sàng. Nói một cách đại khái, hoán vị có nghĩa là xoay ma trận về phía nó.

4) Màn bốn. Tổng (chênh lệch) của ma trận.

Tổng các ma trận là một phép toán đơn giản.
KHÔNG PHẢI TẤT CẢ CÁC MA TRẬN CÓ THỂ ĐƯỢC GẤP. Để thực hiện phép cộng (trừ) các ma trận, chúng cần phải có CÙNG KÍCH THƯỚC.

Ví dụ: nếu một ma trận hai nhân hai được đưa ra thì nó chỉ có thể được cộng bằng ma trận hai nhân hai chứ không được thêm ma trận nào khác!

Ví dụ:

Thêm ma trận Và

Để thêm ma trận, bạn cần thêm các phần tử tương ứng của chúng:

Đối với sự khác biệt của ma trận, quy tắc tương tự, cần tìm sự khác biệt của các phần tử tương ứng.

Ví dụ:

Tìm sự khác biệt ma trận ,

Làm thế nào bạn có thể giải ví dụ này dễ dàng hơn để không bị nhầm lẫn? Nên loại bỏ những điểm trừ không cần thiết, để làm điều này, hãy thêm một điểm trừ vào ma trận:

Lưu ý: trong lý thuyết toán phổ thông không có khái niệm “trừ”. Thay vì nói “trừ cái này khỏi cái này”, bạn luôn có thể nói “cộng số âm vào cái này”. Nghĩa là phép trừ là trường hợp đặc biệt của phép cộng.

5) Màn thứ năm. Phép nhân ma trận.

Những ma trận nào có thể nhân được?

Để nhân một ma trận với một ma trận, cần phải sao cho số cột ma trận bằng số hàng ma trận.

Ví dụ:
Có thể nhân một ma trận với một ma trận không?

Điều này có nghĩa là dữ liệu ma trận có thể được nhân lên.

Nhưng nếu các ma trận được sắp xếp lại thì trong trường hợp này phép nhân không còn thực hiện được nữa!

Do đó, phép nhân không thể thực hiện được:

Không quá hiếm khi gặp phải các nhiệm vụ có thủ thuật, khi học sinh được yêu cầu nhân các ma trận, phép nhân của ma trận đó rõ ràng là không thể.

Cần lưu ý rằng trong một số trường hợp có thể nhân ma trận theo cả hai cách.
Ví dụ: đối với ma trận, cả phép nhân và phép nhân đều có thể thực hiện được

Phép cộng ma trận$ A $ và $ B $ là một phép toán số học, do đó sẽ thu được ma trận $ C $, mỗi phần tử của ma trận đó bằng tổng các phần tử tương ứng của ma trận được thêm vào:

$$ c_(ij) = a_(ij) + b_(ij) $$

Chi tiết Công thức cộng hai ma trận như sau:

$$ A + B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) + b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+b_(13) \\ a_(21)+b_(21) & a_ (22)+b_(22) & a_(23)+b_(23) \\ a_(31)+b_(31) & a_(32)+b_(32) & a_(33)+b_(33) \ kết thúc(pmatrix) = C$$

Xin lưu ý rằng bạn chỉ có thể cộng và trừ các ma trận có cùng thứ nguyên. Với tổng hoặc hiệu, kết quả sẽ là ma trận $ C $ có cùng chiều với các số hạng (trừ) của ma trận $ A $ và $ B $. Nếu các ma trận $ A $ và $ B $ khác nhau về kích thước thì việc cộng (trừ) các ma trận đó sẽ là một lỗi!

Công thức cộng các ma trận 3 x 3, có nghĩa là kết quả phải là ma trận 3 x 3.

Phép trừ ma trận hoàn toàn giống với thuật toán cộng, chỉ khác dấu trừ. Mỗi phần tử của ma trận cần thiết $C$ thu được bằng cách trừ các phần tử tương ứng của ma trận $A$ và $B$:

$$ c_(ij) = a_(ij) - b_(ij) $$

Hãy viết ra chi tiết Công thức trừ hai ma trận:

$$ A - B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) - \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) - b_(11) & a_(12)-b_(12) & a_(13)-b_(13) \\ a_(21)-b_(21) & a_ (22)-b_(22) & a_(23)-b_(23) \\ a_(31)-b_(31) & a_(32)-b_(32) & a_(33)-b_(33) \ kết thúc(pmatrix) = C$$

Cũng cần lưu ý rằng bạn không thể cộng và trừ ma trận với các số thông thường, cũng như với một số phần tử khác.

Sẽ rất hữu ích nếu biết các tính chất của phép cộng (trừ) để có thêm lời giải cho các bài toán về ma trận.

Của cải

1. Nếu các ma trận $ A,B,C $ có cùng kích thước thì thuộc tính kết hợp áp dụng cho chúng: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
2. Đối với mỗi ma trận, có một ma trận 0, ký hiệu là $ O $, khi cộng (trừ) mà ma trận ban đầu không thay đổi: $$ A \pm O = A $$
3. Với mọi ma trận khác 0 $ A $ có một ma trận đối lập $ (-A) $ có tổng bằng 0: $ $ A + (-A) = 0 $ $
4. Khi cộng (trừ) ma trận, cho phép tính chất giao hoán, tức là ma trận $ A $ và $ B $ có thể hoán đổi cho nhau: $$ A + B = B + A $$ $$ A - B = B - A $$

Ví dụ về giải pháp

ví dụ 1

Cho các ma trận $ A = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) $ và $ B = \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) $. Thực hiện phép cộng ma trận rồi phép trừ.

Giải pháp

Trước hết, chúng tôi kiểm tra ma trận về chiều. Ma trận $ A $ có thứ nguyên $ 2 \times 2 $, ma trận thứ hai $ B $ có thứ nguyên $ 2 \time 2 $. Điều này có nghĩa là với những ma trận này, có thể thực hiện phép tính cộng và trừ chung. Hãy nhớ lại rằng để tính tổng, cần phải thực hiện phép cộng theo cặp các phần tử tương ứng của ma trận $ A \text( và ) B $. $$ A + B = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 + 1 & 3 + (-3) \\ -1 + 2 & 4 + 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end( pmatrix)$$ Tương tự như tổng, chúng ta tìm hiệu của các ma trận bằng cách thay dấu “cộng” bằng dấu “trừ”: $$ A - B = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 - 1 & 3 - (-3) \\ -1 - 2 & 4 - 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \ kết thúc (pmatrix) $$ Nếu bạn không thể giải quyết vấn đề của mình, hãy gửi nó cho chúng tôi. Chúng tôi sẽ cung cấp giải pháp chi tiết. Bạn sẽ có thể xem tiến trình tính toán và thu được thông tin. Điều này sẽ giúp bạn nhận được điểm từ giáo viên của bạn một cách kịp thời!

Trả lời

$$ A + B = \begin(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end(pmatrix); A - B = \begin(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \end(pmatrix) $$

Trong bài: “Cộng, trừ ma trận” đã đưa ra định nghĩa, quy tắc, nhận xét, tính chất của các phép toán và ví dụ thực tế về cách giải.