Kỳ vọng toán học của số chữ số riêng biệt. Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên liên tục

Kỳ vọng là phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên

Kỳ vọng toán học, định nghĩa, kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục, mẫu, kỳ vọng có điều kiện, phép tính, tính chất, bài toán, ước lượng kỳ vọng, độ phân tán, hàm phân phối, công thức, ví dụ tính toán

Mở rộng nội dung

Thu gọn nội dung

Kỳ vọng toán học là định nghĩa

Một trong những khái niệm quan trọng nhất trong thống kê toán học và lý thuyết xác suất, mô tả đặc điểm phân bố giá trị hoặc xác suất của một biến ngẫu nhiên. Thường được biểu thị dưới dạng trung bình có trọng số của tất cả các tham số có thể có của một biến ngẫu nhiên. Được sử dụng rộng rãi trong phân tích kỹ thuật, nghiên cứu chuỗi số và nghiên cứu các quy trình liên tục và tốn thời gian. Nó quan trọng trong việc đánh giá rủi ro, dự đoán các chỉ số giá khi giao dịch trên thị trường tài chính và được sử dụng trong việc phát triển các chiến lược và phương pháp chiến thuật chơi game trong lý thuyết cờ bạc.

Kỳ vọng toán học là giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên, phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên được xem xét trong lý thuyết xác suất.

Kỳ vọng toán học là thước đo giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên trong lý thuyết xác suất. Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên xđóng góp bởi M(x).

Kỳ vọng toán học là

Kỳ vọng toán học là trong lý thuyết xác suất, là giá trị trung bình có trọng số của tất cả các giá trị có thể có mà một biến ngẫu nhiên có thể lấy.

Kỳ vọng toán học là tổng tích của tất cả các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên và xác suất của các giá trị này.

Kỳ vọng toán học là lợi ích trung bình từ một quyết định cụ thể, với điều kiện là quyết định đó có thể được xem xét trong khuôn khổ lý thuyết về số lượng lớn và khoảng cách xa.

Kỳ vọng toán học là trong lý thuyết cờ bạc, số tiền thắng trung bình mà người chơi có thể kiếm được hoặc thua cho mỗi lần đặt cược. Theo cách nói cờ bạc, điều này đôi khi được gọi là "lợi thế của người chơi" (nếu nó là tích cực đối với người chơi) hoặc "lợi thế nhà cái" (nếu nó là tiêu cực đối với người chơi).

Kỳ vọng toán học là tỷ lệ phần trăm lợi nhuận trên mỗi lần thắng nhân với lợi nhuận trung bình, trừ đi khả năng thua lỗ nhân với mức lỗ trung bình.

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên trong lý thuyết toán học

Một trong những đặc tính số quan trọng của biến ngẫu nhiên là kỳ vọng toán học của nó. Hãy để chúng tôi giới thiệu khái niệm về một hệ thống các biến ngẫu nhiên. Hãy xem xét một tập hợp các biến ngẫu nhiên là kết quả của cùng một thí nghiệm ngẫu nhiên. Nếu là một trong những giá trị có thể có của hệ thống thì sự kiện tương ứng với một xác suất nhất định thỏa mãn tiên đề Kolmogorov. Hàm được xác định cho bất kỳ giá trị có thể có nào của biến ngẫu nhiên được gọi là luật phân phối chung. Hàm này cho phép bạn tính toán xác suất của bất kỳ sự kiện nào từ đó. Đặc biệt, luật phân phối chung của các biến ngẫu nhiên và lấy các giá trị từ tập hợp và được đưa ra bởi xác suất.

Thuật ngữ “kỳ vọng toán học” được Pierre Simon Marquis de Laplace đưa ra (1795) và xuất phát từ khái niệm “giá trị kỳ vọng của tiền thắng cược”, xuất hiện lần đầu tiên vào thế kỷ 17 trong lý thuyết cờ bạc trong các tác phẩm của Blaise Pascal và Christiaan. Huygens. Tuy nhiên, sự hiểu biết và đánh giá lý thuyết đầy đủ đầu tiên về khái niệm này được đưa ra bởi Pafnuty Lvovich Chebyshev (giữa thế kỷ 19).

Luật phân phối của các biến số ngẫu nhiên (hàm phân phối và chuỗi phân phối hoặc mật độ xác suất) mô tả đầy đủ hành vi của một biến ngẫu nhiên. Nhưng trong một số vấn đề, chỉ cần biết một số đặc tính số của đại lượng đang nghiên cứu (ví dụ: giá trị trung bình của nó và độ lệch có thể có so với nó) là đủ để trả lời câu hỏi đã đặt ra. Các đặc điểm số chính của các biến ngẫu nhiên là kỳ vọng toán học, phương sai, mode và trung vị.

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc là tổng các tích của các giá trị có thể có của nó và xác suất tương ứng của chúng. Đôi khi kỳ vọng toán học được gọi là trung bình có trọng số, vì nó xấp xỉ bằng giá trị trung bình số học của các giá trị quan sát được của một biến ngẫu nhiên trong một số lượng lớn thử nghiệm. Từ định nghĩa của kỳ vọng toán học, giá trị của nó không nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất có thể có của một biến ngẫu nhiên và không lớn hơn giá trị lớn nhất. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên là một biến không ngẫu nhiên (không đổi).

Kỳ vọng toán học có ý nghĩa vật lý đơn giản: nếu bạn đặt một khối lượng đơn vị trên một đường thẳng, đặt một khối lượng nhất định tại một số điểm (đối với phân bố rời rạc) hoặc “bôi nhọ” nó với một mật độ nhất định (đối với phân bố hoàn toàn liên tục) , thì điểm tương ứng với kỳ vọng toán học sẽ là tọa độ “trọng tâm” thẳng.

Giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên là một số nhất định, giống như “đại diện” của nó và thay thế nó trong các phép tính gần đúng. Khi chúng tôi nói: “thời gian hoạt động trung bình của đèn là 100 giờ” hoặc “điểm tác động trung bình được dịch chuyển so với mục tiêu 2 m về bên phải”, chúng tôi đang chỉ ra một đặc tính số nhất định của một biến ngẫu nhiên mô tả vị trí của nó. trên trục số, tức là “đặc điểm vị trí”.

Trong số các đặc điểm của một vị trí trong lý thuyết xác suất, kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng nhất, đôi khi được gọi đơn giản là giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên.

Xét biến ngẫu nhiên X, có các giá trị có thể x1, x2, …, xn với xác suất p1, p2, …, pn. Chúng ta cần mô tả bằng một số số vị trí của các giá trị của một biến ngẫu nhiên trên trục x, có tính đến thực tế là các giá trị này có xác suất khác nhau. Với mục đích này, điều tự nhiên là sử dụng cái gọi là “trung bình có trọng số” của các giá trị xi và mỗi giá trị xi trong quá trình lấy trung bình phải được tính đến với “trọng số” tỷ lệ với xác suất của giá trị này. Vì vậy, chúng ta sẽ tính giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X, mà chúng tôi biểu thị M |X|:

Giá trị trung bình có trọng số này được gọi là kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên. Vì vậy, chúng tôi đã giới thiệu một trong những khái niệm quan trọng nhất của lý thuyết xác suất - khái niệm kỳ vọng toán học. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên là tổng tích của tất cả các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên và xác suất của các giá trị này.

Xđược kết nối bởi một sự phụ thuộc đặc biệt với giá trị trung bình số học của các giá trị quan sát được của biến ngẫu nhiên qua một số lượng lớn các thí nghiệm. Sự phụ thuộc này cùng loại với sự phụ thuộc giữa tần số và xác suất, cụ thể là: với số lượng thí nghiệm lớn, giá trị trung bình số học của các giá trị quan sát được của một biến ngẫu nhiên sẽ tiệm cận (hội tụ về xác suất) với kỳ vọng toán học của nó. Từ sự hiện diện của mối liên hệ giữa tần số và xác suất, người ta có thể suy ra kết quả là có sự hiện diện của mối liên hệ tương tự giữa giá trị trung bình số học và kỳ vọng toán học. Thật vậy, hãy xem xét biến ngẫu nhiên X, được đặc trưng bởi một chuỗi phân phối:

Hãy để nó được sản xuất N các thí nghiệm độc lập, trong đó mỗi giá trị X nhận một giá trị nhất định. Giả sử rằng giá trị x1đã xuất hiện m1 lần, giá trị x2đã xuất hiện m2 thời gian, ý nghĩa chung xi xuất hiện mi lần. Chúng ta hãy tính giá trị trung bình số học của các giá trị quan sát được của giá trị X, trái ngược với kỳ vọng toán học M|X| chúng tôi biểu thị M*|X|:

Với số lượng thí nghiệm ngày càng tăng N tần số số Pi sẽ tiến tới (hội tụ về xác suất) các xác suất tương ứng. Do đó, giá trị trung bình số học của các giá trị quan sát của biến ngẫu nhiên M|X| với sự gia tăng số lượng thí nghiệm nó sẽ tiếp cận (hội tụ về xác suất) với kỳ vọng toán học của nó. Mối liên hệ giữa trung bình số học và kỳ vọng toán học được nêu ở trên là nội dung của một trong các dạng của định luật số lớn.

Chúng ta đã biết rằng tất cả các dạng của định luật số lớn đều phát biểu một thực tế là một số giá trị trung bình ổn định qua một số lượng lớn thí nghiệm. Ở đây chúng ta đang nói về tính ổn định của trung bình số học từ một loạt các quan sát có cùng đại lượng. Với một số ít thí nghiệm, giá trị trung bình số học của kết quả là ngẫu nhiên; với sự gia tăng đủ số lượng thí nghiệm, nó trở nên “gần như không ngẫu nhiên” và ổn định, đạt đến một giá trị không đổi - kỳ vọng toán học.

Độ ổn định của giá trị trung bình qua một số lượng lớn các thí nghiệm có thể được xác minh dễ dàng bằng thực nghiệm. Ví dụ, khi cân một cơ thể trong phòng thí nghiệm trên những chiếc cân chính xác, kết quả của việc cân là mỗi lần chúng ta thu được một giá trị mới; Để giảm sai số quan sát, chúng tôi cân cơ thể nhiều lần và sử dụng giá trị trung bình số học của các giá trị thu được. Dễ dàng nhận thấy rằng với sự gia tăng hơn nữa về số lượng thí nghiệm (cân), giá trị trung bình số học phản ứng với sự gia tăng này ngày càng ít hơn và với số lượng thí nghiệm đủ lớn, thực tế sẽ không còn thay đổi.

Cần lưu ý rằng đặc tính quan trọng nhất về vị trí của một biến ngẫu nhiên - kỳ vọng toán học - không tồn tại đối với tất cả các biến ngẫu nhiên. Có thể soạn các ví dụ về các biến ngẫu nhiên như vậy mà kỳ vọng toán học không tồn tại, vì tổng hoặc tích phân tương ứng phân kỳ. Tuy nhiên, những trường hợp như vậy không được quan tâm nhiều trong thực tế. Thông thường, các biến ngẫu nhiên mà chúng ta xử lý có một phạm vi giới hạn các giá trị có thể có và tất nhiên có kỳ vọng toán học.

Ngoài các đặc điểm quan trọng nhất về vị trí của biến ngẫu nhiên - kỳ vọng toán học - trong thực tế, các đặc điểm khác của vị trí đôi khi cũng được sử dụng, đặc biệt là mode và trung vị của biến ngẫu nhiên.

Mode của một biến ngẫu nhiên là giá trị có thể xảy ra nhất của nó. Nói một cách chính xác, thuật ngữ “giá trị có thể xảy ra nhất” chỉ áp dụng cho các đại lượng không liên tục; đối với một đại lượng liên tục, mode là giá trị tại đó mật độ xác suất là lớn nhất. Các hình vẽ lần lượt thể hiện chế độ của các biến ngẫu nhiên không liên tục và liên tục.

Nếu đa giác phân phối (đường cong phân phối) có nhiều hơn một mức tối đa thì phân phối được gọi là "đa phương thức".

Đôi khi có những phân phối có mức tối thiểu ở giữa thay vì mức tối đa. Những phân phối như vậy được gọi là “phản phương thức”.

Trong trường hợp tổng quát, mode và kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên không trùng nhau. Trong trường hợp cụ thể, khi phân bố đối xứng và có tính chất phương thức (tức là có một phương thức) và có kỳ vọng toán học thì nó trùng với phương thức và tâm đối xứng của phương thức phân bố.

Một đặc điểm vị trí khác thường được sử dụng - cái gọi là trung vị của một biến ngẫu nhiên. Đặc tính này thường chỉ được sử dụng cho các biến ngẫu nhiên liên tục, mặc dù nó có thể được xác định chính thức cho biến không liên tục. Về mặt hình học, đường trung tuyến là hoành độ của điểm mà tại đó diện tích được bao quanh bởi đường cong phân phối được chia làm đôi.

Trong trường hợp phân phối phương thức đối xứng, trung vị trùng với kỳ vọng và phương thức toán học.

Kỳ vọng toán học là giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên - một đặc tính số của phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên. Một cách tổng quát nhất, kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên X(w)được định nghĩa là tích phân Lebesgue đối với thước đo xác suất R trong không gian xác suất ban đầu:

Kỳ vọng toán học cũng có thể được tính bằng tích phân Lebesgue của X theo phân bố xác suất px số lượng X:

Khái niệm biến ngẫu nhiên với kỳ vọng toán học vô hạn có thể được định nghĩa một cách tự nhiên. Một ví dụ điển hình là thời gian quay trở lại của một số bước đi ngẫu nhiên.

Sử dụng kỳ vọng toán học, nhiều đặc tính số và hàm của một phân bố được xác định (như kỳ vọng toán học của các hàm tương ứng của một biến ngẫu nhiên), ví dụ: hàm sinh, hàm đặc trưng, mô men theo thứ tự bất kỳ, đặc biệt là độ phân tán, hiệp phương sai .

Kỳ vọng toán học là một đặc tính về vị trí của các giá trị của một biến ngẫu nhiên (giá trị trung bình của phân bố của nó). Trong khả năng này, kỳ vọng toán học đóng vai trò như một tham số phân bố “điển hình” nào đó và vai trò của nó tương tự như vai trò của mômen tĩnh - tọa độ của trọng tâm phân bố khối lượng - trong cơ học. Từ các đặc điểm khác của vị trí mà sự phân bố được mô tả bằng các thuật ngữ chung - trung vị, chế độ, kỳ vọng toán học khác nhau ở giá trị lớn hơn mà nó và đặc tính tán xạ tương ứng - độ phân tán - có trong các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất. Ý nghĩa của kỳ vọng toán học được bộc lộ đầy đủ nhất qua định luật số lớn (bất đẳng thức Chebyshev) và định luật củng cố số lớn.

Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên rời rạc

Giả sử có một biến ngẫu nhiên nào đó có thể nhận một trong nhiều giá trị số (ví dụ: số điểm khi ném xúc xắc có thể là 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6). Thông thường trong thực tế, đối với một giá trị như vậy, câu hỏi đặt ra là: "trung bình" nó nhận được giá trị nào với một số lượng lớn các thử nghiệm? Thu nhập (hoặc lỗ) trung bình của chúng ta từ mỗi giao dịch rủi ro sẽ là bao nhiêu?

Giả sử có một loại xổ số nào đó. Chúng tôi muốn hiểu liệu việc tham gia vào nó có mang lại lợi nhuận hay không (hoặc thậm chí tham gia nhiều lần, thường xuyên). Giả sử mỗi vé thứ tư là người chiến thắng, giải thưởng sẽ là 300 rúp và giá của bất kỳ vé nào sẽ là 100 rúp. Với số lượng người tham gia vô cùng lớn, đây là điều sẽ xảy ra. Trong 3/4 trường hợp, chúng tôi sẽ thua, cứ ba lần thua sẽ tốn 300 rúp. Trong mọi trường hợp thứ tư, chúng tôi sẽ giành được 200 rúp. (giải thưởng trừ đi chi phí), nghĩa là, đối với bốn lần tham gia, chúng tôi mất trung bình 100 rúp cho một lần tham gia - trung bình là 25 rúp. Tổng cộng, tỷ lệ hủy hoại trung bình của chúng tôi sẽ là 25 rúp mỗi vé.

Chúng tôi ném xúc xắc. Nếu không gian lận (không dịch chuyển trọng tâm, v.v.), thì trung bình mỗi lần chúng ta sẽ có bao nhiêu điểm? Vì mỗi lựa chọn đều có khả năng xảy ra như nhau nên chúng ta chỉ cần lấy trung bình số học và nhận được 3,5. Vì đây là TRUNG BÌNH nên không cần phải phẫn nộ vì không có cuộn cụ thể nào sẽ cho 3,5 điểm - à, khối lập phương này không có mặt với con số như vậy!

Bây giờ hãy tóm tắt các ví dụ của chúng tôi:

Chúng ta hãy nhìn vào bức tranh vừa được đưa ra. Bên trái là bảng phân phối của một biến ngẫu nhiên. Giá trị X có thể nhận một trong n giá trị có thể (hiển thị ở dòng trên cùng). Không thể có bất kỳ ý nghĩa nào khác. Dưới mỗi giá trị có thể, xác suất của nó được viết dưới đây. Bên phải là công thức, trong đó M(X) được gọi là kỳ vọng toán học. Ý nghĩa của giá trị này là với số lượng lớn các thử nghiệm (với một mẫu lớn), giá trị trung bình sẽ có xu hướng giống với kỳ vọng toán học này.

Hãy quay trở lại cùng một khối chơi. Kỳ vọng toán học về số điểm khi ném là 3,5 (bạn tự tính theo công thức nếu bạn không tin tôi). Giả sử bạn đã ném nó một vài lần. Kết quả là 4 và 6. Điểm trung bình là 5, cách xa 3,5. Họ ném nó thêm một lần nữa, họ nhận được 3, tức là trung bình (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Không hiểu sao lại khác xa với kỳ vọng toán học. Bây giờ hãy thực hiện một thí nghiệm điên rồ - lăn khối lập phương 1000 lần! Và ngay cả khi mức trung bình không chính xác là 3,5 thì nó cũng sẽ gần với mức đó.

Hãy tính kỳ vọng toán học cho xổ số được mô tả ở trên. Tấm sẽ trông như thế này:

Khi đó kỳ vọng toán học sẽ như chúng ta đã thiết lập ở trên:

Một điều nữa là sẽ khó thực hiện “trên ngón tay” nếu không có công thức nếu có nhiều lựa chọn hơn. Chà, giả sử sẽ có 75% vé thua, 20% vé thắng và 5% đặc biệt là vé thắng.

Bây giờ một số tính chất của kỳ vọng toán học.

Thật dễ dàng để chứng minh:

Hệ số không đổi có thể được coi là dấu của kỳ vọng toán học, đó là:

Đây là trường hợp đặc biệt của tính chất tuyến tính của kỳ vọng toán học.

Một hệ quả khác của tính tuyến tính của kỳ vọng toán học:

nghĩa là kỳ vọng toán học của tổng các biến ngẫu nhiên bằng tổng kỳ vọng toán học của các biến ngẫu nhiên.

Đặt X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập, Sau đó:

Điều này cũng dễ chứng minh) XY bản thân nó là một biến ngẫu nhiên và nếu các giá trị ban đầu có thể lấy N Và tôi các giá trị tương ứng thì XY có thể nhận giá trị nm. Xác suất của mỗi giá trị được tính toán dựa trên thực tế là xác suất của các sự kiện độc lập được nhân lên. Kết quả là, chúng tôi nhận được điều này:

Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên liên tục

Các biến ngẫu nhiên liên tục có đặc điểm như mật độ phân phối (mật độ xác suất). Về cơ bản, nó đặc trưng cho tình huống một biến ngẫu nhiên lấy một số giá trị từ tập hợp số thực thường xuyên hơn và một số ít thường xuyên hơn. Ví dụ: hãy xem xét biểu đồ này:

Đây X- biến ngẫu nhiên thực tế, f(x)- mật độ phân bố. Đánh giá theo biểu đồ này, trong quá trình thử nghiệm, giá trị X thường sẽ là một số gần bằng 0. Cơ hội đã vượt quá 3 hoặc nhỏ hơn -3 khá thuần túy về mặt lý thuyết.

Ví dụ: giả sử có sự phân bố đồng đều:

Điều này khá phù hợp với sự hiểu biết trực quan. Giả sử, nếu chúng ta nhận được nhiều số thực ngẫu nhiên có phân bố đều, thì mỗi phân số |0; 1| thì giá trị trung bình số học phải vào khoảng 0,5.

Các tính chất của kỳ vọng toán học - tính tuyến tính, v.v., áp dụng cho các biến ngẫu nhiên rời rạc, cũng được áp dụng ở đây.

Mối quan hệ giữa kỳ vọng toán học và các chỉ số thống kê khác

Trong phân tích thống kê, cùng với kỳ vọng toán học, có một hệ thống các chỉ số phụ thuộc lẫn nhau phản ánh tính đồng nhất của các hiện tượng và tính ổn định của các quá trình. Các chỉ số biến thiên thường không có ý nghĩa độc lập và được sử dụng để phân tích dữ liệu sâu hơn. Ngoại lệ là hệ số biến thiên, đặc trưng cho tính đồng nhất của dữ liệu, là một đặc tính thống kê có giá trị.

Mức độ biến đổi hoặc tính ổn định của các quá trình trong khoa học thống kê có thể được đo lường bằng một số chỉ số.

Chỉ số quan trọng nhất mô tả sự biến thiên của một biến ngẫu nhiên là phân tán, liên quan chặt chẽ và trực tiếp nhất đến kỳ vọng toán học. Tham số này được sử dụng tích cực trong các loại phân tích thống kê khác (kiểm tra giả thuyết, phân tích mối quan hệ nhân quả, v.v.). Giống như độ lệch tuyến tính trung bình, phương sai cũng phản ánh mức độ phân tán dữ liệu xung quanh giá trị trung bình.

Sẽ rất hữu ích nếu dịch ngôn ngữ ký hiệu sang ngôn ngữ của từ ngữ. Hóa ra độ phân tán là bình phương trung bình của độ lệch. Nghĩa là, giá trị trung bình được tính toán đầu tiên, sau đó chênh lệch giữa mỗi giá trị ban đầu và trung bình được lấy, bình phương, cộng lại, sau đó chia cho số giá trị trong tổng thể. Sự khác biệt giữa một giá trị riêng lẻ và giá trị trung bình phản ánh thước đo độ lệch. Nó được bình phương sao cho tất cả các độ lệch chỉ trở thành số dương và tránh sự phá hủy lẫn nhau của các độ lệch dương và âm khi tổng hợp chúng. Sau đó, với độ lệch bình phương, chúng ta chỉ cần tính giá trị trung bình số học. Trung bình - bình phương - độ lệch. Các độ lệch được bình phương và tính giá trị trung bình. Câu trả lời cho từ kỳ diệu “phân tán” chỉ nằm trong ba từ.

Tuy nhiên, ở dạng thuần túy, chẳng hạn như trung bình số học hoặc chỉ số, độ phân tán không được sử dụng. Nó đúng hơn là một chỉ báo phụ trợ và trung gian được sử dụng cho các loại phân tích thống kê khác. Nó thậm chí không có đơn vị đo lường bình thường. Đánh giá theo công thức, đây là bình phương của đơn vị đo của dữ liệu gốc.

Chúng ta hãy đo một biến ngẫu nhiên N lần, chẳng hạn, chúng tôi đo tốc độ gió mười lần và muốn tìm giá trị trung bình. Giá trị trung bình liên quan đến hàm phân phối như thế nào?

Hoặc chúng ta sẽ tung xúc xắc nhiều lần. Số điểm sẽ xuất hiện trên xúc xắc sau mỗi lần ném xúc xắc là một biến ngẫu nhiên và có thể nhận bất kỳ giá trị tự nhiên nào từ 1 đến 6. Giá trị trung bình số học của số điểm rơi được tính cho tất cả các lần ném xúc xắc cũng là một biến ngẫu nhiên, nhưng đối với số điểm lớn. N nó hướng đến một con số rất cụ thể - kỳ vọng toán học Mx. Trong trường hợp này Mx = 3,5.

Làm thế nào bạn có được giá trị này? Cho vào N kiểm tra n1 khi bạn nhận được 1 điểm, n2 một lần - 2 điểm, v.v. Sau đó, số kết quả có một điểm giảm:

Tương tự cho kết quả khi tung được 2, 3, 4, 5 và 6 điểm.

Bây giờ giả sử ta biết luật phân phối của biến ngẫu nhiên x, tức là ta biết biến ngẫu nhiên x có thể nhận các giá trị x1, x2, ..., xk với các xác suất p1, p2, ..., pk.

Kỳ vọng toán học Mx của biến ngẫu nhiên x bằng:

Kỳ vọng toán học không phải lúc nào cũng là ước tính hợp lý của một số biến ngẫu nhiên. Vì vậy, để ước tính mức lương trung bình, sẽ hợp lý hơn khi sử dụng khái niệm trung vị, tức là giá trị sao cho số người nhận được mức lương thấp hơn mức trung vị và số lớn hơn trùng khớp với nhau.

Xác suất p1 để biến ngẫu nhiên x sẽ nhỏ hơn x1/2 và xác suất p2 để biến ngẫu nhiên x sẽ lớn hơn x1/2 đều bằng nhau và bằng 1/2. Trung vị không được xác định duy nhất cho tất cả các phân phối.

Độ lệch chuẩn hoặc tiêu chuẩn trong thống kê, mức độ sai lệch của dữ liệu quan sát hoặc các tập hợp so với giá trị TRUNG BÌNH được gọi là. Ký hiệu bằng chữ cái s hoặc s. Độ lệch chuẩn nhỏ cho biết các cụm dữ liệu xung quanh giá trị trung bình, trong khi độ lệch chuẩn lớn cho biết dữ liệu ban đầu nằm cách xa giá trị trung bình. Độ lệch chuẩn bằng căn bậc hai của một đại lượng gọi là phương sai. Nó là giá trị trung bình của tổng các sai phân bình phương của dữ liệu ban đầu lệch khỏi giá trị trung bình. Độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên là căn bậc hai của phương sai:

Ví dụ. Trong điều kiện thử nghiệm khi bắn vào mục tiêu, hãy tính độ phân tán và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên:

Biến thể- sự dao động, khả năng thay đổi giá trị của một đặc tính giữa các đơn vị dân số. Các giá trị số riêng lẻ của một đặc điểm được tìm thấy trong quần thể đang nghiên cứu được gọi là các biến thể của giá trị. Việc thiếu giá trị trung bình để mô tả đầy đủ dân số buộc chúng ta phải bổ sung các giá trị trung bình bằng các chỉ số cho phép chúng ta đánh giá tính điển hình của các mức trung bình này bằng cách đo lường độ biến thiên (biến thiên) của đặc tính đang được nghiên cứu. Hệ số biến thiên được tính theo công thức:

Phạm vi biến đổi(R) biểu thị sự khác biệt giữa giá trị tối đa và tối thiểu của thuộc tính trong quần thể đang được nghiên cứu. Chỉ báo này đưa ra ý tưởng chung nhất về tính biến thiên của đặc tính đang được nghiên cứu, vì nó chỉ hiển thị sự khác biệt giữa các giá trị tối đa của các tùy chọn. Sự phụ thuộc vào các giá trị cực trị của một đặc tính làm cho phạm vi biến đổi trở thành một ký tự ngẫu nhiên, không ổn định.

Độ lệch tuyến tính trung bình biểu thị giá trị trung bình số học của độ lệch tuyệt đối (modulo) của tất cả các giá trị của dân số được phân tích so với giá trị trung bình của chúng:

Kỳ vọng toán học trong lý thuyết cờ bạc

Kỳ vọng toán học là Số tiền trung bình mà một con bạc có thể thắng hoặc thua khi đặt cược. Đây là một khái niệm rất quan trọng đối với người chơi vì nó là nền tảng để đánh giá hầu hết các tình huống chơi game. Kỳ vọng toán học cũng là công cụ tối ưu để phân tích cách bố trí quân bài cơ bản và các tình huống chơi game.

Giả sử bạn đang chơi trò chơi xu với một người bạn, đặt cược bằng nhau 1 đô la mỗi lần, bất kể điều gì xảy ra. Mặt sấp nghĩa là bạn thắng, mặt ngửa nghĩa là bạn thua. Tỷ lệ cược là 1 ăn 1 là nó sẽ ngửa, vì vậy bạn đặt cược từ 1 đến 1 đô la. Do đó, kỳ vọng toán học của bạn bằng 0, bởi vì Từ quan điểm toán học, bạn không thể biết mình sẽ dẫn trước hay thua sau hai lần ném hay sau 200.

Mức tăng hàng giờ của bạn bằng không. Tiền thắng hàng giờ là số tiền bạn mong đợi giành được trong một giờ. Bạn có thể tung đồng xu 500 lần trong một giờ, nhưng bạn sẽ không thắng hay thua vì... cơ hội của bạn không tích cực cũng không tiêu cực. Nếu nhìn từ góc độ của một người chơi nghiêm túc, hệ thống cá cược này không tệ. Nhưng điều này chỉ đơn giản là một sự lãng phí thời gian.

Nhưng giả sử ai đó muốn đặt cược 2 đô la vào 1 đô la của bạn trong cùng một trò chơi. Sau đó, bạn ngay lập tức có kỳ vọng tích cực là 50 xu từ mỗi lần đặt cược. Tại sao lại là 50 xu? Trung bình, bạn thắng một lần đặt cược và thua lần thứ hai. Đặt cược đô la đầu tiên và bạn sẽ thua 1 đô la, đặt cược lần thứ hai và bạn sẽ thắng 2 đô la. Bạn đặt cược 1 đô la hai lần và dẫn trước 1 đô la. Vì vậy, mỗi lần đặt cược một đô la của bạn mang lại cho bạn 50 xu.

Nếu một đồng xu xuất hiện 500 lần trong một giờ, số tiền thắng hàng giờ của bạn sẽ là 250 USD, bởi vì... Trung bình, bạn thua 1 đô la 250 lần và thắng 2 đô la 250 lần. $500 trừ đi $250 bằng $250, là tổng số tiền thắng. Xin lưu ý rằng giá trị dự kiến, tức là số tiền trung bình bạn thắng được cho mỗi lần đặt cược, là 50 xu. Bạn đã thắng 250 đô la bằng cách đặt cược 1 đô la 500 lần, tương đương 50 xu cho mỗi lần đặt cược.

Kỳ vọng toán học không liên quan gì đến kết quả ngắn hạn. Đối thủ của bạn, người đã quyết định đặt cược 2 đô la chống lại bạn, có thể đánh bại bạn trong mười lượt đầu tiên liên tiếp, nhưng bạn, có lợi thế cá cược 2 ăn 1, tất cả các yếu tố khác đều bằng nhau, sẽ kiếm được 50 xu cho mỗi lần đặt cược 1 đô la trong bất kỳ trận đấu nào. trường hợp. Sẽ không có gì khác biệt dù bạn thắng hay thua một lần đặt cược hay nhiều lần đặt cược, miễn là bạn có đủ tiền mặt để thoải mái trang trải chi phí. Nếu bạn tiếp tục đặt cược theo cách tương tự, thì trong một thời gian dài, số tiền thắng của bạn sẽ đạt đến tổng số kỳ vọng trong các lần ném riêng lẻ.

Mỗi khi bạn đặt cược tốt nhất (một cuộc đặt cược có thể mang lại lợi nhuận về lâu dài), khi tỷ lệ cược có lợi cho bạn, bạn chắc chắn sẽ thắng được thứ gì đó ở đó, bất kể bạn có thua hay không trong trận đấu. trao tay. Ngược lại, nếu bạn đặt cược cửa dưới (cược không có lãi về lâu dài) khi tỷ lệ cược chống lại bạn, bạn sẽ thua một số thứ bất kể bạn thắng hay thua.

Bạn đặt cược với kết quả tốt nhất nếu kỳ vọng của bạn là tích cực và sẽ tích cực nếu tỷ lệ cược nghiêng về phía bạn. Khi bạn đặt cược với kết quả tồi tệ nhất, bạn có kỳ vọng tiêu cực, điều này xảy ra khi tỷ lệ cược chống lại bạn. Những người chơi nghiêm túc chỉ đặt cược vào kết quả tốt nhất; nếu điều tồi tệ nhất xảy ra, họ sẽ bỏ bài. Tỷ lệ cược có ý nghĩa gì đối với bạn? Bạn có thể sẽ thắng nhiều hơn tỷ lệ cược thực sự mang lại. Tỷ lệ thực tế của việc hạ cánh là 1 ăn 1, nhưng bạn nhận được 2 ăn 1 do tỷ lệ cược. Trong trường hợp này, tỷ lệ cược đang có lợi cho bạn. Bạn chắc chắn nhận được kết quả tốt nhất với kỳ vọng tích cực là 50 xu cho mỗi lần đặt cược.

Đây là một ví dụ phức tạp hơn về kỳ vọng toán học. Một người bạn viết các số từ một đến năm và đặt cược 5 đô la vào 1 đô la của bạn rằng bạn sẽ không đoán được số đó. Bạn có nên đồng ý đặt cược như vậy? Sự mong đợi ở đây là gì?

Trung bình bạn sẽ sai bốn lần. Dựa trên điều này, tỷ lệ bạn đoán được số đó là 4 trên 1. Tỷ lệ bạn mất một đô la trong một lần thử. Tuy nhiên, bạn thắng 5 ăn 1, có khả năng thua 4 ăn 1. Vì vậy, tỷ lệ cược nghiêng về bạn, bạn có thể đặt cược và hy vọng vào kết quả tốt nhất. Nếu bạn đặt cược này năm lần, trung bình bạn sẽ thua 1 đô la bốn lần và thắng 5 đô la một lần. Dựa trên điều này, với tất cả năm lần thử, bạn sẽ kiếm được 1 đô la với kỳ vọng toán học dương là 20 xu cho mỗi lần đặt cược.

Một người chơi sẽ thắng nhiều hơn số tiền anh ta đặt cược, như trong ví dụ trên, đang nắm lấy cơ hội. Ngược lại, anh ta sẽ phá hỏng cơ hội của mình khi anh ta mong đợi sẽ thắng ít hơn số tiền anh ta đặt cược. Người đặt cược có thể có kỳ vọng tích cực hoặc tiêu cực, điều này phụ thuộc vào việc anh ta thắng hay làm hỏng tỷ lệ cược.

Nếu bạn đặt cược 50 đô la để thắng 10 đô la với cơ hội thắng 4 ăn 1, bạn sẽ có kỳ vọng âm là 2 đô la vì Trung bình, bạn sẽ thắng 10 đô la bốn lần và thua 50 đô la một lần, điều này cho thấy số tiền thua mỗi lần đặt cược sẽ là 10 đô la. Nhưng nếu bạn đặt cược 30 đô la để thắng 10 đô la, với cùng tỷ lệ thắng 4 ăn 1, thì trong trường hợp này bạn có kỳ vọng dương là 2 đô la, bởi vì bạn lại thắng 10 đô la bốn lần và thua 30 đô la một lần, với số tiền lãi là 10 đô la. Những ví dụ này cho thấy lần đặt cược đầu tiên là xấu và lần đặt cược thứ hai là tốt.

Kỳ vọng toán học là trung tâm của mọi tình huống chơi game. Khi một nhà cái khuyến khích người hâm mộ bóng đá đặt cược 11 đô la để thắng 10 đô la, anh ta có kỳ vọng tích cực là 50 xu cho mỗi 10 đô la. Nếu sòng bạc trả số tiền chẵn từ đường chuyền trong xúc xắc thì kỳ vọng tích cực của sòng bạc sẽ là khoảng 1,40 đô la cho mỗi 100 đô la, bởi vì Trò chơi này được cấu trúc sao cho ai đặt cược vào dòng này thua trung bình 50,7% và thắng 49,3% tổng thời gian. Không còn nghi ngờ gì nữa, chính kỳ vọng tích cực tưởng chừng như tối thiểu này đã mang lại lợi nhuận khổng lồ cho các chủ sòng bạc trên toàn thế giới. Như chủ sở hữu sòng bạc Vegas World, Bob Stupak đã lưu ý, “xác suất âm một phần nghìn của một phần trăm trong một khoảng cách đủ dài sẽ hủy hoại người giàu nhất thế giới”.

Kỳ vọng khi chơi Poker

Trò chơi Poker là ví dụ minh họa và minh họa rõ nhất về mặt sử dụng lý thuyết và tính chất của kỳ vọng toán học.

Giá trị kỳ vọng trong Poker là lợi ích trung bình từ một quyết định cụ thể, với điều kiện là quyết định đó có thể được xem xét trong khuôn khổ lý thuyết về số lượng lớn và khoảng cách xa. Một trò chơi poker thành công là luôn chấp nhận những nước đi có giá trị kỳ vọng dương.

Ý nghĩa toán học của kỳ vọng toán học khi chơi poker là chúng ta thường gặp các biến số ngẫu nhiên khi đưa ra quyết định (không biết đối thủ có bài gì trên tay, bài nào sẽ ra ở các vòng cược tiếp theo). Chúng ta phải xem xét từng giải pháp theo quan điểm của lý thuyết số lớn, trong đó phát biểu rằng với một mẫu đủ lớn, giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên sẽ có xu hướng giống với kỳ vọng toán học của nó.

Trong số các công thức cụ thể để tính kỳ vọng toán học, công thức sau đây được áp dụng nhiều nhất trong poker:

Khi chơi bài poker, giá trị kỳ vọng có thể được tính cho cả cược và cuộc gọi. Trong trường hợp đầu tiên, tỷ lệ gấp đôi nên được tính đến, trong trường hợp thứ hai, tỷ lệ cược của chính ngân hàng. Khi đánh giá kỳ vọng toán học của một nước đi cụ thể, bạn nên nhớ rằng một ván gấp luôn có kỳ vọng bằng 0. Vì vậy, loại bỏ quân bài sẽ luôn là một quyết định có lợi hơn bất kỳ động thái tiêu cực nào.

Kỳ vọng cho bạn biết bạn có thể mong đợi điều gì (lợi nhuận hoặc thua lỗ) đối với mỗi đô la bạn gặp rủi ro. Sòng bạc kiếm tiền vì kỳ vọng toán học của tất cả các trò chơi được chơi trong đó đều có lợi cho sòng bạc. Với một chuỗi trò chơi đủ dài, bạn có thể mong đợi rằng khách hàng sẽ mất tiền của mình, vì “tỷ lệ cược” nghiêng về sòng bạc. Tuy nhiên, những người chơi sòng bạc chuyên nghiệp giới hạn trò chơi của họ trong khoảng thời gian ngắn, từ đó nâng cao tỷ lệ cược có lợi cho họ. Việc đầu tư cũng vậy. Nếu kỳ vọng của bạn là tích cực, bạn có thể kiếm được nhiều tiền hơn bằng cách thực hiện nhiều giao dịch trong một khoảng thời gian ngắn. Kỳ vọng là tỷ lệ phần trăm lợi nhuận trên mỗi chiến thắng nhân với lợi nhuận trung bình của bạn, trừ đi khả năng thua lỗ nhân với mức lỗ trung bình của bạn.

Poker cũng có thể được xem xét từ quan điểm kỳ vọng toán học. Bạn có thể cho rằng một nước đi nhất định sẽ mang lại lợi nhuận, nhưng trong một số trường hợp, nó có thể không phải là nước đi tốt nhất vì một nước đi khác có lợi hơn. Giả sử bạn đánh được toàn bộ bài trong bài poker rút năm lá bài. Đối thủ của bạn đặt cược. Bạn biết rằng nếu bạn tăng tiền cược, anh ta sẽ đáp lại. Vì vậy, nâng cao dường như là chiến thuật tốt nhất. Nhưng nếu bạn raise thì chắc chắn hai người chơi còn lại sẽ bỏ bài. Nhưng nếu bạn call, bạn hoàn toàn tin tưởng rằng hai người chơi còn lại phía sau bạn cũng sẽ làm như vậy. Khi bạn tố cược, bạn sẽ nhận được một đơn vị và khi bạn chỉ cần theo cược, bạn sẽ nhận được hai đơn vị. Vì vậy, việc call mang lại cho bạn giá trị kỳ vọng tích cực cao hơn và sẽ là chiến thuật tốt nhất.

Kỳ vọng toán học cũng có thể đưa ra ý tưởng về chiến thuật poker nào mang lại ít lợi nhuận hơn và chiến thuật nào mang lại nhiều lợi nhuận hơn. Ví dụ: nếu bạn chơi một ván bài nhất định và bạn cho rằng số tiền thua của bạn sẽ trung bình là 75 xu bao gồm cả tiền cược, thì bạn nên chơi ván bài đó vì điều này tốt hơn là bỏ bài khi tiền cược là 1 đô la.

Một lý do quan trọng khác để hiểu khái niệm giá trị kỳ vọng là nó mang lại cho bạn cảm giác yên tâm dù bạn có thắng cược hay không: nếu bạn đặt cược tốt hoặc bỏ bài đúng lúc, bạn sẽ biết mình đã kiếm được hoặc đã tiết kiệm được một số tiền nhất định mà người chơi yếu hơn không thể tiết kiệm được. Sẽ khó bỏ bài hơn nhiều nếu bạn khó chịu vì đối thủ của bạn có bài mạnh hơn. Với tất cả những điều này, số tiền bạn tiết kiệm được bằng cách không chơi thay vì cá cược sẽ được cộng vào số tiền thắng của bạn trong đêm hoặc tháng.

Chỉ cần nhớ rằng nếu bạn đổi bài, đối thủ của bạn sẽ theo bạn, và như bạn sẽ thấy trong bài viết Định lý cơ bản về Poker, đây chỉ là một trong những lợi thế của bạn. Bạn nên vui mừng khi điều này xảy ra. Bạn thậm chí có thể học cách tận hưởng việc thua một ván bài vì bạn biết rằng những người chơi khác ở vị trí của bạn sẽ thua nhiều hơn.

Như đã đề cập trong ví dụ về trò chơi tiền xu ở phần đầu, tỷ lệ lợi nhuận hàng giờ có liên quan đến kỳ vọng toán học và khái niệm này đặc biệt quan trọng đối với những người chơi chuyên nghiệp. Khi đi chơi poker, bạn nên ước tính trong đầu xem mình có thể thắng được bao nhiêu trong một giờ chơi. Trong hầu hết các trường hợp, bạn sẽ cần phải dựa vào trực giác và kinh nghiệm của mình, nhưng bạn cũng có thể sử dụng một số phép toán. Ví dụ: bạn đang chơi draw lowball và bạn thấy ba người chơi đặt cược 10 đô la và sau đó đổi hai lá bài, đây là một chiến thuật rất tệ, bạn có thể nhận ra rằng mỗi lần họ đặt cược 10 đô la, họ sẽ thua khoảng 2 đô la. Mỗi người trong số họ thực hiện việc này tám lần mỗi giờ, điều đó có nghĩa là cả ba người đều mất khoảng 48 USD mỗi giờ. Bạn là một trong bốn người chơi còn lại có số điểm gần bằng nhau, vì vậy bốn người chơi này (và bạn trong số họ) phải chia 48 đô la, mỗi người kiếm được 12 đô la mỗi giờ. Tỷ lệ cược hàng giờ của bạn trong trường hợp này chỉ đơn giản bằng phần chia của bạn trong số tiền bị mất bởi ba người chơi xấu trong một giờ.

Trong một khoảng thời gian dài, tổng số tiền thắng của người chơi là tổng số kỳ vọng toán học của anh ta trong từng ván bài. Càng chơi nhiều ván bài với kỳ vọng tích cực thì bạn càng thắng nhiều, và ngược lại, bạn chơi càng nhiều ván bài với kỳ vọng tiêu cực thì bạn càng thua nhiều. Do đó, bạn nên chọn một trò chơi có thể tối đa hóa dự đoán tích cực của bạn hoặc phủ nhận dự đoán tiêu cực của bạn để bạn có thể tối đa hóa số tiền thắng hàng giờ của mình.

Kỳ vọng toán học tích cực trong chiến lược chơi game

Nếu bạn biết cách đếm bài, bạn có thể có lợi thế hơn sòng bạc, miễn là họ không chú ý và ném bạn ra ngoài. Sòng bạc yêu thích những người chơi say rượu và không chấp nhận những người chơi đếm bài. Một lợi thế sẽ cho phép bạn thắng nhiều lần hơn thua theo thời gian. Quản lý tiền tốt bằng cách sử dụng các tính toán giá trị kỳ vọng có thể giúp bạn thu được nhiều lợi nhuận hơn từ lợi thế của mình và giảm tổn thất. Nếu không có lợi thế, tốt hơn hết bạn nên quyên tiền làm từ thiện. Trong trò chơi trên sàn giao dịch chứng khoán, lợi thế được đưa ra bởi hệ thống trò chơi, tạo ra lợi nhuận lớn hơn thua lỗ, chênh lệch giá và hoa hồng. Không có cách quản lý tiền nào có thể cứu được một hệ thống chơi game tồi.

Kỳ vọng tích cực được định nghĩa là giá trị lớn hơn 0. Con số này càng lớn thì kỳ vọng thống kê càng mạnh. Nếu giá trị nhỏ hơn 0 thì kỳ vọng toán học cũng sẽ âm. Mô-đun có giá trị âm càng lớn thì tình hình càng tệ. Nếu kết quả bằng 0 thì thời gian chờ là hòa vốn. Bạn chỉ có thể giành chiến thắng khi có kỳ vọng toán học tích cực và hệ thống chơi hợp lý. Chơi theo trực giác sẽ dẫn đến thảm họa.

Kỳ vọng toán học và giao dịch chứng khoán

Kỳ vọng toán học là một chỉ báo thống kê được sử dụng khá rộng rãi và phổ biến khi thực hiện giao dịch hối đoái trên thị trường tài chính. Trước hết, tham số này được sử dụng để phân tích sự thành công của giao dịch. Không khó để đoán rằng giá trị này càng cao thì càng có nhiều lý do để coi giao dịch đang được nghiên cứu là thành công. Tất nhiên, việc phân tích công việc của nhà giao dịch không thể được thực hiện chỉ bằng tham số này. Tuy nhiên, giá trị được tính toán, kết hợp với các phương pháp đánh giá chất lượng công việc khác, có thể làm tăng đáng kể độ chính xác của phân tích.

Kỳ vọng toán học thường được tính toán trong các dịch vụ giám sát tài khoản giao dịch, cho phép bạn nhanh chóng đánh giá công việc được thực hiện đối với khoản tiền gửi. Các trường hợp ngoại lệ bao gồm các chiến lược sử dụng các giao dịch không có lợi nhuận “ngồi ngoài”. Một nhà giao dịch có thể gặp may mắn trong một thời gian nào đó và do đó công việc của anh ta có thể không bị thua lỗ chút nào. Trong trường hợp này, sẽ không thể chỉ được hướng dẫn bởi kỳ vọng toán học, bởi vì những rủi ro được sử dụng trong công việc sẽ không được tính đến.

Trong giao dịch trên thị trường, kỳ vọng toán học thường được sử dụng nhiều nhất khi dự đoán lợi nhuận của bất kỳ chiến lược giao dịch nào hoặc khi dự đoán thu nhập của nhà giao dịch dựa trên dữ liệu thống kê từ giao dịch trước đó của anh ta.

Liên quan đến quản lý tiền, điều rất quan trọng là phải hiểu rằng khi thực hiện giao dịch với kỳ vọng tiêu cực, không có kế hoạch quản lý tiền nào chắc chắn có thể mang lại lợi nhuận cao. Nếu bạn tiếp tục chơi thị trường chứng khoán trong những điều kiện này thì bất kể bạn quản lý tiền của mình như thế nào, bạn sẽ mất toàn bộ tài khoản của mình, bất kể số tiền ban đầu lớn đến đâu.

Tiên đề này không chỉ đúng với các trò chơi hoặc giao dịch có kỳ vọng tiêu cực mà còn đúng với các trò chơi có cơ hội ngang nhau. Do đó, thời điểm duy nhất bạn có cơ hội kiếm được lợi nhuận trong dài hạn là khi bạn thực hiện các giao dịch có giá trị kỳ vọng dương.

Sự khác biệt giữa kỳ vọng tiêu cực và kỳ vọng tích cực là sự khác biệt giữa sự sống và cái chết. Không quan trọng kỳ vọng đó tích cực hay tiêu cực như thế nào; Điều quan trọng là nó tích cực hay tiêu cực. Vì vậy, trước khi cân nhắc việc quản lý tiền bạc, bạn nên tìm một trò chơi có kỳ vọng tích cực.

Nếu bạn không có trò chơi đó thì mọi cách quản lý tiền trên thế giới sẽ không cứu được bạn. Mặt khác, nếu bạn có kỳ vọng tích cực, bạn có thể, thông qua việc quản lý tiền hợp lý, biến nó thành hàm tăng trưởng theo cấp số nhân. Không quan trọng kỳ vọng tích cực nhỏ đến mức nào! Nói cách khác, việc hệ thống giao dịch có lợi nhuận như thế nào dựa trên một hợp đồng không quan trọng. Nếu bạn có một hệ thống kiếm được 10 đô la cho mỗi hợp đồng cho mỗi giao dịch (sau khi trừ hoa hồng và trượt giá), bạn có thể sử dụng các kỹ thuật quản lý tiền để kiếm được nhiều lợi nhuận hơn hệ thống kiếm được trung bình 1.000 đô la cho mỗi giao dịch (sau khi khấu trừ hoa hồng và trượt giá).

Điều quan trọng không phải là hệ thống mang lại lợi nhuận như thế nào mà là hệ thống có thể chắc chắn như thế nào để đạt được ít nhất lợi nhuận tối thiểu trong tương lai. Do đó, sự chuẩn bị quan trọng nhất mà nhà giao dịch có thể thực hiện là đảm bảo rằng hệ thống sẽ hiển thị giá trị kỳ vọng tích cực trong tương lai.

Để có giá trị kỳ vọng dương trong tương lai, điều quan trọng là không hạn chế mức độ tự do của hệ thống của bạn. Điều này đạt được không chỉ bằng cách loại bỏ hoặc giảm số lượng tham số cần tối ưu hóa mà còn bằng cách giảm càng nhiều quy tắc hệ thống càng tốt. Mọi tham số bạn thêm vào, mọi quy tắc bạn thực hiện, mọi thay đổi nhỏ bạn thực hiện đối với hệ thống đều làm giảm số bậc tự do. Lý tưởng nhất là bạn cần xây dựng một hệ thống khá nguyên thủy và đơn giản để luôn tạo ra lợi nhuận nhỏ ở hầu hết mọi thị trường. Một lần nữa, điều quan trọng là bạn phải hiểu rằng hệ thống sinh lãi như thế nào không quan trọng, miễn là nó có lãi. Số tiền bạn kiếm được trong giao dịch sẽ được tạo ra thông qua việc quản lý tiền hiệu quả.

Hệ thống giao dịch chỉ đơn giản là một công cụ mang lại cho bạn giá trị kỳ vọng tích cực để bạn có thể sử dụng việc quản lý tiền bạc. Các hệ thống hoạt động (hiển thị ít nhất lợi nhuận tối thiểu) chỉ ở một hoặc một vài thị trường hoặc có các quy tắc hoặc thông số khác nhau cho các thị trường khác nhau, rất có thể sẽ không hoạt động đủ lâu trong thời gian thực. Vấn đề với hầu hết các nhà giao dịch thiên về kỹ thuật là họ dành quá nhiều thời gian và công sức để tối ưu hóa các quy tắc và giá trị tham số khác nhau của hệ thống giao dịch. Điều này cho kết quả hoàn toàn trái ngược. Thay vì lãng phí năng lượng và thời gian sử dụng máy tính để tăng lợi nhuận của hệ thống giao dịch, hãy hướng năng lượng của bạn vào việc tăng mức độ tin cậy để đạt được lợi nhuận tối thiểu.

Biết rằng quản lý tiền chỉ là một trò chơi với những con số đòi hỏi phải sử dụng những kỳ vọng tích cực, nhà giao dịch có thể ngừng tìm kiếm “chén thánh” trong giao dịch chứng khoán. Thay vào đó, anh ta có thể bắt đầu thử nghiệm phương pháp giao dịch của mình, tìm hiểu xem phương pháp này hợp lý đến mức nào và liệu nó có mang lại những kỳ vọng tích cực hay không. Các phương pháp quản lý tiền phù hợp, được áp dụng cho bất kỳ phương pháp giao dịch nào, thậm chí rất tầm thường, sẽ tự thực hiện phần còn lại của công việc.

Để bất kỳ nhà giao dịch nào thành công trong công việc của mình, anh ta cần giải quyết ba nhiệm vụ quan trọng nhất: . Đảm bảo số lượng giao dịch thành công vượt xa những sai sót, tính toán sai lầm không thể tránh khỏi; Thiết lập hệ thống giao dịch của bạn để bạn có cơ hội kiếm tiền thường xuyên nhất có thể; Đạt được kết quả tích cực ổn định từ hoạt động của bạn.

Và ở đây, đối với chúng tôi, những nhà giao dịch đang làm việc, kỳ vọng toán học có thể giúp ích rất nhiều. Thuật ngữ này là một trong những thuật ngữ quan trọng trong lý thuyết xác suất. Với sự trợ giúp của nó, bạn có thể đưa ra ước tính trung bình của một số giá trị ngẫu nhiên. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên tương tự như trọng tâm, nếu bạn tưởng tượng tất cả các xác suất có thể xảy ra dưới dạng các điểm có khối lượng khác nhau.

Liên quan đến chiến lược giao dịch, kỳ vọng toán học về lãi (hoặc lỗ) thường được sử dụng nhiều nhất để đánh giá tính hiệu quả của nó. Tham số này được định nghĩa là tổng các sản phẩm của các mức lãi và lỗ nhất định và xác suất xảy ra của chúng. Ví dụ: chiến lược giao dịch được phát triển giả định rằng 37% tất cả các giao dịch sẽ mang lại lợi nhuận và phần còn lại - 63% - sẽ không có lãi. Đồng thời, thu nhập trung bình từ một giao dịch thành công sẽ là 7 USD và mức lỗ trung bình sẽ là 1,4 USD. Hãy tính toán kỳ vọng toán học của giao dịch bằng hệ thống này:

con số này có nghĩa là gì? Nó nói rằng, tuân theo các quy tắc của hệ thống này, trung bình chúng tôi sẽ nhận được 1.708 USD từ mỗi giao dịch đã đóng. Vì đánh giá hiệu quả thu được lớn hơn 0 nên hệ thống như vậy có thể được sử dụng cho công việc thực tế. Nếu, do kết quả tính toán, kỳ vọng toán học là âm, thì điều này đã cho thấy mức lỗ trung bình và giao dịch như vậy sẽ dẫn đến hủy hoại.

Số tiền lãi trên mỗi giao dịch cũng có thể được biểu thị dưới dạng giá trị tương đối dưới dạng %. Ví dụ:

– tỷ lệ phần trăm thu nhập trên 1 giao dịch - 5%;

– tỷ lệ hoạt động giao dịch thành công - 62%;

– tỷ lệ thua lỗ trên 1 giao dịch - 3%;

– tỷ lệ giao dịch không thành công - 38%;

Nghĩa là, giao dịch trung bình sẽ mang lại 1,96%.

Có thể phát triển một hệ thống, mặc dù chiếm ưu thế là các giao dịch không sinh lời, nhưng sẽ tạo ra kết quả tích cực, vì MO>0.

Tuy nhiên, chỉ chờ đợi thôi là chưa đủ. Rất khó kiếm tiền nếu hệ thống đưa ra rất ít tín hiệu giao dịch. Trong trường hợp này, lợi nhuận của nó sẽ tương đương với lãi suất ngân hàng. Giả sử mỗi hoạt động chỉ tạo ra trung bình 0,5 đô la, nhưng nếu hệ thống bao gồm 1000 hoạt động mỗi năm thì sao? Đây sẽ là một số tiền rất đáng kể trong một thời gian tương đối ngắn. Từ đó, theo logic, một đặc điểm khác biệt khác của một hệ thống giao dịch tốt có thể được coi là thời gian nắm giữ vị thế ngắn.

Nguồn và liên kết

dic.academic.ru – từ điển học thuật trực tuyến

math.ru – trang web giáo dục về toán học

nsu.ru – trang web giáo dục của Đại học bang Novosibirsk

webmath.ru là một cổng thông tin giáo dục dành cho sinh viên, người nộp đơn và học sinh.

trang web giáo dục toán học exponta.ru

ru.tradimo.com – trường giao dịch trực tuyến miễn phí

crypto.hut2.ru – nguồn thông tin đa ngành

poker-wiki.ru – bách khoa toàn thư miễn phí về poker

sernam.ru – Thư viện khoa học tuyển chọn các ấn phẩm khoa học tự nhiên

reshim.su – website CHÚNG TÔI SẼ GIẢI QUYẾT các vấn đề trong bài kiểm tra khóa học

unfx.ru - Forex trên UNFX: đào tạo, tín hiệu giao dịch, quản lý niềm tin

slovopedia.com – Từ điển bách khoa toàn thư lớn Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Hướng dẫn bạn trong thế giới poker

statanaliz.info – blog thông tin “Phân tích dữ liệu thống kê”

forex-trader.rf – Cổng thông tin Forex-Trader

megafx.ru – phân tích Forex hiện tại

fx-by.com – mọi thứ dành cho nhà giao dịch

Kỳ vọng và phương sai là các đặc tính số được sử dụng phổ biến nhất của một biến ngẫu nhiên. Chúng mô tả các đặc điểm quan trọng nhất của sự phân bố: vị trí và mức độ phân tán của nó. Trong nhiều bài toán thực tế, một đặc tính đầy đủ, đầy đủ của một biến ngẫu nhiên - quy luật phân phối - không thể có được hoặc hoàn toàn không cần thiết. Trong những trường hợp này, người ta bị giới hạn ở mô tả gần đúng của một biến ngẫu nhiên sử dụng các đặc tính số.

Giá trị kỳ vọng thường được gọi đơn giản là giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên. Độ phân tán của một biến ngẫu nhiên là đặc tính của độ phân tán, độ phân tán của một biến ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng toán học của nó.

Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên rời rạc

Chúng ta hãy tiếp cận khái niệm kỳ vọng toán học, trước tiên dựa trên cách giải thích cơ học về sự phân bố của một biến ngẫu nhiên rời rạc. Hãy để khối lượng đơn vị được phân bố giữa các điểm của trục x x1 , x 2 , ..., x N và mỗi điểm vật chất có khối lượng tương ứng là P1 , P 2 , ..., P N. Cần chọn một điểm trên trục hoành, đặc trưng cho vị trí của toàn bộ hệ thống điểm vật chất có tính đến khối lượng của chúng. Điều tự nhiên là lấy khối tâm của hệ các điểm vật chất làm điểm như vậy. Đây là giá trị trung bình có trọng số của biến ngẫu nhiên X, mà trục hoành của mỗi điểm xTôi nhập với “trọng số” bằng xác suất tương ứng. Giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên thu được theo cách này Xđược gọi là kỳ vọng toán học của nó.

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc là tổng tích của tất cả các giá trị có thể có của nó và xác suất của các giá trị này:

Ví dụ 1. Một cuộc xổ số đôi bên cùng có lợi đã được tổ chức. Có 1000 tiền thắng, trong đó 400 là 10 rúp. 300 - 20 rúp mỗi cái. 200 - 100 rúp mỗi cái. và 100 - 200 rúp mỗi cái. Tiền thắng trung bình của một người mua một vé là bao nhiêu?

Giải pháp. Chúng tôi sẽ tìm thấy số tiền thắng trung bình nếu chúng tôi chia tổng số tiền thắng là 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rúp cho 1000 (tổng số tiền thắng). Sau đó chúng ta nhận được 50000/1000 = 50 rúp. Nhưng biểu thức tính số tiền thắng trung bình có thể được trình bày dưới dạng sau:

Mặt khác, trong những điều kiện này, kích thước chiến thắng là một biến ngẫu nhiên, có thể nhận các giá trị 10, 20, 100 và 200 rúp. với xác suất tương ứng là 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Do đó, số tiền thắng trung bình dự kiến bằng tổng các tích của quy mô số tiền thắng và xác suất nhận được chúng.

Ví dụ 2. Nhà xuất bản quyết định xuất bản một cuốn sách mới. Anh ta dự định bán cuốn sách với giá 280 rúp, trong đó bản thân anh ta sẽ nhận được 200, 50 - hiệu sách và 30 - tác giả. Bảng này cung cấp thông tin về chi phí xuất bản một cuốn sách và xác suất bán được một số lượng bản sao nhất định của cuốn sách.

Tìm lợi nhuận kỳ vọng của nhà xuất bản.

Giải pháp. Biến ngẫu nhiên “lợi nhuận” bằng chênh lệch giữa thu nhập từ bán hàng và chi phí. Ví dụ: nếu bán được 500 bản sách thì thu nhập từ việc bán là 200 * 500 = 100.000 và chi phí xuất bản là 225.000 rúp. Như vậy, nhà xuất bản phải đối mặt với khoản lỗ 125.000 rúp. Bảng dưới đây tóm tắt các giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên - lợi nhuận:

Con số	Lợi nhuận xTôi	Xác suất PTôi	xTôi P Tôi
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Tổng cộng:		1,00	25000

Do đó, chúng ta có được kỳ vọng toán học về lợi nhuận của nhà xuất bản:

Ví dụ 3. Xác suất trúng một phát P= 0,2. Xác định mức tiêu thụ đạn cung cấp kỳ vọng toán học về số lần bắn trúng bằng 5.

Giải pháp. Từ công thức kỳ vọng toán học tương tự mà chúng ta đã sử dụng cho đến nay, chúng ta biểu thị x- Tiêu thụ vỏ:

Ví dụ 4. Xác định kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên x số lần trúng đích của ba lần bắn, nếu xác suất trúng đích của mỗi lần bắn P = 0,4 .

Gợi ý: tìm xác suất của các giá trị biến ngẫu nhiên bằng Công thức Bernoulli .

Tính chất của kỳ vọng toán học

Hãy xem xét các tính chất của kỳ vọng toán học.

Tài sản 1. Kỳ vọng toán học của một giá trị không đổi bằng hằng số này:

Tài sản 2. Hệ số không đổi có thể được đưa ra khỏi dấu kỳ vọng toán học:

Tài sản 3. Kỳ vọng toán học của tổng (chênh lệch) của các biến ngẫu nhiên bằng tổng (chênh lệch) kỳ vọng toán học của chúng:

Tài sản 4. Kỳ vọng toán học của tích của các biến ngẫu nhiên bằng tích của kỳ vọng toán học của chúng:

Tài sản 5. Nếu tất cả các giá trị của một biến ngẫu nhiên X giảm (tăng) cùng một số VỚI, thì kỳ vọng toán học của nó sẽ giảm (tăng) một con số:

Khi bạn không thể giới hạn bản thân chỉ với kỳ vọng toán học

Trong hầu hết các trường hợp, chỉ có kỳ vọng toán học mới không thể mô tả đầy đủ đặc tính của một biến ngẫu nhiên.

Cho các biến ngẫu nhiên X Và Yđược cho bởi các luật phân phối sau:

Nghĩa X	Xác suất
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Nghĩa Y	Xác suất
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Kỳ vọng toán học của các đại lượng này là như nhau - bằng 0:

Tuy nhiên, mô hình phân phối của họ là khác nhau. Giá trị ngẫu nhiên X chỉ có thể lấy các giá trị khác một chút so với kỳ vọng toán học và biến ngẫu nhiên Y có thể lấy các giá trị sai lệch đáng kể so với kỳ vọng toán học. Một ví dụ tương tự: mức lương trung bình không giúp đánh giá được tỷ lệ người lao động được trả lương cao và thấp. Nói cách khác, người ta không thể đánh giá từ kỳ vọng toán học những sai lệch nào có thể xảy ra so với kỳ vọng đó, ít nhất là về mặt trung bình. Để làm điều này, bạn cần tìm phương sai của biến ngẫu nhiên.

Phương sai của một biến ngẫu nhiên rời rạc

Phương sai biến ngẫu nhiên rời rạc Xđược gọi là kỳ vọng toán học của bình phương độ lệch của nó so với kỳ vọng toán học:

Độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên X giá trị số học của căn bậc hai của phương sai của nó được gọi là:

Ví dụ 5. Tính toán phương sai và độ lệch chuẩn của các biến ngẫu nhiên X Và Y, luật phân phối được đưa ra trong các bảng trên.

Giải pháp. Kỳ vọng toán học của các biến ngẫu nhiên X Và Y, như đã tìm thấy ở trên, đều bằng 0. Theo công thức phân tán ở E(X)=E(y)=0 ta được:

Khi đó độ lệch chuẩn của các biến ngẫu nhiên X Và Y trang điểm

Do đó, với cùng kỳ vọng toán học, phương sai của biến ngẫu nhiên X rất nhỏ nhưng là một biến ngẫu nhiên Y- có ý nghĩa. Đây là hậu quả của sự khác biệt trong cách phân phối của họ.

Ví dụ 6. Nhà đầu tư có 4 dự án đầu tư thay thế. Bảng tóm tắt lợi nhuận kỳ vọng ở các dự án này với xác suất tương ứng.

Dự án 1	Dự án 2	Dự án 3	Dự án 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Tìm kỳ vọng toán học, phương sai và độ lệch chuẩn cho mỗi phương án.

Giải pháp. Hãy để chúng tôi chỉ ra cách tính các giá trị này cho phương án thứ 3:

Bảng tóm tắt các giá trị tìm thấy cho tất cả các lựa chọn thay thế.

Tất cả các lựa chọn thay thế đều có cùng kỳ vọng toán học. Điều này có nghĩa là về lâu dài mọi người đều có thu nhập như nhau. Độ lệch chuẩn có thể được hiểu là thước đo rủi ro - độ lệch chuẩn càng cao thì rủi ro đầu tư càng lớn. Nhà đầu tư không muốn gặp nhiều rủi ro sẽ chọn dự án 1 vì nó có độ lệch chuẩn nhỏ nhất (0). Nếu nhà đầu tư ưa thích rủi ro và lợi nhuận cao trong thời gian ngắn thì sẽ chọn dự án có độ lệch chuẩn lớn nhất - dự án 4.

Đặc tính phân tán

Hãy trình bày các tính chất của sự phân tán.

Tài sản 1. Phương sai của một giá trị không đổi bằng 0:

Tài sản 2. Hệ số không đổi có thể được loại bỏ khỏi dấu phân tán bằng cách bình phương nó:

Tài sản 3. Phương sai của một biến ngẫu nhiên bằng kỳ vọng toán học của bình phương của giá trị này, từ đó bình phương kỳ vọng toán học của chính giá trị đó bị trừ đi:

Ở đâu .

Tài sản 4. Phương sai của tổng (chênh lệch) của các biến ngẫu nhiên bằng tổng (chênh lệch) phương sai của chúng:

Ví dụ 7. Biết rằng biến ngẫu nhiên rời rạc X chỉ nhận hai giá trị: −3 và 7. Ngoài ra, kỳ vọng toán học đã biết: E(X) = 4 . Tìm phương sai của một biến ngẫu nhiên rời rạc.

Giải pháp. Hãy ký hiệu bằng P xác suất để một biến ngẫu nhiên nhận một giá trị x1 = −3 . Khi đó xác suất của giá trị x2 = 7 sẽ là 1 − P. Chúng ta hãy rút ra phương trình cho kỳ vọng toán học:

E(X) = x 1 P + x 2 (1 − P) = −3P + 7(1 − P) = 4 ,

nơi chúng tôi nhận được xác suất: P= 0,3 và 1 − P = 0,7 .

Luật phân phối của một biến ngẫu nhiên:

X	−3	7
P	0,3	0,7

Chúng tôi tính toán phương sai của biến ngẫu nhiên này bằng công thức từ tính chất 3 của độ phân tán:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Hãy tự mình tìm kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên và sau đó xem lời giải

Ví dụ 8. Biến ngẫu nhiên rời rạc X chỉ nhận hai giá trị. Nó chấp nhận giá trị lớn hơn 3 với xác suất 0,4. Ngoài ra, phương sai của biến ngẫu nhiên được biết D(X) = 6 . Tìm kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên.

Ví dụ 9. Có 6 quả bóng trắng và 4 quả bóng đen trong một chiếc bình. 3 quả bóng được rút ra từ chiếc bình. Số bi trắng trong số bi rút ra là biến ngẫu nhiên rời rạc X. Tìm kỳ vọng và phương sai toán học của biến ngẫu nhiên này.

Giải pháp. Giá trị ngẫu nhiên X có thể lấy các giá trị 0, 1, 2, 3. Xác suất tương ứng có thể được tính từ quy tắc nhân xác suất. Luật phân phối của một biến ngẫu nhiên:

X	0	1	2	3
P	1/30	3/10	1/2	1/6

Do đó kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên này:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Phương sai của một biến ngẫu nhiên cho trước là:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Kỳ vọng và phương sai của một biến ngẫu nhiên liên tục

Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, cách giải thích cơ học của kỳ vọng toán học sẽ giữ nguyên ý nghĩa: khối tâm của một đơn vị khối lượng phân bố liên tục trên trục x với mật độ f(x). Không giống như một biến ngẫu nhiên rời rạc, có đối số hàm xTôi thay đổi đột ngột; đối với một biến ngẫu nhiên liên tục, đối số thay đổi liên tục. Nhưng kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên liên tục cũng liên quan đến giá trị trung bình của nó.

Để tìm kỳ vọng và phương sai toán học của một biến ngẫu nhiên liên tục, bạn cần tìm tích phân xác định . Nếu hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên liên tục được cho trước thì nó sẽ trực tiếp nhập vào tích phân. Nếu cho một hàm phân bố xác suất thì bằng cách vi phân nó, bạn cần tìm hàm mật độ.

Trung bình số học của tất cả các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên liên tục được gọi là giá trị trung bình số học của nó kỳ vọng toán học, ký hiệu là hoặc .

Lý thuyết xác suất là một nhánh toán học đặc biệt chỉ được nghiên cứu bởi sinh viên của các cơ sở giáo dục đại học. Bạn có thích tính toán và công thức? Bạn có sợ hãi trước viễn cảnh làm quen với phân bố chuẩn, entropy tổng thể, kỳ vọng toán học và độ phân tán của một biến ngẫu nhiên rời rạc không? Vậy thì chủ đề này sẽ rất thú vị với bạn. Chúng ta hãy làm quen với một số khái niệm cơ bản quan trọng nhất của ngành khoa học này.

Chúng ta hãy nhớ những điều cơ bản

Ngay cả khi bạn nhớ những khái niệm đơn giản nhất của lý thuyết xác suất, đừng bỏ qua những đoạn đầu tiên của bài viết. Vấn đề là nếu không hiểu rõ những điều cơ bản, bạn sẽ không thể làm việc với các công thức được thảo luận dưới đây.

Vì vậy, một số sự kiện ngẫu nhiên xảy ra, một số thử nghiệm. Kết quả của những hành động chúng ta thực hiện là chúng ta có thể nhận được một số kết quả - một số kết quả xảy ra thường xuyên hơn, số khác xảy ra ít thường xuyên hơn. Xác suất của một sự kiện là tỷ số giữa số kết quả thực tế thu được của một loại trên tổng số kết quả có thể xảy ra. Chỉ khi biết định nghĩa cổ điển của khái niệm này, bạn mới có thể bắt đầu nghiên cứu kỳ vọng toán học và độ phân tán của các biến ngẫu nhiên liên tục.

Trung bình

Trở lại trường học, trong giờ học toán, bạn bắt đầu làm việc với giá trị trung bình số học. Khái niệm này được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết xác suất và do đó không thể bỏ qua. Điều quan trọng đối với chúng ta lúc này là chúng ta sẽ gặp nó trong các công thức tính kỳ vọng và phân tán toán học của một biến ngẫu nhiên.

Chúng ta có một dãy số và muốn tìm giá trị trung bình số học. Tất cả những gì chúng ta cần là tổng hợp mọi thứ có sẵn và chia cho số phần tử trong chuỗi. Cho các số từ 1 đến 9. Tổng các phần tử sẽ bằng 45 và chúng ta sẽ chia giá trị này cho 9. Trả lời: - 5.

phân tán

Theo thuật ngữ khoa học, độ phân tán là bình phương trung bình của độ lệch của các giá trị thu được của một đặc tính so với giá trị trung bình số học. Nó được biểu thị bằng một chữ cái Latinh viết hoa D. Để tính nó cần những gì? Đối với mỗi phần tử của chuỗi, chúng tôi tính toán sự khác biệt giữa số hiện có và giá trị trung bình số học và bình phương nó. Sẽ có chính xác bao nhiêu giá trị có thể có kết quả cho sự kiện mà chúng ta đang xem xét. Tiếp theo, chúng tôi tổng hợp mọi thứ nhận được và chia cho số phần tử trong chuỗi. Nếu chúng ta có năm kết quả có thể xảy ra thì chia cho năm.

Sự phân tán cũng có những đặc tính cần được ghi nhớ để sử dụng khi giải quyết vấn đề. Ví dụ: khi tăng một biến ngẫu nhiên lên X lần, phương sai sẽ tăng X bình phương lần (tức là X*X). Nó không bao giờ nhỏ hơn 0 và không phụ thuộc vào việc dịch chuyển các giá trị lên hoặc xuống theo lượng bằng nhau. Ngoài ra, đối với các thử nghiệm độc lập, phương sai của tổng bằng tổng phương sai.

Bây giờ chúng ta chắc chắn cần xem xét các ví dụ về phương sai của một biến ngẫu nhiên rời rạc và kỳ vọng toán học.

Giả sử chúng tôi đã thực hiện 21 thử nghiệm và nhận được 7 kết quả khác nhau. Chúng tôi quan sát mỗi người trong số họ lần lượt 1, 2, 2, 3, 4, 4 và 5 lần. Phương sai sẽ bằng bao nhiêu?

Trước tiên, hãy tính trung bình số học: tổng của các phần tử tất nhiên là 21. Chia cho 7, nhận 3. Bây giờ trừ 3 cho mỗi số trong dãy ban đầu, bình phương mỗi giá trị và cộng các kết quả lại với nhau. Kết quả là 12. Bây giờ tất cả những gì chúng ta phải làm là chia số đó cho số phần tử, và có vẻ như chỉ vậy thôi. Nhưng có một nhược điểm! Hãy thảo luận về nó.

Sự phụ thuộc vào số lượng thí nghiệm

Hóa ra khi tính phương sai, mẫu số có thể chứa một trong hai số: N hoặc N-1. Ở đây N là số lượng thí nghiệm được thực hiện hoặc số phần tử trong chuỗi (về cơ bản là giống nhau). Điều này phụ thuộc vào điều gì?

Nếu số phép thử tính bằng hàng trăm thì phải đặt N vào mẫu số, nếu tính theo đơn vị thì đặt N-1. Các nhà khoa học quyết định vẽ đường viền khá tượng trưng: ngày nay nó đi qua số 30. Nếu chúng ta tiến hành ít hơn 30 thí nghiệm thì chúng ta sẽ chia số tiền cho N-1, và nếu nhiều hơn thì cho N.

Nhiệm vụ

Hãy quay lại ví dụ của chúng ta về việc giải bài toán phương sai và kỳ vọng toán học. Chúng ta có số trung gian là 12, số này cần được chia cho N hoặc N-1. Vì chúng tôi đã tiến hành 21 thí nghiệm, ít hơn 30 thí nghiệm nên chúng tôi sẽ chọn phương án thứ hai. Vậy câu trả lời là: phương sai là 12/2 = 2.

Gia trị được ki vọng

Hãy chuyển sang khái niệm thứ hai mà chúng ta phải xem xét trong bài viết này. Kỳ vọng toán học là kết quả của việc cộng tất cả các kết quả có thể xảy ra nhân với xác suất tương ứng. Điều quan trọng là phải hiểu rằng giá trị thu được, cũng như kết quả tính phương sai, chỉ thu được một lần cho toàn bộ bài toán, bất kể có bao nhiêu kết quả được xem xét trong đó.

Công thức kỳ vọng toán học khá đơn giản: chúng ta lấy kết quả, nhân với xác suất của nó, cộng kết quả tương tự cho kết quả thứ hai, thứ ba, v.v. Mọi thứ liên quan đến khái niệm này không khó tính toán. Ví dụ: tổng các giá trị kỳ vọng bằng giá trị kỳ vọng của tổng. Điều này cũng đúng với công việc. Không phải mọi đại lượng trong lý thuyết xác suất đều cho phép bạn thực hiện các phép tính đơn giản như vậy. Hãy giải bài toán và tính toán ý nghĩa của hai khái niệm mà chúng ta đã nghiên cứu cùng một lúc. Ngoài ra, chúng tôi bị phân tâm bởi lý thuyết - đã đến lúc thực hành.

Một ví dụ nữa

Chúng tôi đã tiến hành 50 thử nghiệm và nhận được 10 loại kết quả - các số từ 0 đến 9 - xuất hiện với tỷ lệ phần trăm khác nhau. Lần lượt là: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Hãy nhớ lại rằng để có được xác suất, bạn cần chia các giá trị phần trăm cho 100. Do đó, chúng ta nhận được 0,02; 0,1, v.v. Chúng ta hãy trình bày một ví dụ về giải bài toán phương sai của một biến ngẫu nhiên và kỳ vọng toán học.

Chúng tôi tính giá trị trung bình số học bằng công thức mà chúng tôi nhớ từ thời tiểu học: 50/10 = 5.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển xác suất thành số kết quả “theo từng phần” để dễ đếm hơn. Chúng ta nhận được 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 và 9. Từ mỗi giá trị thu được, chúng ta trừ đi giá trị trung bình số học, sau đó chúng ta bình phương từng kết quả thu được. Xem cách thực hiện việc này bằng cách sử dụng phần tử đầu tiên làm ví dụ: 1 - 5 = (-4). Tiếp theo: (-4) * (-4) = 16. Đối với các giá trị khác, hãy tự thực hiện các thao tác này. Nếu bạn làm đúng mọi thứ thì sau khi cộng tất cả lại, bạn sẽ nhận được 90.

Hãy tiếp tục tính phương sai và giá trị kỳ vọng bằng cách chia 90 cho N. Tại sao chúng ta chọn N thay vì N-1? Đúng, vì số lượng thí nghiệm được thực hiện vượt quá 30. Vậy: 90/10 = 9. Chúng ta có phương sai. Nếu bạn nhận được một số khác, đừng tuyệt vọng. Rất có thể, bạn đã mắc một lỗi đơn giản trong tính toán. Hãy kiểm tra kỹ những gì bạn đã viết và mọi thứ có thể sẽ đâu vào đấy.

Cuối cùng, hãy nhớ công thức tính kỳ vọng toán học. Chúng tôi sẽ không đưa ra tất cả các phép tính, chúng tôi sẽ chỉ viết câu trả lời mà bạn có thể kiểm tra sau khi hoàn thành tất cả các thủ tục cần thiết. Giá trị kỳ vọng sẽ là 5,48. Chúng ta chỉ nhớ lại cách thực hiện các thao tác, sử dụng các phần tử đầu tiên làm ví dụ: 0*0,02 + 1*0,1..., v.v. Như bạn có thể thấy, chúng tôi chỉ cần nhân giá trị kết quả với xác suất của nó.

Độ lệch

Một khái niệm khác liên quan chặt chẽ đến độ phân tán và kỳ vọng toán học là độ lệch chuẩn. Nó được biểu thị bằng chữ cái Latinh sd hoặc bằng chữ thường Hy Lạp “sigma”. Khái niệm này cho thấy mức độ trung bình của các giá trị lệch khỏi tính năng trung tâm. Để tìm giá trị của nó, bạn cần tính căn bậc hai của phương sai.

Nếu bạn vẽ biểu đồ phân phối chuẩn và muốn xem độ lệch bình phương trực tiếp trên đó, việc này có thể được thực hiện theo nhiều giai đoạn. Chụp một nửa ảnh sang trái hoặc phải chế độ (giá trị trung tâm), vẽ một đường vuông góc với trục hoành sao cho diện tích các hình thu được bằng nhau. Kích thước của đoạn giữa phần giữa của phân bố và hình chiếu thu được lên trục hoành sẽ biểu thị độ lệch chuẩn.

Phần mềm

Như có thể thấy từ phần mô tả các công thức và ví dụ được trình bày, tính toán phương sai và kỳ vọng toán học không phải là thủ tục đơn giản nhất theo quan điểm số học. Để không lãng phí thời gian, nên sử dụng chương trình được sử dụng trong các cơ sở giáo dục đại học - nó có tên là “R”. Nó có các chức năng cho phép bạn tính toán các giá trị cho nhiều khái niệm từ thống kê và lý thuyết xác suất.

Ví dụ: bạn chỉ định một vectơ giá trị. Việc này được thực hiện như sau: vectơ<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Cuối cùng

Sự phân tán và kỳ vọng toán học là những thứ mà nếu không có thì khó có thể tính toán bất cứ điều gì trong tương lai. Trong khóa học chính của các bài giảng tại các trường đại học, chúng đã được thảo luận trong những tháng đầu tiên học môn học này. Chính vì thiếu hiểu biết về những khái niệm đơn giản này và không có khả năng tính toán mà nhiều sinh viên ngay lập tức bị tụt lại phía sau trong chương trình và sau đó bị điểm kém vào cuối buổi học, khiến họ bị tước học bổng.

Thực hành ít nhất một tuần, nửa giờ mỗi ngày, giải quyết các nhiệm vụ tương tự như những gì được trình bày trong bài viết này. Sau đó, trong bất kỳ bài kiểm tra nào về lý thuyết xác suất, bạn sẽ có thể giải quyết các ví dụ mà không cần các mẹo và bảng ghi chú không liên quan.

Như đã biết, luật phân phối đặc trưng hoàn toàn cho một biến ngẫu nhiên. Tuy nhiên, thường thì quy luật phân phối không được biết đến và người ta phải giới hạn mình ở mức ít thông tin hơn. Đôi khi, việc sử dụng các con số mô tả tổng số biến ngẫu nhiên thậm chí còn có lợi hơn; những con số như vậy được gọi là đặc tính số của một biến ngẫu nhiên. Một trong những đặc tính số quan trọng là kỳ vọng toán học.

Kỳ vọng toán học, như được trình bày dưới đây, xấp xỉ bằng giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên. Để giải quyết nhiều vấn đề, chỉ cần biết kỳ vọng toán học là đủ. Ví dụ: nếu biết rằng kỳ vọng toán học về số điểm mà người bắn đầu tiên ghi được lớn hơn số điểm của người bắn thứ hai, thì trung bình người bắn thứ nhất ghi được nhiều điểm hơn người thứ hai và do đó, bắn tốt hơn hơn thứ hai. Mặc dù kỳ vọng toán học cung cấp ít thông tin hơn về một biến ngẫu nhiên so với quy luật phân phối của nó, nhưng kiến thức về kỳ vọng toán học vẫn đủ để giải các bài toán như trên và nhiều bài toán khác.

§ 2. Kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên rời rạc

Kỳ vọng toán học Một biến ngẫu nhiên rời rạc là tổng tích của tất cả các giá trị có thể có của nó và xác suất của chúng.

Cho biến ngẫu nhiên X chỉ có thể lấy giá trị X 1 , X 2 , ..., X P , xác suất của chúng tương ứng bằng nhau R 1 , R 2 , . . ., R P . Khi đó kỳ vọng toán học M(X) biến ngẫu nhiên X được xác định bởi sự bình đẳng

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x N P N .

Nếu một biến ngẫu nhiên rời rạc X lấy một tập hợp có thể đếm được của các giá trị có thể, sau đó

M(X)=

Hơn nữa, kỳ vọng toán học tồn tại nếu chuỗi ở vế phải của đẳng thức hội tụ tuyệt đối.

Bình luận. Từ định nghĩa, kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc là một đại lượng không ngẫu nhiên (không đổi). Chúng tôi khuyên bạn nên nhớ câu nói này vì nó sẽ được sử dụng nhiều lần sau này. Sau này sẽ được chứng minh rằng kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên liên tục cũng là một giá trị không đổi.

Ví dụ 1. Tìm kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên X, biết quy luật phân bố của nó:

Giải pháp. Kỳ vọng toán học cần thiết bằng tổng tích của tất cả các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên và xác suất của chúng:

M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Ví dụ 2. Tìm kỳ vọng toán học về số lần xuất hiện của một sự kiện MỘT trong một lần thử, nếu xác suất của sự kiện MỘT tương đương với R.

Giải pháp. Giá trị ngẫu nhiên X - số lần xuất hiện của sự kiện MỘT trong một thử nghiệm - chỉ có thể lấy hai giá trị: X 1 = 1 (sự kiện MỘT xảy ra) với xác suất R Và X 2 = 0 (sự kiện MỘT không xảy ra) với xác suất q= 1 -R. Kỳ vọng toán học cần thiết

M(X)= 1* P+ 0* q= P

Vì thế, kỳ vọng toán học về số lần xuất hiện của một sự kiện trong một lần thử bằng xác suất của sự kiện này. Kết quả này sẽ được sử dụng dưới đây.

§ 3. Ý nghĩa xác suất của kỳ vọng toán học

Hãy để nó được sản xuất P kiểm tra trong đó biến ngẫu nhiên X Đã được chấp nhận T 1 giá trị lần X 1 , T 2 giá trị lần X 2 ,...,tôi k giá trị lần x k , Và T 1 + T 2 + …+t ĐẾN = p. Khi đó tổng tất cả các giá trị đã lấy X, tương đương với

X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X ĐẾN T ĐẾN .

Hãy tìm ý nghĩa số học tất cả các giá trị được chấp nhận bởi một biến ngẫu nhiên, mà chúng tôi chia tổng tìm thấy cho tổng số lần kiểm tra:

= (X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X ĐẾN T ĐẾN)/P,

= X 1 (tôi 1 / N) + X 2 (tôi 2 / N) + ... + X ĐẾN (T ĐẾN /P). (*)

Nhận thấy rằng thái độ tôi 1 / N- tần số tương đối W 1 giá trị X 1 , tôi 2 / N - tần số tương đối W 2 giá trị X 2 v.v., chúng ta viết quan hệ (*) như thế này:

=X 1 W 1 + x 2 W 2 + .. . + X ĐẾN W k . (**)

Giả sử số lượng bài kiểm tra là khá lớn. Khi đó tần số tương đối xấp xỉ bằng xác suất xảy ra sự kiện (điều này sẽ được chứng minh ở Chương IX, § 6):

W 1 P 1 , W 2 P 2 , …, W k P k .

Thay thế tần số tương đối bằng xác suất tương ứng trong quan hệ (**), ta thu được

x 1 P 1 + X 2 R 2 + … + X ĐẾN R ĐẾN .

Vế phải của đẳng thức gần đúng này là M(X). Vì thế,

M(X).

Ý nghĩa xác suất của kết quả thu được như sau: kỳ vọng toán học xấp xỉ bằng nhau(càng chính xác thì số lần kiểm tra càng nhiều) giá trị trung bình số học của các giá trị quan sát được của một biến ngẫu nhiên.

Nhận xét 1. Dễ hiểu là kỳ vọng toán học lớn hơn giá trị nhỏ nhất và nhỏ hơn giá trị lớn nhất có thể có. Nói cách khác, trên trục số, các giá trị khả dĩ nằm ở bên trái và bên phải của kỳ vọng toán học. Theo nghĩa này, kỳ vọng toán học đặc trưng cho vị trí của phân bố và do đó thường được gọi là trung tâm phân phối.

Thuật ngữ này được mượn từ cơ học: nếu quần chúng R 1 , R 2 , ..., R P nằm ở điểm hoành độ x 1 , X 2 , ..., X N, Và
sau đó trục hoành của trọng tâm

x c =
.

Xem xét rằng
= M (X) Và
chúng tôi nhận được M(X)= x Với .

Vì vậy, kỳ vọng toán học là trục hoành của trọng tâm của một hệ điểm vật chất, trục hoành của chúng bằng các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên và khối lượng bằng xác suất của chúng.

Nhận xét 2. Nguồn gốc của thuật ngữ “kỳ vọng toán học” gắn liền với thời kỳ đầu xuất hiện lý thuyết xác suất (thế kỷ XVI - XVII), khi phạm vi ứng dụng của nó chỉ giới hạn trong cờ bạc. Người chơi quan tâm đến giá trị trung bình của chiến thắng dự kiến, hay nói cách khác là kỳ vọng toán học về chiến thắng.

Các biến ngẫu nhiên, ngoài luật phân phối, còn có thể được mô tả đặc điểm số .

Kỳ vọng toán học M(x) của một biến ngẫu nhiên được gọi là giá trị trung bình của nó.

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc được tính bằng công thức

Ở đâu – giá trị biến ngẫu nhiên, p Tôi - xác suất của chúng.

Hãy xem xét các tính chất của kỳ vọng toán học:

1. Kỳ vọng toán học của một hằng số bằng chính hằng số đó

2. Nếu nhân một biến ngẫu nhiên với một số k nhất định thì kỳ vọng toán học sẽ được nhân với cùng một số đó

M(kx) = km(x)

3. Kỳ vọng toán học của tổng các biến ngẫu nhiên bằng tổng kỳ vọng toán học của chúng

M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M(x1 - x2) = M(x1) - M(x2)

5. Đối với các biến ngẫu nhiên độc lập x 1, x 2,… x n thì kỳ vọng toán học của tích bằng tích kỳ vọng toán học của chúng

M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M(x - M(x)) = M(x) - M(M(x)) = M(x) - M(x) = 0

Hãy tính kỳ vọng toán học cho biến ngẫu nhiên từ Ví dụ 11.

M(x) = = .

Ví dụ 12. Cho các biến ngẫu nhiên x 1, x 2 được xác định tương ứng theo quy luật phân phối:

x 1 Bảng 2

x 2 Bảng 3

Hãy tính M (x 1) và M (x 2)

M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 = 0

Kỳ vọng toán học của cả hai biến ngẫu nhiên đều giống nhau - chúng bằng 0. Tuy nhiên, bản chất phân phối của chúng là khác nhau. Nếu các giá trị của x 1 khác một chút so với kỳ vọng toán học của chúng, thì các giá trị của x 2 khác rất nhiều so với kỳ vọng toán học của chúng và xác suất của những sai lệch đó là không nhỏ. Những ví dụ này cho thấy rằng không thể xác định từ giá trị trung bình những sai lệch nào xảy ra so với nó, cả nhỏ hơn và lớn hơn. Vì vậy, với lượng mưa trung bình hàng năm như nhau ở hai khu vực, không thể nói rằng những khu vực này thuận lợi như nhau cho công việc nông nghiệp. Tương tự, dựa vào chỉ số lương trung bình cũng không thể đánh giá được tỷ trọng lao động được trả lương cao và thấp. Do đó, một đặc tính số được đưa ra - sự phân tán D(x) , đặc trưng cho mức độ sai lệch của một biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình của nó:

D(x) = M(x - M(x)) 2 . (2)

Độ phân tán là kỳ vọng toán học của độ lệch bình phương của một biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học. Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, phương sai được tính bằng công thức:

D(x)= = (3)

Từ định nghĩa về độ phân tán suy ra D(x) 0.

Đặc tính phân tán:

1. Phương sai của hằng số bằng 0

2. Nếu nhân một biến ngẫu nhiên với một số k nhất định thì phương sai sẽ được nhân với bình phương của số này

D(kx) = k2D(x)

3. D(x) = M(x2) – M2(x)

4. Đối với các biến ngẫu nhiên độc lập theo cặp x 1 , x 2 , … x n phương sai của tổng bằng tổng của các phương sai.

D(x 1 + x 2 + … + x n) = D(x 1) + D(x 2) +…+ D(x n)

Hãy tính phương sai của biến ngẫu nhiên từ Ví dụ 11.

Kỳ vọng toán học M(x) = 1. Do đó, theo công thức (3) ta có:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Lưu ý rằng việc tính phương sai sẽ dễ dàng hơn nếu bạn sử dụng thuộc tính 3:

D(x) = M(x2) – M2(x).

Hãy tính phương sai của các biến ngẫu nhiên x 1 , x 2 từ Ví dụ 12 bằng công thức này. Kỳ vọng toán học của cả hai biến ngẫu nhiên đều bằng không.

D (x 1) = 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204

D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 = 260

Giá trị phương sai càng gần 0 thì độ chênh lệch của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình càng nhỏ.

Đại lượng đó được gọi là độ lệch chuẩn. Chế độ biến ngẫu nhiên x loại rời rạc Md Giá trị của biến ngẫu nhiên có xác suất cao nhất được gọi.

Chế độ biến ngẫu nhiên x loại liên tục Md, là số thực được xác định là điểm cực đại của mật độ phân bố xác suất f(x).

Trung vị của một biến ngẫu nhiên x loại liên tục Mn là số thực thỏa mãn phương trình