Nguyên nhân mất nghiệm khi giải phương trình. Các rễ ngoại lai của phương trình, lọc ra các rễ ngoại lai

Các phương pháp cơ bản để giải phương trình

Giải pháp cho một phương trình là gì?

Sự biến đổi giống hệt nhau. Nền tảng

các kiểu chuyển đổi nhận dạng.

Gốc nước ngoài. Mất gốc.

Giải phương trình là một quá trình chủ yếu bao gồm việc thay thế một phương trình đã cho bằng một phương trình khác tương đương với nó . Sự thay thế này được gọi làsự biến đổi giống hệt nhau . Các chuyển đổi nhận dạng chính như sau:

Thay thế một biểu thức bằng một biểu thức khác giống hệt với nó. Ví dụ: phương trình (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 có thể được thay thế bằng giá trị tương đương sau:9 x 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

Chuyển các số hạng của phương trình từ vế này sang vế kia bằng dấu ngược lại. Vì vậy, trong phương trình trước, chúng ta có thể chuyển tất cả các số hạng của nó từ vế phải sang trái bằng dấu “-”: 9 x 2 + 12 x+ 4 – 15 x – 10 = 0, sau đó ta có:9 x 2 – 3 x – 6 = 0 .

Nhân hoặc chia cả hai vế của một phương trình cho cùng một biểu thức (số) khác 0. Điều này rất quan trọng vìphương trình mới có thể không tương đương với phương trình trước nếu biểu thức chúng ta đang nhân hoặc chia có thể bằng 0.

VÍ DỤ phương trìnhx – 1 = 0 có một nghiệm duy nhấtx = 1.

Nhân cả hai vế vớix – 3 , ta thu được phương trình

( x – 1)( x – 3) = 0, có hai nghiệm:x = 1 vàx = 3.

Giá trị cuối cùng không phải là nghiệm của phương trình đã cho

x – 1 = 0. Đây được gọi làgốc ngoại lai .

Ngược lại, phép chia có thể dẫn đếnmất gốc . Vì thế

trong trường hợp của chúng tôi, nếu (x – 1 )( x – 3 ) = 0 là số gốc

phương trình thì nghiệm gốcx = 3 sẽ thua trong giải đấu

cả hai vế của phương trình trênx – 3 .

Trong phương trình cuối cùng (mục 2), chúng ta có thể chia tất cả các số hạng của nó cho 3 (không phải 0!) và cuối cùng nhận được:

3 x 2 – x – 2 = 0 .

Phương trình này tương đương với phương trình ban đầu:

(3 x+ 2) 2 = 15 x+ 10 .

Có thểnâng cả hai vế của phương trình lên lũy thừa lẻ hoặctrích xuất căn lẻ từ cả hai vế của phương trình . Cần phải nhớ rằng:

a) xây dựng ởmức độ chẵn có thể gây rađến việc mua lại nguồn gốc nước ngoài ;

b)sai khai thácthậm chí gốc có thể dẫn đếnmất rễ .

VÍ DỤ. Phương trình 7x = 35 có một gốc duy nhấtx = 5 .

Bằng cách bình phương cả hai vế của phương trình này, chúng ta nhận được

phương trình:

49 x 2 = 1225 .

có hai gốc:x = 5 Vàx = – 5. Giá trị cuối cùng

là một gốc ngoại lai.

Không đúng lấy căn bậc hai của cả hai

phần của phương trình 49x 2 = 1225 kết quả trong 7x = 35,

và chúng ta đang mất đi cội nguồn của mìnhx = – 5.

Chính xác lấy căn bậc hai dẫn đến

phương trình: | 7x | = 35, MỘT do đó có hai trường hợp:

1) 7 x = 35, Sau đóx = 5 ; 2) – 7 x = 35, Sau đóx = – 5 .

Vì vậy, khiChính xác trích xuất hình vuông

nghiệm chúng ta không làm mất nghiệm của phương trình.

nghĩa là gìPhải rút gốc ra à? Đây là nơi chúng ta gặp nhau

với một khái niệm rất quan trọnggốc số học

(cm. ).

RĂNG. Răng của động vật có xương sống có cấu trúc và sự phát triển hoàn toàn giống với vảy placoid bao phủ toàn bộ da cá mập. Vì toàn bộ khoang miệng và một phần khoang họng được lót bằng biểu mô ngoại bì, một dạng phẳng điển hình... ...

BỆNH LAO PHỔI- BỆNH LAO PHỔI. Nội dung: I. Giải phẫu bệnh lý.............110 II. Phân loại bệnh lao phổi.... 124 III. Phòng khám.................................128 IV. Chẩn đoán.................................160 V. Tiên lượng........... .......... 190 VI. Sự đối đãi … Bách khoa toàn thư y học lớn

Ngộ độc- Ngộ độc. Ngộ độc có nghĩa là “rối loạn chức năng của động vật”. sinh vật, gây ra bởi các chất ngoại sinh hoặc nội sinh, các chất có hoạt tính hóa học hoặc vật lý và hóa học lạ về chất lượng, số lượng hoặc nồng độ... ... Bách khoa toàn thư y học lớn

Vi khuẩn nốt sần cây họ đậu- Dữ liệu cổ sinh vật học cho thấy những cây họ đậu cổ xưa nhất có nốt sần là một số loài thực vật thuộc nhóm Eucaesalpinioideae. Ở các loài cây họ đậu hiện đại, người ta đã tìm thấy các nốt sần... Bách khoa toàn thư sinh học

Danh sách các tập của loạt phim hoạt hình "Luntik"- Bài viết này thiếu liên kết đến các nguồn thông tin. Thông tin phải được kiểm chứng, nếu không nó có thể bị nghi ngờ và bị xóa. Bạn có thể... Wikipedia

THỰC VẬT VÀ MÔI TRƯỜNG- Cuộc sống của thực vật, giống như bất kỳ sinh vật sống nào khác, là một tập hợp phức tạp của các quá trình liên quan đến nhau; Điều quan trọng nhất trong số đó, như đã biết, là sự trao đổi chất với môi trường. Môi trường là nguồn gốc mà từ đó... ... Bách khoa toàn thư sinh học

Danh sách các tập của bộ phim "Luntik"- Bài chi tiết: Cuộc phiêu lưu của Luntik và những người bạn Nội dung 1 Số tập 2 Danh sách các tập của loạt phim hoạt hình Luntik và những người bạn ... Wikipedia

Bệnh cây ăn quả- Cây ăn quả nhờ được con người chăm sóc thường xuyên nên có độ tuổi già hơn rất nhiều so với họ hàng không được trồng trọt của chúng, nếu không phải do ảnh hưởng trái ngược của nhiều điều kiện văn hóa, cụ thể là yêu cầu của chúng ta... ...

Chặt rừng- Khai thác rừng hoặc khai thác thu nhập từ rừng dưới dạng gỗ và vỏ cây có thể được thực hiện bằng hai cách: đào lên hoặc nhổ toàn bộ cây, tức là thân cây cùng với rễ, hoặc riêng lẻ, từng phần, chặt trước hoặc loại bỏ. từ... ... Từ điển bách khoa F.A. Brockhaus và I.A. Ép-rôn

lớn- (tiếng Ba Lan grosz, từ tiếng Đức Groschen, từ tiếng Latin Grossus (dēnārius) “denarius dày”) đồng xu của nhiều quốc gia và thời đại khác nhau. Nội dung 1 Sự xuất hiện của đồng xu ... Wikipedia

tiền xu Mỹ- 20 đô la Saint Gaudens Đồng xu Mỹ đẹp và đắt nhất Đồng xu Mỹ là đồng tiền được đúc tại US Mint. Được sản xuất từ năm 1792... Wikipedia

Sách

Nguyên nhân chính gây rụng tóc ở phụ nữ, Alexey Michman, Sáu trong số mười phụ nữ bị rụng tóc vào một thời điểm nào đó trong đời. Rụng tóc có thể xảy ra do một số nguyên nhân như di truyền, thay đổi nội tiết tố trong...

§ 1. MẤT VÀ THOÁT Rễ KHI GIẢI PHƯƠNG PHÁP (BẰNG VÍ DỤ)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Hai định lý trong § 3 của Chương VII nói về những tác động nào lên phương trình không vi phạm tính tương đương của chúng.

2. Bây giờ chúng ta hãy xem xét các phép toán như vậy trên các phương trình có thể dẫn đến một phương trình mới không bằng phương trình ban đầu. Thay vì xem xét chung chung, chúng ta sẽ hạn chế xem xét chỉ những ví dụ cụ thể.

3. Ví dụ 1. Cho một phương trình, ta mở ngoặc trong phương trình này, chuyển tất cả các số hạng sang vế trái và giải phương trình bậc hai. Gốc rễ của nó là

Nếu bạn rút gọn cả hai vế của phương trình bằng một thừa số chung, bạn sẽ thu được một phương trình không bằng phương trình ban đầu vì nó chỉ có một nghiệm

Do đó, việc rút gọn cả hai vế của phương trình bằng một thừa số chứa ẩn số có thể dẫn đến mất nghiệm của phương trình.

4. Ví dụ 2. Cho một phương trình, phương trình này có một nghiệm. Bình phương hai vế của phương trình này, ta được. Giải phương trình này, ta tìm được hai nghiệm:

Ta thấy phương trình mới không tương đương với phương trình ban đầu, nghiệm của phương trình sau khi bình phương hai vế sẽ dẫn đến phương trình

5. Các nghiệm ngoại lai cũng có thể xuất hiện khi nhân cả hai vế của phương trình với một thừa số chứa ẩn số, nếu thừa số này triệt tiêu đối với các giá trị thực của x.

Ví dụ 3. Nếu nhân cả hai vế của phương trình với thì chúng ta sẽ được một phương trình mới, sau khi chuyển số hạng từ vế phải sang vế trái và phân tích thành nhân tử, sẽ thu được một phương trình từ một trong hai vế

Căn nguyên không thỏa mãn phương trình chỉ có một gốc

Từ đây chúng ta kết luận: khi bình phương cả hai vế của phương trình (nói chung là lũy thừa chẵn), cũng như khi nhân với thừa số chứa ẩn số và triệt tiêu ở giá trị thực của ẩn số, các nghiệm ngoại lai có thể xuất hiện.

Tất cả những cân nhắc được trình bày ở đây về vấn đề mất đi và xuất hiện các nghiệm ngoại lai của một phương trình đều được áp dụng như nhau cho mọi phương trình (đại số, lượng giác, v.v.).

6. Một phương trình được gọi là đại số nếu chỉ thực hiện các phép toán đại số trên ẩn số - cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa và rút căn với số mũ tự nhiên (và số lượng các phép toán đó là hữu hạn).

Vì vậy, ví dụ, các phương trình

là đại số và các phương trình

Chủ đề về phương trình lượng giác bắt đầu bằng một bài giảng ở trường, được cấu trúc dưới dạng một cuộc trò chuyện phỏng đoán. Bài giảng thảo luận về tài liệu lý thuyết và ví dụ giải quyết tất cả các vấn đề điển hình theo kế hoạch:

Các phương trình lượng giác đơn giản nhất.
Các phương pháp cơ bản để giải phương trình lượng giác.
Phương trình đồng nhất.

Trong các bài học tiếp theo, quá trình phát triển kỹ năng độc lập bắt đầu dựa trên việc áp dụng nguyên tắc hoạt động chung giữa giáo viên và học sinh. Đầu tiên, các mục tiêu cho học sinh được đặt ra, tức là. nó được xác định xem ai không muốn biết nhiều hơn những gì tiêu chuẩn tiểu bang yêu cầu và ai sẵn sàng làm nhiều hơn.

Chẩn đoán cuối cùng được đưa ra có tính đến sự khác biệt về cấp độ, cho phép học sinh xác định một cách có ý thức kiến thức tối thiểu cần thiết để nhận được điểm “3”. Trên cơ sở đó, tài liệu đa cấp độ được lựa chọn để chẩn đoán kiến thức của học sinh. Công việc như vậy cho phép học sinh có cách tiếp cận cá nhân, bao gồm tất cả mọi người trong các hoạt động học tập có ý thức, phát triển kỹ năng tự tổ chức và tự học, đồng thời đảm bảo chuyển sang tư duy tích cực, độc lập.

Buổi hội thảo được tiến hành sau khi rèn luyện các kỹ năng cơ bản giải phương trình lượng giác. Một số bài học trước hội thảo, sinh viên được đưa ra các câu hỏi sẽ được thảo luận trong hội thảo.

Hội thảo bao gồm ba phần.

1. Phần giới thiệu bao gồm tất cả các tài liệu lý thuyết, bao gồm cả phần giới thiệu các vấn đề sẽ nảy sinh khi giải các phương trình phức tạp.

2. Phần thứ hai bàn về cách giải phương trình dạng:

và cosx + bsinx = c.
a(sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
phương trình giải được bằng cách giảm bậc.

Các phương trình này sử dụng công thức thay thế phổ quát, công thức rút gọn mức độ và phương pháp đối số phụ.

3. Phần thứ ba đề cập đến vấn đề mất rễ và thu được rễ ngoại lai. Hướng dẫn cách chọn rễ.

Học sinh làm việc theo nhóm. Để giải các ví dụ, những người được đào tạo bài bản sẽ được mời đến để trình bày và giải thích tài liệu.

Hội thảo được thiết kế dành cho những sinh viên có sự chuẩn bị tốt, bởi vì... nó giải quyết các vấn đề nằm ngoài phạm vi của tài liệu chương trình. Nó bao gồm các phương trình có dạng phức tạp hơn và đặc biệt là giải quyết các vấn đề gặp phải khi giải các phương trình lượng giác phức tạp.

Buổi hội thảo được tổ chức dành cho học sinh từ lớp 10–11. Mỗi sinh viên có cơ hội mở rộng và đào sâu kiến thức về chủ đề này, so sánh trình độ kiến thức của mình không chỉ với yêu cầu đối với sinh viên tốt nghiệp mà còn với yêu cầu đối với những người vào V.U.Z.

HỘI THẢO

Chủ thể:"Giải phương trình lượng giác"

Bàn thắng:

Khái quát hóa kiến thức giải các loại phương trình lượng giác.
Tập trung vào các vấn đề: mất gốc; rễ ngoại lai; lựa chọn gốc.

TRONG LỚP HỌC.

I. Phần giới thiệu

1. Các phương pháp cơ bản giải phương trình lượng giác

Nhân tố hóa.
Giới thiệu một biến mới.
Phương pháp đồ họa chức năng.

2. Một số dạng phương trình lượng giác.

Các phương trình rút gọn về phương trình bậc hai cho cos x = t, sin x = t.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

Chúng được giải quyết bằng cách giới thiệu một biến mới.

Phương trình thuần nhất bậc một và bậc hai

Phương trình bậc một: Asinx + Bcosx = 0 chia cho cos x, ta được Atg x + B = 0

Phương trình bậc hai: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 chia cho cos 2 x, ta được Atg 2 x + Btgx + C = 0

Chúng được giải quyết bằng cách phân tích nhân tử và bằng cách đưa vào một biến mới.

Tất cả các phương pháp áp dụng.

Hạ cấp:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Giải bằng phương pháp nhân tử hóa.

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

Phương trình có dạng: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Giảm về dạng bình phương đối với t = sinx + cosx; sin2x = t 2 – 1.

3. Công thức.

x + 2n; Kiểm tra là cần thiết!

Mức độ giảm dần: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
Phương pháp lập luận phụ trợ.

Thay Acosx + Bsinx bằng Csin (x + ), trong đó sin = a/C; cos=v/c;

– luận cứ phụ trợ.

4. Quy tắc.

Nếu bạn nhìn thấy một hình vuông, hãy giảm độ.
Nếu bạn nhìn thấy một mảnh, hãy tính tổng.
Nếu bạn thấy số tiền, hãy thực hiện công việc.

5. Mất rễ, thừa rễ.

Mất căn: chia cho g(x); công thức nguy hiểm (sự thay thế phổ quát). Với những hoạt động này, chúng tôi thu hẹp phạm vi định nghĩa.

Các rễ phụ: nâng lên lũy thừa chẵn; nhân với g(x) (bỏ mẫu số). Với những hoạt động này, chúng tôi mở rộng phạm vi định nghĩa.

II. Ví dụ về phương trình lượng giác

1. Phương trình dạng Asinx + Bcosx = C

1) Sự thay thế phổ quát.O.D.Z. x - bất kỳ.

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = bạn. x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3, x = arctan (–1/3) + k, k Z.

Bài kiểm tra: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n, n e Z. Là nghiệm của phương trình.

Trả lời: x = arctan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2) Phương pháp đồ họa chức năng. O.D.Z. x - bất kỳ.

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1.

Hãy vẽ đồ thị các hàm số: y = sinx, y = cosx + 1.

Trả lời: x = /2 + 2n, Z; x = + 2k, kZ.

3) Giới thiệu một lập luận phụ trợ. O.D.Z.: x – bất kỳ.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, vì (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1 thì tồn tại sao cho sin = 8/17,

cos = 15/17, tức là sin cosx + sinx cos = 1; = arcsin 17/8.

Trả lời: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. Giảm thứ tự: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. O.D.Z.: x – bất kỳ.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

Trả lời: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

Tại

k = 1 và m = 0
k = 4 và m = 1.

loạt bài này giống nhau.

3. Giảm tính đồng nhất. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – bất kỳ.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) không thể chia cho cos 2 x, vì chúng ta mất căn.
cos 2 x = 0 thỏa mãn phương trình.
cosx(3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.
x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

Trả lời: x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. Phương trình có dạng: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – bất kỳ.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = S. cosx = sin(x + /2),
sinx +sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

Trả lời: x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Nhân tố hóa.

1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx(2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2, không có nghiệm.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Trả lời: x = arctan(1/2) + n, n Z.

III. Các vấn đề phát sinh khi giải phương trình lượng giác

1. Mất căn: chia cho g(x); Chúng tôi sử dụng các công thức nguy hiểm.

1) Tìm lỗi.

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – công thức cosx = 2sin 2 x/2.
2 sin 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 chia cho 2 sin 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Z.
Mất nghiệm sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Giải pháp đúng: 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0.

sin 2 x/2 = 0
x = 2k, kZ.

1 – cosx /2 = 0
x = 4pn,nZ.

2. Căn từ ngoại lai: bỏ mẫu số; nâng lên một sức mạnh đồng đều.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3 / 2.

2сos3х sinx – сos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1)(2sinx – 1) = 0

1). сos3x + 1 = 0
x = /3 + 2n/3, n Z.

2). 2sinx – 1 = 0
x = (–1) k /6 + k, k Z.