Trường lực và đường đẳng thế. §9 Đường lực và thế năng tương đương

Các bề mặt đẳng thế là những bề mặt như vậy, mỗi điểm của chúng có cùng một thế năng. Nghĩa là trên mặt đẳng thế, thế điện có giá trị không đổi. Bề mặt như vậy là bề mặt của các vật dẫn điện, vì điện thế của chúng là như nhau.

Hãy tưởng tượng một bề mặt như vậy, đối với hai điểm mà hiệu điện thế sẽ bằng không. Đây sẽ là bề mặt đẳng thế. Bởi vì nó có cùng tiềm năng. Nếu chúng ta coi bề mặt đẳng thế trong không gian hai chiều, giả sử trong hình vẽ, thì nó sẽ có hình dạng là một đường thẳng. Công của lực điện trường để di chuyển điện tích dọc theo đường sức này sẽ bằng không.

Một trong những tính chất của bề mặt đẳng thế là chúng luôn vuông góc với các đường sức. Thuộc tính này có thể được xây dựng và ngược lại. Bất kỳ bề mặt nào vuông góc tại tất cả các điểm với đường sức điện trường được gọi là bề mặt đẳng thế.

Ngoài ra, các bề mặt như vậy không bao giờ giao nhau. Vì điều này có nghĩa là sự khác biệt về tiềm năng trong cùng một bề mặt, điều này mâu thuẫn với định nghĩa. Họ cũng luôn luôn đóng cửa. Các bề mặt có tiềm năng như nhau không thể bắt đầu và đi đến vô tận mà không có ranh giới rõ ràng.

Theo quy định, các bản vẽ không cần phải mô tả toàn bộ bề mặt. Thường xuyên mô tả một mặt cắt vuông góc với các bề mặt đẳng thế. Do đó, chúng thoái hóa thành dòng. Điều này hóa ra là khá đủ để ước tính sự phân bố của trường này. Khi được mô tả bằng đồ thị, các bề mặt được đặt ở cùng một khoảng thời gian. Có nghĩa là, giữa hai bề mặt liền kề, cùng một bước được quan sát, giả sử một vôn. Sau đó, theo mật độ của các đường được tạo thành bởi tiết diện của các bề mặt đẳng thế, người ta có thể đánh giá cường độ của điện trường.

Ví dụ, hãy xem xét trường được tạo ra bởi một điện tích điểm. Các đường sức của một trường như vậy là hướng tâm. Tức là chúng bắt đầu ở tâm điện tích và đi về phía vô cùng nếu điện tích dương. Hoặc hướng về điện tích, nếu nó là âm. Các bề mặt đẳng thế của một trường như vậy sẽ có dạng hình cầu tập trung vào điện tích và phân kỳ khỏi nó. Nếu chúng ta mô tả một mặt cắt hai chiều, thì các đường đẳng thế sẽ ở dạng các vòng tròn đồng tâm, tâm của chúng cũng nằm trong điện tích.

Hình 1 - đường đẳng thế của điện tích điểm

Đối với trường đồng nhất, chẳng hạn như trường giữa các bản của tụ điện, các bề mặt có điện thế bằng nhau sẽ có dạng mặt phẳng. Các mặt phẳng này song song với nhau ở cùng một khoảng cách. Đúng như vậy, ở các cạnh của tấm, mẫu trường sẽ bị biến dạng do hiệu ứng cạnh. Nhưng chúng ta tưởng tượng rằng các tấm này dài vô hạn.

Hình 2 - các đường đẳng thế trường đều

Để mô tả các đường đẳng thế cho một trường tạo bởi hai điện tích có độ lớn bằng nhau và ngược dấu, áp dụng nguyên lý chồng chất là chưa đủ. Vì trong trường hợp này, khi hai ảnh của các điện tích điểm được đặt chồng lên nhau, sẽ có các giao điểm của các đường sức. Nhưng điều này không thể xảy ra, vì trường không thể được định hướng theo hai hướng khác nhau cùng một lúc. Trong trường hợp này, vấn đề phải được giải quyết một cách phân tích.

Hình 3 - Hình ảnh trường của hai điện tích

> Dòng thế năng

Đặc điểm và tính chất đường bề mặt đẳng thế: trạng thái của thế năng điện trường, trạng thái cân bằng tĩnh, công thức của điện tích điểm.

Đường đẳng thế trường là những vùng một chiều mà điện thế không thay đổi.

Nhiệm vụ học tập

• Đặc trưng hình dạng của các đường đẳng thế cho một số cấu hình điện tích.

Những điểm chính

• Đối với một điện tích điểm cô lập cụ thể, điện thế dựa trên khoảng cách xuyên tâm. Do đó, các đường đẳng thế là đường tròn.
• Nếu một số điện tích rời rạc tiếp xúc với nhau, thì trường của chúng giao nhau và hiển thị một điện thế. Kết quả là, các đường đẳng thế bị lệch.
• Khi các điện tích phân bố trên hai bản dẫn điện ở trạng thái cân bằng tĩnh, các đường đẳng thế gần như thẳng hàng.

Điều kiện

• Tiềm năng tương đương - một phần mà mỗi điểm có một thế năng duy nhất.
• Cân bằng tĩnh là trạng thái vật lý mà tất cả các thành phần đều ở trạng thái nghỉ và lực thuần bằng không.

Đường đẳng thế hiển thị các khu vực một chiều mà điện thế không thay đổi. Có nghĩa là, đối với một điện tích như vậy (bất cứ nơi nào nó nằm trên đường đẳng thế), không cần thiết phải thực hiện công việc di chuyển từ điểm này sang điểm khác trong một đường cụ thể.

Các đường của bề mặt đẳng thế có thể thẳng, cong hoặc không đều. Tất cả điều này dựa trên việc phân bổ các khoản phí. Chúng nằm hướng tâm xung quanh vật tích điện nên vẫn vuông góc với đường sức điện trường.

phí điểm duy nhất

Đối với một điện tích điểm, công thức thế năng là:

Ở đây, người ta quan sát thấy sự phụ thuộc xuyên tâm, nghĩa là, bất kể khoảng cách đến điện tích điểm là bao nhiêu, thế năng vẫn không thay đổi. Do đó, các đường đẳng thế có dạng hình tròn với điện tích điểm ở tâm.

Điện tích điểm cô lập với đường sức điện trường (xanh lam) và đường đẳng thế (xanh lục)

Nhiều khoản phí

Nếu một số điện tích rời rạc tiếp xúc với nhau, thì chúng ta thấy các trường của chúng chồng lên nhau như thế nào. Sự chồng chéo này làm cho điện thế kết hợp và các đường đẳng thế lệch nhau.

Nếu có nhiều điện tích thì các đường đẳng thế hình thành không đều. Tại thời điểm giữa các lần sạc, bộ điều khiển có thể cảm nhận được ảnh hưởng của cả hai lần sạc.

sạc liên tục

Nếu các điện tích nằm trên hai bản dẫn cân bằng tĩnh, tại đó các điện tích không bị gián đoạn và nằm trên một đường thẳng thì các đường đẳng thế sẽ thẳng. Thực tế là tính liên tục của các khoản phí gây ra các hành động liên tục tại bất kỳ điểm nào.

Nếu các điện tích được vẽ thành một đường thẳng và không bị gián đoạn, thì các đường đẳng thế đi ngay trước mặt chúng. Là một ngoại lệ, chúng ta chỉ có thể nhớ được chỗ uốn cong gần các cạnh của các tấm dẫn điện

Sự liên tục bị phá vỡ gần với các đầu của tấm, do đó độ cong được tạo ra ở những khu vực này - hiệu ứng cạnh.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ CÔNG TRÌNH.

Có một mối quan hệ tích phân và vi phân giữa cường độ của phần điện và hiệu điện thế:

j 1 - j 2 = ∫ E dl (1)

E = -grad j (2)

Điện trường có thể được biểu diễn bằng đồ thị theo hai cách, bổ sung cho nhau: sử dụng bề mặt đẳng thế và đường sức căng (đường sức).

Một bề mặt mà tất cả các điểm của chúng có cùng điện thế được gọi là bề mặt đẳng thế. Đường giao của nó với mặt phẳng hình vẽ được gọi là đường đẳng thế. Đường sức - đường thẳng, tiếp tuyến mà tại mỗi điểm trùng với phương của vectơ E . Trong hình 1, các đường chấm biểu thị các đường đẳng thế, các đường liền thể hiện các đường sức của điện trường.

Hình 1

Chênh lệch tiềm năng giữa điểm 1 và điểm 2 là 0, vì chúng nằm trên cùng một thế đẳng thế. Trong trường hợp này, từ (1):

∫E dl = 0 hoặc ∫E dlcos ( Edl ) = 0 (3)

Vì E và dl trong biểu thức (3) không bằng 0, khi đó cos ( Edl ) = 0 . Do đó, góc giữa đường đẳng thế và đường sức là p / 2.

Theo quan hệ vi phân (2), các đường sức luôn hướng theo hướng giảm dần thế năng.

Độ lớn của cường độ điện trường được xác định bởi "độ dày" của các đường sức. Các đường sức càng dày thì khoảng cách giữa các điểm đẳng thế càng nhỏ, do đó các đường sức và thế năng tạo thành "hình vuông cong". Dựa trên các nguyên tắc này, có thể dựng được hình ảnh của các đường sức, hình ảnh của đường đẳng thế và ngược lại.

Một bức tranh đầy đủ đầy đủ về thế năng trường cho phép chúng ta tính toán tại các điểm khác nhau giá trị của hình chiếu của vectơ cường độ E đến hướng đã chọn X , được tính trung bình trong một khoảng tọa độ nhất định ∆х :

E cf. ∆х = - ∆ j / ∆х,

ở đâu ∆х - gia tăng tọa độ khi di chuyển từ thế đẳng thế này sang thế năng khác,

∆ j - sự gia tăng tương ứng về tiềm năng,

E cf. ∆x - bần tiện Bán tại giữa hai thế năng.

MÔ TẢ KỸ THUẬT LẮP ĐẶT VÀ ĐO LƯỜNG.

Để mô hình hóa điện trường, thuận tiện là sử dụng phép tương tự tồn tại giữa điện trường tạo bởi các vật mang điện và điện trường của dòng điện một chiều chạy qua màng dẫn điện có độ dẫn điện đều. Trong trường hợp này, vị trí của các đường sức của điện trường biến ra tương tự như vị trí của các đường sức của dòng điện.

Tuyên bố tương tự cũng đúng đối với các tiềm năng. Sự phân bố điện thế trường trong phim dẫn giống như điện trường trong chân không.

Là một bộ phim dẫn điện, giấy dẫn điện có cùng độ dẫn điện theo mọi hướng được sử dụng trong công việc.

Các điện cực được đặt trên giấy để có sự tiếp xúc tốt giữa mỗi điện cực và giấy dẫn điện.

Sơ đồ hoạt động của cài đặt được thể hiện trong Hình 2. Việc lắp đặt bao gồm mô-đun II, phần tử bên ngoài I, chỉ báo III, nguồn cung cấp IV. Mô-đun được sử dụng để kết nối tất cả các thiết bị đã sử dụng. Phần tử ở xa là một bảng điện môi 1, trên đó đặt một tờ giấy trắng 2, trên đó là một tờ giấy bản 3, sau đó là một tờ giấy dẫn điện 4, trên đó gắn các điện cực 5. Điện áp được cung cấp đến các điện cực từ mô-đun II bằng cách sử dụng dây kết nối. Chỉ số III và đầu dò 6 dùng để xác định điện thế của các điểm trên bề mặt giấy dẫn điện.

Một dây có phích cắm ở cuối được sử dụng như một đầu dò. Tiềm năng j đầu dò bằng điện thế của điểm trên mặt giấy dẫn điện mà nó tiếp xúc. Tập hợp các điểm trường có cùng điện thế là ảnh của trường đẳng thế. Bộ cấp nguồn IV được sử dụng làm bộ cấp nguồn TES - 42, được kết nối với mô-đun bằng đầu nối phích cắm trên thành sau của mô-đun. Một vôn kế V7 - 38 được dùng làm chỉ số Ш.

TRÌNH TỰ THỰC HIỆN CÔNG VIỆC.

1. Đặt tờ giấy trắng lên bảng 1 2. Đặt tờ giấy than 3 và tờ giấy dẫn điện 4 lên đó (Hình 2).

2. Lắp các điện cực 5 trên giấy dẫn điện và cố định bằng đai ốc.

3. Kết nối bộ cấp nguồn IV (TEC-42) với mô-đun bằng cách sử dụng đầu nối phích cắm trên thành sau của mô-đun.

4. Sử dụng hai dây, kết nối chỉ số III (vôn kế V7-38) với ổ cắm "PV" trên bảng điều khiển phía trước của mô-đun. Nhấn nút tương ứng trên vôn kế để đo điện áp một chiều (Hình 2).

5. Sử dụng hai dây dẫn, nối các điện cực 5 với mô-đun P.

6. Kết nối đầu dò (dây có hai phích cắm) với ổ cắm trên bảng điều khiển phía trước của mô-đun.

7. Kết nối chân đế với mạng 220 V. Bật nguồn điện chung của chân đế.

Mối quan hệ giữa căng thẳng và tiềm năng.

Đối với trường tiềm năng, có mối liên hệ giữa thế năng (bảo toàn) và thế năng

trong đó ("nabla") là toán tử Hamilton.

Vì sau đó

Dấu trừ cho thấy vectơ E hướng theo chiều giảm thế năng.

Đối với biểu diễn đồ họa của sự phân bố điện thế, các bề mặt đẳng thế được sử dụng - các bề mặt tại tất cả các điểm mà điện thế có cùng giá trị.

Bề mặt đẳng thế thường được thực hiện sao cho hiệu điện thế giữa hai bề mặt đẳng thế kề nhau là như nhau. Khi đó mật độ của các bề mặt đẳng thế đặc trưng rõ ràng cho cường độ trường tại các điểm khác nhau. Nơi nào các bề mặt này càng dày đặc thì cường độ trường càng lớn. Đường nét chấm trong hình vẽ là đường sức, đường nét liền thể hiện mặt cắt của các mặt đẳng thế đối với: điện tích điểm dương (a), lưỡng cực (b), hai điện tích cùng tên (c), kim loại mang điện dây dẫn của cấu hình phức tạp (d).

Đối với một điện tích điểm, thế do đó các bề mặt đẳng thế là những mặt cầu đồng tâm. Mặt khác, đường sức căng là đường thẳng hướng tâm. Do đó, các đường căng thẳng vuông góc với các bề mặt đẳng thế.

Có thể chứng minh rằng trong mọi trường hợp vectơ E vuông góc với mặt đẳng thế và luôn hướng theo chiều giảm thế năng.

Ví dụ về tính toán trường tĩnh điện đối xứng quan trọng nhất trong chân không.

1. Trường tĩnh điện của một lưỡng cực điện trong chân không.

Lưỡng cực điện (hay cột điện kép) là một hệ thống gồm hai điện tích điểm trái dấu có giá trị tuyệt đối bằng nhau (+ q, -q), khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn nhiều so với khoảng cách đến các điểm đã xét của trường (l<< r).

Cánh tay lưỡng cực l là một vectơ hướng dọc theo trục lưỡng cực từ điện tích âm sang điện tích dương và bằng khoảng cách giữa chúng.

Mômen điện của lưỡng cực re là vectơ trùng phương với cánh tay đòn của lưỡng cực và bằng tích của môđun điện tích | q | vai tôi:

Gọi r là khoảng cách đến điểm A tính từ giữa trục lưỡng cực. Sau đó, cho rằng

2) Cường độ trường tại điểm B nằm trên phương vuông góc với trục của lưỡng cực từ chính giữa của nó tại

Điểm B cách đều điện tích + q và -q của lưỡng cực nên điện thế trường tại điểm B bằng không. Vectơ Yb có hướng ngược với vectơ l.

3) Trong điện trường ngoài, một cặp lực tác dụng lên hai đầu của lưỡng cực, lực này có xu hướng làm quay lưỡng cực theo cách mà mômen điện của lưỡng cực quay dọc theo hướng của trường E (Hình (a )).

Trong một trường đều bên ngoài, mômen của một cặp lực bằng M = qElsin a hoặc Trong trường không đồng nhất bên ngoài (Hình (c)) các lực tác dụng lên các đầu của lưỡng cực không giống nhau và kết quả của chúng có xu hướng di chuyển lưỡng cực vào vùng trường có cường độ lớn hơn - lưỡng cực bị hút vào vùng có trường mạnh hơn.

2. Trường của một mặt phẳng vô hạn tích điện đều.

Mặt phẳng vô hạn tích điện với mật độ bề mặt không đổi Các đường dây căng thẳng vuông góc với mặt phẳng được xét và hướng từ nó theo cả hai hướng.

Như một bề mặt Gaussian, chúng ta lấy bề mặt của một hình trụ, các bộ sinh của chúng vuông góc với mặt phẳng tích điện, và các đáy song song với mặt phẳng tích điện và nằm trên các mặt đối diện của nó với những khoảng cách bằng nhau.

Vì các đường sinh của hình trụ song song với các đường sức căng, dòng chảy của vectơ lực căng qua mặt bên của hình trụ bằng 0 và tổng lưu lượng qua hình trụ bằng tổng các dòng chảy qua các đáy của nó. 2ES. Điện tích bên trong hình trụ là. Theo định lý Gauss ở đâu:

E không phụ thuộc vào chiều dài của hình trụ, tức là cường độ trường tại bất kỳ khoảng cách nào đều giống nhau về giá trị tuyệt đối. Trường như vậy được gọi là đồng nhất.

Hiệu điện thế giữa các điểm nằm cách mặt phẳng một khoảng x1 và x2 bằng

3. Trường của hai mặt phẳng tích điện trái dấu song song vô hạn có mật độ điện tích bề mặt bằng nhau về giá trị tuyệt đối σ> 0 và - σ.

Theo ví dụ trước, các vectơ cường độ E 1 và E 2 của mặt phẳng thứ nhất và thứ hai có giá trị tuyệt đối bằng nhau và hướng tới mọi nơi vuông góc với mặt phẳng. Do đó, trong không gian bên ngoài các mặt phẳng, chúng bù trừ cho nhau, và trong không gian giữa các mặt phẳng, lực căng tổng . Do đó, giữa các mặt phẳng

(trong chất điện môi.).

Trường giữa các mặt phẳng là đồng nhất. Sự khác biệt tiềm tàng giữa các mặt phẳng.
(trong chất điện môi ).

4. Trường của một mặt cầu tích điện đều.

Một mặt cầu bán kính R có tổng điện tích q được tích điện đều với mật độ bề mặt

Vì hệ thống các điện tích và do đó, bản thân trường là đối xứng tâm đối với tâm của quả cầu, các đường sức căng hướng tâm.

Như một bề mặt Gaussian, chúng tôi chọn một hình cầu bán kính r, có tâm chung với một hình cầu tích điện. Nếu r> R thì toàn bộ điện tích q lọt vào bên trong bề mặt. Theo định lý Gauss, khi nào

Đối với r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

Hiệu điện thế giữa hai điểm nằm cách tâm quả cầu một khoảng r 1 và r 2

(r1> R, r2> R), bằng

Bên ngoài quả cầu tích điện, trường giống như trường của một điện tích điểm q nằm ở tâm quả cầu. Không có trường bên trong quả cầu tích điện, vì vậy điện thế ở mọi nơi và giống như trên bề mặt

Hãy tìm mối quan hệ giữa cường độ của trường tĩnh điện, tính năng năng lượng, và tiềm năng - năng lượng đặc trưng của trường. Công việc di dời Độc thân hướng điện tích dương từ điểm này sang điểm khác dọc theo trục X với điều kiện là các điểm gần nhau vô hạn và x 1 - x 2 = dx , bằng E x dx . Công việc tương tự bằng j 1 -j 2 = dj . Bằng cả hai biểu thức, chúng ta có thể viết

trong đó ký hiệu đạo hàm riêng nhấn mạnh rằng sự khác biệt chỉ được thực hiện đối với X. Lặp lại suy luận tương tự cho các trục y và z , chúng ta có thể tìm thấy vectơ E:

trong đó i, j, k - vectơ đơn vị của các trục tọa độ x, y, z.

Từ định nghĩa của gradient (12.4) và (12.6). theo sau đó

tức là cường độ trường E bằng với gradien tiềm năng có dấu trừ. Dấu trừ được xác định bởi thực tế là vectơ cường độ trường E hướng tới hướng xuống tiềm năng.

Để biểu diễn đồ thị sự phân bố điện thế của trường tĩnh điện, như trong trường hợp trường hấp dẫn (xem § 25), các bề mặt đẳng thế được sử dụng - các bề mặt tại tất cả các điểm mà điện thế j có cùng giá trị.

Nếu trường được tạo ra bởi một điện tích điểm, thì điện thế của nó, theo (84.5),

Do đó, các bề mặt đẳng thế trong trường hợp này là các mặt cầu đồng tâm. Mặt khác, đường sức căng trong trường hợp điện tích điểm là đường thẳng hướng tâm. Do đó, các đường sức căng trong trường hợp điện tích điểm vuông góc các bề mặt đẳng thế.

Đường căng thẳng luôn bình thườngđến các bề mặt đẳng thế. Thật vậy, tất cả các điểm của bề mặt đẳng thế đều có cùng một thế năng, do đó, công của sự di chuyển điện tích dọc theo bề mặt này bằng không, tức là lực tĩnh điện tác dụng lên điện tích, luôn luôn hướng dọc theo các chuẩn tới các bề mặt đẳng thế. Do đó, vectơ E luôn luôn bình thường đối với các bề mặt đẳng thế, và do đó các đường của vectơ E là trực giao với các bề mặt này.

Có vô số bề mặt đẳng thế xung quanh mỗi điện tích và mỗi hệ thống điện tích. Tuy nhiên, chúng thường được thực hiện sao cho sự khác biệt tiềm ẩn giữa hai bề mặt đẳng thế lân cận là như nhau. Khi đó mật độ của các bề mặt đẳng thế đặc trưng rõ ràng cho cường độ trường tại các điểm khác nhau. Nơi nào các bề mặt này càng dày đặc thì cường độ trường càng lớn.

Vì vậy, khi biết vị trí của các đường của cường độ trường tĩnh điện, có thể xây dựng các bề mặt đẳng thế và ngược lại, từ vị trí đã biết của các bề mặt đẳng thế, có thể xác định môđun và hướng của cường độ trường tại mỗi điểm. của lĩnh vực này. Trên hình. 133 ví dụ cho thấy hình chiếu của các đường sức căng (đường đứt nét) và bề mặt đẳng thế (đường liền nét) của các trường của điện tích điểm dương (a) và một hình trụ kim loại tích điện có phần nhô ra ở một đầu và phần lõm ở đầu kia (b).