Do đó, độ dài của vectơ được tính bằng căn bậc hai của tổng bình phương tọa độ của nó
. Độ dài của vectơ n chiều được tính tương tự
. Nếu chúng ta nhớ rằng mỗi tọa độ của một vectơ là hiệu giữa tọa độ của điểm cuối và điểm đầu, thì chúng ta thu được công thức tính độ dài của đoạn, tức là. Khoảng cách Euclide giữa các điểm.

tích vô hướng hai vectơ trên một mặt phẳng là tích của độ dài của các vectơ này và cosin của góc giữa chúng:
. Có thể chứng minh rằng tích vô hướng của hai vectơ = (x 1, x 2) và = (y 1 , y 2) bằng tổng các tích tọa độ tương ứng của các vectơ này:
= x 1 * y 1 + x 2 * y 2 .

Trong không gian n chiều, tích vô hướng của các vectơ X= (x 1, x 2,...,x n) và Y= (y 1, y 2,...,y n) được định nghĩa là tổng của các tích tọa độ tương ứng của chúng: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

Phép nhân các vectơ với nhau tương tự như phép nhân ma trận hàng với ma trận cột. Chúng tôi nhấn mạnh rằng kết quả sẽ là một con số chứ không phải một vectơ.

Tích vô hướng của vectơ có các tính chất (tiên đề) sau:

1) Tính chất giao hoán: X*Y=Y*X.

2) Tính chất phân phối đối với phép cộng: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Với số thực bất kỳ 
.

4)
, ifX không phải là vectơ 0;
ifX là một vectơ bằng không.

Không gian vectơ tuyến tính trong đó tích vô hướng của các vectơ thỏa mãn bốn tiên đề tương ứng được gọi là Vector tuyến tính Euclidekhông gian.

Dễ dàng nhận thấy rằng khi nhân một vectơ bất kỳ với chính nó, chúng ta sẽ có bình phương độ dài của nó. Vì vậy nó khác chiều dài một vectơ có thể được định nghĩa là căn bậc hai của bình phương vô hướng của nó:.

Độ dài vectơ có các tính chất sau:

1) |X| = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|, trong đó là số thực;

3) |X*Y||X|*|Y| ( Bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky);

4) |X+Y||X|+|Y| ( bất đẳng thức tam giác).

Góc  giữa các vectơ trong không gian n chiều được xác định dựa trên khái niệm tích vô hướng. Trên thực tế, nếu
, Cái đó
. Phân số này không lớn hơn một (theo bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky), nên từ đây chúng ta có thể tìm được .

Hai vectơ đó được gọi là trực giao hoặc vuông góc, nếu tích vô hướng của chúng bằng 0. Từ định nghĩa của tích vô hướng, vectơ 0 trực giao với bất kỳ vectơ nào. Nếu cả hai vectơ trực giao đều khác 0 thì cos= 0, tức là=/2 = 90 o.

Hãy nhìn lại Hình 7.4. Từ hình vẽ có thể thấy cosin của góc  của độ nghiêng của vectơ so với trục hoành có thể được tính như sau
, và cosin của gócđộ nghiêng của vectơ so với trục tung là
. Những con số này thường được gọi cosin phương hướng. Dễ dàng chứng minh rằng tổng bình phương của các cosin định hướng luôn bằng 1: cos 2 +cos 2 = 1. Tương tự, khái niệm cosin định hướng có thể được đưa vào cho các không gian có số chiều cao hơn.

Cơ sở không gian vectơ

Đối với vectơ, chúng ta có thể định nghĩa các khái niệm kết hợp tuyến tính,sự phụ thuộc tuyến tính Và Sự độc lập tương tự như cách các khái niệm này được giới thiệu cho các hàng ma trận. Cũng đúng là nếu các vectơ phụ thuộc tuyến tính thì ít nhất một trong số chúng có thể được biểu diễn tuyến tính theo các vectơ khác (tức là nó là sự kết hợp tuyến tính của chúng). Điều ngược lại cũng đúng: nếu một trong các vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác thì tất cả các vectơ này đều phụ thuộc tuyến tính.

Lưu ý rằng nếu trong số các vectơ a l , a 2 ,...a m có một vectơ 0 thì tập hợp các vectơ này nhất thiết phải phụ thuộc tuyến tính. Trên thực tế, chúng ta nhận được l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0 nếu, ví dụ, chúng ta đánh đồng hệ số j tại vectơ 0 bằng 1, và tất cả các hệ số khác bằng 0. Trong trường hợp này, không phải tất cả các hệ số đều bằng 0 ( j ≠ 0).

Ngoài ra, nếu một phần của vectơ từ một tập hợp vectơ phụ thuộc tuyến tính thì tất cả các vectơ này đều phụ thuộc tuyến tính. Trong thực tế, nếu một số vectơ cho một vectơ 0 trong tổ hợp tuyến tính của chúng với các hệ số không bằng 0, thì các vectơ còn lại nhân với hệ số 0 có thể được thêm vào tổng tích này và nó vẫn sẽ là vectơ 0.

Làm thế nào để xác định xem vectơ có phụ thuộc tuyến tính hay không?

Ví dụ: hãy lấy ba vectơ: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) và a 3 = (3, 1, 4, 3). Hãy tạo một ma trận từ chúng, trong đó chúng sẽ là các cột:

Khi đó câu hỏi về sự phụ thuộc tuyến tính sẽ được rút gọn thành việc xác định hạng của ma trận này. Nếu nó bằng ba thì cả ba cột đều độc lập tuyến tính và nếu nó nhỏ hơn thì điều này sẽ chỉ ra sự phụ thuộc tuyến tính của các vectơ.

Vì hạng là 2 nên các vectơ phụ thuộc tuyến tính.

Lưu ý rằng lời giải của bài toán cũng có thể bắt đầu bằng cách lập luận dựa trên định nghĩa về tính độc lập tuyến tính. Cụ thể là tạo một phương trình vectơ  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, phương trình này sẽ có dạng l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, - 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Khi đó ta được hệ phương trình:

Việc giải hệ thống này bằng phương pháp Gaussian sẽ thu được ma trận bước tương tự, chỉ có điều nó sẽ có thêm một cột - các thuật ngữ không có cột. Tất cả chúng sẽ bằng 0, vì các phép biến đổi tuyến tính của số 0 không thể dẫn đến một kết quả khác. Hệ phương trình được biến đổi sẽ có dạng:

Nghiệm của hệ này sẽ là (-с;-с; с), trong đó с là số tùy ý; ví dụ: (-1;-1;1). Điều này có nghĩa là nếu chúng ta lấy  l = -1; 2 =-1 và 3 = 1, thì l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, tức là. các vectơ thực sự phụ thuộc tuyến tính.

Từ ví dụ đã giải, rõ ràng là nếu chúng ta lấy số lượng vectơ lớn hơn chiều của không gian thì chúng nhất thiết sẽ phụ thuộc tuyến tính. Trên thực tế, nếu lấy năm vectơ trong ví dụ này, chúng ta sẽ nhận được một ma trận 4 x 5, hạng của ma trận này không thể lớn hơn 4. Những thứ kia. số lượng cột độc lập tuyến tính tối đa vẫn không quá bốn. Hai, ba hoặc bốn vectơ bốn chiều có thể độc lập tuyến tính, nhưng năm hoặc nhiều hơn thì không thể. Do đó, không quá hai vectơ có thể độc lập tuyến tính trên mặt phẳng. Ba vectơ bất kỳ trong không gian hai chiều đều phụ thuộc tuyến tính. Trong không gian ba chiều, bốn (hoặc nhiều) vectơ bất kỳ luôn phụ thuộc tuyến tính. Và như thế.

Đó là lý do tại sao kích thước không gian có thể được định nghĩa là số lượng vectơ độc lập tuyến tính tối đa có thể có trong đó.

Tập hợp n vectơ độc lập tuyến tính của không gian n chiều R được gọi là nền tảng không gian này.

Định lý. Mỗi vectơ của không gian tuyến tính có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở và theo một cách duy nhất.

Bằng chứng. Cho các vectơ e l , e 2 ,...en tạo thành một không gian cơ sở chiều R. Hãy chứng minh rằng mọi vectơ X là tổ hợp tuyến tính của các vectơ này. Vì cùng với vectơ X, số lượng vectơ sẽ trở thành (n +1), các vectơ (n +1) này sẽ phụ thuộc tuyến tính, tức là. có các số l , 2 ,..., n , không đồng thời bằng 0, sao cho

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

Trong trường hợp này, 0, vì nếu không thì chúng ta sẽ nhận được l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0, trong đó không phải tất cả các hệ số l , 2 ,..., n đều bằng 0. Điều này có nghĩa là các vectơ cơ sở sẽ phụ thuộc tuyến tính. Do đó, chúng ta có thể chia cả hai vế của phương trình đầu tiên cho:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + X = 0

Х = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n,

trong đó x j = -( j /),
.

Bây giờ chúng ta chứng minh rằng cách biểu diễn như vậy dưới dạng tổ hợp tuyến tính là duy nhất. Hãy giả sử điều ngược lại, tức là rằng có một cách trình bày khác:

X = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n

Chúng ta hãy trừ nó theo số hạng biểu thức thu được trước đó:

0 = (y l – x 1)e l + (y 2 – x 2)e 2 +...+ (y n – x n)e n

Vì các vectơ cơ sở độc lập tuyến tính nên ta thu được (y j - x j) = 0,
, tức là y j ​​= x j . Vì vậy, biểu thức hóa ra giống nhau. Định lý đã được chứng minh.

Biểu thức X = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n được gọi là sự phân hủy vectơ X dựa trên e l, e 2,...e n và các số x l, x 2,...x n - tọa độ vectơ x liên quan đến cơ sở này, hoặc trong cơ sở này.

Người ta có thể chứng minh rằng nếu các vectơ không khác 0 của không gian Euclide n chiều là trực giao từng cặp thì chúng tạo thành một cơ sở. Thật ra, hãy nhân cả hai vế của đẳng thức l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 với bất kỳ vectơ e i nào. Ta được  l (e l *е i) +  2 (e 2 *е i) +...+  n (e n *е i) = 0   i (e i *е i) = 0   i = 0 cho  i.

Các vectơ e l , e 2 ,...en n của dạng không gian Euclide n chiều cơ sở trực chuẩn, nếu các vectơ này trực giao theo cặp và chuẩn của mỗi vectơ bằng một, tức là if e i *e j = 0 for i≠j и |е i | = 1 choi.

Định lý (không có bằng chứng). Trong mọi không gian Euclid n chiều đều có một cơ sở trực chuẩn.

Một ví dụ về cơ sở trực chuẩn là một hệ gồm n vectơ đơn vị e i, trong đó thành phần thứ i bằng 1 và các thành phần còn lại bằng 0. Mỗi vectơ như vậy được gọi là ort. Ví dụ, các vectơ vectơ (1, 0, 0), (0, 1, 0) và (0, 0, 1) tạo thành cơ sở của không gian ba chiều.

Bài học: Tọa độ vectơ; tích vô hướng của vectơ; góc giữa các vectơ

Tọa độ vectơ

Vì vậy, như đã đề cập trước đó, vectơ là một đoạn có hướng có điểm bắt đầu và kết thúc riêng. Nếu điểm đầu và điểm cuối được biểu thị bằng một số điểm nhất định thì chúng có tọa độ riêng trên mặt phẳng hoặc trong không gian.

Nếu mỗi điểm có tọa độ riêng thì chúng ta có thể lấy tọa độ của toàn bộ vectơ.

Giả sử chúng ta có một vectơ có điểm bắt đầu và kết thúc có các ký hiệu và tọa độ sau: A(A x ; Ay) và B(B x ; By)

Để thu được tọa độ của một vectơ cho trước, cần trừ tọa độ tương ứng của điểm đầu với tọa độ điểm cuối của vectơ:

Để xác định tọa độ của một vectơ trong không gian, hãy sử dụng công thức sau:

Tích vô hướng của vectơ

Có hai cách để định nghĩa khái niệm tích vô hướng:

• Phương pháp hình học. Theo đó, tích vô hướng bằng tích các giá trị của các mô-đun này và cosin của góc giữa chúng.

• Ý nghĩa đại số. Theo quan điểm của đại số, tích vô hướng của hai vectơ là một đại lượng nhất định thu được nhờ tổng các tích của các vectơ tương ứng.

Nếu các vectơ được cho trong không gian thì bạn nên sử dụng công thức tương tự:

Của cải:

• Nếu bạn nhân vô hướng hai vectơ giống nhau thì tích vô hướng của chúng sẽ không âm:

• Nếu tích vô hướng của hai vectơ giống hệt nhau bằng 0 thì các vectơ này được coi là bằng 0:

• Nếu một vectơ nào đó được nhân với chính nó thì tích vô hướng sẽ bằng bình phương mô đun của nó:

• Tích vô hướng có tính chất giao tiếp, tức là tích vô hướng sẽ không thay đổi nếu các vectơ được sắp xếp lại:

• Tích vô hướng của các vectơ khác 0 chỉ có thể bằng 0 nếu các vectơ vuông góc với nhau:

• Đối với tích vô hướng của vectơ, định luật giao hoán có giá trị trong trường hợp nhân một trong các vectơ với một số:

• Với tích vô hướng, bạn cũng có thể sử dụng tính chất phân phối của phép nhân:

Góc giữa các vectơ

Trong trường hợp bài toán mặt phẳng, có thể tìm tích vô hướng của vectơ a = (a x; a y) và b = (b x; b y) bằng công thức sau:

a b = a x b x + a y b y

Công thức tích vô hướng của vectơ cho bài toán không gian

Trong trường hợp bài toán không gian, có thể tìm tích vô hướng của vectơ a = (a x; a y; a z) và b = (b x; b y; b z) bằng công thức sau:

a b = a x b x + a y b y + a z b z

Công thức tính tích vô hướng của vectơ n chiều

Trong trường hợp không gian n chiều, tích vô hướng của vectơ a = (a 1; a 2; ...; a n) và b = (b 1; b 2; ...; b n) có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức sau:

a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Tính chất của tích vô hướng của vectơ

1. Tích vô hướng của một vectơ với chính nó luôn lớn hơn hoặc bằng 0:

2. Tích vô hướng của một vectơ với chính nó bằng 0 khi và chỉ khi vectơ đó bằng vectơ 0:

một · a = 0<=>một = 0

3. Tích vô hướng của một vectơ với chính nó bằng bình phương mô đun của nó:

4. Phép nhân vô hướng có tính chất giao tiếp:

5. Nếu tích vô hướng của hai vectơ khác 0 bằng 0 thì các vectơ này trực giao:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴ b

6. (αa) b = α(a b)

7. Phép nhân vô hướng có tính phân phối:

(a + b) c = a c + b c

Ví dụ về bài toán tính tích vô hướng của vectơ

Ví dụ về tính tích vô hướng của vectơ cho bài toán mặt phẳng

Tìm tích vô hướng của các vectơ a = (1; 2) và b = (4; 8).

Giải pháp: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Tìm tích vô hướng của vectơ a và b nếu độ dài của chúng |a| = 3, |b| = 6 và góc giữa các vectơ là 60˚.

Giải pháp: một · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Tìm tích vô hướng của các vectơ p = a + 3b và q = 5a - 3 b nếu độ dài của chúng |a| = 3, |b| = 2, và góc giữa các vectơ a và b là 60˚.

Giải pháp:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 |a| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 = 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Ví dụ tính tích vô hướng của vectơ cho bài toán không gian

Tìm tích vô hướng của các vectơ a = (1; 2; -5) và b = (4; 8; 1).

Giải pháp: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Ví dụ tính tích số chấm cho vectơ n chiều

Tìm tích vô hướng của các vectơ a = (1; 2; -5; 2) và b = (4; 8; 1; -2).

Giải pháp: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Tích chéo của vectơ và vectơ được gọi là vectơ thứ ba , được định nghĩa như sau:

2) vuông góc, vuông góc. (1"")

3) các vectơ được định hướng giống như cơ sở của toàn bộ không gian (dương hoặc âm).

Chỉ định: .

Ý nghĩa vật lý của sản phẩm vector

- mô men của lực đối với điểm O; - bán kính - vectơ của điểm tác dụng lực, sau đó

Hơn nữa, nếu chúng ta di chuyển nó đến điểm O thì bộ ba sẽ được định hướng như một vectơ cơ sở.

Tích vô hướng của vectơ

Chúng ta tiếp tục giải quyết các vectơ. Ở buổi học đầu tiên Vector cho người giả Chúng ta đã xem xét khái niệm về vectơ, các hành động với vectơ, tọa độ vectơ và các vấn đề đơn giản nhất với vectơ. Nếu bạn đến trang này lần đầu tiên từ một công cụ tìm kiếm, tôi thực sự khuyên bạn nên đọc bài viết giới thiệu ở trên, vì để nắm vững tài liệu, bạn cần làm quen với các thuật ngữ và ký hiệu tôi sử dụng, có kiến ​​thức cơ bản về vectơ và có khả năng giải quyết các vấn đề cơ bản. Bài học này là sự tiếp nối hợp lý của chủ đề và trong đó tôi sẽ phân tích chi tiết các nhiệm vụ điển hình sử dụng tích vô hướng của vectơ. Đây là một hoạt động RẤT QUAN TRỌNG.. Cố gắng đừng bỏ qua các ví dụ; chúng đi kèm với một phần thưởng hữu ích - thực hành sẽ giúp bạn củng cố tài liệu bạn đã học và giải quyết các vấn đề phổ biến trong hình học giải tích tốt hơn.

Cộng vectơ, nhân vectơ với một số.... Sẽ là ngây thơ nếu nghĩ rằng các nhà toán học chưa nghĩ ra được điều gì khác. Ngoài các hành động đã được thảo luận, còn có một số thao tác khác với vectơ, cụ thể là: tích số chấm của vectơ, tích vector của vectơ Và tích hỗn hợp của vectơ. Tích vô hướng của vectơ đã quen thuộc với chúng ta từ thời đi học; hai tích còn lại thường thuộc về môn toán cao cấp. Các chủ đề rất đơn giản, thuật toán giải quyết nhiều vấn đề rất đơn giản và dễ hiểu. Điều duy nhất. Có một lượng thông tin khá lớn, vì vậy việc cố gắng nắm vững và giải quyết MỌI THỨ MỘT LÚC là điều không mong muốn. Điều này đặc biệt đúng đối với những người ngu ngốc; tin tôi đi, tác giả hoàn toàn không muốn cảm thấy giống Chikatilo trong toán học. À, tất nhiên cũng không phải từ toán học =) Học sinh chuẩn bị kỹ hơn có thể sử dụng tài liệu một cách có chọn lọc, theo một nghĩa nào đó, “lấy” được những kiến ​​thức còn thiếu, đối với bạn tôi sẽ là Bá tước Dracula vô hại =)

Cuối cùng chúng ta hãy mở cửa và nhiệt tình xem điều gì sẽ xảy ra khi hai vectơ gặp nhau...

Định nghĩa tích vô hướng của vectơ.
Tính chất của tích vô hướng. Nhiệm vụ điển hình

Khái niệm về sản phẩm chấm

Đầu tiên về góc giữa các vectơ. Tôi nghĩ mọi người đều hiểu bằng trực giác góc giữa các vectơ là gì, nhưng để đề phòng, hãy chi tiết hơn một chút. Hãy xem xét các vectơ khác 0 miễn phí và . Nếu bạn vẽ các vectơ này từ một điểm tùy ý, bạn sẽ có được một bức tranh mà nhiều người đã tưởng tượng trong đầu:

Tôi thừa nhận, ở đây tôi chỉ mô tả tình huống ở mức độ hiểu biết. Nếu bạn cần một định nghĩa chặt chẽ về góc giữa các vectơ, vui lòng tham khảo sách giáo khoa; về nguyên tắc, đối với các vấn đề thực tế, nó không có ích gì cho chúng tôi. Ngoài ra TẠI ĐÂY VÀ TẠI ĐÂY tôi sẽ bỏ qua các vectơ 0 ở những nơi do chúng có ý nghĩa thực tế thấp. Tôi đã dành riêng cho những khách truy cập trang web nâng cao, những người có thể khiển trách tôi về sự không đầy đủ về mặt lý thuyết của một số tuyên bố tiếp theo.

có thể lấy các giá trị từ 0 đến 180 độ (0 đến radian), bao gồm cả giá trị này. Về mặt phân tích, thực tế này được viết dưới dạng bất đẳng thức kép: hoặc (tính bằng radian).

Trong văn học, ký hiệu góc thường bị bỏ qua và viết đơn giản.

Sự định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ là SỐ bằng tích độ dài của các vectơ này và cosin của góc giữa chúng:

Bây giờ đây là một định nghĩa khá nghiêm ngặt.

Chúng tôi tập trung vào thông tin cần thiết:

Chỉ định: tích vô hướng được ký hiệu bằng hoặc đơn giản.

Kết quả của thao tác là SỐ: Vector được nhân với vector và kết quả là một số. Thật vậy, nếu độ dài của vectơ là số thì cosin của một góc là số thì tích của chúng cũng sẽ là một con số.

Chỉ là một vài ví dụ khởi động:

ví dụ 1

Giải pháp: Chúng tôi sử dụng công thức . Trong trường hợp này:

Trả lời:

Giá trị cosine có thể được tìm thấy trong bảng lượng giác. Tôi khuyên bạn nên in nó ra - nó sẽ cần thiết ở hầu hết các phần của tòa tháp và sẽ cần thiết nhiều lần.

Từ quan điểm toán học thuần túy, tích vô hướng là không thứ nguyên, nghĩa là kết quả, trong trường hợp này, chỉ là một con số và thế là xong. Từ quan điểm của các bài toán vật lý, tích vô hướng luôn có một ý nghĩa vật lý nhất định, tức là sau kết quả phải chỉ ra một đơn vị vật lý nào đó. Một ví dụ kinh điển về tính công của lực có thể được tìm thấy trong bất kỳ sách giáo khoa nào (công thức chính xác là tích vô hướng). Công của một lực được đo bằng Joules nên đáp án sẽ được viết khá cụ thể, ví dụ: .

Ví dụ 2

Tìm nếu , và góc giữa các vectơ bằng .

Đây là ví dụ để các bạn tự giải, đáp án ở cuối bài.

Góc giữa vectơ và giá trị tích số chấm

Trong Ví dụ 1, tích vô hướng hóa ra là dương và trong Ví dụ 2, nó hóa ra là âm. Chúng ta hãy tìm hiểu dấu của tích vô hướng phụ thuộc vào điều gì. Hãy nhìn vào công thức của chúng tôi: . Độ dài của vectơ khác 0 luôn dương: , do đó dấu chỉ có thể phụ thuộc vào giá trị của cosin.

Ghi chú: Để hiểu rõ hơn về thông tin dưới đây, tốt hơn hết bạn nên nghiên cứu biểu đồ cosin trong sách hướng dẫn Đồ thị hàm số và thuộc tính. Xem cách cosin hoạt động trên đoạn này.

Như đã lưu ý, góc giữa các vectơ có thể thay đổi trong , có thể xảy ra các trường hợp sau:

1) Nếu góc giữa các vectơ cay: (từ 0 đến 90 độ), sau đó , Và tích số chấm sẽ dương đồng đạo diễn, thì góc giữa chúng được coi là bằng 0 và tích vô hướng cũng sẽ dương. Vì , công thức đơn giản hóa: .

2) Nếu góc giữa các vectơ cùn: (từ 90 đến 180 độ), sau đó , và tương ứng, tích chấm là âm: . Trường hợp đặc biệt: nếu vectơ hướng ngược nhau, khi đó góc giữa chúng được coi là mở rộng: (180 độ). Tích vô hướng cũng âm, vì

Các phát biểu ngược lại cũng đúng:

1) Nếu , thì góc giữa các vectơ này là nhọn. Ngoài ra, các vectơ là đồng hướng.

2) Nếu , thì góc giữa các vectơ này là tù. Ngoài ra, các vectơ có hướng ngược nhau.

Nhưng trường hợp thứ ba được đặc biệt quan tâm:

3) Nếu góc giữa các vectơ thẳng: (90 độ), thì tích vô hướng bằng 0: . Điều ngược lại cũng đúng: nếu , thì . Tuyên bố có thể được xây dựng ngắn gọn như sau: Tích vô hướng của hai vectơ bằng 0 khi và chỉ khi các vectơ trực giao. Ký hiệu toán học ngắn gọn:

! Ghi chú : Hãy lặp lại cơ bản của logic toán học: Biểu tượng hệ quả logic hai mặt thường được đọc là "nếu và chỉ nếu", "nếu và chỉ nếu". Như bạn có thể thấy, các mũi tên hướng theo cả hai hướng - “từ đây theo sau, và ngược lại - từ đó theo sau”. Nhân tiện, sự khác biệt so với biểu tượng theo dõi một chiều là gì? Biểu tượng nêu rõ chỉ thế thôi, rằng “từ cái này đến cái kia”, và thực tế không phải điều ngược lại mới đúng. Ví dụ: , nhưng không phải con vật nào cũng là con báo nên trong trường hợp này bạn không thể sử dụng biểu tượng. Đồng thời, thay vì biểu tượng Có thể sử dụng biểu tượng một mặt. Ví dụ, trong khi giải bài toán, chúng tôi phát hiện ra rằng chúng tôi đã kết luận rằng các vectơ là trực giao: - một mục như vậy sẽ chính xác và thậm chí còn phù hợp hơn .

Trường hợp thứ ba có ý nghĩa thực tiễn lớn, vì nó cho phép bạn kiểm tra xem vectơ có trực giao hay không. Chúng ta sẽ giải quyết vấn đề này trong phần thứ hai của bài học.

Thuộc tính của sản phẩm chấm

Hãy quay lại trường hợp hai vectơ đồng đạo diễn. Trong trường hợp này, góc giữa chúng bằng 0, và công thức tích vô hướng có dạng: .

Điều gì xảy ra nếu một vectơ được nhân với chính nó? Rõ ràng là vectơ thẳng hàng với chính nó nên chúng ta sử dụng công thức đơn giản hóa ở trên:

Số đó được gọi là bình phương vô hướng vectơ và được ký hiệu là .

Như vậy, bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đã cho:

Từ đẳng thức này, chúng ta có thể thu được công thức tính độ dài của vectơ:

Cho đến nay điều đó có vẻ chưa rõ ràng, nhưng mục tiêu của bài học sẽ đặt mọi thứ vào đúng vị trí của nó. Để giải quyết vấn đề chúng ta cũng cần tính chất của tích số chấm.

Đối với các vectơ tùy ý và bất kỳ số nào, các thuộc tính sau là đúng:

1) – giao hoán hoặc giao hoán luật tích vô hướng.

2) – phân phối hoặc phân phối luật tích vô hướng. Đơn giản, bạn có thể mở dấu ngoặc.

3) - kết hợp hoặc liên tưởng luật tích vô hướng. Hằng số có thể được suy ra từ tích vô hướng.

Thông thường, tất cả các loại tính chất (cũng cần phải được chứng minh!) đều bị học sinh coi là rác rưởi không cần thiết, chỉ cần ghi nhớ và quên đi ngay sau kỳ thi. Có vẻ như điều quan trọng ở đây là mọi người đã biết từ lớp 1 rằng việc sắp xếp lại các thừa số không làm thay đổi tích: . Tôi phải cảnh báo bạn rằng trong toán học cao hơn, mọi thứ rất dễ bị rối tung với cách tiếp cận như vậy. Vì vậy, ví dụ, tính chất giao hoán không đúng với ma trận đại số. Nó cũng không đúng đối với tích vector của vectơ. Vì vậy, ở mức tối thiểu, tốt hơn là bạn nên đi sâu vào bất kỳ tính chất nào mà bạn gặp trong một khóa học toán cao hơn để hiểu những gì bạn có thể làm và những gì bạn không thể làm.

Ví dụ 3

.

Giải pháp:Đầu tiên, hãy làm rõ tình huống với vectơ. Dù sao thì đây là gì? Tổng các vectơ là một vectơ được xác định rõ, được ký hiệu là . Có thể tìm thấy cách giải thích hình học của các hành động với vectơ trong bài viết Vector cho người giả. Cùng một mùi tây với một vectơ là tổng của các vectơ và .

Vì vậy, theo điều kiện cần tìm tích vô hướng. Về lý thuyết, bạn cần áp dụng công thức làm việc , nhưng vấn đề là chúng ta không biết độ dài của vectơ và góc giữa chúng. Nhưng điều kiện đưa ra các tham số tương tự cho vectơ, vì vậy chúng ta sẽ thực hiện một lộ trình khác:

(1) Thay thế biểu thức của vectơ.

(2) Chúng ta mở ngoặc theo quy tắc nhân đa thức, có thể tìm thấy một câu nói tục tĩu trong bài viết Số phức hoặc Tích phân hàm hữu tỷ. Tôi sẽ không lặp lại nữa =) Nhân tiện, tính chất phân phối của tích vô hướng cho phép chúng ta mở ngoặc. Chúng tôi có quyền.

(3) Trong số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng, chúng ta viết gọn bình phương vô hướng của các vectơ: . Trong thuật ngữ thứ hai, chúng tôi sử dụng tính giao hoán của tích vô hướng: .

(4) Chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự: .

(5) Trong thuật ngữ đầu tiên, chúng tôi sử dụng công thức bình phương vô hướng, đã được đề cập cách đây không lâu. Theo đó, trong thuật ngữ cuối cùng, điều tương tự cũng xảy ra: . Chúng tôi mở rộng số hạng thứ hai theo công thức tiêu chuẩn .

(6) Thay thế các điều kiện này , và thực hiện các tính toán cuối cùng một cách CẨN THẬN.

Trả lời:

Giá trị âm của tích vô hướng cho biết thực tế rằng góc giữa các vectơ là tù.

Vấn đề là điển hình, đây là một ví dụ để tự giải quyết:

Ví dụ 4

Tìm tích vô hướng của vectơ và nếu biết rằng .

Bây giờ là một nhiệm vụ phổ biến khác, chỉ dành cho công thức mới tính độ dài của vectơ. Ký hiệu ở đây sẽ hơi chồng chéo một chút, vì vậy để rõ ràng, tôi sẽ viết lại nó bằng một chữ cái khác:

Ví dụ 5

Tìm độ dài của vectơ nếu .

Giải pháp sẽ như sau:

(1) Chúng tôi cung cấp biểu thức cho vectơ .

(2) Chúng ta sử dụng công thức độ dài: , và toàn bộ biểu thức ve đóng vai trò là vectơ “ve”.

(3) Chúng tôi sử dụng công thức trường học để tính bình phương của tổng. Hãy chú ý cách nó hoạt động ở đây một cách kỳ lạ: – trên thực tế, nó là bình phương của hiệu, và trên thực tế, nó là như vậy. Những ai muốn có thể sắp xếp lại các vectơ: - điều tương tự cũng xảy ra cho đến việc sắp xếp lại các số hạng.

(4) Những gì sau đây đã quen thuộc với hai bài toán trước.

Trả lời:

Vì chúng ta đang nói về chiều dài, đừng quên chỉ ra thứ nguyên - “đơn vị”.

Ví dụ 6

Tìm độ dài của vectơ nếu .

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Chúng tôi tiếp tục thu thập những thứ hữu ích từ sản phẩm chấm. Hãy nhìn lại công thức của chúng tôi một lần nữa . Sử dụng quy tắc tỷ lệ, chúng ta đặt lại độ dài của vectơ về mẫu số ở phía bên trái:

Hãy trao đổi các phần:

Ý nghĩa của công thức này là gì? Nếu biết độ dài của hai vectơ và tích vô hướng của chúng, thì cosin của góc giữa các vectơ này và do đó có thể tính được chính góc đó.

Tích số chấm có phải là một số không? Con số. Độ dài vectơ có phải là số không? Những con số. Điều này có nghĩa là một phân số cũng là một số. Và nếu biết cosin của góc: , khi đó sử dụng hàm nghịch đảo sẽ dễ dàng tìm được góc đó: .

Ví dụ 7

Tìm góc giữa các vectơ và nếu biết điều đó .

Giải pháp: Chúng tôi sử dụng công thức:

Ở giai đoạn tính toán cuối cùng, một kỹ thuật kỹ thuật đã được sử dụng - loại bỏ sự bất hợp lý ở mẫu số. Để loại bỏ sự bất hợp lý, tôi nhân tử số và mẫu số với .

Do đó, nếu , Cái đó:

Giá trị của hàm lượng giác nghịch đảo có thể tìm được bằng cách bảng lượng giác. Mặc dù điều này hiếm khi xảy ra. Trong các bài toán hình học giải tích, thường có một số vấn đề vụng về như , và giá trị của góc phải được tìm gần đúng bằng máy tính. Trên thực tế, chúng ta sẽ thấy một hình ảnh như vậy nhiều lần.

Trả lời:

Một lần nữa, đừng quên chỉ ra kích thước - radian và độ. Cá nhân tôi, để “giải quyết tất cả các câu hỏi” một cách rõ ràng, tôi thích chỉ ra cả hai (tất nhiên trừ khi điều kiện yêu cầu chỉ trình bày câu trả lời bằng radian hoặc chỉ tính bằng độ).

Bây giờ bạn có thể độc lập đối phó với một nhiệm vụ phức tạp hơn:

Ví dụ 7*

Cho trước độ dài của vectơ và góc giữa chúng. Tìm góc giữa các vectơ , .

Nhiệm vụ này không quá khó vì nó có nhiều bước.
Hãy xem thuật toán giải pháp:

1) Theo điều kiện cần tìm góc giữa hai vectơ và , do đó cần sử dụng công thức .

2) Tìm tích vô hướng (xem Ví dụ số 3, 4).

3) Tìm độ dài của vectơ và độ dài của vectơ (xem Ví dụ số 5, 6).

4) Kết thúc của lời giải trùng với Ví dụ số 7 - Ta biết số , nghĩa là dễ dàng tìm được góc:

Lời giải và đáp án ngắn gọn ở cuối bài.

Phần thứ hai của bài học được dành cho tích vô hướng tương tự. Tọa độ. Nó sẽ còn dễ dàng hơn trong phần đầu tiên.

Tích vô hướng của vectơ,
được cho bởi tọa độ trên cơ sở trực giao

Trả lời:

Không cần phải nói, việc xử lý tọa độ dễ chịu hơn nhiều.

Ví dụ 14

Tìm tích vô hướng của vectơ và nếu

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Ở đây bạn có thể sử dụng tính kết hợp của phép toán, nghĩa là không tính mà ngay lập tức lấy bội ba bên ngoài tích vô hướng và nhân nó với nó lần cuối. Đáp án và đáp án ở cuối bài.

Ở cuối phần này, một ví dụ thú vị về cách tính độ dài của vectơ:

Ví dụ 15

Tìm độ dài của vectơ , Nếu như

Giải pháp: Phương pháp của phần trước lại tự gợi ý: nhưng có một cách khác:

Hãy tìm vectơ:

Và chiều dài của nó theo công thức tầm thường :

Tích số chấm không liên quan gì ở đây cả!

Nó cũng không hữu ích khi tính độ dài của vectơ:
Dừng lại. Chúng ta có nên tận dụng tính chất hiển nhiên của độ dài vectơ không? Bạn có thể nói gì về độ dài của vectơ? Vectơ này dài hơn vectơ 5 lần. Hướng ngược lại, nhưng điều này không quan trọng, bởi vì chúng ta đang nói về chiều dài. Rõ ràng độ dài của vectơ bằng tích mô-đun số trên mỗi chiều dài vectơ:
– dấu mô đun “ăn” số âm có thể có của số đó.

Như vậy:

Trả lời:

Công thức cosin của góc giữa các vectơ được xác định bằng tọa độ

Bây giờ chúng ta đã có thông tin đầy đủ để sử dụng công thức dẫn xuất trước đó cho cosin của góc giữa các vectơ thể hiện qua tọa độ vectơ:

Cosin của góc giữa các vectơ phẳng và , được xác định trên cơ sở trực chuẩn, được thể hiện bằng công thức:
.

Cosin của góc giữa các vectơ không gian, được xác định trên cơ sở trực chuẩn, được thể hiện bằng công thức:

Ví dụ 16

Cho ba đỉnh của một tam giác. Tìm (góc đỉnh).

Giải pháp: Theo điều kiện thì không bắt buộc phải vẽ nhưng vẫn:

Góc yêu cầu được đánh dấu bằng một vòng cung màu xanh lá cây. Chúng ta hãy nhớ ngay tên trường của một góc: – đặc biệt chú ý đến trung bình chữ cái - đây là đỉnh của góc chúng ta cần. Để ngắn gọn, bạn cũng có thể viết đơn giản .

Từ hình vẽ, có thể thấy rõ rằng góc của tam giác trùng với góc giữa các vectơ và nói cách khác: .

Đó là khuyến khích để học cách thực hiện phân tích về mặt tinh thần.

Hãy tìm các vectơ:

Hãy tính tích vô hướng:

Và độ dài của vectơ:

Cosin của góc:

Đây chính xác là thứ tự hoàn thành nhiệm vụ mà tôi đề xuất cho những người mới bắt đầu. Những độc giả nâng cao hơn có thể viết các phép tính “trong một dòng”:

Đây là một ví dụ về giá trị cosin “xấu”. Giá trị kết quả không phải là giá trị cuối cùng, do đó việc loại bỏ tính vô tỷ ở mẫu số chẳng có ý nghĩa gì.

Hãy tìm góc đó:

Nếu bạn nhìn vào bản vẽ, kết quả khá hợp lý. Để kiểm tra, góc cũng có thể được đo bằng thước đo góc. Đừng làm hỏng vỏ màn hình =)

Trả lời:

Trong câu trả lời chúng ta đừng quên rằng hỏi về góc của tam giác(và không nói về góc giữa các vectơ), đừng quên chỉ ra câu trả lời chính xác: và giá trị gần đúng của góc: , được tìm thấy bằng máy tính.

Những người thích thú với quá trình này có thể tính toán các góc và xác minh tính hợp lệ của đẳng thức kinh điển

Ví dụ 17

Một tam giác được xác định trong không gian bởi tọa độ các đỉnh của nó. Tìm góc giữa hai cạnh và

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài

Phần cuối cùng ngắn sẽ được dành cho các phép chiếu, cũng liên quan đến tích vô hướng:

Chiếu một vectơ lên ​​một vectơ. Chiếu một vectơ lên ​​các trục tọa độ.
cosin chỉ phương của một vectơ

Xét các vectơ và:

Hãy chiếu vectơ lên ​​vectơ; để làm điều này, chúng ta bỏ qua phần đầu và phần cuối của vectơ vuông góc sang vector (đường chấm màu xanh lá cây). Hãy tưởng tượng rằng các tia sáng rơi vuông góc với vectơ. Khi đó đoạn (đường màu đỏ) sẽ là “bóng” của vectơ. Trong trường hợp này, hình chiếu của vectơ lên ​​vectơ là LENGTH của đoạn. Nghĩa là, CHIẾU LÀ MỘT SỐ.

SỐ này được ký hiệu như sau: , “vectơ lớn” biểu thị vectơ CÁI MÀ dự án, “vectơ chỉ số nhỏ” biểu thị vectơ TRÊNđược dự kiến.

Bản thân mục này có nội dung như sau: “hình chiếu của vectơ “a” lên vectơ “be”.

Điều gì xảy ra nếu vectơ "be" "quá ngắn"? Chúng ta vẽ một đường thẳng chứa vectơ “be”. Và vectơ “a” sẽ được chiếu rồi theo hướng của vectơ "be", đơn giản - đến đường thẳng chứa vectơ “be”. Điều tương tự sẽ xảy ra nếu vectơ “a” bị hoãn lại ở vương quốc thứ ba mươi - nó vẫn sẽ dễ dàng được chiếu lên đường thẳng chứa vectơ “be”.

Nếu góc giữa các vectơ cay(như trong hình) thì

Nếu các vectơ trực giao, thì (hình chiếu là một điểm có kích thước được coi là bằng 0).

Nếu góc giữa các vectơ cùn(trong hình, hãy sắp xếp lại mũi tên vectơ), sau đó (có cùng độ dài, nhưng được lấy bằng dấu trừ).

Chúng ta hãy vẽ các vectơ này từ một điểm:

Rõ ràng khi vectơ chuyển động thì hình chiếu của nó không thay đổi