Phương trình Maxwell là định luật tổng dòng điện. Phương trình Maxwell và ý nghĩa vật lý của chúng

Hệ phương trình Maxwell là sự tổng quát các quy luật cơ bản của các hiện tượng điện và điện từ. Cô ấy mô tả mọi điều hiện tượng điện từ. Là cơ sở của lý thuyết trường điện từ, hệ phương trình này cho phép giải các bài toán liên quan đến việc tìm điện trường và từ trường được tạo ra bởi sự phân bố cho trước của điện tích và dòng điện. Phương trình Maxwell là điểm khởi đầu cho thuyết tương đối rộng của Einstein. Lý thuyết của Maxwell tiết lộ bản chất điện từ của ánh sáng. Các phương trình được J. Maxwell xây dựng vào những năm 60 của thế kỷ 19 trên cơ sở tổng quát các quy luật thực nghiệm và sự phát triển ý tưởng của các nhà khoa học đã nghiên cứu các hiện tượng điện từ trước ông (các định luật Coulomb, Biot-Savart, Ampère và , đặc biệt là các nghiên cứu của Faraday). Bản thân Maxwell đã viết ra 20 phương trình với 20 ẩn số dưới dạng vi phân, sau này được biến đổi. Dạng hiện đại của Maxwell được đưa ra bởi nhà vật lý người Đức G. Hertz và nhà vật lý người Anh O. Heaviside. Chúng tôi viết các phương trình bằng cách sử dụng hệ thống đơn vị Gauss.

Hệ phương trình Maxwell

Hệ phương trình Maxwell bao gồm bốn phương trình.

Phương trình đầu tiên:

Đây là Định luật Faraday (Định luật cảm ứng điện từ).

cường độ điện trường là vectơ cảm ứng từ, c là tốc độ ánh sáng trong chân không.

Phương trình này nói rằng độ cong của cường độ điện trường bằng từ thông (tức là tốc độ thay đổi theo thời gian) của vectơ cảm ứng từ qua mạch này. Phương trình (1.1) là phương trình bậc nhất của Maxwell ở dạng vi phân.

Phương trình tương tự có thể được viết dưới dạng tích phân, sau đó nó sẽ có dạng sau:

đâu là hình chiếu lên pháp tuyến lên diện tích dS của vectơ cảm ứng từ,

- từ thông.

cơm. 2.

Sự tuần hoàn của vectơ cường độ điện trường dọc theo một vòng kín L (emf cảm ứng) được xác định bởi tốc độ thay đổi từ thông của vectơ cảm ứng từ qua bề mặt giới hạn bởi vòng này. Dấu trừ theo quy tắc Lenz có nghĩa là chiều của dòng điện cảm ứng.

Theo Maxwell, định luật cảm ứng điện từ (và đây chính xác là nó) có giá trị đối với bất kỳ mạch điện kín nào, được chọn tùy ý trong từ trường xoay chiều.

Ý nghĩa của phương trình này: Một từ trường biến thiên tại một điểm bất kỳ trong không gian sẽ tạo ra một điện trường xoáy.

Trong đó là vectơ cường độ từ, là mật độ dòng điện, là vectơ dịch chuyển điện.

Phương trình Maxwell này là sự tổng quát của định luật thực nghiệm Biot-Savart rằng từ trường bị kích thích bởi dòng điện. Ý nghĩa của phương trình thứ hai là nguồn của từ trường xoáy cũng là một điện trường xoay chiều, tác dụng từ của nó được đặc trưng bởi dòng chuyển dời. (mật độ dòng điện dịch chuyển).

Ở dạng tích phân, phương trình thứ hai của Maxwell (Định lý tuần hoàn từ trường) được biểu diễn như sau:

Sự tuần hoàn của véc tơ cường độ từ trường dọc theo một đoạn mạch tùy ý bằng tổng đại số của các dòng điện dẫn và dòng chuyển dời trong mạch.

Khi Maxwell đưa ra các phương trình (hơn một trăm năm trước!), Bản chất của trường điện từ vẫn chưa rõ ràng. Hiện tại, bản chất của lĩnh vực này đã được làm rõ, và nó đã trở nên rõ ràng những gì có thể được gọi là "hiện tại" chỉ về mặt hình thức. Vì một số lý do tính toán, một cái tên như vậy, không mang lại ý nghĩa vật lý trực tiếp cho nó, cần được giữ lại, điều này được thực hiện trong kỹ thuật điện. Vì lý do tương tự, vectơ D có trong biểu thức của dòng chuyển dời được gọi là vectơ dịch chuyển điện.

Ngoài hai phương trình đầu tiên, hệ phương trình Maxwell bao gồm định lý Gauss-Ostrogradsky cho điện trường và từ trường:

mật độ điện tích ở đâu.

Dạng tích phân nào sau đây:

trong đó - thông lượng dịch chuyển của điện - thông lượng cảm ứng từ qua một mặt kín phủ một điện tích q tự do.

Ý nghĩa của phương trình 3.2. Điện tích là nguồn cảm ứng điện.

Phương trình 4.2 biểu thị thực tế là không có điện tích từ tự do.

Hệ thống hoàn chỉnh của phương trình Maxwell ở dạng vi phân (đặc trưng cho trường tại mỗi điểm trong không gian):

Hoàn thành hệ phương trình Maxwell ở dạng tích phân

Hệ thống đầy đủ các phương trình Maxwell ở dạng tích phân (dạng tích phân của việc viết phương trình tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải thích vật lý của chúng vì nó làm cho chúng gần gũi hơn với các định luật thực nghiệm đã biết):

Hệ phương trình của Maxwell được bổ sung với "phương trình vật chất", kết nối các vectơ với các đại lượng mô tả các đặc tính điện và từ của môi trường.

trong đó là độ cho phép tương đối, là độ từ thẩm tương đối, là độ dẫn điện, là hằng số điện và là hằng số từ. Môi trường được giả định là đẳng hướng, không sắt từ, không sắt điện.

Tại mặt phân cách giữa hai phương tiện, các điều kiện biên sau được thỏa mãn:

trong đó mật độ bề mặt của các điện tích tự do, n là vectơ đơn vị của pháp tuyến đối với mặt phân cách vẽ từ môi trường 2 đến 1, vectơ đơn vị tiếp tuyến với mặt phân cách là hình chiếu của vectơ mật độ của các dòng điện trên bề mặt lên vectơ đơn vị .

Các phương trình này biểu thị tính liên tục của các thành phần pháp tuyến của vectơ cảm ứng từ và bước nhảy của các thành phần pháp tuyến của vectơ độ dời. Tính liên tục của các thành phần tiếp tuyến của vectơ cường độ điện trường tại mặt phân cách và bước nhảy của các thành phần này đối với cường độ từ trường.

Ví dụ về giải quyết vấn đề

VÍ DỤ 1

Tập thể dục

Từ hệ phương trình Maxwell, thu được phương trình về tính liên tục của dòng điện và định luật bảo toàn điện tích.

Dung dịch

Chúng tôi sử dụng phương trình: Hãy thực hiện một phép toán phân kỳ (hoặc) cho nó. Chúng tôi nhận được: từ hệ phương trình Maxwell, chúng ta biết rằng, (c) Thay (c) vào (b) ta được: điều này nghĩa là hoặc ở dạng tích phân: Do đó, đối với các vùng bị cô lập đã đóng cửa, chúng tôi nhận được: Đây là một phương trình liên tục của dòng điện, chứa định luật bảo toàn điện tích - một trong những nguyên tắc cơ bản, được xác nhận bằng thực nghiệm.

trong một môi trường tùy ý. Phương trình Maxwell công thức của J.K. Maxwell vào những năm 60 của thế kỷ 19 trên cơ sở khái quát các quy luật thực nghiệm của các hiện tượng điện và từ. Dựa trên các định luật này và phát triển ý tưởng hiệu quả của M. Faraday rằng tương tác giữa các vật mang điện được thực hiện thông qua trường điện từ , Maxwell đã tạo ra lý thuyết về các quá trình điện từ, được biểu thị bằng toán học Phương trình Maxwell Hình thức hiện đại Phương trình Maxwell do nhà vật lý người Đức G đưa ra. Hertz và nhà vật lý người Anh Ô. Heaviside.

Phương trình Maxwell chúng liên kết các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ với các nguồn của nó, nghĩa là với sự phân bố điện tích và dòng điện trong không gian. Trong chân không, trường điện từ được đặc trưng bởi hai đại lượng vectơ phụ thuộc vào tọa độ không gian và thời gian: cường độ điện trường E và cảm ứng từ TẠI. Các đại lượng này xác định các lực tác dụng từ trường lên các điện tích và dòng điện, sự phân bố của chúng trong không gian được cho bởi mật độ điện tích r (điện tích trên một đơn vị thể tích) và mật độ dòng điện. j(một điện tích truyền trong một đơn vị thời gian qua một đơn vị diện tích vuông góc với phương chuyển động của các điện tích). Để mô tả các quá trình điện từ trong môi trường vật chất (trong vật chất), ngoại trừ vectơ E và TẠI, các đại lượng vectơ phụ được đưa vào, phụ thuộc vào trạng thái và tính chất của môi trường: cảm ứng điện D và cường độ từ trường H.

Phương trình Maxwell cho phép xác định các đặc điểm chính của trường ( E, B, D và H) tại mỗi điểm trong không gian tại bất kỳ thời điểm nào, nếu các nguồn của trường được biết j và r là hàm của tọa độ và thời gian. Phương trình Maxwell có thể được viết dưới dạng tích phân hoặc vi phân (chúng được đưa ra dưới đây trong hệ thống đơn vị Gaussian tuyệt đối; xem bên dưới). cgs hệ thống các đơn vị ).

Phương trình Maxwellở dạng tích phân, bản thân các vectơ trường không được xác định bởi các điện tích và dòng điện đã cho E, B, D, H tại các điểm riêng biệt trong không gian và một số đại lượng tích phân tùy thuộc vào sự phân bố của các đặc trưng trường này: vòng tuần hoàn vectơ E và H dọc theo các đường viền khép kín tùy ý và dòng suối vectơ D và qua các bề mặt đóng tùy ý.

Ngày thứ nhất Phương trình Maxwell là một sự tổng quát hóa cho các trường biến của kinh nghiệm Luật Amp về sự kích thích của từ trường bởi dòng điện. Maxwell đưa ra giả thuyết rằng từ trường được tạo ra không chỉ bởi dòng điện chạy trong vật dẫn, mà còn do điện trường xoay chiều trong chất điện môi hoặc chân không. Giá trị tỷ lệ với tốc độ thay đổi của điện trường theo thời gian được Maxwell gọi là dòng dịch chuyển. Dòng chuyển dời kích thích từ trường theo cùng quy luật với dòng dẫn (sau này điều này đã được thực nghiệm xác nhận). Dòng điện toàn phần, bằng tổng dòng điện dẫn và dòng chuyển dời, luôn đóng.

Ngày thứ nhất Phương trình Maxwell giống như:

nghĩa là, sự tuần hoàn của vectơ cường độ từ trường dọc theo một vòng kín L(tổng các tích số chấm của vectơ H tại một điểm nhất định của đường bao đến một phân đoạn nhỏ dlđường viền) được xác định bằng tổng dòng điện qua một bề mặt tùy ý j n- dự báo mật độ dòng điện dẫn j bình thường đến một khu vực nhỏ vô hạn ds, là một phần của bề mặt S, là hình chiếu của mật độ dòng dịch chuyển lên cùng một pháp tuyến, và Với= 3 × 10 10 cm / giây - một hằng số bằng vận tốc lan truyền của tương tác điện từ trong chân không.

Thứ hai Phương trình Maxwell là công thức toán học của định luật cảm ứng điện từ Faraday (xem. Cảm ứng điện từ ) được viết là:

, (1, b)

nghĩa là, sự tuần hoàn của vectơ cường độ điện trường dọc theo một vòng kín L(emf của cảm ứng) được xác định bằng tốc độ thay đổi từ thông của vectơ cảm ứng từ qua bề mặt S bị giới hạn bởi đường bao này. Nơi đây N- chiếu bình thường lên trang web ds vectơ cảm ứng từ TẠI; dấu trừ phù hợp Quy tắc Lenz đối với chiều của dòng điện cảm ứng.

Ngày thứ ba Phương trình Maxwell biểu thị dữ liệu thực nghiệm về sự vắng mặt của các điện tích từ tương tự như các điện tích (từ trường chỉ được tạo ra bởi dòng điện):

nghĩa là từ thông của vectơ cảm ứng từ qua một bề mặt đóng tùy ý S bằng không.

thứ tư Phương trình Maxwell(Thường được gọi là Định lý Gauss ) là sự tổng quát của quy luật tương tác của các điện tích cố định - Mặt dây chuyền luật :

, (1, d)

nghĩa là dòng của vectơ cảm ứng điện qua một bề mặt đóng tùy ý Sđược xác định bởi điện tích nằm bên trong bề mặt này (trong thể tích giới hạn bởi bề mặt này).

Nếu chúng ta giả sử rằng các vectơ của trường điện từ ( E, B, D, H) là các hàm liên tục của tọa độ, khi đó, xét sự tuần hoàn của vectơ H và E dọc theo các đường viền vô cùng nhỏ và các dòng vectơ và D thông qua các bề mặt giới hạn các thể tích vô cùng nhỏ, người ta có thể đi từ quan hệ tích phân (1, a - d) đến một hệ phương trình vi phân có giá trị tại mọi điểm trong không gian, nghĩa là thu được một dạng vi phân Phương trình Maxwell(thường thuận tiện hơn cho việc giải quyết các vấn đề khác nhau):

thúi ,

Ở đây rot và div là các toán tử rôto vi sai (xem bên dưới). Xoáy ) và phân kỳ hành động trên vectơ H, E, và D. Ý nghĩa vật lý của phương trình (2) cũng giống như phương trình (1).

Phương trình Maxwellở dạng (1) hoặc (2) không tạo thành một hệ thống hoàn chỉnh khép kín cho phép tính toán các quá trình điện từ trong điều kiện có môi trường vật chất. Cần bổ sung cho chúng quan hệ nối các vectơ E, H, D, B và j, không độc lập. Kết nối giữa các vectơ này được xác định bởi các thuộc tính của môi trường và trạng thái của nó, và D và j thể hiện qua E, một - xuyên qua H:

D = D(E), = (H), j = j(E). (3)

Ba phương trình này được gọi là phương trình trạng thái, hay phương trình vật chất; chúng mô tả các đặc tính điện từ của môi trường và có dạng cụ thể cho từng môi trường cụ thể. trong chân không Dº E và º H. Tập hợp các phương trình trường (2) và phương trình trạng thái (3) tạo thành một hệ phương trình hoàn chỉnh.

vĩ mô Phương trình Maxwell mô tả môi trường một cách hiện tượng, mà không xem xét cơ chế tương tác phức tạp của trường điện từ với các hạt mang điện của môi trường. Phương trình Maxwell có thể được lấy từ Lorentz - Phương trình Maxwell cho các trường vi mô và một số ý tưởng nhất định về cấu trúc của vật chất bằng cách lấy trung bình các trường vi mô trong các khoảng thời gian không gian nhỏ. Bằng cách này, thu được cả phương trình trường cơ bản (2) và dạng cụ thể của phương trình trạng thái (3), và dạng của phương trình trường không phụ thuộc vào các thuộc tính của môi trường.

Các phương trình trạng thái nói chung rất phức tạp, vì các vectơ D, và j tại một điểm nhất định trong không gian tại một thời điểm nhất định có thể phụ thuộc vào các trường E và H tại tất cả các điểm trong môi trường tại tất cả các thời điểm trước đó. Trong một số môi trường, vectơ D và có thể khác 0 E và bằng 0 ( chất sắt và sắt từ ). Tuy nhiên, đối với hầu hết các phương tiện đẳng hướng, cho đến các trường rất mạnh, các phương trình trạng thái có dạng tuyến tính đơn giản:

D= e E, = m H, j= s E+ j CTR. (bốn)

Đây e ( XYZ) - hằng số điện môi , và M ( XYZ) - Tính thấm từ phương tiện truyền thông đặc trưng cho các tính chất điện và từ của nó, tương ứng (trong hệ thống đơn vị đã chọn cho chân không, e = m = 1); giá trị s ( XYZ) được gọi là độ dẫn điện; j cp là mật độ của cái gọi là dòng ngoại, nghĩa là dòng được hỗ trợ bởi bất kỳ lực nào khác với lực của điện trường (ví dụ, từ trường, khuếch tán, v.v.). Trong lý thuyết hiện tượng học của Maxwell, các đặc tính vĩ mô của đặc tính điện từ của môi trường e, m và s phải được tìm thấy bằng thực nghiệm. Trong lý thuyết Lorentz-Maxwell vi mô, chúng có thể được tính toán.

Độ thấm e và m thực sự xác định sự đóng góp vào trường điện từ, được tạo ra bởi cái gọi là điện tích liên kết là một phần của các nguyên tử và phân tử trung hòa về điện của một chất. Thực nghiệm xác định e, m, s làm cho nó có thể tính toán trường điện từ trong một môi trường mà không cần giải quyết vấn đề phụ khó khăn về sự phân bố của các điện tích liên kết và các dòng điện tương ứng trong vật chất. Mật độ phí r và mật độ dòng điện j Trong Phương trình Maxwell là mật độ của điện tích và dòng điện tự do, và các vectơ phụ H và Dđược giới thiệu để sự lưu thông của vectơ H chỉ được xác định bởi sự chuyển động của các điện tích tự do và dòng chảy của vectơ D- mật độ phân bố của các điện tích này trong không gian.

Nếu trường điện từ được xem xét trong hai phương tiện liền kề, thì trên bề mặt phân cách của chúng, các vectơ trường có thể trải qua sự gián đoạn (bước nhảy); trong trường hợp này, phương trình (2) phải được bổ sung với các điều kiện biên:

[nH] 2 - [nH] 1 = ,

[nE] 2 - [nE] 1 = 0, (5)

(nD) 2 - (nD) 1 = 4 giây,

(nB) 2 - (nB) 1 = 0.

Nơi đây j pov và s là mật độ dòng điện và điện tích bề mặt, dấu ngoặc vuông và tròn lần lượt là tích vectơ và tích vô hướng của vectơ, N- vectơ đơn vị của pháp tuyến đến mặt phân cách theo hướng từ môi trường thứ nhất đến môi trường thứ hai (1®2), và các chỉ số tham chiếu đến các mặt khác nhau của mặt phân cách.

Các phương trình cơ bản cho trường (2) là tuyến tính, trong khi các phương trình của trạng thái (3) cũng có thể là phi tuyến. Thông thường, các hiệu ứng phi tuyến được tìm thấy trong các trường đủ mạnh. Trong môi trường tuyến tính [thỏa mãn quan hệ (4)] và, đặc biệt, trong chân không Phương trình Maxwell là tuyến tính và do đó hóa ra là đúng Nguyên lý chồng chất: khi các trường được chồng lên nhau, chúng không ảnh hưởng lẫn nhau.

Từ Phương trình Maxwell một số định luật bảo toàn tuân theo. Đặc biệt, từ các phương trình (1, a) và (1, d), người ta có thể thu được quan hệ (được gọi là phương trình liên tục):

, (6)

đó là định luật bảo toàn điện tích: tổng dòng điện chạy trong một đơn vị thời gian qua bất kỳ bề mặt đóng nào S, bằng với sự thay đổi điện tích bên trong khối lượng V bị giới hạn bởi bề mặt này. Nếu không có dòng điện qua bề mặt thì điện tích không đổi.

Từ Phương trình Maxwell nó kéo theo trường điện từ có năng lượng và động lượng (động lượng). Mật độ năng lượng w (năng lượng trên một đơn vị thể tích của trường) bằng:

, (7)

Năng lượng điện từ trường có thể chuyển động trong không gian. Mật độ thông lượng năng lượng được xác định bởi cái gọi là vectơ Poynting

Hướng của vectơ Poynting là vuông góc với E, và H và trùng với hướng truyền của năng lượng điện từ, và giá trị của nó bằng năng lượng truyền trong một đơn vị thời gian qua một bề mặt đơn vị vuông góc với vectơ P. Nếu không có sự biến đổi năng lượng điện từ thành các dạng khác, thì theo Phương trình Maxwell, sự thay đổi năng lượng trong một khối lượng nhất định trong một đơn vị thời gian bằng dòng năng lượng điện từ qua bề mặt giới hạn khối lượng này. Nếu nhiệt lượng toả ra bên trong khối tích do năng lượng điện từ thì định luật bảo toàn cơ năng được viết dưới dạng:

(9)

Ở đâu Q- lượng nhiệt tỏa ra trên một đơn vị thời gian.

Mật độ động lượng trường điện từ g(động lượng trên một đơn vị thể tích của trường) liên quan đến mật độ thông lượng năng lượng theo quan hệ:

Sự tồn tại của xung trường điện từ lần đầu tiên được phát hiện bằng thực nghiệm trong các thí nghiệm của P.N. Lebedev về phép đo áp suất ánh sáng (1899).

Như có thể thấy từ (7), (8) và (10), trường điện từ luôn có năng lượng, và thông lượng năng lượng và xung điện từ chỉ khác không trong trường hợp cả điện trường và từ trường đều tồn tại đồng thời (và các trường này không song song với nhau).

Phương trình Maxwell dẫn đến kết luận cơ bản về tính hữu hạn của vận tốc lan truyền của tương tác điện từ (bằng Với= 3 × 10 10 cm / giây). Điều này có nghĩa là khi mật độ của điện tích hoặc dòng điện thay đổi tại một điểm nào đó trong không gian, trường điện từ do chúng tạo ra tại điểm quan sát không thay đổi tại cùng một thời điểm, nhưng sau một thời gian t = R / c, ở đâu R- khoảng cách từ phần tử của dòng điện hoặc điện tích đến điểm quan sát. Do tốc độ lan truyền hữu hạn của tương tác điện từ, sự tồn tại của sóng điện từ , một trường hợp đặc biệt (như Maxwell đã chỉ ra lần đầu) là sóng ánh sáng.

Hiện tượng điện từ xảy ra theo cùng một cách trong tất cả hệ quy chiếu quán tính, nghĩa là chúng thỏa mãn nguyên lý tương đối. Theo này Phương trình Maxwell không thay đổi hình dạng của chúng khi chuyển từ hệ quy chiếu quán tính này sang hệ quy chiếu quán tính khác (bất biến về mặt tương đối tính). Việc thực hiện nguyên lý tương đối đối với các quá trình điện từ hóa ra không tương thích với các khái niệm cổ điển về không gian và thời gian, đòi hỏi phải sửa đổi các khái niệm này và dẫn đến sự ra đời của thuyết tương đối hẹp (A. Einstein, Năm 1905; cm. Thuyết tương đối ). Hình thức Phương trình Maxwell không thay đổi trong quá trình chuyển đổi sang hệ quy chiếu quán tính mới, nếu không gian, tọa độ và thời gian, vectơ trường E, H, B, D, mật độ hiện tại j và mật độ điện tích r thay đổi theo Phép biến đổi Lorentz (thể hiện những ý tưởng mới, tương đối về không gian và thời gian). Dạng bất biến tương đối tính Phương trình Maxwell nhấn mạnh thực tế là điện trường và từ trường tạo thành một tổng thể duy nhất.

Phương trình Maxwell mô tả một khu vực rộng lớn của các hiện tượng. Chúng làm nền tảng cho kỹ thuật điện và vô tuyến và đóng một vai trò quan trọng trong sự phát triển của các lĩnh vực vật lý hiện đại mang tính thời sự như vật lý huyết tương và vấn đề của điều khiển phản ứng nhiệt hạch, thủy động lực học từ trường, quang học phi tuyến, sự thi công máy gia tốc hạt , vật lý thiên văn, v.v. Phương trình Maxwell chỉ không thể áp dụng được ở tần số cao của sóng điện từ, khi các hiệu ứng lượng tử trở nên đáng kể, tức là khi năng lượng của các lượng tử riêng lẻ của trường điện từ - các photon - lớn và một số lượng tương đối nhỏ các photon tham gia vào các quá trình.

Lít: Maxwell J.K., Tác phẩm chọn lọc về lý thuyết trường điện từ, dịch từ tiếng Anh, M., 1952; Tamm I. E., Các nguyên tắc cơ bản của lý thuyết về điện, xuất bản lần thứ 7, M., 1957; Kalashnikov S. G., Điện, M., 1956 (Khóa học vật lý đại cương, tập 2); Feynman R., Layton R., Sands M., Feynman Lectures on Physics, (dịch từ tiếng Anh), câu 5, 6, 7, M., 1966; Landau L. D., Lifshitz E. M., Field Theory, 5th ed., M ., 1967 (Vật lý lý thuyết, tập 2), riêng của họ, Điện động lực học của môi trường liên tục, M., 1959.

G. Ya. Myakishev.

Bài viết về từ Phương trình Maxwell"trong Bách khoa toàn thư Liên Xô vĩ đại đã được đọc 36718 lần

Phương trình Maxwell thứ ba là một tổng quát của định luật Gauss cho trường hợp các quá trình biến đổi. Định luật Gauss liên hệ dòng của vectơ dịch chuyển điện qua một bề mặt đóng tùy ý S với điện tích Q tập trung bên trong bề mặt này:

trong đó dS = n0 dS; n0 là vectơ đơn vị của pháp tuyến ngoài cùng của mặt S.

Trước Maxwell, phương trình (1.40) chỉ được coi là áp dụng cho các trường hằng số. Maxwell gợi ý rằng nó cũng hợp lệ trong trường hợp các trường biến.

Điện tích Q có thể phân bố tùy ý bên trong bề mặt S. Do đó, trong trường hợp tổng quát

trong đó ρ là mật độ điện tích thể tích; V- thể tích giới hạn bởi bề mặt S. Mật độ điện tích lớn

trong đó ΔQ là điện tích tập trung ở thể tích ΔV. Thứ nguyên ρ là một mặt dây chuyền trên mét khối (C / m3).

Thay thế (1.41) thành (1.40), chúng ta thu được

. (1.43)

Phương trình (1.43) thường được gọi là Phương trình thứ ba của Maxwell ở dạng tích phân.Để chuyển về dạng vi phân, chúng ta biến đổi vế trái của phương trình này theo định lý Ostrogradsky-Gauss (P. 19). Kết quả là, chúng tôi nhận được:

.

Sự bình đẳng này phải giữ cho một khối lượng tùy ý V, điều này chỉ có thể nếu

divD = p. (1.44)

Quan hệ (1.44) thường được gọi là phương trình thứ ba của Maxwell. Trong hệ tọa độ Descartes, nó được viết là

.

Từ đẳng thức (1.44) suy ra rằng sự phân kỳ của vectơ D là khác 0 tại những điểm đó trong không gian nơi có các điện tích tự do. Tại những điểm này, các dòng của vectơ D có điểm đầu (nguồn) hoặc điểm cuối (cống). Các vạch của vectơ D bắt đầu trên các điện tích dương và kết thúc trên các điện tích âm.

Không giống như vectơ D, các nguồn (chìm) của vectơ E có thể vừa là điện tích tự do vừa là điện tích liên kết. Để chỉ ra điều này, chúng tôi viết lại phương trình (1.44) cho vectơ E. Thay thế quan hệ (1.4) vào (1.44), chúng tôi thu được môi trường (các điện tích như vậy sẽ được gọi là phân cực):

divP = -. (1.45)

Hãy để chúng tôi giải thích sự xuất hiện của điện tích phân cực bằng cách sử dụng ví dụ sau. Để có một môi trường phân cực (Hình 1.8). Chúng ta hãy nhẩm đơn ra thể tích ΔV bên trong nó, giới hạn bởi bề mặt ΔS. Kết quả của sự phân cực trong môi trường, các điện tích liên kết với các phân tử của chất bị dịch chuyển. Nếu thể tích ΔV nhỏ và sự phân cực không đồng đều, thì nhiều điện tích có thể đi vào thể tích ΔV ở một bên hơn là thoát ra ở mặt kia (trong Hình 1.8, thể tích ΔV được thể hiện bằng một đường chấm). Chúng tôi nhấn mạnh rằng các điện tích phân cực bị "ràng buộc" và chỉ phát sinh dưới tác dụng của điện trường. Dấu trừ trong công thức (1.45) tuân theo định nghĩa của vectơ P (xem 1.2.1).

Cơm. 1.8. Môi trường phân cực

Các đường của vectơ P bắt đầu trên các điện tích âm và kết thúc trên các điện tích dương. Theo công thức (1.45), chúng ta đi đến quan hệ εоdiv Е = ρ + ρp, từ đó phát biểu trên rằng nguồn (chìm) của các vectơ Е (đường sức điện trường) đều là điện tích tự do và liên kết. .

Phương trình thứ tư của Maxwell ở dạng tích phân trùng với định luật Gauss cho từ trường, có thể được lập công thức như sau. Lưu lượng của vectơ B qua bất kỳ bề mặt đóng S nào bằng không, tức là

.(1.46)

Điều này có nghĩa là không có dòng nào của vectơ B chỉ đi vào bề mặt đóng S (hoặc ngược lại, chỉ đi ra bề mặt S): chúng luôn xuyên qua nó (Hình 1.9).

Cơm. 1.9. Các đường của vectơ B xuyên qua bề mặt S

Phương trình (1.46) được gọi là Phương trình thứ tư của Maxwell ở dạng tích phân. Người ta có thể chuyển sang dạng vi phân của phương trình (1.46) bằng cách sử dụng định lý Ostrogradsky-Gauss theo cách tương tự như nó đã được thực hiện trong trường hợp của phương trình Maxwell thứ ba. Kết quả là, chúng tôi nhận được

divB = 0. (1.47)

Phương trình (1.47) là phương trình thứ tư của Maxwell. Nó cho thấy rằng trong tự nhiên không tồn tại các điện tích từ trường đơn lẻ cùng dấu. Từ phương trình này, các đường sức của vectơ B (đường sức của từ trường) là liên tục.

Trong trường hợp điện trường và từ trường đứng yên (nghĩa là không thay đổi theo thời gian), gốc của chúng liên kết với điện tích nghỉ đối với điện trường và với dòng đứng yên đối với từ trường, các trường này độc lập với nhau, cho phép chúng được xem xét riêng biệt với nhau.

Phương trình Maxwell là hệ phương trình mô tả bản chất nguồn gốc, tính chất của điện trường và từ trường.

Phương trình Maxwell cho trường tĩnh:

Bằng cách này, Phương trình Maxwell cho trường tĩnh:

TÔI.; II. ;

III; IV. .

Đặc điểm vectơ của trường tĩnh điện và có liên quan với nhau theo quan hệ sau:

,

ở đâu là hằng số điện,  – điện môi cho phép của môi trường.

Đặc điểm vectơ của từ trường và có liên quan với nhau theo mối quan hệ sau:

,

ở đâu là hằng số từ tính, – độ từ thẩm của môi chất.

Chủ đề 8. Phương trình Maxwell cho trường điện từ

Dựa theo Lý thuyết của Maxwell về trường điện từ trong trường hợp điện trường và từ trường không đứng yên (nghĩa là thay đổi theo thời gian), các nguồn của điện trường có thể là điện tích hoặc từ trường biến thiên theo thời gian, và các nguồn của từ trường có thể chuyển động điện tích (dòng điện) hoặc điện trường xoay chiều.

Không giống như trường đứng yên, điện trường và từ trường xoay chiều không độc lập với nhau và được coi như một trường điện từ.

Phương trình Maxwell, như một hệ phương trình mô tả bản chất của nguồn gốc và tính chất của điện trường và từ trường khi nào trường điện từ giống như:

Tôi.
, nghĩa là, sự tuần hoàn của vectơ cường độ điện trường được xác định bởi tốc độ thay đổi của vectơ cảm ứng từ trường ( tốc độ thay đổi của vectơ cảm ứng ).

Phương trình này cho thấy rằng các nguồn của điện trường không chỉ có thể là điện tích mà còn có thể là từ trường biến thiên theo thời gian.

II.
, nghĩa là, từ thông của vectơ dịch chuyển điện thông qua một bề mặt đóng tùy ý S, bằng tổng đại số của các điện tích kèm theo bên trong khối Vđược giới hạn bởi một bề mặt đóng đã cho S ( là mật độ điện tích khối).

III.
, nghĩa là, tuần hoàn của vectơ cường độ dọc theo một đường bao khép kín tùy ý L được xác định bởi tổng dòng điện Tôi đầy xuyên qua bề mặt S bị giới hạn bởi một đường bao nhất định L.

- hiện tại đầy đủ Tôi đầy, bao gồm dòng điện dẫn Tôi và xu hướng hiện tại Tôi cm., đó là Tôi đầy = Tôi + Tôi cm. .

Tổng dòng dẫn Tôiđược xác định trong trường hợp chung thông qua mật độ dòng điện bề mặt j (
) tích hợp, đó là

.

Xu hướng hiện tại Tôi cm xuyên qua bề mặt S, được định nghĩa chung

trường hợp thông qua mật độ dòng điện thiên vị bề mặt
(
) tích hợp, đó là:
.

Khái niệm "dòng dịch chuyển" do Maxwell đưa ra, giá trị của nó được xác định bằng tốc độ thay đổi của vectơ dịch chuyển điện , nghĩa là, giá trị , cho thấy rằng từ trường có thể được kích thích không chỉ bằng các điện tích chuyển động (dòng dẫn điện), mà còn bằng điện trường xoay chiều.

IV.
, nghĩa là, dòng chảy của vectơ cảm ứng từ trường qua một bề mặt đóng tùy ý S bằng không.

Việc Maxwell đưa ra khái niệm về dòng chuyển dời đã dẫn đến sự hoàn thiện của lý thuyết vĩ mô về trường điện từ do ông tạo ra, cho phép từ một quan điểm thống nhất giải thích không chỉ các hiện tượng điện và từ, mà còn dự đoán những hiện tượng mới, sự tồn tại của nó sau đó đã được xác nhận.

Lý thuyết của Maxwell dựa trên 4 phương trình:

1. Điện trường có thể vừa là điện thế vừa là điện trường xoáy, do đó cường độ của trường tạo thành là:

Phương trình này cho thấy rằng từ trường có thể được kích thích bằng các điện tích chuyển động (dòng điện) hoặc bằng điện trường xoay chiều.

3. Định lý Gauss cho trường:

Chúng tôi nhận được

Vì vậy, hệ thống hoàn chỉnh của phương trình Maxwell ở dạng tích phân:

	1),
	2),

Các đại lượng có trong phương trình Maxwell không độc lập và có mối liên hệ giữa chúng.

Đối với môi trường đẳng hướng, không sắt điện và không sắt từ, chúng ta viết công thức liên hệ:

	b),
	Trong) ,

ở đâu là hằng số điện, là hằng số từ tính,

Tính cho phép điện môi của môi trường, m - độ từ thẩm của môi trường,

r - điện trở suất, - dẫn điện.

Nó theo phương trình Maxwell rằng Gì:

Nguồn của điện trường có thể là điện tích hoặc từ trường biến thiên theo thời gian, có thể được kích thích bằng cách chuyển động điện tích (dòng điện) hoặc điện trường xoay chiều.

Phương trình Maxwell không đối xứng với điện trường và từ trường. Điều này là do thực tế là không có điện tích từ trong tự nhiên.

Nếu và (trường tĩnh), thì phương trình Maxwell có dạng sau:

Nguồn của điện trường đứng yên chỉ là điện tích, nguồn của từ trường đứng yên chỉ là dòng điện dẫn. .

Điện trường và từ trường trong trường hợp này là độc lập với nhau, do đó có thể nghiên cứu điện trường và từ trường không đổi riêng biệt.

Dạng vi phân của cách viết phương trình Maxwell:

	3) ,

Dạng tích phân của phương trình Maxwell sẽ tổng quát hơn nếu có các bề mặt gián đoạn. Dạng vi phân khi viết phương trình Maxwell giả định rằng mọi đại lượng trong không gian và thời gian đều thay đổi liên tục.

Phương trình Maxwell là phương trình tổng quát nhất cho điện trường và từ trường trong môi trường ở trạng thái nghỉ. Chúng đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết điện từ học như các định luật Newton trong cơ học. Theo các phương trình của Maxwell, từ trường xoay chiều luôn liên kết với điện trường xoay chiều và điện trường xoay chiều luôn liên kết với từ trường do nó tạo ra, tức là điện trường và từ trường liên kết chặt chẽ với nhau - chúng tạo thành một trường điện từ duy nhất.

Các thuộc tính của phương trình Maxwell

Phương trình Maxwell là tuyến tính. Chúng chỉ chứa các đạo hàm bậc nhất của trường E và B liên quan đến thời gian và tọa độ không gian và các bậc đầu tiên của mật độ điện tích và dòng điện j. Tính chất tuyến tính của phương trình Maxwell được kết nối với nguyên tắc chồng chất, nếu hai trường bất kỳ thỏa mãn phương trình Maxwell, thì điều này cũng áp dụng cho tổng của các trường này.

Phương trình Maxwell chứa các phương trình liên tục thể hiện định luật bảo toàn điện tích. Để có được phương trình liên tục, cần phải lấy sự phân kỳ từ cả hai phần của phương trình đầu tiên của phương trình Maxwell ở dạng vi phân:

Phương trình Maxwell có giá trị trong mọi hệ quy chiếu quán tính. Chúng bất biến về mặt tương đối tính. Đây là hệ quả của nguyên lý tương đối, theo đó tất cả các hệ quy chiếu quán tính đều tương đương về mặt vật lý với nhau. Dạng phương trình Maxwell không thay đổi trong quá trình chuyển từ hệ quy chiếu quán tính này sang hệ quy chiếu quán tính khác, nhưng các đại lượng trong chúng được biến đổi theo những quy luật nhất định. Những thứ kia. Phương trình Maxwell là phương trình tương đối tính đúng, không giống như phương trình cơ học của Newton.

Phương trình Maxwell không đối xứng đối với điện trường và từ trường. Điều này là do thực tế là trong tự nhiên tồn tại điện tích, nhưng điện tích từ thì không.

Một kết luận quan trọng sau các phương trình của Maxwell về sự tồn tại của một hiện tượng mới về cơ bản: trường điện từ có thể tồn tại độc lập - không có điện tích và dòng điện. Đồng thời, sự thay đổi của nó nhất thiết phải có đặc tính sóng. Các trường thuộc loại này được gọi là sóng điện từ. Trong chân không, chúng luôn truyền với tốc độ ánh sáng. Lý thuyết của Maxwell đã tiên đoán sự tồn tại của sóng điện từ và giúp nó có thể thiết lập tất cả các tính chất cơ bản của chúng.