Đạo hàm riêng của hàm hai biến.
Khái niệm và ví dụ về giải pháp

Trong bài học này, chúng ta sẽ tiếp tục làm quen với hàm hai biến và có lẽ xem xét nhiệm vụ chủ đề phổ biến nhất - tìm đạo hàm riêng của bậc một và bậc hai, cũng như vi phân tổng của hàm số. Theo quy luật, sinh viên bán thời gian sẽ gặp phải đạo hàm từng phần vào năm thứ nhất trong học kỳ thứ 2. Hơn nữa, theo quan sát của tôi, nhiệm vụ tìm đạo hàm riêng gần như luôn xuất hiện trong đề thi.

Để nghiên cứu hiệu quả tài liệu dưới đây, bạn cần thiết có thể ít nhiều tự tin tìm ra đạo hàm “thông thường” của hàm một biến. Bạn có thể học cách xử lý đạo hàm chính xác trong các bài học Làm thế nào để tìm đạo hàm? Và Đạo hàm của hàm phức. Chúng ta cũng sẽ cần một bảng đạo hàm của các hàm cơ bản và các quy tắc đạo hàm; sẽ thuận tiện nhất nếu nó ở dạng in sẵn. Bạn có thể lấy tài liệu tham khảo trên trang Các công thức và bảng toán học.

Chúng ta hãy nhanh chóng lặp lại khái niệm hàm hai biến, tôi sẽ cố gắng giới hạn bản thân ở mức tối thiểu. Hàm hai biến thường được viết là , với các biến được gọi biến độc lập hoặc tranh luận.

Ví dụ: – hàm hai biến.

Đôi khi ký hiệu được sử dụng. Cũng có những bài tập sử dụng chữ cái thay vì chữ cái.

Từ quan điểm hình học, hàm hai biến thường biểu diễn một bề mặt trong không gian ba chiều (mặt phẳng, hình trụ, hình cầu, paraboloid, hyperboloid, v.v.). Nhưng trên thực tế, đây thiên về hình học giải tích hơn, và trong chương trình nghị sự của chúng tôi là phân tích toán học, điều mà giáo viên đại học của tôi không bao giờ cho phép tôi viết ra và là “điểm mạnh” của tôi.

Chúng ta hãy chuyển sang câu hỏi tìm đạo hàm riêng của bậc một và bậc hai. Tôi có một số tin vui dành cho những ai đã uống vài tách cà phê và đang tìm hiểu một số tài liệu cực kỳ khó: đạo hàm riêng gần giống như đạo hàm “thông thường” của hàm một biến.

Đối với đạo hàm riêng, mọi quy tắc đạo hàm và bảng đạo hàm của các hàm cơ bản đều đúng. Chỉ có một vài khác biệt nhỏ mà chúng ta sẽ biết ngay bây giờ:

...vâng, nhân tiện, tôi đã tạo chủ đề này cuốn sách pdf nhỏ, điều này sẽ cho phép bạn “đi vào răng” chỉ sau vài giờ. Nhưng bằng cách sử dụng trang web, bạn chắc chắn sẽ nhận được kết quả tương tự - chỉ có thể chậm hơn một chút:

ví dụ 1

Tìm đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của hàm số

Đầu tiên, hãy tìm đạo hàm riêng cấp một. Có hai trong số họ.

Chỉ định:
hoặc - đạo hàm riêng đối với “x”
hoặc - đạo hàm riêng đối với “y”

Hãy bắt đầu với . Khi chúng ta tìm đạo hàm riêng đối với “x”, biến được coi là một hằng số (số không đổi).

Nhận xét về các hành động đã thực hiện:

(1) Điều đầu tiên chúng ta làm khi tìm đạo hàm riêng là kết luận tất cả hàm trong ngoặc dưới số nguyên tố với chỉ số dưới.

Chú ý, quan trọng! CHÚNG TÔI KHÔNG MẤT chỉ số đăng ký trong quá trình giải quyết. Trong trường hợp này, nếu bạn vẽ một “nét” ở đâu đó mà không có , thì ít nhất giáo viên có thể đặt nó bên cạnh bài tập (ngay lập tức cắn đứt một phần điểm vì không chú ý).

(2) Chúng tôi sử dụng quy tắc phân biệt , . Đối với một ví dụ đơn giản như thế này, cả hai quy tắc có thể dễ dàng được áp dụng trong một bước. Hãy chú ý đến số hạng đầu tiên: vì được coi là một hằng số và bất kỳ hằng số nào cũng có thể được lấy ra khỏi dấu đạo hàm, thì chúng ta đặt nó ra khỏi ngoặc. Nghĩa là, trong tình huống này, nó không tốt hơn một con số bình thường. Bây giờ chúng ta hãy xem thuật ngữ thứ ba: ở đây, ngược lại, không có gì để loại bỏ. Vì nó là một hằng số, nên nó cũng là một hằng số, và theo nghĩa này, nó không tốt hơn số hạng cuối cùng - “bảy”.

(3) Chúng tôi sử dụng đạo hàm dạng bảng và .

(4) Hãy đơn giản hóa, hoặc như tôi muốn nói, “tinh chỉnh” câu trả lời.

Hiện nay . Khi chúng ta tìm đạo hàm riêng đối với “y”, thì biếnđược coi là một hằng số (số không đổi).

(1) Chúng tôi sử dụng các quy tắc phân biệt tương tự , . Trong số hạng đầu tiên, chúng ta lấy hằng số ra khỏi dấu của đạo hàm, trong số hạng thứ hai, chúng ta không thể lấy hằng số ra vì nó đã là một hằng số.

(2) Ta sử dụng bảng đạo hàm của các hàm cơ bản. Hãy nhẩm thay đổi tất cả chữ “X” trong bảng thành “I’s”. Nghĩa là, bảng này có giá trị như nhau đối với (và thực sự đối với hầu hết mọi chữ cái). Cụ thể, các công thức chúng tôi sử dụng trông như thế này: và .

Ý nghĩa của đạo hàm riêng là gì?

Về bản chất, đạo hàm riêng bậc 1 giống đạo hàm "thông thường":

- Cái này chức năng, đặc trưng tỉ giá hối đoái hoạt động theo hướng của trục và tương ứng. Vì vậy, ví dụ, chức năng đặc trưng cho độ dốc của “độ dốc” và “độ dốc” bề mặt theo hướng của trục hoành, và hàm này cho chúng ta biết về “sự phù điêu” của cùng một bề mặt theo hướng của trục tọa độ.

! Ghi chú : ở đây chúng tôi muốn nói đến chỉ đường song song trục tọa độ.

Để hiểu rõ hơn, chúng ta hãy xem xét một điểm cụ thể trên mặt phẳng và tính giá trị của hàm (“chiều cao”) tại đó:
– và bây giờ hãy tưởng tượng rằng bạn đang ở đây (TRÊN bề mặt).

Hãy tính đạo hàm riêng đối với "x" tại một điểm cho trước:

Dấu âm của đạo hàm “X” cho chúng ta biết về giảm dần hoạt động tại một điểm theo hướng của trục hoành. Nói cách khác, nếu chúng ta tạo ra một cái nhỏ, nhỏ (vô cùng nhỏ) bước về phía đầu trục (song song với trục này), thì chúng ta sẽ đi xuống độ dốc của bề mặt.

Bây giờ chúng ta tìm hiểu bản chất của “địa hình” theo hướng của trục tọa độ:

Đạo hàm đối với “y” là dương, do đó, tại một điểm theo hướng của trục hàm tăng. Nói một cách đơn giản, ở đây chúng ta đang chờ đợi một cuộc leo dốc khó khăn.

Ngoài ra, đạo hàm riêng tại một điểm đặc trưng tỉ giá hối đoái hoạt động theo hướng tương ứng. Giá trị kết quả càng lớn modulo– bề mặt càng dốc và ngược lại, bề mặt càng gần 0 thì bề mặt càng phẳng. Vì vậy, trong ví dụ của chúng tôi, “độ dốc” theo hướng trục hoành sẽ dốc hơn “ngọn núi” theo hướng trục hoành.

Nhưng đó là hai con đường riêng. Khá rõ ràng rằng từ thời điểm chúng ta đang ở, (và nói chung từ bất kỳ điểm nào trên một bề mặt nhất định) chúng ta có thể di chuyển theo hướng khác. Vì vậy, có mối quan tâm đến việc tạo ra một “bản đồ dẫn đường” chung để thông báo cho chúng ta về “cảnh quan” của bề mặt. nếu có thể tại mọi điểm miền định nghĩa của hàm này dọc theo tất cả các con đường có sẵn. Tôi sẽ nói về điều này và những điều thú vị khác trong một trong những bài học sau, nhưng bây giờ chúng ta hãy quay lại khía cạnh kỹ thuật của vấn đề.

Hãy hệ thống hóa các quy tắc áp dụng cơ bản:

1) Khi lấy vi phân theo , biến được coi là hằng số.

2) Khi phân biệt được thực hiện theo, thì được coi là một hằng số.

3) Các quy tắc và bảng đạo hàm của các hàm cơ bản là hợp lệ và có thể áp dụng cho bất kỳ biến nào (hoặc bất kỳ biến nào khác) mà vi phân được thực hiện.

Bước hai. Chúng tôi tìm thấy đạo hàm riêng bậc hai. Có bốn người trong số họ.

Chỉ định:
hoặc - đạo hàm bậc hai đối với “x”
hoặc - đạo hàm bậc hai đối với “y”
hoặc - Trộnđạo hàm của “x theo igr”
hoặc - Trộnđạo hàm của "Y"

Không có vấn đề gì với đạo hàm bậc hai. Nói một cách đơn giản, đạo hàm thứ hai là đạo hàm của đạo hàm thứ nhất.

Để thuận tiện, tôi sẽ viết lại đạo hàm riêng cấp một đã tìm được:

Đầu tiên, hãy tìm đạo hàm hỗn hợp:

Như bạn có thể thấy, mọi thứ đều đơn giản: chúng ta lấy đạo hàm riêng và lấy đạo hàm một lần nữa, nhưng trong trường hợp này - lần này là theo chữ “Y”.

Tương tự:

Trong các ví dụ thực tế, bạn có thể tập trung vào đẳng thức sau:

Vì vậy, thông qua đạo hàm hỗn hợp cấp hai, rất thuận tiện để kiểm tra xem chúng ta đã tìm được đạo hàm từng phần cấp một một cách chính xác hay chưa.

Tìm đạo hàm bậc hai đối với “x”.
Không có phát minh nào, hãy nắm lấy nó và phân biệt nó bằng “x” một lần nữa:

Tương tự:

Cần lưu ý khi tìm cần chỉ ra tăng sự chú ý, vì không có đẳng thức thần kỳ nào để chứng minh chúng.

Đạo hàm cấp hai còn có ứng dụng thực tế rộng rãi, đặc biệt, chúng được sử dụng trong bài toán tìm cực trị của hàm hai biến. Nhưng mọi thứ đều có thời điểm của nó:

Ví dụ 2

Tính đạo hàm riêng cấp một của hàm số tại điểm. Tìm đạo hàm bậc hai.

Đây là ví dụ để các bạn tự giải (có đáp án ở cuối bài). Nếu bạn gặp khó khăn trong việc phân biệt gốc rễ, hãy quay lại bài học Làm thế nào để tìm đạo hàm? Nói chung, bạn sẽ sớm học được cách tìm các công cụ phái sinh như vậy một cách “nhanh chóng”.

Hãy cải thiện tốt hơn ở các ví dụ phức tạp hơn:

Ví dụ 3

Kiểm tra xem . Viết ra tổng chênh lệch của đơn hàng đầu tiên.

Giải: Tìm đạo hàm riêng cấp một:

Hãy chú ý đến chỉ số dưới: , bên cạnh chữ “X” không được phép viết trong ngoặc đơn là hằng số. Ghi chú này có thể rất hữu ích cho người mới bắt đầu để giúp điều hướng giải pháp dễ dàng hơn.

Ý kiến ​​thêm:

(1) Chúng ta di chuyển tất cả các hằng số ra ngoài dấu của đạo hàm. Trong trường hợp này, và , và do đó, tích của chúng được coi là một số không đổi.

(2) Đừng quên cách phân biệt rễ một cách chính xác.

(1) Chúng ta lấy tất cả các hằng số ra khỏi dấu của đạo hàm; trong trường hợp này, hằng số là .

(2) Dưới số nguyên tố ta còn tích của hai hàm số nên ta cần sử dụng quy tắc tìm đạo hàm .

(3) Đừng quên rằng đây là một hàm phức tạp (mặc dù là hàm đơn giản nhất trong số các hàm phức). Chúng tôi sử dụng quy tắc tương ứng: .

Bây giờ chúng ta tìm được đạo hàm hỗn hợp bậc hai:

Điều này có nghĩa là tất cả các tính toán đã được thực hiện chính xác.

Hãy viết ra tổng số chênh lệch. Trong bối cảnh của nhiệm vụ đang được xem xét, sẽ không có ý nghĩa gì khi cho biết tổng vi phân của hàm hai biến là bao nhiêu. Điều quan trọng là sự khác biệt này rất thường xuyên cần được viết ra trong các bài toán thực tế.

Tổng chênh lệch của đơn hàng đầu tiên Hàm hai biến có dạng:

Trong trường hợp này:

Tức là, bạn chỉ cần thay thế một cách ngu ngốc các đạo hàm riêng cấp một đã tìm được vào công thức. Trong trường hợp này và các tình huống tương tự, tốt nhất nên viết dấu vi phân trong tử số:

Và theo yêu cầu lặp đi lặp lại của độc giả, vi phân hoàn chỉnh bậc hai.

Nó trông như thế này:

Hãy CẨN THẬN tìm đạo hàm “một chữ cái” của bậc 2:

và ghi “con quái vật”, cẩn thận “gắn” các hình vuông, tích và không quên nhân đôi đạo hàm hỗn hợp:

Sẽ không sao nếu điều gì đó có vẻ khó khăn; bạn luôn có thể quay lại với công cụ phái sinh sau khi đã nắm vững kỹ thuật vi phân:

Ví dụ 4

Tìm đạo hàm riêng bậc nhất của hàm số . Kiểm tra xem . Viết ra tổng chênh lệch của đơn hàng đầu tiên.

Hãy xem một loạt ví dụ với các hàm phức tạp:

Ví dụ 5

Tìm đạo hàm riêng cấp một của hàm số.

Giải pháp:

Ví dụ 6

Tìm đạo hàm riêng bậc nhất của hàm số .
Viết tổng số chênh lệch.

Đây là ví dụ để các bạn tự giải (có đáp án ở cuối bài). Tôi sẽ không cung cấp cho bạn một giải pháp hoàn chỉnh vì nó khá đơn giản.

Khá thường xuyên, tất cả các quy tắc trên được áp dụng kết hợp.

Ví dụ 7

Tìm đạo hàm riêng bậc nhất của hàm số .

(1) Ta sử dụng quy tắc đạo hàm tổng

(2) Số hạng đầu tiên trong trường hợp này được coi là một hằng số, vì không có gì trong biểu thức phụ thuộc vào “x” - chỉ có “y”. Bạn biết đấy, thật tuyệt khi một phân số có thể biến thành 0). Đối với thuật ngữ thứ hai, chúng tôi áp dụng quy tắc phân biệt sản phẩm. Nhân tiện, theo nghĩa này, sẽ không có gì thay đổi nếu thay vào đó một hàm được đưa ra - điều quan trọng là ở đây tích của hai hàm số, MỌI điều đó phụ thuộc vào "X" và do đó, bạn cần sử dụng quy tắc phân biệt sản phẩm. Đối với số hạng thứ ba, chúng ta áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm phức.

(1) Số hạng đầu tiên ở cả tử số và mẫu số đều chứa chữ “Y”, do đó cần sử dụng quy tắc phân tích thương: . Số hạng thứ hai CHỈ phụ thuộc vào “x”, có nghĩa là nó được coi là hằng số và chuyển về 0. Đối với số hạng thứ ba, chúng ta sử dụng quy tắc đạo hàm một hàm phức.

Đối với những độc giả đã can đảm đọc gần hết bài học, tôi sẽ kể cho bạn nghe một câu chuyện cười cũ của Mekhmatov để bạn cảm thấy nhẹ nhõm:

Một ngày nọ, một dẫn xuất tà ác xuất hiện trong không gian chức năng và bắt đầu phân biệt mọi người. Mọi chức năng đều rải rác tứ phía, không ai muốn chuyển hóa! Và chỉ có một chức năng không chạy đi. Đạo hàm đến gần cô và hỏi:

- Sao em không chạy trốn khỏi anh?

- Hà. Nhưng tôi không quan tâm, vì tôi là “e sức mạnh của X”, và bạn sẽ không làm gì tôi cả!

Kẻ phái sinh tà ác với nụ cười quỷ quyệt trả lời:

- Đây là chỗ bạn nhầm, tôi sẽ phân biệt bạn bằng chữ “Y”, nên bạn phải là số 0.

Ai hiểu được câu chuyện cười thì đã nắm vững đạo hàm, ít nhất là ở cấp độ “C”).

Ví dụ 8

Tìm đạo hàm riêng bậc nhất của hàm số .

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Lời giải đầy đủ và ví dụ của bài toán nằm ở cuối bài học.

Vâng, đó gần như là tất cả. Cuối cùng, tôi không thể không làm hài lòng những người yêu thích toán học bằng một ví dụ nữa. Nó thậm chí không phải là về những người nghiệp dư, mọi người đều có mức độ chuẩn bị toán học khác nhau - có những người (và không quá hiếm) thích cạnh tranh với những nhiệm vụ khó khăn hơn. Mặc dù, ví dụ cuối cùng trong bài học này không quá phức tạp vì nó cồng kềnh về mặt tính toán.

Bài 3 FNP, đạo hàm riêng, vi phân

Nội dung chính chúng ta đã học trong bài giảng vừa qua là gì?

Chúng ta đã học được hàm của một số biến bằng một đối số từ không gian Euclide. Chúng tôi đã nghiên cứu giới hạn và tính liên tục của một hàm như vậy

Chúng ta sẽ học gì trong bài giảng này?

Tiếp tục nghiên cứu về FNP, chúng ta sẽ nghiên cứu đạo hàm riêng và vi phân của các hàm này. Chúng ta hãy học cách viết phương trình của mặt phẳng tiếp tuyến và pháp tuyến của một mặt.

Đạo hàm từng phần, vi phân toàn phần của FNP. Mối liên hệ giữa tính khả vi của hàm số và sự tồn tại của đạo hàm riêng

Đối với hàm số một biến thực, sau khi nghiên cứu chủ đề “Giới hạn” và “Liên tục” (Giới thiệu về Giải tích), đạo hàm và vi phân của hàm số đã được nghiên cứu. Hãy chuyển sang xem xét các câu hỏi tương tự đối với hàm nhiều biến. Lưu ý rằng nếu tất cả các đối số ngoại trừ một đối số đều cố định trong FNP, thì FNP sẽ tạo ra một hàm của một đối số, trong đó có thể xem xét gia số, vi phân và đạo hàm. Chúng ta sẽ gọi chúng lần lượt là tăng từng phần, vi phân từng phần và đạo hàm riêng. Hãy chuyển sang các định nghĩa chính xác.

Định nghĩa 10. Cho hàm của các biến ở đâu - phần tử của không gian Euclide và các gia số tương ứng của các đối số , ,…, . Khi các giá trị được gọi là phần tăng dần của hàm. Tổng số tăng của một hàm là số lượng.

Ví dụ: đối với hàm hai biến, trong đó một điểm trên mặt phẳng và , số gia tương ứng của các đối số, số gia từng phần sẽ là , . Trong trường hợp này, giá trị là tổng số gia của hàm hai biến.

Định nghĩa 11. Đạo hàm riêng của hàm biến trên một biến là giới hạn của tỷ lệ giữa mức tăng một phần của hàm trên biến này với mức tăng của đối số tương ứng khi nó tiến tới 0.

Chúng ta hãy viết Định nghĩa 11 dưới dạng công thức hoặc ở dạng mở rộng. (2) Đối với hàm số hai biến, Định nghĩa 11 sẽ được viết dưới dạng công thức , . Từ quan điểm thực tế, định nghĩa này có nghĩa là khi tính đạo hàm riêng theo một biến, tất cả các biến khác đều cố định và chúng ta coi hàm này là hàm của một biến đã chọn. Đạo hàm thông thường được lấy đối với biến này.

Ví dụ 4. Với hàm số ở đó, hãy tìm đạo hàm riêng và điểm mà tại đó cả hai đạo hàm riêng đều bằng 0.

Giải pháp . Hãy tính đạo hàm riêng và viết hệ phương trình dưới dạng Giải pháp của hệ thống này là hai điểm và .

Bây giờ chúng ta hãy xem xét khái niệm vi phân được khái quát hóa như thế nào đối với FNP. Hãy nhớ lại rằng hàm của một biến được gọi là khả vi nếu gia số của nó được biểu diễn dưới dạng và đại lượng là phần chính của gia số của hàm và được gọi là vi phân của nó. Đại lượng là hàm của , có tính chất là , nghĩa là nó là hàm vô cùng nhỏ so với . Hàm một biến khả vi tại một điểm khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại điểm đó. Hơn nữa, hằng số và bằng đạo hàm này, tức là công thức có giá trị đối với vi phân.

Nếu việc tăng một phần của FNP được xem xét thì chỉ một trong các đối số thay đổi và mức tăng một phần này có thể được coi là mức tăng của hàm một biến, tức là lý thuyết tương tự cũng hoạt động. Do đó, điều kiện khả vi đúng khi và chỉ khi đạo hàm riêng tồn tại, trong trường hợp đó vi phân từng phần được cho bởi .

Tổng vi phân của hàm nhiều biến là bao nhiêu?

Định nghĩa 12. Hàm biến gọi là khả vi tại một điểm , nếu số gia của nó được biểu diễn dưới dạng . Trong trường hợp này, phần chính của số gia được gọi là vi phân FNP.

Vì vậy, sự khác biệt của FNP là giá trị. Hãy để chúng tôi làm rõ ý nghĩa của số lượng , mà chúng ta sẽ gọi là vô cùng nhỏ so với gia số của các đối số . Đây là hàm có đặc tính là nếu tất cả các số gia trừ một số đều bằng 0 thì đẳng thức là đúng . Về cơ bản điều này có nghĩa là = = + +…+ .

Các điều kiện để tính khả vi của một FNP và các điều kiện để tồn tại đạo hàm riêng của hàm số này có liên hệ với nhau như thế nào?

Định lý 1. Nếu hàm biến khả vi tại một điểm , thì nó có đạo hàm riêng theo tất cả các biến tại thời điểm này và tại cùng thời điểm.

Bằng chứng. Chúng ta viết đẳng thức cho và ở dạng và chia cả hai vế của đẳng thức thu được cho . Trong kết quả bình đẳng chúng ta hãy đi đến giới hạn tại . Kết quả là chúng ta đạt được sự bình đẳng cần thiết. Định lý đã được chứng minh.

Kết quả. Vi phân của hàm biến được tính bằng công thức . (3)

Trong ví dụ 4, vi phân của hàm số bằng . Lưu ý rằng cùng một vi phân tại điểm đó bằng . Nhưng nếu chúng ta tính nó tại một điểm có số gia , , thì vi phân sẽ bằng . Lưu ý rằng giá trị chính xác của hàm đã cho tại điểm bằng , nhưng cùng một giá trị, được tính gần đúng bằng vi phân bậc 1, bằng . Chúng ta thấy rằng bằng cách thay thế số gia của hàm bằng vi phân của nó, chúng ta có thể tính gần đúng các giá trị của hàm.

Liệu hàm số nhiều biến có khả vi tại một điểm nếu nó có đạo hàm riêng tại điểm này? Không giống như hàm một biến, câu trả lời cho câu hỏi này là phủ định. Công thức chính xác của mối quan hệ được đưa ra bởi định lý sau.

Định lý 2. Nếu hàm biến tại một điểm có các đạo hàm riêng liên tục đối với tất cả các biến thì hàm số khả vi tại điểm này.

BẰNG . Chỉ có một biến thay đổi trong mỗi ngoặc, vì vậy chúng ta có thể áp dụng công thức tăng hữu hạn Lagrange cho cả hai. Bản chất của công thức này là đối với hàm khả vi liên tục của một biến, hiệu các giá trị của hàm tại hai điểm bằng giá trị đạo hàm tại một điểm trung gian nào đó, nhân với khoảng cách giữa các điểm. Áp dụng công thức này cho mỗi dấu ngoặc, chúng ta nhận được . Do tính liên tục của đạo hàm riêng, đạo hàm tại một điểm và đạo hàm tại một điểm khác với đạo hàm tại một điểm bởi đại lượng và , tiến về 0 vì , tiến về 0. Nhưng sau đó, rõ ràng, . Định lý đã được chứng minh. , và tọa độ. Kiểm tra xem điểm này có thuộc về bề mặt không. Viết phương trình mặt phẳng tiếp tuyến và phương trình pháp tuyến của mặt phẳng tại điểm đã cho.

Giải pháp. Thật sự, . Trong bài giảng trước chúng ta đã tính vi phân của hàm này tại một điểm tùy ý; tại một điểm cho trước nó bằng . Do đó, phương trình của mặt phẳng tiếp tuyến sẽ được viết dưới dạng hoặc , và phương trình pháp tuyến - ở dạng .

Hãy xem xét việc thay đổi một hàm khi chỉ định mức tăng cho một trong các đối số của nó - x tôi, và hãy gọi nó là .

Định nghĩa 1.7.đạo hàm riêng chức năng theo đối số x tôi gọi điện .

Các chỉ định: .

Như vậy, đạo hàm riêng của một hàm nhiều biến thực chất được định nghĩa là đạo hàm của hàm một biến – x i. Do đó, tất cả các tính chất của đạo hàm đã được chứng minh cho hàm một biến đều đúng cho nó.

Bình luận. Trong tính toán thực tế của đạo hàm riêng, chúng ta sử dụng các quy tắc thông thường để lấy đạo hàm một biến, giả sử rằng đối số thực hiện phép lấy đạo hàm là biến và các đối số còn lại là hằng số.

1. z = 2x 2 + 3 xy –12y² + 5 x – 4y +2,

2. z = xy,

Giải thích hình học của đạo hàm riêng của hàm hai biến.

Xét phương trình bề mặt z = f(x,y) và vẽ một mặt phẳng x = hằng số. Chúng ta hãy chọn một điểm trên đường giao nhau của mặt phẳng và bề mặt M(x,y). Nếu bạn đưa ra lập luận Tại tăng Δ Tại và xét điểm T trên đường cong có tọa độ ( x, y+Δ y, z+Δy z), khi đó là tiếp tuyến của góc tạo bởi cát tuyến MT với chiều dương của trục O Tại, sẽ bằng . Chuyển đến giới hạn tại , ta thấy đạo hàm riêng bằng tang của góc tạo bởi tiếp tuyến của đường cong thu được tại điểm M với hướng dương của trục O bạn. Theo đó đạo hàm riêng bằng tang của góc với trục O X tiếp tuyến với đường cong thu được do cắt bề mặt z = f(x,y) máy bay y = hằng số.

Định nghĩa 2.1. Gia số đầy đủ của hàm u = f(x, y, z) được gọi là

Định nghĩa 2.2. Nếu gia số của hàm u = f(x, y, z) tại điểm (x 0 , y 0 , z 0) có thể biểu diễn dưới dạng (2.3), (2.4) thì hàm đó gọi là khả vi tại điểm này và biểu thức được gọi là phần tuyến tính chính của phần tăng hoặc phần vi phân tổng của hàm đang xét.

Ký hiệu: du, df (x 0, y 0, z 0).

Cũng giống như trong trường hợp hàm một biến, vi phân của các biến độc lập được coi là số gia tùy ý của chúng, do đó

Nhận xét 1. Vì vậy, mệnh đề “hàm khả vi” không tương đương với mệnh đề “hàm có đạo hàm riêng” - để khả vi, cũng cần phải có tính liên tục của các đạo hàm này tại điểm đang xét.

4. Mặt phẳng tiếp tuyến và pháp tuyến với bề mặt. Ý nghĩa hình học của vi phân.

Hãy để chức năng z = f(x,y) khả vi trong lân cận của điểm M (x 0 , y 0). Khi đó đạo hàm riêng của nó là hệ số góc của các tiếp tuyến với các đường giao nhau của bề mặt z = f(x,y) với máy bay y = y 0 Và x = x 0, sẽ tiếp xúc với chính bề mặt đó z = f(x,y). Hãy lập phương trình mặt phẳng đi qua các đường thẳng này. Các vectơ chỉ phương tiếp tuyến có dạng (1; 0; ) và (0; 1; ), do đó pháp tuyến của mặt phẳng có thể được biểu diễn dưới dạng tích vectơ của chúng: N = (- ,- , 1). Do đó, phương trình của mặt phẳng có thể được viết như sau:

Ở đâu z 0 = .

Định nghĩa 4.1. Mặt phẳng xác định bởi phương trình (4.1) được gọi là mặt phẳng tiếp tuyến vào đồ thị của hàm z = f(x,y) tại một điểm có tọa độ (x 0, y 0, z 0).

Từ công thức (2.3) cho trường hợp hai biến, suy ra rằng độ tăng của hàm f trong vùng lân cận của một điểm M có thể được biểu diễn dưới dạng:

Do đó, sự khác biệt giữa ứng dụng của đồ thị hàm số và mặt phẳng tiếp tuyến là vô cùng nhỏ ở bậc cao hơn ρ, Tại ρ→ 0.

Trong trường hợp này, hàm vi phân f có dạng:

tương ứng với Tăng các ứng dụng của mặt phẳng tiếp tuyến với đồ thị của hàm số. Đây là ý nghĩa hình học của vi phân.

Định nghĩa 4.2. Vectơ khác 0 vuông góc với mặt phẳng tiếp tuyến tại một điểm M (x 0 , y 0) bề mặt z = f(x,y), gọi điện Bình thường lên bề mặt vào thời điểm này.

Thật thuận tiện khi lấy vectơ -- N = { , ,-1}.

Hãy để hàm được xác định trong một số miền (mở) D điểm
không gian chiều, và
– một điểm trong khu vực này, tức là
D.

Tăng chức năng một phần của nhiều biến đối với bất kỳ biến nào là số gia mà hàm sẽ nhận được nếu chúng ta tăng số gia cho biến này, giả sử rằng tất cả các biến khác đều có giá trị không đổi.

Ví dụ: tăng từng phần của hàm theo biến sẽ

Đạo hàm riêng đối với biến độc lập tại điểm
của hàm được gọi là giới hạn (nếu nó tồn tại) của tỷ lệ tăng từng phần
chức năng tăng dần
Biến đổi trong khi phấn đấu
về không:

Đạo hàm riêng được ký hiệu bằng một trong các ký hiệu:

;
.

Bình luận. Mục lục bên dưới trong các ký hiệu này chỉ cho biết biến nào được lấy đạo hàm và không liên quan đến điểm nào
đạo hàm này được tính toán.

Việc tính đạo hàm riêng không có gì mới so với phép tính đạo hàm thông thường; bạn chỉ cần nhớ rằng khi lấy đạo hàm riêng theo biến bất kỳ, tất cả các biến khác đều được lấy làm hằng số. Hãy thể hiện điều này bằng các ví dụ.

Ví dụ 1.Tìm đạo hàm riêng của hàm số
.

Giải pháp. Khi tính đạo hàm riêng của hàm số
bằng lập luận xem xét chức năng như là một hàm chỉ có một biến , I E. Chúng tôi tin rằng có một giá trị cố định. Lúc cố định chức năng
là một hàm lũy thừa của đối số . Sử dụng công thức đạo hàm hàm lũy thừa, chúng ta thu được:

Tương tự, khi tính đạo hàm riêng chúng tôi giả định rằng giá trị là cố định , và xét hàm
như một hàm số mũ của đối số . Kết quả là chúng tôi nhận được:

Ví dụ 2. NCNTT phái sinh từng phần Và chức năng
.

Giải pháp. Khi tính đạo hàm riêng đối với hàm đã cho chúng ta sẽ coi nó như là một hàm của một biến và các biểu thức chứa , sẽ là các yếu tố không đổi, tức là
hoạt động như một hệ số không đổi với chức năng năng lượng (
). Phân biệt biểu thức này bằng , chúng tôi nhận được:

.

Bây giờ, ngược lại, hàm được coi là hàm của một biến , trong khi các biểu thức chứa , đóng vai trò là hệ số
(
) .Khác biệt theo quy tắc đạo hàm của hàm lượng giác, ta thu được:

Ví dụ 3. Tính đạo hàm riêng của hàm số
tại điểm
.

Giải pháp.Đầu tiên chúng ta tìm đạo hàm riêng của hàm số này tại một điểm tùy ý
miền định nghĩa của nó. Khi tính đạo hàm riêng đối với Chúng tôi tin rằng
là vĩnh viễn.

khi phân biệt bằng sẽ là vĩnh viễn
:

và khi tính đạo hàm riêng đối với và bởi , tương tự, sẽ không đổi, tương ứng,
Và
, I E.:

Bây giờ hãy tính giá trị của các đạo hàm này tại điểm
, thay thế các giá trị biến cụ thể vào biểu thức của chúng. Kết quả là chúng tôi nhận được:

11. Hàm vi phân một phần và toàn phần

Nếu bây giờ tăng một phần
áp dụng định lý Lagrange cho số gia hữu hạn của một biến , sau đó, xem xét liên tục, ta thu được các quan hệ sau:

Ở đâu
,
- một giá trị vô cùng nhỏ.

Hàm vi phân từng phần theo biến được gọi là phần tuyến tính chính của phần tăng một phần
, bằng tích của đạo hàm riêng đối với biến này và gia số của biến này, và được ký hiệu là

Rõ ràng, vi sai từng phần khác với mức tăng từng phần một lượng vô cùng nhỏ ở bậc cao hơn.

Tăng đầy đủ chức năng của nhiều biến được gọi là số gia mà nó sẽ nhận được khi chúng ta đưa ra số gia cho tất cả các biến độc lập, tức là.

mọi người đâu rồi
, phụ thuộc và cùng với chúng có xu hướng bằng không.

Dưới sự khác biệt của các biến độc lập đồng ý ngụ ý Bất kỳ sự gia tăng
và chỉ định họ
. Do đó, biểu thức vi phân từng phần sẽ có dạng:

Ví dụ, vi phân từng phần Qua được định nghĩa như thế này:

.

đầy đủ sự khác biệt
một hàm nhiều biến được gọi là phần tuyến tính chính của tổng số gia
, bằng nhau, tức là tổng của tất cả các vi phân từng phần của nó:

Nếu chức năng
có đạo hàm riêng liên tục

tại điểm
sau đo cô ây khả vi tại một điểm nhất định.

Khi đủ nhỏ cho một hàm khả vi
có sự bình đẳng gần đúng

,

mà bạn có thể thực hiện các phép tính gần đúng.

Ví dụ 4.Tìm vi phân đầy đủ của hàm số
ba biến
.

Giải pháp. Trước hết, chúng ta tìm đạo hàm riêng:

Nhận thấy rằng chúng liên tục với mọi giá trị
, chúng ta tìm thấy:

Đối với vi phân của hàm nhiều biến, tất cả các định lý về tính chất của vi phân, được chứng minh cho trường hợp hàm một biến, đều đúng, ví dụ: nếu Và – hàm liên tục của biến
, có đạo hàm riêng liên tục đối với tất cả các biến, và Và là các hằng số tùy ý thì:

(6)

Đạo hàm riêng của một hàm, nếu chúng không tồn tại ở một điểm mà trên một tập hợp nhất định, thì là các hàm được xác định trên tập hợp này. Các hàm số này có thể liên tục và trong một số trường hợp cũng có thể có đạo hàm riêng tại các điểm khác nhau trong miền xác định của chúng.

Đạo hàm riêng của các hàm số này được gọi là đạo hàm riêng bậc hai hoặc đạo hàm riêng bậc hai.

Đạo hàm riêng bậc hai được chia thành hai nhóm:

· Đạo hàm riêng bậc hai của một biến;

· đạo hàm từng phần hỗn hợp của đối với các biến và.

Với vi phân tiếp theo, đạo hàm từng phần bậc ba có thể được xác định, v.v. Bằng cách lập luận tương tự, đạo hàm riêng của bậc cao hơn được xác định và viết.

Định lý. Nếu tất cả các đạo hàm riêng có trong phép tính, được coi là hàm của các biến độc lập, là liên tục thì kết quả của vi phân từng phần không phụ thuộc vào chuỗi vi phân.

Thường cần phải giải bài toán nghịch đảo, bài toán này bao gồm việc xác định xem vi phân tổng của một hàm có phải là một biểu thức có dạng hay không, trong đó các hàm liên tục có đạo hàm liên tục bậc nhất.

Điều kiện cần thiết cho vi phân tổng có thể được phát biểu dưới dạng một định lý mà chúng ta chấp nhận mà không cần chứng minh.

Định lý.Để một biểu thức vi phân nằm trong một miền thì vi phân tổng của một hàm được xác định và khả vi trong miền này, điều cần thiết là trong miền này điều kiện cho bất kỳ cặp biến độc lập nào và phải được thỏa mãn giống hệt nhau.

Bài toán tính vi phân tổng bậc hai của một hàm có thể được giải như sau. Nếu biểu thức của vi phân tổng cũng khả vi, thì vi phân tổng thứ hai (hoặc vi phân tổng bậc hai) có thể được coi là biểu thức thu được nhờ áp dụng phép lấy vi phân cho vi phân tổng thứ nhất, tức là. . Biểu thức giải tích cho tổng vi phân thứ hai là:

Có tính đến thực tế là các đạo hàm hỗn hợp không phụ thuộc vào thứ tự vi phân, công thức có thể được nhóm lại và trình bày dưới dạng bậc hai:

Ma trận dạng bậc hai là:

Đặt sự chồng chất của các hàm được xác định trong và

Được xác định trong Trong đó. Khi đó, nếu và có đạo hàm riêng liên tục đến bậc hai tại các điểm và, thì tồn tại vi phân toàn phần thứ hai của hàm phức có dạng sau:

Như bạn có thể thấy, vi phân đầy đủ thứ hai không có tính chất bất biến về hình thức. Biểu thức vi phân bậc hai của hàm phức bao gồm các số hạng có dạng không có trong công thức vi phân bậc hai của hàm đơn giản.

Việc xây dựng đạo hàm riêng của hàm cấp cao hơn có thể được tiếp tục bằng cách thực hiện vi phân tuần tự của hàm này:

Trong đó các chỉ số lấy giá trị từ đến, tức là. đạo hàm bậc được coi là đạo hàm riêng bậc một của đạo hàm bậc. Tương tự, chúng ta có thể đưa ra khái niệm vi phân đầy đủ về bậc của một hàm số, như là vi phân đầy đủ bậc nhất với vi phân bậc: .

Trong trường hợp hàm đơn giản hai biến, công thức tính vi phân tổng bậc của hàm số có dạng

Việc sử dụng toán tử vi phân cho phép chúng ta có được dạng ký hiệu nhỏ gọn, dễ nhớ để tính tổng vi phân bậc của một hàm số, tương tự như công thức nhị thức của Newton. Trong trường hợp hai chiều, nó có dạng.