Y x tìm chu kì của hàm số. Tính tuần hoàn của hàm số y = sin x, y = cos x - Siêu thị tri thức
Đối số x được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số T sao cho mọi x F(x + T) = F(x). Số T này được gọi là chu kỳ của hàm số.
Có thể có một số thời kỳ. Ví dụ: hàm F = const nhận cùng một giá trị cho bất kỳ giá trị nào của đối số và do đó, bất kỳ số nào cũng có thể được coi là dấu chấm của nó.
Thông thường bạn quan tâm đến chu kỳ khác 0 nhỏ nhất của hàm. Để cho ngắn gọn, nó được gọi đơn giản là một khoảng thời gian.
Một ví dụ cổ điển về hàm tuần hoàn là lượng giác: sin, cos và tiếp tuyến. Chu kỳ của chúng bằng nhau và bằng 2π, nghĩa là sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π), v.v. Tuy nhiên, tất nhiên, các hàm lượng giác không phải là hàm tuần hoàn duy nhất.
Đối với các hàm cơ bản, đơn giản, cách duy nhất để xác định xem chúng là tuần hoàn hay không tuần hoàn là thông qua tính toán. Nhưng đối với các hàm phức tạp đã có một số quy tắc đơn giản.
Nếu F(x) có chu kỳ T và đạo hàm được xác định cho nó, thì đạo hàm f(x) = F′(x) này cũng là hàm tuần hoàn với chu kỳ T. Xét cho cùng, giá trị của đạo hàm tại điểm x bằng tang của góc tiếp tuyến của đồ thị nguyên hàm của nó tại điểm này với trục x, và vì nguyên hàm lặp lại tuần hoàn nên đạo hàm cũng phải lặp lại. Ví dụ, đạo hàm của hàm sin(x) bằng cos(x) và nó có tính tuần hoàn. Lấy đạo hàm của cos(x) sẽ cho bạn –sin(x). Tần số không đổi.
Tuy nhiên, điều ngược lại không phải lúc nào cũng đúng. Do đó, hàm số f(x) = const là tuần hoàn, nhưng nguyên hàm F(x) = const*x + C của nó thì không tuần hoàn.
Nếu F(x) là hàm tuần hoàn có chu kỳ T thì G(x) = a*F(kx + b), trong đó a, b và k là hằng số và k không bằng 0 - cũng là hàm tuần hoàn , và chu kỳ của nó là T/k. Ví dụ: sin(2x) là hàm tuần hoàn và chu kỳ của nó là π. Điều này có thể được biểu diễn trực quan như sau: bằng cách nhân x với một số nào đó, bạn dường như nén đồ thị của hàm theo chiều ngang chính xác gấp nhiều lần
Nếu F1(x) và F2(x) là các hàm tuần hoàn và chu kỳ của chúng lần lượt bằng T1 và T2 thì tổng của các hàm này cũng có thể tuần hoàn. Tuy nhiên, chu kỳ của nó sẽ không phải là tổng đơn giản của các chu kỳ T1 và T2. Nếu kết quả của phép chia T1/T2 là một số hữu tỉ thì tổng của các hàm số là tuần hoàn và chu kỳ của nó bằng bội số chung nhỏ nhất (LCM) của hai chu kỳ T1 và T2. Ví dụ: nếu chu kỳ của hàm thứ nhất là 12 và chu kỳ của hàm thứ hai là 15 thì chu kỳ của tổng của chúng sẽ bằng LCM (12, 15) = 60.
Điều này có thể được biểu diễn trực quan như sau: các hàm có “độ rộng bước” khác nhau, nhưng nếu tỷ lệ độ rộng của chúng là hợp lý thì sớm hay muộn (hay đúng hơn là thông qua LCM của các bước), chúng sẽ trở lại bằng nhau và tổng của chúng sẽ bắt đầu một thời kỳ mới.
Tuy nhiên, nếu tỷ số giữa các chu kỳ là không hợp lý thì hàm tổng sẽ không tuần hoàn. Ví dụ: đặt F1(x) = x mod 2 (phần dư khi x chia cho 2) và F2(x) = sin(x). T1 ở đây sẽ bằng 2 và T2 sẽ bằng 2π. Tỉ số của các chu kỳ bằng π - một số vô tỉ. Do đó, hàm sin(x) + x mod 2 không tuần hoàn.
Bài học video “Tính tuần hoàn của hàm số y = sin x, y = cos x” trình bày khái niệm về tính tuần hoàn của hàm số, xem xét mô tả các ví dụ giải các bài toán trong đó sử dụng khái niệm tính tuần hoàn của hàm số. Bài học video này là một trợ giúp trực quan để giải thích chủ đề cho học sinh. Ngoài ra, sổ tay này có thể trở thành một phần độc lập của bài học, giúp giáo viên có thể tự do thực hiện công việc cá nhân với học sinh.
Tầm nhìn trong việc trình bày chủ đề này là rất quan trọng. Để thể hiện hành vi của một hàm, vẽ đồ thị của nó, nó phải được trực quan hóa. Không phải lúc nào cũng có thể xây dựng các công trình bằng bảng đen và phấn theo cách mà tất cả học sinh đều hiểu được. Trong video hướng dẫn, có thể làm nổi bật các phần của bản vẽ bằng màu sắc khi xây dựng và thực hiện các phép biến đổi bằng hoạt ảnh. Vì vậy, các công trình trở nên dễ hiểu hơn đối với hầu hết học sinh. Ngoài ra, các tính năng của bài học video góp phần giúp bạn ghi nhớ tài liệu tốt hơn.
Phần trình diễn bắt đầu bằng việc giới thiệu chủ đề của bài học cũng như nhắc nhở học sinh về những nội dung đã học ở các bài học trước. Cụ thể, danh sách các thuộc tính đã được xác định trong các hàm y = sin x, cũng như y = cos x, được tóm tắt. Trong số các thuộc tính của các hàm đang được xem xét, miền định nghĩa, phạm vi giá trị, tính chẵn lẻ (số lẻ), các đặc điểm khác được lưu ý - giới hạn, tính đơn điệu, tính liên tục, các điểm có giá trị nhỏ nhất (lớn nhất). Học sinh được thông báo rằng trong bài học này, một tính chất khác của hàm số sẽ được nghiên cứu - tính tuần hoàn.
Định nghĩa hàm tuần hoàn y=f(x), trong đó xϵX, trong đó trình bày điều kiện f(x-Т)= f(x)= f(x+Т) đối với một số Т≠0. Ngược lại, số T được gọi là chu kỳ của hàm số.
Đối với các hàm sin và cos đang được xem xét, việc đáp ứng điều kiện được kiểm tra bằng cách sử dụng các công thức rút gọn. Rõ ràng là dạng của đẳng thức sin(x-2π)=sinx=sin(x+2π) tương ứng với dạng của biểu thức xác định điều kiện tuần hoàn của hàm số. Đẳng thức tương tự có thể được ghi nhận đối với cosin cos (x-2π)= cos x= cos (x+2π). Điều này có nghĩa là các hàm lượng giác này là tuần hoàn.
Người ta còn lưu ý thêm rằng tính chất tuần hoàn giúp xây dựng đồ thị của các hàm tuần hoàn như thế nào. Hàm y = sin x được xem xét. Một mặt phẳng tọa độ được xây dựng trên màn hình, trên đó các hoành độ từ -6π đến 8π được đánh dấu bằng một bước π. Một phần của đồ thị hình sin được vẽ trên mặt phẳng, được biểu thị bằng một sóng trên đoạn đó. Hình này minh họa cách hình thành đồ thị của hàm trên toàn bộ miền định nghĩa bằng cách dịch chuyển đoạn được xây dựng, dẫn đến một hình sin dài.
Đồ thị của hàm số y = cos x được xây dựng bằng cách sử dụng tính chất tuần hoàn của nó. Để làm điều này, một mặt phẳng tọa độ được xây dựng trong hình, trên đó mô tả một đoạn của biểu đồ. Cần lưu ý rằng thông thường một đoạn như vậy được xây dựng trên đoạn [-π/2;3π/2]. Tương tự như đồ thị của hàm sin, việc xây dựng đồ thị cosin được thực hiện bằng cách dịch chuyển đoạn. Kết quả của việc xây dựng, một hình sin dài được hình thành.
Vẽ đồ thị hàm tuần hoàn có những đặc điểm có thể sử dụng được. Vì vậy chúng được đưa ra dưới dạng tổng quát. Cần lưu ý rằng để xây dựng đồ thị của hàm như vậy, trước tiên, một nhánh của đồ thị được xây dựng trên một khoảng có độ dài T nhất định. Sau đó cần dịch chuyển nhánh đã xây dựng sang phải và sang trái một lượng T, 2T, 3T, vân vân. Đồng thời, một đặc điểm khác của chu kỳ được chỉ ra - với bất kỳ số nguyên k≠0 nào, số kT cũng là chu kỳ của hàm số. Tuy nhiên, T được gọi là chu kỳ chính vì nó là chu kỳ nhỏ nhất. Đối với các hàm lượng giác sin và cosin, chu kỳ cơ bản là 2π. Tuy nhiên, các chu kỳ cũng là 4π, 6π, v.v.
Tiếp theo, đề xuất xét việc tìm chu kỳ chính của hàm số y = cos 5x. Giải pháp bắt đầu với giả định rằng T là chu kỳ của hàm số. Điều này có nghĩa là điều kiện f(x-T)= f(x)= f(x+T) phải được đáp ứng. Trong đẳng thức này, f(x)= cos 5x, và f(x+T)=cos 5(x+T)= cos (5x+5T). Trong trường hợp này, cos (5x+5T)= cos 5x, do đó 5T=2πn. Bây giờ bạn có thể tìm thấy T=2π/5. Vấn đề đã được giải quyết.
Trong bài toán thứ hai, bạn cần tìm chu kỳ chính của hàm y=sin(2x/7). Giả sử rằng chu kỳ chính của hàm T đối với một hàm đã cho là f(x)= sin(2x/7), và sau một khoảng thời gian f(x+T)=sin(2x/7)(x+T) = sin(2x/7 +(2/7)T). sau khi rút gọn ta được (2/7)Т=2πn. Tuy nhiên, chúng ta cần tìm chu kỳ chính nên chúng ta lấy giá trị nhỏ nhất (2/7)T=2π, từ đó chúng ta tìm được T=7π. Vấn đề đã được giải quyết.
Vào cuối phần trình diễn, kết quả của các ví dụ được tóm tắt để tạo thành quy tắc xác định chu kỳ cơ bản của hàm số. Cần lưu ý rằng đối với các hàm y=sinkx và y=coskx, các chu kỳ chính là 2π/k.
Có thể sử dụng video bài học “Tuần hoàn của hàm số y = sin x, y = cos x” trong bài toán truyền thống để tăng hiệu quả của bài học. Giáo viên dạy từ xa cũng nên sử dụng tài liệu này để giải thích rõ ràng hơn. Video có thể được đề xuất cho những học sinh đang gặp khó khăn để giúp họ hiểu sâu hơn về chủ đề này.
GIẢI MÃ VĂN BẢN:
“Tính tuần hoàn của hàm số y = cos x, y = sin x.”
Để xây dựng đồ thị của các hàm y = sin x và y = cos x, các tính chất của hàm đã được sử dụng:
1 lĩnh vực định nghĩa,
2 vùng giá trị,
3 chẵn hoặc lẻ,
4 sự đơn điệu,
5 hạn chế,
6 liên tục,
7 giá trị cao nhất và thấp nhất.
Hôm nay chúng ta sẽ nghiên cứu một tính chất khác: tính tuần hoàn của hàm số.
SỰ ĐỊNH NGHĨA. Hàm y = f (x), trong đó x ϵ X (tiếng Hy Lạp bằng ef của x, trong đó x thuộc tập x), được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số T khác 0 sao cho với mọi x từ tập X đẳng thức kép giữ: f (x - T)= f (x) = f (x + T)(eff từ x trừ te bằng ef từ x và bằng ef từ x cộng te). Số T thỏa mãn đẳng thức kép này được gọi là chu kỳ của hàm số
Và vì sin và cosin được xác định trên toàn bộ trục số và với bất kỳ x nào thì các đẳng thức sin(x - 2π)= sin x= sin(x+ 2π) đều thỏa mãn (sin của x trừ hai pi bằng sin của x và bằng sin x cộng hai pi ) Và
cos (x- 2π)= cos x = cos (x+ 2π) (cos của x trừ hai pi bằng cosin của x và bằng cosin của x cộng với hai pi), thì sin và cos là các hàm tuần hoàn với một khoảng thời gian là 2π.
Tính tuần hoàn cho phép bạn nhanh chóng xây dựng biểu đồ của hàm số. Thật vậy, để xây dựng đồ thị của hàm y = sin x, chỉ cần vẽ một sóng (thường là trên một đoạn (từ 0 đến 2 pi) là đủ, sau đó bằng cách dịch chuyển phần đã xây dựng của đồ thị dọc theo x -trục sang phải và trái thêm 2π, sau đó thêm 4π, v.v. để thu được sóng hình sin.
(hiển thị sự dịch chuyển sang phải và sang trái 2π, 4π)
Tương tự cho đồ thị hàm số
y = cos x, nhưng chúng tôi xây dựng một sóng thường xuyên nhất trên đoạn [; ] (từ trừ pi trên hai đến ba pi trên hai).
Chúng ta hãy tóm tắt những điều trên và rút ra kết luận: để xây dựng đồ thị của hàm tuần hoàn có chu kỳ T, trước tiên bạn cần xây dựng một nhánh (hoặc sóng hoặc một phần) của đồ thị trên bất kỳ khoảng độ dài T nào (thường là điều này là một khoảng có điểm cuối tại các điểm 0 và T hoặc - và (trừ te nhân hai và te nhân hai), sau đó di chuyển nhánh này dọc theo trục x(x) sang phải và sang trái một khoảng T, 2T, 3T, v.v.
Rõ ràng, nếu một hàm số tuần hoàn với chu kỳ T thì với bất kỳ số nguyên k0 (ka không bằng 0) một số có dạng kT (ka te) cũng là chu kỳ của hàm số này. Thông thường họ cố gắng cô lập chu kỳ dương nhỏ nhất, được gọi là chu kỳ chính.
Vì chu kỳ của hàm số y = cos x, y = sin x, người ta có thể lấy - 4π, 4π, - 6π, 6π, v.v. (trừ bốn pi, bốn pi, trừ sáu pi, sáu pi, v.v.) . Nhưng số 2π là chu kỳ chính của cả hai hàm số.
Hãy xem xét các ví dụ.
VÍ DỤ 1. Tìm chu kỳ chính của hàm số y = cos5x (y bằng cosin của 5 x).
Giải pháp. Gọi T là chu kỳ chính của hàm số y = cos5x. Chúng ta hãy đặt
f (x) = cos5x, thì f (x + T) = cos5(x + T) = cos (5x + 5T) (eff của x cộng với te bằng cosin của 5 nhân với tổng của x và te là bằng cosin của tổng 5 x và 5 te).
cos(5x + 5T) = cos5x. Do đó 5T = 2πn (năm te bằng hai pi en), nhưng theo điều kiện bạn cần tìm chu kỳ chính, nghĩa là 5T = 2π. Chúng tôi nhận được T =
(chu kỳ của hàm này là hai pi chia cho năm).
Đáp án: T=.
VÍ DỤ 2. Tìm chu kì chính của hàm số y = sin (y bằng sin của thương hai x x bảy).
Giải pháp. Gọi T là chu kỳ chính của hàm số y = sin. Chúng ta hãy đặt
f(x) = sin thì f(x + T) = sin(x + T) = sin(x + T) (ef của x cộng te bằng sin của tích hai phần bảy và tổng của x và te bằng sin của tổng hai phần bảy x và hai phần bảy te).
Để số T là chu kỳ của hàm số thì phải thỏa mãn đẳng thức
tội lỗi (x + T) = tội lỗi. Do đó T= 2πn (hai phần bảy te bằng hai pi en), nhưng theo điều kiện bạn cần tìm chu kỳ chính, nghĩa là T= 2π. Chúng tôi nhận được T=7
(chu kỳ của hàm này là bảy pi).
Đáp án: T=7.
Tổng hợp kết quả thu được trong các ví dụ, chúng ta có thể kết luận: chu kỳ chính của hàm số y = sin kx hoặc y = cos kx (y bằng sin ka x hoặc y bằng cosin ka x) bằng (hai pi chia cho ka).
Mục tiêu: tổng hợp, hệ thống hóa kiến thức của học sinh về chủ đề “Tính tuần hoàn của hàm số”; phát triển kỹ năng vận dụng tính chất của hàm tuần hoàn, tìm chu kỳ dương nhỏ nhất của hàm số, xây dựng đồ thị của hàm tuần hoàn; thúc đẩy hứng thú học toán; trau dồi khả năng quan sát và tính chính xác.
Thiết bị: máy tính, máy chiếu đa phương tiện, thẻ nhiệm vụ, cầu trượt, đồng hồ, bàn trang trí, các yếu tố thủ công dân gian
“Toán học là thứ con người sử dụng để kiểm soát thiên nhiên và bản thân mình.”
MỘT. Kolmogorov
Trong các lớp học
I. Giai đoạn tổ chức.
Kiểm tra sự sẵn sàng của học sinh đối với bài học. Báo cáo chủ đề và mục tiêu của bài học.
II. Kiểm tra bài tập về nhà.
Chúng tôi kiểm tra bài tập về nhà bằng cách sử dụng mẫu và thảo luận về những điểm khó nhất.
III. Khái quát hóa, hệ thống hóa kiến thức.
1. Công việc bằng miệng.
Các vấn đề lý thuyết.
1) Hình thành định nghĩa về chu kỳ của hàm số
2) Gọi chu kỳ dương nhỏ nhất của hàm số y=sin(x), y=cos(x)
3). Chu kỳ dương nhỏ nhất của hàm số y=tg(x), y=ctg(x) là bao nhiêu?
4) Dùng đường tròn chứng minh tính đúng của hệ thức:
y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360°)
y=tg(x) = tg(x+180º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z
sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z
5) Làm thế nào để vẽ đồ thị hàm tuần hoàn?
Bài tập miệng.
1) Chứng minh các quan hệ sau
a) sin(740°) = sin(20°)
b) cos(54° ) = cos(-1026°)
c) sin(-1000°) = sin(80°)
2. Chứng minh góc 540° là một trong các chu kì của hàm số y= cos(2x)
3. Chứng minh góc 360° là một trong các chu kỳ của hàm số y=tg(x)
4. Biến đổi các biểu thức này sao cho các góc trong chúng không vượt quá 90° về giá trị tuyệt đối.
a) tg375°
b)ctg530°
c) sin1268°
d)cos(-7363º)
5. Bạn bắt gặp từ KỲ KỲ, KỲ KỲ ở đâu?
Câu trả lời của học sinh: Tiết trong âm nhạc là một cấu trúc trong đó một tư tưởng âm nhạc ít nhiều hoàn chỉnh được trình bày. Một thời kỳ địa chất là một phần của một thời đại và được chia thành các thời đại có thời gian từ 35 đến 90 triệu năm.
Chu kỳ bán rã của chất phóng xạ. Phân số định kỳ. Tạp chí định kỳ là các ấn phẩm in xuất hiện trong thời hạn được xác định nghiêm ngặt. Hệ thống tuần hoàn của Mendeleev.
6. Các hình vẽ thể hiện các phần của đồ thị hàm số tuần hoàn. Xác định chu kỳ của hàm số. Xác định chu kỳ của hàm số.
Trả lời: T=2; T=2; T=4; T=8.
7. Bạn đã gặp phải việc xây dựng các phần tử lặp lại ở đâu trong đời?
Đáp án của học sinh: Các yếu tố trang trí, nghệ thuật dân gian.
IV. Giải quyết vấn đề tập thể.
(Giải quyết vấn đề trên slide.)
Chúng ta hãy xem xét một trong những cách để nghiên cứu hàm số tuần hoàn.
Phương pháp này tránh được những khó khăn liên quan đến việc chứng minh rằng một chu kỳ cụ thể là nhỏ nhất và cũng loại bỏ sự cần thiết phải giải quyết các câu hỏi về các phép tính số học trên các hàm tuần hoàn và tính tuần hoàn của hàm phức. Lý do chỉ dựa trên định nghĩa của hàm tuần hoàn và dựa trên thực tế sau: nếu T là chu kỳ của hàm thì nT(n?0) là chu kỳ của nó.
Bài 1. Tìm chu kỳ dương nhỏ nhất của hàm số f(x)=1+3(x+q>5)
Giải: Giả sử rằng chu kỳ T của hàm số này. Khi đó f(x+T)=f(x) với mọi x € D(f), tức là
1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)
Đặt x=-0,25 ta có
(T)=0 T=n, n € Z
Chúng ta đã thu được rằng tất cả các chu kỳ của hàm đang xét (nếu chúng tồn tại) đều nằm trong số các số nguyên. Hãy chọn số dương nhỏ nhất trong số đó. Đây là 1. Hãy kiểm tra xem nó có thực sự là giai đoạn 1 hay không.
f(x+1) =3(x+1+0.25)+1
Vì (T+1)=(T) với mọi T, nên f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), tức là. 1 – giai đoạn f. Vì 1 là số nhỏ nhất trong tất cả các số nguyên dương nên T=1.
Bài toán 2. Chứng minh rằng hàm số f(x)=cos 2 (x) là tuần hoàn và tìm chu kỳ chính của nó.
Bài toán 3. Tìm chu kỳ chính của hàm số
f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Giả sử chu kỳ T của hàm số thì với mọi x quan hệ đều đúng
sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Nếu x=0 thì
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5
Nếu x=-T thì
sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)
5= – sin(1,5T)+5cos(0,75T)
| sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 |
Thêm nó lên, chúng tôi nhận được:
10cos(0,75T)=10
2π n, n € Z
Chúng ta hãy chọn số dương nhỏ nhất trong số tất cả các số “đáng ngờ” của khoảng thời gian và kiểm tra xem nó có phải là khoảng thời gian của f hay không. Con số này
f(x+)=sin(1.5x+4π )+5cos(0.75x+2π )= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)
Điều này có nghĩa rằng đây là chu kỳ chính của hàm f.
Bài 4. Kiểm tra xem hàm số f(x)=sin(x) có tuần hoàn không
Gọi T là chu kì của hàm f. Khi đó với mọi x
tội lỗi|x+Т|=sin|x|
Nếu x=0, thì sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.
Hãy giả sử. Rằng với một số n số π n là khoảng thời gian
hàm số đang xét π n>0. Khi đó sin|π n+x|=sin|x|
Điều này ngụ ý rằng n phải vừa là số chẵn vừa là số lẻ, nhưng điều này là không thể. Do đó, chức năng này không tuần hoàn.
Nhiệm vụ 5. Kiểm tra xem hàm số có tuần hoàn không
f(x)= 
Gọi T là chu kỳ của f, khi đó
, do đó sinT=0, Т=π n, n € Z. Giả sử rằng với một số n số π n thực sự là chu kỳ của hàm số này. Khi đó số 2π n sẽ là khoảng thời gian
Vì tử số bằng nhau nên mẫu số bằng nhau nên
Điều này có nghĩa là hàm f không tuần hoàn.
Làm việc nhóm.
Nhiệm vụ của nhóm 1
Nhiệm vụ của nhóm 2
Kiểm tra xem hàm f có tuần hoàn không và tìm chu kỳ cơ bản của nó (nếu nó tồn tại).
f(x)=cos(2x)+2sin(2x)
Nhiệm vụ của nhóm 3
Kết thúc công việc, các nhóm trình bày giải pháp của mình.
VI. Tóm tắt bài học.
Sự phản xạ.
Giáo viên đưa cho học sinh thẻ có hình vẽ và yêu cầu các em tô màu một phần của bức vẽ đầu tiên theo mức độ mà các em cho rằng mình đã nắm vững các phương pháp nghiên cứu hàm số tuần hoàn và một phần của bức vẽ thứ hai - phù hợp với các em. đóng góp vào công việc trong bài học.
VII. Bài tập về nhà
1). Kiểm tra xem hàm f có tuần hoàn không và tìm chu kỳ cơ bản của nó (nếu tồn tại)
b). f(x)=x 2 -2x+4
c). f(x)=2tg(3x+5)
2). Hàm y=f(x) có chu kỳ T=2 và f(x)=x 2 +2x với x € [-2; 0]. Tìm giá trị của biểu thức -2f(-3)-4f(3.5)
Văn học/
Vào tháng 7 năm 2020, NASA triển khai chuyến thám hiểm tới Sao Hỏa. Tàu vũ trụ sẽ chuyển tới Sao Hỏa một phương tiện điện tử có tên của tất cả những người tham gia chuyến thám hiểm đã đăng ký.
Đăng ký người tham gia đang mở. Nhận vé lên sao Hỏa bằng liên kết này.
Nếu bài đăng này giải quyết được vấn đề của bạn hoặc bạn chỉ thích nó, hãy chia sẻ liên kết tới nó với bạn bè trên mạng xã hội.
Một trong các tùy chọn mã này cần được sao chép và dán vào mã trang web của bạn, tốt nhất là giữa các thẻ và/hoặc ngay sau thẻ. Theo tùy chọn đầu tiên, MathJax tải nhanh hơn và làm chậm trang ít hơn. Nhưng tùy chọn thứ hai sẽ tự động theo dõi và tải các phiên bản MathJax mới nhất. Nếu bạn chèn mã đầu tiên, nó sẽ cần được cập nhật định kỳ. Nếu bạn chèn mã thứ hai, các trang sẽ tải chậm hơn nhưng bạn sẽ không cần phải liên tục theo dõi các bản cập nhật MathJax.
Cách dễ nhất để kết nối MathJax là trong Blogger hoặc WordPress: trong bảng điều khiển trang web, thêm tiện ích được thiết kế để chèn mã JavaScript của bên thứ ba, sao chép phiên bản đầu tiên hoặc thứ hai của mã tải xuống được trình bày ở trên vào đó và đặt tiện ích đó gần hơn vào đầu mẫu (nhân tiện, điều này hoàn toàn không cần thiết vì tập lệnh MathJax được tải không đồng bộ). Đó là tất cả. Bây giờ hãy tìm hiểu cú pháp đánh dấu của MathML, LaTeX và ASCIIMathML và bạn đã sẵn sàng chèn các công thức toán học vào các trang web trên trang web của mình.
Lại một đêm giao thừa nữa... thời tiết băng giá và những bông tuyết trên kính cửa sổ... Tất cả những điều này thôi thúc tôi viết lại về... fractal, và những gì Wolfram Alpha biết về nó. Có một bài viết thú vị về chủ đề này, trong đó có các ví dụ về cấu trúc fractal hai chiều. Ở đây chúng ta sẽ xem xét các ví dụ phức tạp hơn về fractal ba chiều.
Fractal có thể được biểu diễn (mô tả) một cách trực quan dưới dạng hình hình học hoặc vật thể (có nghĩa là cả hai đều là một tập hợp, trong trường hợp này là một tập hợp các điểm), các chi tiết của chúng có hình dạng giống như hình ban đầu. Tức là đây là một cấu trúc tự tương tự, kiểm tra các chi tiết khi phóng to chúng ta sẽ thấy hình dạng giống như khi không phóng đại. Trong khi đó, trong trường hợp một hình hình học thông thường (không phải fractal), khi phóng đại chúng ta sẽ thấy các chi tiết có hình dạng đơn giản hơn chính hình ban đầu. Ví dụ: ở độ phóng đại đủ cao, một phần của hình elip trông giống như một đoạn thẳng. Điều này không xảy ra với fractal: với bất kỳ sự gia tăng nào của chúng, chúng ta sẽ lại thấy cùng một hình dạng phức tạp, hình dạng này sẽ được lặp đi lặp lại sau mỗi lần tăng.
Benoit Mandelbrot, người sáng lập ngành khoa học fractal, đã viết trong bài báo Fractals và Art in the Name of Science: “Fractal là những hình dạng hình học có độ phức tạp về chi tiết cũng như ở dạng tổng thể của chúng. Nghĩa là, nếu là một phần của fractal sẽ được phóng to theo kích thước của tổng thể, nó sẽ xuất hiện như một tổng thể, chính xác hoặc có thể có một chút biến dạng."
Các hàm lượng giác có tính tuần hoàn, tức là chúng lặp lại sau một khoảng thời gian nhất định. Kết quả là, việc nghiên cứu hàm số trên khoảng này là đủ và mở rộng các tính chất được phát hiện cho tất cả các thời kỳ khác.
Hướng dẫn1. Nếu bạn được cung cấp một biểu thức nguyên thủy trong đó chỉ có một hàm lượng giác (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec) và góc bên trong hàm không được nhân với bất kỳ số nào và bản thân nó cũng không được nâng lên ở bất kỳ mức độ nào - hãy sử dụng định nghĩa. Đối với các biểu thức chứa sin, cos, sec, cosec, hãy in đậm đặt dấu chấm là 2P và nếu phương trình chứa tg, ctg thì P. Giả sử, đối với hàm y=2 sinx+5, dấu chấm sẽ bằng 2P .
2. Nếu góc x dưới dấu của hàm lượng giác được nhân với một số nào đó, thì để tìm chu kỳ của hàm này, hãy chia chu kỳ điển hình cho số này. Giả sử bạn được cho một hàm y = sin 5x. Chu kỳ điển hình của một sin là 2P; chia nó cho 5, bạn nhận được 2P/5 - đây là chu kỳ mong muốn của biểu thức này.
3. Để tìm chu kỳ của hàm lượng giác lũy thừa, hãy ước tính tính chẵn lẻ của lũy thừa. Để có mức độ đồng đều, hãy giảm thời gian thông thường xuống một nửa. Giả sử, nếu bạn được cho hàm y = 3 cos^2x thì chu kỳ 2P điển hình sẽ giảm đi 2 lần, do đó chu kỳ sẽ bằng P. Xin lưu ý rằng các hàm tg, ctg tuần hoàn theo P với mọi bằng cấp.
4. Nếu bạn được cho một phương trình chứa tích hoặc thương của hai hàm lượng giác, trước tiên hãy tìm dấu chấm riêng biệt cho tất cả chúng. Sau đó, tìm số tối thiểu có thể chứa số nguyên của cả hai giai đoạn. Giả sử hàm y=tgx*cos5x được đưa ra. Đối với tiếp tuyến thì chu kỳ là P, đối với cosin 5x thì chu kỳ là 2P/5. Số lượng tối thiểu mà cả hai khoảng thời gian này có thể được đáp ứng là 2P, do đó khoảng thời gian mong muốn là 2P.
5. Nếu bạn cảm thấy khó thực hiện theo gợi ý hoặc nghi ngờ kết quả, hãy cố gắng thực hiện theo đúng quy định. Lấy T là chu kỳ của hàm số; nó lớn hơn 0. Thay biểu thức (x + T) thay cho x vào phương trình và giải phương trình thu được như thể T là một tham số hoặc một số. Kết quả là bạn sẽ khám phá ra giá trị của hàm lượng giác và có thể tìm được khoảng thời gian nhỏ nhất. Giả sử, nhờ sự nhẹ nhõm, bạn nhận được đồng bằng sin (T/2) = 0. Giá trị tối thiểu của T tại đó nó được thực hiện là 2P, đây sẽ là kết quả của nhiệm vụ.
Hàm tuần hoàn là hàm lặp lại các giá trị của nó sau một khoảng thời gian khác 0. Chu kỳ của hàm là một số mà khi thêm vào đối số của hàm sẽ không làm thay đổi giá trị của hàm.
Bạn sẽ cần
- Kiến thức về toán tiểu học và ôn tập cơ bản.
1. Chúng ta hãy biểu thị chu kỳ của hàm f(x) bằng số K. Nhiệm vụ của chúng ta là khám phá giá trị này của K. Để làm điều này, hãy tưởng tượng rằng hàm f(x), sử dụng định nghĩa của hàm tuần hoàn, chúng ta đánh đồng f(x+K)=f(x).
2. Chúng ta giải phương trình thu được đối với K chưa biết, như thể x là một hằng số. Tùy thuộc vào giá trị của K mà sẽ có một số lựa chọn.
3. Nếu K>0 – thì đây là chu kỳ của hàm số. Nếu K=0 – thì hàm số f(x) không tuần hoàn. Nếu nghiệm của phương trình f(x+K)=f(x) không tuần hoàn không tồn tại với mọi K khác 0 thì hàm số đó được gọi là hàm số không tuần hoàn và nó cũng không có chu kỳ.
Video về chủ đề
Ghi chú!
Tất cả các hàm lượng giác đều tuần hoàn và tất cả các hàm đa thức có bậc lớn hơn 2 đều không tuần hoàn.
Lời khuyên hữu ích
Chu kỳ của một hàm số gồm 2 hàm tuần hoàn là bội số phổ biến nhỏ nhất của các chu kỳ của các hàm số này.
Phương trình lượng giác là phương trình chứa các hàm lượng giác của một đối số chưa biết (ví dụ: 5sinx-3cosx =7). Để học cách giải quyết chúng, bạn cần biết một số cách để làm điều này.
1. Việc giải phương trình gồm 2 bước, bước thứ nhất là biến đổi phương trình về dạng đơn giản nhất. Các phương trình lượng giác đơn giản nhất là: Sinx=a; Cosx=a, v.v.
2. Bài thứ hai là giải phương trình lượng giác đơn giản nhất thu được. Có những cách cơ bản để giải phương trình loại này: Giải đại số. Phương pháp này nổi tiếng ở trường, từ một khóa học đại số. Còn gọi là phương pháp thay thế và thay thế biến. Bằng cách sử dụng các công thức rút gọn, chúng ta biến đổi, thay thế và sau đó tìm nghiệm.
3. Phân tích phương trình. Đầu tiên, chúng ta di chuyển tất cả các số hạng sang trái và phân tích chúng.
4. Rút gọn phương trình về phương trình đồng nhất. Phương trình được gọi là phương trình đồng nhất nếu tất cả các số hạng có cùng bậc và sin và cosin có cùng một góc. Để giải phương trình đó, trước tiên bạn nên: chuyển tất cả các số hạng của nó từ vế phải sang vế trái; di chuyển tất cả các yếu tố phổ quát ra khỏi dấu ngoặc đơn; các thừa số bằng nhau và dấu ngoặc bằng 0; dấu ngoặc đơn cho một phương trình đồng nhất ở mức độ thấp hơn, phương trình này phải được chia cho cos (hoặc sin) ở mức cao nhất; giải phương trình đại số thu được đối với tan.
5. Phương pháp tiếp theo là di chuyển đến một nửa góc. Giả sử, giải phương trình: 3 sin x – 5 cos x = 7. Chuyển sang nửa góc: 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos? (x/2) + 5 tội lỗi? (x/2) = 7 tội? (x/2) + 7 cos ? (x/ 2) , sau đó chúng ta rút gọn tất cả các số hạng thành một phần (tốt nhất là vế phải) và giải phương trình.
6. Nhập góc phụ. Khi chúng ta thay thế giá trị nguyên cos(a) hoặc sin(a). Dấu “a” là góc phụ.
7. Phương pháp chuyển đổi sản phẩm thành tổng. Ở đây bạn cần áp dụng các công thức thích hợp. Giả sử đã cho: 2 sin x · sin 3x = cos 4x. Giải bằng cách biến đổi vế trái thành tổng, nghĩa là: cos 4x – cos 8x = cos 4x ,cos 8x = 0 ,8x = p / 2 + pk , x = p/16 + pk/8.
8. Phương pháp cuối cùng được gọi là thay thế đa chức năng. Chúng ta biến đổi biểu thức và thực hiện một thay đổi, giả sử Cos(x/2)=u, rồi giải phương trình với tham số u. Khi mua tổng, chúng ta quy đổi giá trị ngược lại.
Video về chủ đề
Nếu chúng ta xét các điểm trên một đường tròn thì các điểm x, x + 2π, x + 4π, v.v. trùng với nhau. Do đó, các hàm lượng giác trên một đường thẳng lặp lại giá trị của chúng một cách định kỳ. Nếu biết chu kỳ của một hàm số thì có thể xây dựng hàm số trên chu kỳ này và lặp lại nó trên các chu kỳ khác.
1. Khoảng thời gian là một số T sao cho f(x) = f(x+T). Để tìm khoảng thời gian, hãy giải phương trình tương ứng, thay x và x+T làm đối số. Trong trường hợp này, họ sử dụng các chu kỳ đã được biết rõ cho các hàm số. Đối với các hàm sin và cos, chu kỳ là 2π, còn đối với các hàm tiếp tuyến và cotang thì chu kỳ là π.
2. Cho hàm f(x) = sin^2(10x). Xét biểu thức sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Sử dụng công thức giảm bậc: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Khi đó bạn nhận được 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) hoặc cos 20x = cos (20x+20T). Biết chu kỳ của cosin là 2π, 20T = 2π. Điều này có nghĩa là T = π/10. T là khoảng thời gian chính xác tối thiểu và hàm sẽ được lặp lại sau 2T, sau 3T và theo hướng khác dọc theo trục: -T, -2T, v.v.
Lời khuyên hữu ích
Sử dụng công thức để giảm bậc của hàm số. Nếu bạn đã biết chu kỳ của một số hàm, hãy thử rút gọn hàm hiện có thành những hàm đã biết.
Việc kiểm tra hàm số chẵn và số lẻ giúp xây dựng đồ thị của hàm số và hiểu bản chất hành vi của hàm số đó. Đối với nghiên cứu này, bạn cần so sánh hàm được viết cho đối số “x” và cho đối số “-x”.
1. Viết hàm số bạn muốn nghiên cứu dưới dạng y=y(x).
2. Thay thế đối số của hàm bằng “-x”. Thay thế đối số này vào một biểu thức hàm.
3. Rút gọn biểu thức.
4. Như vậy, bạn có cùng một hàm được viết cho các đối số “x” và “-x”. Hãy xem hai mục sau. Nếu y(-x)=y(x), thì đó là hàm chẵn. Nếu y(-x)=-y(x), thì đó là hàm lẻ. Nếu không thể nói về một hàm mà y (-x)=y(x) hoặc y(-x)=-y(x), thì theo tính chất chẵn lẻ, đây là một hàm có dạng phổ quát. Nghĩa là nó không chẵn cũng không lẻ.
5. Viết ra những phát hiện của bạn. Bây giờ bạn có thể sử dụng chúng trong việc xây dựng biểu đồ của hàm hoặc trong nghiên cứu phân tích trong tương lai về các tính chất của hàm.
6. Cũng có thể nói về tính chẵn, lẻ của hàm số trong trường hợp đã cho sẵn đồ thị của hàm số. Giả sử đồ thị là kết quả của một thí nghiệm vật lý. Nếu đồ thị của hàm số đối xứng qua trục tọa độ thì y(x) là hàm chẵn. Nếu đồ thị của hàm số đối xứng qua trục hoành thì x(y) là hàm chẵn. x(y) là hàm nghịch đảo của hàm y(x), nếu đồ thị của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ (0,0) thì y(x) là hàm lẻ. Hàm nghịch đảo x(y) cũng sẽ là số lẻ.
7. Điều quan trọng cần nhớ là ý tưởng về tính chẵn và lẻ của hàm số có mối liên hệ trực tiếp với miền định nghĩa của hàm số. Giả sử, nếu một hàm chẵn hoặc lẻ không tồn tại tại x=5, thì nó không tồn tại tại x=-5, điều này không thể nói về một hàm có dạng phổ quát. Khi thiết lập tính chẵn lẻ chẵn và lẻ, hãy chú ý đến miền xác định của hàm.
8. Việc tìm hàm số chẵn và số lẻ tương quan với việc tìm một tập hợp các giá trị của hàm. Để tìm tập hợp các giá trị của hàm chẵn, chỉ cần nhìn vào một nửa hàm, ở bên phải hoặc bên trái của số 0 là đủ. Nếu tại x>0 hàm chẵn y(x) lấy các giá trị từ A đến B thì nó sẽ lấy các giá trị giống nhau và tại x0 hàm lẻ y(x) lấy các giá trị nằm trong khoảng giá trị từ A tới B, sau đó tại x sin^2 ? + cos^2 ? = 1. Danh tính thứ ba và thứ tư có được bằng cách chia tương ứng cho b^2 và a^2: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/tội^ ? hoặc 1 + ctg^2? = 1/sin^2 ?. Đẳng thức cơ bản thứ năm và thứ sáu được chứng minh bằng cách xác định tổng các góc nhọn của một tam giác vuông, bằng 90° hoặc?/2. Các đẳng thức lượng giác khó hơn: công thức cộng đối số, góc đôi và góc ba, giảm độ, cải cách tổng hoặc tích của các hàm, cũng như các công thức thay thế lượng giác, cụ thể là biểu thức của hàm lượng giác cơ bản theo nửa góc tan: sin ?= (2*tg ?/2)/ (1 + tan^2 ?/2);cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).
Nhu cầu tìm giá trị tối thiểu của một hàm toán học thực sự được quan tâm trong việc giải các bài toán ứng dụng, chẳng hạn như trong kinh tế học. Giảm thiểu tổn thất có ý nghĩa rất quan trọng đối với hoạt động kinh doanh.
1. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số, cần xác định tại giá trị nào của đối số x0 thì bất đẳng thức y(x0) sẽ được thỏa mãn? y(x), x ở đâu? x0. Như thường lệ, vấn đề này được giải quyết trong một khoảng nhất định hoặc trong từng phạm vi giá trị của hàm, nếu không chỉ định một giá trị. Một khía cạnh của giải pháp là tìm điểm cố định.
2. Điểm dừng là giá trị của đối số mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0. Theo định lý Fermat, nếu một hàm khả vi có giá trị cực trị tại một điểm nào đó (trong trường hợp này là cực tiểu cục bộ), thì điểm này là điểm dừng.
3. Hàm số thường lấy giá trị nhỏ nhất một cách chính xác tại thời điểm này, nhưng nó không thể được xác định một cách bất biến. Hơn nữa, không phải lúc nào cũng có thể nói chính xác giá trị cực tiểu của hàm số bằng hoặc liệu nó có nhận một giá trị vô cùng nhỏ hay không. Sau đó, như thường lệ, họ tìm ra giới hạn mà nó hướng tới khi nó giảm đi.
4. Để xác định giá trị nhỏ nhất của một hàm số cần thực hiện một chuỗi các thao tác gồm 4 giai đoạn: tìm miền định nghĩa của hàm số, lấy điểm cố định, xét các giá trị của hàm số tại các điểm đó. điểm và ở cuối khoảng, tìm mức tối thiểu.
5. Hoá ra cho trước một hàm y(x) nào đó trên một khoảng có ranh giới tại các điểm A và B. Tìm miền định nghĩa của nó và tìm hiểu xem khoảng đó có phải là tập con của nó hay không.
6. Tính đạo hàm của hàm số. Đánh đồng biểu thức thu được bằng 0 và tìm nghiệm của phương trình. Kiểm tra xem các điểm dừng này có nằm trong khoảng trống không. Nếu không, chúng sẽ không được tính đến ở giai đoạn tiếp theo.
7. Xem xét khoảng trống về loại ranh giới: mở, đóng, ghép hay vô biên. Điều này xác định cách bạn tìm kiếm giá trị tối thiểu. Giả sử đoạn [A, B] là một khoảng đóng. Cắm chúng vào hàm và tính toán các giá trị. Làm tương tự với một điểm cố định. Chọn tổng số thấp nhất.
8. Với những khoảng thời gian mở và vô lượng, tình hình có phần khó khăn hơn. Ở đây bạn sẽ phải tìm kiếm các giới hạn một phía không luôn đưa ra kết quả rõ ràng. Giả sử, đối với một khoảng có một biên đóng và một biên bị thủng [A, B), người ta phải tìm hàm số tại x = A và giới hạn một phía lim y tại x? B-0.
Ngôn ngữ nhân tạo và tự nhiên
Những vấn đề hiện đại của khoa học và giáo dục
Sách thông minh dành cho người thông minh: ôn tập