Все формулы арифметической и геометрической прогрессии 9. Арифметическая прогрессия (9 класс): формулы, примеры

Цель игры :

1. Обобщение и систематизация знаний учащихся по данной теме.
2. Ознакомление учащихся с историческим материалом.

Оборудование: плакат к игре “Прогрессио – движение вперед”.

Все учащиеся разбиты на пять групп + совет мудрецов

Закончился двадцатый век.
Куда стремится человек?
Изучены космос и море,
Строенье звезд и вся Земля.
Но математиков зовет
Известный лозунг:
“Прогрессио – движение вперед”.

Сегодня у нас в классе состоится совет – совет Мудрецов. Мудрецы – ученики, сидящие в классе по группам. И Мудрецы, сидящие за этим столом.

Узнаёте ли вы их?

За столом сидят: Архимед, Гаусс, Магницкий.

Кто формулу суммы квадратов нашел?
И верной дорогой к прогрессу пришел?
Математик и физик. Я – Архимед.
О жизни моей ходит много легенд.

О! Я – Карл Гаусс! Нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи учеником начальной школы.

Магницкий. Господа! Имею честь представится. Я Леонтий Филиппович Магницкий – создатель первого учебника “Арифметика”.

Учитель. Скажите, ребята, почему эти ученые вдруг собрались вместе за одним столом? Какой вопрос математики объединяет их? Если вы не догодались, то внимательно посмотрите сценку.

Древняя индийская легенда

В классе появляется индусский царь со слугой.

Царь. Я, индусский царь Шерам, научился игре в шахматы и восхищен ее остроумием и разнообразием в ней положений. Слуга, позовим изобретателя Сету. Я желаю достойно наградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал. Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты ее получишь.

Сета. Повелитель. Прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно

Царь. Простое пшеничное зерно?

Сета. Да, повелитель За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью – 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, и так до 64-й клетки.

Царь Шерам рассмеялся.

Учитель. О мудрецы 9– го класса, давайте посоветуемся. Стоит ли царю смеятся?

На доске запись: 1,2,4,8,16,….. S 64 – ?

Учащиеся решают. b 1= 1, q=2, n=64, S 64 =2 64 – 1.

Учитель. Как велико это число? Кто может это обяснить?

Архимед. Наимудрейшие! Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктидой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за пять он смог бы рассчитаться.

Гаусс. Математика – это точная наука. (Записывает на доске 18 446 744 073 709 551 615). 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615.

Магницкий. Господа Мудрецы 9-го класса! Мои современники сказали бы так, что S 64 18,5 10 18 . Правда, я вам признаюсь, что в моем учебнике “Арифметика”, изданном 200 лет назад, по которому целых полвека учились дети, много задач по теме “Прогрессии”, но иные из них я сам решал с большим трудом, так как еще не нашел всех формул, связывающих входящие в них величины.

Под скрип пера о лист бумаги.
Заполните сии листы!
Да помогут вам наши начинанья!

Раздаются загатовки листов для проверки знаний теории, т. е. восстанавливается опорный конспект по теме “Прогрессии”.

Ученики заполняют таблицу. На доске появляется следующая таблица:

	Прогрессии	Арифметическая a n	Геометрическая b n
	Определение		b n+1 =b n q (q0,q1)
	Формула n первых членов	a n =a 1 + (n-1)d
	Сумма n первых членов прогрессии	S n =	S n = И поиск их был нами оценен. Слова же следует теперь соединить, В какую фразу можно их объеденить? “Математика – царица наук, арифметика – царица математики” О мудрецы времен! Дружней вас не сыскать. Совет сегодня завершен, Но каждый должен знать: Познание, упорство,труд К прогрессу в жизни приведут!

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ.

Урок в 9 классе.

Учитель математики- Приходько Галина Владимировна

Цели урока:

Образовательные: совершенствовать умения по использованию формул арифметической и геометрической прогрессий для решения задач прикладного содержания, показать использование формул прогрессий для задач физики, биологии, экономики, проверка усвоения знаний путем проведения самостоятельной работы в тестовой форме.

Воспитательные: воспитывать чувство ответственности, взаимоуважения, умения работать в группах.

Развивающие: развивать интерес к предмету, потребность к получению новых знаний.

Тип урока: круглый стол.

Ход урока:

1.) Организационный момент. Учащиеся образовали группы: кафедра теории, кафедра истории, биологии, физики, экономики.

2.)Опрос. Кафедра теории.

План опроса: Определение, свойства, формула n -ого члена, формула суммы.

Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия.

1. 1.

2.
2.

3.
3.

4.
4.

5.
5.

3.) Кафедра истории.

С понятием последовательностей связаны имена следующих математиков. Члены последовательности 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,… называют числами Фибоначчи. Это объясняется тем, что итальянский математик и купец Леонардо Пизанский (Фибоначчи) первым установил связь между этой последовательностью и известной задачей о размножении кроликов. В этой задаче исследуется численность потомства одной пары кроликов, которая ежемесячно приносит пару крольчат, а те через месяц также начинают производить потомство.

С тех пор как Фибоначчи открыл свою последовательность, были найдены явления природы, в которых эта последовательность играет немаловажную роль. Одно из них филлотаксис (листорасположение)- правило, по которому располагаются, например, семечки в соцветии подсолнуха. Семечки упорядочены в два ряда спиралей, одна из которых идёт по часовой стрелке, другая против. И количество семян в каждом случае 34 и 55, однако встречаются и гиганты с 89 и 144 семечками. Подобное свойство можно обнаружить в структуре сосновых шишек. То же наблюдается и на плодах ананаса.

Выдающийся немецкий математик К.Гаусс нашел сумму арифметической прогрессии

1, 2, 3, …, 98,99,100 в возрасте 5 лет.

С геометрической последовательностью 1, 2,
связана старинная легенда. Индийский мудрец, придумавший шахматную игру, попросил у раджи за своё изобретение, на первый взгляд, скромное вознаграждение: за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зёрнышко, за вторую – 2, за третью – 4 и т. д. – за каждую следующую клетку вдвое больше, чем за предыдущую. Общее количество зерен, которое попросил изобретатель, равно

Богатый раджа был потрясен, когда узнал, что он не в состоянии удовлетворить «скромное желание» мудреца. Значение этого выражения равно 18 446 744 073 709 551 615 т.е. 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615.

Для того, чтобы осознать, насколько велико это число, представим, что зерно хранят в амбаре площадью 12 га. Его высота была бы больше расстояния от Земли до Солнца.

4.) Кафедра биологии.

В биологии тоже есть явления, которые можно охарактеризовать с помощью прогрессий. В частности размножение живых организмов. Зная такие характеристики организма, как периодичность размножения и численность потомства, можно с помощью прогрессий спрогнозировать количество популяции за определённый промежуток времени. Такой процесс рассматривается в следующей задаче.

ЗАДАЧА.

Бактерия, попав в организм, до конца 20 минуты делится на две, каждая из которых до конца 20 минуты снова делится на две и т.д. Сколько бактерий будет в организме через сутки?

Решение:

Количество бактерий каждые 20 минут увеличивается в 2 раза, поэтому имеем:

1,2,4,8,… геометрическая прогрессия, в которой

по формуле
найдём

бактерий.

Ответ:
бактерий.

5.) Кафедра физики.

Из истории астрономии известно, что И.Тициус, немецкий астроном XVIII века, с помощью ряда чисел Фибоначчи нашёл закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы. Однако один случай, который казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Сосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов, произошло это после смерти Тициуса в начале XIX века.

Прогрессии выражают законы некоторых физических явлений. Например, по закону геометрической прогрессии происходит ударная ионизация. При ударной ионизации положительный ион достигая поверхности отрицательного электрода выбивает электрон. Этот электрон, обладая большой энергией выбивает электрон из внешней оболочки атома, который встречает на своём пути. Образовавшиеся уже 2 электрона выбивают ещё 2, полученные 4 ещё 4 и т. д. Образуется электронная лавина, растущая в геометрической прогрессии.

В физике есть понятие равноускоренного движения. Если тело движется равноускоренно, то расстояние, которое оно проходит за каждую следующую единицу времени, увеличивается на одну и ту же величину. Т.е. отрезки пути, которые проходит тело за 1,2,3,4,…единицы времени образуют арифметическую прогрессию.

ЗАДАЧА.

Шар, который катится в желобе, за первую секунду проходит 0,6 м. а за каждую следующую на 0,6м больше. За какое время он пройдёт 6м?

Решение:
м,
м,
м.

5 не удовлетворяет условию задачи

Шар пройдёт 6м за 4сек.

Ответ:4сек.

6.)Кафедра экономики.

Первый банк был основан в Венеции в 1171 году. С тех пор банковская система развивается и усовершенствуется.

В случае размещения в банке денежного вклада вкладчик получает определённый процент за использование своих средств.

ЗАДАЧА.

Банк выплачивает 2% годовых. Какой будет сумма вклада в 800р в конце каждого года? За первый или за второй год прирост вклада больше? Каким будет вклад через 3 года?

Решение:

Пусть A – начальный вклад, на который насчитывается p % годовых, тогда A ·
-прирост вклада, через год имеем

где
- стала величиной постоянной для любой суммы. Через 2 года имеем:

т.е. прирост вклада возрастает по закону геометрической прогрессии.

Если вкладчик положил в банк 800р, под 2% годовых, то прирост образует

800·0,02=16 р

За первый год сумма вклада равна 800+16 =816р

За второй год 816·(1+0.02)² = 832,32р

За каждый год начальный вклад увеличивается на 2% , поэтому через 3года он равен

800·(1,02)³= 800·1,06=848(р)

Ответ: 848р.

ЗАДАЧА.

Работники получили задание выкопать колодец. За первый выкопанный в глубину метр колодца им платят 50 р, а за каждый следующий на 20 р больше, чем за предыдущий. Сколько денег (в рублях) заплатят работникам за выкопанный колодец глубиной 12м?

Решение:

Из условия задачи имеем арифметическую прогрессию

необходимо найти

Ответ: 1920р.

7) Решение тестовых заданий.

1 вариант.

1. Найдите разность арифметической прогрессии, если

А) 0,9 ; Б) -0,9; В) 9; Г) -9.

2. Чему равна сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии, первый член которой

а знаменатель

А) 70; Б) 85; В) 80; Г) 75.

3. Чему равна сумма шести первых членов арифметической прогрессии, если

А)85; Б) 95; В) 105; Г) 115.

4. Среди данных последовательностей укажите арифметическую прогрессию.

А) 5;8;13;18; В) 0,1;0,2;0,3;0,4;

Б) 45;40;33;27; Г) 7;9;12;14.

5. Из последовательности чисел -9,-8,-6,4,5,6 выбрали два числа и нашли их произведение. Какое наименьшее значение может принимать это произведение?

А)-40; Б) -54; В) -72; Г) -36.

6. Укажите среди данных последовательностей геометрическую прогрессию.

А)6;18;54;162; Б)1;2;3;5; В)3;8;13;18; Г)21;19;17;15.

7. Чему равен третий член геометрической прогрессии, первый член которой
а знаменатель

А) 15; Б) 45; В) 135; Г) 75.

8. Найдите знаменатель геометрической прогрессии,если

А)
Б) В)
Г)

9. Найдите седьмой член арифметической пргрессии, первый член которой равен 8, а разность равна 0,5.

А) 11; Б) 10; В) 10,5; Г) 9,5.

10. Найдите первый член арифметической прогрессии, если второй член равен 2,1, а разность равна 0,7.

А) 1,4; Б)2,8; В) 0,3; Г) 14,7.

2 вариант.

1. Какая из последовательностей является арифметической прогрессией?

А) 1;2;4;8; Б)8;10;13;17; В)2;4;6;8; Г) -8;8;-8;8. а знаменатель

А) -2; Б) -6; В) 2; Г)6.

Кафедра биологии.

Задача. Бактерия, попав в организм, до конца 20 минуты делится на 2 , каждая из которых до конца 20 минуты снова делится на 2 и т. д. Сколько бактерий будет в организме через сутки?

Кафедра физики.

Задача. Шар, который катится в желобе, за первую секунду проходит 0,6 м, а за каждую следующую на 0,6 м больше. За какое время он пройдет 6 м.

Кафедра экономики.

Задача. Банк выплачивает 2% годовых. Какой будет сумма вклада в 800 гривен в конце каждого года? За первый или за второй год прирост вклада больше? Каким будет вклад через 3 года?

Кафедры истории и теории.

Задача. Работники получили задание выкопать колодец. За первый выкопанный в глубину метр колодца им платят 50 р, а за каждый следующий – на 20 р больше, чем за предыдущий. Сколько денег (в рублях) заплатят работникам за выкопанный колодец глубиной

12 м.

Литература:

1.Открытые уроки. Математика. 5,6,7,9,11кл. Выпуск 2. Авторы –составители: Ляшова Н.М.и другие. Волгоград: Учитель,2007-84с.

2. Предметные недели в школе. Математика. Составитель:Гончарова Л.В.

Волгоград: Учитель.2007-133с.

3. Сухарева Л.С. Дидактические игры на уроках математики.7-9кл. Харьков: Основа.2006-144с.

Понимание многих тем по математике и физике связано со знанием свойств числовых рядов. Школьники в 9 классе при изучении предмета "Алгебра" рассматривают одну из важных последовательностей чисел - арифметическую прогрессию. Приведем основные формулы арифметической прогрессии (9 класс), а также примеры их использования для решения задач.

Алгебраическая или арифметическая прогрессия

Числовой ряд, который будет рассмотрен в данной статье, называют двумя разными способами, представленными в названии этого пункта. Итак, под прогрессией арифметической в математике понимают такой числовой ряд, в котором стоящие рядом любые два числа отличаются на одну и ту же величину, носящую название разности. Числа в таком ряду принято обозначать буквами с нижним целочисленным индексом, например, a 1 , a 2 , a 3 и так далее, где индекс указывает номер элемента ряда.

Учитывая данное выше определение прогрессии арифметической, можно записать следующее равенство: a 2 -a 1 =...=a n -a n-1 =d, здесь d - разность прогрессии алгебраической и n - любое целое число. Если d>0, то можно ожидать, что каждый последующий член ряда будет больше предыдущего, в этом случае говорят о возрастающей прогрессии. Если d<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

Формулы арифметической прогрессии (9 класс школы)

Рассматриваемый ряд чисел, поскольку является упорядоченным и подчиняется некоторому математическому закону, обладает двумя важными для его использования свойствами:

1. Во-первых, зная всего два числа a 1 и d, можно найти любой член последовательности. Это делается с помощью такой формулы: a n = a 1 +(n-1)*d.
2. Во-вторых, для вычисления суммы n членов первых не обязательно складывать их по порядку, поскольку можно воспользоваться следующей формулой: S n = n*(a n +a 1)/2.

Первую формулу понять просто, так как она является прямым следствием того, что каждый член рассматриваемого ряда отличается от своего соседа на одинаковую разность.

Вторая формула арифметической прогрессии может быть получена, если обратить внимание на то, что сумма a 1 +a n оказывается эквивалентной суммам a 2 +a n-1 , a 3 +a n-2 и так далее. Действительно, поскольку a 2 = d+a 1 , a n-2 = -2*d+a n , a 3 = 2*d+a 1 , и a n-1 = -d+a n , то подставляя эти выражения в соответствующие суммы, получим, что они будут одинаковыми. Множитель n/2 во 2-й формуле (для S n) появляется из-за того, что сумм типа a i+1 +a n-i оказывается ровно n/2, здесь i - целое число, пробегающее значения от 0 до n/2-1.

Согласно сохранившимся историческим свидетельствам, формулу для суммы S n впервые получил Карл Гаусс (знаменитый немецкий математик), когда перед ним была поставлена задача школьным учителем сложить первые 100 чисел.

Пример задачи №1: найдите разность

Задачи, в которых ставится вопрос следующим образом: зная формулы арифметической прогрессии, как найти д (d), являются самыми простыми, которые только могут быть для этой темы.

Приведем такой пример: дана числовая последовательность -5,-2, 1, 4, ..., необходимо определить ее разность, то есть d.

Сделать это проще простого: необходимо взять два элемента и из большего по счету вычесть меньший. В данном случае имеем: d = -2 - (-5) = 3.

Чтобы быть наверняка уверенным в полученном ответе, рекомендуется проверить остальные разности, поскольку представленная последовательность может не удовлетворять условию прогрессии алгебраической. Имеем: 1-(-2)=3 и 4-1=3. Эти данные говорят о том, что мы получили правильный результат (d=3) и доказали, что ряд чисел в условии задачи действительно представляет собой прогрессию алгебраическую.

Пример задачи №2: найдите разность, зная два члена прогрессии

Рассмотрим еще одну интересную задачу, которая ставится вопросом, как найти разность. Формулу арифметической прогрессии в этом случае необходимо использовать для n-ного члена. Итак, задача: даны первое и пятое числа ряда, который соответствует всем свойствам алгебраической прогрессии, например, это числа a 1 = 8 и a 5 = -10. Как найти разность d?

Начинать решение этой задачи следует с записи общего вида формулы для n-ного элемента: a n = a 1 +d*(-1+n). Теперь можно пойти двумя путями: либо подставить сразу числа и работать уже с ними, либо выразить d, а затем переходить к конкретным a 1 и a 5 . Воспользуемся последним способом, получаем: a 5 = a 1 +d*(-1+5) или a 5 = 4*d+a 1 , откуда следует, что d = (a 5 -a 1)/4. Теперь можно спокойно подставить известные данные из условия и получить конечный ответ: d = (-10-8)/4 = -4,5.

Заметим, что в данном случае разность прогрессии оказалась отрицательной, то есть имеет место убывающая последовательность чисел. На этот факт необходимо обращать внимание при решении задач, чтобы не перепутать знаки "+" и "-". Все формулы, приведенные выше, являются универсальными, поэтому всегда следует их соблюдать независимо от знака чисел, с которыми осуществляются операции.

Пример решения задачи №3: найдите a1, зная разность и элемент

Изменим немного условие задачи. Пусть имеются два числа: разность d=6 и 9-й элемент прогрессии a 9 = 10. Как найти а1? Формулы арифметической прогрессии остаются неизменными, воспользуемся ими. Для числа a 9 имеем следующее выражение: a 1 +d*(9-1) = a 9 . Откуда легко получаем первый элемент ряда: a 1 = a 9 -8*d = 10 - 8*6 = -38.

Пример решения задачи №4: найдите a1, зная два элемента

Этот вариант задачи является усложненной версией предыдущего. Суть заключается в том же самом, необходимо вычислить a 1 , однако теперь разность d не известна, а вместо нее дан еще один элемент прогрессии.

Примером такого типа задач может служить следующий: найдите первое число последовательности, для которой известно, что она является прогрессией арифметической, и что ее 15-й и 23-й элементы равны 7 и 12, соответственно.

Решать эту задачу необходимо с записи выражения для n-ного члена для каждого известного из условия элемента, имеем: a 15 = d*(15-1)+a 1 и a 23 = d*(23-1)+a 1 . Как видно, мы получили два линейных уравнения, которые нужно разрешить относительно a 1 и d. Поступим так: вычтем из второго уравнения первое, тогда получим такое выражение: a 23 -a 15 = 22*d - 14*d = 8*d. При получении последнего уравнения были опущены значения a 1 , поскольку они сокращаются при вычитании. Подставляя известные данные, находим разность: d = (a 23 -a 15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.

Значение d необходимо подставить в любую формулу для известного элемента, чтобы получить первый член последовательности: a 15 = 14*d+a 1 , откуда: a 1 =a 15 -14*d = 7-14*0,625 = -1,75.

Проверим полученный результат, для этого найдем a 1 через второе выражение: a 23 = d*22+a 1 или a 1 = a 23 -d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.

Пример решения задачи №5: найдите сумму n элементов

Как можно было заметить, до этого момента для решения использовалась всего одна формула арифметической прогрессии (9 класс). Теперь приведем задачу, для решений которой понадобиться знание второй формулы, то есть для суммы S n .

Имеется следующая упорядоченный ряд чисел -1,1, -2,1, -3,1,..., нужно вычислить сумму ее 11 первых элементов.

Из данного ряда видно, что он является убывающим, и a 1 = -1,1. Его разность равна: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Теперь определим 11-й член: a 11 = 10*d + a 1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Выполнив подготовительные вычисления, можно воспользоваться отмеченной выше формулой для суммы, имеем: S 11 =11*(-1,1 +(-11,1))/2 = -67,1. Поскольку все слагаемые являлись отрицательными числами, то и их сумма имеет соответствующий знак.

Пример решения задачи №6: найдите сумму элементов от n до m

Пожалуй, этот тип задач является самым сложным для большинства школьников. Приведем типичный пример: дан ряд чисел 2, 4, 6, 8 ..., необходимо найти сумму с 7-го по 13-й членов.

Формулы арифметической прогрессии (9 класс) используются точно такие же, как и во всех задачах ранее. Эту задачу рекомендуется решать поэтапно:

1. Сначала найти сумму 13 членов по стандартной формуле.
2. Затем рассчитать эту сумму для 6 первых элементов.
3. После этого вычесть из 1-й суммы 2-ю.

Приступим к решению. Так же как и в предыдущем случае, проведем подготовительные вычисления: a 6 = 5*d+a 1 = 10+2 = 12, a 13 = 12*d+a 1 = 24+2 = 26.

Вычислим две суммы: S 13 = 13*(2+26)/2 = 182, S 6 = 6*(2+12)/2 = 42. Берем разницу и получаем искомый ответ: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. Отметим, что при получении этого значения использовалась в качестве вычитаемого именно сумма 6 элементов прогрессии, поскольку 7-й член входит в сумму S 7-13 .

Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии

Класс : 9

Система подготовки : материал для подготовки изучения темы по алгебре и подготовительный этап для сдачи экзамена ОГЭ

Цель : формирование понятий арифметической и геометрической прогрессии

Задачи : научить различать виды прогрессии, научить правильно, использовать формулы

Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии)

в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии.

Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии

Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией. По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.

Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей

В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства

Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.

2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.

3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k-го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы

4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k-го номера. Для этого используйте формулу

Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;...

Решение:

Согласно условию имеем

Определим шаг прогрессии

По известной формуле находим сороковой член прогрессии

Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

Распишем заданные элементы прогрессии по формулам

Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых .

Решение:

Запишем формулу сотого элемента прогрессии

и найдем первый

На основе первого находим 50 член прогрессии

Находим сумму части прогрессии

и сумму первых 100

Сумма прогрессии равна 250. Найти число членов арифметической прогрессии, если:

а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Решение:

Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их

Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме

Выполняем упрощения

и решаем квадратное уравнение

Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом, сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.

Решить уравнение

1+3+5+...+х=307.

Решение:

Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии

Найденные величины подставим в формулу суммы прогрессии для отыскания числа слагаемых

Как и в предыдущем задании, выполним упрощения и решим квадратное уравнение

Выбираем более логичное из двух значений. Имеем, что сумма 18 членов прогрессии с заданными величинами а1=1, d=2 равна Sn=307.

Примеры решения задач: Арифметическая прогрессия

Задача1

Студенческая бригада подрядилась выложить керамической плиткой пол в зале молодежного клуба площадью 288м2.Приобретая опыт, студенты в каждый следующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м2 больше чем в предыдущий, и запасов плитки им хватило ровно на 11 дней работы. Планируя, что производительность труда будет увеличиваться таким же образом, бригадир определил, что для завершения работы понадобиться еще 5 дней. Сколько коробок с плитками ему надо заказать, если 1 коробки хватает на 1,2 м2 пола, а для замены некачественных плиток понадобиться 3 коробки?

Решение

По условию задачи понятно,что речь идет об арифметической прогрессии в которой пусть

а1=х, Sn=288, n=16

Тогда используем формулу: Sn= (2а1+d(n-1))*n/0.86=200мм рт. ст.

288=(2х+2*15)*16/2

Расчитаем, сколько м2 выложат студенты за 11 дней: S11=(2*3+2*10)*11.2=143м 2

288-143=145м2осталось после 11 дней работы,т.е. на 5дней

145/1,2=121(приближенно) коробок нужно заказать на 5 дней.

121+3=124 коробки нужно заказать с учетом брака

Ответ:124 коробки

Задача2

После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нем воздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначально давление было 760 мм рт. ст.

Решение

Так как после каждого движения поршня из сосуда удаляется 20% имевшегося воздуха,то остается 80% воздуха. Чтобы узнать давление воздуха в сосуде послеочередного движения поршня, нужно давление предыдущего движения поршня уиножить на 0,8.

Мы имеем геометрическую прогрессию,первый член которой равен 760, а знаменатель равен 0,8. Число, выражающее давление воздуха в сосуде (в мм. рт. ст.) после шести движений поршня, является седьмым членом этой прогрессии. Оно равно 760*0.86=200мм.рт. ст.

Ответ:200 мм.рт.ст.

Задана арифметическая прогрессия, где пятый и десятый члены равны соответственно 38 и 23. Найти пятнадцатый член прогрессии и сумму ее десяти первых членов.

Решение:

Найти число членой арифметической прогресии 5,14,23,...,, если ее -ый член равен 239.

Решение:

Найти число членов арифметической прогресии 9,12,15,...,, если ее сумма равна 306 .

Решение:

Найдите х, при котором числа х-1, 2х-1, х2-5 составляют арифметическую прогрессию

Решение:

Найдем разность 1 и 2 членов прогрессии:

d=(2x-1)-(x-1)=x

Найдем разность 2 и 3 членов прогрессии:

d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4

Т.к. разность одинакова, то и члены прогрессии можно приравнять:

При проверке в обоих случаях получается арифметическая прогрессия

Ответ: при х=-1 и х=4

Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом a3=5; a7=13. Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии

a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, значит d=2

Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии

Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии

S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100

Ответ: а1=1; S10=100

В арифметической прогрессии, первый член которой равен -3,4, а разность равна 3, найдите пятый и одиннадцатый члены .

Итак, мы знаем, что a1 = -3,4; d = 3. Найти: a5, a11-.

Решение. Для нахождения n-ого члена арифметической прогрессии воспользуемся формулой: an = a1+ (n – 1)d. Имеем:

a5 = a1 + (5 – 1)d = -3,4 + 4 · 3 = 8,6;

a11 = a1 + (11 – 1)d = -3,4 + 10 · 3 = 26,6.

Как видим, в данном случае, решение не сложное.

Двенадцатый член арифметической прогрессии равен 74, а разность равна -4. Найдите тридцать четвертый член данной прогрессии.

Нам сказано, что a12 = 74; d = -4, а найти надо a34-.

В данной задаче сразу применить формулу an = a1 + (n – 1)d не представляется возможным, т.к. не известен первый член a1. Такая задача может быть решена в несколько действий.

1. С помощью члена a12 и формулы n-ого члена находим a1:

a12 = a1 + (12 – 1)d, теперь упростим и подставм d: a12 = a1 + 11 · (-4). Из этого уравнения находим a1: a1 = a12 – (-44);

Двенадцатый член нам известен из условия задачи, поэтому без проблем вычисляем a1

a1 = 74 + 44 = 118. Переходим ко второму действию – вычислению a34.

2. Опять же по формуле an = a1 + (n – 1)d, так как уже известно a1, будем определять a34-,

a34 = a1 + (34 – 1)d = 118 + 33 · (-4) = 118 – 132 = -14.

Ответ: тридцать четвертый член арифметической прогрессии равен -14.

Как видно, решение второго примера более сложное. Два раза используется одна и та же формула для получения ответа. Но все так сложно. Решение можно сократить, если использовать дополнительные формулы.

Как уже отмечалось, если в задаче известно a1, то формулу для определения n-ого члена арифметической прогрессии применять очень удобно. Но, если в условии задан не первый член, то на помощь может прийти формула, которая связывает между собой нужный нам n-ый член и заданный в задаче член ak.

an = ak + (n – k)d.

Решим второй пример, но уже с использованием новой формулы.

Дано: a12 = 74; d = -4. Найти: a34-.

Используем формулу an = ak + (n – k)d. В нашем случае будет:

a34 = a12 + (34 – 12) · (-4) = 74 + 22 · (-4) = 74 – 88 = -14.

Ответ в задаче получен значительно быстрей, потому что не пришлось выполнять дополнительных действий и искать первый член прогрессии.

С помощью приведенных выше формул можно решать задачи по вычислению разности арифметической прогрессии. Так, применяя формулу an = a1 + (n – 1)d можно выразить d:

d = (an – a1) / (n – 1). Однако задачи с заданным первым членом встречаются не так часто, и решать их можно применяя нашу формулу an = ak + (n – k)d, из которой видно, что d = (an – ak) / (n – k). Давайте рассмотрим такую задачу.

Найдите разность арифметической прогрессии, если известно, что a3 = 36; a8 = 106.

Используя полученную нами формулу, решение задачи можно записать в одну строчку:

d = (a8 – a3) / (8 – 3) = (106 – 36) / 5 = 14.

Не будь в арсенале этой формулы, решение задачи заняло бы гораздо больше времени, т.к. пришлось бы решать систему двух уравнений.

Геометрические прогрессии

1. Формула -го члена (общего члена прогрессии) .
2. Формула суммы первых членов прогрессии: . При принято говорить о сходящейся геометрической прогрессии; в этом случае можно вычислить сумму всей прогрессии по формуле .
3. Формула "среднего геометрического": если , , - три последовательных члена геометрической прогрессии, то в силу определения имеем соотношения: или или .