Лабораторный практикум по численным методам. Численные методы практикум

Ниже представлены лабораторные работы с решениями по численным методам (выполненные в МатБюро). Вы можете скачать готовые файлы работ ниже по ссылкам, а также получить больше информации о решении подобных заданий из методичек и практикумов.

Численные методы (или Вычислительная математика) - раздел прикладной математики, в котором разрабатываются, математически обосновываются (сходимость, устойчивость) и реализуются (в специальных программах или на языках программирования высокого уровня) методы приближенного решения математических задач: решения нелинейных уравнений, СЛАУ, обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, уравнений в частных производных, краевых задачи, задачи численного интерполирования, аппроксимации, интегрирования и т.п.

Готовые лабораторные по вычислительной математике

Контрольная по основам численных методов , 3 страницы
Задание 1. Осуществить интерполяцию с помощью полинома Ньютона и вычислить значение этого полинома в точке х=0,0014.

Задание 2. Уточнить значение корня на интервале тремя итерациями

Задание 3. Методами прямоугольников, трапеции и Cимпсона вычислить интеграл
Задание на аппроксимацию Паде с решением , 2 страницы
Применить аппроксимацию Паде для приближения функции $f(x)=x^2*e^{1-x}$ рациональной дробью .
, 4 страницы
1. Определить, какое равенство точнее.

2. Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки.

3. Найти предельную абсолютную и относительную погрешности числа, если они имеют только верные цифры.

4. Вычислить и определить погрешности результата.

5. Отделить корни нелинейного уравнения аналитически

6. Отделить корни нелинейного уравнения аналитически и уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01
Численные методы: решенная лабораторная 3 задания, 11 страниц
Задание 1. Рассмотрим функцию
Провести математическое исследование графика функции f(x). Построить эскиз графика функции.
Изолировать нули функции f(x), то есть найти интервалы, на которых f(x) меняет знак. На каждом интервале сделать 4 шага методом половинного деления.
Найти приближенные значения корней методом Ньютона (касательных). В качестве начальных приближений брать середины найденных выше интервалов. Сделать по 2 шага.
Все вычисления должны проводиться с точностью не менее 5 знаков после запятой.

Задание 2. Рассмотрим матрицы
Найти обратную матрицу $P^{-1}$ и вычислить произведение матриц $W=P\cdot R \cdot P^{-1}$
Найти $\det W$ методом Гаусса.
Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выделением главных элементов по столбцам $Wx=b$

Задание 3. Дана таблица экспериментальных данных
Предполагая, что зависимость линейная, то есть $y=ax+b$, найти $a$ и $b$ методом наименьших квадратов.
На одном и том же листе миллиметровки нанести точки таблицы и построить график полученной прямой.
Все вычисления проводятся с точностью 5 знаков после запятой.
Решение задачи Коши численными методами , 5 страниц
Решить задачу методом Эйлера, методом Адамса, методом Рунге-Кутта.
Контрольная работа по численным методам с решением , 6 заданий, 9 страниц
Задание 1. На отрезке методом Ньютона найти корень уравнения с точностью 0,01.

Задание 2. Методом хорд найти отрицательный корень уравнения с точностью 0,0001. Требуется предварительное построение графика функции и отделение корней.

Задание 3. Определить значения корней системы уравнений методом Зейделя

Задание 4. Методом прямоугольников вычислить интеграл с шагом 0,02:

Задание 5. Методом Эйлера-Коши найти решение дифференциального уравнения на интервале x = , начальные условия y(x=0) = 0. Шаг интегрирования h = 0.02.

Задание 6. Дана таблица значений функции. Используя интерполяционный многочлен Ньютона вычислить значение функции при x = 0.077.
Контрольная работа по вычислительной математике в MathCad + файл расчетов xmcd
Задание 1. С помощью встроенных функций MathCad выполните простые вычисления.

Задание 2. С помощью встроенных функций MathCad решите уравнение. Использовать метод отделения корней, получить графическую интерпретацию, использовать встроенные функции Mathcad, получить решение методом половинного деления и методом Ньютона.

Задание 3. С помощью встроенных функций MathCad решите системы линейных уравнений, а затем проверьте численным методом. Метод Гаусса.

Задание 4. С помощью встроенных функций MathCad решите систему нелинейных уравнение, а затем проверьте численным методом. Метод Ньютона.

Задание 5. Решите задачу численного дифференцирования функции.

Задание 6. Сравните результаты численного интегрирования. Метод правых прямоугольников с методом трапеций

Задание 7. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение численными методами: Метод Эйлера

Задание 8. Решить задачу нахождения интерполяционного многочлена для функции заданной таблично. Найти значение функции в заданной точке: 2-й и 6-й степени

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию РФ Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ" В.И. Ращиков ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ. КОМПЬЮТЕРНЫЙ ПРАКТИКУМ Москва 009

2 УДК 519.(075) ББК.193я7 А Р8 Ращиков В.И. Численные методы. Компьютерный практикум: Учебно-методическое пособие. М.: НИЯУ МИФИ, с. В данном пособии представлены основные численные методы решения физических задач: аппроксимация и интерполяция функций, численное интегрирование и дифференцирование, решение нелинейных уравнений и систем, задачи линейной алгебры, обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных, методы оптимизации. Для иллюстрации каждого метода подобрано большое число типовых задач, наиболее часто встречающихся в инженерно-физических расчетах. Приведенные блок-схемы программ и практические рекомендации по их написанию, позволяют детально разобраться в алгоритме решения задачи и облегчить процесс программирования. Пособие предназначено для студентов дневного и вечернего факультетов МИФИ, а также может быть полезно студентам других вузов физического профиля. Утверждено редсоветом НИЯУ МИФИ в качестве учебно-методического пособия. Рецензент канд. техн. наук, доц. В.М. Барбашов ISBN Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 009

3 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие... 4 Задание 1. Анализ последовательности данных... 7 Задание. Решение нелинейных уравнений Задание 3. Интерполирование... 1 Задание 4. Аппроксимация... 7 Задание 5. Численное дифференцирование Задание 6. Численное интегрирование Задание 7. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло Задание 8. Решение систем линейных алгебраических уравнений Задание 9. Частичная проблема собственных значений Задание 10. Поиск минимума функции одной переменной Задание 11. Поиск минимума функции двух переменных Задание 1. Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений Задание 13. Численное решение линейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка Задание 14. Численное решение линейного уравнения переноса Задание 15. Численное решение одномерного уравнения теплопроводности Задание 16. Численное решение уравнения теплопроводности в прямоугольнике Задание 17. Численное решение одномерного волнового уравнения Задание 18. Численное решение уравнения Пуассона в прямоугольнике Библиографический список

4 ПРЕДИСЛОВИЕ Данное учебно-методическое пособие составлено на основе многолетнего опыта проведения автором практических занятий и чтения лекций по курсу «Численные методы» на дневном и вечернем факультетах МИФИ. Компьютерный практикум является одним из основных факторов для практического овладения численными методами решения физических задач, в силу чего для него выделена большая часть отведенного курсу учебного времени. Пособие состоит из 18 заданий, которые охватывают практически все основные разделы курса: интерполяция и аппроксимация функций, численное интегрирование и дифференцирование, решение нелинейных уравнений и систем, задачи линейной алгебры, обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных, численные методы поиска минимума функций одной и нескольких переменных. В каждом задании приводятся необходимые для понимания метода теоретические сведения, варианты задач для самостоятельного выполнения и практические рекомендации по составлению программ, подкреплѐнные блок-схемами вычислительных алгоритмов. В конце каждого задания приведен список контрольных вопросов, позволяющих проверить степень усвоения изучаемого материала. Блок-схемы нужны для более наглядного представления алгоритма задачи, что позволяет существенно облегчить понимание метода решения и написания самой программы. При выполнении схем использовался ГОСТ , который регулирует правила построения схем и внешний вид их элементов. Основные элементы, которые в дальнейшем будут использоваться в пособии, имеют следующий вид: - терминатор; элемент отображает вход из внешней среды или выход из нее (наиболее частое применение начало и конец программы). Внутри фигуры записывается соответствующее действие; 4

5 - процесс; выполнение одной или нескольких операций, обработка данных любого вида (изменение значения данных, формы представления, расположения). Внутри фигуры записывают непосредственно сами операции; - решение; отображает решение или функцию переключательного типа с одним входом и двумя или более альтернативными выходами, из которых только один может быть выбран после вычисления условий, определенных внутри этого элемента. Вход в элемент обозначается линией, входящей обычно в верхнюю вершину элемента. Если выходов два или три, то обычно каждый выход обозначается линией, выходящей из оставшихся вершин (боковых и нижней). Используется для иллюстрации условных операторов f (два выхода: true, false) и case (множество выходов); - предопределѐнный процесс; символ отображает выполнение процесса, состоящего из одной или нескольких операций, который определен в другом месте программы (в подпрограмме, модуле). Внутри символа записывается название процесса и передаваемые в него данные. Используется для обозначения вызова процедуры или функции; - данные (ввод-вывод); преобразование данных в форму, пригодную для обработки (ввод) или отображения результатов обработки (вывод). Данный символ не определяет носителя данных (для указания типа носителя данных используются специфические символы); - граница цикла; символ состоит из двух частей соответственно начало и конец цикла, операции, выполняемые внутри цикла, размещаются между ними. Условия цикла и приращения записываются внутри символа начала или конца цикла в зависимости от типа организации цикла. Часто для изображения на блок-схеме цикла вместо данного символа используют символ решения, указывая в нем 5

6 условие, а одну из линий выхода замыкают выше в блок-схеме (перед операциями цикла); - соединитель; символ отображает выход в часть схемы и вход из другой части этой схемы. Используется для обрыва линии и продолжения ее в другом месте (пример: разделение блок-схемы, не помещающейся на листе); -комментарий; используется для более подробного описания шага, процесса или группы процессов. Описание помещается со стороны квадратной скобки и охватывается по всей высоте. Пунктирная линия идет к описываемому элементу или группе элементов (при этом группа выделяется замкнутой пунктирной линией). Также символ комментария используется в тех случаях, когда объем текста в каком-либо другом символе (например, символ процесса, символ данных и др.) превышает его объем. Порядок выполнения действий задается путем соединения вершин, что позволяет рассматривать блок-схемы не только как наглядную интерпретацию алгоритма, удобную для восприятия человеком, но и как ориентированный граф. При написании данного пособия использовался в основном материал из [-4]. Для более полного изучения численных методов в библиографическом списке приведены необходимые учебные пособия . 6

7 Задание 1 АНАЛИЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ДАННЫХ Цель работы построение развилок и циклических конструкций в программах, составление программ анализа потоков данных. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ В работе анализируется последовательность, имитирующая поток экспериментальных данных. Пусть f(x) экспериментальная зависимость, снятая на отрезке с фиксированным шагом b a h, N 1 где N число точек в экспериментальной зависимости. Значения абсцисс этих точек определим по формуле x = a + h, = 0, 1, n. Необходимо вычислить: 1) максимальное значение функции fmax max f и номер узла mах, в котором достигается это значение;) минимальное значение функции fmn mn f ; 3) среднее значение f, средний квадрат f и среднеквадратичное значение f т функции: n n 1 1 f f, f f, fm f ; n 1 0 n 1 0 4) относительное число положительных р + и отрицательных р - значений функции f (= 0, 1,..., n) p n / (n 1), где п + и п числа положительных и отрицательных значений f (= 0, 1,..., n); 7

8 5) среднеквадратичное отклонение от среднего значения 1 n 1 n (f f). 0 ВАРИАНТЫ ФУНКЦИЙ f(х) k m 1) f (x) cos (x /) x ; k m) f (x) sn (x /) (1 x) ; k m 3) f (x) sh x cos (x) ; k m 4) f (x) 1 x tg (x / 4) ; k m 5) f (x) (1 x) tg (x / 4) ; 6) 1/ k m f (x) (1 x) tg (x / 4) ; 7) () x m f x e sn(x /) ; x k m 8) f (x) e x sn(x /) ; m 9) (1 x) x ; 10) (1) 1/ m 1/ x x ; k m l 11) f (x) (1 x) ch x x ; k m l 1) f (x) (1 x) cos (x /) x ; k m 13) f (x) (1 x) sh x ; 14) 15) 1/ k m f (x) (1 x) sh x ; 1/ k m f (x) (1 x) sh x ; k m l 16) f (x) (1 x) ch x x ; m k 17) f (x) arcsn x (1 x) ; m l 18) f (x) k cos(π x) x (1 x) ; m k 19) f (x) ln (1 x) (1 x) ; m k l 0) f (x) ln (1 x) (1 x) ch x. В функциях параметры l, k, т принимают значения от 1 до 4, 0 x 1, рекомендуемые значения n от 50 до

9 ПРОГРАММИРОВАНИЕ Практически во всех современных реализациях универсальных языков программирования, таких, как Фортран, Си, Паскаль, присутствуют одинаковые структурные элементы, с помощью которых строятся программы. Основными структурами, которые изучаются в настоящей программе, являются развилка и цикл. Развилку можно представить в блок-схеме как показано на рис

10 Здесь P (решение) некоторое логическое условие, которое может принимать значение «истина» (Да, True) или «ложь»(Нет, False). В зависимости от этого будет выполнен либо блок операторов А, либо блок операторов B. может быть реализован либо с помощью развилки, либо с помощью специальных операторов цикла с предусловием (условие выполнения операторов тела цикла проверяется при входе в цикл), с постусловием (условие выполнения операторов тела цикла проверяется при выходе из цикла), со счетчиком (переменная, называемая счетчиком цикла, меняется с заданным шагом, пока не достигнет фиксированного значения). На блок-схеме цикл представляется либо развилкой (рис. 1.), либо состоящим из двух частей символом, отображающим начало и конец цикла (рис. 1.3). Обе части символа имеют один и тот же идентификатор. Условия для инициализации, приращения, завершения и т.д. помещаются внутри символа в начале или в конце в зависимости от расположения операции, проверяющей условие. Рис Блок-схема развилки («решение», «выбор») Рис. 1.. Схема цикла с развилкой В примере на рис. 1. простая переменная целого типа, называемая переменной цикла; т 1 начальное значение переменной цикла, m 3 шаг изменения, а т определяет конечное значение, F тело цикла. 10

11 Рис Схема цикла со специальным символом В нашем задании вычисленные в узлах x значения функции u следует поместить в одномерный массив, заранее описав его тип и размерность. Блок-схема программы представлена на рис В блоке вводятся начальные данные, цикл вычисления основных величин, за исключением среднеквадратичного отклонения от среднего, вычисление которого выделено в отдельный цикл, так как оно опирается на результаты предыдущих операций. В блоке 9 результаты приводятся к необходимому виду и в 10 осуществляется их вывод. 1 Начало 6 по =1,N Начальные данные 11 7 (f f)

12 Для проверки правильности программы рекомендуется предварительно исследовать тестовую функцию u(x) x(1 x) 1/ 8, N 101, для которой должны получиться следующие результаты: 1

13 umax 0.15, max 51, umn 0.15, mn 1; u u u m p 0.970, p , ζ , Рекомендуется выполнить вычисления для нескольких значений п и проанализировать, как при этом изменяются результаты. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА Отчет должен содержать: формулы, параметры и график функции u(х) для конкретного варианта; текст программы; результаты расчѐтов. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Как описываются массивы?. Как записывается и выполняется оператор цикла? 3. Какие ограничения накладываются на оператор цикла? 4. Как записываются и выполняются операторы ввода и вывода информации? 13

14 Задание РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Цель работы: изучение условно и безусловно сходящихся итерационных методов решения нелинейных уравнений. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Одной из наиболее частых задач, с которыми сталкивается физик, это решение уравнений вида f(x) = 0. (.1) Решения ищутся методами последовательных приближений или итерационными методами. Начальное приближение может находиться из физических соображений, из опыта решения аналогичных задач, с помощью графических методов и т. д. Поиск корня уравнения математически осуществляется при помощи построения последовательности Коши {x }, когда при заданном существует такое N, что для всех n и p, превышающих N, выполняется x n x p <, причем корень находится внутри этого отрезка неопределѐнности. Метод половинного деления (дихотомия) Пусть известно, что на отрезке находится искомое значение корня уравнения (.1), т. е. x (рис..1). В качестве начального приближения возьмем a b середину отрезка x 0. Теперь исследуем значения функции f(x) на концах образовавшихся отрезков и . Выберем из них тот, на концах которого функция принимает Рис..1. Иллюстрация метода дихотомии значения разного знака, так как 14

15 он и содержит искомый корень. Вторую половину отрезка можно не рассматривать. Затем делим новый отрезок пополам и приходим вновь к двум отрезкам, на концах одного из которых функция меняет знак, т. е. содержит корень. Таким образом, после каждой итерации исходный отрезок сокращается вдвое, т. е. после n итераций он сократится в n раз. Процесс итераций будет продолжаться до тех пор, пока значение модуля функции не окажется меньше заданной точности, т. е. f(x n) <, или длина исследуемого отрезка станет меньше удвоенной допустимой: x n+1 x n <. Тогда в качестве приближенного значения корня можно принять середину последнего отрезка 0,5(x n + x n+1). Как видно из сказанного, метод довольно медленный, однако он безусловно сходящийся, т. е. всегда сходится к корню. Метод касательных Метод касательных (метод Ньютона) можно отнести к методам, в основе которых лежит замена исследуемой функции f(x) более простой функцией, в данном случае касательной. Геометрически в начальной точке x 0 проводится касательная к кривой f(x) и находится точка ее пересечения с осью абсцисс (рис..). Рис... Иллюстрация метода касательных Уравнение касательной к кривой f(x) в точке M 0 (x 0, f(x 0)) имеет вид y f(x 0) = f (x 0)(x x 0), 15

16 а следующее приближение x 1, являющееся точкой пересечения касательной с осью абсцисс, дается формулой f(x0) x1 x0. f (x0) Аналогичным образом можно найти и приближения f(xn) xn 1 x, n f (xn) строя касательные последовательно из точек М 1,..,М n-1, не забывая, что f (x n) 0. Метод касательных является условно сходящимся методом, то есть для его сходимости * lm x x должно быть выполнено следующее условие в области поиска корня " " ff (f), x * - искомое значение корня. При произвольном нулевом приближении итерации будут сходиться, если всюду будет выполнено полученное выше условие. В противном случае сходимость будет лишь в некоторой окрестности корня. Для окончания итерационного процесса могут быть использованы следующие критерии. 1. Максимальное число итераций. Этот критерий необходим в случае, если методы не сходятся. Тем не менее трудно заранее определить, сколько итераций будет необходимо для получения удовлетворительной точности.. Слабая вариация приближения к корню: x n+1 x n < или x n+1 x n < x n. (.) 3. Достаточно малое значение функции f(x n) <. Метод Ньютона обладает сходимостью второго порядка. Это означает, что вблизи корня погрешность уменьшается по закону ε const ε 1. Поэтому итерации по методу Ньютона сходятся очень быстро, так что для достижения условия (.) достаточно нескольких итераций. 16

17 Невыполнение условия (.) при > 10 обычно указывает на отсутствие сходимости, ошибку в формулах или в программе. Метод секущих Вычисление производной функции f (x), необходимой в методе Ньютона, не всегда удобно или возможно. Замена производной первой разделенной разностью, которую находят по двум последним итерациям (т. е. замена касательной на секущую) приводит нас к методу секущих. С точки зрения аналитических методов, в качестве аппроксимирующей взята прямая, проходящая через две последние точки х n и x n 1, т. е. вместо производной в методе касательных необходимо подставить " f (xn) f (xn 1) f, xn xn 1 тогда придем к формуле метода секущих: xn xn 1 xn 1 xn f (xn). f (x) f (x) n Рис..3. Иллюстрация метода секущих 17 n 1 Метод секущих является двухшаговым методом, т. е. требует двух начальных (разгонных) точек x 0 и x 1. Графически метод иллюстрируется рис..3. Сначала через выбранные точки (x 0, f(x 0)), (x 1, f(x 1)) проводим прямую до пересечения с осью абсцисс и определяем x, а вертикальная прямая в точке x дает f(x). Далее прямая проводится через точки (x 1, f(x 1)) и (x, f(x)) и т. д., пока не будет выполнено одно из трех условий окончания итерационного процесса (.). Обычно в методе секущих требуется больше итераций, чем в методе касательных, но зато каждая итерация выполняется значительно быстрее, так как не требуется вычислять f"(x), и поэтому часто при том же объеме вычисле-

18 ний можно сделать больше итераций и получить более высокую точность. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ Используя безусловно сходящийся метод дихотомии и один из условно сходящихся методов (касательных или секущих), найти на отрезке 0 x 1 корень одной из функции, приведенных ниже. В функциях параметры l, k, т принимают значения от 1 до 4. Рекомендуется исследовать ту же функцию, что и в задании 1. k m 1) f (x) cos (π x /) x ; k m) f (x) sn (π x /) (1 x) ; k m 3) f (x) sh x cos (π x); k m 4) f (x) 1 x tg (π x / 4) ; k m 5) f (x) (1 x) tg (π x / 4) ; 6) 1/ k m f (x) (1 x) tg (π x / 4) ; 7) () x m f x e sn(π x /) ; x k m 8) f (x) e x sn(π x /) ; m 9) (1 x) x ; 10) (1) 1/ m 1/ x x ; k m l 11) f (x) (1 x) ch x x ; k m l 1) f (x) (1 x) cos (π x /) x ; k m 13) f (x) (1 x) sh x ; 14) 15) 1/ k m f (x) (1 x) sh x ; 1/ k m f (x) (1 x) sh x ; k m l 16) f (x) (1 x) ch x x ; m k 17) f (x) arcsn x (1 x) ; m l 18) f (x) k cos(π x) x (1 x) ; m k 19) f (x) ln (1 x) (1 x) ; m k l 0) f (x) ln (1 x) (1 x) ch x. 18

19 ПРОГРАММИРОВАНИЕ При составлении программы целесообразно задаться максимально допустимым числом итераций max, прерывая итерационный процесс, если = max. Это предохраняет от так называемого «зацикливания» программы, которое иногда случается вследствие ошибок в формулах или программе, а также при неудачном выборе начальной итерации. В данной задаче достаточно положить max = 30, так как при отсутствии ошибок сходимость достигается гораздо раньше. Значение ε рекомендуется выбирать в диапазоне В качестве начальной итерации можно принять х 0 = 0,. Если же итерации не сойдутся, это значение можно уменьшить или увеличить, оставаясь в диапазоне 0 < х 0 < 1. Блок-схемы программ решения нелинейных уравнений методом дихотомии и секущих приведены на рис..4 и.5. Они составлены так, чтобы на каждой итерации вычислялось лишь одно новое значение f (х). Это обеспечивает максимальную скорость решения, так как основное время решения занимает вычисление значений функции f (х). В качестве «разгонных» значений в методе секущих можно принять х 0 = 0,; х 1 = х 0 + (10 100)ε. a,b,ε,n max f(x) f(x) fa=f(a), n=0 c=(a+b)/ fc=f(c), n=n+1 a-b ε n0 b=c Рис..4. Блок-схема программы решения нелинейного уравнения методом дихотомии 19

20 1 Начало Начальные данные 3 =1, x -1 =x 0 x =x 1 f -1 =f(x -1) f(x) Нет x x 1 x 1 x f 4 > f f 1 max 5 x x f f (x) 1 Да Да ξ <ε 6 Нет 8 9 График f Результаты Конец x 1 1 f x x x f Рис..5. Блок-схема программы решения нелинейного уравнения методом секущих 0

21 СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА Отчет должен содержать: формулу функции f(x) для конкретного варианта; заданное значение ε и начальные значения х 0 ; текст программы; найденные приближенные значения корня и число итераций для обоих методов; построенный в предыдущем задании график функции f(x). КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Как строится решение нелинейных уравнений методом касательных, каковы его характеристики?. Получите условие сходимости метода касательных. 3. Получите оценку скорости (порядка) сходимости метода касательных. 4. Как строится решение нелинейных уравнений методом секущих, каковы его характеристики? 5. Какие еще существуют методы решения нелинейных уравнений? 6. Как строится решение нелинейных уравнений методом дихотомии, каковы его характеристики? 7. Сравните методы решения нелинейных уравнений по скорости сходимости на примере полученных вами результатов. 1

22 Задание 3 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ Цель работы изучение методов интерполирования, построение интерполяционного многочлена Ньютона. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Численное моделирование большинства физических задач сопряжено, как правило, с необходимостью учета факторов, которые не могут быть описаны аналитически. Имеется лишь ряд экспериментальных зависимостей, полученных в фиксированном числе точек интересующего нас диапазона переменных. Так, при решении широко распространенной задачи о динамике макро- и микрообъектов во внешних гравитационных или электромагнитных полях информацию о поле часто бывает невозможно получить в виде аналитических функций без ввода дополнительных упрощающих предположений, которые могут существенно повлиять на результат. В этом случае необходимо прибегнуть к экспериментальным характеристикам, причем эксперимент может быть проведен лишь конечное число раз. Таким образом, мы приходим к физической задаче, в которой ряд функций задан на конечном числе точек x фиксированной области изменения аргумента x . Численный метод, однако, может потребовать знания этих функций для всех значений аргумента из этой области. В этом случае возникает задача восстановления функции y(x) для всех значений x , если известны ее значения в некотором фиксированном числе точек x этого отрезка. Наиболее простым и распространенным способом решения этой задачи является интерполяция между соседними значениями, которая сводится к построению функции (х), совпадающей с функцией y(x) в точках x, т. е. (x) = y(x) = y, = 0, 1, n, где n + 1 число заданных на отрезке точек, а x узлы интерполяции.

23 При выборе интерполирующей функции (x) необходимо ограничить поиск функциями, легко и быстро вычисляющимися на компьютере, так как их, как правило, приходится вычислять многократно. Существует много интерполяционных многочленов и способов их построения, пригодных для различного расположения узлов. При построении интерполяционных многочленов обычно подразумевается, что множество используемых узлов известно. Однако часто бывает известна лишь требуемая точность, а число узлов не фиксировано. Интерполяционный полином Ньютона, изучению которого и посвящена данная работа, отличается тем, что число используемых узлов можно легко увеличить или уменьшить без повторения всего цикла вычислений, изменяя тем самым точность интерполяции. Интерполирование производится по таблице с равноотстоящими узлами, хотя интерполяционный многочлен Ньютона применим при любом расположении узлов. Задание включает следующие этапы. 1. Вычислить таблицу значений y y(x) заданной функции у(х) в равноотстоящих узлах x h (0,1,..., n), h 1/ n, отрезка .. Составить таблицу первых разностей функции y 1 y y 1 y y(x 1, x) (0,1,..., n 1). x x h 1 3. Составить таблицу вторых разделѐнных разностей y(x, x 1) y(x 1, x) y y 1 y y(x, x 1, x) x x h (0,1,..., n) По этим таблицам, используя интерполяционный многочлен Ньютона второго порядка P(x) y (x x) y(x, x) (x x)(x x) y(x, x, x) y 1 y y y 1 y y (x x) (x x)(x x 1), h h

24 вычислить значения Р(х) в точках (узлах) с полуцелыми индексами x 1/ (1/) h (0,1,..., n). 5. Найти погрешность интерполирования в этих узлах ε y(x) P(x) (0,1,..., n), 1/ 1/ 1/ максимальную погрешность ε mах, средний квадрат погрешности и среднеквадратичную погрешность ε m: n 1 εmax max ε 1/, ε ε 1/, εm ε. n 1 6. Исследовать, как изменяются погрешности ε mах и ε m с изменением n. 0 ВАРИАНТЫ ФУНКЦИЙ у(х) (a, b 1 5; k, m 1 4; n 0 100) k m k m 1) y(x) sn (π x);) y(x) cos (π x); 3) y(x) k 1/ m sn (π x); 4) y(x) k 1/ m cos (π x); 5) y(x) k m tg (π x / 4); 6) y(x) k 1/ m tg (π x / 4); 7) y(x) 4 ax 3 bx ; 8) y(x) (a m k bx) ; 9) y(x) (a m 1/ k bx) ; 10) y(x) (a 1/ m k bx) ; 11) y(x) (a 1/ m 1/ k bx) ; 1) y(x) k x /(a m bx); 13) y(x) k x /(a m bx) ; 14) y(x) 1/ k x /(a m bx) ; 15) y(x) k x /(a 1/ m bx) ; 16) y(x) 1/ k x /(a 1/ m bx) ; 17) y(x) (a k x) / (b 4 m x) ; 18) y(x) (a 1/ k x) / (b 4 m x) ; 19) y(x) (a k x) / (b 4 1/ m x) ; 0) y(x) (a 1/ k x) / (b 4 1/ m x) ; 1) y(x) k x / (a m bx);) y(x) 1/ k x / (a m bx); 3) y(x) k x / (a 1/ m bx); 4) y(x) 1/ k x / (a 1/ m bx); k m 1/ k m 5) yx () ln (1 x); 6) y(x) ln (1 x); 4

25 k 1/ m 1/ k 1/ m 7) y(x) ln (1 x); 8) y(x) ln (1 x); k x 1/ k x 9) y(x) x e ; 30) y(x) x e ; 1/ m 1/ m k x 1/ k x 31) y(x) x e ; 3) y(x) x e ; 8(x 0.5) k 8(x 0.5) 33) y(x) e ; 34) y(x) x e ; 1/ k 8(x 0.5) m 1/ k 35) y(x) x e ; 36) y(x) (a bx) ; 1/ m 1/ k m k 37) y(x) (a bx) ; 38) y(x) (a bx) ; m 1/ k 1/ m 1/ k 39) y(x) (a bx) ; 40) y(x) (a bx) ; k m k m 41) y(x) arcsn; 4) y(x) arccos; k 1/ m k m 43) y(x) arcsn; 44) y(x) arccos; m 1/ m 45) y(x) arctg(a bx); 46) y(x) arctg(a bx); 47) y(x) sh(a m bx) ; 48) y(x) sh(a 1/ m bx) ; 47) y(x) ch(a m bx) ; 50) y(x) ch(a 1/ m bx). ПРОГРАММИРОВАНИЕ Блок-схема программы представлена на рис Основу программы составляют три последовательных цикла блоки, 6-7-8, Для хранения вычисляемых в этих циклах значений функции, первых и вторых разностей, а также погрешностей следует описать соответствующие массивы. Для проверки правильности программы рекомендуется предварительно выполнить вычисления для тестовой функции y(x) x, для которой ε max и ε m должны обращаться в ноль. 5

26 1 Начало 9 по =1,n- Начальные данные 3 по =1,n 10 y(x, x, x), 1 Px (), 1/ 1/, max 1/ 4 y 11 по 5 по 1, m 6 по =1,n-1 13 Графики Результаты 7 y(x +1, x) 14 Конец 8 по Рис.3.1. Блок-схема программы интерполяции 6

27 СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА Отчет должен содержать: формулу и график функции у(х)для конкретного варианта; текст программы; таблицу погрешностей ε 1/ (0,1,..., n); значения ε max и ε т. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Как ставится задача интерполирования?. Какие интерполяционные многочлены вы знаете? 3. Как определяются разделенные разности различных порядков? 4. Как строился интерполяционный многочлен Ньютона? 5. Какова погрешность (остаточный член) интерполяционного многочлена? 6. Как можно практически оценить погрешность интерполирования? 7

28 Задание 4 АППРОКСИМАЦИЯ Цель работы: изучение аппроксимации функций на примере метода наименьших квадратов. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ При замене функции интерполяционным многочленом необходимым условием является прохождение интерполяционного многочлена через значения функции в узлах интерполяции. В случае использования экспериментальных зависимостей значения функции в узлах получены с определенной погрешностью (часто достаточно большой), поэтому нецелесообразно прибегать к интерполяции, заставляя интерполяционный полином повторять эти ошибки. В этом случае лучше воспользоваться аппроксимацией, т. е. подбором функции, близко проходящей от заданных точек, заранее определив критерии «близости». В зависимости от выбранного способа приближения можно получить сильно отличающиеся друг от друга результаты: кривая может точно проходить через все заданные точки и в то же время сильно отличаться от сглаженной аппроксимирующей функции рис Рис Иллюстрация аппроксимации и интерполяции Будем аппроксимировать функции многочленом степени m: (x) = c 0 + c 1 x + c x + + c m x m, коэффициенты которого c подберем так, чтобы минимизировать отклонение многочлена от данной функции. 8

29 Воспользуемся среднеквадратичным приближением функции y(x) многочленом (x) на множестве (x, y), (= 0, 1, n), при котором мерой отклонения является величина S, равная сумме квадратов разностей между значениями многочлена и функции в данных точках: n n 0 1 m 0 0 S [ (x, c, c,..., c) y ]. Для построения аппроксимирующего многочлена нужно подобрать коэффициенты c 0, c 1, c m так, чтобы величина S была наименьшей. В этом и состоит метод наименьших квадратов. Если отклонение подчиняется нормальному закону распределения, то полученные таким образом значения параметров наиболее вероятны. Как уже упоминалось выше, среднеквадратичное приближение сглаживает неточности функции, давая правильное представление о ней. Поскольку c выступают в роли независимых переменных функции S, то минимум найдем, приравнивая нулю частные производные по этим переменным: S S S S 0, 0, 0,..., 0, c c c c 0 1 т. е. приходим к системе уравнений для определения с. Если в качестве аппроксимирующей функции взять многочлен, то выражение для квадратов отклонений примет вид: n m (m). 0 S c c x c x c x y Приравнивая нулю частные производные, приходим к системе: S c 0 S c 1... S c m n m (c c x... c x y) 0; 0 n m (c c x... c x y) x 0; n 0 1 m m (c c x... c x y) x m m m 9 n

30 Собирая коэффициенты при неизвестных c 0, c 1, c m, получаем систему уравнений: n n n n m (n 1) c0 c1 x c x... cm x y; n n n n n 3 m m c x c x c x... c x x y ;... n n n n n m m 1 m m m 0 1 m c x c x c x... c x x y. Решая систему, находим неизвестные параметры c 0, c 1, c m. В более компактном виде можно записать: b 00 c 0 + b 01 c b 0m c m = a 0 ; b 10 c 0 + b 11 c b 1m c m = a 1 ; (4.1) b m0 c 0 + b m1 c b mm c m = a m, n k l k если ввести обозначения b x, a x y ; k, l 0,1,..., m. kl k 0 0 В данной работе, для того чтобы облегчить решение системы, ограничимся значением m =. Обозначим чертой усреднение по множеству узлов х 1 u n 1 и введем также обозначения: n 0 k mk x (k 1,...), K x y. Тогда систему (4.1) можно записать в виде: c m c m c K ; u m c m c m c K mc0 m3c1 m4c K1. Систему уравнений можно решить любым из рассматриваемых далее прямых методов. Поскольку система имеет симметричную матрицу, то можно воспользоваться методом квадратных корней, расчетные формулы которого приведены ниже: n ; 30

31 s 1, s m, s m ; s m m, s (m m m) / s ; s m (s s) m (m s); z K, z (K m K) / s ; z [ K (s z s z)] / s ; z z z c c, c, c z (s c s c) s33 s (Для системы трех линейных уравнений вместо метода квадратных корней несложно воспользоваться известной схемой Крамера.) Найдя коэффициенты c 0, с 1, с, вычислим значения полинома (x) (= 0,1,..., n) и погрешность аппроксимации εmax max ε, ε y(x) φ(x), εm ε, где средний квадрат погрешности ε S / (n 1). ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ Параметры: a 0, b 1, n Узлы: x h(0,1,..., n), h 1/ n. ВАРИАНТЫ ФУНКЦИЙ у(х) q 1) y(x) sn x (q 1 3); 1/ q) y(x) sn x (q,3); 3) y(x) x e ; 4) y(x) ln(1 q x)(q 1 3); 1/ q 5) y(x) cos x (q,3); q 6) y(x) cos x (q 1 3); 1/ q x 7) y(x) e (q,3); 1/ q 8) y(x) ln(1 x)(q 1 3); 31

32 q 9) y(x) x(1 x) 0.01 x (q 3 5); 1/ q 10) y(x) x(1 x) x (q 5); 1/ q 11) y(x) tg x (q 1 3); q 1) y(x) 1 x (q 1 4); 13) y(x) (1 q 1 x) (q 1 4); 14) y(x) 15) y(x) (1 (1 1/ q x) (q x) / (1 1 3 x); 3); 16) y(x) x(1 1/ q x) (q 4); x 17) y(x) e ; x 18) y(x) e ; 19) y(x) 1/ q arcsn x (q 1 3); 0) y(x) (1 1/ q x) (q 4); 1) y(x) (1 1/ q x) (q 1 3);) y(x) (1 1/ q x) (q 4); q 3) y(x) x / (1 x)(q 1 4); x q 4) y(x) x e (q 1,). ПРОГРАММИРОВАНИЕ Блок-схема программы представлена на рис. 4.. Для хранения у, θ(х) следует отвести массивы, имеющие не менее n+1 элементов. Вычисления рекомендуется выполнить для нескольких значений n, обращая внимание на изменение погрешности с ростом n. На экран достаточно выдать результаты для одного значения п. Для проверки правильности программы рекомендуется в качестве тестовой задачи аппроксимировать функцию y(x) (1 x), для которой погрешности ε max, ε т, должны быть равны нулю. 3

33 1 3 Начало Начальные данные по =1,n 7 8 по =1,n (x(x),), max max 4 y, m k, k l, 9 по 5 по 10 m 6 S, z k, c, c, c Результаты 1 Конец Рис. 4..Блок-схема программы аппроксимации 33

34 СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА Отчет должен содержать: формулу функции у(х) и параметры для конкретного варианта; текст программы; значения c 0, с 1, с; массивы и графики у, θ(х); погрешности ε max, ε т, ε. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Как ставится задача аппроксимирования функций?. Что такое среднеквадратичное аппроксимирование? 3. Что такое равномерное аппроксимирование? 4. Как строится метод наименьших квадратов? 5. Чему равна погрешность (остаточный член) аппроксимирования степенными функциями? 6. Каковы условия полноты системы функций? 34

35 Задание 5 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Цель работы изучение методов численного дифференцирования, вычисление первой и второй производных заданной функции с использованием интерполяционного многочлена Ньютона. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Одной из распространенных задач вычислительной математики, имеющей разнообразные приложения, является численное дифференцирование. Пусть задана сеточная функция y y(x) (0,1,..., n), определенная на множестве узлов х, (= 0, 1,...,n). Для вычисления производной у (k) (х) порядка k (k=1,...) в некоторой течке х выберем т+1 (m k) узлов в окрестности этой точки и построим интерполяционный многочлен Р т (х) степени т (например, многочлен Ньютона (см. задание 3)), проходящий через все выбранные узлы: (5.) y(x) P (x) R (x), m где R m (х) остаточный член (погрешность) интерполяционного многочлена Р т (х). Дифференцируя равенство (5.), находим (k) (k) (k) y (x) Pm (x) Rm (x) (k 1,...). (5.3) Примем теперь в качестве приближенного значения производной y) (x) производную многочлена: (k (k) (k) y (x) P (x). (5.4) Тогда остаточный член (погрешность) производной Q m,k (x) равняется производной остаточного члена (погрешности) интерполяционного многочлена: Q x y x P x R x (k) (k) (k) m, k () () m () m (). m m (5.1) 35

36 Производные (5.4) называются конечно-разностными. На практике наиболее часто используются равномерные сетки, т.е. сетки с равноотстоящими узлами. На таких сетках полученные указанным методом первая и вторая конечно-разностные производные в узлах х, с погрешностью О(h) относительно шага сетки h даются формулами: y 1 y 1 y y (x), y y h O(h); y 1 y y 1 y y (x), y h y O(h); (1,..., n 1). В граничных узлах с номерами = 0 и =n приходится вычислять так называемые односторонние производные, выбирая узлы интерполирования только с одной стороны от граничного узла. На равномерной сетке формулы второго порядка для первой и второй производных имеют вид: 3y0 4y1 y y 0 y (x0) O(h); h yn 4yn 1 3yn y n y (xn) O(h); h 1y0 30y1 4y 6y3 y 0 y (x0) O(h); 6h 6y 4y 30y 1y y n y x O h 6h n 3 n n 1 n (n) (). Как видно из формул, в односторонних производных для достижения той же точности требуется больше узлов. Для выполнения лабораторной работы предварительно составляется таблица значений (5.1) одной из заданных ниже функций у(х) в равноотстоящих узлах 36

37 x h (0,1,..., n), h 1/ n, на отрезке 0 x 1. Значения п выбираются в диапазоне n = Затем вычисляются точные у", у" (аналитически) и приближенные y и y значения первой и второй производных, полученные " по приведенным выше формулам. Во всех узлах находятся максимальные и среднеквадратичные (k) (k) εk,max max y y (k 1,) 1 n ε k n (k) (k) (y y) 1 0 (k 1,) значения погрешности численного дифференцирования, а также номера узлов kmax,в которых достигаются значения ε kmax (k=1,). ВАРИАНТЫ ФУНКЦИЙ y(x) 1)sn(π x /); x) x e ; 3) xsh x; 4)cos(π x /); x 5) x e ; 6) xch x; x / 7) sh x ; 8) e ; 9) x sh x; x / 10) ch x ; 11) e ; 1) x ch x ; 13) x sn x; 14) sn x; 15) x sh x ; 16) x cos x; 17) cos x; 18) tg(π x / 4); 19) x sn x; 0) x sn x; 1)(x 1) ln(x 1);) x cos x; 3) xcos x; 4) xln(x 1); x / x 5) e sn x; 6) xe ; 7)arcsn(x /); x / 8) arctg x ; 9) xe ; 30)(x 1) ln(x 1). 37

38 ПРОГРАММИРОВАНИЕ Блок-схема программы численного дифференцирования представлена на рис Для хранения значений сеточной функции, точных и приближенных значений производных, а также их погрешностей следует отвести массивы длиной не менее n + l. Поскольку в данной работе n <100, достаточно описать массивы, каждый их которых имеет 101 элемент. Функцию у(х), а также ее аналитические и конечно-разностные производные удобно описать в виде подпрограмм-функций. В цикле вычисляются узлы и значения функции в них, а в цикле аналитические и численные значения производных и погрешности. Правильность программы можно проверить, задавая, например, тестовую функцию у = х /, для которой должны получаться точные значения " y / ï, y 1 (0,1,..., n). Рабочие варианты рекомендуется рассчитать для нескольких значений n, наблюдая за уменьшением погрешности с ростом п. На экран достаточно вывести результаты вычислений для какого-либо одного значения п. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТА Отчет должен содержать: функцию у(х) и расчетные формулы для конкретного варианта; текст программы; результаты вычислений и графики функций: " у", y ", у ", y, (= 0, 1,..., п), причем точные и приближѐнные значения соответствующих производных должны быть изображены разными цветами в одном окне. 38

39 1 Начало 6 по =1,n Начальные данные 7 y, y, y, y, y y (k) (k) k, 3 по =1,n k,max, k, k,max y, y, y, y, 41 x, y 8 по 5 по 9 k 10 Результаты 11 Конец Рис Блок-схема программы численного дифференцирования. 39

40 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Как ставится задача численного дифференцирования?. Как строятся формулы численного дифференцирования, какова их погрешность? 3. Оцените погрешность используемых вами формул. 4. Как понижается порядок погрешности численного дифференцирования с ростом порядка производной при том же числе узлов? 5. Как можно построить формулы численного дифференцирования повышенной точности? 6. В чем проявляется некорректность постановки задачи численного дифференцирования? 40

41 Задание 6 ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Цель работы изучение методов численного интегрирования, вычисление определенного интеграла от заданной функции методами прямоугольников и Гаусса. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть на отрезке в точках x 0 = a, x 1, x n = b задана функция y = f(x). Нам необходимо вычислить определенный интеграл вида b a f (x) dx. Используя определение интеграла как предела интегральной суммы, имеем: b a n 1 f (x) dx lm f () x, x x x, max x (6.1) где x x +1 некая средняя точка интервала x, x +1. Задача интегрирования графически сводится к нахождению площади под графиком функции f(x) на заданном отрезке рис Рис Иллюстрация численного интегрирования Ось х делится на n отрезков длиной x и на каждом отрезке по определенному критерию выбирается точка и вычисляется в этой 41

42 точке значение функции f(). Площадь определяется суммой площадей полученных прямоугольников. Когда длины отрезков x 0, сумма площадей прямоугольников стремится к значению интеграла. Для численного интегрирования функцию f(x) заменяют такой аппроксимирующей функцией (х), интеграл от которой легко бы вычислялся. Наиболее часто в качестве аппроксимирующих выступают обобщенные интерполяционные многочлены. Поскольку такая аппроксимация линейна относительно параметров, то функцию при этом заменяют неким линейным выражением, коэффициентами которого служат значения функции в узлах: n f (x) f (x) (x) r(x), 0 где r(x) остаточный член аппроксимации. Подставляя это выражение для функции в исходный интеграл (6.1), получим b a n f (x) dx q f (x) R, где q (x) dx, R r(x) dx. b a b a 0 Формула (6.) называется квадратурной формулой с весами q и узлами x. Как видно из формулы, веса q зависят лишь от расположения узлов, но не от вида функции f(x). Говорят, что квадратурная формула точна для многочленов степени m, если при замене функции f(x) произвольным алгебраическим многочленом степени m остаточный член становится равным нулю. Наиболее известные квадратурные формулы получаются, если выбирать узлы x равноотстоящими на отрезке интегрирования. Такие формулы называются формулами Ньютона Котеса. К формулам этого типа относятся известные формулы прямоугольников, трапеций, парабол (Симпсона) и некоторые другие. В методе прямоугольников рис. 6. функцию f(x) аппроксимируем полиномом нулевой степени f (x) f (x) f. 0 0 (6.) 4

43 Для вычисления интеграла на отрезке [а, b] разобьем его на маленькие отрезки длиной h, а интеграл на сумму интегралов на отдельных участках. Тогда для одного участка h / h / f (x) dx hf, где f 0 значение функции в середине отрезка. Таким образом, площадь криволинейной трапеции аппроксимируется прямоугольником, причем функция вычислена в средней точке отрезка. 0 Рис. 6.. Метод прямоугольников Для -го отрезка x 1 x f (x) dx hf, 43 1/ где f +1/ = f(a + (+ 1/)h). Тогда, окончательно, значение интеграла на [а, b] b a f (x) dx h(f f... f) r(x). 1/ 3/ n 1/ Если узлы x фиксированы (расположены равномерно на ), то в квадратурной формуле (6.) и веса q фиксированы. Тогда для построения интерполяционного полинома, аппроксимирующего функцию f(x) на , остается лишь (n + 1) независимое условие, т. е. известные значения функции в узлах интерполяции f(x). Таким образом, используя эти условия, можно построить многочлен не выше n-й степени. Если же не фиксировать положение узлов, а следовательно, и q, то в нашем распоряжении оказываются (n +)

44 условия, с помощью которых можно построить многочлен (n + 1)- й степени. Так возникла задача нахождения среди всех квадратурных формул с (n + 1) узлами формулы с таким расположением узлов x на и с такими весами q, при которых она точна для многочленов максимальной степени. Интуитивно ясно, что погрешность метода тем меньше, чем выше порядок многочлена, при численном интегрировании которого получается точный результат. Выполним замену переменной интегрирования в исходном интеграле (6.1) x a (b a) t (0 t 1) и преобразуем его к виду I = (b a) J, где 1 J f (t) dt, f (t) f (x(t)). 0 Таким образом, мы приводим интеграл на любом отрезке к фиксированному интервалу , где и будем искать оптимальное расположение узлов. Такая задача успешно решена, и в справочниках для данного интервала приведены расположение узлов t и весов A, где =1,m. Для вычисления интеграла воспользуемся квадратурной формулой следующего вида: 1 m J f (t) dt A f (t) R. 0 1 m Остаточный член формулы Гаусса с т узлами имеет вид R M f t M (m) m m max (), m 0 t 1 (m!) (m 1) (m)! 4 3. В частности M 3 = , М 5 = , M 7 = , М 9 = , М 10 = и т.д. Веса A, и узлы t квадратурных формул Гаусса имеют значения: m =3 t 1 = 1 t 3 = , t = , A 1 = A 3 = , A =

45 m =5 t 1 = 1 t 5 = , t =1 t 4 = , A 1 = A 5 = , A =A 4 = , t 3 = , A 3 = m=7 t 1 = 1 t 7 = , t = 1 t 6 = , t 3 =1 t 5 = , t 4 = , А 1 =А 7 = , А =А 6 = , А 3 = А 5 = , А 4 = m = 9 t 1 = 1 t 9 = , t =1 t 8 = , t 3 =1 t 7 = , t 4 = 1 t 6 = , t 5 == , A 5 = , А 1 = А 9 = , А =А 8 = , А 3 = А 7 = , A 4 =A 6 = m=11 t 1 = 1 t 11 = , t = 1 t 10 = , t 3 = 1 t 9 = , t 4 = 1 t 8 = , t 5 = 1 t 7 = , t 6 = , А 1 = А 11 = , А = A 10 = , A 3 = A 9 = , А 4 = А 8 = , A 5 = A 7 = , A 6 = ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ Для вычисления интеграла используем метод прямоугольников с числом узлов от m до 100 и квадратурную формулу Гаусса cm=5 11 узлами. В исходные данные включаются: функция f(x); пределы интегрирования а, b; число узлов m, веса A и узлы t квадратурной формулы Гаусса. Вычислить интеграл вида табл b a E (ξ) ξ 0 d по данным, приведенным в 45

46 E () a b 0 1 ξ e e ξ sn(ξ /) 0 π 3 ξ (ξ 1)e 0 4 1/ 3 cos(ξ /) 0 π 5 ξ 1 ξ ξ / ln ξ / 4 3sn(ξ /) 0 π 8 3 3ξ ξ e ξ ξ e 0 10 arcsn ξ(ξ ξ(1 ξ) cos (0.5ξ 0.15ξ) 0 π 1 ξ arctg ξ sh ξ ξ ch ξ ξ / ξ ξcos ξ e 0 π Таблица 6.1 ПРОГРАММИРОВАНИЕ Для хранения весов A, узлов t квадратурной формулы Гаусса и значений функций в центрах выбранных отрезков f +1/ в методе прямоугольников, следует описать массивы соответствующей длины. Вычисления в методе Гаусса можно упростить, учитывая симметрию весов и узлов относительно середины отрезка t =0.5. Значения A, t, (= 1,...,11) должны быть предварительно введены в массивы А() и Т() с помощью операторов присваивания или оператора ввода начальных данных. 46

47 1 Начало Начальные данные 7 по =1,m 8 J m 1 A f (t) 3 по =1,n 9 по 41 x, n 1 I h f (x) 1/ 10 I (b a) J 5 по 11 Результаты 6 A,t 1 Конец Рис Блок-схема программы интегрирования 47

48 Блок-схема программы вычисления интеграла методом прямоугольников и методом Гаусса приведена на рис В цикле реализован метод прямоугольников, а в метод Гаусса. Правильность интегрирования можно проверить, вычисляя в качестве теста интеграл 1 n I (n 1) x dx (n m 1), для которого должно получиться точное значение 1, или I 1 4 (1 1 x) dx, значение которого равно π. 0 0 СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТА Отчет должен содержать: подынтегральную функцию и пределы интегрирования конкретного варианта; число узлов в методах прямоугольников и Гаусса; текст программы; график подынтегральной функции; значение интеграла, полученное двумя методами. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Как ставится задача численного интегрирования?. Как строятся интерполяционные квадратурные формулы, какова их погрешность (остаточный член)? 3. Как строятся квадратурные формулы Гаусса, какова их погрешность (остаточный член)? 4. Как строятся составные (большие) квадратурные формулы (прямоугольников, трапеций, парабол), какова их погрешность (остаточный член)? 5. Сравнить по точности метод прямоугольников и метод Гаусса при одинаковом числе узлов. 48

49 Задание 7 ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО Цель работы знакомство с численными методами Монте- Карло, вычисление методом Монте-Карло кратного интеграла от заданной функции в выпуклой области. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим задачу вычисления n-мерного интеграла I f (x) dx, X (x, x,..., x), dx dx, dx,..., dx (V) 1 n 1 в области V с границей Г, вложенной в n-мерный параллелепипед имеющий объем Рис Область интегрирования в случае двух переменных W = по формуле t 1 T T(x1, x, x3, t) dx1dx dx3dt, V (t t) s 1 t1 (Vs) где Vs 4 π 3 3 R - объѐм шара. 51

52 В качестве T(x,t) принять T(x1, x, x3, t) ρ(x1 g1t, x gt, x3 g3t), где ρ(х) одна из функции предыдущего задания, g 1 =0.l 0.9 (=1,3). 3. Вычислить объем V тела, ограниченного шестимерным эллипсоидом 6 x Г () 1 0 (c 0.1). c 1 Вычисление выполнить методом Монте-Карло по формуле V dx dx dx dx dx dx dx. (V) (V) ПРОГРАММИРОВАНИЕ Вычисление интеграла проведем для нескольких значений N, заданных отдельным массивом N (L) в головной программе. Соответственно, в программе следует организовать выдачи результатов по достижении числа случайных чисел очередного значения N из массива. Это даст возможность наблюдать за изменением результатов и сходимостью интегрирования с ростом N. Блок-схема программы представлена на рис. 7.. Основу программы составляет цикл (блоки 3-10) по l от l до L, где L заданное число вариантов с различным количеством случайных чисел N l, для которых осуществляется выдача результатов. В блоке 4 происходит обращение к датчику случайных чисел для вычисления ξ. На рисунке текущее число случайных точек, М число случайных точек в области V, I è V оценки интеграла I и объема области V. В качестве теста необходимо вычислить объѐм эллипсоида в трѐхмерной области в соответствии с пунктом 3 задания. Известно аналитическое решение V 4 π c. 1cc 3 3 5

1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Лекция 5. Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов. В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ» Методические указания к лабораторной работе «Вычисления корней трансцендентных уравнений»

Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ В настоящем разделе рассмотрены задачи приближения функций с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона с использованием сплайн интерполяции

Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники ТУСУР Кафедра

Лабораторная работа Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной (

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» Квадратурные и кубатурные формулы Методические

Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть дано нелинейное уравнение (0, (3.1 где (функция, определенная и непрерывная на некотором промежутке. В некоторых случаях

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ Математические модели и численные методы Математические модели содержат соотношения, составленные на основе теоретического анализа изучаемых процессов или полученные

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных) уравнений f =) заключается в нахождении значений,

1 Многочлен Лагранжа Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции (x i = 01 x [ a b] i i i Возникает задача приближенного восстановления неизвестной функции (x в произвольной точке x Для

Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей Контрольные вопросы Дайте определение вычислительного эксперимента Нарисуйте схему

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Владимирский авиамеханический колледж» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине ЧИСЛЕННЫЕ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра информатики и методики

Вариант 1. 1. Поле комплексных чисел. Его конструкция. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Формула Муавра и формула извлечения корней n ой степени из комплексного числа.

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

2 Численные методы решения уравнений. 2.1 Классификация уравнений, их систем и методов решения. Уравнения и системы уравнений делятся на: 1) алгебраические: уравнение называется алгебраическим, если над

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.

Постановка задачи, основные понятия Конечные разности и их свойства Интерполяционные многочлены Оценка остаточного члена интерполяционных многочленов Постановка задачи, основные понятия Пусть, то есть

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f(в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f(= f(+ f "((-. (5 Вместо уравнения (решим

Глава Вычисление определенных интегралов! " #%$&" %(" #)* +,- "#" dx. В общем виде задача решается путем аппроксимации функции другой функцией, для которой интеграл вычисляется аналитически. При этом

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Для численного решения нелинейных задач в различных ситуациях используют как линейные, так и нелинейные схемы. Устойчивость соответствующих

Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Расчетные задания Варианты

1 1.57.5-5-.5 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Задание: Найти решение уравнения с точностью 0. 0001 следующими методами: дихотомии; пропорциональных частей (хорд); касательных (Ньютона); модифицированным

Лекция 2. Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи: Найти коэффициент погрешности прибора σ при проведении геодезических измерений из уравнения: δ cos σ υ σ 2 + η = 0 Значения δ = 0,186, υ = 4,18,

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Математическое моделирование объектов теплоэнергетики Лекция 1 Нелинейные алгебраические и трансцендентные уравнения. Термины и понятия 2 Моделирование это исследование объекта или системы объектов путем

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Интеграла. 8 Методы численного интегрирования. В данной главе будут рассмотрены методы вычисления определенного Методы численного интегрирования находят широкое применение при автоматизации решения научных

ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ На прошлой лекции были рассмотрены методы решения нелинейных уравнений Были рассмотрены двухточечные методы, которые используют локализацию корня,

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Ижевский государственный технический университет" УТВЕРЖДАЮ Ректор И.В. Абрамов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра прикладной математики М.В. Лукина МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА» ИНСТИТУТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ

ЛЕКЦИЯ 3 Методы обработки экспериментальных данных Интерполирование В инженерных расчетах часто требуется установить функцию f(x) для всех значений х отрезка , если известны ее значения в некотором

Pascal 13. Решение нелинейных уравнений. Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические

Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

1. Цели и задачи дисциплины. Цель дисциплины: изучение методов построения численных алгоритмов и исследование численных методов решения математических задач, моделирующих различные физические процессы.

Синтаксис оператора: ОБОБЩЕННЫЙ ОПЕРАТОР ЦИКЛА DO [{ WHILE UNTIL } ] ... LOOP [{ WHILE UNTIL } ] где ключевые слова переводятся следующим

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a(a) a(a) a(a) (), где

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

А.П.Попов Методы оптимальных решений Пособие для студентов экономических специальностей вузов Ростов-на-Дону 01 1 Введение В прикладной математике имеется несколько направления, нацеленных в первую очередь

46 Практическое занятие 6 Численное интегрирование Продолжительность работы- 2 часа Цель работы: закрепление знаний о численном интегрировании по обобщенным формулам средних прямоугольников, трапеций,

УДК 004.9 ББК 32.97 Т47 Электронный аналог печатного издания: Информатика и математика: в 3 ч. Ч. 2: Решение уравнений / В. И. Тишин. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. 112 с. : ил. Тишин В. И. Т47

Лекция 4 8 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается проблема решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка связывающих

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.. Решение задачи Коши... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши для одного дифференциального

Глава 1 Численные методы вычисления определенного интеграла Цель работы изучение численных методов интегрирования и их практическое применение для приближенного вычисления однократных интегралов. Продолжительность

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Информатика» семестр 3 НОВОСИБИРСК 008 Министерство науки и образования РФ Новосибирский технологический институт Московского государственного

Methods.doc Методы приближенных вычислений Стр.1 из 6 Общее условие задачи: Двумя заданными численными методами вычислить приближенное значение корня 1 функционального уравнения вида f()=0 для N значений

ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского» А.И. Зинина В.И. Копнина Численные методы линейной и нелинейной алгебры Учебное пособие Саратов

Кафедра Вычислительные системы и технологии (наименование кафедры) УТВЕРЖДЁН на заседании кафедры "4" марта 2016 г. протокол 6 Заведующий кафедрой Кондратьев В. В. (подпись) Фонд оценочных средств по учебной

Транскрипт

1 Алексеева О.А. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Практикум Челябинск

2 УДК 59.6 ББК.9 А-47 Алексеева О.А. Численные методы: практикум. Челябинск: НОУВПО РБИУ,. 77 с. Рассматриваются наиболее распространенные методы численного анализа: метод простой итерации и метод Зайделя для решения систем линейных алгебраических уравнений, численные методы нахождения корней трансцендентных уравнений, формула Лагранжа, широко применяемый на практике метод наименьших квадратов. В каждой лабораторной работе выводятся рабочие формулы, используемые для последующей их реализации на компьютере. Рассмотренные алгоритмы иллюстрируются примерами. В каждой лабораторной работе приведено около 8 вариантов индивидуальных заданий и контрольные примеры. Практикум предназначен для организации практических занятий и самостоятельной работы по дисциплине «Численные методы» студентам направлений «Прикладная информатика» и «Бизнес-информатика». Рецензенты: Турлакова С.У. кандидат физ-.мат. наук, доцент кафедры Прикладная математика ФГБОУ ВПО «ЮУрГУ» (НИУ УДК 59.6 ББК.9 Алексеева О.А., НОУВПО РБИУ,

3 Содержание Лабораторная работа. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений Постановка задачи Классификация методов решения систем линейных алгебраических уравнений Метод простой итерации (метод Якоби Условия сходимости и элементарные преобразования матрицы Метод Зейделя (метод Гаусса-Зейделя метод последовательных замещений Контрольные задания... 4 Контрольные вопросы... Лабораторная работа. Методы отыскания решений нелинейных уравнений с одним неизвестным.... Постановка задачи.... Методы решения нелинейных уравнений.... Контрольные задания... 7 Контрольные вопросы... 9 Лабораторная работа. Интерполяционная формула Лагранжа Постановка задачи Частные случаи полинома Лагранжа Оценка погрешностей Контрольные задания Контрольные вопросы... 5 Лабораторная работа 4. Метод наименьших квадратов Описание метода Линейная функция Квадратичная функция Степенная функция Логарифмическая функция Контрольные задания Контрольные вопросы... 7 Библиографический список Приложение... 75

4 Лабораторная работа. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений Цель работы: решить систему линейных алгебраических уравнений методом простой итерации и методом Зейделя с заданной точностью. Порядок выполнения работы. Изучить теоретический материал.. Решить заданный вариант контрольного задания (см. п. 6.. Составить отчет. 4. Ответить на контрольные вопросы. 5. Защитить лабораторную работу.. Постановка задачи Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными: a a... a b, a a... a b, a a... a b. Обозначим через А матрицу из коэффициентов системы (: a a... a a a... a A, a a... a столбец свободных членов системы (через вектор b: b b b.... b (4

5 Решение системы уравнений (искомый вектор обозначим через столбец неизвестных:.... Если матрица А неособенная, то система (имеет единственное решение (см. приложение. Совокупность чисел,..., (т.е. вектор, обращающих систему (в тождество, называется решением этой системы, а сами числа ее корнями. В реальных условиях вычисления на ЭВМ практически всегда сопровождаются погрешностями. Они обусловлены погрешностями исходных данных, погрешностями округления, погрешностями перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную при записи информации в память ЭВМ и погрешностями, связанными с ограниченностью разрядной сетки. Способы решения систем линейных уравнений разделяются на две группы: точные и итерационные методы.. Классификация методов решения систем линейных алгебраических уравнений.. Точные методы (прямые методы Эти методы представляют собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы. Они дают решение после выполнения заранее известного числа операций, например, правило Крамера, метод Гаусса, метод квадратных корней и др. . Эти методы сравнительно просты и наиболее универсальны, т.е. пригодны для решения широкого класса линейных систем. Точные методы используют для решения систем линейных уравнений, у которых число неизвестных, плотно заполнена матрица и определитель не близок к нулю. Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближенными, причем оценка погрешностей корней в общем случае затруднительна. 5

6 .. Итерационные методы Они позволяют получать корни системы с заданной точностью путем сходящихся процессов, например, метод простой итерации, метод Зейделя, метод релаксации и др. В этих методах необходимо задать некоторое приближенное решение начальное приближение. После этого с помощью алгоритма проводится один цикл вычислений, называемый итерацией. В результате итерации находят новое приближение. Итерации проводятся до получения решения с требуемой точностью. Алгоритмы решения линейных систем с использованием итерационных методов обычно более сложные по сравнению с прямыми методами. Объем вычислений заранее определить точно не удается. Эффективное применение итерационных методов существенно зависит от удачного выбора начального приближения и быстроты сходимости процесса. Итерационные методы применяют для решения систем большой размерности (при >, когда использование прямых методов невозможно из-за ограничений оперативной памяти ЭВМ. Большие системы уравнений, возникающие в приложениях, как правило, являются разряженными, поэтому использование точных методов является не эффективным, так как независимо от того равен нулю элемент или нет, его необходимо хранить в памяти. В итерационных же методах матрица остается разряженной. Эти методы применяются и для уточнения корней, полученных точными методами.. Метод простой итерации (метод Якоби Метод простой итерации , рассмотрим на примере системы трех линейных алгебраических уравнений: a a a b, a a a b, (a a a b, которую коротко можно записать в виде матричного уравнения: Ах=b. В исходной системе выделим диагональные коэффициенты а (где =,. 6

7 Предположим, что диагональные коэффициенты удовлетворяют условиям: a a a a a a,. a a a Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то следует провести элементарные преобразования матрицы (см. п.4. Разрешим первое уравнение системы (относительно х, второе относительно х, третье относительно х. (a (a (a /(a /(a /(a (a (a (a 7 /(a /(a /(a b b b В результате получим эквивалентную систему:, где b / a, a / a при j (, j=,. j j /(a /(a /(a Систему (можем записать в матричной форме:. Систему (будем решать методом простой итерации. В качестве нулевого приближения (примем элементы столбца свободных членов: (=, т.е. (=, (=, (=. Далее, находим первое приближение х (, подставляя найденные значения нулевого приближения в систему (: (((, (((, (((, Подставляя значения приближения х (в правую часть системы (, получим: (((, (((, второе приближение. (((,. (

8 8 Продолжая этот процесс далее, получим последовательность х (, (, (, (k,... приближений, вычисляемых по рабочим формулам:., ((((((, (((k k k k k k k k k В общем виде рабочие формулы для системы -уравнений: , (, (((((((, ((((k k k k k k k k k k k k (4 Если последовательность приближений имеет предел:, (lm k k то этот предел является решением системы. Таким образом, с увеличением числа итераций растет точность получаемых корней. Однако можно не производить огромное количество итераций, а задать определенную точность решения, при достижении которой итерационный процесс завершается. Условие окончания итерационного процесса можно записать в виде:, ((k k где =,. Пример. Методом простой итерации решить систему с точностью = = -. 49,7.,5,9 8,76, 9,8,5, 7,46,5,5,7,9, Решение.. Приведем систему к виду (. Для этого необходимо все диагональные элементы системы оставить в левой части уравнения, а остальные элементы перенести с противоположным знаком в правую часть. Разделим каждое из уравнений системы на соответствующий коэффициент, стоящий в левой части уравнения:

9 4 /,9(,7, /,(7,46, /9,8(8,76, /,(49,7,9,5,5,5,9,5, 4 4 4,.. В качестве начального вектора (возьмем элементы столбца свободных членов, округлив их значения до двух знаков после запятой:,4 (,.,45,55. Вычисления будем вести до тех пор, пока не будет выполнено условие (k (k, где = -, =,4. Последовательно вычисляем: при k = : (/,9(,7,45,9,55,75, (/,(7,46,4,5,45,5,55,95, (/9,8(8,76,4,5,55,4, (4 /,(49,7,9,4,5,45,6. Сравнивая полученные (с (, видим, что условия сходимости не выполняются. При k = : ((((4 6,94 /,9,86,45 /,8,99 /9,8,7, 45,88 /,477. Сравнивая полученные (с (, видим, что условия сходимости не выполняются. При k = 9

10 ((((4 6,6744 /,9,7978,548 /,9977,7 /9,8,975, 44,88575 /,98. Сравнивая полученные (с (видим, что условия сходимости не выполняются. При k = 4: (4 6,795 /,9,84, (4,6 /,5, (4,77 /9,8,5, (4 4 44,95 /,4. Для сравнения (4 с (, найдем модули разностей значений (4 (: (4 (4 (4 (4 4 ((((4,6,8, Так как все найденные значения модулей больше заданного числа = -, продолжаем итерации. Получаем при k = 5: (5 (5 (5 (5 4 6,788 /,9,7999,98 /,9999,758 /9,8,999, 44,9774 /,999.

11 Находим модули разностей значений: (5 (4 (5 (4,5, (5 (4,6, (5 (4,6, (5 (4,4, 4 4 Они меньше заданного числа, поэтому в качестве решения возьмем: =,7999, =,9999, =,999, 4 =, Условия сходимости и элементарные преобразования матрицы Теорема. Если для приведенной системы (выполнено, по меньшей мере, одно из условий:, j, или j j, j то процесс итерации сходится к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения. Следствие. Для системы j, (=,..., j b j метод итерации сходится, если выполнены неравенства: a j a j, (=,..., j т.е. если модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов (не считая свободных членов. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования: транспонирование, т.е. замена каждой строки столбцом с тем же номером; перестановка двух строк или двух столбцов; умножение всех элементов строки или столбца на любое число c, отличное от нуля; прибавление ко всем элементам строки или столбца соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

12 5. Метод Зейделя (метод Гаусса-Зейделя, метод последовательных замещений Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода простой итерации. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k+-го приближения неизвестной учитываются уже вычисленные ранее (k+ е приближения неизвестных, х,..., х -l [, 5]. В этом методе, как и в методе простой итерации, необходимо привести систему к виду (, чтобы диагональные коэффициенты были максимальными по модулю, и проверить условия сходимости. Если условия сходимости не выполняются, то нужно произвести элементарные преобразования (см. п. 4. Пусть дана система из трех линейных уравнений. Приведем ее к виду (. Выберем произвольно начальные приближения корней: х (, х (, х (, стараясь, чтобы они в какой-то мере соответствовали искомым неизвестным. За нулевое приближение можно принять столбец свободных членов, т.е. х (= (т.е. (=, (=, (=. Найдем первое приближение х (по формулам: (((, (((, (((Следует обратить внимание на особенность метода Зейделя, которая состоит в том, что полученное в первом уравнении значение х (l сразу же используется во втором уравнении, а значения х ((, х (в третьем уравнении и т.д. То есть все найденные значения х (подставляются в уравнения для нахождения х + . Рабочие формулы для метода Зейделя для системы трех уравнений имеют следующий вид: (k (k (k, (k (k (k, (k (k (k

13 (k (k Запишем в общем виде для системы -уравнений рабочие формулы: (k (k (k (k..., (k (k (k (k..., (k (k (k (k...,. Заметим, что теорема сходимости для метода простой итерации справедлива и для метода Зейделя. Зададим определенную точность решения, по достижении которой итерационный процесс завершается, т.е. решение продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие для всех уравнений:, где =,. Пример. Методом Зейделя решить систему с точностью = - :,9,9 4,7,5,5 4 7,46,5 9,8, 4 8,76,9,5, 4 49,7. Решение.. Приведем систему к виду: /,9(,7,9 4, /,(7,46,5,5 4, /9,8(8,76,5, 4, 4 /,(49,7,9,5,.. В качестве начального вектора х (возьмем элементы столбца свободных членов, округлив их значения до двух знаков после запятой:,4 (,.,45,55. Проведем итерации методом Зейделя. При k = (/,9(,7,45,9,55,75. (При вычислении х используем уже полученное значение (х =,75:

14 (/,(7,46,75,5,45,5,55,9674. ((При вычислении х используем значения х и х (: (/9,8(8,76,75,5,9674,55,977. Наконец, используя значения х (, х (, х (, получаем: (4 /,(49,7,9,75,5,9674,977,47. Аналогичным образом ведем вычисления при k= и k=. При k= : (6,766 /,9,89, (,9 /,9996, (,758 /9,8,996, (4 44,998 /,4. При k= : (6,7 /,9,86, (,58 /, (, /9,8,9999, (4 44,9999 /,4. Найдем модули разностей значений (k (k при k = : ((, ((,4, ((,4, ((, 4 4 Они меньше заданного числа, поэтому в качестве решения возьмем: =,86, =, =,9999, 4 =,4. 6. Контрольные задания Решить заданную систему линейных алгебраических уравнений методами простой итерации и Зейделя. Точность решения =,.,7, 4, 5,6, 4, 5, 5,8 7,. 4, 4,5 4,8 4,9,.,8, 4, 5,7,8,7. 7,8 5, 6, 5,8. 4

15 5.,.,5,4,8,7,4,4,5,6 5, 6, 4.,4., 5,6,5, 7,8 4,7,5,4, 4,5,7 5. 5,6., 7, 5,8,4,8 4,5,7,5 6.,., 4,5,5,5 5,8,5,4,8,7,9 7. 5,5. 8,6,5,4,5,5 4,5,9,5,4 8.,5.,5,6,7 4, 6,8,5 5,5,8,4 5,4 9.,5. 5,4, 4,8, 8,7,4. 4,5., 7,4 6,5, 6,4,8,8,8,5,.,. 4,6,5,8,6,7,6,8 4,5.,8.,75,5,7,7,8,65,7,8,6,7,4.,.,75,75,8, 4.,7.,7,7,75,5,4, 5,5.,8,7,75,7,8,75 6.,.,9,7,8,77,8,75,5,4, 7.,88.,67,8,7,6,4,54,4,5,6,8,9 8.,5.,6,5,48,5,44,45,46,7,87,4 9.,64.,5,84,44,58,4,6,85,4,.,87.,6,7,58,4,56,4,8,68,86,44,6

16 6.,6.,7,86,75,8,8,5,44,5,7,46.,5.,6,5,5,6,5,7,4,87,55,7 4,4.,74.,8,55,58,84,45,8,64,8,44,6,4 4.,8.,4,4,7,7,76,88,6,4,56,6 5.,.,68,4,57,4,8,67,7,5,7,5 6.,97.,6,8,74,4,4,6,5,4,7,95 7.,4.,7,8,7,4,7,5,4,7,7, 8.,7.,6,7,5,8,8,76,65,6,6,8,6 9.,6.,74,78,77,7,4,74,7,65,7,.,54.,88,77,86,7,4,8,58, 4,8,64.,9.,8,75,66,78,66,5,58,8,4,7.,.,8,58,4,6,7,8,74,7,58,4,4.,5.,8,7,86,5,54,7,4,4,88,65,47 4.,6.,8,47,4,55,6,54,7,6,4,6 5.,88.,57,8,7,4,57,8,5,4,95,6,4 6.,45.,5,4,9,7,8,4,6,9,7,8 7.,76.,95,48,56,64,5,7,6,8,8,7 8.,8.,7,5,5,8,7,7,5,8,6

17 7 9.,5.,8,56,4,7,4,5,7,45,9,65 4.,8.,7 4,8,4,7,9,8,7 4.,8.,7 5,8 4,7,8,7,5,7 4., 5,8., 5,7 4, 6,7,8 5,8 9,8, 7,8 5,6 9, 4. 5,6. 4,8,8 7,5,9,9,8, 44.,.,8,7 5,7, 4,8,7 4,8,8, 45.,8.,6,85,44,7,48,4,75,4,7,4,.,5,6,4,7,4,5 6,5,7,5, 47.,6., 4,5,5,4,9,6,7,8, 4,7,8,6 48.,.,7,8,4, 6,7,6,4,9,7,7 5,6 49.,4.,4,7 5,6, 6,7,8 4,5,5,5,9,7 5. 6,4.,5 7,4,8,5,6,5, 7,4,5 4,5 5.,6.,5 4,5,4,8,7, 6,4 5, 6,7,8 5.,8.,8,4,8,8,4,5,5 6, 5,4 5.,4.,8, 4,5,8,8, 4,8 5, 7,8.,8, 5,8,9, 4,8, 4,.,9 4,8,9,8,. 4,8 7, 6,5 7,8,5 4,5,8,8

18 ,. 5, 4,8 4, 6,9,7 5,8, 4,7, 58. 5,8. 7, 7,8 8, 6, 5, 4,8 5, 7, 6, 6,8 7, 59. 7,8.,8,9 9,7,7 4,8, 4,7 5,8 7,6 6.,47.,65,95,84,7,86,8,76,6,5 6.,9. 7,4,4,4,7,7 4,5,4, 5,4 6.,4.,8,45,7,45,7,7,4 6.,8.,44,6,55,75,6,87,4,48,55,4,9 64.,6.,85,8,4,4,8,6,75,4,75,45 65.,87.,8,4,65,87,4,6,8,65,6, 66.,88.,8,7,5,8,76,5,48,7,5,4 67.,87.,77,4,6,64,4,45,7,8,6,7, 68.,47.,86,7,5,7,7,8,8,57,5,8,78 69.,5.,6,5,8,5,7,8,6,8,75 7.,4.,55,64,64,96,75,8,75,48 7.,74.,4,6,7,7,6,7,7,75,7,7,6 7.,68.,88,5,67,7,5,87,8,67,8 7.,87.,5,7,54,68,7,6,65,4,54,65,7 74.,57.,65,7,77,88,7,8,77,7

19 9 75.,.,76,7,8,5,6,8,8,7,8,74 76.,7.,5,6,9,7,6,4,5,8,9,5,64 77.,.,6,46,8,9,46,7,7,5,8,7,65 78.,7.,5,9,8,95,9,68,75,68,8,75,5 79.,74.,7,57,8,88,57,45,6,65,8,6,4 8.,5. 8,7,84,6,7,65,7,5,84,7,6

20 Контрольные вопросы. Что называется решением системы линейных алгебраических уравнений?. Какие существуют методы решения систем линейных алгебраических уравнений?. В каких случаях целесообразно применять итерационные методы? 4. К точным или приближенным методам относится метод Крамера? 5. Запишите рабочие формулы метода итераций. 6. Приведите примеры итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. 7. В чем состоит отличие метода Зейделя от метода простой итерации? 8. Как классифицируются методы решения систем линейных алгебраических уравнений? 9. Каким методом лучше решать систему уравнений невысокого порядка, например третьего?. От чего зависит скорость сходимости метода итераций?. При каком условии будет сходиться метод простой итерации?. Запишите рабочие формулы метода Зейделя для системы -х линейных алгебраических уравнений.. В чем основное отличие точных и приближенных методов решения систем линейных алгебраических уравнений?

21 Лабораторная работа. Методы отыскания решений нелинейных уравнений с одним неизвестным Цель работы: решить нелинейное уравнение с заданной точностью. Порядок выполнения работы. Познакомиться с описанием лабораторной работы.. Решить заданный вариант (см. п. 4: а отделение корня, б уточнение значения корня.. Составить отчет. 4. Ответить на контрольные вопросы. 5. Защитить лабораторную работу.. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения встречается в различных областях научных исследований и актуальна в наши дни. Она часто является элементарным шагом при решении научных и технических задач. Аналитические методы для нахождения корней нелинейных уравнений существуют лишь для отдельных уравнений, например, a b c. Как правило, для нахождения корней используются приближенные методы. Нелинейные уравнения могут быть двух типов: алгебраические и трансцендентные. Уравнения вида a b c называются алгебраическими, уравнения вида s(трансцендентными, так как они содержат трансцендентные функции. К ним относят тригонометрические функции х s(, cos(, tg(, ctg(, экспоненциальную функцию е, логарифмические функции lg(, l(. В общем случае нелинейные уравнения с одним неизвестным имеют вид F (. (Корнем уравнения является всякое число действительное или мнимое, обращающее (в тождество.

22 Корни находятся в два этапа: первый отделение корней, т.е. нахождение отрезка , содержащего один корень уравнения; второй уточнение значения корней на найденных отрезках с заданной точностью. Если функция F (непрерывна и принимает на концах отрезка разные знаки, т.е. F (a* F(b и сохраняет на этом отрезке знак первой производной, то внутри этого отрезка находится один корень уравнения. Отделение корней можно осуществить различными способами.. Составляют таблицу значений функции y F(на выбранном отрезке изменения аргумента. Для отделения корня необходимо, чтобы на концах выделенного отрезка функция имела разные знаки и была монотонна. В качестве признака монотонности функции можно воспользоваться условием знакопостоянства первой производной. От заданной функции F (найдем F (и вычислим ее значения на концах отрезка , если F (a* F(b, функция F (монотонна.. Строят график функции y F(на отрезке изменения; точка пересечения графика с осью o даст нам корень уравнения. Для последующего уточнения корня возьмем окрестности корня и обозначим их .. Уравнение F (заменяют равносильным ему F (F (, строят два графика y F(и y F(. Абсцисса точки пересечения этих графиков, спроецированная на ось, даст нам отрезок , внутри которого находится корень уравнения F (.. Методы решения нелинейных уравнений.. Метод деления пополам (метод бисекций Задача. Найти решение нелинейного уравнения F (с точностью. Метод состоит в следующем: в результате отделения корня найден отрезок , в котором расположено искомое значение корня. В качестве начального приближения корня возьмем значение c o =(b+a/. Далее исследуем значения F (на концах отрезков и . Тот из них, на концах которого F (примет значения разных знаков, содержит искомый корень. Поэтому его принимают в качестве нового отрезка (см. рис., здесь корень находится на отрез-

23 ке . Затем полученный отрезок делим пополам и вновь производим проверку знаков. F (a, F(b, F(c. Рис. Теперь корень находим на отрезке . Затем находим с с с и т.д. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока F (не станет меньше заданного числа: F (с. Рабочая формула для нахождения корня имеет вид с с с. Число итераций в этом методе зависит от предварительно задаваемой точности и длины отрезка и не зависит от вида функции F (. Метод медленный, всегда сходится, можно получить решение с заданной точностью, широко применяется на практике . Блок-схема алгоритма метода половинного деления представлена на рис., где отрезок, в котором находится корень уравнения; с корень уравнения; число итераций; F (- значение функции в соответствующей точке... Метод хорд Задача. Отыскать корень уравнения F (с точностью. Пусть имеем отрезок , на концах которого F (меняет свой знак, где F (- монотонная функция. Пусть F (a, F(b. На рис. задача отыскания корня методом хорд представлена графически. Любая точка отрезка может быть первым приближением корня. Соединим точки А и В прямой, т.е. проведем хорду. Таким образом, получим b, которое является приближением корня.

24 Воспользуемся уравнением пучка прямых, проходящих через точку B(b, F(b. y y =k(, y F(b =k(b. Хорда должна проходить через точку A(a, F(a, т.е. F(a F(b k. ab Запишем уравнение прямой F(a F(b y F(b (b. a b Начало Ввод a, b, =, ε Вычисление F (a = + с a b F (c b = c F (c Нет Нет F(c* F(a Да Да Вывод c, а = c Конец Рис.. 4

25 5 Рис. Проведенная прямая пересекает ось ох (((b a b b F a F b F y. Найдем х при у= ((((, ((((b F a F b a b F b b b F a F b a b F b. Далее, сравнивая знаки F(b и F(b, найдем новый отрезок . Соединим новой хордой точки А и В, таким образом найдем новое приближение корня. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока F(b не станет по модулю меньше числа: (b F. При решении этим методом потерять корень невозможно. Рабочая формула метода хорд: b b b b F a F b a b F b b или ((((, где b начало отрезка, а конец (точка а неподвижна. Неподвижен тот конец, для которого знак функции (F совпадает со знаком ее второй производной (F. Блок схема алгоритма метода хорд представлена на рис. 4, где отрезок, в котором находится корень уравнения; b корень уравнения; число итераций; F(b значения функции в соответствующей точке.

26 .. Метод Ньютона (метод касательных Как и ранее, находим корень F (. Имеем точность и отрезок , в котором находится изолированный корень. В качестве начального приближения принимается тот конец отрезка , для которого выполняется условие F (F (. Обратимся к рис. 5, на котором представлено графическое решение задачи. Из точки А проведена касательная к функции. Точка пересечения касательной с осью Oх является первым приближением корня, на рис. 5 она обозначена как а. Затем из точки а проводим прямую, перпендикулярно оси ох. Точку пересечения этой прямой с функцией обозначим через А и т.д. Начало Ввод b, = b b b = + F (b Да Нет Вывод b, Конец Рис. 4 Запишем уравнение прямой, касательной к F (: y-y =k(-, y=, F(a где k F(a, a, F(a F(a y F(a. a a. F(a y F a F(a (. (a 6

27 Рис. 5 Начало Ввод a, = а а а = + F (а Да Нет Вывод а, Конец Рис. 6 Рабочая формула метода касательных: F(a a a, F(a a a a,... 7

28 Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока F (не станет меньше заданного числа: F (a. При работе с этим методом возможна потеря корня, но при правильном применении метода он сходится быстро, 4-5 итераций дают погрешность -5, он используется также для уточнения значения корня . Блок-схема алгоритма метода касательных представлена на рис. 6, где a корень уравнения; число итераций; F(a - значение функции в соответствующей точке..4. Комбинированный метод хорд и касательных Задача. Найти корень уравнения F (с заданной точностью. В этом случае используется одновременно методы касательных и хорд. Приближение к корню происходит с двух сторон. Рассмотрим четыре случая, которые отвечают возможным комбинациям знаков F (и F (. Из графиков, представленных на рис. 7, метод хорд применяется со стороны вогнутости, а метод касательных со стороны выпуклости графика. Рис. 7 Совместное применение обоих методов дает сразу избыточное и недостаточное приближение. Применяя этот метод, мы предполагаем, что F (, F (и F (непрерывны на отрезке , причем F (и F (сохраняют свой знак. Известно, что сохранение знака 8

29 у F (говорит о монотонности F (, а сохранение знака у F (означает, что выпуклость кривой y F(при всех [ a, b ] обращена в одну сторону. Для удобства расчета обозначим через а тот конец отрезка , в котором знаки F (и F (совпадают. Из возможных случаев рассмотрим случай первый. Пусть F (a* F(b и F (* F (, т.е. знаки первой и второй производной совпадают. При решении уравнения каждая итерация заключается в следующем: из точки А проведем хорду, которая стягивает дугу АВ, и проведем касательную к дуге таким образом, чтобы точка пересечения касательной с осью ох оказалось внутри отрезка . Хорда на графиках пересекает ось ох в точке b, лежащей между точками b и искомым корнем, а касательная к дуге в точке А пересекает ось ох в точке а, лежащей между точками а и искомым корнем уравнения (рис. 8. Полученное значение a и b дают новое приближение к корню. Приведем расчетные формулы для a + и b +, выведенные в п.. и.. F(b (a b F(a b b, a a. F(a F(b F(a Процесс нахождения a + и b + продолжается до тех пор, пока выполняется одно из следующих условий: a b, где - заданная точность; F ; (b или F(a F a b Рис. 8 9

30 Все округления при вычислениях следует производить в сторону от корня . На рис. 9 представлена блок-схема комбинированного метода хорд и касательных, где число итераций; а, b значения приближения корня; F(а F(b значения функции в данных точках. Начало Ввод a, b, = а а а b b b с a b = + F (c Нет Да Вывод c, Конец Рис Метод простой итерации (метод последовательных приближений Чтобы применить метод простой итерации для решения нелинейного уравнения F(=, необходимо преобразовать его к следующему виду: (. (Это преобразование (приведение уравнения к виду, удобному для итерации можно выполнить различными способами; некоторые из них будут рассмотрены ниже. Функция называется итерационной функцией.

31 Выберем каким-либо образом приближенное значение корня (х и подставим его в правую часть уравнения (. Получим значение х (х. Подставим теперь х в правую часть (((уравнения (((, имеем х (х. Продолжая этот процесс неограниченно, получим последовательность приближений к корню, вычисляемых по формуле (((,. (Если существует предел построенной последовательности (х lm, то, переходя к пределу в равенстве (и предполагая функцию непрерывной, получим равенство х (х (4 Это значит, что х корень уравнения (. Метод допускает простую геометрическую интерпретацию. Построим графики функций у = и у = (, (рис.,а и,б. Корнем уравнения у = (является абсцисса точки пересечения кривой у = (с прямой у =. Взяв в качестве начальной произвольную точку , строим ломаную линию. Абсциссы вершин этой ломаной представляют собой последовательные приближения корня. Из рисунков видно, что если "(< на отрезке , то последовательные приближения = (-, колеблются около корня, если же производная "(>, то последовательные приближения сходятся к корню монотонно. a б Рис.

32 При использовании метода простых итераций основным моментом является выбор функции у = (, эквивалентной исходной. На рис. рассмотрен пример, когда условие окончания итерационного процесса y выполняется на первом шаге ите- рационного процесса, т.е., из этого следует, что х является приближенным значением искомого корня. Однако из рис. видно, что это неверно, т.к. решением задачи является. Для метода итераций следует подбирать функцию (так, чтобы "(δ <, в противном случае процесс итерации расходящийся. При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности { } к корню тем выше, чем меньше число δ. Ключевой момент в применении метода простой итерации эквивалентное преобразование уравнения F(= к виду (. Конечно, Рис. такое преобразование имеет смысл только тогда, когда оказывается выполненным условие (х q при q. Если первая (обычно самая простая и напрашивающаяся попытка представления уравнения в требуемом виде оказалась неудачной, отчаиваться не следует. В ряде случаев можно использовать специальные приемы. Рассмотрим некоторые из них [,5]. Способ. Если f (содержит в себе выражение некоторой обратимой на [с; d] функции y (, причем такой, что (q на , то следует попытаться заменить уравнение на равносильное с использованием обратной для функции: (y. Этот способ основан на известном соотношении между производными взаимообратных функций (y / (y и следствии из него:

33 если (q, то (y (q. Пример. Привести уравнение к виду, пригодному для решения методом простой итерации на интервале [,8; ]. Прибавим к правой и левой частям х и получим:. Проверим условие сходимости: ((; (при х [,8; ], условие сходимости не выполняется. Другой вариант уравнения:. Проверим условие сходимости: ((; (4 при х [,8; ], условие сходимости не выполняется. Так как ни одно из приведенных нами уравнений не удовлетворяет условию сходимости, то применим описанный способ: ; ((; ((,8,799 при х [,8; ] условие сходимости выполняется. Таким образом, для уточнения нужного нам корня методом простой итерации можно использовать уравнение. Способ. В случае, когда способ применить трудно или он не даст нужного результата, можно использовать следующий прием. Пусть дано уравнение с единственным корнем в . Предположим, что на отрезке [с; d] производная f функции F непрерывна, не равна константе и принимает значения одного и того же знака. Будем считать, что f (, т.к. в противном случае можно рассматривать равносильное уравнение: f (. Введем обозначения: m m m f (, M ma f (, k и q -. [ c; d ] [ c; d ] M M

34 Ясно, что q. Заменим равносильное уравнение уравнением эквивалентным ему k f (и покажем, что для функции g(k f (на имеет место условие сходимости. Для [ c, d] справедливы неравенства: m f (M. Разделим их почленно на число М и для разностей между единицей и полученными дробями получим неравенство: f (m q, M M откуда и вытекает, что g(k f (q при всех [ c, d]. Пример. Привести уравнение l к виду, пригод- ному для решения методом простой итерации на интервале [,4;,7]. Так как условие сходимости не выполняется, то применим второй способ приведения уравнения: f (; f (,4,4,4,7,7,44; f (,7,7,7,59,4,99 ; m m f (m,99; M ma f (k M q m M,44,69;,99,44 4,. M,44; Таким образом, для уточнения нужного нам корня методом простой итерации можно использовать уравнение,(l l Пример. Привести уравнение l к виду, пригодному для решения методом простой итерации на интервале [,7;,]..

35 Так как условие сходимости не выполняется, то применим второй способ приведения уравнения: f (; l f (,7,6,4,66;,7 l,7 f (,4;, l, m m f (m,4; M ma f (k M,66,5; M,66; m,4 q,6. M,66 Таким образом, для уточнения нужного нам корня методом простой итерации можно использовать уравнение l,5(. l Пример. Привести уравнение e к виду, пригодному для решения методом простой итерации на интервале [,;,7]. Так как условие сходимости не выполняется, то применим второй способ приведения уравнения: f f (, (, f (,7 (,7 ((e ;, e,7 e,7 5,5;,7; 5

36 m m k M f (M ma f (5,5,; m,7; M 5,5; m,7 q,9. M 5,5 Таким образом, для уточнения нужного нам корня методом простой итерации можно использовать уравнение, e. Блок схема алгоритма метода простой итерации представлена на рис., где c корень уравнения; число итераций; F(c значение функции в соответствующей точке. Начало Ввод c, = (c c = = + F (c Да Нет Вывод c, Конец Рис. 6

37 . Контрольные задания Решить уравнения с одним неизвестным рассмотренными методами.. l.. cos. l. 4. cos 5. cos. 6. (e. 7. (e. 8. l. 9. e.. lg.. l.. cos.. t g ctg cos l s. 8. s. 9. lg.. tg.. s cos.. s, 5.. s cos, cos, cos 4 7. tg. 8. ctg,5. 9. cos.. lg.. 7 lg. 6. cos. e (. 4. e.. 5. e 4(

38 7. e 4. 8.,9 s. 9. e. 4. s. 4. e 4.,58 s. 4. s s. 46. cos. 47. ctg. 48. s e. 5. (s. 5. cos. 5. lg tg, lg, s, 5. e. 57. (, 58. l tg 6. s. 6. l (. 6. lg(. 64. s(,5, (e, s 67. e. 68. s 69. tg 7. s lg(. 7. e lg(. 74. l(. 75. s(,6, s(,5, lg(, (e. (e. 8. e... 8

39 Контрольные вопросы. Метод половинного деления. Почему этот метод считается надежным методом решения нелинейных уравнений? В чем состоит недостаток этого метода?. Всегда ли нужно проверять условия сходимости для рассмотренных методов?. Чем объясняется целесообразность применения комбинированных методов, в частности метода хорд и касательных? 4. Условия сходимости метода простых итераций. 5. Условия окончания итерационного процесса, используемые в программе. 6. Назовите этапы приближенного определения корней. 7. Что является корнем или решением нелинейного уравнения? 8. Приведите геометрическую интерпретацию метода половинного деления. 9. Какой конец хорды неподвижен при реализации метода хорд?. Как выбирается в методе Ньютона первое приближение?. Запишите алгоритм решения задачи методом хорд.. Метод половинного деления. Почему этот метод считается надежным методом решения нелинейных уравнений? В чем состоит недостаток этого метода?. Всегда ли нужно проверять условия сходимости для рассмотренных методов? 4. Чем объясняется целесообразность применения комбинированных методов, в частности метода хорд и касательных? 5. Условия сходимости метода простых итераций? 6. Условия окончания итерационного процесса, используемые в программе? 7. Назовите этапы приближенного определения корней. 8. Что является корнем или решением нелинейного уравнения? 9. Приведите геометрическую интерпретацию метода половинного деления.. Какой конец хорды неподвижен при реализации метода хорд?. Как выбирается в методе Ньютона первое приближение?. Запишите алгоритм решения задачи методом хорд. 9

40 Лабораторная работа. Интерполяционная формула Лагранжа Введение Частным случаем задачи приближения одной функции к другой является интерполяция. Речь пойдет о приближении функции одной переменной. Задачи интерполяции возникают в практике инженера в случае: интерполирования табличных данных; получения аналитической зависимости по экспериментальным данным; замены сложной с вычислительной точки зрения функции более простой зависимостью; приближенного дифференцирования и интегрирования; численного решения дифференциальных уравнений. Цель работы: вычислить значение функции, заданной таблично, в точках, не совпадающих с узлами, используя интерполяционную формулу Лагранжа. Порядок выполнения работы. Изучить теоретический материал.. Составить программу для решения задачи, отладить её.. Решить заданный вариант контрольного задания. 4. Составить отчет, содержащий задание, листинг программы, вычисленные значения функции. 5. Защитить лабораторную работу.. Постановка задачи Исходная функция у = F(задана на отрезке в виде таблицы с неравноотстоящими узлами (х + х cost. Для аналитической записи этой функции с помощью интерполяционной формулы необходимо выполнение условия, состоящего в том, что исходная функция и заменяющая её функция φ (х должны совпадать в узлах, то есть необходимо выполнение условия F(= φ (, где ì =,. (Функцию у = F(представим в виде полинома степени п: L (х = а + а х + а х а п х. (4

41 Воспользуемся для этого полиномами, каждый из которых в точке х = х (=, принимает значение у=, а во всех остальных узлах =, =, = -, = +, = обращает y в ноль y=y =y = =-, + = =y =. Рис., j; P (, j. На рис. изображен полином. Так как искомый полином обращается в в точках,..., то он имеет вид P C, (где C постоянный коэффициент. Значение этого коэффициента может быть найдено при =, так как P, C, (4 откуда C. (5 Подставляя (5 в (, получим P. (6 Степень полинома равна п. Нумерация точек начинается с и заканчивается п, при этом -я точка выпадает. Полученный полином представляет исходную функцию у = F(только в одной точке. Для представления всей таблично заданной функции таких полиномов потребуется п. L 4 P y. (7

42 4. Частные случаи полинома Лагранжа Рассмотрим частные случаи полинома Лагранжа при п=; п=; п=. Для п= исходная таблица функции будет выглядеть следующим образом: y y, тогда по формуле (7 имеем y y y P y P L. Для случая п = : y y y. y y y y P y P y P L Для случая п=: y y y y. y P y P y P y P L y y. y y Рассмотрим конкретный пример. Функция задана таблицей своих значений. Вычислить значение функции в точке,5.

43 Значения функции y= l х 4 5 y= l,69,986,86,694 Используем первые три значения в качестве узлов интерполирования, получим: L (=((-(-4/(-(-4,69+((-(-4/(-(-4, ((-(-/(4-(4-.,86=-,589 +,7 -,47; L (,5=,9. L Полином третьей степени строим по четырём узлам: ,9,86,94,6849; , L,99.,69,986,89 Для сравнения укажем, что в четырёхзначных таблицах значение l,5 =,99.. Оценка погрешностей Построенный полином Лагранжа совпадает с исходной функцией F(в узловых точках, во всех остальных точках L(представляет функцию F(на отрезке приближенно. Без вывода запишем формулу, используемую для оценки погрешностей: f R f (L(, (8! где R остаточный член или погрешность; f (+ я производная от исходной функции, при этом будем предполагать, что F(на отрезке a b изменений х будет иметь все a,b, производные до (+-го порядка включительно; точка она придаёт максимальное значение функции f полинома,. ; степень 4

44 Рис. 44

45 Оценим погрешность функции, заданной таблицей, выберем степень полинома п =, заданная функция y= l. Найдем производную третьего порядка y"=/; y""= /, y"""=/. Очевидно, что максимальное значение y""" получим при =: y"""=/ =/4. R (,5 (,5 (,5 4, Алгоритм выполнения задания по лабораторной работе представлен на рис.. 4. Контрольные задания Используя интерполяционную формулу Лагранжа, вычислить значения функции в указанных точках. В таблично заданных функциях шаг таблиц постоянный. 4 X У X У X У X У,5,54,5 8,6579,5,8678,45,946,55 4,8, 8,99,887,46 9,6,6 6,598,5 7,9589,5,7788,47 8,945,65 8,4747, 7,6489,7488,48 8,746,7 4,447,5 7,65,5,74688,49 7,75 4,5,4 7,96,4,67,5 6,8 44,7,45 6,8485,45,6768,5 5,984,85 46,99,5 6,6659,5,665,5,9484,9 49,44,55 6,9986,55,57695,5,558,95 5,954,6 6,9658,6,5488,54,997 =,5 =, =,7 =,455 =,9 =,6 =,58 =, X У X У X У X У,4 -,4476,4 4,556,5 4,487,9984,5 -,597,45 4,55,6 4,95,6,9595,6 -,7446,5 4,455,7 5,479,965,7 -,896,55 4,5684,8 6,496,6,87695,8 -,5,6 4,6744,9 6,6859,8468,9 -,779,65 4,798, 7,89,6,87789,4 -,95,7 4,96, 8,66,775,4 -,4598,75 5,49, 9,5,6,744,4 -,599,8 5,7744, 9,974,4,749,4 -,77,85 5,6,4,46,68547 =,45 =,6 =,55 =,7 =,47 =,84 =,8 =,45 45

46 9 X У X У X У X У,8 5,654,68,45,88855,5,644,85 5,4669,6,7644,4,889599,76,9 5,64,9,45,8967,5,967,95 5,94,6,67,4,89667,54, 5,6649,45,89687,5,8,5 4,9469,6,66,44,89698,4,4776, 4,87,57,445,8947,45,8759,5 4,76,6,677,45,89569,5,467, 4,6855,4,857,455,896677,55,45688,5 4,599,46,9959,46,89765,6,4889 =,8 =, =,46 =,7 =,7 =,5 =,457 =, X У X У X У X У,5,56,5,576,4-6,94647,7,4499,6,89,44-7,8945 5,8655,9,59,7,8,54-7,67 7,776,59774,8,5,64-7,8678 9,446,6587,9,697,74-7,5445,66977,5,74 4,869,84-7,75,77648,7,769 4,498,94-7,8666 5,999,9,86 4,458,4-8,56 7,7558,8474 4,4586,4-8,46 9,449,885 4,4,486,4-8,898,489 =,48 =,68 =,46 =,7 х =,87 = 4, =,5 = 9, X Y X Y X Y X Y,5 -,6844,9,5844,47 -,788,5 -,84, -,5688,95,67884,48 -,8 -,99,7 -,474,69,49 -,947, -,796, -,9987,5,6546,5 -,8768,4 -,79,9 --,96,6754,5 -,84,7 -,69,45 -,88,5,696759,5 -,7444, -,584,5 -,486,77685,5 -,6788, -,5,57 -,74,5,784,54 -,66,6 -,4858,6 -,6664,75847,55 -,5489,9 -,4464,69 -,8,5,7777,56 -,4846, -,49 х =,6 х =,9 х =,475 х =,64 х =,66 х =, х =,559 х =, 46

47 4 X У X У X У X У,7 -,7896 5,5,964,4 -,788,789 -,98,8 -,7445 5,969,5 -,498,79 -,978,9 -,5,94585,6 -,65,79 -,98, -,6696 5,9555,7 -,9945,79 -,997, -,6659 5,5,9658,8 -,96758,79 -,957, -,595 5,97456,9 -,946,794 -,97, -,5664 5,5,98949,4 -,969,795 -,977,4 -,596 5,4,995,4 -,896,796 -,947,5 -,547 5,45,468,4 -,8675,797 -,9497,6 -,4945 5,5,6,4 -,8497,798 -,9557 =,79 х = 5,6 х =,87 х =,78 х =,5 х = 5,48 х =,44 х =, X У X У X У X У,75 4,5,5 7,65,7488,9 5,6,8 44,7,4 7,96,5,74688,95 5,9,85 46,99,45 6,8485,4,67, 5,664,9 49,44,5 6,6659,45,6768,5 4,946,95 5,954,55 6,9986,5,665, 4,87 4, 54,598,6 6,9658,55,57695,5 4,76 4,5 57,975,65 6,55,6,5488, 4,685 4, 6,4,7 5,8558,65,546,5 4,59 4,5 6,44,75 5,6558,7,496585, 4,44 4, 66,686,8 5,4954,75,476,5 4, =,76 =,6 =, х =,98 = 4,7 х =,7 х =,74 х =,7 9 X У X У X У X У,7 5,479,4,88959,6,7644,6 6,598,8 6,496,45,896,9,65 8,474,9 6,6859,4,8966,6,67,7 4,447, 7,89,45,8968,75 4,5, 8,66,44,8969,6,66,8 44,7, 9,5,445,8947,57,85 46,99, 9,974,45,89569,6,677,9 49,4,4,455,89667,4,857,95 5,95,5,85,46,89765,46,9959 4, 54,598,6,467,465,8986,5,4579 4,5 57,97 =,74 х =,46 х =,8 х =,6 =, х =,46 х =,5 х = 4, 47

48 4 5 6 X У X У X У X У,5 7,9589,5,7788,47 8,945,99, 7,6489,748,48 8,746,885,5 7,65,5,7468,49 7,4,6755,4 7,96,4,67,5 6,6,555,45 6,8485,45,676,5 5,984,8,5,5 6,6659,5,665,5,9484,4,55 6,9986,55,57695,5,558, -,584,6 6,9658,6,5488,54,997,4 -,555,65 6,55,65,54,55 9,647,6- -,445,7 5,8558,7,49658,56 7,5,8 -,69 =,6 х =,7 х =,465 х =, =,67 х =,67 х =,557 х =, X У X У X У X У,99, -,46 6,68,7,486:8,885, -,5885 6,5,5,9,985,5,6755,4 -,774 6,7,448,69,7,555,6 -,8569 6,9,5784,67,9,5,8 -,94 7,79,5,87,4, -,99 7,854,7,79, -,584, -,998 7,5,98,9,466,5 -,555,4 -,45 7,7,988,7 -,445,6 -,489 7,9,9989,98,9 -,69,8 -,5 8,5,5,85 х =,7 =,8 х =, =,7 х = 6, = 7,6 х =,75 =, X Y X Y X Y X Y,45,48,47,58,48,56,49,54,5,546,5,576,5,5859,54,5994,55,6,57,64,58,655,59,6696,6,684,6,79,6,79,64,7445,65,76,67,79,68,887,69,85,7,84,7,877,7,949,74,9,75,96,77,9696,78,989,79,4,8,96,8,77,8,94,84,56,85,8,87,85,88,97,89,46,9,6,9,9,49,94,69 х =,48 х =,48 х =,5 х =,5 х =,87 х =,9 х =,9 х =,9 48

49 X У X У X У X У,5,546,5,5859,7,4,7,75,55,6,58,655,8,479,8,6,684,6,79,9,484,9,545,65,76,68,887,7456,8,7,84,7,8949,44, 957,75,96,78,989,55,4,8,96,8,94,75,78,85,8,88,97,4 4,96,4 4,787,9,6,9,49,5 4,567,5 4,68,95,984,98,49,6 5,8,6 5,9 х =,49 х =,5 х =,75 х =,7 х =,9 х =,95 х =,6 х =, X У X У X У X У,8,94,998,5,548,5,5558,9,68,955,6,665,6,675,669,5,4794,7,768,7,7966, 4,9,7,644,8,95,8,986, 4,457,9,78,9,554,9,7, 4,97,89,6,4 5,466,966,69,86,5 6,5,5,9975,546,5645,6 6,6947,7,78,758,7 7,46,9,6,4,9477,4,9697 х =,8 х =, х =,59 х =,55 х =, х =, х =,8 х =, X Y X Y X Y X Y, 8,947,97,75,474,98 8,4,8546,4,744,95,867,4,9 8,6,744,5,75,5,66,6,85 8,8,5849,6 4,96,5,59,8,6967 9,4,7 4,9,55,545 9,9,8 5,8,75,78,64 9,4,48,9 6,859,95,4,4,699 9,6 -,74, 8,5,65,6 -,9 9,8 -,665, 9,6,5,954,8 -,7, -,544,648,55,78 х =, х =8,5 х =,5 х =,78 =,66 = 9,9 =,4 =,45 49

50 X Y 6 X Y 6 X 6 Y X 64 Y,7 X,8 Y X,5,5 Y 4, X -,7568 Y,5 X,5 Y 84,8,54,55,5666,4,6,666,9 4,65 -,876 8,4747,6,6485 8,99,9,64,4596,6846,4,7,7586,9 4,4,7 -,956 4,447,7,5,77 7,9589,74,78,894,44,8,888,947 4,6,75 -,997 4,5,8,965 7,6489,84,64,94,46,9,65,896 4,8,8 -,996 44,7,9,5,49 7,65,94,847,48,75,887 5,85 -,68 46,99,4,97 7,96,4,669,79,5,56,8776 5,9 -,5 49,44,45,54 6,8485,4,4 4,55,45,5,595,8678 5,4,95 -,67 5,954,5,576 6,6659,5,4 4,487,585,54,6984,8577 5,6 4, -,54 54,598,55,78 6,9986,6,4 4,95,7786,56,4,94,847 5,8 4,5 -,4 57,975,4,6,959 6,9658 х,44 =,75,999,58 х =,54,865 4, х = 4, 6,4,65 х =,56,55 х =,55,55 х =,4,5 х =,655 5,7 х =,6,7 =,46 =,57 = 4,7 =, X Y X Y X Y X Y,46 9,6,6,959,6 4,95,45 4,55,47 8,945,96,7 5,479,5 4,455,48 8,746,6,8769,8 6,496,55 4,5684,49 7,.846,9 6,6859,6 4,6744,5 6,6,877, 7,89,65 4,798,5 5,984,775, 8,66,7 4,96,5,9484,6,744, 9,5,75 5,49,5,558,4,74, 9,974,8 5,7744,54,997,46,6854,4,85 5,6,55 9,647,5,6579,5,85,9 5,6 х =,55 =,65 х =,66 х =,465 =,7 =,57 =,57 =, X Y X Y X Y X Y,5,58,565,88,5,984,5,564,675,5,7,6,9,5,564,747,4549,7,88,5,495,797,5,794,8,846,54,4894,4,886,48,9,875,55,4876,5,987,5,44774,765,56,478,6,848,4855,796,57,4745,7,964,5,5745,67,58,46668,8,7,4,556,6,59,46,9,448,45,5868,4,5669 х =,59 =,7 х =,5 х =,56 =,6 =,87 =, 44 =,7 5

51 X Y X Y X Y X Y,66,596,6,796,6,7455,6,446,97,94,97,69,469,978,469,896,4,554,4,98,4,554,4,49,5,6467,5,567,5,6467,5,898,6,75,6,7554,6,75,6,55,7,864,7,6,7,864,7,847,8,9896,8,8,9896,8 4,57,9,77,9,66,9,77,9 4,57 х =,55 =,65 х =,8 х =,6 =,7 =,57 =,87 =,8 Контрольные вопросы. Что обозначают термины: аппроксимация, интерполяция, экстраполяция?. Меры близости (отклонения двух функций.. Запишите интерполяционные формулы для таблиц: a с переменным шагом; b с постоянным шагом. 4. Конечные разности, как их вычислить? 5. Разделенные разности, как они вычисляются? 6. Запишите функцию, заданную таблично в аналитическом виде, используя интерполяционные формулы. Х - У Запишите частные случаи формулы Ньютона для п=, п=. 8. Запишите частные случаи формулы Лагранжа для п=, п=, п=. 9. Как оценить погрешность интерполяционной формулы?. Единственность полинома Лагранжа.. Вычислить конечные разности различных порядков: 5

52 . Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для таблично заданной функции у = пх:. Записать функцию в аналитическом виде, используя для этого разделенные разности: 4. Каким образом можно определить наилучшую степень аппроксимируемого полинома? 5. Можно ли при аппроксимации произвольно задавать степень аппроксимирующего полинома? 6. Найти многочлен наименьшей степени, принимающий в данных точках заданные значения. y,45,4,6 4,5,4 5,65 7. Записать в аналитическом виде, таблично заданную функцию. y 4 6 5

53 Лабораторная работа 4. Метод наименьших квадратов Цель работы: выбрать вид зависимости и определить неизвестные параметры таблично заданной функции, используя метод наименьших квадратов. Порядок выполнения работы. Познакомиться с описанием лабораторной работы.. Для заданного варианта определить: а вид зависимости; б неизвестные параметры.. Составить отчет. 4. Ответить на контрольные вопросы. 5. Защитить лабораторную работу.. Описание метода Пусть в результате эксперимента получена таблица некоторой функции F(y y y y Требуется найти функцию вида y = F(, которая в точках, принимает значения, наиболее близкие к табличным значениям y,y,y. Такую формулу называют эмпирической формулой или уравнением регрессии y на, саму функцию называют приближающей функцией или аппроксимирующей. На практике эту приближающую функцию находят следующим образом. По таблице строят точечный график функции F, по которому устанавливают вид приближающей функции. В качестве приближающей функции y = F(в зависимости от характера точечного графика часто используют следующие функции: y=a+b; y=a +b+c; y=a m ; y=b a ; y=a+b s; y=a l+b; y=/(a+b; y=a/+b; y=/(a+b, y=a e m ; где a,b,c,m константы. Выбор аппроксимирующей функции не алгоритмизирован, на помощь приходит опыт составителя формулы, часто нужную ап- 5

54 проксимирующую функцию находят перебором. В качестве вспомогательного средства можно использовать метод выравнивания . Таким образом, если вид приближающей функции установлен, то задача сводится к отысканию значений параметров. Их можно вычислить по методу наименьших квадратов, суть которого заключается в следующем. Пусть требуется найти аппроксимирующую функцию, например, с тремя параметрами: y ǐ =F(ǐ,a,b,c (Для (где =, из таблицы эта функция примет значения =F(,a,b,c, которые должны как можно меньше отличаться от заданных (табличных значений, то есть разность должна быть близка к нулю. Поэтому сумма квадратов разностей соответствующих значений функций F(и y F a, b, c Фa, b c, также должна принимать минимальное значение. Таким образом, задачу свели к отысканию минимума функции Ф(a,b,c. Используем необходимое условие экстремума: Ф, а Ф, b Ф, c или y F, a, b, cf, a, b, c y F, a, b, cf, a, b, c y F, a, b, cf, a, b, c 54 a b c,. Решив эту систему из трех уравнений с тремя неизвестными, получим значения параметров a,b,c, следовательно, получим конкретный вид приближающей функции F(,a,b,c. Очевидно, что значения найденной функции F(,a,b,c в точках, будут отличаться от табличных значений y,y,y.. Значения разностей y F, a, b, c, где =,.., называются отклонениями данных значений y от вычисленных по формуле (. Сумма квадратов отклонений (должна быть наименьшей. Отметим, что из нескольких приближений для одной и той же табличной функции лучшим является то, для которого имеет наи-

55 меньшее значение. В нашем случае приближающая функция зависела от трех параметров, однако изменение количества параметров повлияет только на изменение количества уравнений системы (, а суть метода останется прежней. Рассмотрим частные случаи нахождения аппроксимирующих функций.. Линейная функция Пусть требуется найти приближающую функцию в виде линейной: F(,a,b = a+b. Так как её частные производные по параметрам a и b:, a, b F b, a, b, то система (примет вид: F a, y a b, y a b. После несложных преобразований её можно привести к виду: y a b, (а y a b. Решив систему, получим значения параметров a и b, следовательно, и конкретный вид приближающей функции F(,a,b = a+b. Пример. Найти аппроксимирующую функцию в виде линейного полинома F(,a,b = a+b y 66,7 7, 76, 8,6 85,7 9,9 99,4,6 5, Составим систему уравнений, точнее, воспользуемся системой (а. Используя имеющиеся данные, получим = 9; = ; = =8,; = 54,8; = 46. Решим систему линейных алгебраических уравнений относительно а и b, получим а =,87; b = 9,. Аппроксимирующая функция имеет вид F(,a,b =,87+9,. 55

56 . Квадратичная функция Пусть требуется найти аппроксимирующую функцию в виде квадратичной: F(,a,b,c = a +b+c. Так как её частные производные по параметрам a, b и c соответственно равны: F a, a, b, c, F b, a, b, c, F c, a, b, c, то система (примет вид: y a b c, y a b c, y a b c. Решив систему, получим значения параметров a, b и с, следовательно, и конкретный вид аппроксимирующей функции F(,a,b,c=a +b+c. 4. Степенная функция Пусть требуется найти аппроксимирующую функцию в виде степенной: F(,a,m = a m. (При условии, что a> и в заданной таблице значения аргумента и значения функции положительны, прологарифмируем равенство (: lf = la+ml. Введем следующие обозначения u = l; A= m; B= la, тогда lf будет функцией от u: Ф(u,A,B = Au+B. Таким образом, нахождение параметров степенной функции мы свели к нахождению параметров линейной функции. Поэтому дальнейшее решение поставленной задачи будет аналогично первому случаю. Так как частные производные функции Ф(u,A,B по параметрам А, В: Ф а u, Ф, то система (примет вид: b u y A u B u, y Au B. 56

Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает:) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Лабораторная работа по теме «Тема.. Методы решения нелинейных уравнений» Перейти к Теме. Теме. Огл.... Вопросы, подлежащие изучению. Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений.. Этапы численного

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Постановка задачи Метод половинного деления Метод хорд (метод пропорциональных частей 4 Метод Ньютона (метод касательных 5 Метод итераций (метод последовательных приближений Постановка задачи Пусть дано

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА Методические указания Санкт-Петербург 2013

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Ухтинский государственный технический университет Вычислительная математика Методические указания и контрольные работы УХТА 6 УДК.6 7. ББК. я 7

А. П. Иванов Методические указания Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. Оглавление 1. Решение скалярных уравнений...........................

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных исследований

ЗАНЯТИЕ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Отделение корней Пусть дано уравнение f () 0, () где функция f () C[ a; Определение Число называется корнем уравнения () или нулем функции f (), если

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические указания к выполнению лабораторных работ ПЕНЗА 7 Приведена методика и

20 Практическое занятие 3 Решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами Продолжительность работы - 2 часа Цель работы: закрепление знаний о методах простой итерации и Гаусса-Зейделя;

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Костромской государственный технологический университет И.В. Землякова, О.Б. Садовская, А.С. Илюхина ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Рекомендовано редакционно-издательским

Г Л А В А НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Понятия и определения. Постановка задачи. Решение нелинейных уравнений с одним неизвестным является одной из важных математических задач, возникающих в различных разделах

1 Решение уравнения с одним неизвестным Дано уравнение в виде f(x)=0, где f(x) некоторая функция переменной x. Число x * называется корнем или решением данного уравнения, если при подстановке x=x * в уравнение

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ

Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Вопросы на экзамен по курсу Вычислительные методы линейной алгебры 2-й курс, 3-й семестр Лектор: профессор С.Б. Сорокин Часть 1. Численный анализ Тема 1. Алгебраические методы интерполирования. 1. Формулировка

Лабораторная работа Цель работы: Закрепление навыков работы с основными синтаксическими конструкциями языка Си и умения организовывать циклы и выполнять вычисления.. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.. Методы решения

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

) Понятие СЛАУ) Правило Крамера решения СЛАУ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши

Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Бизнес - информатика»

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ИЗДАТЕЛЬСТВО ГОУ ВПО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный

Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» Э.

Министерство образования Российской Федерации ФГБОУ ВПО «ЮжноУральский государственный университет» (НИУ) Филиал ФГБОУ ВПО ЮУрГУ (НИУ) в г. УстьКатаве Кафедра Машиноведение Расчетнографическая работа по

МИНОБРНАУКИ РОССИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ Рабочая программа дисциплины ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА Направление подготовки 010300 Фундаментальная информатика и информационные

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.Алексеева ПРАКТИКУМ ПО

4 Итерационные методы решения СЛАУ Метод простых итераций При большом числе уравнений прямые методы решения СЛАУ (за исключением метода прогонки) становятся труднореализуемыми на ЭВМ прежде всего из-за