Рассмотрим линии, определяемые уравнением второй степени относительно текущих координат

Коэффициенты уравнения действительные числа, но по крайней мере одно из чисел A,B или C отлично от 0. такие линии называют линиями (кривыми) второго порядка. Ниже мы покажем, что уравнение (1) определяет на плоскости окружность Эллипс, гиперболу или параболу.

Окружность

Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружность радиуса R с центром в точке M 0 называется множество точек M плоскости удовлетворяющих условию MM 0 =R. Пусть точка M 0 в системе Oxy имеет координаты x 0 ,y 0 ,а M(x,y)- произвольная точка окружности. Тогда или

-каноническое уравнение окружности . Полагая, x 0 =y 0 =0 получим x 2 +y 2 =R 2

покажем, что уравнение окружности можно записать в виде общего уравнения второй степени (1). Для этого возведем в квадрат правую часть уравнения окружности и получим:

Для того чтобы это уравнение соответствовало (1) необходимо чтобы:

1) коэффициент B=0,

2) . Тогда получим: (2)

Последнее уравнение называется общим уравнением окружности . Поделив обе части уравнения на А ≠0 и дополнив члены содержащие x и y до полного квадрата получим:

(2)

Сравнивая это уравнение с каноническим уравнением окружности, получим, что уравнение (2) действительно уравнение окружности если:

1)A=C, 2)B=0, 3)D 2 +E 2 -4AF>0.

При выполнении этих условий центр окружности расположен в точке О , а ее радиус .

Эллипс

y

x

F 2 (c,o)

F 1 (-c,o)

По определению 2 >2c, то есть >c.для вывода уравнения эллипса будем считать, что фокусы F 1 и F 2 лежат на оси Ox, а т.O совпала с серединой отрезка F 1 F 2 , тогда F 1 (-c,0), F 2 (c,0).

Пусть M(x,y)- произвольная точка эллипса, тогда, согласно определению эллипса MF 1 +MF 2 =2 то есть

Это и есть уравнение эллипса. Можно его преобразовать к более простому виду следующим образом:

Возводим в квадрат:

возводим в квадрат

Так как ,то 2 -c 2 >0 положим 2 -c 2 =b 2

Тогда последнее уравнение примет вид:

-это уравнение эллипса в каноническом виде.

Форма эллипса зависит от соотношения : при b= эллипс превращается в окружность. Уравнение примет вид . В качестве характеристики эллипса часто пользуются отношением . Эта величина получила название эксцентриситета эллипса, причем, 0< <1 так как 0

Исследование формы эллипса.

1) уравнение эллипса содержит x и y, только в четной степени, поэтому эллипс симметричен относительно осей Ox и Oy , а также относительно т.О (0,0), которую называют центром эллипса.

2) найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив y=0 находим A 1 ( ,0) и A 2 (- ,0), в которых эллипс пересекает Ox. Положив x=0, находим B 1 (0,b) и B 2 (0,-b). Точки A 1 ,A 2 ,B 1 ,B 2 –называются вершинами эллипса. Отрезки A 1 A 2 и B 1 B 2 , а также их длины 2 и 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа и b – соответственно большой и малой полуосями.

A 1 ( ,0)

A2(- ,0)

B 2 (0,b)

Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми x=± ,y=±b. (Рис.2.)

4)В уравнении эллипса сумма неотрицательных слагаемых равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого, другое будет уменьшаться, то есть если |x| возрастает, то |y| - уменьшается и наоборот. Из всего сказанного следует, что эллипс имеет форму изображенную на рис.2. (овальная замкнутая кривая).

1. Линии второго порядка на евклидовой плоскости.

2. Инварианты уравнений линий второго порядка.

3. Определение вида линий второго порядка по инвариантам ее уравнения.

4. Линии второго порядка на аффинной плоскости. Теорема единственности.

5. Центры линий второго порядка.

6. Асимптоты и диаметры линий второго порядка.

7. Привидение уравнений линий второго порядка к простейшему.

8. Главные направления и диаметры линий второго порядка.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Линии второго порядка в евклидовой плоскости.

Определение:

Евклидова плоскость – это пространство размерности 2,

(двумерное вещественное пространство).

Линии второго порядка представляют собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Эти линии часто встречаются в различных вопросах естествознания. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести проис­ходит по одной из этих линий.

Если секущая плоскость пересекает все прямолинейные образующие одной полости конуса, то в сечении получится ли­ния, называемая эллипсом (рис. 1.1,а). Если секущая плоскость пересекает образующие обеих полостей конуса, то в сечении по­лучится линия, называемая гиперболой (рис. 1.1,6). И, наконец, если секущая плоскость параллельна одной из образующих ко­нуса (на 1.1, в - это образующая АВ), то в сечении получится линия, называемая параболой. Рис. 1.1 дает наглядное представление о форме рассматриваемых линий.

Рисунок 1.1

Общее уравнение линии второго порядка имеет следующий вид:

(1)

(1*)

Эллипсом называется множесво точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 этой плоскости, называемых фо­кусами, есть величина постоянная.

При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Оче­видно, если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Для вывода канонического уравнения эллипса выберем на­чало О декартовой системы координат в середине отрезка F 1 F 2 , а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 1.2 (если фокусы F 1 и F 2 совпадают, то О совпадает с F 1 и F 2 , а за ось Ох можно взять лю­бую ось, проходящую через О).

Пусть длина отрезка F 1 F 2 F 1 и F 2 соответствен­но имеют координаты (-с, 0) и (с, 0). Обозначим через 2а постоян­ную, о которой говорится в опреде­лении эллипса. Очевидно, 2а > 2с, т. е. а > с (Если М - точка эллипса (см. рис. 1.2), то | MF ] |+ | MF 2 | = 2 a , а так как сумма двух сторон MF 1 и MF 2 треугольника MF 1 F 2 больше третьей стороны F 1 F 2 = 2c, то 2а > 2с. Случай 2а = 2с естественно исключить, так как тогда точка М располагается на отрезке F 1 F 2 и эллипс вырождается в отрезок.).

Пусть М (х, у) (рис. 1.2). Обозначим через r 1 и r 2 расстояния от точки М до точек F 1 и F 2 соответственно. Со­гласно определению эллипса равенство

r 1 + r 2 = 2а (1.1)

является необходимым и достаточным условием расположения точки М (х, у) на данном эллипсе.

Используя формулу расстояния между двумя точками, получим

(1.2)

Из (1.1) и (1.2) вытекает, что соотношение

(1.3)

представляет собой необходимое и достаточное условие распо­ложения точки М с координатами х и у на данном эллипсе. По­этому соотношение (1.3) можно рассматривать как уравнение эллипса. Путем стандартного приема «уничтожения радикалов» это уравнение приводится к виду

(1.4) (1.5)

Так как уравнение (1.4) представляет собой алгебраическое следствие уравнения эллипса (1.3), то координаты х и у любой точки М эллипса будут удовлетворять и уравнению (1.4). По­скольку при алгебраических преобразованиях, связанных с изба­влением от радикалов, могли появиться «лишние корни», мы дол­жны убедиться в том, что любая точка М, координаты которой удовлетворяют уравнению (1.4), располагается на данном эллипсе. Для этого, очевидно, достаточно доказать, что величи­ны r 1 и r 2 для каждой точки удовлетворяют соотношению (1.1). Итак, пусть координаты х и у точки М удовлетворяют уравне­нию (1.4). Подставляя значение у 2 из (1.4) в правую часть вы­ражения (1.2) для г 1 после несложных преобразований найдем, чтоСовершенно аналогично найдем, что (1.6)

т. е.r 1 + r 2 = 2а, и поэтому точка М располагается на эллипсе. Уравнение (1.4) называется каноническим уравнением эллипса. Величины а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса (наименование «большая» и «малая» объяс­няется тем, что а>Ь).

Замечание . Если полуоси эллипса а и b равны, то эллипс представляет собой окружность, радиус которой равен R = a = b , а центр совпадает с началом координат.

Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых абсолютная величина раз­ности расстояний до двух фиксированных точек, F 1 и F 2 этой пло­скости, называемых фокусами, есть величина постоянная (Фокусы F 1 и F 2 гиперболы естественно считать различными, ибо если указанная в определении гиперболы постоянная не равна нулю, то нет ни одной точки плоскости при совпаденииF 1 и F 2 , которая бы удовлетворяла требованиям определения гиперболы. Если же эта постоянная равна нулю и F 1 совпадает с F 2 , то любая точка плоскости удовлетворяет требованиям определения гиперболы.).

Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем начало координат в середине отрезка F 1 F 2 , а оси Ох и Оу на­правим так, как указано на рис. 1.2. Пусть длина отрезка F 1 F 2 равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки F 1 и F 2 соответственно имеют координаты (-с, 0) и (с, 0) Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении гипер­болы. Очевидно, 2a< 2с, т. е. a < с.

Пусть М - точка плоскости с координатами (х, у) (рис. 1,2). Обозначим через r 1 и r 2 расстояния MF 1 и MF 2 . Согласно опре­делению гиперболы равенство

(1.7)

является необходимым и достаточным условием расположения точки М на данной гиперболе.

Используя выражения (1.2) для r 1 и r 2 и соотношение (1.7), получим следующее необходимое и достаточное условие распо­ложения точки М с координатами х и у на данной гиперболе:

. (1.8)

Используя стандартный прием «уничтожения радикалов», приве­дем уравнение (1.8) к виду

(1.9) (1.10)

Мы должны убедиться в том, что уравнение (1.9), получен­ное путем алгебраических преобразований уравнения (1.8), не приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (1.9), величины r 1 и r 2 удовлетворяют соотношению (1.7). Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формул (1.6), найдем для интересующих нас величин r 1 и r 2 следующие выражения:

(1.11)

Таким образом, для рассматриваемой точки М имеем

, и поэтому она располагается на гиперболе.

Уравнение (1.9) называется каноническим уравнением ги­перболы. Величины а и b называются соответственно действи­тельной и мнимой полуосями гиперболы.

Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до не­которой фиксированной прямой, также расположенной в рас­сматриваемой плоскости.

Транскрипт

1 Глава ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ.1. Эллипс, гипербола, парабола Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F 1 и F есть постоянная величина a, превышающая расстояние между F 1 и. M(, x) F 1 О F x Рис. Точки F 1 и F называются фокусами эллипса, а расстояние FF 1 между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Пусть точка M принадлежит эллипсу. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M. Пусть F1F = c. По определению a > c. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. В этой системе координат эллипс описывается каноническим уравнением: x + = 1, a b 1

2 . где b= a c Параметры a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Эксцентриситетом эллипса называется число ε, равное отношению половины его фокального c расстояния к большой полуоси, т.е. ε =. Эксцентриситет эллипса a удовлетворяет неравенствам 0 ε < 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 Каноническое уравнение гиперболы имеет вид x a = b 1,. где b= c a Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Внутри области, определяемой неравенством точек гиперболы нет. x a b Определение. Асимптотами гиперболы называются прямые, b b заданные уравнениями = x, = x. a a Фокальные радиусы точки M(x,) гиперболы могут быть найдены по формулам r 1 = ε x a, r = ε x+ a. Эксцентриситет гиперболы, как и для эллипса, определяется c формулой ε =. Нетрудно проверить, что для эксцентриситета гиперболы верно неравенство ε a >1. Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, для которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой d, не проходящей через точку F. Точка F называется фокусом параболы, а прямая d директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p. d M (x,) F x Рис. 4 3

4 Выберем начало O декартовой системы координат на середине отрезка FD, представляющего собой перпендикуляр, опущенный из точки F на прямую d. В этой системе координат фокус F имеет координаты F p p ;0, а директриса d задается уравнением x + = 0. Каноническое уравнение параболы: = px. Парабола симметрична относительно оси OF, называемой осью параболы. Точка O пересечения этой оси с параболой называется вершиной параболы. Фокальный радиус точки M (x,) т.е. ее p расстояние до фокуса находится по формуле r = x+. 10B.. Общее уравнение линии второго порядка Линией второго порядка называется множество точек плоскости, координаты x и которых удовлетворяют уравнению a x + a x+ a + a x+ a + a =0, 11 1 где a11, a1, a, a10, a0, a00 некоторые действительные числа, причем a, a, a не равны нулю одновременно. Это уравнение называется общим уравнением кривой второго порядка и может быть также записано в векторной форме rr r r (Ax, x) + (b, x) + a = 0, где 00 a11 a1 r r A =, a1 a b = (a10; a0), x = (x;). T Поскольку A = A, то A матрица квадратичной формы r r r f (x) = (Ax, x) = a x + a x+ a Эллипс, гипербола и парабола являются примерами кривых второго порядка на плоскости. Кроме названных кривых существуют и другие виды кривых второго порядка, которые связаны с x прямыми. Так, например, уравнение = 0, где a 0, b 0, a b 4

5 задает на плоскости пару пересекающихся прямых. Системы координат, в которых уравнение кривой принимает наиболее простой вид, называются каноническими. При помощи композиции преобразований: поворота осей на угол α, параллельного переноса начала координат в точку (x0; 0) и отражения относительно оси абсцисс уравнение кривой второго порядка приводится к одному из канонических уравнений, основные из которых были перечислены выше. 11BПримеры 1. Составить каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат и фокусами, расположенными на оси абсцисс, если известно, что его эксцентриситет ε = и точка N(3;) лежит на 3 эллипсе. x a b Уравнение эллипса: + = 1. Имеем, что =. a b a 3 9 Отсюда вычислим, что a = b. Подставляя координаты точки N(3;) в уравнение, получим + = 1 и далее b = 9 и a b 81 a = = 16,. Следовательно, каноническое уравнение эллипса 5 x + = 1. 16, 9. Составить каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат и фокусами, расположенными на оси абсцисс, если даны точка M 1 (5; 3) гиперболы и эксцентриситет ε =. x Каноническое уравнение гиперболы = 1. Из равенства a b a + b = имеем b = a 5 9. Отсюда = 1 и a =16. Следовательно, каноническое уравнение эллипса = a a a x 16 5

6 3. Найдите на параболе = 10x точки, фокальный радиус которых равен 1,5. Заметим, что парабола расположена в правой полуплоскости. Если M (x; лежит на параболе, то x 0. Параметр p = 5. Пусть (;)) M x искомая точка, F фокус, () директриса параболы. Тогда F,5; 0, d: x=,5. Поскольку FM = ρ(M, d), то x +,5 = 1,5, 10 Ответ: () 1 10;10 x =, = 100, =± 10. Итак, получили две точки. M 10; 10 M, () 4. На правой ветви гиперболы, заданной уравнением x = 1, найдите точку, расстояние которой от правого фокуса в 16 9 два раза меньше ее расстояния от левого фокуса. Для правой ветви гиперболы фокальные радиусы определяются формулами r 1 = ε x a и r = ε x + a. Следовательно, получим уравнение ε x + a = (ε x a). Для данной гиперболы a = 4, 5 c = = 5 и ε =. Поэтому, x = 9,6. Отсюда имеем =± x 16 =± d Ответ: две точки M 1 (9,6; 0,6 119), (9,6; 0,6 119) M. 5. Найдите уравнение линии, для любой точки которой отношение расстояния до точки F (3;0) к расстоянию до прямой 1 x 8= 0 равно ε =. Указать название линии и ее параметры. M x; искомой линии верно равенство: Для произвольной точки () FM (x 3) + 1 = =. ρ(Ml,) x 8 6

7 Отсюда имеем [(x 3) + ] = (x 8). Раскрыв скобки и произведя перегруппировку слагаемых, получим (x+) + = 50, т.е. (x+) + = Ответ: искомая линия есть эллипс с центром в точке и полуосями a = 5 и b = Найдите уравнение гиперболы Старые координаты координат O () x ; 0 ; ;, ;. C(;0) = 8 в новой системе (x ;) и новые (zt ;) связаны матричным равенством 1 1 x z 1 z+ t = 1 1 t = z t. Значит, уравнение x = 8 z+ t z t = 8, zt = 4. Ответ: zt = 4. γ:4x 4x+ 8x+ 4+ 3= 0 к кано- 7. Привести кривую ническому виду. в новых координатах имеет вид Рассмотрим квадратичную форму () q x, = 4x 4x+. Мат- 4 рица формы q имеет собственные значения 5 и 0 и соответствующие им ортонормированные векторы и Перейдем к новой системе координат: 7

8 z 1 1 x. t = 5 1 Выразим старые координаты (x;) через новые (zt) ; : 1 1 z+ t x 1 z = 1 t =, 1 z t значит, x = z+ t, = z+ t Подставляя указанные выражения в уравнение кривой γ, получаем 0= 4x 4x+ 8x = x= z+ 1 t, = 1 z+ t () () ()() = 5z 4 5z+ 3= z 5 4 z 5 + 3= z 5 1 z 5 3. Значит, в новых координатах кривая γ задается уравнением 1 3 γ: z z =. Полагая = z, x = t, получим γ: =, 1 откуда находим каноническое уравнение кривой γ: = 0 в канонических координатах = 5 x 1 1 x Заметим, что кривая γ является парой параллельных прямых. 1BПриложения к экономическим и финансовым задачам 8. Пусть Аня, Борис и Дмитрий имеют по 150 рублей на закупку фруктов. Известно, что 1 кг груш стоит 15 денежных единиц, а 1 кг яблок стоит 10 денежных единиц. При этом каждый из троих 8

9 имеет свою функцию полезности, для которой он хочет обеспечить максимум при покупке. Пусть покупается x1 кг груш и x кг яблок. Эти функции полезности следующие: u = x + x для Ани, 1 A 1 x u B = +x для Бориса и ud = x1 x для Дмитрия. Требуется найти для Ани, Бориса и Дмитрия план (x1, x) покупки, при котором они обеспечивают максимум своей функции полезности. x Рис. 5 Рассматриваемая задача может быть решена геометрически. Для решения данной задачи следует ввести понятие линии уровня. x x 1 Рис. 6 Линией уровня функции z = f(x,) называется множество всех точек на плоскости, на котором функция сохраняет постоянное значение, равное h. x 9

10 При этом для решения будут также использованы начальные представления о геометрических областях на плоскости, задаваемых линейными неравенствами (см. подраздел 1.4). x x 1 Рис. 7 Линии уровня функций ua, u B и u D представляют собой прямые, эллипсы и гиперболы для Ани, Бориса и Дмитрия, соответственно. По смыслу задачи считаем, что x1 0, x 0. С другой стороны, бюджетное ограничение записывается в виде неравенства 15x1+ 10x 150. Разделив на 10 последнее неравенство, получим 3x1+ x 30, или + 1. Нетрудно видеть что x1 x областью решений этого неравенства вместе с условиями неотрицательности является треугольник, ограниченный прямыми x1 = 0, x = 0 и 3x1+ x =

11 X * X * Рис. 8 Рис. 9 Исходя из геометрических рисунков, легко теперь установить, что uamax = ua(0,15) = 15, ubmax = ub(0,15) = 5 и udmax = ud(Q). Координаты точки Q касания гиперболы уровня стороны бюджетного треугольника требуется уже вычислить аналитически. Для этого заметим, что точка Q удовлетворяет трем уравнениям: xx 1 = h, 3x1 + x = 30, h 3 x " = =. x1 X * Рис

12 Исключая из уравнений h, получим координаты точки Q= (x, x) = (5;7,5). 1 Ответ: Q= (x1, x) = (5;7,5). 9. Нелинейная модель издержек и прибыли фирмы. Пусть фирма производит многоцелевое оборудование двух видов A и B в количестве x и единиц продукции соответственно. При этом доходы фирмы за год выражаются функцией доходов Rx (,) = 4x+, а издержки на производство выражаются функцией издержек 1 1 Cx (,) = 7,5+ x + 4 котором фирма получает максимум прибыли.. Определить план производства (x,) при 3

13 Функция прибыли составляется как разность между функцией доходов и функцией издержек: 1 1 Π (x,) = R(x,) C(x,) = 4x+ 7,5 x. 4 Проделав преобразования, последнее выражение приведем к виду 1 1 Π (x,) = 9 (x 8) (1). 4 Линии уровня для функции прибыли имеют вид (x 8) (1) = h. 4 Каждая линия уровня 0 h 9 представляет собой эллипс с центром в начале координат. Из полученного выражения легко видеть, что максимум функции прибыли равен 9 и достигается при x= 8, = 1. Ответ: x = 8, = 1. 13BУпражнения и тестовые вопросы.1. Напишите нормальное уравнение окружности. Найдите координаты центра и радиус окружности: а) x + + 8x 6=0; б) x x = 0... Составьте уравнение окружности, проходящей через точки M 1 (1;), M (0; 1), M 3 (3;0)..3. Дайте определение эллипса и напишите его каноническое уравнение. Напишите каноническое уравнение эллипса, если 1 его эксцентриситет равен ε =, а большая полуось равна Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что расстояние между его фокусами с = 4 и эксцентриситет ε = Приведите определение эксцентриситета эллипса. Найдите эксцентриситет эллипса, если его большая полуось в четыре раза больше малой. 33

14 .6. Дайте определение гиперболы и напишите ее каноническое уравнение. Через точку M (0; 0,5) и правую вершину гиперболы, за- x данной уравнением = 1, проведена прямая. Найдите координаты второй точки пересечения прямой и гиперболы Дайте определение эксцентриситета гиперболы. Напишите ее каноническое уравнение, если a = 1, b = 5. Чему равен эксцентриситет этой гиперболы?.8. Напишите уравнения асимптот гиперболы, заданной своим каноническим уравнением. Составьте уравнение гиперболы, 3 если ее асимптоты заданы уравнениями =± x и гипербола 5 проходит через точку M (10; 3 3)..9. Дайте определение параболы и напишите ее каноническое уравнение. Составьте каноническое уравнение параболы, если ось абсцисс является ее осью симметрии, ее вершина лежит в начале координат и длина хорды параболы, перпендикулярной оси Ox, равна 8, а расстояние этой хорды от вершины равно На параболе = 1x найдите точку, фокальный радиус которой равен Предложение и спрос на некоторый товар задаются функциями p = 4q 1, p = +. Найти точку рыночного равновесия. 1 q Построить графики..1. Андрей, Катя и Николай собираются купить апельсины и бананы. Покупается x1 кг апельсинов и x кг бананов. Каждый из троих имеет свою функцию полезности, которая показывает, насколько полезной он считает свою покупку. Эти функции полезности следующие: u = x + x для Андрея, 1 4 A 4 1 u K = x + x для Кати и un = x1 x для Николая. а) Постройте линии уровня функции полезности для значений уровня h=1, 3. б) Для каждого расположите в порядке предпочтения покуп- r r r ки r = (4,1), s = (3,8), t = (1,1). 34

Аналитическая геометрия Модуль. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 7 Аннотация Линии второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Определение, общие характеристики.

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность... 1.Эллипс... 1 3.Гипербола.... 4.Парабола.... 4 1.Окружность Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно

8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Лекция 13 Тема: Кривые второго порядка Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Вывод уравнений кривых второго порядка исходя из их геометрических свойств. Исследование формы эллипса,

ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Прямая линия и плоскость в пространстве Линейная алгебра (лекция 11) 24.11.2012 2 / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2)

Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ 1. Прямая на плоскости. 1. Две прямые заданы векторными уравнениями (, rn) = D и r= r + a, причем (an,) 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 0 t. Даны точка М 0 с радиус-вектором

Кривые второго порядка. Определение: Линией кривой) второго порядка называется множество {М} точек плоскости, декартовы координаты X, Y) которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:,

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Эллипс и его свойства Определение.. Эллипсом называется кривая второго порядка, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением b, b 0. (.) Равенство (.) называется каноническим

0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 9 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноническое уравнение эллипса Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, сумма расстояний от каждой

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Уравнения кривых второго порядка Окружность Определение Окружность это геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности, на расстоянии r

Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается третья кривая второго порядка парабола.

Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и) невырожденные Вырожденные

Лекция 11 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Лекция 9 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается еще одна кривая второго порядка гипербола.

Практическое занятие 14 Тема: Парабола План 1. Определение и каноническое уравнение параболы.. Геометрические свойства параболы. Взаимное расположение параболы и прямой, проходящей через ее центр. Основные

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович [email protected] Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M (1); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (,)=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Пахомова Е.Г. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и) невырожденные Вырожденные

Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В трех предыдущих лекциях изучались прямые и плоскости, т.е.

Глава 1 Кривые и поверхности второго порядка Во всех разделах, кроме 1.9, система координат прямоугольная. 1.1. Составление уравнений кривых второго порядка и других кривых 1. р) Доказать, что множество

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F(x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Линии второго порядка Ю. Л. Калиновский Кафедра высшей математики Университет "Дубна" План 2 3 4 5 6 7 Линии второго порядка: геометрическое место точек, декартовы координаты которого удовлетворяют уравнению

44. Гипербола Определение. Гиперболой называется множество всех точек на плоскости, координаты которых в подходящей системе координат удовлетворяют уравнению 2 2 y2 = 1, (1) b2 где, b > 0. Это уравнение

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка (продолжение) Лектор Пахомова Е.Г. 01 г. 4. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямые a m называются дирек-

1 Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка Аннотация: Из определений выводятся канонические уравнения кривых: эллипса, гиперболы и параболы. Даются параметрические уравнения эллипса и гиперболы.

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Практическая работа Составление уравнений прямых и кривых второго порядка Цель работы: закрепить умения составлять уравнения прямых и кривых второго порядка Содержание работы. Основные понятия. B C 0 вектор

Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

49. Цилиндрические и конические поверхности 1. Цилиндрические поверхности Определение. Пусть в пространстве заданы линия l и ненулевой вектор a. Поверхность, образованная прямыми, проходящими через всевозможные

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Вариант 1 Задача 1. Дать геометрическое определение эллипса. Задача 2. Доказать с помощью шаров Данделена, что эллипс возникает как коническое сечение. Задача 3. Доказать, что множество точек P, из которых

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Казань 008 0 Казанский государственный университет Кафедра общей математики Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A (1) B (3 1) C (0 4) являются

Контрольная работа 3 ВАРИАНТ 1 Составить уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку пересечения прямых и.. Записать уравнение прямой проходящей через точки и и найти расстояние от точки

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C(1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОЕТРИЯ ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. ОПР Плоскостью будем называть поверхность обладающую тем свойством что если две точки прямой принадлежат плоскости то и все точки прямой принадлежат данной

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Глава 1 ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ n R. 1.1. Точечные пространства Ранее было рассмотрено арифметическое пространство строк В математике конечный упорядоченный набор координат может интерпретироваться не только

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Поверхности второго порядка. Поверхность в трехмерном пространстве описывается уравнением вида F(x; y; z) = 0 или z = f(x; y). Пересечение двух поверхностей задает линию в пространстве, т.е. линия в пространстве

Линии второго порядка.
Эллипс и его каноническое уравнение. Окружность

После основательной проработки прямых на плоскости продолжаем изучать геометрию двухмерного мира. Ставки удваиваются, и я приглашаю вас посетить живописную галерею эллипсов, гипербол, парабол, которые являются типичными представителями линий второго порядка . Экскурсия уже началась, и сначала краткая информация обо всей экспозиции на разных этажах музея:

Понятие алгебраической линии и её порядка

Линию на плоскости называют алгебраической , если в аффинной системе координат её уравнение имеет вид , где – многочлен, состоящий из слагаемых вида ( – действительное число, – целые неотрицательные числа).

Как видите, уравнение алгебраической линии не содержит синусов, косинусов, логарифмов и прочего функционального бомонда. Только «иксы» и «игреки» в целых неотрицательных степенях.

Порядок линии равен максимальному значению входящих в него слагаемых.

По соответствующей теореме, понятие алгебраической линии, а также её порядок не зависят от выбора аффинной системы координат , поэтому для лёгкости бытия считаем, что все последующие выкладки имеют место быть в декартовых координатах .

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид , где – произвольные действительные числа ( принято записывать с множителем-«двойкой») , причём коэффициенты не равны одновременно нулю.

Если , то уравнение упрощается до , и если коэффициенты одновременно не равны нулю, то это в точности общее уравнение «плоской» прямой , которая представляет собой линию первого порядка .

Многие поняли смысл новых терминов, но, тем не менее, в целях 100%-го усвоения материала сунем пальцы в розетку. Чтобы определить порядок линии, нужно перебрать все слагаемые её уравнения и у каждого из них найти сумму степеней входящих переменных.

Например:

слагаемое содержит «икс» в 1-й степени;
слагаемое содержит «игрек» в 1-й степени;
в слагаемом переменные отсутствуют, поэтому сумма их степеней равна нулю.

Теперь разберёмся, почему уравнение задаёт линию второго порядка:

слагаемое содержит «икс» во 2-й степени;
у слагаемого сумма степеней переменных: 1 + 1 = 2;
слагаемое содержит «игрек» во 2-й степени;
все остальные слагаемые – меньшей степени.

Максимальное значение: 2

Если к нашему уравнению дополнительно приплюсовать, скажем, , то оно уже будет определять линию третьего порядка . Очевидно, что общий вид уравнения линии 3-го порядка содержит «полный комплект» слагаемых, сумма степеней переменных в которых равна трём:
, где коэффициенты не равны одновременно нулю.

В том случае, если добавить одно или несколько подходящих слагаемых, которые содержат , то речь уже зайдёт о линии 4-го порядка , и т.д.

С алгебраическими линиями 3-го, 4-го и более высоких порядков нам придется столкнуться ещё не раз, в частности, при знакомстве с полярной системой координат .

Однако вернёмся к общему уравнению и вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола , уравнение которой легко привести к общему виду , и гипербола с эквивалентным уравнением . Однако не всё так гладко….

Существенный недостаток общего уравнения состоит в том, что почти всегда не понятно, какую линию оно задаёт. Даже в простейшем случае не сразу сообразишь, что это гипербола. Такие расклады хороши только на маскараде, поэтому в курсе аналитической геометрии рассматривается типовая задача приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду .

Что такое канонический вид уравнения?

Это общепринятый стандартный вид уравнения, когда в считанные секунды становится ясно, какой геометрический объект оно определяет. Кроме того, канонический вид очень удобен для решения многих практических заданий. Так, например, по каноническому уравнению «плоской» прямой , во-первых, сразу понятно, что это прямая, а во-вторых – элементарно просматривается принадлежащая ей точка и направляющий вектор .

Очевидно, что любая линия 1-го порядка представляет собой прямую. На втором же этаже нас ждёт уже не вахтёр, а гораздо более разнообразная компания из девяти статуй:

Классификация линий второго порядка

С помощью специального комплекса действий любое уравнение линии второго порядка приводится к одному из следующих видов:

( и – положительные действительные числа)

1) – каноническое уравнение эллипса;

2) – каноническое уравнение гиперболы;

3) – каноническое уравнение параболы;

4) – мнимый эллипс;

5) – пара пересекающихся прямых;

6) – пара мнимых пересекающихся прямых (с единственной действительной точкой пересечения в начале координат);

7) – пара параллельных прямых;

8) – пара мнимых параллельных прямых;

9) – пара совпавших прямых.

У ряда читателей может сложиться впечатление неполноты списка. Например, в пункте № 7 уравнение задаёт пару прямых , параллельных оси , и возникает вопрос: а где же уравнение , определяющее прямые , параллельные оси ординат? Ответ: оно не считается каноническим . Прямые представляют собой тот же самый стандартный случай , повёрнутый на 90 градусов, и дополнительная запись в классификации избыточна, поскольку не несёт ничего принципиально нового.

Таким образом, существует девять и только девять различных видов линий 2-го порядка, но на практике наиболее часто встречаются эллипс, гипербола и парабола .

Сначала рассмотрим эллипс. Как обычно, я акцентирую внимание на тех моментах, которые имеют большое значение для решения задач, и если вам необходим подробный вывод формул, доказательства теорем, пожалуйста, обратитесь, например, к учебнику Базылева/Атанасяна либо Александрова.

Эллипс и его каноническое уравнение

Правописание… пожалуйста, не повторяйте ошибок некоторых пользователей Яндекса, которых интересует «как построить эллибз», «отличие элипса от овала» и «эксцентриситет элебса».

Каноническое уравнение эллипса имеет вид , где – положительные действительные числа, причём . Само определение эллипса я сформулирую позже, а пока самое время отдохнуть от говорильни и решить распространённую задачу:

Как построить эллипс?

Да, вот взять его и просто начертить. Задание встречается часто, и значительная часть студентов не совсем грамотно справляются с чертежом:

Пример 1

Построить эллипс, заданный уравнением

Решение : сначала приведём уравнение к каноническому виду:

Зачем приводить? Одно из преимуществ канонического уравнения заключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса , которые находятся в точках . Легко заметить, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению .

В данном случае :


Отрезок называют большой осью эллипса;
отрезок – малой осью ;
число называют большой полуосью эллипса;
число – малой полуосью .
в нашем примере: .

Чтобы быстро представить, как выглядит тот или иной эллипс достаточно посмотреть на значения «а» и «бэ» его канонического уравнения.

Всё ладно, складно и красиво, но есть один нюанс: я выполнил чертёж с помощью программы . И вы можете выполнить чертёж с помощью какого-либо приложения. Однако в суровой действительности на столе лежит клетчатый листок бумаги, и на наших руках водят хороводы мыши. Люди с художественным талантом, конечно, могут поспорить, но мыши есть и у вас тоже (правда, поменьше). Таки не зря человечество изобрело линейку, циркуль, транспортир и другие нехитрые приспособления для черчения.

По этой причине нам вряд ли удастся аккуратно начертить эллипс, зная одни вершины. Ещё куда ни шло, если эллипс небольшой, например, с полуосями . Как вариант, можно уменьшить масштаб и, соответственно, размеры чертежа. Но в общем случае крайне желательно найти дополнительные точки.

Существует два подхода к построению эллипса – геометрический и алгебраический. Построение с помощью циркуля и линейки мне не нравится по причине не самого короткого алгоритма и существенной загроможденности чертежа. В случае крайней необходимости, пожалуйста, обратитесь к учебнику, а в реальности же гораздо рациональнее воспользоваться средствами алгебры. Из уравнения эллипса на черновике быстренько выражаем:

Далее уравнение распадается на две функции:
– определяет верхнюю дугу эллипса;
– определяет нижнюю дугу эллипса.

Заданный каноническим уравнением эллипс симметричен относительно координатных осей, а также относительно начала координат . И это отлично – симметрия почти всегда предвестник халявы. Очевидно, что достаточно разобраться с 1-й координатной четвертью, поэтому нам потребуется функция . Напрашивается нахождение дополнительных точек с абсциссами . Настукаем три смс-ки на калькуляторе:

Безусловно, приятно и то, что если допущена серьёзная ошибка в вычислениях, то это сразу выяснится в ходе построения.

Отметим на чертеже точки (красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию:


Первоначальный набросок лучше прочертить тонко-тонко, и только потом придать нажим карандашу. В результате должен получиться вполне достойный эллипс. Кстати, не желаете ли узнать, что это за кривая?

Определение эллипса. Фокусы эллипса и эксцентриситет эллипса

Эллипс – это частный случай овала. Слово «овал» не следует понимать в обывательском смысле («ребёнок нарисовал овал» и т.п.). Это математический термин, имеющий развёрнутую формулировку. Целью данного урока не является рассмотрение теории овалов и различных их видов, которым практически не уделяется внимания в стандартном курсе аналитической геометрии. И, в соответствии с более актуальными потребностями, мы сразу переходим к строгому определению эллипса:

Эллипс – это множество всех точек плоскости, сумма расстояний до каждой из которых от двух данных точек , называемых фокусами эллипса, – есть величина постоянная, численно равная длине большой оси этого эллипса: .
При этом расстояния между фокусами меньше данного значения: .

Сейчас станет всё понятнее:

Представьте, что синяя точка «ездит» по эллипсу. Так вот, какую бы точку эллипса мы ни взяли, сумма длин отрезков всегда будет одной и той же:

Убедимся, что в нашем примере значение суммы действительно равно восьми. Мысленно поместите точку «эм» в правую вершину эллипса, тогда: , что и требовалось проверить.

На определении эллипса основан ещё один способ его вычерчивания. Высшая математика, порой, причина напряжения и стресса, поэтому самое время провести очередной сеанс разгрузки. Пожалуйста, возьмите ватман либо большой лист картона и приколотите его к столу двумя гвоздиками. Это будут фокусы . К торчащим шляпкам гвоздей привяжите зелёную нитку и до упора оттяните её карандашом. Гриф карандаша окажется в некоторой точке , которая принадлежит эллипсу. Теперь начинайте вести карандаш по листу бумаги, сохраняя зелёную нить сильно натянутой. Продолжайте процесс до тех пор, пока не вернётесь в исходную точку… отлично… чертёж можно сдать на проверку врачу преподавателю =)

Как найти фокусы эллипса?

В приведённом примере я изобразил «готовенькие» точки фокуса, и сейчас мы научимся добывать их из недр геометрии.

Если эллипс задан каноническим уравнением , то его фокусы имеют координаты , где – это расстояние от каждого из фокусов до центра симметрии эллипса .

Вычисления проще пареной репы:

! Со значением «цэ» нельзя отождествлять конкретные координаты фокусов! Повторюсь, что – это РАССТОЯНИЕ от каждого из фокусов до центра (который в общем случае не обязан располагаться именно в начале координат).
И, следовательно, расстояние между фокусами тоже нельзя привязывать к каноническому положению эллипса. Иными словами, эллипс можно перенести в другое место и значение останется неизменным, в то время как фокусы, естественно, поменяют свои координаты. Пожалуйста, учитывайте данный момент в ходе дальнейшего изучения темы.

Эксцентриситет эллипса и его геометрический смысл

Эксцентриситетом эллипса называют отношение , которое может принимать значения в пределах .

В нашем случае:

Выясним, как форма эллипса зависит от его эксцентриситета. Для этого зафиксируем левую и правую вершины рассматриваемого эллипса, то есть, значение большой полуоси будет оставаться постоянным. Тогда формула эксцентриситета примет вид: .

Начнём приближать значение эксцентриситета к единице. Это возможно только в том случае, если . Что это значит? …вспоминаем про фокусы . Это значит, что фокусы эллипса будут «разъезжаться» по оси абсцисс к боковым вершинам. И, поскольку «зелёные отрезки не резиновые», то эллипс неизбежно начнёт сплющиваться, превращаясь всё в более и более тонкую сосиску, нанизанную на ось .

Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета эллипса к единице, тем эллипс более продолговат .

Теперь смоделируем противоположный процесс: фокусы эллипса пошли навстречу друг другу, приближаясь к центру. Это означает, что значение «цэ» становится всё меньше и, соответственно, эксцентриситет стремится к нулю: .
При этом «зелёным отрезкам» будет, наоборот – «становиться тесно» и они начнут «выталкивать» линию эллипса вверх и вниз.

Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета к нулю, тем эллипс больше похож на … смотрим предельный случай , когда фокусы успешно воссоединились в начале координат:

Окружность – это частный случай эллипса

Действительно, в случае равенства полуосей каноническое уравнение эллипса принимает вид , который рефлекторно преобразуется к – хорошо известному из школы уравнению окружности с центром в начале координат радиуса «а».

На практике чаще используют запись с «говорящей» буквой «эр»: . Радиусом называют длину отрезка , при этом каждая точка окружности удалена от центра на расстояние радиуса.

Заметьте, что определение эллипса остаётся полностью корректным: фокусы совпали , и сумма длин совпавших отрезков для каждой точки окружности – есть величина постоянная. Так как расстояние между фокусами , то эксцентриситет любой окружности равен нулю .

Строится окружность легко и быстро, достаточно вооружиться циркулем. Тем не менее, иногда бывает нужно выяснить координаты некоторых её точек, в этом случае идём знакомым путём – приводим уравнение к бодрому матановскому виду:

– функция верхней полуокружности;
– функция нижней полуокружности.

После чего находим нужные значения, дифференцируем , интегрируем и делаем другие хорошие вещи.

Статья, конечно, носит справочный характер, но как на свете без любви прожить? Творческое задание для самостоятельного решения

Пример 2

Составить каноническое уравнение эллипса, если известен один из его фокусов и малая полуось (центр находится в начале координат). Найти вершины, дополнительные точки и изобразить линию на чертеже. Вычислить эксцентриситет.

Решение и чертёж в конце урока

Добавим экшена:

Поворот и параллельный перенос эллипса

Вернёмся к каноническому уравнению эллипса , а именно, к условию , загадка которого терзает пытливые умы ещё со времён первого упоминания о данной кривой. Вот мы рассмотрели эллипс , но разве на практике не может встретиться уравнение ? Ведь здесь , однако, это вроде бы как тоже эллипс!

Подобное уравнение нечасто, но действительно попадается. И оно действительно определяет эллипс. Развеем мистику:

В результате построения получен наш родной эллипс, повёрнутый на 90 градусов. То есть, – это неканоническая запись эллипса . Запись! – уравнение не задаёт какой-то другой эллипс, поскольку на оси не существует точек (фокусов), которые бы удовлетворяли определению эллипса.

(МИФ-2, №3, 2005)

Линии второго порядка на плоскости

П. 1. Определение линии второго порядка

Рассмотрим плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат (XOY). Тогда любая точка M однозначно определяется своими координатами (x, y). Кроме того, любая пара чисел (x, y) определяет некоторую точку плоскости. Координаты точек могут удовлетворять некоторым условиям, например, какому-нибудь уравнению f(x, y)=0 относительно неизвестных (x, y). В этом случае говорят, что уравнение f(x, y)=0 задает на плоскости некоторую фигуру. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Рассмотрим функцию y = f(x ). Координаты точек графика этой функции удовлетворяют уравнению y – f(x ) = 0.

Пример 2. Уравнение (*), где a , b , c – некоторые числа, задают на плоскости некоторую прямую. (Уравнения вида (*) называют линейными ).

Пример 3. График гиперболы состоит из точек, координаты которых удовлетворяют уравнению https://pandia.ru/text/80/134/images/image004_92.gif" width="161" height="25">.

Определение 1. Уравнение вида (**), где хотя бы один из коэффициентов DIV_ADBLOCK75">

Мы рассмотрим геометрические и физические свойства названных выше линии. Начнем с эллипса.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image008_54.gif" width="79" height="44 src="> (1).

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипса.

О виде эллипса можно судить по рисунку 1.

Положим . Точки называются фокусами эллипса. С фокусами связан ряд интересных свойств, о которых мы будем говорить ниже.

Определение 4. Гиперболой называется фигура на плоскости, координаты всех точек которой удовлетворяют уравнению

(2).

Уравнение (2) называется каноническим уравнением гиперболы. О виде гиперболы можно судить по рисунку 2.

Положим . Точки называются фокусами гиперболы. Параметр a называется действительной , а параметр b - мнимой полуосью гиперболы, соответственно ox – действительная, а oy – мнимая оси гиперболы.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image016_34.gif" width="61" height="41">, называются асимптотами . При больших значениях параметра x точки асимптот бесконечно близко приближаются к ветвям гиперболы. На рисунке 2 асимптоты изображены пунктирными линиями.

Определение 5. Параболой называется фигура на плоскости, координаты всех точек которой удовлетворяют уравнению

https://pandia.ru/text/80/134/images/image018_28.gif" width="47" height="45 src=">.

П. 3. Свойства фокусов ЛВП

Для каждой ЛВП в П.2. указывались специальные точки – фокусы . Эти точки играют большую роль для объяснения важных свойств эллипса, гиперболы и параболы. Мы сформулируем эти свойства в виде теорем.

Теорема. 1. Эллипс есть множество точек M , таких, что сумма расстояний от этих точек до фокусов равно 2 a :

https://pandia.ru/text/80/134/images/image020_26.gif" width="115" height="23 src="> (5).

Для того чтобы сформулировать аналогичное свойство для параболы, определим директрису . Это прямая d , заданная уравнением https://pandia.ru/text/80/134/images/image022_23.gif" width="103" height="21 src="> (6).

П. 4. Фокусы и касательные

https://pandia.ru/text/80/134/images/image024_24.gif" align="right" width="322" height="386 src=">.gif" width="52" height="24 src="> принадлежит соответствующей ЛВП. Ниже приведены уравнения касательных, проходящих через эту точку:

– для эллипса, (7)

– для гиперболы, (8)

– для параболы. (9)

Если в точку касания с эллипсом или гиперболой провести отрезки из обоих фокусов (их называют фокальными радиусами точки), то обнаружится замечательное свойство (смотри рис.5 и 6): фокальные радиусы образуют равные углы с касательной, проведенной в этой точке.

Это свойство имеет интересную физическую интерпретацию. Например, если считать контур эллипса зеркальным, то, лучи света от точечного источника, помещенного в одном его фокусе, после отражения от стенок контура обязательно пройдут через второй фокус .

Большое практическое применение получило аналогичное свойство для параболы. Дело в том, что фокальный радиус любой точки параболы составляет с касательной, проведенной в эту точку угол, равный углу между касательной и осью параболы .

Физически это интерпретируется так: лучи точечного , помещенного в фокусе параболы, после отражения от ее стенок распространяются параллельно оси симметрии параболы . Именно поэтому зеркала фонарей и прожекторов имеют параболическую форму. Кстати, если параллельный оси параболы поток света (радиоволн) входит в нее, то, после отражения от стенок, все его лучи пройдут через фокус. На этом принципе работают станции космической связи, а также радары.

П. 5. Еще немного физики

ЛВП нашли широкое применение в физике и астрономии . Так, было установлено, что одно относительно легкое тело (например, спутник) движется в поле силы тяготения более массивного тела (планеты или звезды) по траектории, представляющей собой одну из ЛВП. При этом более массивное тело находится в фокусе этой траектории.

Впервые эти свойства подробно изучил Иоганн Кеплер и они были названы Законами Кеплера.

Контрольное задание № 1 для учащихся 10 классов

Вопросы для самопроверки (5 баллов за задание)

М.10.1.1. Дайте определение ЛВП. Приведите несколько примеров уравнений, которые задают ЛВП.

М.10.1.2. Вычислите координаты фокусов а) эллипса, б) гиперболы, если a =13, b =5.

М.10.1.3. Составьте каноническое уравнения а) эллипса, б) гиперболы, если известно, что эта линия проходит через точки с координатами (5, 6) и (-8, 7).

М.10.1.4. Проверьте, что прямая, заданная уравнением (9) действительно пересекается с параболой, заданной уравнением (3) только в точке с координатами . (Указание : сначала подставьте уравнение касательной в уравнение параболы, а затем убедитесь, что дискриминант получившегося квадратного уравнения равен нулю .)

М.10.1.5. Составьте уравнение касательной к гиперболе с действительной полуосью 8 и мнимой – 4 в точке с координатой x =11, если вторая координата точки отрицательна.

Практическая работа (10 баллов)

М.10.1.6. Постройте несколько эллипсов по следующему методу: закрепите лист бумаги на фанере и воткните в бумагу (но не до конца) пару кнопок. Возьмите кусок нитки и свяжите концы. Накиньте получившуюся петлю на обе кнопки (фокусы будущего эллипса), острым концом карандаша натяните нить и аккуратно проведите линию, следя за тем, чтобы нить была натянута. Изменяя размеры петли, вы сможете построить несколько софокусных эллипсов. Попробуйте объяснить с помощью Теоремы 1, что полученные линии действительно эллипсы и объясните, как, зная расстояние между кнопками и длину нитки, можно рассчитать полуоси эллипса.