Понятие аттрактора. Странные аттракторы

Системный подход в географии: эмерджентность и структурный изоморфизм.

Эмерджентность (англ. emergence - возникновение, появление нового) в теории систем - наличие у какой-либо системы особых свойств, не присущих её подсистемам и блокам, а также сумме элементов, не связанных особыми системообразующими связями; несводимость свойств системы к сумме свойств её компонентов; синоним - «системный эффект».

В биологии и экологии понятие эмерджентности можно выразить так: одно дерево - не лес, скопление отдельных клеток - не организм. Например, свойства биологического вида или биологической популяции не представляют собой свойства отдельных особей, понятия рождаемость, смертность, неприменимы к отдельной особи, но применимы к популяции или виду в целом.

В эволюционистике выражается как возникновение новых функциональных единиц системы, которые не сводятся к простым перестановкам уже имевшихся элементов.

В почвоведении: эмерджентным свойством почвы является плодородие.

В классификации систем эмерджентность может являться основой их систематики как критериальный признак системы.

идеи структурного изоморфизма – тождества структуры без тождества элементов содержания, - получившей распространение в географии в конце 60-х – начале 70-х гг. ХХ в. на фоне победного шествия системного подхода. Возможность применения одного и того же понятийного и математического аппарата, например, для описания меандрирования реки и изменения трассы федерального шоссе в США (в последнем случае тоже происходит прорыв своеобразных прирусловых валов, возникших в силу намного более высокой стоимости земли вблизи существующего шоссе – см. книгу В.Бунге) весьма полезна в практическом отношении и привлекательна в теоретическом.

Одной из ключевых идей вышедшей в 1962г. книги В.Бунге «Теоретическая география» (русский перевод опубликован в 1967г. ), была именно идея структурного изоморфизма, понимаемого как тождество способов пространственной организации географических явлений самой различной природы, изучаемых как физической географией, так и социально-экономической. Бунге смело заимствовал идеи из геоморфологии и прилагал их к описанию социально-географических явлений. Стало хрестоматийным сравнение меандрирования реки и изменение трассы федерального шоссе, так же вынужденного преодолевать «прирусловые валы» высоких цен на землю.

Наиболее распространенными моделями этого вида следует считать гравитационные и энтропийные модели, К последним примыкают и модели, разработанные в рамках теории диффузии нововведений. Все эти модели представляют собой заимствования из различных разделов физики – будь то классическая механика или термодинамика – с целью использования математического аппарата, например, для моделирования пассажиропотоков между городами в зависимости от их демографических масс. Понятно, что применение подобных моделей требует их калибровки – подбора значений констант на основе возможно более обширного эмпирического материала, а их прогнозная ценность в силу этого обстоятельства не безусловна.

Понятие аттрактора. Странные аттракторы.

Аттра́ктор (англ. attract - привлекать, притягивать) - множество состояний (точнее - точек фазового пространства) динамической системы, к которым она стремится с течением времени. Так, наиболее простыми вариантами аттрактора являются притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о маятнике с трением о воздух) и периодическая траектория (пример - самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), однако бывают и значительно более сложные примеры.

Существуют различные формализации понятия стремления, что приводит к различным определениям аттрактора, задающим, соответственно, потенциально различные множества (зачастую - вложенные одно в другое). Наиболее употребительными определениями являются максимальный аттрактор (зачастую - в своей малой окрестности, см. ниже), аттрактор Милнора и неблуждающее множество.

Аттракторы классифицируют по:

Формализации понятия стремления: различают максимальный аттрактор, неблуждающее множество, аттрактор Милнора, центр Биркгофа, статистический и минимальный аттрактор.

Регулярности самого аттрактора: аттракторы делят на регулярные (притягивающая неподвижная точка, притягивающая периодическая траектория, многообразие) и странные (нерегулярные - зачастую фрактальные и/или в каком-либо сечении устроенные как канторово множество; динамика на них обычно хаотична).

Локальности («притягивающее множество») и глобальности (здесь же - термин «минимальный» в значении «неделимый») .

Синергетическая революция привела к глубочайшим изменениям в научном мировоззрении, прежде всего – к конституированию финалистского (телеологического) объяснения как равноправного каузальному (причинному), которое только и существовало в науке до создания квантовой механики. Однако тогда крах причинности коснулся лишь явлений микромира, области, бесконечно далекой от нашей повседневной жизни. Синергетическая революция привела к распространению финалистского объяснения на исследования некоторых явлений мезомира, т.е. того мира, в котором мы живем и который доступен нашему повседневному опыту. При этом нам весьма трудно свыкнуться с мыслью о том, что течение некоторых процессов определяется не начальными условиями, т.е. причиной, а конечным состоянием, к которому они стремятся. Это конечное состояние именуется в синергетике аттрактором – областью притяжения процесса.

Активное обсуждение финалистских представлений, пришедших из биологии и космологии, позволило изменить интеллектуальный климат в географии, поколебать взгляд на каузальное (причинное) объяснение как на единственно возможное в науке вообще и в географии в частности. Это изменение интеллектуального климата подготовило почву для проникновения идей синергетики, в том числе представлений об аттракторе – области притяжения процесса. Еще в 60-е годы ХХ в. получило распространение представление о конфинальности (эквифинальности) в развитии городов-гигантов – эти города обнаруживают несравненно больше сходства между собой, нежели те малые и средние города, из которых они выросли. Анализ развития транспортных сетей методами теории графов или анализ развития систем городского расселения методами теории центральных мест – это тоже примеры задач именно того класса, где наиболее плодотворны представления о детерминации процесса конечным состоянием, а не начальными условиями, о его стремлении к аттрактору, представляющему собой идеальный объект научной теории. И если аттрактор недостижим, это вовсе не значит, что он не существует.

Значение для географии теоретических конструкций типа потенциальной формы, определяющей направление развития отдельных организмов и эволюции биологических видов, или финальной симметрии весьма велико и оно не осталось незамеченным. Аналогия с каталогом форм устойчивой территориальной организации государств, который фактически был разработан В.П.Семеновым-Тян-Шанским, причем раньше, чем Л.С.Берг опубликовал свой знаменитый труд о номогенезе, столь очевидна, что не требует дополнительной аргументации. Остановиться следует на менее очевидных идеях. Это прежде всего представления о конфинальности (эквифинальности) в развитии городов-гигантов, выдвинутые П.Хаггетом еще в 60-е годы . Города этого класса обнаруживают несравненно большее сходство между собой, нежели малые города, из которых они выросли. Те же самые тенденции прослеживаются и в развитии систем городов. Системы центральных мест (город понимается как центральное место потому, что обслуживает не только свое население, но и население своей зоны, тем большей, чем выше уровень иерархии, к которому он принадлежит) также стремятся в своем развитии к определенному равновесному состоянию, т.н. изостатическому равновесию, которое выступает по отношению к ним в качестве аттрактора – области притяжения процесса

Примером исключительно плодотворного применения как аппарата нелинейной динамики, так и ее мировоззренческих принципов стала разработка феноменологической теории роста населения Земли С.П.Капицей, которая позволяет делать как перспективные, так и ретроспективные прогнозы и была с успехом сопоставлена с эмпирической реальностью с помощью последних. Самый важный в мировоззренческом отношении вывод состоит в том, что рост численности населения Земли никогда не регулировался действием внешних факторов, а всегда – неизвестными внутренними закономерностями. Это положение было оформлено создателем теории как принцип демографического императива.

Принципиальная трудность состоит в том, что все имеющиеся у нас в арсенале теории разработаны для описания процессов в обществе «экономическом», основаны на незыблемой вере в экономическое равновесие как аттрактор всех протекающих в экономике процессов, а социальные катаклизмы мы склонны рассматривать как внешние возмущения, уводящие систему от состояния равновесия, к которому она все равно при первой же возможности стремится вернуться. Между тем уже в самой экономической науке все шире распространяются сомнения в экономическом равновесии как «естественном» или «нормальном» состоянии экономики. Их высказывает, в частности, такой влиятельный экономист и социолог как М.Кастельс . Его тезис состоит в том, что в информационном (иначе – «постэкономическом») обществе экономические процессы имеют не только иную природу, но и иную направленность. По его мнению, и территориальная организация информационного общества, включая и организацию расселения, претерпит самые существенные изменения в сравнении с обществом индустриальным.

В результате географам предстоит взяться за решение несравненно более сложных задач, нежели те, с которыми они сталкивались ранее: искать не просто аттракторы, т.е. области притяжения изучаемых процессов, а странные аттракторы , представляющие собой сложные непериодические решения. Такая задача едва ли может быть решена силами только самих географов, без сотрудничества с физиками и математиками, по крайней мере до тех пор, пока не вырастет поколение географов, которое со студенческой скамьи будет осваивать математический аппарат синергетики. Наша задача – создать концептуальные основы для такого сотрудничества, разработав операциональные теории, позволяющие применить к их развитию сначала понятийный, а затем – и математический аппарат синергетики.

В разд. 5.1 этой главы будет показано, что нелинейные диссипативные динамические системы естественно приводят к понятию странного аттрактора. Затем (разд. 5.2) вводится колмогоровская энтропия как функциональная мера хаотического движения, после чего (разд. 5.3) рассматривается задача о количестве информации, которую можно получить по измеренному случайному сигналу.

В разд. 5.4 обсуждается возникновение странного аттрактора в модели Рюэля - Такенса - Ньюхауза, описывающей переход к турбулентности (во времени) и приводятся некоторые экспериментальные подтверждения этой модели. Следующий раздел содержит ренормгрупповое толкование этой модели перехода к хаосу. Глава заканчивается критическим обзором различных сценариев перехода и набором рисунков странных аттракторов и их фрактальных границ.

5.1. Введение и определение странных аттракторов

В этом разделе мы рассмотрим диссипативные системы, описываемые потоками или отображениями. Рассмотрим вначале диссипативные потоки, описываемые автономной системой дифференциальных уравнений первого порядка:

Здесь термин «диссипативный» означает, что произвольно выбранный в фазовом пространстве элементарный объем V, ограниченный поверхностью S, сжимается. Поверхность S эволюционирует так, что каждая ее точка движется по траектории, определяемой (5.1). Отсюда по теореме о дивергенции:

и тогда по определению диссипативными являются системы с

Примером потока этого типа является модель Лоренца:

для которой из

т. е. элементарный объем сжимается экспоненциально во времени

Если рассматривать траекторию, порождаемую уравнениями модели Лоренца при (рис. 58), оказывается, что а) она притягивается к ограниченной области в фазовом пространстве; б) движение ее блуждающее, т. е. траектория делает один виток направо, затем несколько витков налево, затем направо траектория очень чувствительна к малым изменениям начальных условий, т. е. если вместо условий (0; 0,01; 0) взять близкие условия, то новое решение вскоре отклонится от прежнего и число витков будет другим. На рис. 59 представлен график зависимости максимума переменной от Результирующее отображение является приблизительно треугольным, что соответствует, согласно гл. 2, хаотической последовательности

Рис. 58. Аттрактор Лоренца, вычисленный на ЭВМ (Lanford, 1977).

Рис. 59. Последовательные максимумы переменной Z аттрактора Лоренца (Lorenz, 1963).

Подведем итог: траектория чувствительна к изменениям начальных условий; хаотична; притягивается к ограниченной области в фазовом пространстве; объем этой области (согласно (5.4)) стремится к нулю. Это означает, что поток трехмерной системы Лоренца порождает множество точек, размерность которого меньше 3, т. е. его объем в трехмерном пространстве равен 0. На первый взгляд можно было бы присвоить ему следующую целую, но меньшую размерность - 2. Однако это противоречит теореме Пуанкаре - Бендикссона, утверждающей, что в ограниченной области двумерного пространства хаотический поток не может существовать. Сошлемся, например, на строгое доказательство этой теоремы в монографии (Hirsch, Smale, 1965). Рис. 60 показывает, что непрерывность линий тока и тот факт, что линия тока делит плоскость на две части, ограничивают траекторию так сильно, что единственно возможными аттракторами в ограниченной области являются предельные циклы и неподвижные точки. Разрешение этой проблемы заключается в том, что множество точек, к которому притягивается траектория в системе Лоренца (так называемый аттрактор Лоренца), имеет хаусдорфову размерность не целую, а между 2 и 3 (точное значение Это, естественно, приводит к понятию странного аттрактора, который появляется в разнообразных физических нелинейных системах.

Странный аттрактор обладает следующими свойствами (формальное определение можно найти в обзорных статьях (Eckmann, 1981; Ruelle, 1980):

а) он является аттрактором, т. е. занимает ограниченную область фазового пространства к которой по истечении большого

Рис. 60. Самозахват линии тока в ограниченной области на плоскости. Экспоненциальное разбегание траекторий противоречит непрерывности (отметим противоположные направления стрелок).

интервала времени притягиваются все достаточно близкие траектории из так называемой области притяжения. Отметим, что область притяжения может иметь очень сложную структуру (см. рис. разд. 5.7). Кроме того, сам аттрактор состоит как бы из одной траектории, т. е. траектория с течением времени должна пройти через каждую точку аттрактора. Набор изолированных неподвижных точек не является единым аттрактором;

б) свойство, делающее аттрактор странным, - чувствительность к начальным условиям, т. е., несмотря на сжатие в объеме, не происходит сокращения длин во всех направлениях и расстояния между первоначально сколь угодно близкими точками на аттракторе через достаточно большое время становятся конечными. Как будет показано в следующем разделе, это приводит к положительной колмогоровской энтропии;

в) чтобы описывать физическую систему, аттрактор должен быть структурно устойчивьм и типичным. Другими словами, малые изменения параметра в F (см. (5.1)) изменяют структуру аттрактора непрерывным образом (далее мы будем характеризовать структуру более детально; сейчас имеем в виду, например, хаусдорфову размерность аттрактора) и множество параметров, для которых (5.1) порождает странный аттрактор, не должно быть множеством меры 0 - иначе аттрактор не является типичным и физически значимым.

Все обнаруженные к настоящему времени странные аттракторы имеют дробную хаусдорфову размерность. Так как не существует общепринятого формального определения странного аттрактора (Ruelle, 1980; Mandelbrot, 1982), пока не ясно, всегда ли дробность хаусдорфовой размерности следует из свойств «а» - «в» или необходима дополнительно для странного аттрактора.

Обычно странный аттрактор возникает, когда фазовый поток сжимает элементарный объем в одних направлениях и растягивает его в других. Чтобы оставаться в ограниченной области, элементарный объем одновременно складывается. Этот процесс растяжения и складывания порождает хаотическое движение траектории на странном аттракторе подобно тому, как это было в случае кусочно-линейных отображений (гл. 2).

Так как вышеприведенное определение описывает свойства множества точек, понятие странного аттрактора не ограничено потоками: диссипативные отображения также могут порождать странные аттракторы. Отображение

называется диссипативным, если оно приводит к сжатию объема в фазовом пространстве, т. е. если модуль якобиана J, на который умножается элементарный объем после итерации, меньше 1:

Теорема Пуанкаре - Бендикссона, которая ограничивает размерность порожденных потоками странных аттракторов величинами, большими двух, несправедлива для отображений. Это связано с тем, что отображения порождают дискретные точки и снимаются ограничения, связанные с непрерывностью. Таким образом, диссипативные отображения могут приводить к странным аттракторам, размерность которых меньше 2.

Рассмотрим для иллюстрации два примера, которые из-за меньшей размерности проще представить визуально, чем аттрактор Лоренца.

Преобразование пекаря. На рис. 61 показаны обычное преобразование пекаря - отображение, сохраняющее площадь (напоминает действия пекаря, который раскатывает тесто) и не сохраняющее площадь диссипативное преобразование пекаря. Математическое

Рис. 61. а - Преобразование пекаря; б - диссипативное преобразование пекаря.

выражение для последнего

где а -преобразование, приводящее к сдвигу Бернулли. Его ляпуновский показатель (по х) что приводит к чувствительности к начальным условиям; объект, получающийся путем многократного воздействия этого отображения на единичный квадрат, является странным аттрактором. Этот аттрактор - бесконечная последовательность горизонтальных линий и ее область притяжения включает все точки единичного квадрата. Показатель Ляпунова в направлении и в этом направлении масштабы сокращаются таким образом, что общий результат (растяжения по и сжатия по ) - это уменьшение объема, необходимое для диссипативного отображения.

Хаусдорфову размерность DB странного аттрактора можно вычислить следующим образом. В направлении аттрактор просто одномерный (как и отображение ) в гл. 2). Хаусдорфова размерность в направлении у следует из определения

и из самоподобия аттрактора по вертикали (рис. 61, б). Это дает

Рис. 63. а - Изображение аттрактора Хенона, построенное по 104 точек. Несколько последовательных точек пронумерованы для иллюстрации блуждающего движения на аттракторе; б, в - увеличенные изображения квадратиков с предыдущих рисунков; г - высота каждого столбика - относительная вероятность обнаружения точки в одном из шести листков предыдущего рисунка (Farmer, 1982а, b).

структуру аттрактора. Хаусдорфова размерность аттрактора Хенона!) при . Этот результат получен путем наложения квадратной сетки с ячейкой на плоскость отображения и подсчета числа квадратов, занятых точками и вычислением!) Если на рис. 63, в разрешение позволяет видеть шесть «листков», то относительная вероятность для каждого листка может быть оценена простым подсчетом числа точек на нем. Высота каждого столбика на рис. 63, г - относительная вероятность, а ширина - толщина соответствующего листка.

Различные высоты столбиков на рис. 63, г показывают, что аттрактор Хенона неоднороден. Эта неоднородность не может быть описана одной хаусдорфовой размерностью, поэтому в дальнейшем мы введем бесконечное множество размерностей, характеризующих статическую структуру (т. е. распределение точек)

аттрактора. Однако, прежде чем это сделать, полезно обсудить колмогоровскую энтропию, которая описывает динамическое поведение на странном аттракторе.

В физических системах, n-мерными могут быть, например, две или три координаты, для одного или нескольких физических объектов; в экономических системах они могут быть отдельными переменными, такими как уровень инфляции и уровень безработицы. Если развивающаяся переменная двух-или трехмерная, аттрактор динамического процесса можно представить геометрически в двух или трех измерениях, (как, например, на рисунке).

Если при различных начальных условиях все траектории в фазовом пространстве будут уходить в бесконечность, это будет говорить о том, что у такой системы нет устойчивого состояния.

В случае, когда все они закончатся в одной точке, т. е. система придет к конкретному состоянию, и большее с ней не будет происходить никаких изменений, то такая точка будет являться точкой устойчивого состояния. После выхода из этого состояния, под действием кратковременного возмущения, система всегда вернется в это же состояние.

В этом случае, все траектории заканчиваются в точке, то есть она как бы притягивает к себе со временем все фазовые траектории. Такая точка называется аттрактором (англ. to attract -"притягивать") типа «притягивающая точка ». Понятие аттрактор является обобщением понятия равновесия для сложных систем.

Аттрактор может быть точкой, конечным множеством точек, кривой, разнородностью, или даже сложным комплексом с фрактальной структурой, известным как странный аттрактор . Если переменная является скаляром, аттрактор представляет собой подмножество вещественной числовой прямой. Описывая аттрактор в хаотических динамических системах, он является одним из достижений теории хаоса . Траектория динамической системы в аттракторе не удовлетворяет любым особым ограничениям для оставшихся на аттракторе исключениям, вперед и назад во времени. Траектория может быть периодической и хаотической. Если множество точек является периодическим или хаотичным, но поток в соседней области вдали от множества, набор не является аттрактором, но вместо этого называется отражателем (или репеллером ).

Таким образом, аттрактор - компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности. Аттрактором может являться притягивающая неподвижная точка (периодическая траектория (пример - самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), или некоторая ограниченная область с неустойчивыми траекториями внутри (как у странного аттрактора).

Динамическая система , как правило, описывается одним или более дифференциальным или разностным уравнением. Уравнения данной динамической системы указывают свое поведение в отношении любого заданного короткого периода времени. Чтобы определить поведение системы в течение более длительного периода, необходимо интегрировать уравнения либо через аналитические средства либо посредством итерации, часто с помощью компьютеров. Динамические системы в физическом мире, как правило, возникают в результате диссипативных систем: если бы не было в течение времени некоторой движущей силы, движение бы прекратилось. Рассеяние может исходить от внутреннего трения, термодинамических потерь или потери материала и других многих причин.

Рассеиваемая и движущая силы, как правило, сбалансированы, убивая начальные переходные процессы и урегулируют систему в ее типичном поведении. Подмножеством фазового пространства динамической системы, соответствующему типичному поведению является аттрактор, также известный как притягивающая секции или attractee. Инвариантные множества и предельные множества аналогичны концепции аттрактора. Инвариантное множество представляет собой набор, который развивается в себе под воздействием динамики. Аттракторы могут содержать инвариантные множества . Предельным множеством является множество точек, для которых существует некоторое начальное состояние, которое заканчивается сколь угодно близко к предельному множеству (т.е. в каждой точке множества) с течением времени к бесконечности. Аттракторы - предельные множества, но не все предельные множества являются аттракторами: при возможности иметь несколько точек системы сходящимся к предельным множествам, но разные точки, возмущенные немного от предельного множества не может на них воздействовать. Например, затухающей маятник имеет две инвариантные точки: точка х0 минимальной высоты и точка x1 максимальной высоты. Точка x0 также предельное множество, как траектории сходятся к ней; точка x1 не является предельным множеством. Из-за рассеивания точка х0 также аттрактор. Если не будет рассеивания, х0 не будет аттрактором.

Математическое определение

Пусть t представляют время и пусть f (т, )-функция, определяет динамику системы. То есть, если это n-мерные точки в фазовом пространстве, представляющих начальное состояние системы, то f (0, а) = а и, при положительном значении t, f (t, а) является результатом эволюции этого положения после t единиц времени. Например, если система описывает эволюцию свободной частицы в одном измерении, то фазовое пространство есть плоскость R2 с координатами (х, v), где х является положением частицы, v это ее скорость, а = (х, v), и эволюция задается

Аттрактор представляет собой подмножество фазового пространства и характеризуется следующими тремя условиями:

А вперед инвариантна относительно t: если есть элемент A и t (t, а) , для всех t > 0 .

Существует соседняя область А, называемая областью притяжения для А и обозначается B (A) , которая состоит из всех точек b, что " введите A в пределе t → ∞ " . Более формально, B (А) есть множество всех точек b в фазовом пространстве со следующим свойством:

Для любой открытой близлежащей области N А, есть положительная постоянная t,

Нет собственного подмножества имеющего первые два свойства.

Поскольку область притяжения содержит открытое множество, содержащее А, каждая точка, что достаточно близка к А притягивается к А. Определение аттрактора использует метрику на фазовом пространстве, но в результате понятие обычно зависит только от топологии фазового пространства.

Существуют многие другие определения аттрактора в литературе. Например, некоторые авторы требуют, чтобы аттрактор имел положительную меру, другие уменьшают силу требования, что B (А)- близлежащая область.

аттракция периодического-3 цикла и его область притяжения. Три самые темные точки являются точками 3-цикла, которые приводят к друг другу в последовательности, и итерации из любой точки в область притяжения приводит к (обычно асимптотической) сходимости этой последовательности в трех точках.

Типы аттракторов

Аттракторы - части или подмножества фазового пространства динамической системы. До 1960-х годов, аттракторы не мыслились как простые геометрические подмножества фазового пространства, как точки, линии, поверхности и объемы. Более сложные аттракторы, которые не могут быть классифицированы как простых геометрические подмножества, такие как топологические множества, были известны в то время, но принимали их за хрупкие аномалии. Стивен Смейл смог показать, что его подкова (Подкова Смейла - предложенный Стивом Смейлом пример динамической системы, имеющей бесконечное число периодических точек (и хаотическую динамику), причём это свойство не разрушается при малых возмущениях системы) была надежной и, что его аттрактор был подобен структуре множества Кантора. Два простых аттрактора - фиксированная точка и предельный цикл. Аттракторы могут принимать множество других геометрических фигур (фазовые подмножества). Но когда эти множества (или движения в них) не могут быть легко описаны как простые комбинации (например пересечение и объединение) фундаментальных геометрических объектов (например, линий, поверхностей, шаров, тороидов, коллекторы), то аттрактор называется странным аттрактором.

Аттракторы классифицируют по:

1. Формализации понятия стремления: различают максимальный аттрактор, неблуждающее множество, аттрактор Милнора, центр Биркгофа, статистический и минимальный аттрактор.
2. Регулярности самого аттрактора: аттракторы делят на регулярные (притягивающая неподвижная точка, притягивающая периодическая траектория, многообразие) и странные (нерегулярные - зачастую фрактальные и/или в каком-либо сечении устроенные как канторово множество; динамика на них обычно хаотична).
3. Локальности («притягивающее множество») и глобальности (здесь же - термин «минимальный» в значении «неделимый»).

Предельным циклом является периодическая орбита системы, которая изолирована. Примеры включают маятник часов, схему настройки радио и сердцебиения во время отдыха. (Предельный цикл идеального маятника не пример аттрактора предельного цикла, потому что ее орбиты не изолированы: в фазовом пространстве идеального маятника, недалеко от любой точки периодической орбиты есть еще один момент, который принадлежит другой периодической орбите.

фазовый портрет Ван-дер-Поля: аттракция предельного цикла

Предельный тор

Может быть больше, чем одна частота периодической траектории системы через состояние предельного цикла. Например, в физике, одна частота может диктовать скорость, с которой планета вращается вокруг звезды в то время как вторая частота описывает колебания расстояния между этими двумя телами. Если две из этих частот образуют иррациональную фракцию (т.е. они несоизмеримы), траектория больше не закрывается, а предельный цикл становится предельным тором. Этот вид аттрактора называется Nt -тор , если есть Nt - несоизмеримые частоты. Например вот 2-тор:

Временной ряд, соответствующий этому аттрактору - квазипериодический серия: дискретность проб сумм Nt- периодических функций (не обязательно синус волны) с несоизмеримыми частотами. Такой временной ряд не имеет строгую периодичность, но его спектр мощности еще состоит только из резких линий.

Странный аттрактор

Аттрактор называется странным , если он имеет фрактальную структуру . Это часто бывает, когда динамика на нем хаотична, но существуют также странные аттракторы, которые не хаотичны. Этот термин был придуман Дэвидом Рюэлем и Флорисом Такенсом, которые описали аттрактор, возникший в результате серии бифуркаций системы, описывающей поток жидкости. Странные аттракторы часто дифференцируемы в нескольких направлениях, но некоторые из них, такие как пыль Кантора, не дифференцируемы. Странные аттракторы также могут быть найдены в присутствии шума, где они могут быть размещены для поддержки инвариантных случайных вероятностных мер типа Синай-Рюэля-Боуэна. Примеры странных аттракторов включают в себя , аттрактор Хенона , Rössler аттрактор , и аттрактор Лоренца .

Дважды прокрученный аттрактор

аттрактор Лоренца

Частные уравнения

Параболические уравнения в частных производных могут иметь конечномерные аттракторы. Диффузная часть уравнения гасит высокие частоты, а в некоторых случаях приводит к глобальному аттрактору. Гинзбурга-Ландау, Курамото-Сивашинского, и двумерные, вынужденные уравнения Навье-Стокса как известно, приводят к глобальным аттракторам конечной размерности. Для трехмерного несжимаемого уравнения Навье-Стокса с периодическими граничными условиями, если оно имеет глобальный аттрактор, то это аттрактор будет конечных размеров.

С вычислительной точки зрения, аттракторы можно естественно рассматривать как самовозбуждающиеся аттракторы или скрытые аттракторы. Самовозбуждающиеся аттракторы могут быть локализованы численно при стандартных вычислительных процедурах, в которых после переходной последовательности, начинается траектория с точки на неустойчивом многообразии в малой области неустойчивого равновесия достигаемого аттрактором (как классических аттракторов в Ван дер Поля, Белоусова-Жаботинского, Лоренца и многих других динамических систем). В противоположность этому, область притяжения скрытого аттрактора не содержит области равновесия, поэтому скрытый аттрактор не может быть локализован с помощью стандартных вычислительных процедур.

Хаотичный скрытый аттрактор (зеленый домен) в системе Чуа. Траектории с начальными данными в окрестности двух точек (синий), как правило (красная стрелка) к бесконечности или, как правило (черная стрелка) к точке равновесия стабильного нуля (оранжевый).

Софтом , генерирующим странные аттрактору по праву можно считать Chaoscope , являющимся 3D –визуализатором странных аттракторов. Является бесплатной, работающих на платформе Windows.

Онлайн генератор странных аттракторов: http://wokos.nethium.pl/attractors_en.net

В больших круговоротах - малые,

Рождающие скорость,

А в малых - меньшие и меньшие,

Рождающие вязкость.

(Льюис Ф. Ричардсон)

Проблема турбулентности имеет богатую историю. Все великие физики ломали над ней голову. Плавный поток разбивается на завитки и вихревые токи; беспорядочные изгибы разрушают границы между жидкостью и твердой поверхностью; энергия из крупномасштабного движения быстро перетекает в мелкие завихрения. Почему? Пожалуй, самые разумные идеи предлагали математики, большинство же физиков попросту опасались изучать турбулентность, которая казалась почти непостижимой. Доказательством тому может служить история о Вернере Гейзенберге, известном ученом, занимавшемся квантовой физикой. Последний признался на смертном одре, что хотел бы задать Господу Богу два вопроса - об основах относительности и о причине турбулентности. «Думаю, что Господь ответит мне на первый из них», - заметил Гейзенберг.

Теоретическая физика и явление турбулентности закончили игру вничью, - наука словно бы наткнулась на заколдованную черту и замерла возле нее. Вблизи магической границы, где вещество еще устойчиво, есть над чем поработать. К счастью, плавно текущая жидкость ведет себя совсем не так, как если бы каждая из бессчетного множества молекул двигалась самостоятельно: капельки жидкого вещества, находившиеся рядом в начальной точке, обычно остаются поблизости друг от друга, словно лошади в упряжке. Инженеры-гидротехники располагают вполне надежными уравнениями, описывающими поведение такого ламинарного потока: они используют знания, накопленные еще в XIX веке, когда движение жидкостей и газов являлось одной из первостепенных проблем физической науки.

К нашему времени проблема эта уже ушла в тень, и даже самые глубокие умы верили, что в динамике жидкостей не осталось тайн, кроме одной, неведомой и небесам. С практической стороны все выглядело таким понятным, что с легким сердцем могло быть отдано на откуп специалистам-техникам. По мнению физиков, динамика жидкости из научной проблемы превратилась в инженерную. Молодые светила физики и так находили себе занятие, и исследователи жидкостной динамики попадались уже только на технических факультетах университетов. Впрочем, у практиков интерес к турбулентности был несколько односторонним и сводился к тому, как устранить это явление. Иногда турбулентность даже желательна (как, например, в реактивном двигателе, где эффективное возгорание зависит от быстрого образования смеси), но в большинстве случаев она равносильна бедствию. Турбулентный воздушный поток, воздействуя на крыло самолета, затрудняет взлет. Турбулентный поток внутри нефтепровода задерживает движение жидкости. Правительства и корпорации вкладывают огромные средства в конструирование самолетов, турбинных двигателей, гребных винтов, подводных лодок и других подобных устройств, которые двигаются в жидкой или газообразной среде. Исследователей интересует кровоток в сосудах и сердечных клапанах, их заботят вихревые токи и водовороты, пламя и ударные волны при взрывах различного типа. Считается, что проектом атомной бомбы во время Второй мировой войны занимались физики-ядерщики, но в действительности же все относящиеся к ядерной физике вопросы были решены еще до начала работ, а в Лос-Аламосе занимались газо- и гидродинамическими аспектами.

Что же представляет собой турбулентность? Полную неупорядоченность при всех масштабах, крошечные вихри внутри огромных водоворотов. Турбулентность неустойчива и в высшей степени диссипативна, т. е. обладает способностью замедлять движение, истощая энергию. Она суть беспорядочное движение. Но все же каким образом течение жидкости превращается из плавного в турбулентное? Представьте себе безупречно гладкую полую трубку, в высшей степени стабильный источник водоснабжения, причем вся конструкция надежно защищена от вибрации. А теперь задайте себе вопрос: как же в потоке, текущем внутри трубы, может появиться что-то беспорядочное?

Кажется, все правила здесь терпят фиаско. Когда поток плавный, или ламинарный, небольшие помехи исчезают, однако сразу же вслед за появлением турбулентности их количество резко возрастает, загадывая науке новую загадку. Русло ручья у подножия скалы превращается в водоворот, который все увеличивается, расщепляется и кружится по мере движения воды вниз по течению, а струйка сигаретного дыма, что тихо вьется в воздухе, поднимаясь вверх над пепельницей, вдруг ускоряется и, достигнув критической скорости, распадается на бурные вихри. Порог турбулентности можно наблюдать и измерить в ходе лабораторных экспериментов; его тестируют для каждого крыла самолета или гребного винта при испытании в аэродинамической трубе. Тем не менее уловить его природу сложно. Как правило, полученным данным не хватает универсальности, - изучение методом проб и ошибок крыла «Боинга-707» ничего не дает для проектирования крыла истребителя «F-16». Даже суперкомпьютеры оказываются почти беспомощными перед лицом хаотичного движения вещества.

Представим, что нечто сотрясает жидкость, вызывая внутри нее волны. Жидкость обладает вязкостью, и по этой причине сообщенная ей при встряхивании энергия из нее уходит. Если перестать встряхивать жидкость, она придет в состояние покоя. Что же происходит, когда вы встряхиваете жидкость? В результате этой процедуры жидкости сообщается низкочастотная энергия, низкие частоты преобразуются в более высокие, порождая все более и более стремительные вихревые токи. Этот процесс, приводящий к рассеиванию энергии жидкости, был еще в 30-х годах рассмотрен А. Н. Колмогоровым. Он разработал математическое описание динамики вихрей, рассматривая их во все меньшем и меньшем масштабе - до тех пор пока не достиг предела, при котором вихри становились столь крошечными, что вязкость вещества на них уже не влияла.

Для большей наглядности Колмогоров представил, что вся жидкость состоит из небольших вихревых потоков и, таким образом, она везде одинакова. Подобное предположение об однородности неверно, о чем догадался еще Пуанкаре сорок лет назад, понаблюдав в бурной реке водяные завихрения, перемежавшиеся с участками спокойного течения. Таким образом, нестабильность течения локальна, и энергия фактически рассеивается лишь в части пространства. Если внимательно разглядывать турбулентный поток в любом масштабе, можно заметить, что обнаруживаются все новые и новые области спокойного течения. Таким образом, гипотеза об однородности уступает место предположению о прерывистости. Такое, отчасти идеализированное описание выглядит в высшей степени фрактальным, с чередующимися бурными и плавными зонами, которые заметны при любых масштабах, начиная от крупных и заканчивая мелкими. Но и эта картина в определенной мере представляет собой не полное отражение действительности.

Весьма близким к сформулированному выше, но в то же время самостоятельным является вопрос о том, что происходит с началом турбулентности. Каким образом поток жидкости пересекает границу между плавным и бурным? Какие промежуточные стадии пройдет турбулентность, прежде чем даст о себе знать в полной мере? На эти вопросы отвечала теория, звучавшая вполне резонно. Эта общепринятая парадигма своим появлением обязана Льву Давыдовичу Ландау, великому русскому ученому, чьи разработки в области гидродинамики до сих пор считаются одной из вершин физической науки. Модель Ландау являет собой нагромождение соревнующихся вихрей. Он предположил, что, когда в систему поступает больше энергии, в каждый момент времени возникает новая частота, не совместимая с предыдущей, словно скрипичная струна отзывается на усиление движения смычка звучанием второго диссонирующего тона, а затем - третьего, четвертого и т. д., до тех пор пока звуки не сольются в непостижимую какофонию.

Любое жидкое или газообразное вещество представляет собой совокупность единичных частиц-молекул, число которых столь велико, что может показаться бесконечным. Если бы каждая частица двигалась сама по себе, появилось бы бесконечно много вариантов движения жидкости (говоря научным языком, бесконечно много «степеней свободы»), и уравнения, описывающие движение, включали бы бесконечное количество переменных. Однако ничего подобного не происходит: движение каждой молекулы в значительной степени зависит от движения ее соседок, и степеней свободы (по крайней мере, при спокойном течении) может быть лишь несколько. Потенциально сложные движения остаются связанными, расположенные рядом частицы не расходятся вовсе или расходятся плавно и линейно, образуя аккуратные линии на фотографиях, сделанных в аэродинамической трубе. Частицы в струйке сигаретного дыма также некоторое время поднимаются вверх как единое целое.

Затем появляется возмущение, многообразие таинственных бурных порывов. Иногда такие движения даже получали имена: «осциллятор», «перекрестные ролики», «узел», «зигзаг», «вздутые вены» (какие бывают при варикозе). По мнению Ландау, возникающие нестабильные движения попросту скапливались, накладываясь одно на другое и создавая таким образом витки с частично совпадающими скоростями и размерами. Умозрительно такая общепринятая модель турбулентности, казалось, подходила под реальные факты, а на ее бесполезность с точки зрения математики посмотрели сквозь пальцы. Итак, Ландау, построив неразрешимую с математической точки зрения модель, сохранил свое достоинство ученого, но на взгляд практика это было полным банкротством.

Представим, что вода со слабым свистом медленно струится по трубке или течет внутри цилиндра. Мысленно увеличим давление, вызывая тем самым появление ритмичных колебаний вперед и назад. Жидкость медленно бьет в стенки трубки. Вновь нажмем на кнопку воображаемого прибора, увеличив давление. Неизвестно откуда появится вторая частота, не согласующаяся с первой. Дисгармонирующие ритмы, будто соревнуясь, накладываются друг на друга, и вот уже появилось довольно запутанное движение: волны ударяют о стенки трубки, перемешиваясь одна с другой так, что уловить их ритм невозможно. С ростом давления возникает третья, затем четвертая, пятая, шестая частоты, и все они не соответствуют друг другу, так что поток становится необычайно сложным. Возможно, это и есть турбулентность. Физики приняли такое объяснение, но ни один из них не мог предсказать, когда именно увеличение энергии повлечет возникновение новой частоты или какой она будет. Никто не разглядел этих таинственно появляющихся частот при проведении опыта, потому что теория Ландау о пороге турбулентности фактически не была еще испытана.

Теоретик проделывает эксперименты мысленно, а экспериментатору приходится еще и действовать руками. Теоретик - мыслитель, экспериментатор - ремесленник; первому не нужен помощник, второй вынужден «вербовать» студентов-выпускников, уговаривать механиков, обхаживать ассистентов лаборатории. Теоретик-чистюля работает там, где нет шума и грязи; экспериментатор же связан с объектом опыта так же тесно, как скульптор в мастерской, который часами прикован к бесформенной глине и старается то ласковым, то резким движением придать ей нужную форму. Теоретик может мысленно представлять своих коллег подобно наивному Ромео, грезящему о прекрасной Джульетте, а соратники экспериментатора, часами просиживающие в лаборатории, жалуются, курят, пьют кофе, потеют.

Эти двое нужны друг другу, однако в их отношения вкрадывается доля неравенства еще с тех древних времен, когда всякий ученый и размышлял, и ставил опыты одновременно. Хотя в некоторых, самых лучших экспериментаторах осталось что-то от теоретика, беседа ученых мужей явно не клеится. В конечном счете престиж теоретиков оказывается выше. Особенно ярко это проявляется в физике высоких энергий: теоретики буквально купаются в лучах славы, в то время как экспериментаторы становятся техниками высокой квалификации, имеющими дело с дорогостоящим и сложным оборудованием. В послевоенные десятилетия, когда блеск физики определяло исследование элементарных частиц, лучшими экспериментами стали те, что проводились на ускорителях частиц. Масса, заряд, спин, симметрия - эти абстракции зачаровывали тех, кто не принадлежал к академической среде, но пытался идти в ногу со временем, однако лишь для некоторых ученых изучение атомных частиц действительно являлось физикой. Переход к изучению все более и более мелких частиц в кратчайших временных промежутках требовал все более высокой энергии, а значит - модернизации оборудования. Экспериментальная ветвь физики элементарных частиц с годами прогрессировала, в ней трудилось множество ученых, над постановкой крупных опытов работали целые команды. Статьи по физике частиц в журнале «Физическое обозрение» всегда выделялись тем, что перечень авторов занимал едва ли не четверть публикации.

Некоторые экспериментаторы, впрочем, предпочитали работать в одиночестве, на худой конец вдвоем. В своих опытах они задействовали те вещества, которые были доступны. В то время как определенные разделы физической науки, вроде гидродинамики, утрачивали актуальность, физика твердого тела, наоборот, выходила на первый план. Подведомственная ей сфера исследований настолько расширилась, что название дисциплины следовало бы поменять на более точное - «физика конденсированного вещества», т. е. физика материалов. В этой области, надо сказать, оборудование было куда проще, а связь между теоретиками и экспериментаторами - намного прочнее. Первые не проявляли чрезмерного снобизма, а вторые не пытались от них обороняться.

При всем том они на многое смотрели по-разному. В частности, теоретик запросто мог, прервав доклад экспериментатора, осведомиться: «Нельзя ли сделать ваши данные более убедительными? Не кажется ли вам, что данный график несколько неясен? Не стоит ли измерить данную величину в более широких пределах, чтобы получить больший объем информации?»

В ответ Гарри Суинни, выпрямившись во весь рост (около пяти с половиной футов), мог произнести с природным очарованием уроженца Луизианы, в котором чувствовалась, однако, нью-йоркская вспыльчивость: «Факты соответствуют истине. Да, это правда, при условии, что мы имеем бесконечно много „чистых“ экспериментальных данных. - И, резко повернувшись к доске, добавить: - В действительности в нашем распоряжении лишь ограниченное количество информации, да и то с погрешностями».

Суинни ставил опыты с веществами. Еще будучи студентом Университета Джона Хопкинса он почувствовал пьянящее очарование физики частиц, и это стало для него поворотным пунктом в судьбе. Поговорив как-то с Марри Гелл-Маном, от которого буквально веяло энтузиазмом, Суинни не устоял, однако, наблюдая за работой старшекурсников, он обнаружил, что все они писали компьютерные программы или паяли искровые камеры. Именно тогда Суинни завязал знакомство с опытным физиком, который приступил к исследованию фазовых переходов от твердого тела к жидкости, от немагнитного вещества к магниту, от проводника к сверхпроводнику. Довольно долгое время Суинни ютился в небольшой комнатке; размером она была с чулан, зато начинающий ученый обитал там один. Он стал заказывать приборы по каталогу, и вскоре в его скромном жилище появился лабораторный стол, лазер, зонды и кое-какое холодильное оборудование. Суинни сконструировал прибор для измерения теплопроводности углекислого газа вблизи критической точки конденсации. Многие физики полагали, что изменения теплопроводности незначительны, однако, как обнаружил Суинни, то было заблуждение: теплопроводность менялась весьма в значительных пределах. Все это будоражило. Один, в крошечной комнатке, он сделал открытие, увидев потустороннее свечение паров вещества, любой субстанции, вблизи критической точки, - свечение, названное «опаловым» из-за беловатой опаловой окраски рассеивавшихся лучей.

Как и многие хаотичные по своей природе явления, фазовые переходы характеризуются особым типом макроскопичного поведения, предугадать которое, глядя на мельчайшие фрагменты, весьма сложно. При нагревании твердого тела его молекулы начинают вибрировать под действием поступающей энергии, они устремляются к поверхности, противодействуя связывающим их силам, и тем самым вызывают расширение объема вещества. Чем сильнее нагрев, тем больше расширяется вещество, и как лопается веревка после долгого растягивания, так и изменения становятся непредсказуемыми и прерывистыми при определенных давлении и температуре. Кристаллическая структура постепенно исчезает, и молекулы удаляются друг от друга, повинуясь законам, установленным для жидкости, которые нельзя вывести из закономерностей, определенных для твердого тела. Средняя энергия атома лишь слегка поменялась, однако вещество сейчас уже жидкость, магнит или сверхпроводник, т. е. приобрело новое качество.

Гюнтер Алерс в лабораториях корпорации «AT & Т Bell» в Нью-Джерси исследовал так называемый сверхжидкостный переход в жидком гелии, при котором по мере падения температуры твердое вещество превращается в жидкость с волшебными свойствами, не обнаруживающую явно выраженной вязкости или трения. Другие же занимались сверхпроводимостью. Суинни исследовал точку фазового перехода между жидкостью и паром. И он, и Алерс, Пьер Берг, Джерри Голлаб, Марцио Джиглио и другие экспериментаторы в США, Франции и Италии - новое поколение физиков, занимавшихся фазовыми переходами, - в середине 70-х годов искали новые объекты для исследований. Подобно тому как почтальон знает во всех подробностях все аллеи и дома своего участка, так и они знали назубок все особые признаки вещества, меняющего свое состояние. Они изучали предел равновесного состояния вещества.

Все исследователи фазовых переходов, почувствовав под собой коварную трясину сомнений, ступали на спасительные камни аналогии. Фазовый переход от немагнитного состояния к магнитному оказался подобен переходу «жидкость - пар». Переход от жидкости к сверхжидкости демонстрировал подобие переходу от проводника к сверхпроводнику. Математические вычисления, описывающие один опыт, применялись к множеству других, и в течение 70-х годов проблема была почти решена. Вопрос заключался лишь в том, сколь далеко можно распространить вновь созданную теорию. Какие иные изменения в окружающем нас мире при их ближайшем рассмотрении окажутся фазовыми переходами?

Использование технических приемов, практикуемых при изучении фазовых переходов, для исследования потоков жидкости нельзя назвать ни сверхоригинальной идеей, ни самоочевидным подходом.

На особую оригинальность он не мог претендовать, потому что еще в начале XX века величайшие ученые - пионеры гидродинамики Рейнольдс, Рэлей и их последователи - заметили, что в ходе тщательно контролируемого эксперимента с жидкостью движение ее качественно меняется, происходит разветвление, или бифуркация. Например, при нагревании снизу сосуда с жидкостью она из состояния покоя приходит в движение. Слишком велик был соблазн, и, поддавшись ему, специалисты предположили, что физическая природа бифуркации как раз и напоминает происходящее в веществе при фазовых переходах.

Очевидным подходом применение подобных методов не назовешь, в силу того что описанные выше бифуркации в жидкости не вызывали, как фазовые переходы, изменения в самой субстанции, но добавляли вместо этого новый элемент - движение. Жидкость из состояния покоя переходит к движению. И по какой причине математическое описание подобных перемен должно соответствовать уравнениям для конденсирующегося пара?

В 1973 г. Суинни преподавал в городском колледже Нью-Йорка, а Джерри Голлаб - серьезный, но временами впадавший в ребячество выпускник Гарварда - работал в Хаверфорде, что на юго-востоке Пенсильвании. Тамошнее учебное заведение, буколический сельский колледж гуманитарных наук близ Филадельфии, был наиболее подходящим местом, чтобы угробить карьеру физика. Некому было поручить работу в лаборатории или иные функции, доверяемые ментором своим протеже, - выпускников попросту не хватало. Все же Голлабу нравилось преподавать физику студентам последнего курса, и он начал преобразование физического факультета в центр, широко известный высоким качеством своих экспериментов. Тогда же, взяв оплачиваемый семестровый отпуск, он уехал в Нью-Йорк для совместной работы с Гарри Суинни.

Помня об аналогии фазовых переходов и неустойчивости, наблюдающейся в жидкости, коллеги решили заняться классической системой - жидкостью, ограниченной пространством между двумя вертикальными цилиндрами. Один из них вращался внутри другого, заставляя жидкость двигаться между двумя поверхностями. Таким образом ограничивалось возможное движение вещества в пространстве, в отличие от струй, которые остаются после движения судна в море. Вращающиеся цилиндры воспроизводили так называемый поток Куэте - Тэйлора. Как правило, для удобства внутренний цилиндр вертится внутри закрепленного остова. Когда вращение начинается, набирая скорость, появляются первые признаки неустойчивости: жидкость образует изящный рисунок, напоминающий пучки трубок, и затем вокруг цилиндра появляются, одна над другой, размытые, похожие на ленты, зоны. Частицы жидкости движутся не только в направлении вращения цилиндра, но также совершают движение вверх и вниз, вращаясь вокруг указанных выше зон. Подобное их поведение уже было рассмотрено Дж. И. Тэйлором, который увидел и измерил количественные характеристики этого явления в 1923 г.

Для изучения потока Куэте ученые сконструировали аппарат, помещавшийся на письменном столе и представлявший собой два цилиндра. Внешний стеклянный цилиндр походил на узкую банку для теннисных шариков высотой в фут и диаметром в два дюйма. Внутрь него аккуратно помещался второй стальной цилиндр, оставлявший для воды пространство примерно в одну восьмую дюйма. «Это была весьма волнующая история, - вспоминал Фримен Дайсон, один из невольных очевидцев событий следующих месяцев. - Два этих джентльмена в тесной комнатке, оборудованной под лабораторию, почти без денег, ставят прекрасный опыт, который ознаменовал начало полноценных исследований феномена турбулентности».

Оба исследователя помнили о своей научной задаче, решение которой вскоре будет вознаграждено традиционными аплодисментами и быстро предано забвению. Суинни и Голлаб намеревались подтвердить идею Ландау о пороге турбулентности, и эксперименты не давали ни малейшего повода в ней сомневаться. К тому же было известно, что физики, занимавшиеся гидродинамикой, с доверием относятся к соображениям Ландау. Сами физики, Суинни и Голлаб тоже симпатизировали этой теории, потому что она соответствовала общей картине фазовых переходов. Ландау выработал достаточно эффективную схему для их изучения, основываясь на убеждении, что подобные явления должны подчиняться универсальным законам и что они не связаны со спецификой конкретных веществ. Когда Гарри Суинни изучал критическую точку конденсации углекислого газа, он, как и Ландау, был убежден, что его открытия можно будет применить к критической точке конденсации ксенона, и оказался прав. Действительно, почему бы турбулентности не быть устойчивым ансамблем сталкивающихся волн в движущейся жидкости?

Для того чтобы справиться с бурным движением жидкости, Суинни и Голлаб заготовили целый арсенал искусных методов, отточенных за годы изучения фазовых переходов при весьма непростых обстоятельствах. У них имелись такая методика исследований и такие измерительные приборы, о которых рядовой физик не мог даже и мечтать. Для изучения кружащихся потоков они применяли лазер. Луч, светящий сквозь воду, преломлялся или рассеивался, что поддавалось измерению методом лазерной допплеровской интерферометрии. Полученную информацию хранили и обрабатывали с помощью компьютера, который тогда, в 1975 г., был большой редкостью на столах экспериментаторов.

Ландау отмечал, что по мере возрастания потока возникают новые частоты, каждая в отдельный промежуток времени. «Мы знали об этом, - вспоминал позже Суинни, - и решили, что будем наблюдать за переходами, чтобы заметить, где именно появятся такие частоты. И мы наблюдали - в полной уверенности, что переход определен вполне ясно. Мы инициировали фазовый переход в обе стороны, то увеличивая, то уменьшая скорость вращения цилиндров, и все так и вышло».

Отчитываясь о результатах проделанной работы, Суинни и Голлаб столкнулись с тем, что между сферой чистой физики и областью гидродинамики существовала некая, весьма живая и подвижная, граница. Она, в частности, определяла, какой из многочисленных отделов Национального научного фонда должен финансировать исследования. К началу 80-х годов эксперимент Куэте - Тэйлора вновь вошел в область физики, однако в 1973 г. его считали чистой воды гидродинамикой, а специалистам этой сферы первые результаты, полученные двумя физиками в небольшой лаборатории, показались подозрительно ясными. Им просто не поверили. Ведь те, кто всю жизнь посвятил гидродинамике, совсем не привыкли к опытам, повторявшим исследования в физике фазовых переходов. Более того, с позиций гидродинамики уяснить теоретическую подоплеку опытов представлялось весьма сложным. Обратившись в очередной раз в Национальный научный фонд с просьбой о финансировании, Суинни и Голлаб получили отказ. Некоторые из экспертов просто не зачли их результаты, а другие посчитали, что в результатах отсутствует какая-либо новизна.

Но работа ни на минуту не прекращалась. «Налицо был качественно определенный переход, - говорил Суинни, - и мы сочли это необыкновенной удачей. А затем вновь двинулись вперед, искать следующий».

И вдруг последовательность, о которой писал Ландау, разрушилась. Эксперимент не подтвердил теорию. При следующем переходе поток «перепрыгнул» к состоянию беспорядочности, не обнаружив сколько-нибудь заметных циклов: ни новых частот, ни постепенного увеличения беспорядочных фрагментов. Ничего. «Все, что мы обнаружили, так это то, что он внезапно стал хаотичным». Несколько месяцев спустя на пороге лаборатории появился худощавый, обаятельный европеец.

Давид Руэлль любил повторять, что существуют два типа физиков: ученые первого типа выросли, разбирая радиоприемники (до появления физики твердого тела можно было, уставившись на провода и светящиеся теплым светом вакуумные лампы, представлять себе потоки электронов), а те, кто принадлежал ко второму разряду, любили возиться с химическими реактивами. Сам Руэлль, родившийся и выросший на севере Бельгии, принадлежал как раз ко второму типу и всем игрушкам предпочитал наборы химика - даже не наборы в нынешнем смысле этого слова, а просто химикаты, неважно, взрывчатые или ядовитые, которыми его щедро снабжал местный аптекарь. Юный Давид смешивал, взбалтывал, нагревал, кристаллизировал и иногда даже взрывал все это богатство. Он родился в Генте в 1935 г. Его мать работала тренером по гимнастике, отец занимал должность профессора лингвистики в университете. И хотя юноша сделал карьеру весьма в далеком от обыденности мире науки, его всегда привлекала мистическая сторона природы, спрятавшей свои загадки в спорах губчатых грибов, селитре, зеленовато-желтой сере и древесном угле.

Математическая физика стала той областью, где Руэлль внес значительный вклад в открытие хаоса. К началу 70-х годов он работал в Институте высших научных исследований - учебном заведении в пригороде Парижа, основанном по образцу Института перспективных исследований в Принстоне. У него уже появилась привычка, сохранившаяся на всю жизнь: время от времени он оставлял семью и работу, чтобы с рюкзаком за спиной побродить в безлюдье Исландии или сельских районах Мексики. Порой он встречал людей, даривших ему свое радушие и гостеприимство. Разделяя с ними скромную трапезу из маисовых лепешек, мяса и овощей, ученый думал, что видит мир таким, каким тот был два тысячелетия назад. Вернувшись в институт, он снова с головой погружался в исследования. Коллеги замечали, как исхудало его лицо, как резко выступает линия бровей, как заострился подбородок. Руэлль слушал лекции Стива Смэйла о «подкове» и хаотическом потенциале динамических систем. Он размышлял о турбулентности в жидкостях и классической схеме Ландау, подозревая, что все это каким-то образом соотносится, но в то же время и противоречит друг другу.

Ученый раньше никогда не работал с потоками жидкости, но это совсем не отбило охоту к исследованиям, так же как и не обескураживало его менее удачливых предшественников. «Новое открывают, как правило, непрофессионалы, - говорил он. - На самом деле не существует сложной и глубокой теории турбулентности. Все, что мы можем выяснить о ней, имеет более общую природу, а посему доступно и людям, ранее этим не занимавшимся». Не составляло труда понять, почему турбулентность не поддавалась анализу, - поведение потоков жидкости описывали нелинейные дифференциальные уравнения, в большинстве своем нерешаемые. И все же Руэлль разработал весьма абстрактную альтернативу схеме Ландау, изложенную на языке Смэйла, где пространство использовалось как податливый материал, который можно сжать, вытянуть и согнуть, образовав формы типа «подковы». Работа была написана в Институте высших научных исследований, с перерывом на визиты к голландскому математику Флорису Такенсу, и опубликована совместно в 1971 г. В стиле статьи нельзя было ошибиться. Она являла собой чистую математику (заметьте, вышедшую из-под пера физика!) и содержала определения, теоремы и доказательства , за которыми с неизбежностью следовало: Допустим… Вот один из примеров: «Доказательство (5.2.). Допустим, что Х ? есть однопараметрическое семейство C k векторных полей в Гильбертовом пространстве H , таком, что…»

И все же в заголовке публикации, которая называлась «О природе турбулентности», прослеживалась связь с реальным миром и чувствовалось нарочитое созвучие с названием знаменитой работы Ландау «К вопросу о турбулентности». Руэлль и Такенс явно желали уйти гораздо дальше математики, пытаясь предложить альтернативу традиционным взглядам на порог турбулентности. Они предположили, что источником всего сложного в турбулентности является не наложение частот, ведущих к появлению бесконечного множества независимых и перекрывающих друг друга движений жидкости, а всего лишь три отдельных движения. Кое-что в их логике казалось весьма смутным, заимствованным, да и попросту неверным, или тем, другим и третьим сразу - пятнадцать лет спустя мнения на сей счет еще расходились.

Тем не менее глубокая проницательность, комментарии, заметки на полях и вкрапления из физики сделали работу объектом внимания на долгие годы. Наиболее соблазнительным казался образ, окрещенный авторами странным аттрактором . Это название было суггестивным, как говорят психоаналитики, т. е. самим своим звучанием рождало подсознательные ассоциации, что Руэлль ощутил позднее. Термин «странный аттрактор» приобрел такую популярность у исследователей хаоса, что Такенс и Руэлль потом оспаривали друг у друга авторство. Ни тот ни другой не могли отчетливо припомнить, кто первый использовал термин. Такенс - высокий, румяный и неистовый норманн - временами ронял: «Вам когда-нибудь доводилось спрашивать у Господа, как он создал эту чертову Вселенную?.. Я ничего не помню… Творю, не запоминая подробностей этого процесса». На что Руэлль, главный из соавторов, мягко замечал: «Разные люди и работают по-разному. Некоторым людям следовало бы писать статьи в одиночку, чтобы затем единолично пожинать лавры».

Странный аттрактор обитает в фазовом пространстве - одном из удивительнейших изобретений современной науки. Фазовое пространство делает возможным превращение чисел в изображения, извлекая даже малую толику существенной информации из движущихся систем, механических или жидкостных, и наглядно демонстрируя все их возможности. Физики уже имели дело с двумя более или менее простыми типами аттракторов - фиксированными точками и замкнутыми кривыми, описывающими поведение таких систем, которые достигли устойчивого состояния или непрерывно себя повторяют.

В фазовом пространстве все известные данные о динамической системе в каждый момент времени концентрируются в одной точке, которая и представляет собой данную систему в кратчайшем временном отрезке. В следующее мгновение система уже претерпит изменения, пусть даже совсем незначительные, и точка изменит свое местонахождение. Всю длительность существования системы можно изобразить на графике, следя за перемещениями точки с течением времени и наблюдая за ее орбитой в фазовом пространстве.

Но как же все данные о сложнейшей системе могут быть представлены лишь в одной точке? Если система характеризуется двумя переменными, найти ответ не составляет труда, он напрямую вытекает из Евклидовой геометрии, преподаваемой в средней школе: одна из переменных располагается на горизонтальной оси x , а другая - на вертикальной оси y . Если же система представляет собой качающийся маятник, свободный от действия силы трения, то одна из переменных является его положением в пространстве, а другая - скоростью. Они непрерывно меняются, образуя линию из точек, которая изгибается петлей, вновь и вновь повторяющей саму себя. Та же система, но обладающая более высокой энергией, раскачивающаяся быстрее и дальше, образует в фазовом пространстве петлю, схожую с первой, но большую по размерам.

Впрочем, столкнувшись с одним из проявлений реальности - трением, система начинает претерпевать изменения. Чтобы описать поведение маятника, подверженного трению, не нужны уравнения движения: каждое его колебание фактически заканчивается на одном и том же месте, в центре, откуда начиналось движение, и скорость его в эти моменты равна нулю. Данная центральная фиксированная зона как бы «притягивает» колебания. Вместо того чтобы вечно чертить на графике петли, орбита маятника спиралью закручивается внутрь. Трение рассеивает энергию системы, что в фазовом пространстве выглядит как толчок к центру. Наблюдается движение из внешних зон с высокой энергией к внутренним зонам с низкой энергией. Аттрактор - простейший из возможных - подобен магниту величиной с булавочную головку, встроенному в лист резины.

Одним из преимуществ рассмотрения состояний системы как совокупности точек в пространстве является то, что в таком случае легче наблюдать происходящие изменения. Система, в которой переменные непрерывно увеличиваются и уменьшаются, превращается в движущуюся точку, словно муха, летающая по комнате. Если некоторые комбинации переменных никогда не возникают, ученый может просто предположить, что пределы комнаты ограничены и насекомое никогда туда не залетит. При периодическом поведении изучаемой системы, когда она снова и снова возвращается к одному и тому же состоянию, траектория полета мушки образует петлю, и насекомое минует одну и ту же точку в пространстве множество раз. Своеобразные портреты физических систем в фазовом пространстве демонстрировали образцы движения, которые были недоступны наблюдению иным способом. Так фотография природного ландшафта в инфракрасных лучах открывает те мелочи и детали, которые существуют вне досягаемости нашего восприятия. Ученый, взглянув на фазовую картину, мог, призвав на помощь воображение, уяснить сущность самой системы: петля здесь соответствует периодичности там, конкретный изгиб воплощает определенное изменение, а пустота говорит о физической невероятности.

Даже при наличии двух переменных изображения в фазовом пространстве могли еще многим удивить. Даже на мониторах настольных компьютеров можно было построить кое-какие из них, превращая уравнения в красочные траектории. Некоторые физики начали создавать серии движущихся картинок и снимать видеопленки, чтобы продемонстрировать их своим коллегам. Математики из Калифорнии публиковали книги, иллюстрированные множеством красно-сине-зеленых рисунков в стиле анимации, - «комиксы хаоса», как отзывались о них, не без яда, коллеги авторов. Но пара измерений не охватывала всего богатства систем, которые хотели изучать физики, и ученые стремились ввести больше двух переменных, что, естественно, требовало увеличения числа измерений. Каждый фрагмент динамической системы, способный к независимому перемещению, является уже новой переменной, воплощая иную «степень свободы», и для каждой такой степени требуется новое измерение в фазовом пространстве. Иначе нет уверенности, что одна-единственная точка содержит достаточно информации для описания состояния системы в каждый конкретный момент времени. Простые уравнения, изучавшиеся Робертом Мэем, являлись однопространственными. Они позволяли обойтись одним числом - значением температуры или численности популяции, которое определяло местоположение точки на прямой, располагавшейся в одном измерении. Развернутая система Лоренца, описывавшая конвекцию в жидкостях, имела три измерения, но не потому, что жидкость двигалась в трех пространственных измерениях, а потому, что для описания состояния жидкости в каждый момент времени требовалось три вполне определенных числа.

Даже топологу с самой развитой фантазией нелегко представить пространства, обладающее четырьмя, пятью и более измерениями. Однако сложные системы имеют множество независимых переменных, поэтому математикам пришлось смириться с тем, что множество степеней свободы требует фазового пространства, где бесконечно много измерений. Так ничем не ограниченная природа дает о себе знать в бурных струях водопада или в непредсказуемости человеческого мозга. Но кто сумеет справиться с буйным, необоримым чудищем турбулентности, которому присущи многообразие форм, неопределенное число «степеней свободы», бесконечное количество измерений?

Физики имели вполне вескую причину, чтобы с неприязнью относиться к модели, поведение которой столь неясно. Используя нелинейные уравнения, описывающие движения жидкости, мощнейшие суперкомпьютеры мира не могли точно проследить турбулентный поток даже одного кубического сантиметра жидкости в течение нескольких секунд. Конечно, виновата в этом больше природа, нежели Ландау, тем не менее предложенная советским ученым схема производила эффект «поглаживания против шерсти». Даже не имея сколько-нибудь солидных знаний, физик вполне мог заподозрить, что феномен не поддается интерпретации. Подобное ощущение выразил словами великий теоретик квантовой физики Ричард Филлипс Фейнман: «Меня всегда беспокоило, что согласно законам в их современном понимании вычислительной машине нужно выполнить бесчисленное количество логических операций, чтобы выяснилось, что же происходит в пространстве и времени, независимо от того, насколько малым является это пространство и сколь коротким - время. Как подобное может случаться в таком маленьком пространстве? Почему требуется столько усилий, чтобы выяснить наконец, какова дальнейшая судьба отрезка времени или капельки пространства?»

Рис. 5.1. Новый способ изучения маятника.

Одна лишь точка в фазовом пространстве (справа) передает всю информацию о состоянии динамической системы в конкретный момент времени (слева) . Для простого маятника достаточно двух чисел, представляющих его скорость и местоположение.

Точки образуют траекторию, которая позволяет наглядно представить непрерывное поведение динамической системы в течение длительного периода времени. Повторяющаяся «петля» отображает систему, которая всегда воспроизводит одно и то же свое состояние. Если повторяющееся поведение устойчиво, как у часов с маятником, система при незначительных помехах возвращается к прежней орбите движения. В фазовом пространстве траектории вблизи орбиты как бы вовлечены в нее, а сама орбита является аттрактором.

Рис. 5.2. Аттрактор может являть собой одну-единственную точку. В случае с маятником, непрерывно теряющим энергию на трение, все траектории имеют форму спирали, закручивающейся внутрь, по направлению к точке, в которой система устойчива, - в таком случае движения не наблюдается вообще.

Как и многие из тех, кто занимался хаосом, Давид Руэлль подозревал, что видимые в турбулентном потоке объекты: перепутанные струи, спиральные водовороты, волшебные завитки, появляющиеся и вновь исчезающие, - должны отражать то, что объяснялось законами физики, но еще принадлежало к сфере таинственного и неоткрытого. В его понимании рассеивание энергии в турбулентном потоке должно было вести к своеобразному сокращению фазового пространства, притягиванию к аттрактору. Бесспорно, последний не оставался неподвижной точкой, поскольку поток никогда не приходил в состояние покоя, - энергия поступала в систему и уходила из нее. Каким еще мог быть аттрактор? Помимо описанного, согласно догмату, существовал лишь один возможный тип - периодический аттрактор, или замкнутая кривая, орбита, притягивающая все близлежащие орбиты. Если маятник получает энергию от подвеса и теряет ее из-за трения, то устойчивая орбита может представлять собой замкнутую петлю в фазовом пространстве, отражающую, например, регулярные колебательные движения маятника дедушкиных часов. Неважно, где именно начнет двигаться маятник, в конечном счете он придет именно к данной орбите. Но придет ли? В силу неких начальных условий (а они характеризуются минимумом энергии) маятник остановится. Таким образом, получается, что система в действительности имеет два аттрактора, один из которых является замкнутой петлей, а другой - фиксированной точкой. Каждый из аттракторов имеет собственную «нишу» в фазовом пространстве. В целом это напоминает две речные долины, разграниченные водоразделом.

В короткий период времени каждая точка фазового пространства может означать возможное поведение динамической системы. При изучении долгосрочной перспективы единственными моделями поведения становятся сами аттракторы. Все иные типы движения преходящи. По определению, аттракторам присуще важнейшее качество - устойчивость. В реальной системе, где движущиеся элементы сталкиваются и раскачиваются из-за помех окружающей среды, движение обычно возвращается к аттрактору. Толчок способен ненадолго исказить траекторию, однако возникающие случайные движения быстро исчезают, - даже если вдруг кошка заденет часы с маятником, минута не увеличится до шестидесяти двух секунд. Однако турбулентность в жидкостях - явление иного порядка, никогда не порождающее единичный ритм. Известное свойство такого явления заключается в том, что в данный момент времени наблюдается весь спектр возможных колебаний. Турбулентность можно сравнить с «белым шумом» или статикой. Могла ли простая детерминистская система уравнений описывать подобный феномен?

Руэлль и Такенс задались вопросом, обладает ли какой-либо иной тип аттрактора подходящим набором характеристик: устойчивостью, малым числом измерений, непериодичностью. Устойчивость означала достижение конечного состояния системы вопреки всем помехам в полном шумов мире. Малое число измерений предполагало, что орбита в фазовом пространстве должна представлять собой прямоугольник или форму типа коробки, обладающие лишь несколькими степенями свободы. Непериодичность подразумевала отсутствие повторений - ничего общего с монотонным тиканьем старых часов. С геометрической точки зрения вопрос казался чистой воды головоломкой. Какой вид должна иметь орбита, изображаемая в ограниченном пространстве, чтобы она никогда не повторяла и не пересекала саму себя? Ведь система, вернувшаяся в свое прежнее состояние, согласно принятой модели, должна следовать по своему обычному пути. Чтобы воспроизвести каждый ритм, орбита должна являть собой бесконечно длинную линию на ограниченной площади. Другими словами, она должна стать фрактальной.

Исходя из математических резонов, Руэлль и Такенс провозгласили, что описанный феномен должен существовать. Хотя они никогда не видели и не изображали его, одного заявления оказалось довольно. Впоследствии, выступая с речью на пленарном заседании Международного конгресса математиков в Варшаве, Руэлль заявил: «Научное сообщество весьма прохладно отнеслось к нашему предположению. Упоминание о том, что непрерывный спектр будет ассоциироваться с незначительным числом „степеней свободы“, многие физики посчитали просто ересью». Но были и другие - горсточка, не больше. Почувствовав всю значимость вышедшей в 1971 г. работы, они стали описывать то, что в ней подразумевалось.

На самом же деле к 1971 г. в научной литературе уже имелся один небольшой набросок того невообразимого чудовища, которое пытались оживить Руэлль и Такенс.

Рис. 5.3. Первый странный аттрактор. В 1963 г. Эдвард Лоренц смог вычислить только первые несколько элементов аттрактора для своей простой системы уравнений. Однако он понял, что «прослойка» двух спиральных крылообразных форм должна иметь необычную структуру, неразличимую в малых масштабах.

Эдвард Лоренц сделал его приложением к своей статье о детерминистском хаосе, вышедшей в 1963 г. Этот образ представлял собой сложную конструкцию из двух кривых, одна внутри другой, справа и пяти кривых слева. Лишь для схематичного изображения этих семи «петель» потребовалось пятьсот математических операций, с успехом выполненных компьютером. Точка, двигаясь вдоль указанной траектории в фазовом пространстве, демонстрировала медленное хаотичное вращение потоков жидкости, что описывалось тремя уравнениями Лоренца для явления конвекции. Поскольку система характеризовалась тремя независимыми переменными, данный аттрактор лежал в трехмерном фазовом пространстве. И хотя изображен был лишь его фрагмент, Лоренц смог увидеть гораздо больше: нечто вроде двойной спирали, крыльев бабочки, сотканных с удивительным мастерством. Когда увеличение количества теплоты в системе Лоренца вызывало движение жидкости в одном направлении, точка находилась в правом «крыле», при остановке течения и его повороте точка перемещалась на другую сторону.

Аттрактор был устойчивым, непериодическим, имел малое число измерений и никогда не пересекал сам себя. Если бы подобное случилось и он возвратился бы в точку, которую уже миновал, движение в дальнейшем повторялось бы, образуя периодичную петлю, но такого не происходило. В этом-то и заключалась странная прелесть аттрактора: являвшиеся взору петли и спирали казались бесконечно глубокими, никогда до конца не соединявшимися и не пересекавшимися. Тем не менее они оставались внутри пространства, имевшего свой предел и ограниченного рамками коробки. Почему такое стало возможным? Как может бесконечное множество траекторий лежать в ограниченном пространстве?

До того как изображения фракталов Мандельбро буквально наводнили научный мир, представить себе особенности построений подобных форм казалось весьма трудным. Сам Лоренц признавал, что в его собственном экспериментальном описании присутствовало «явное противоречие». «Очень непросто слить две поверхности, если каждая содержит спираль и траектории не стыкуются», - сетовал ученый. Однако в массе компьютерных вычислений он все же разглядел слабо просматривавшееся решение. Лоренц понял, что, когда спирали явно начинали соединяться, поверхности должны были делиться, образуя отдельные слои, словно в стопке писчей бумаги. «Мы видим, что каждая поверхность состоит на самом деле из двух поверхностей, так что, когда они сходятся, появляется уже четыре. Продолжая подобную процедуру, заметим, что возникает восемь поверхностей и т. д. В итоге мы можем заключить, что налицо бесконечное множество поверхностей, каждая из которых находится чрезвычайно близко к одной из двух соединяющихся поверхностей». Не удивительно, что в 1963 г. метеорологи оставили подобные рассуждения без внимания. Десятилетие спустя Руэлль, узнав о труде Лоренца, был буквально ошеломлен. Впоследствии он посетил Лоренца, однако вынес из этой встречи чувство легкого разочарования. Общие научные интересы исследователи обсуждали совсем недолго; с характерной для него робостью Лоренц избегал полемики и постарался придать визиту светский характер: ученые с женами посетили художественный музей.

Пытаясь отыскать ключи к решению загадки, Руэлль и Такенс пошли двумя путями. В частности, они попытались дать теоретическое обоснование странных аттракторов. Являлся ли аттрактор Лоренца типичным? Возможны ли какие-то иные формы? Второй тропинкой, по которой пошли ученые, стала экспериментальная деятельность. Она преследовала цель подтвердить или опровергнуть весьма далекое от математики убеждение, что странные аттракторы применимы к хаосу в природе.

В Японии исследование электронных схем, имитировавших колебание механических струн, но в ускоренном темпе, привело Иошисуке Уэда к обнаружению последовательности невероятно прекрасных странных аттракторов. В Германии Отто Рёсслер, непрактикующий доктор медицины, пришедший к исследованию хаоса через химию и теоретическую биологию, попробовал взглянуть на странные аттракторы сквозь призму философии, оставив математику на втором плане. Его имя стало ассоциироваться с одним из простейших аттракторов - узкой лентой со сгибом, которую изучали довольно широко в силу легкости ее построения. Однако ученый облек в зримую форму и аттракторы с большим числом измерений. «Представьте сосиску, внутри которой заключены, одна в другой, еще сосиски, - говорил он. - Выньте ее, сверните, сожмите и положите обратно». Действительно, сгибание и сжатие пространства оказались ключом к построению странных аттракторов и, возможно, даже к динамике порождавших их реальных систем. Рёсслер чувствовал, что эти формы олицетворяли принцип самоорганизации окружающего мира. Его воображению рисовалось нечто вроде ветроуказателя на аэродроме. «Замкнутый с одного конца рукав с отверстием на другом конце, куда рвется ветер, - разъяснял исследователь. - Вдруг ветер оказался в ловушке. Его энергия совершает нечто продуктивное, подобно дьяволу в средневековой истории. Принцип таков, что природа делает что-то против своей воли и, запутавшись сама в себе, рождает красоту».

Создание изображений странных аттракторов вряд ли можно назвать обычным делом. Запутанные пути орбит вьются сквозь три и более измерений, образуя в пространстве темный клубок, который похож на детские каракули и наделен внутренней структурой, невидимой извне. Чтобы представить подобную трехмерную «паутину» в виде плоских картин, ученые сначала применили технику проекции. Рисунок являл собой тень, отбрасываемую аттрактором на поверхность. Однако, если странные аттракторы довольно сложны, проекция смазывает все детали, и взору предстает путаница, которую почти невозможно расшифровать. Более эффективная техника заключается в построении так называемой обратной схемы, или схемы (сечения) Пуанкаре . Суть ее сводится к отделению «ломтика» запутанной сердцевины аттрактора и перенесению его в двухмерное пространство, подобно тому как патологоанатом помещает срез ткани на предметное стекло микроскопа.

Схема Пуанкаре лишает аттрактор одного измерения и превращает непрерывную линию в совокупность точек. Преобразуя аттрактор в схему Пуанкаре, ученый ни на минуту не сомневается, что сохранит самую суть движения. Он может вообразить, к примеру, что странный аттрактор вьется, словно пчела, у него перед глазами и орбиты аттрактора перемещаются вверх и вниз, влево и вправо, взад и вперед по дисплею компьютера, и каждый раз, когда орбита аттрактора пересекает плоскость экрана, она оставляет светящуюся точку в месте пересечения. Такие точки либо образуют похожее на кляксу пятно произвольной формы, либо начинают вычерчивать некий контур на экране.

Описанный выше процесс соответствует отбору образцов состояния системы, который ведется не постоянно, а лишь время от времени. Когда брать пробу, т. е. из какой области странного аттрактора вырезать ломтик, - дело исследователя. Временной интервал, в котором содержится наибольшее количество информации, должен соответствовать некоему физическому свойству динамической системы. Например, на схеме Пуанкаре можно отражать скорость отвеса маятника каждый раз, когда он проходит через самую низкую точку. Или экспериментатор волен выбрать определенный регулярный промежуток времени, «замораживая» последовательные состояния во вспышках воображаемого света, исходящего из стробоскопического источника. В любом случае в получаемых изображениях проявится в конце концов изящная фрактальная структура, о которой догадывался Эдвард Лоренц.

Рис. 5.4. Структура аттрактора. Странный аттрактор, как показано на верхних рисунках, сначала имеет одну орбиту, затем десять, затем сто. Он описывает хаотичное поведение ротора-маятника, колеблющегося по всему кругу и регулярно приводимого в движение притоком энергии. Через некоторое время, когда на рисунке появится тысяча орбит (ниже) , аттрактор превратится в запутанный клубок. Чтобы можно было исследовать его внутреннее строение, компьютер делает поперечный срез аттрактора - так называемое сечение Пуанкаре (рисунок в рамке) . Этот прием уменьшает число измерений с трех до двух. Каждый раз, когда траектория пересекает плоскость, она оставляет на ней точку. Постепенно возникает весьма детализированный образ. Показанный здесь образец состоит более чем из восьми тысяч точек, каждая из которых находится на орбите, окружающей аттрактор. Фактически система замеряется в регулярные промежутки. Одни данные утрачиваются, зато другие выявляются во всем их разнообразии.

Наиболее доступный для понимания и самый простой странный аттрактор был построен человеком, весьма далеким от загадок турбулентности и гидродинамики, - астрономом Мишелем Эноном из обсерватории Ниццы на южном побережье Франции. Бесспорно, в каком-то отношении астрономия дала толчок изучению динамических систем. Планеты, двигающиеся с точностью часового механизма, обеспечили триумф Ньютона и вдохновили Лапласа. Однако небесная механика значительно отличалась от земной: земные системы, теряющие энергию на трение, являются диссипативными, чего нельзя сказать об астрономических, считающихся консервативными, или гамильтонианскими. На самом же деле в масштабе, близком к бесконечно малому, даже в астрономических системах наблюдается нечто вроде торможения. Оно происходит, когда звезды излучают энергию, а трение приливно-отливного характера истощает кинетическую энергию движущихся по орбитам небесных тел. Однако для практического удобства астрономы в своих вычислениях пренебрегают рассеиванием, а без него фазовое пространство не будет складываться и сжиматься так, чтобы образовалось бесконечное множество фрактальных слоев. Странный аттрактор не может возникнуть. А хаос?

Не один астроном сделал карьеру, обойдя стороной динамические системы, но не таков был Энон. Он родился в Париже в 1931 г., всего на несколько лет позже Лоренца. Энон тоже являл собой тип ученого, которого неумолимо влечет к математике. Ему нравилось решать небольшие конкретные вопросы, которые могли быть привязаны к определенным физическим проблемам, - по его собственному выражению, «не то, что делают современные математики». Когда компьютеры стали доступны даже любителям, машина появилась и у Энона. Собрав ее собственноручно, ученый наслаждался компьютерными забавами. Кстати, задолго до описываемых событий он исследовал особенно сложную проблему из области гидродинамики. Она касалась сферических кластеров - шаровидных скоплений звезд, в которых число светил доходило до миллиона. Это древнейшие и наиболее интересные объекты ночного неба. Плотность их внушает изумление. Как такое огромное количество звезд сосуществует в ограниченном объеме пространства и эволюционирует во времени, астрономы пытались выяснить в течение всего XX века.

С точки зрения динамики, сферический кластер, включающий в себя множество тел, представляет собой довольно важный предмет исследования. Когда речь идет о паре объектов, особых сложностей не возникает - Ньютон полностью разрешил эту проблему: каждое из пары тел, например Земля и Луна, описывает идеальный эллипс вокруг общего центра тяжести системы. Но добавьте хотя бы еще один обладающий тяготением объект, и все изменится. Задача, в которой фигурируют три тела, уже более чем трудна. Как показал Пуанкаре, в большинстве случаев она неразрешима. Можно просчитать орбиты для некоторого временного интервала, а с помощью мощных вычислительных машин удается проследить их в течение более длительного периода, пока не возникнут помехи, однако уравнения аналитически не решаются, т. е. долгосрочный прогноз поведения системы из трех тел выполнить невозможно. Устойчива ли Солнечная система? Конечно, ей присуще подобное свойство, но даже сегодня никто не уверен в том, что орбиты некоторых планет не изменятся до неузнаваемости, заставив небесные тела навсегда покинуть Солнце.

Система вроде сферического кластера слишком запутанна, чтобы подходить к ней столь прямолинейно, как к вопросу о трех телах. Однако динамику кластера можно изучить, прибегнув к некоторым хитростям. Вполне допустимо, в частности, рассматривать единичные звезды, путешествующие в пространстве, в некотором усредненном гравитационном поле с определенным центром тяготения. Время от времени две звезды подойдут друг к другу достаточно близко, и в таком случае каждое из взаимодействующих тел следует рассматривать уже по отдельности. Астрономы поняли, что сферические кластеры вообще не должны являться устойчивыми: внутри них обычно образуются так называемые бинарные звездные системы, в которых звезды парами перемещаются по небольшим компактным орбитам. Когда с подобной системой сталкивается третья звезда, одна из трех, как правило, получает резкий толчок. Со временем энергия, полученная ею благодаря такому взаимодействию, достигнет уровня, достаточного для того, чтобы звезда набрала скорость, позволяющую вырваться из кластера. Таким образом одно из тел покидает систему, а пространство кластера после этого слегка сжимается. Когда Энон выбрал кластер темой своей докторской диссертации, он произвольно предположил, что сферическое звездное скопление, изменив свой масштаб, останется внутренне подобным. Произведя расчеты, ученый получил потрясающий результат: ядро кластера «сплющится», приобретая кинетическую энергию и стремясь к бесконечно плотному состоянию. Подобное трудно было вообразить. Да и данные исследования кластеров, полученные к тому времени, не подтверждали этот вывод. Однако теория Энона, впоследствии названная гравитационно-термальным коллапсом, постепенно овладевала умами ученых.

Ободренный результатом и готовый к неожиданностям, весьма вероятным в научной работе, астроном занялся более легкими вопросами динамики звезд. Он попытался применить математический подход к давно известным задачам. Посетив в 1962 г. Принстонский университет, Энон впервые получил доступ к компьютеру и, подобно Лоренцу в Массачусетском технологическом институте, начал моделировать орбиты звезд вокруг их центров тяжести. В рамках разумного упрощения галактические орбиты можно рассматривать как орбиты планет, но с одним лишь исключением: центром гравитации здесь является не точка, а трехмерный диск.

Энон пошел на компромисс. «Для большей свободы исследований, - говорил он, - забудем на мгновение, что проблема взята из астрономии». Хотя ученый не упомянул об этом, «свобода исследования» частично означала возможность использования компьютера. Объем памяти его вычислительной машины, весьма тугодумной, был в тысячу раз меньше, чем у персональных компьютеров, появившихся двадцать пять лет спустя. Но, как и другие специалисты, позднее работавшие над проблемами хаоса, Энон полагал, что упрощенный подход себя полностью оправдает. Концентрируясь лишь на самой сути своей системы, он сделал открытия, которые можно было применить и к другим, более сложным системам. Спустя несколько лет расчет галактических орбит все еще считался «забавой теоретиков», тем не менее динамика звездных систем превратилась в объект скрупулезных и дорогостоящих исследований. К ней обратились в основном те, кого интересовали орбиты частиц в ускорителях и стабилизация плазмы в магнитном поле.

За период около 200 миллионов лет звездные орбиты в галактиках обретают три измерения, уже не образуя эллипсов совершенной формы. Реально существующие трехмерные орбиты наглядно представить так же непросто, как и воображаемые конструкции в фазовом пространстве. Это побудило Энона прибегнуть к приему, сравнимому с составлением схем Пуанкаре: ученый вообразил, что на одном конце галактики вертикально расположили плоский лист таким образом, чтобы каждая орбита, подобно лошади, минующей на скачках финишную черту, проходила сквозь него. Энон отмечал точку, в которой орбита пересекала плоскость, и прослеживал движение точки от одной орбиты к другой.

Энон отмечал точки вручную, но многие специалисты, применявшие подобную технику, уже работали с компьютером, наблюдая, как точки вспыхивают на экране, словно фонари, зажигающиеся один за другим с наступлением сумерек. Типичная орбита начиналась с точки в левом нижнем углу изображения, затем, при следующем обороте, точка на несколько дюймов смещалась вправо, новый оборот слегка отклонял ее вправо и вверх и т. д. Поначалу распознать какую-либо форму в этой россыпи было трудно, однако когда количество точек переваливало за 10–12, начинала вырисовываться кривая, напоминающая своими контурами очертания яйца. Последовательно появляющиеся точки фактически образовывали вокруг кривой окружность, но, поскольку они не появлялись на том же самом месте, со временем, когда количество их возрастало до сотни или тысячи, кривая очерчивалась четко.

Описанные орбиты нельзя назвать полностью регулярными, так как они никогда с точностью не повторяются. Однако не будет ошибкой считать их предсказуемыми и далекими от хаотичных, ибо точки никогда не возникают внутри кривой или вне ее. Вернувшись к развернутому трехмерному изображению, можно отметить, что кривые рисуют контур тороида, или бублика, а схема Энона - его поперечное сечение. До поры до времени ученый лишь наглядно изображал то, что его предшественники считали уже доказанным, - периодичность орбит. В обсерватории Копенгагена почти двадцать лет, с 1910 по 1930 г., астрономы тщательно наблюдали и просчитывали сотни орбит, однако их интересовали лишь периодичные. «Я, как и другие в то время, был убежден, что все орбиты должны характеризоваться регулярностью», - вспоминал Энон. Однако, вместе со своим студентом-дипломником Карлом Хейльсом, он продолжал рассчитывать многочисленные орбиты, неуклонно увеличивая энергетический уровень своей абстрактной системы. И вскоре ему открылось нечто совершенно новое.

Сначала яйцеобразная кривая стала изгибаться, принимая более сложные очертания и образуя восьмерку. Затем она разбилась на несколько отдельных форм, напоминавших петлю (каждая орбита изгибалась петлей). Далее, на более высоких уровнях энергии, произошла еще одна внезапная метаморфоза. «Настала пора удивляться», - писали исследователи. Некоторые из орбит обнаружили такую нестабильность, что точки беспорядочно «скакали» по всему листу бумаги. В отдельных местах еще просматривались кривые, а кое-где точки уже не складывались в линии. Изображение впечатляло: очевидный законченный беспорядок, в котором ясно проглядывали остатки стабильности. Все вместе рисовало контуры, наводившие астрономов на мысли о неких «островках» или «гряде островов». Они пытались работать на двух разных компьютерах, пробовали иные методы интегрирования, но результаты упрямо не изменялись, и ученым оставалось только изучать и размышлять.

Рис. 5.5. Орбиты вокруг центра галактики. Пытаясь осмыслить траектории, описываемые звездами в пространстве галактики, М. Энон рассматривал пересечения орбит с плоскостью. Получавшиеся в итоге образы зависели от общего количества энергии в системе. Точки стабильной орбиты постепенно формировали непрерывную кривую, а на других уровнях энергии обнаруживалась сложная структура - смесь хаоса и упорядоченности, представленная зонами разброса точек.

Основываясь на собственных числовых данных, Энон и Хейльс предположили наличие глубокой структуры в полученных изображениях. Они выдвинули гипотезу, что при сильном увеличении появится все больше и больше мелких островков и, возможно, так будет продолжаться до бесконечности. Ощущалась острая необходимость в математическом доказательстве. «Однако рассмотрение вопроса с точки зрения математики казалось не таким уж легким».

Энон обратился к другим вопросам, однако четырнадцать лет спустя, узнав о странных аттракторах Давида Руэлля и Эдварда Лоренца, астроном заинтересовался ими. В 1976 г. он уже работал в обсерватории Ниццы, расположенной высоко над уровнем Средиземного моря, на Большом Карнизе, и там услышал рассказ заезжего физика об аттракторе Лоренца. Гость, по его словам, пытался с помощью различных уловок прояснить изящную «микроструктуру» аттрактора, не добившись, впрочем, ощутимого успеха. Энон решил, что займется этим, хотя диссипативные системы и не входили в сферу его интересов («иногда астрономы относятся к ним с опаской - уж слишком они беспорядочны»).

Ему показалось разумным сконцентрироваться только на геометрической сущности объекта исследования, абстрагируясь от его физического происхождения. Там, где Лоренц и другие ученые применяли дифференциальные уравнения, описывающие непрерывные изменения в пространстве и времени, Энон использовал разностные, которые можно было рассматривать во времени раздельно. По его глубокому убеждению, ключом к разгадке являлись повторяющиеся операции растягивания и свертывания фазового пространства - те самые, что имитируют действия кондитера, который раскатывает тесто для пирожных, складывает его, затем, вновь раскатав, опять складывает, формируя таким образом хрупкую многослойную структуру. Энон, изобразив овал на листе бумаги и решив растянуть его, избрал для этой операции алгоритм, согласно которому каждая точка овала смещалась в новое положение на фигуре, которая аркой поднималась над центром. Выполняемая процедура была похожа на построение карты - точка за точкой овал превращался в «арку». Затем Энон начал вторую операцию - на сей раз сжатие, которое сдвигало внутрь бока арки, делая ее уже. А третье преобразование вернуло узкой фигуре ее прежние размеры, и она точно совпала с первоначальным овалом. Для целей вычисления все три построения могли быть объединены в одной-единственной функции.

По духу преобразования Энона повторяли идею «подковы» Смэйла. Вычисления, которых требовала вся процедура, отличались такой легкостью, что их можно было без труда выполнить на счетной машинке. Каждая точка имеет две координаты: x , обозначающую ее положение на горизонтальной оси, и y , задающую положение на оси вертикальной. Чтобы вычислить новое значение переменной x , необходимо взять предыдущее значение y , прибавить к нему 1 и вычесть предыдущее значение x в квадрате, умноженное на 1,4. Для расчета значения y нужно умножить предыдущее значение x на 0,3. Таким образом, получаем: x новое = y + 1–1,4x ?; y новое = 0,3x . Энон почти наугад выбрал начальное положение и, взяв калькулятор, начал откладывать точки, одну за другой, пока их число не достигло нескольких тысяч. Затем с помощью компьютера ІВМ-7040 он быстро просчитал координаты пяти миллионов точек. Подобная операция доступна любому, поскольку здесь требуется лишь персональный компьютер с графическим дисплеем.

Сначала казалось, что точки беспорядочно «прыгают» по экрану, производя такой же эффект, что и сечение Пуанкаре, которое изображает трехмерный аттрактор, «блуждающий» туда-сюда по поверхности дисплея, но достаточно быстро проглядывает отчетливый контур, искривленный, словно плод банана. Чем дольше выполняется программа, тем больше появляется деталей. Кажется, что части рисунка имеют даже толщину. Однако в дальнейшем последняя распадается на две отчетливые линии, которые, в свою очередь, расходятся на четыре: две идут рядом, а две другие удалены друг от друга. Увеличив изображение, заметим, что каждая из четырех упомянутых линий включает в себя две и так далее, до бесконечности. Как и аттрактор Лоренца, аттрактор Энона обнаруживает бесконечное движение в обратном направлении, словно нескончаемая вереница матрешек, вложенных одна в другую.

Рис. 5.6. Аттрактор Энона. Несложная комбинация складывания и растяжения породила аттрактор, легко просчитываемый, но тем не менее плохо понимаемый математиками. С появлением тысяч и миллионов точек возникает все больше и больше деталей. То, что кажется одной линией, при увеличении оказывается парой. Потом выясняется, что линий уже четыре. И все же невозможно предсказать, останутся ли две последовательно появившиеся точки рядом или расположатся далеко друг от друга.

Скрытая деталь - одни линии внутри других - в своей законченной форме может быть обнаружена в серии изображений, сделанных при все большем и большем увеличении. Однако сверхъестественное воздействие странного аттрактора можно ощутить и по-иному, наблюдая зарождение состоящей из точек формы, возникающей словно призрак из тумана. Появляющиеся точки столь беспорядочно «разбегаются» по поверхности экрана, что присутствие в их множестве какой-либо структуры, не говоря уже о столь запутанной и хрупкой, кажется невероятным. Любые последовательно обнаруживаемые точки находятся произвольно далеко друг от друга, так же как любые две точки в начале турбулентного потока располагаются рядом. Задав любое количество точек, невозможно предугадать, где появится следующая. Можно лишь предположить, что она будет находиться где-то в пределах аттрактора.

Точки с такой степенью случайности «разбредаются» перед глазами, а узор кажется столь эфемерным, что о принадлежности наблюдаемой формы к аттракторам поневоле забываешь. Эти очертания - отнюдь не любая траектория, описываемая динамической системой; по отношению к данной траектории все остальные сходятся в одну точку. Именно поэтому выбор начальных условий не имеет ровно никакого значения. Пока начальная точка лежит вблизи аттрактора, следующие несколько точек будут необычайно быстро сходиться к аттрактору.

Когда в 1974 г. Давид Руэлль приехал к Голлабу и Суинни в их скромную лабораторию, то обнаружилось, что теория и эксперимент у нее связаны весьма слабо. Актив был таков: немного математики, довольно смелой, но сомнительной в техническом отношении; один цилиндр с турбулентной жидкостью, поведение которой не особо примечательно, но явно противоречит общепринятой теории. Ученые провели всю первую половину дня за обсуждением исследований, а потом Суинни и Голлаб вместе с женами уехали в отпуск в Адирондакские горы, где у четы Голлаб был домик. Они не видели странный аттрактор своими глазами и не постигли многое из того, что происходит на пороге турбулентности, но были твердо убеждены, что Ландау ошибся, а Руэлль гораздо ближе подошел к истине.

Странный аттрактор, этот фрагмент мироздания, ставший зримым благодаря компьютеру, начинался как простая вероятность. Он лишь отмечал собой ту сферу, куда не удалось проникнуть богатому воображению многих ученых XX века. Когда вычислительные машины сделали свое дело, специалисты поняли, что полученное изображение, словно лицо давно знакомого человека, мелькало везде: в мелодии турбулентных потоков, за флером подернувших небо облаков. Природа была обуздана. Казалось, беспорядок введен в русло, разложен на узоры, в которых подспудно угадывался общий мотив.

Прошли годы, и признание феномена странных аттракторов подготовило благодатную почву для революции в изучении хаоса, дав тем, кто занимался расчетами, ясную программу исследований. Странные аттракторы стали искать везде, где в явлениях природы ощущалась неупорядоченность. Многие утверждали, что основой погоды на планете Земля служит не что иное, как странный аттрактор. Другие, сведя воедино миллионы цифр из сводок фондовых бирж и обработав их на компьютерах, вглядывались в результаты в надежде обнаружить аттрактор и там.

В середине 70-х годов такие открытия еще принадлежали будущему. Тогда никто не увидел аттрактора в итогах проведенного опыта, а ведущие к нему тропы застилал туман. Странный аттрактор наполнял математическим содержанием неизвестные дотоле основные характеристики хаоса, в частности «сильную зависимость от начальных условий». «Смешение» являлось другим свойством, имеющим смысл, скажем, для конструктора реактивных двигателей, интересующегося оптимальной комбинацией топлива и кислорода, но никто не знал, как измерять такие характеристики, привязывая к ним числа. Странные аттракторы казались фрактальными, т. е. их истинная размерность была дробной. Никто не знал, как измерить ее или как использовать результаты подобных измерений для решения реальных задач инженерии.

Самое же главное - никто не мог сказать, приоткроют ли странные аттракторы завесу тайны над нелинейными системами. Все еще казалось, что, в отличие от систем линейных, легко решаемых и классифицируемых, нелинейные системы не поддаются классификации - не найти двух похожих. Ученые уже подозревали наличие у них общих свойств, но когда дело доходило до замеров и вычислений, каждая нелинейная система оказывалась вещью в себе. Постижение одной из них совершенно ничего не давало для проникновения в другую. Аттрактор Лоренца раскрывал стабильность и скрытую структуру системы, которая при другом подходе казалась совершенно неструктурированной. Но каким образом эта двойная спираль могла помочь специалистам изучать объекты, не имеющие к ней никакого отношения? Никто не знал.

Все равно ученые ликовали. Открыватели новых форм поступались строгостью научного стиля. Руэлль писал: «Я не упомянул об эстетическом воздействии странных аттракторов. Эти клубки кривых и рои точек вызывают порой в воображении пышные фейерверки или загадочные галактики, иногда напоминают причудливо-странное буйство растений. Перед нами огромное царство неоткрытых форм и неведомого совершенства».

СТРАННЫЙ АТТРАКТОР

Притягивающее множество неустойчивых траекторийв фазовом пространстве диссипативной динамической системы. С. а.,в отличие от аттрактора, не является многообразием (т. е. не является кривойили поверхностью); его геом. устройство очень сложно, а его структура фрактальна(см. Фракталы). Поэтому он получил назв. «странный» [Д. Рюэль (D.Ruelle), Ф. Такенс (F. Takens)]. Тот факт, что все траектории, расположенныев окрестности С. а., притягиваются к нему при , принципиально связан с характером неустойчивостей составляющих его траекторий, Бифуркация, Предельный цикл). ТраекторииС. а. описывают стационарные стохастич. автоколебания, поддерживаемыев диссипативной системе за счёт энергии внеш. источника. С. а. характернылишь для автоколебат. систем, размерность фазового пространства к-рых большедвух (рис. 1). Первая исследовавшаяся система со С. а.- Лоренца система- трёхмерна.

Рис. 1. Странный аттрактор в системе, описываемой уравнениями типа(1).

Системы с периодич. автоколебаниями, матем. образом к-рых является предельныйцикл, удаётся исследовать достаточно полно с помощью методов качественнойтеории дифференц. ур-ний. Построение же теории стохастических колебаний, заключающееся, в частности, в определении (предсказании) характеристики свойств С. а. по заданным параметрам системы, чрезвычайно затруднительнодаже для трёхмерных систем. Подобное построение удаётся провести, однако, Пример . Подобно тому, как генератор Ван-дер-Поля является простейшими канонич. примером системы, демонстрирующей периодич. автоколебания, схема, 2а и определяющая несколько усложнённый генераторВан-дер-Поля, может служить одним из простейших примеров генераторов стохастич. б. Пока ток I в контуре и напряжение на сетке . малы, туннельный диод не оказывает существ. влияния на колебания вконтуре, и они, как и в обычном ламповом генераторе, нарастают. При этомчерез туннельный диод течёт ток I , а напряжение на нём определяетсяветвью характеристики I(V). Когда же ток I достигает значения I т, происходит почти мгновенное переключение туннельного диода (быстротапереключения связана с малостью ёмкости С 1) - скачкомустанавливается напряжение V m . Затем ток через туннельныйдиод уменьшается и происходит его обратное переключение с участка на . Врезультате двух переключений туннельный диод почти полностью поглощаетпоступившую в контур энергию и колебания начинают снова нарастать. (Прирассмотрении работы схемы характеристику лампы можно считать линейной;это оправдано тем, что в интересующем нас режиме колебания ограничиваютсянелинейной характеристикой туннельного диода.) Т. о., генерируемый сигнал U(t )представляет собой последовательность цугов нарастающих колебаний;окончание каждого цуга характеризуется скачком напряжения V(t).

Рис. 2. Принципиальная схема (а) простого генератора шума- генератораВан-дер-Поля, в сеточный контур которого добавлен туннельный диод. Вольт-ампернаяхарактеристика (б) нелинейного элемента - туннельного диода.

Для количественного описания работы схемы исходные ур-ния

преобразуют к безразмерному виду:

где x = I/I m , z= V/V m ,

- нормированнаяхарактеристика диода. Здесь - малый параметр Поэтому все движения в фазовом пространстве (рис. 3)

Рис. 3. Поведение траекторий в фазовом пространстве системы (1) при

можно разбить на быстрые переключения диода (прямые х = const, у = const) и медленные, при к-рых напряжение на диоде «следит» затоком; соответствующие траектории лежат на поверхностях А и В[х = f(z ), f"(z) >0 ], отвечающих участкам и характеристикиДиода.

Система имеет одно неустойчивое [при ] состояние равновесия х = у = z = 0 типа седло. Траектории, лежащиена поверхности А, раскручиваются вокруг неустойчивого фокуса и вконце концов достигают края поверхности А. Здесь происходит срывточки, отображающей на фазовой траектории состояние системы (т. н. изображающейточки) по линии быстрых движений на поверхность В. Пройдя по В, изображающая точка срывается обратно на поверхность А и попадаетв окрестность состояния равновесия - начинается новый цуг нарастающих колебаний. Отображение Пуанкаре, соответствующее ур-ниям (1), при кусочно можно описать непрерывной ф-цией, график к-рой приведён на рис.5. Линейный участок I с коэф. угла наклона, большим единицы, описываетраскручивание траектории на поверхности медленных движений А, соответствующейнарастанию колебаний в контуре. Участок II описывает этап возвращения траекторий, А на поверхность В, обратно на А (см. рис. 3). Все траектории, лежащие вне основания обозначенногопунктиром квадрата, входят в него при асимптотически больших значенияхвремени, т. е. область D - поглощающая и содержит аттрактор. Всетраектории внутри этой области неустойчивы, т. е. аттрактор является странным. свойства стохастичности движений (как показывают численные исследования)сохраняются.

Рис. 4. Спектр мощности сигнала, генерируемого схемой, представленнойна рис. 2а, и осциллограмма этого сигнала.

Рис. 5. График функции f(x), описывающей динамику схемы рис. 2 при .

Фрактальная размерность. Все разнообразие статистич. свойств случайногосигнала, порождаемого динамич. системой со С. а., может быть описано, еслиизвестно распределение вероятности состояний системы. Однако получить (ииспользовать) это распределение для конкретных систем со С. а., чрезвычайносложно (хотя бы потому, что плотность распределения инвариантной вероятностноймеры всегда сингулярна). Это одна из причин, по к-рой для описания С. а.

где , нек-рый фиксированный параметр,- число n -мерных шаров диаметра ,покрывающих С. а. динамич. системы с n -мерным фазовым пространством.

Определённая согласно ур-нию (2) размерность с не может, очевидно, n, но может быть меньше п (n -мерные шарымогут оказаться почти пустыми). Для «обычных» множеств ур-ние (2) даёточевидные результаты. Так, для множества из k точек ,; дляотрезка длины L прямой лилии ,;для куска площади S двумерной поверхности ,и т. д. Неравенство размерности целому числу соответствует сложному геом. 2,6).

С физ. точки зрения, осн. «достоинство» фрактальной размерности С. а. и числом степеней свободы га имеет вид:

Бифуркации странных аттракторов. Пути рождения стохастич. Сценарий Фейгенбаума - цепочка бифуркаций удвоения периода устойчивогопредельного цикла. Если при изменении управляющего параметра периодич. n -мерном фазовом пространствеповедение траекторий отображения Пуанкаре в окрестности претерпевающегобифуркацию удвоения периода предельного цикла определяется ф-цией, напр.,f(x), график к-рой похож на параболу. Эта ф-ция описывает связьмежду координатами в направлении собств. подпространства оператора линеаризацииотображения Пуанкаре, отвечающего мультипликатору (-1) (j + 1)-гои j-го пересечений траекторией системы секущей Пуанкаре: x j+1 = f(x j). Возникшему устойчивому предельному циклуудвоенного периода отвечает двупериодич. траектория отображения f .При дальнейшем изменении параметра бифуркации удвоения периода бесконечноповторяются, а бифуркац. значения, напр.,накапливаются к критич. точке , отвечающей возникновению С. а. В соответствии со сценарием Фейгенбаумаимеет место универсальный (не зависящий от конкретной системы) закон

где = 4,6692... - универсальная константа Фейгенбаума (см. Фейгенбаума универсальность).

Родившемуся С. а. при фиксированном отвечает неск. интервалов на оси х; участки между этими интерваламисодержат притягивающиеся к аттрактору траектории, а также 2 m -периодические(относительно отображения f ), неустойчивые предельные циклы, начинаяс нек-рого m 0 и меньше. При увеличении параметра скорость разбегания траекторий на С. а. увеличивается, и он «разбухает»,последовательно поглощая неустойчивые предельные циклы периодов 2 т+1 ,2 т , ... При этом число отрезков, отвечающих аттрактору,

Рис. 6. «Обратные бифуркации» удвоения периода, иллюстрирующие разбуханиеаттрактора, возникшего по сценарию Фейгенбаума.

Перемежаемость. Во мн. системах при прохождении управляющего параметра(скажем,)через бифуркац. значение переход к стохастич. автоколебаниям внешне осуществляется как редкое нарушениерегулярных колебаний «стохастич. всплесками». При этом длительность ламинарной(регулярной) фазы тем больше, чем меньше надкритичность С ростом же надкритичности длительность регулярной фазы сокращается. Этакартина интерпретируется следующей эволюцией осн. объектов в фазовом пространстве, они «замечают», что старый аттрактор исчез, и, оставаясь рядом с сепаратрисой(также исчезнувшей) седлового предельного цикла, уходят в др. часть фазовогопространства. Если в докритич. области система была глобально устойчива(т. е. существовал только один притягивающий объект), то эти траекториичерез нек-рое время вновь попадают в окрестность исчезнувшего предельногоцикла. Если при этом в докритич. области значений параметров сепаратрисаседлового цикла была вложена в фазовое пространство достаточно сложнымгеом. образом (образовывала бесконечное число складок - «гофрировалась»,содержала гетероклинич. траектории др. седловых циклов и т. п.), то естьпереходный процесс демонстрировал нерегулярное поведение, то время попаданияв окрестность исчезнувшего цикла уже будет являться случайной величиной. Далее повторяется ламинарная фаза, Кроме этих основных способов возникновения С. а. достаточно часто встречаютсятакже переходы к хаотич. автоколебаниям через разрушение квазипериодических(в фазовом пространстве при изменении управляющих параметров теряет гладкостьи разрушается притягивающий двумерный тор) и комбинированные сценарии .

Многомерные странные аттракторы часто обнаруживаются всистемах с большим числом степеней свободы. Среди возможных механизмов, Турбулентность).

Лит.: 1) Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Введение в теориюколебаний и волн, М., 1984; 2) Лихтенберг А., Либерман М., Регулярная истохастическая динамика, пер. с англ., М., 1984; 3) Афраймович В. С., РейманА. М., Размерность и энтропия в многомерных системах, в кн.: Нелинейныеволны. Динамика и эволюция, под ред. А. В. Гапонова-Грехова, М. И. Рабиновича, В. С. Афраймович, М.

• - странствующий, находящийся в чужой стране...

  Краткий церковнославянский словарь

• - см. Синергетика...

  Большая психологическая энциклопедия

• - стра́нный ст.-слав. страньнъ ξένος . От предыдущего...

  Этимологический словарь Фасмера

• - Заимствование из старославянского, где образовано от страна, имевшего в древнерусском языке значение "чужая страна, чужой народ"...

  Этимологический словарь русского языка Крылова

• - A/C пр см. _Приложение II стра́нен странна́ стра́нно стра́нны странне́е́ 259 см. _Приложение II - Зачем же так неблагосклонно Вы отзываетесь о нем? За то ль, что мы неугомонно Хлопочем, судим обо всем <...>...

  Словарь ударений русского языка

• - кр.ф. стра/нен, странна/, стра/нно, стра/нны...

  Орфографический словарь русского языка

• - СТРА́ННЫЙ, -ая, -ое; -анен, -анна, -анно. Необычный, непонятный, вызывающий недоумение. С. характер. С. вид. Мне странно его поведение. Странно, что он не звонит...

  Толковый словарь Ожегова

• - СТРА́ННЫЙ, странная, странное; странен, странна, странно. 1. Необычный, трудно объяснимый, вызывающий недоумение. Странная манера говорить. Странные взгляды. «Были странны безмолвные встречи...

  Толковый словарь Ушакова

• Толковый словарь Ефремовой

• - стра́нный I прил. Необычный, вызывающий недоумение. II прил. устар. Находящийся в пути; странствующий, странний...

  Толковый словарь Ефремовой

• - стра́нный прил., употр. очень часто Морфология: стра́нен, странна́, стра́нно, стра́нны; стра́ннее; нар. стра́нно 1...

  Толковый словарь Дмитриева

• - стр"анный; кратк. форма -"анен, -анн"а, -"...

  Русский орфографический словарь

• - Заимств. из ст.-сл. яз. Суф. производное от страна в значении «чужая страна, народ», в др.-рус. яз. это значение еще известно. Первоначально - «чуже», «чужой», затем - «необыкновенный, непостижимый, »...

  Этимологический словарь русского языка

• - @font-face {font-family: "ChurchArial"; src: url;} span {font-size:17px;font-weight:normal !important; font-family: "ChurchArial",Arial,Serif;}  прил. - странствующий, странник; посторонний, чужой; удивительный...

  Словарь церковнославянского языка

• - ...

  Формы слова

• - точка...

  Словарь синонимов

"СТРАННЫЙ АТТРАКТОР" в книгах

Странный вкус

автора

Странный вкус

Из книги Маленькие труженики гор [Муравьи] автора Мариковский Павел Иустинович

Странный вкус Но попробовать ли содержать гнездо желтых лазиусов в неволе? Поздней осенью я вешаю возле нескольких гнезд на кусты кусочки ваты. А когда приходит зима, мы отправляемся на лыжах за обитателями подземных жилищ.Быстро отгребаем в сторону снег, раскапываем

Странный заповедник

Из книги Мои путешествия. Следующие 10 лет автора Конюхов Фёдор Филиппович

Странный заповедник 24 апреля 2002 года. Ацан-Худук (Калмыкия, Яшкульский район) – Тройник (Калмыкия, Яшкульский район) – 31 кмКараван на территории заповедника «Черные земли». Он охватывает три региона России – Республику Калмыкию, Астраханскую область и Республику

СТРАННЫЙ ДОМ

Из книги Рыжий дьявол автора Дёмин Михаил

СТРАННЫЙ ДОМ Оставшись один, я разложил на столе бумаги. Присел, закурил. И задумался.Я перебрал в памяти события дня, пытался разобраться в них. И вдруг, непонятно почему, передо мною возникло видение детства. Я не звал это воспоминание, оно пришло само… Наша память - как

Странный сон

Из книги Генерал Дима. Карьера. Тюрьма. Любовь автора Якубовская Ирина Павловна

Странный сон …Этот сон я не забуду никогда. Он приснился мне 13 марта, с четверга на пятницу. Будто бы Дима был на даче, а я одна находилась дома. Мне вдруг захотелось сделать ему сюрприз - обрадовать своим неожиданным приездом. Подъезжая к даче, я увидела ярко освещенные

СТРАННЫЙ МИР

Из книги Таков мой век автора Шаховская Зинаида Алексеевна

СТРАННЫЙ МИР Господа, представление окончено. Добродетель, простите, порок наказан, а добродетель… Но где же

ОБЪЕКТ КАК СТРАННЫЙ АТТРАКТОР

Из книги Прозрачность зла автора Бодрийар Жан

ОБЪЕКТ КАК СТРАННЫЙ АТТРАКТОР В конечном итоге образы всего того, что нам чуждо, воплощаются в единственном образе - в образе Объекта. Неумолимость и ирредентизм объекта - единственное, что остается.Даже на горизонте науки Объект предстает как все более неуловимый,

Что такое «Великий Аттрактор»?

Из книги 100 великих загадок астрономии автора Волков Александр Викторович

Что такое «Великий Аттрактор»? Вплоть до начала ХХ века нашу Галактику считали уникальным объектом. Сегодня мы знаем, что в доступной нашему наблюдению части Вселенной насчитывается, пожалуй, не менее 125 миллиардов галактик. В каждой из них – миллиарды или триллионы

Великий Аттрактор, или сверхпритяжение

Из книги 100 великих тайн Вселенной автора Бернацкий Анатолий

Великий Аттрактор, или сверхпритяжение В начале последнего десятилетия минувшего столетия астрономы установили, что галактики разлетаются в космическом пространстве не поодиночке, а огромными скоплениями, как стаи птиц во время перелетов. Так, Млечный Путь вместе с

«Странный» дар

Из книги Простодушное чтение автора Костырко Сергей Павлович

«Странный» дар Сергей Довлатов. «Речь без повода… или Колонки редактора». М.: Махаон, 2006. При всей очевидности литературного дара Сергея Довлатова дар этот странный. Критик Елисеев для разбора одного из его рассказов вынужден был привлечь контекст ни больше ни меньше

СТРАННЫЙ ПЁС

Из книги Неугомонный Носир автора Ортыков Болта

СТРАННЫЙ ПЁС Наш кишлак Чинор лежит у подножия высоких гор. «Чинор» по-таджикски значит «чинара». Кишлак назвали так, наверно, потому, что в самом его центре, рядом с правлением колхоза, растёт высокая густая чинара. Её видно далеко-далеко! В тени чинары - чайхана и

Похмельный аттрактор

Из книги Критика нечистого разума автора Силаев Александр Юрьевич

Похмельный аттрактор Интересен процесс возвращения в себя с бодуна: первой восстанавливается функция мышления-принятия решения, потом письма, и лишь потом чтения (писать уже нормально, а читать в лом). Но это у меня лично. Это чего-то значит, или так?И банальное: если уж

1. Странный мир

Из книги Фолкнер - Очерк творчества автора Анастасьев Николай Аркадьевич

1. Странный мир Открывая едва ли не любой из фолкнеровских романов, сразу ощущаешь, что попал в страну обширную, значительную, богатую, в страну, живущую предельно напряженной жизнью, страну, проблемы которой значение имеют - исключительное.Но расшифровать законы этого

«Странный я, странный»

Из книги Живое предание XX века. О святых и подвижниках нашего времени автора Никифорова Александра Юрьевна

«Странный я, странный» Зураб Варази: За несколько дней до кончины отца Гавриила я принял решение взять у него кровь для анализов. Когда я попросил его об этом, батюшка ответил: «Зачем тебе кровь?» Я объяснил, что необходимо проверить гемоглобин, функцию печени и т. д. «Не

Странный

Из книги Дочь генерала автора Петров Александр Петрович

Странный Старушка Харина захватила Наташу в плен. Так она сама объявила. Наташа помогала няне по хозяйству и выслушивала старушку, которая никак не могла наговориться «напоследок». Сергей что-то где-то прибил, выправил и направился в храм.Только прикрыл за собой калитку,