Выборка из генеральной совокупности. Генеральная и выборочная совокупности

Совокупность однородных объектов часто исследуют относительно какого-либо признака, характеризующего их, измеренного количественно либо качественно.

К примеру, если имеется партия деталей, то количественным признаком может быть размер детали по ГОСТу, а качественным - стандартность детали.

В случае необходимости их проверки на соответствие стандартам иногда прибегают к сплошному обследованию, но на практике это применяется крайне редко. К примеру, если генеральная совокупность содержит огромное количество изучаемых объектов, то практически невозможно проводить сплошное обследование. В таком случае из всей совокупности отбирают определенное число объектов (элементов) и их исследуют. Таким образом, имеется генеральная и выборочная совокупность.

Генеральной называют совокупность всех объектов, которые подвергаются обследованию или изучению. Генеральная совокупность, как правило, содержит в себе конечное число элементов, но если оно слишком велико, то с целью упрощения математических вычислений допускается, что вся совокупность состоит из бесчисленного числа объектов.

Выборкой или выборочной совокупностью называется часть отобранных элементов из всей совокупности. Выборка может быть повторной либо бесповторной. В первом случае её возвращают в генеральную совокупность, во втором - нет. В практической деятельности чаще используют бесповторный случайный отбор.

Генеральная совокупность и выборка должны быть связаны между собой репрезентативностью. Говоря по другому, для того, чтобы по характеристикам выборочной совокупности можно было уверенно определять признаки всей совокупности, надо, чтобы элементы выборки максимально точно их представляли. Иными словами, выборка должна быть представительной (репрезентативной).

Выборка будет более или менее репрезентативной, если она производится случайно из очень большого числа всей совокупности. Это можно утверждать на основе так называемого закона больших чисел. При этом все элементы имеют равную вероятность попасть в выборку.

Имеются различные варианты отбора. Все эти способы в принципе можно разделить на два варианта:

• Вариант 1. Отбираются элементы, когда генеральная совокупность не делится на части. К этому варианту можно отнести простой случайный повторный и бесповторный отборы.
• Вариант 2. Генеральная совокупность разделяется на части и производится отбор элементов. Сюда можно отнести типический, механический и серийный отборы.

Простой случайный - отбор, при котором элементы извлекаются по одному из всей совокупности случайным образом.

Типический - это отбор, при котором элементы отбираются не из всей совокупности, а из всех её «типических» частей.

Механический - это такой отбор, когда всю совокупность разделяют на количество групп, равное числу элементов, которое должно быть в выборке, и, соответственно, из каждой группы выбирается один элемент. К примеру, если надо отобрать 25% деталей, изготовленных станком, то выбирают каждую четвёртую деталь, а если требуется отобрать 4% деталей, то выбирают каждую двадцать пятую деталь и так далее. При этом необходимо сказать, что иногда механический отбор может не обеспечивать достаточной

Серийный - это такой отбор, при котором элементы отбирают из всей совокупности «сериями», подвергаемыми сплошному исследованию, а не по одному. К примеру, когда детали изготавливаются большим числом станков-автоматов, то сплошное обследование проводится только в отношении продукции нескольких станков. Серийный отбор используют, если исследуемый признак имеет незначительную вариативность в разных сериях.

С целью уменьшения погрешности применяют оценки генеральной совокупности с помощью выборочной. Причем выборочный контроль может быть как одноступенчатым, так и многоступенчатым, что повышает надежность обследования.

В математической статистике выделяют два фундаментальных понятия: генеральная совокупность и выборка.
Совокупностью - называется практически счетное множество некоторых объектов или элементов, интересующих исследователя;
Свойством совокупности называется реальное или воображаемое качество, присущее некоторым всем ее элементам. Свойство может быть случайным или неслучайным.
Параметром совокупности называется свойство, которое можно квантифицировать в виде константы или переменной величины.
Простая совокупность характеризуется:
отдельным свойством (например: все студенты России);
отдельным параметром в виде константы или переменной (Все студенты женского пола);
системой непересекающихся (несовместных) свойств, к примеру: Все учителя и ученики школ г. Владивостока.
Сложная совокупность характеризуется:
системой, хотя бы частично пересекающихся свойств (Студенты психологического и математических факультетов ДВГУ, окончивших школу с золотой медалью);
системой параметров независимых и зависимых в совокупности; при комплексном исследовании личности.
Гомогенной или однородной называется совокупность, все характеристики которой присущи каждому ее элементу;
Гетерогенной или неоднородной называется совокупность, характеристики которой сосредоточены в отдельных подмножествах элементов.
Важным параметром является объем совокупности - количество образующих ее элементов. Величина объема зависит от того, как определена сама совокупность, и какие вопросы нас конкретно интересуют. Допустим нас интересует эмоциональное состояние студента 1-го курса в период сдачи конкретного экзамена в сессию. Тогда генеральная совокупность исчерпывается в течении получаса. Если нас интересует эмоциональное состояние всех студентов 1-го курса, то совокупность будет гораздо больше, и еще больше, если взять эмоциональное состояние всех студентов 1-го курса данного вуза и т.д. Понятно, что совокупности большого объема можно исследовать только выборочным путем.
Выборкой называется некоторая часть генеральной совокупности, то, что непосредственно изучается.
Выборки классифицируются по репрезентативности, объему, способу отбора и схеме испытаний.
Репрезентативная - выборка адекватно отображающая генеральную совокупность в качественном и количественном отношениях. Выборка должна адекватно отображать генеральную совокупность, иначе результаты не совпадут с целями исследования.
Репрезентативность зависит от объема, чем больше объем, тем выборка репрезентативней. По способу отбора.
Случайная - если элементы отбираются случайным образом. Так как большинство методов математической статистики основывается на понятии случайной выборки, то естественно выборка должна быть случайной.
Неслучайная выборка:
механический отбор, когда вся совокупность делится на столько частей, сколько единиц планируется в выборке и затем из каждой части отбирается один элемент;
типический отбор - совокупность делится на гомогенные части, и из каждой осуществляется случайная выборка;
серийный отбор - совокупность делят на большое число разновеликих серий, затем делают выборку одной какой-либо серии;
комбинированный отбор - сочетаются рассматриваемые виды отбора, на разных этапах.
По схеме испытаний - выборки могут быть независимые и зависимые. По объему выборки делят на малые и большие. К малым относят выборки, в которых число элементов n 200 и средняя выборка удовлетворяет условию 30Малые выборки используются при статистическом контроле известных свойств уже изученных совокупностей.
Большие выборки используются для установки неизвестных свойств и параметров совокупности.

Еще по теме 1.3. Генеральная совокупность и выборка:

1. 7.2 Характеристики выборочной и генеральной совокупности
2. 1.6. Точечная и интервальная оценки коэффициентов корреляции нормально распределенной генеральной совокупности

Генеральная совокупность – множество тех людей, сведения о которых стремится получить социолог в своем исследовании. В зависимости от того, насколько широкой будет тема исследования, настолько же широка будет генеральная совокупность.

Выборочная совокупность – уменьшенная модель генеральной совокупности; те, кому социолог раздает анкеты, кого называют респондентами, кто, наконец, представляет собой объект социологического исследования.

Кого именно относить к генеральной совокупности, определяют цели исследования, а кого включать в выборочную совокупность решают математические методы. Если социолог намеревается взглянуть на афганскую войну глазами ее участников, в генеральную совокупность войдут все воины-афганцы, но опрашивать ему придется небольшую часть – выборочную совокупность. Для того чтобы выборка точно отражала генеральную совокупность, социолог придерживается правила: любой воин-афганец, независимо от места жительства, места работы, состояния здоровья и других обстоятельств, должен иметь одинаковую вероятность попасть в выборочную совокупность.

Как только социолог определился с тем, кого он хочет опросить, он определил основу выборки . После чего решается вопрос о типе выборки.

Выборки делятся на три больших класса:

а) сплошные (переписи, референдумы). Опрашиваются все единицы из генеральной совокупности;

б) случайные ;

в) неслучайные.

Случайный и неслучайный типы выборки в свою очередь подразделяются на несколько видов.

К случайным относят:

1) вероятностную;

2) систематическую;

3) районированную (стратифицированную);

4) гнездовую.

К неслучайным относят:

1) «стихийную»;

2) квотную;

3) метод «основного массива».

Полный и точный перечень единиц выборочной совокупности образует основу выборки . Элементы, предназначенные для отбора, называются единицами отбора . Единицы отбора могут совпадать с единицами наблюдения, поскольку единицей наблюдения считается элемент генеральной совокупности, с которого непосредственно ведется сбор информации. Обычно единица наблюдения – это отдельный человек. Отбор из списка лучше всего производить, нумеруя единицы и используя таблицу случайных чисел, хотя часто используется квази-случайный метод, когда из перечня простого берется каждый n-й элемент.

Если основа выборки включает список единиц отбора, то структура выборки подразумевает их группирование по каким-то важным признакам, например, распределение индивидов по профессии, квалификации, полу или возрасту. Если в генеральной совокупности, к примеру, 30% молодежи, 50% людей среднего возраста и 20% пожилых, то и в выборочной совокупности должны соблюдаться те же самые процентные пропорции трех возрастов. К возрастам могут добавиться классы, пол, национальность и т.д. Для каждой устанавливаются процентные пропорции в генеральной и выборочной совокупности. Таким образом, структура выборки – процентные пропорции признаков объекта, на основании которых составляется выборочная совокупность.

Если тип выборки говорит о том, как попадают люди в выборочную совокупность, то объем выборки сообщает о том, какое их количество попало сюда.

Объем выборки – количество единиц выборочной совокупности. Поскольку выборочная совокупность – это часть генеральной совокупности, отобранной с помощью специальных методов, ее объем всегда меньше объема генеральной. Поэтому так важно, чтобы часть не искажала представления о целом, то есть репрезентировала его.

На достоверность данных влияют не количественные характеристики выборочной совокупности (ее объем), а качественные характеристики генеральной совокупности – степень ее однородности. Расхождение между генеральной и выборочной совокупностью называется ошибкой репрезентативности , допустимое отклонение – 5%.

Вот некоторые способы избежать ошибки:

каждая единица генеральной совокупности должна иметь равную вероятность попасть в выборку;

отбор желательно производить из однородных совокупностей;

надо знать характеристики генеральной совокупности;

при составлении выборочной совокупности надо учитывать случайные и систематические ошибки.

Если выборочная совокупность (выборка) составлена правильно, то социолог получает надежные результаты, характеризующие всю генеральную совокупность.

Каковы же основные методы выборки ?

Метод механической выборки , когда из общего списка генеральной совокупности через равные промежутки отбирается необходимое число респондентов (например, каждый 10-й).

Метод серийной выборки . При этом генеральная совокупность разбивается на однородные части и из каждой пропорционально отбираются единицы анализа (например, по 20% мужчин и женщин на предприятии).

Метод гнездовой выборки . В качестве единиц отбора выступают не отдельные респонденты, а группы с последующим сплошным исследованием в них. Данная выборка будет представительна, если состав групп схож (например, по одной группе студентов из каждого потока какого-нибудь факультета вуза).

Метод основного массива – опрос 60–70% генеральной совокупности.

Метод квотной выборки . Наиболее сложный метод, требующий определения не менее четырёх признаков, по которым проводится отбор респондентов. Применяется обычно при большой генеральной совокупности.

Генеральная совокупность (в англ. - population ) - совокупность всех объектов (единиц), относительно которых учёный намерен делать выводы при изучении конкретной проблемы.

Генеральная совокупность состоит из всех объектов, которые подлежат изучению. Состав генеральной совокупности зависит от целей исследования. Иногда генеральная совокупность - это все население определённого региона (например, когда изучается отношение потенциальных избирателей к кандидату), чаще всего задаётся несколько критериев, определяющих объект исследования. Например, мужчины 30-50 лет, использующие бритву определённой марки не реже раза в неделю, и имеющие доход не ниже $100 на одного члена семьи.

Выборка или выборочная совокупность - множество случаев (испытуемых, объектов, событий, образцов), с помощью определённой процедуры выбранных из генеральной совокупности для участия в исследовании.

Характеристики выборки:

· Качественная характеристика выборки – кого именно мы выбираем и какие способы построения выборки мы для этого используем.

· Количественная характеристика выборки – сколько случаев выбираем, другими словами объём выборки.

Необходимость выборки

· Объект исследования очень обширный. Например, потребители продукции глобальной компании – огромное количество территориально разбросанных рынков.

· Существует необходимость в сборе первичной информации.

Объём выборки

Объём выборки - число случаев, включённых в выборочную совокупность. Из статистических соображений рекомендуется, чтобы число случаев составляло не менее 30 – 35.

Зависимые и независимые выборки

При сравнении двух (и более) выборок важным параметром является их зависимость. Если можно установить гомоморфную пару (то есть, когда одному случаю из выборки X соответствует один и только один случай из выборки Y и наоборот) для каждого случая в двух выборках (и это основание взаимосвязи является важным для измеряемого на выборках признака), такие выборки называются зависимыми . Примеры зависимых выборок:

· пары близнецов,

· два измерения какого-либо признака до и после экспериментального воздействия,

· мужья и жёны

· и т. п.

В случае, если такая взаимосвязь между выборками отсутствует, то эти выборки считаются независимыми , например:

· мужчины и женщины,

· психологи и математики.

Соответственно, зависимые выборки всегда имеют одинаковый объём, а объём независимых может отличаться.

Сравнение выборок производится с помощью различных статистических критериев:

· t-критерий Стьюдента

· Критерий Уилкоксона

· U-критерий Манна-Уитни

· Критерий знаков

· и др.

Репрезентативность

Выборка может рассматриваться в качестве репрезентативной или нерепрезентативной.

Пример нерепрезентативной выборки

В США одним из наиболее известных исторических примеров нерепрезентативной выборки считается случай, происшедший во время президентских выборов в 1936 году . Журнал «Литрери Дайджест», успешно прогнозировавший события нескольких предшествующих выборов, ошибся в своих предсказаниях, разослав десять миллионов пробных бюллетеней своим подписчикам, а также людям, выбранным по телефонным книгам всей страны и людям из регистрационных списков автомобилей. В 25 % вернувшихся бюллетеней (почти 2,5 миллиона) голоса были распределены следующим образом:

· 57 % отдавали предпочтение кандидату-республиканцу Альфу Лэндону

· 40 % выбрали действующего в то время президента-демократа Франклина Рузвельта

На действительных же выборах, как известно, победил Рузвельт, набрав более 60 % голосов. Ошибка «Литрери Дайджест» заключалась в следующем: желая увеличить репрезентативность выборки, - так как им было известно, что большинство их подписчиков считают себя республиканцами, - они расширили выборку за счёт людей, выбранных из телефонных книг и регистрационных списков. Однако они не учли современных им реалий и в действительности набрали ещё больше республиканцев: во время Великой депрессии обладать телефонами и автомобилями могли себе позволить в основном представители среднего и высшего класса (то есть большинство республиканцев, а не демократов).

Виды плана построения групп из выборок

Выделяют несколько основных видов плана построения групп :

1. Исследование с экспериментальной и контрольной группами, которые ставятся в разные условия.

2. Исследование с экспериментальной и контрольной группами с привлечением стратегии попарного отбора

3. Исследование с использованием только одной группы - экспериментальной.

4. Исследование с использованием смешанного (факторного) плана - все группы ставятся в разные условия.

Типы выборки

Выборки делятся на два типа:

· вероятностные

· невероятностные

Вероятностные выборки

1. Простая вероятностная выборка:

o Простая повторная выборка. Использование такой выборки основывается на предположении, что каждый респондент с равной долей вероятности может попасть в выборку. На основе списка генеральной совокупности составляются карточки с номерами респондентов. Они помещаются в колоду, перемешиваются и из них наугад вынимается карточка, записывается номер, потом возвращается обратно. Далее процедура повторяется столько раз, какой объём выборки нам необходим. Минус: повторение единиц отбора.

Процедура построения простой случайной выборки включает в себя следующие шаги:

1. необходимо получить полный список членов генеральной совокупности и пронумеровать этот список. Такой список, напомним, называется основой выборки;

2. определить предполагаемый объем выборки, то есть ожидаемое число опрошенных;

3. извлечь из таблицы случайных чисел столько чисел, сколько нам требуется выборочных единиц. Если в выборке должно оказаться 100 человек, из таблицы берут 100 случайных чисел. Эти случайные числа могут генерироваться компьютерной программой.

4. выбрать из списка-основы те наблюдения, номера которых соответствуют выписанным случайным числам

· Простая случайная выборка имеет очевидные преимущества. Этот метод крайне прост для понимания. Результаты исследования можно распространять на изучаемую совокупность. Большинство подходов к получению статистических выводов предусматривают сбор информации с помощью простой случайной выборки. Однако метод простой случайной выборки имеет как минимум четыре существенных ограничения:

1. зачастую сложно создать основу выборочногo наблюдения, которая позволила бы провести простую случайную выборку.

2. результатом применения простой случайной выборки может стать большая совокупность, либо совокупность, распределенная по большой географической территории, что значительно увеличивает время и стоимость сбора данных.

3. результаты применения простой случайной выборки часто характеризуются низкой точностью и большей стандартной ошибкой, чем результаты применения других вероятностных методов.

4. в результате применения SRS может сформироваться нерепрезентативная выборка. Хотя выборки, полученные простым случайным отбором, в среднем адекватно представляют генеральную совокупность, некоторые из них крайне некорректно представляют изучаемую совокупность. Вероятность этого особенно велика при небольшом объеме выборки.

· Простая бесповторная выборка. Процедура построения выборки такая же, только карточки с номерами респондентов не возвращаются обратно в колоду.

1. Систематическая вероятностная выборка. Является упрощенным вариантом простой вероятностной выборки. На основе списка генеральной совокупности через определённый интервал (К) отбираются респонденты. Величина К определяется случайно. Наиболее достоверный результат достигается при однородной генеральной совокупности, иначе возможны совпадение величины шага и каких-то внутренних циклических закономерностей выборки (смешение выборки). Минусы: такие же как и в простой вероятностной выборке.

2. Серийная (гнездовая) выборка. Единицы отбора представляют собой статистические серии (семья, школа, бригада и т. п.). Отобранные элементы подвергаются сплошному обследованию. Отбор статистических единиц может быть организован по типу случайной или систематической выборки. Минус: Возможность большей однородности, чем в генеральной совокупности.

3. Районированная выборка. В случае неоднородной генеральной совокупности, прежде, чем использовать вероятностную выборку с любой техникой отбора, рекомендуется разделить генеральную совокупность на однородные части, такая выборка называется районированной. Группами районирования могут выступать как естественные образования (например, районы города), так и любой признак, заложенный в основу исследования. Признак, на основе которого осуществляется разделение, называется признаком расслоения и районирования.

4. «Удобная» выборка. Процедура «удобной» выборки состоит в установлении контактов с «удобными» единицами выборки - с группой студентов, спортивной командой, с друзьями и соседями. Если необходимо получить информацию о реакции людей на новую концепцию, такая выборка вполне обоснована. «Удобную» выборку часто используют для предварительного тестирования анкет.

Невероятностные выборки

Отбор в такой выборке осуществляется не по принципам случайности, а по субъективным критериям – доступности, типичности, равного представительства и т.д.

1. Квотная выборка – выборка строится как модель, которая воспроизводит структуру генеральной совокупности в виде квот (пропорций) изучаемых признаков. Число элементов выборки с различным сочетанием изучаемых признаков определяется с таким расчётом, чтобы оно соответствовало их доле (пропорции) в генеральной совокупности. Так, например, если генеральная совокупность у нас представлена 5000 человек, из них 2000 женщин и 3000 мужчин, тогда в квотной выборке у нас будут 20 женщин и 30 мужчин, либо 200 женщин и 300 мужчин. Квотированные выборки чаще всего основываются на демографических критериях: пол, возраст, регион, доход, образование и прочих. Минусы: обычно такие выборки нерепрезентативны, т.к. нельзя учесть сразу несколько социальных параметров. Плюсы: легкодоступный материал.

2. Метод снежного кома. Выборка строится следующим образом. У каждого респондента, начиная с первого, просятся контакты его друзей, коллег, знакомых, которые подходили бы под условия отбора и могли бы принять участие в исследовании. Таким образом, за исключением первого шага, выборка формируется с участием самих объектов исследования. Метод часто применяется, когда необходимо найти и опросить труднодоступные группы респондентов (например, респондентов, имеющих высокий доход, респондентов, принадлежащих к одной профессиональной группе, респондентов, имеющих какие-либо схожие хобби/увлечения и т.д.)

3. Стихийная выборка – выборка так называемого «первого встречного». Часто используется в теле- и радиоопросах. Размер и состав стихийных выборок заранее не известен, и определяется только одним параметром – активностью респондентов. Минусы: невозможно установить какую генеральную совокупность представляют опрошенные, и как следствие – невозможность определить репрезентативность.

4. Маршрутный опрос – часто используется, если единицей изучения является семья. На карте населённого пункта, в котором будет производиться опрос, нумеруются все улицы. С помощью таблицы (генератора) случайных чисел отбираются большие числа. Каждое большое число рассматривается как состоящее из 3-х компонентов: номер улицы (2-3 первых числа), номер дома, номер квартиры. Например, число 14832: 14 – это номер улицы на карте, 8 – номер дома, 32 – номер квартиры.

5. Районированная выборка с отбором типичных объектов. Если после районирования из каждой группы отбирается типичный объект, т.е. объект, который по большинству изучаемых в исследовании характеристик приближается к средним показателям, такая выборка называется районированной с отбором типичных объектов.

Стратегии построения групп

Отбор групп для их участия в психологическом эксперименте осуществляется с помощью различных стратегий, которые нужны для того, чтобы обеспечить максимально возможное соблюдение внутренней и внешней валидности .

· Рандомизация (случайный отбор)

· Попарный отбор

· Стратометрический отбор

· Приближённое моделирование

· Привлечение реальных групп

Рандомизация , или случайный отбор , используется для создания простых случайных выборок. Использование такой выборки основывается на предположении, что каждый член популяции с равной вероятностью может попасть в выборку. Например, чтобы сделать случайную выборку из 100 студентов вуза, можно сложить бумажки с именами всех студентов вуза в шляпу, а затем достать из неё 100 бумажек - это будет случайным отбором (Гудвин Дж., с. 147).

Попарный отбор - стратегия построения групп выборки, при котором группы испытуемых составляются из субъектов, эквивалентных по значимым для эксперимента побочным параметрам. Данная стратегия эффективна для экспериментов с использованием экспериментальных и контрольных групп с лучшим вариантом - привлечением близнецовых пар (моно- и дизиготных), так как позволяет создать...

Стратометрический отбор - рандомизация с выделением страт (или кластеров). При данном способе формирования выборки генеральная совокупность делится на группы (страты), обладающие определёнными характеристиками (пол, возраст, политические предпочтения, образование, уровень доходов и др.), и отбираются испытуемые с соответствующими характеристиками.

Приближённое моделирование - составление ограниченных выборок и обобщение выводов об этой выборке на более широкую популяцию. Например, при участии в исследовании студентов 2-го курса университета, данные этого исследования распространяются на «людей в возрасте от 17 до 21 года». Допустимость подобных обобщений крайне ограничена.

Приближенное моделирование – формирование модели, которая для четко оговоренного класса систем (процессов) описывает его поведение (или нужные явления) с приемлемой точностью.

Лекция 6. Элементы математической статистики

Вопросы для контроля знаний и подведения итога прочитанной лекции

1. Дайте определение случайной величины.

2.Напишите формулы для математического ожидания и дисперсии дискретной и непрерывной случайных величин.

3. Дайте определение локальной интегральной предельная теорем Лапласа

4. Напишите формулы, задающие биномиальное распределение, гипергеометрическое распределение, распределение Пуассона, равномерное распределение и нормальное распределение.

Цель: Изучить основные понятия математической статистики

1. Генеральная совокупность и выборка

2. Статистическое распределение выборки. Полигон. Гистограмма.

3. Оценки параметров генеральной совокупности по ее выборке

4. Генеральная и выборочная средние. Методы их расчета.

5. Генеральная и выборочная дисперсии.

6. Вопросы для контроля знаний и подведения итога прочитанной лекции

Мы приступаем к изучению элементов математической статистики, в которой разрабатываются научно обоснованные методы сбора статистических данных и их обработки.

1. Генеральная совокупность и выборка. Пусть требуется изучить множество однородных объектов (это множество называется статистической совокупностью) относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным - контролируемый размер детали.

Лучше всего произвести сплошное обследование, т.е. изучить каждый объект. Однако в большинстве случаев по разным причинам это сделать невозможно. Препятствовать сплошному обследованию может большое число объектов, недоступность их. Если, например, нужно знать среднюю глубину воронки при взрыве снаряда из опытной партии, то, производя сплошное обследование, мы уничтожим всю партию.

Если сплошное обследование невозможно, то из всей совокупности выбирают для изучения часть объектов.

Статистическая совокупность, из которой отбирают часть объектов, называется генеральной совокупностью. Множество объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности, называют выборкой.

Число объектов генеральной совокупности и выборки называют соответственно объемом генеральной совокупности и объемом выборки.

Пример 10.1. Плоды одного дерева (200 шт.) обследуют на наличие специфического для данного сорта вкуса. Для этого отбирают 10 шт. Здесь 200 - объем генеральной совокупности, а 10 - объем выборки.

Если выборку отбирают по одному объекту, который обследуют и снова возвращают в генеральную совокупность, то выборка называется повторной. Если объекты выборки уже не возвращаются в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной.

На практике чаще используется бесповторная выборка. Если объем выборки составляет небольшую долю объема генеральной совокупности, то разница между повторной и бесповторной выборками незначительна.

Свойства объектов выборки должны правильно отражать свойства объектов генеральной совокупности, или, как говорят, выборка должна быть репрезентативной (представительной). Считается, что выборка репрезентативна, если все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку, т. е. выбор производится случайно. Например, для того чтобы оценить будущий урожай, можно сделать выборку из генеральной совокупности еще не созревших плодов и исследовать их характеристики (массу, качество и пр.). Если вся выборка будет сделана с одного дерева, то она не будет репрезентативной. Репрезентативная выборка должна состоять из случайно выбранных плодов со случайно выбранных деревьев.

2. Статистическое распределение выборки. Полигон. Гистограмма. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х 1 наблюдалось n 1 , раз, х 2 - п 2 раз, ..., х k - n k раз и n 1 +n 2 +…+ п k = п - объем выборки. Наблюдаемые значения x 1 , x 2 , …, x k называют вариантами, а последовательность вариант, записанная в возрастающем порядке, - вариационным рядом. Числа наблюдений n 1 , n 2 , …, n k называют частотами, а их отношения к объему выборки , , …, - относительными частотами. Отметим, что сумма относительных частот равна единице: .

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (непрерывное распределение). В качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот вариант, попавших в этот интервал. Для графического изображения статистического распределения используют полигоны и гистограммы.

Для построения полигона на оси Ох откладывают значения вариант х i , на оси Оу - значения частот п i (относительных частот ).

Пример 10.2. На рис. 10.1 показан полигон следующего распределения

Полигоном обычно пользуются в случае небольшого числа вариант. В случае большого числа вариант и в случае непрерывного распределения признака чаще строят гистограммы. Для этого интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала п i , - сумму частот вариант, попавших в i -интервал. Затем на этих интервалах, как на основаниях, строят прямоугольники с высотами (или , где п - объем выборки).

Площадь i частичного прямоугольника равна , (или ).

Следовательно, площадь гистограммы равна сумме всех частот (или относительных частот), т.е. объему выборки (или единице).

Пример 10.3. На рис. 10.2 показана гистограмма непрерывного распределения объема n = 100, приведенного в следующей таблице.