هل المربعان لهما مساحات متساوية؟ خصائص مساحات المضلعات المضلعات المتساوية لها مساحات متساوية

ثامنا فئة: الموضوع 3. مجالات الأرقام. نظرية فيثاغورس.

1. مفهوم المنطقة. شخصيات متساوية الحجم.

إذا كان الطول خاصية عددية للخط، فإن المساحة هي خاصية عددية لشكل مغلق. على الرغم من أننا على دراية جيدة بمفهوم المساحة من الحياة اليومية، فإنه ليس من السهل إعطاء تعريف صارم لهذا المفهوم. اتضح أنه يمكن تسمية مساحة الشكل المغلق بأي كمية غير سالبة لها ما يلي خصائص قياس مساحات الأشكال:

الأرقام المتساوية لها مساحات متساوية. إذا تم تقسيم شكل مغلق معين إلى عدة أشكال مغلقة، فإن مساحة الشكل تساوي مجموع مساحات الأشكال المكونة له (الشكل في الشكل 1 مقسم إلى نالأرقام؛ في هذه الحالة، مساحة الشكل، حيث سي- مربع أنا-الرقم).

من حيث المبدأ، سيكون من الممكن التوصل إلى مجموعة من الكميات التي لها خصائص صيغت، وبالتالي تميز مساحة الشكل. لكن القيمة الأكثر شيوعًا وملاءمة هي تلك التي تميز مساحة المربع بأنها مربع جانبه. دعنا نسمي هذا "الاتفاق" الخاصية الثالثة لقياس مساحات الأشكال:

مساحة المربع تساوي مربع جانبه (شكل 2).

وبهذا التعريف تقاس مساحة الأشكال بالوحدات المربعة ( سم 2, كم 2, هكتار=100م 2).

الأرقام تسمى وجود مساحات متساوية متساوية في الحجم .

تعليق: الأشكال المتساوية لها مساحات متساوية، أي أن الأشكال المتساوية متساوية في الحجم. لكن الأشكال المتساوية الحجم ليست متساوية دائمًا (على سبيل المثال، يوضح الشكل 3 مربعًا ومثلثًا متساوي الساقين يتكونان من مثلثات متساوية قائمة الزاوية (بالمناسبة، الأرقام مُسَمًّى تتألف على قدم المساواة ); ومن الواضح أن المربع والمثلث متساويان في الحجم، ولكنهما غير متساويين، لأنهما لا يتداخلان).

بعد ذلك، سنشتق صيغًا لحساب مساحات جميع الأنواع الرئيسية للمضلعات (بما في ذلك الصيغة المعروفة لإيجاد مساحة المستطيل)، بناءً على الخصائص المصاغة لقياس مساحات الأشكال.

2. مساحة المستطيل. مساحة متوازي الأضلاع.

صيغة لحساب مساحة المستطيل: مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب ضلعيه المتجاورين (الشكل 4).

منح:

ا ب ت ث- مستطيل؛

إعلان=أ, أ.ب=ب.

يثبت: سابكد=أ× ب.

دليل:

1. تمديد الجانب أ.بلشريحة بي.بي.=أ، والجانب إعلان- لشريحة د.ف.=ب. دعونا نبني متوازي الأضلاع أبرف(الشكل 4). منذ د أ=90°، أبرف- مستطيل. حيث ا ف ب=أ+ب=للمركبات, Þ أبرف- مربع ذو ضلع ( أ+ب).

2. دعونا نشير قبل الميلادÇ عربة سكن متنقلة=ت, قرص مضغوطÇ العلاقات العامة=س. ثم BCQP– مربع ذو ضلع أ, سي دي في تي– مربع ذو ضلع ب, سي كيو آر تي- مستطيل ذو جوانب أو ب.

صيغة لحساب مساحة متوازي الأضلاع: مساحة متوازي الأضلاع تساوي حاصل ضرب ارتفاعه وقاعدته (الشكل 5).

تعليق: عادة ما تسمى قاعدة متوازي الأضلاع بالجانب الذي يتم رسم الارتفاع عليه؛ من الواضح أن أي جانب من متوازي الأضلاع يمكن أن يكون بمثابة القاعدة.

منح:

ا ب ت ث- ص / ز؛

ب.ح.^إعلان, حÎ إعلان.

يثبت: سابكد=إعلان× ب.ح..

دليل:

1. لنأخذها إلى القاعدة إعلانارتفاع قوات التحالف(الشكل 5).

2. قبل الميلادïê التردد العالي, ب.ح.ïê قوات التحالف, Þ BCFH- ص / ز بحكم التعريف. د ح= 90 درجة، Þ BCFH- مستطيل.

3. BCFH- p/g، Þ طبقاً لخاصية p/g ب.ح.=قوات التحالف، د باه=د سي دي إفعلى طول الوتر والساق ( أ.ب=قرص مضغوطوفقا لسانت ص / ز، ب.ح.=قوات التحالف).

4. سابكد=سابكف+سد سي دي إف=سابكف+سد باه=SBCFH=ب.ح.× قبل الميلاد=ب.ح.× إعلان. #

3. مساحة المثلث.

صيغة لحساب مساحة المثلث: مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب ارتفاعه وقاعدته (الشكل 6).

تعليق: في هذه الحالة، قاعدة المثلث هي الجانب الذي يرسم عليه الارتفاع. يمكن لأي من جوانب المثلث الثلاثة أن يكون بمثابة قاعدته.

منح:

دينار بحريني^مكيف الهواء, دÎ مكيف الهواء.

يثبت: .

دليل:

1. لنكمل د اي بي سيإلى ص / ص ABCCعن طريق المرور عبر قمة الرأس بمستقيم ك.ïê مكيف الهواء، ومن خلال الأعلى ج- مستقيم سي كيهïê أ.ب(الشكل 6).

2. د اي بي سي=د KCBمن ثلاث جهات( قبل الميلاد- عام، أ.ب=كانساسو مكيف الهواء=ك.ب.بحسب القديس ص/ز)، Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_34.gif" width="107" height="36">).

النتيجة الطبيعية 2: إذا اعتبرنا p/u D اي بي سيمع الارتفاع آه.، مرسومة إلى الوتر قبل الميلاد، الذي - التي . هكذا، في ع / ش ارتفاع D-ke المرسوم على الوتر يساوي نسبة حاصل ضرب ساقيه إلى الوتر . كثيرا ما تستخدم هذه العلاقة عند حل المشاكل.

4. النتائج الطبيعية من صيغة إيجاد مساحة المثلث: نسبة مساحات المثلثات ذات الارتفاعات أو القواعد المتساوية؛ مثلثات متساوية في الأشكال؛ خاصية مساحات المثلثات التي تتكون من أقطار الشكل الرباعي المحدب.

من صيغة حساب مساحة المثلث، تتبع نتيجتان بطريقة أولية:

1. النسبة بين مساحات المثلثات ذات الارتفاعات المتساوية تساوي نسبة قواعدها (في الشكل 8 ).

2. النسبة بين مساحات المثلثات ذات القواعد المتساوية يساوي نسبة ارتفاعاتهم (في الشكل 9 ).

تعليق: عند حل المشكلات، غالبًا ما تصادف مثلثات ذات ارتفاع مشترك. وفي هذه الحالة، كقاعدة عامة، تقع قواعدها على نفس الخط المستقيم، ويكون الرأس المقابل للقواعد شائعًا (على سبيل المثال، في الشكل 10) س 1:س 2:س 3=أ:ب:ج). يجب أن تتعلم رؤية الارتفاع الإجمالي لهذه المثلثات.

كما أن صيغة حساب مساحة المثلث تعطي حقائق مفيدة تتيح لك العثور عليها مثلثات متساوية في الأشكال:

1. متوسط المثلث التعسفي يقسمه إلى مثلثين متساويين (في الشكل 11 في د ايه بي ام.و د ايه سي امارتفاع آه.- عامة، والأسباب بي ام.و سم.متساوي حسب تعريف الوسيط؛ ويترتب على ذلك د ايه بي ام.و د ايه سي اممتساوية في الحجم).

2. أقطار متوازي الأضلاع تقسمه إلى أربعة مثلثات متساوية (في الشكل 12 أ.و.- متوسط المثلث عبدبخاصية الأقطار p/g، Þ بسبب الخصائص السابقة للمثلثات أبوو اللغطمتساوية في الحجم لأن ب.و.- متوسط المثلث اي بي سي، مثلثات أبوو بكومتساوية في الحجم لأن شركة- متوسط المثلث بي سي دي، مثلثات بكوو DCOمتساوية في الحجم هكذا، سد اللغط=سد أبو=سد بكو=سد DCO).

3. أقطار شبه المنحرف تقسمه إلى أربعة مثلثات؛ اثنان منهما، متجاوران من الجوانب، متساويان في الحجم (الشكل 13).

منح:

ا ب ت ث- شبه منحرف؛

قبل الميلادïê إعلان; مكيف الهواءÇ دينار بحريني=يا.

يثبت: سد أبو=سد DCO.

دليل:

1. لنرسم المرتفعات ب.ف.و الفصل(الشكل 13). ثم د عبدو د حوار التعاون الآسيويقاعدة إعلان- عام، والارتفاعات ب.ف.و الفصلمتساوي؛ ذ سد عبد=سد حوار التعاون الآسيوي.

2. سد أبو=سد عبد ‑ سد AOD=سد حوار التعاون الآسيوي ‑ سد AOD=سد DCO. #

إذا قمت برسم أقطار شكل رباعي محدب (الشكل 14)، فسيتم تشكيل أربعة مثلثات، ترتبط مساحاتها بنسبة يسهل تذكرها للغاية. ويعتمد اشتقاق هذه العلاقة فقط على صيغة حساب مساحة المثلث؛ ومع ذلك، نادرًا ما يتم العثور عليه في الأدبيات. ولكونها مفيدة في حل المشكلات، فإن العلاقة التي سيتم صياغتها وإثباتها أدناه تستحق اهتمامًا وثيقًا:

خاصية مساحات المثلثات التي تتكون من أقطار الشكل الرباعي المحدب: إذا كانت أقطار الشكل الرباعي المحدب ا ب ت ثتتقاطع عند نقطة ما ياثم (الشكل 14).

ا ب ت ث- رباعي محدب.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image025_28.gif" width="149" height="20">.

دليل:

1. ب.ف.– الارتفاع الإجمالي د AOBو د بنك كندا; Þ سد AOB:سد بنك كندا=أ.و.:شركة.

2. د.ح.– الارتفاع الإجمالي د AODو د سمك القد.; Þ سد AOD:سد سمك القد.=أ.و.:شركة.

5. النسبة بين مساحات المثلثات ذات الزوايا المتساوية.

نظرية النسبة بين مساحات المثلثات ذات الزوايا المتساوية: ترتبط مساحات المثلثات التي لها زوايا متساوية بحاصل ضرب الأضلاع التي تحيط بهذه الزوايا (الشكل 15).

منح:

د اي بي سي، د أ 1ب 1ج 1;

Ð باك=Ð ب 1أ 1ج 1.

يثبت:

دليل:

1. ضعه على الشعاع أ.بالقطعة المستقيمة أ.ب 2=أ 1ب 1، وعلى الشعاع مكيف الهواء- القطعة المستقيمة مكيف الهواء 2=أ 1ج 1 (الشكل 15). ثم د أ.ب 2ج 2=د أ 1ب 1ج 1 على الجانبين والزاوية بينهما ( أ.ب 2=أ 1ب 1 و مكيف الهواء 2=أ 1ج 1 عن طريق البناء، و Р ب 2مكيف الهواء 2=ص ب 1أ 1ج 1 على الشرط). وسائل، .

2. قم بتوصيل النقاط جو ب 2.

3. الفصل– الارتفاع الإجمالي د أ.ب 2جو د اي بي سيÞ https://pandia.ru/text/78/214/images/image033_22.gif" width="81" height="43 src=">.

6. خاصية منصف المثلث.

باستخدام النظريات الخاصة بالنسبة بين مساحات المثلثات ذات الزوايا المتساوية، والنسبة بين مساحات المثلثات ذات الارتفاعات المتساوية، فإننا ببساطة نثبت حقيقة مفيدة للغاية في حل المشكلات ولا تتعلق مباشرة بمساحات الأشكال :

خاصية منصف المثلث :يقسم منصف المثلث الضلع المرسوم إليه إلى أجزاء تتناسب مع الأضلاع المجاورة لها.

منح:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image036_22.gif" width="61" height="37">.

دليل:

1..gif" width="72 height=40" height="40">.

3. من النقطتين 1 و 2 نحصل على: Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image041_19.gif" width="61" height="37">.#

تعليق:نظرًا لأنه يمكن تبديل الأعضاء المتطرفة أو الأعضاء الوسطى بالنسب الصحيحة، فمن الأفضل أن نتذكر خاصية منصف المثلث بالشكل التالي (الشكل 16): .

7. مساحة شبه منحرف.

صيغة لحساب مساحة شبه منحرف: مساحة شبه المنحرف تساوي حاصل ضرب ارتفاعه ونصف مجموع قاعدتيه.

منح:

ا ب ت ث- شبه منحرف؛

قبل الميلادïê إعلان;

ب.ح.- ارتفاع.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image044_21.gif" width="127" height="36">.

دليل:

1. لنرسم قطريًا دينار بحرينيوالارتفاع مدافع(الشكل 17). BHDF- المستطيل، Þ ب.ح. = مدافع.

عاقبة: نسبة مساحات شبه المنحرف ذات الارتفاعات المتساوية تساوي نسبة خطوط المنتصف (أو نسبة مجموع القواعد).

8. مساحة الشكل الرباعي مع الأقطار المتعامدة بشكل متبادل.

صيغة لحساب مساحة الشكل الرباعي بأقطار متعامدة بشكل متبادل: مساحة الشكل الرباعي ذو الأقطار المتعامدة تساوي نصف منتج أقطاره.

ا ب ت ث- رباعي الزوايا؛

مكيف الهواء^دينار بحريني.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_20.gif" width="104" height="36">.

دليل:

1. دعونا نشير مكيف الهواءÇ دينار بحريني=يا. بسبب ال مكيف الهواء^دينار بحريني, أ.و.- الارتفاع د عبد، أ شركة- الارتفاع د اتفاقية التنوع البيولوجي(الشكلان 18أ و18ب لحالات الرباعيات المحدبة وغير المحدبة، على التوالي).

2.
(العلامة "+" أو "-" تتوافق مع حالات الرباعيات المحدبة وغير المحدبة، على التوالي). #

تلعب نظرية فيثاغورس دورًا مهمًا للغاية في حل مجموعة واسعة من المشكلات؛ فهو يسمح لك بإيجاد الجانب المجهول للمثلث القائم من ضلعيه المعلومين. هناك العديد من البراهين المعروفة لنظرية فيثاغورس. دعونا نقدم أبسطها، بناءً على صيغ حساب مساحة المربع والمثلث:

نظرية فيثاغورس: في المثلث القائم، مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين.

منح:

د اي بي سي- ع / ش؛

Ð أ=90 درجة.

يثبت:

قبل الميلاد 2=أ.ب 2+مكيف الهواء 2.

دليل:

1. دعونا نشير مكيف الهواء=أ, أ.ب=ب. دعونا نضعها على الشعاع أ.بالقطعة المستقيمة بي.بي.=أ، وعلى الشعاع مكيف الهواء- القطعة المستقيمة السيرة الذاتية=ب(الشكل 19). دعونا نرسم من خلال هذه النقطة صمباشر العلاقات العامةïê للمركبات، ومن خلال النقطة الخامس- مستقيم الواقع الافتراضيïê ا ف ب. ثم أبرف- ص / ز بحكم التعريف. علاوة على ذلك، منذ ر أ=90°، أبرف- مستطيل. ولأن للمركبات=أ+ب=ا ف ب, أبرف– مربع ذو ضلع أ+ب، و SAPRV=(أ+ب)2. بعد ذلك سوف نقوم بتقسيم الجانب العلاقات العامةنقطة سإلى شرائح PQ=بو ريال قطري=أ، والجانب عربة سكن متنقلة- نقطة تإلى شرائح ر.ت=بو تلفزيون=أ.

2. د اي بي سي=د PQB=د RTQ=د VCTعلى الجانبين، Þ Ð ايه سي بي=Ð شواء=Ð آر كيو تي=Ð مركز التجارة العالمي, قبل الميلاد=QB=تي كيو.=سي.تي.و https://pandia.ru/text/78/214/images/image055_17.gif" width="115" height="36">.

3. لأن قبل الميلاد=QB=تي كيو.=سي.تي., CBQT- المعين في نفس الوقت QBC=180°-(ص اي بي سي+Ð شواء)=180°-(Р اي بي سي+Ð ايه سي بي)=Ð باك= 90 درجة؛ ذ CBQT- مربع، و SCBQT=قبل الميلاد 2.

4. . لذا، قبل الميلاد 2=أ.ب 2+مكيف الهواء 2. #

تعتبر نظرية فيثاغورس المعكوسة علامة على وجود مثلث قائم الزاوية، أي أنها تسمح لك بالتحقق مما إذا كان المثلث قائم الزاوية باستخدام ثلاثة أضلاع معروفة.

نظرية فيثاغورس العكسية: إذا كان مربع أحد أضلاع المثلث يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، فإن المثلث قائم الزاوية، والضلع الأطول هو الوتر.

منح:

قبل الميلاد 2=أ.ب 2+مكيف الهواء 2.

يثبت:د اي بي سي- ع / ش؛

Ð أ=90 درجة.

دليل:

1. قم ببناء زاوية قائمة أ 1 - وضع القطع على جوانبها أ 1ب 1=أ.بو أ 1ج 1=مكيف الهواء(الشكل 20). في الناتج p/u D أ 1ب 1ج 1 بواسطة نظرية فيثاغورس ب 1ج 12=أ 1ب 12+أ 1ج 12=أ.ب 2+مكيف الهواء 2؛ ولكن حسب الشرط أ.ب 2+مكيف الهواء 2=قبل الميلاد 2؛ ذ ب 1ج 12=قبل الميلاد 2، ص ب 1ج 1=قبل الميلاد.

2. د اي بي سي=د أ 1ب 1ج 1 من ثلاث جهات ( أ 1ب 1=أ.بو أ 1ج 1=مكيف الهواءعن طريق البناء، ب 1ج 1=قبل الميلادمن البند 1)، Þ Ð أ=Ð أ 1=90°، د اي بي سي- ع / ش. #

تسمى المثلثات القائمة التي يتم التعبير عن أطوال أضلاعها بأعداد طبيعية مثلثات فيثاغورس ، وثلاثية الأعداد الطبيعية المقابلة هي ثلاثة توائم فيثاغورس . من المفيد أن نتذكر ثلاثة توائم فيثاغورس (أكبر هذه الأرقام يساوي مجموع مربعي الرقمين الآخرين). وهذه بعض ثلاثيات فيثاغورس:

3, 4, 5;

5, 12, 13;

8, 15, 17;

7, 24, 25;

20, 21, 29;

12, 35, 37;

9, 40, 41.

تم استخدام مثلث قائم الزاوية بأضلاعه 3، 4، 5 في مصر لبناء الزوايا القائمة، وبالتالي مثلث مُسَمًّى مصري .

10. صيغة هيرون.

تتيح لك صيغة هيرون إيجاد مساحة المثلث التعسفي من أضلاعه الثلاثة المعروفة ولا غنى عنها في حل العديد من المشاكل.

صيغة هيرون: مساحة المثلث مع الجوانب أ, بو جيتم حسابه باستخدام الصيغة التالية: حيث يقع نصف محيط المثلث.

منح:

قبل الميلاد=أ; مكيف الهواء=ب; أ.ب=ج.). ثم .

4. استبدل التعبير الناتج عن الارتفاع في صيغة حساب مساحة المثلث: . #

مصدر الوظيفة: القرار 2746.-13. OGE 2017 الرياضيات، IV. ياشينكو. 36 خيارًا.

المهمة 11.طول ضلع المعين هو 12، والمسافة من نقطة تقاطع قطري المعين إليه هي 1. أوجد مساحة هذا المعين.

حل.

يمكن حساب مساحة المعين بنفس طريقة حساب مساحة متوازي الأضلاع، أي حاصل ضرب ارتفاع المعين h في طول الجانب a الذي يتم رسمه عليه:

في الشكل، يوضح الخط الأحمر مع الخط الأسود ارتفاع المعين h، وهو متساوي (نظرًا لأن أطوال الخطين الأسود والأحمر متساويان). طول الضلع = 12 أيضًا حسب شروط المشكلة. نحصل على مساحة المعين:

إجابة: 24.

المهمة 12.تم تصوير المعين على ورق مربعات بحجم مربع 1x1. أوجد طول قطره الأطول.

حل.

في الشكل، توضح الخطوط الزرقاء أقطار المعين. يمكن ملاحظة أن القطر الكبير هو 12 خلية.

إجابة: 12.

المهمة 13.أي من العبارات التالية صحيحة؟

1) يوجد مستطيل قطراه متعامدان كل منهما الآخر.

2) جميع المربعات لها مساحات متساوية.

3) لا تزيد قياس إحدى زوايا المثلث دائمًا عن 60 درجة.

ردًا على ذلك، اكتب أرقام العبارات المحددة بدون مسافات أو فواصل أو أحرف إضافية أخرى.

حل.

1) صحيح. هذا مستطيل يتحول إلى مربع.

"جسر الحمار" كان إثبات نظرية فيثاغورس يعتبر صعبًا للغاية في أوساط الطلاب في العصور الوسطى وكان يُطلق عليه أحيانًا اسم Pons Asinorum "جسر الحمار" أو Elefuga - "هروب البائسين" ، حيث أن بعض الطلاب "البائسين" الذين لم يتلق تدريبًا رياضيًا جادًا فر من الهندسة. الطلاب الضعفاء الذين حفظوا النظريات عن ظهر قلب، دون فهم، ولذلك أطلق عليهم لقب "الحمير"، لم يتمكنوا من التغلب على نظرية فيثاغورس، التي كانت بمثابة جسر لا يمكن التغلب عليه بالنسبة لهم.

معطى: ABC، C=90°، B=60°، AB=12 سم AC=10 سم أوجد: SABC حل شفهيًا CA B معطى: ABC، C=90°، AB=18 سم، BC=9 سم أوجد: B ، الجواب: أ=30 درجة، ب=60 درجة الجواب: 30 سم²

C² = a 2 + b 2 a b c C A B c = a 2 + b cbа في المثلث القائم، a و b هما الساقين، و c هو الوتر. املأ الجدول. ب =ج²-أ² أ =ج²-ب² ب 2 =ج²-أ² أ 2 =ج²-ب²

الحل 3. ACD مستطيل، D=45° DAC=45°ACD - متساوي الساقين CD = AC = 4 SADC = 8. لذا فإن مساحة الشكل بأكمله S ABCB = SABC + SADC = معطى: AB=2 3، BC=2, B= 90 ACD=90 BAC=3 0, D=45 أوجد: S ABCB. مشكلة 30 درجة D C B A مساحة الشكل بأكمله S ABCB = SABC + SADC 2. ABC مستطيل، SABC = 2 3؛ BAC=30 درجة تيار متردد = 2BC = 4.

497 أحد أقطار متوازي الأضلاع هو ارتفاعه. أوجد هذا القطر إذا كان محيط متوازي الأضلاع 50 سم والفرق بين الأضلاع المجاورة 1 سم AD CB معطى: ABCD - متوازي الأضلاع، BD AD، P ABCD = 50 سم، AB-AD = 1 سم. دينار بحريني. حل. لنفترض أن AD=x cm، ثم AB=(x+1) cm P ABCD = 2·(AB+AD)، ثم 50=2·(x+1+x) 25=2x+1 x=12، مما يعني AD=12 سم، AB=13 سم. , AB=13 سم 2. أوجد BD باستخدام نظرية فيثاغورس: AB²=ВD²+AD² BD=5 (cm) 12 سم 13 سم

BC بمقدار 6 سم ابحث عن: BC، CD، AD. " title="مشكلة مساحة شبه المنحرف المستطيل 120 سم² وارتفاعه 8 سم. أوجد جميع أضلاع شبه المنحرف إذا كانت إحدى قاعدتيه أكبر من الأخرى بـ 6 سم. D BC A N معطى : ABCD - شبه منحرف، AB AD، S ABCD = 120 سم²، AB = 8 سم، AD>BC × 6 سم أوجد: BC، CD، AD." class="link_thumb"> 16 !}مشكلة مساحة شبه المنحرف المستطيل 120 سم² وارتفاعه 8 سم، أوجد جميع أضلاع شبه المنحرف إذا كانت إحدى قاعدتيه أكبر من الأخرى بـ 6 سم. D BC A N معطى: ABCD - شبه منحرف، AB AD، S ABCD = 120 سم²، AB = 8 سم، AD>BC × 6 سم أوجد: BC، CD، AD. حل. لنفترض أن BC=x cm، ثم AD=(x+6) cm لأن S ABCD = ·8·(x+6+x)=120, 4(2x+6)=120 2x+6 = 30 x = 12، مما يعني BC 12 سم، AD=18 سم AB=8 سم، BC= 12 سم، AD=18 سم البناء الإضافي: CH AD، ثم ABCN مستطيل. CH=AB=8 سم، AH=BC=12 سم، ثم HD=AD-AH=6 سم 12 سم 18 سم 6 سم ابحث عن القرص المضغوط باستخدام نظرية فيثاغورس: CD2=CH2+HD2 CD=8²+6²CD=10 (سم ) الإجابة: AB=8 سم، BC=12 سم، CD=10 سم، AD=18 سم. BC بمقدار 6 سم ابحث عن: BC، CD، AD. "> BC بمقدار 6 سم. أوجد: BC، CD، AD. الحل. لنفترض أن BC=x سم، ثم AD=(x+6) سم لأن S ABCD = ·8·(x+6+x)= 120، 4 (2x+6)=120 2x+6 = 30 x = 12، مما يعني BC 12 سم، AD=18 سم 1. 2. AB=8 سم، BC=12 سم، AD=18 سم تشكيل إضافي: CH AD، إذن ABCN مستطيل، CH=AB=8 سم، AH=BC=12 سم، ثم HD=AD-AH=6 سم 12 سم 18 سم 6 سم ابحث عن القرص المضغوط باستخدام نظرية فيثاغورس: CD²=CH²+HD² CD=8² +6²CD=10 (سم) الإجابة: AB=8 سم، BC=12 سم، CD=10 سم، AD=18 سم."> BC في 6 سم. أوجد: BC، CD، AD. " title="مشكلة مساحة شبه المنحرف المستطيل 120 سم² وارتفاعه 8 سم. أوجد جميع أضلاع شبه المنحرف إذا كانت إحدى قاعدتيه أكبر من الأخرى بـ 6 سم. D BC A N معطى : ABCD - شبه منحرف، AB AD، S ABCD = 120 سم²، AB = 8 سم، AD>BC × 6 سم أوجد: BC، CD، AD."> title="مشكلة مساحة شبه المنحرف المستطيل 120 سم² وارتفاعه 8 سم، أوجد جميع أضلاع شبه المنحرف إذا كانت إحدى قاعدتيه أكبر من الأخرى بـ 6 سم. D BC A N معطى: ABCD - شبه منحرف، AB AD، S ABCD = 120 سم²، AB = 8 سم، AD>BC × 6 سم أوجد: BC، CD، AD."> !} AB C M N معطى: ABC، BC=7.5 سم، AC=3.2 سم، AM BC، BN AC، AM=2.4 سم أوجد: BN الحل: SABC =½AM·CB=½·2.4 ·7.5=9 cm² S ABC =½BN· AC BN=2·S ABC:AC=2·9:3.2=5.625 سم الإجابة: 5.625 سم طول ضلعي المثلث 7.5 سم و4 سم الارتفاع المرسوم على الجانب الأكبر يساوي 2.4 سم أوجد الارتفاع مرسومة إلى أصغر هذه الجوانب. 470

مساحة المثلث القائم الزاوية 168 سم². أوجد ساقيه إذا كانت نسبة أطوالهما 7:12. A C B معطى: ABC، C = 90 درجة، AC: BC = 7:12، S ABC = 168 سم² أوجد: AC، BC. الحل: SABC =½AC·BC 168=½7x·12x 168=42x² x=2 AC=14 سم، BC=24 سم الإجابة: 14 سم و24 سم 472

خصائص المناطق 10. المضلعات المتساوية لها مساحات متساوية. د ب أ ج ن ABC = NFD F

خصائص المساحات 20. إذا كان المضلع مكونًا من عدة مضلعات، فإن مساحته تساوي مجموع مساحات هذه المضلعات. ج ب د أ ف

خصائص المساحات 30. مساحة المربع تساوي مربع طول ضلعه. 3 cm S=9 cm 2 باستخدام خصائص المساحات، أوجد مساحات الأشكال

وحدات قياس المساحة 1 م 2 = 100 د م 2 1 د م 2 = 100 سم 2

وحدات قياس المساحة 1 كم 2 1 هكتار 1 أ 1 م 2 1 د م 2 1 سم 2 1 مم 2: 100: 100

مساحة المستطيل b S لنثبت أن S = ab a a مربع مع الجانب a 2 a+b = S + a 2 + b 2 a 2 +2 ab + b 2 = 2 S + a 2 + b 2 S (أ+ب) 2 ق 2 أب = 2 س ق = أ ب 2 ب: 2

أرضية الغرفة التي تكون على شكل مستطيل بأبعاد 5 و 5 و 6 م يجب أن تكون مغطاة بباركيه مستطيل. طول كل لوح باركيه 30 سم والعرض 5 سم، كم عدد الألواح اللازمة لتغطية الأرضية؟ 6 م 5.5 م 5 سم 30 سم

مساحة المربعات المبنية على جوانب المستطيل هي 64 سم2، 121 سم2. أوجد مساحة المستطيل. 121 سم 2 ق-؟ 64 سم2

أضلاع كل من المستطيلين ABCD و ARMK تساوي 6 سم و 10 سم، أوجد مساحة الشكل المكون من جميع النقاط التي تنتمي إلى واحد على الأقل من هذه المستطيلات. أ 10 سم ف ب 6 سم 10 سم د ك ج 6 سم م

ABCD مستطيل، AC قطري. أوجد مساحة المثلث ABC. أ أ د ABC = ADC ب SABC = B C

ABCD مستطيل. البحث عن: SABF. B CE = DE، C F E A D SABCD = Q

AB = BC = 3، AF = 5، ابحث عن: SABCDEF. ب إي إف = 2. ج 3 د ه 3 أ 2 5 ف

S=102 C تقع النقاط K وM وT وE على بعد 5 على التوالي على الجوانب AD وAB وBC وDC للمربع E ABCD بحيث يكون KD=7، AK=3، AM=5، BT=8، CE=5 . أوجد مساحة الشكل الرباعي KMTE. د ت ب 2 8 م 5 7 ك 3 أ

مساحة الشكل الخماسي ABCD هي 48 سم 2. أوجد مساحة ومحيط المربع ABCD. C B O A 1) 48: 3 * 4 = 64 (سم 2) SАВСD 2) AB = 8 (سم)، PАВСD = 8 * 4 = 32 (سم) D

ABCD وMDKP مربعان متساويان. AB = 8 سم أوجد مساحة الشكل الرباعي ASKM. ب ج 64 سم 2 8 سم 32 سم 2 د أ 32 سم 2 م ك 32 سم 2 ر

ABCD و DСМK عبارة عن مربعات. AB = 6 سم أوجد مساحة الشكل الرباعي OSPD. C H 6 سم A O M R D K

ABCD – مستطيل؛ M، K، P، T هي منتصف أضلاعه، AB = 6 سم، AD = 12 سم أوجد مساحة الشكل الرباعي MKRT. ح ك 6 سم م أ ج ر ت 12 سم د

ABCD – مستطيل؛ M، K، P، T هي منتصف أضلاعه، AB = 16 سم، BC = 10 سم أوجد مساحة الشكل السداسي AMKSRT. ج ف 10 سم ك ب د ت م 16 سم أ