يتم ترتيب المصفوفات من النوع القطري ببساطة. السؤال الذي يطرح نفسه هو ما إذا كان من الممكن إيجاد أساس يكون لمصفوفة عامل خطي شكل قطري. مثل هذا الأساس موجود.
دع مساحة خطية R n والمشغل الخطي A يعمل فيه ؛ في هذه الحالة ، يأخذ المشغل A R n في نفسه ، أي A: R n → R n.

تعريف. يُطلق على المتجه غير الصفري اسم المتجه الذاتي للمشغل A إذا تمت ترجمة المشغل A إلى خط متجه متجه له ، أي. الرقم λ يسمى eigenvalue أو eigenvalue للمشغل A المقابل لـ eigenvector.
نلاحظ بعض خصائص القيم الذاتية والمتجهات الذاتية.
1. أي مجموعة خطية من المتجهات الذاتية من المشغل A المقابلة لنفس القيمة الذاتية هي متجه ذاتي مع نفس القيمة الذاتية.
2. المتجهات الذاتية عامل التشغيل A مع القيم الذاتية المتميزة الزوجية λ 1 ، λ 2 ، ... ، λ m مستقلة خطيًا.
3. إذا كانت قيم eigenvalue λ 1 = λ 2 = λ m = ، فإن القيمة الذاتية لا تتوافق مع أكثر من m متجهات ذاتية مستقلة خطيًا.

لذلك ، إذا كان هناك n متجهات ذاتية مستقلة خطيًا المقابلة لقيم eigenvalues ​​المختلفة λ 1 ، λ 2 ، ... ، n ، فهي مستقلة خطيًا ، وبالتالي ، يمكن اعتبارها أساس الفضاء R n. دعونا نجد شكل مصفوفة العامل الخطي A على أساس متجهاتها الذاتية ، والتي من أجلها نتعامل مع المشغل A على أساس المتجهات: ومن بعد .
وبالتالي ، فإن مصفوفة العامل الخطي A في أساس متجهاتها الذاتية لها شكل قطري ، والقيم الذاتية للمشغل A على القطر.
هل هناك أساس آخر تكون فيه المصفوفة قطرية؟ يتم إعطاء الإجابة على هذا السؤال من خلال النظرية التالية.

نظرية. مصفوفة العامل الخطي A في الأساس (i = 1..n) لها شكل قطري إذا وفقط إذا كانت جميع متجهات الأساس المتجهات الذاتيةالعامل أ.

قاعدة لإيجاد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

دع المتجه ، حيث x 1 ، x 2 ، ... ، x n - إحداثيات المتجه بالنسبة إلى الأساس وهو المتجه الذاتي للمشغل الخطي A المقابل لقيمة eigenvalue ، أي. يمكن كتابة هذه العلاقة في شكل مصفوفة

. (*)

يمكن اعتبار المعادلة (*) معادلة لإيجاد ، وهذا يعني أننا مهتمون بالحلول غير التافهة ، لأن المتجه الذاتي لا يمكن أن يكون صفرًا. من المعروف أن الحلول غير البديهية لنظام متجانس المعادلات الخطيةموجود فقط إذا وفقط إذا كان det (A - λE) = 0. وهكذا ، لكي تكون قيمة ذاتية للعامل A ، من الضروري والكافي أن يكون det (A - E) = 0.
إذا تمت كتابة المعادلة (*) بالتفصيل في شكل إحداثيات ، فإننا نحصل على نظام خطي معادلات متجانسة:

(1)
أين هي مصفوفة العامل الخطي.

النظام (1) له حل غير صفري إذا كان المحدد D يساوي صفرًا

حصلنا على معادلة لإيجاد القيم الذاتية.
تسمى هذه المعادلة بالمعادلة المميزة ، ويسمى جانبها الأيسر متعدد الحدود المميز للمصفوفة (المشغل) أ. إذا لم يكن لكثير الحدود المميز جذور حقيقية ، فإن المصفوفة أ لا تحتوي على متجهات ذاتية ولا يمكن اختزالها إلى شكل قطري.
لنفترض أن λ 1، λ 2،…، λ n جذور حقيقية معادلة مميزةوقد يكون بينهم مضاعفات. باستبدال هذه القيم بدورها في نظام (1) ، نجد المتجهات الذاتية.

المثال 12. يعمل العامل الخطي A في R 3 وفقًا للقانون ، حيث x 1 ، x 2 ، .. ، x n هي إحداثيات المتجه في الأساس , , . أوجد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لهذا العامل.
قرار. نبني مصفوفة هذا المشغل:
.
نقوم بتكوين نظام لتحديد إحداثيات المتجهات الذاتية:

نؤلف المعادلة المميزة ونحلها:

.
λ 1،2 = -1 ، λ 3 = 3.
بالتعويض عن λ = -1 في النظام ، لدينا:
أو
مثل ، ثم هناك متغيرين تابعين ومتغير واحد مجاني.
دع x 1 مجاني غير معروف ، إذن نحن نحل هذا النظام بأي شكل من الأشكال ونجده قرار مشتركمن هذا النظام: يتكون النظام الأساسي للحلول من حل واحد ، حيث أن n - r = 3 - 2 = 1.
مجموعة المتجهات الذاتية المقابلة للقيمة الذاتية λ = -1 لها الشكل: ، حيث x 1 هو أي رقم آخر غير الصفر. دعنا نختار متجهًا واحدًا من هذه المجموعة ، على سبيل المثال ، عن طريق ضبط x 1 = 1: .
بالمثل ، نجد المتجه الذاتي المقابل لقيمة eigenvalue λ = 3: .
في الفضاء R 3 ، يتكون الأساس من ثلاثة نواقل مستقلة خطيًا ، لكننا حصلنا فقط على متجهين مستقلين خطيًا ، لا يمكن تشكيل الأساس في R 3. وبالتالي ، لا يمكن اختزال المصفوفة A لعامل خطي إلى شكل قطري.

المثال 13 معطى مصفوفة .
1. إثبات أن المتجه هو متجه ذاتي للمصفوفة أ. أوجد قيمة eigenvalue المقابلة لهذا المتجه الذاتي.
2. أوجد الأساس الذي تكون فيه المصفوفة أ بشكل قطري.
قرار.
1. إذا ، إذن هو متجه eigenvector

.
المتجه (1 ، 8 ، -1) هو متجه ذاتي. القيمة الذاتية λ = -1.
المصفوفة لها شكل قطري في الأساس يتكون من المتجهات الذاتية. واحد منهم مشهور. لنجد الباقي.
نحن نبحث عن المتجهات الذاتية من النظام:

معادلة مميزة: ;
(3 + λ) [- 2 (2-λ) (2 + λ) +3] = 0 ؛ (3 + λ) (λ 2-1) = 0
λ 1 = -3 ، λ 2 = 1 ، λ 3 = -1.
أوجد المتجه الذاتي المقابل للقيمة الذاتية λ = -3:

رتبة مصفوفة هذا النظام تساوي اثنين و يساوي الرقمغير معروف ، لذا فإن هذا النظام يحتوي على حل صفري فقط x 1 = x 3 = 0. x 2 هنا يمكن أن يكون أي شيء آخر غير الصفر ، على سبيل المثال ، x 2 = 1. وبالتالي ، فإن المتجه (0،1،0) هو متجه eigenvector ، الموافق λ = -3. دعونا تحقق:
.
إذا كانت λ = 1 ، فسنحصل على النظام
رتبة المصفوفة اثنان. اشطب المعادلة الأخيرة.
دع x 3 يكون المجهول المجاني. ثم x 1 \ u003d -3x 3 ، 4x 2 \ u003d 10x 1-6x 3 \ u003d -30x 3-6x 3 ، x 2 \ u003d -9x 3.
بافتراض x 3 = 1 ، لدينا (-3 ، -9 ، 1) - متجه ذاتي يتوافق مع القيمة الذاتية λ = 1. تحقق من:

.
نظرًا لأن قيم eigenvalues ​​حقيقية ومختلفة ، فإن المتجهات المقابلة لها تكون مستقلة خطيًا ، لذلك يمكن أخذها كأساس في R 3. وهكذا ، في الأساس , , المصفوفة أ لها الشكل:
.
لا يمكن اختزال كل مصفوفة لمشغل خطي A: R n → R n إلى شكل قطري ، لأنه بالنسبة لبعض المشغلين الخطيين قد يكون هناك أقل من n متجهات ذاتية مستقلة خطيًا. ومع ذلك ، إذا كانت المصفوفة متماثلة ، فإن المتجهات المستقلة خطيًا بالضبط تتوافق مع جذر المعادلة المميزة للتعددية م.

تعريف. المصفوفة المتماثلة هي مصفوفة مربعة تتساوى فيها العناصر المتماثلة بالنسبة للقطر الرئيسي ، أي فيها.
ملاحظات. 1. جميع القيم الذاتية لمصفوفة متماثلة حقيقية.
2. المتجهات الذاتية لمصفوفة متماثلة تتوافق مع قيم ذاتية زوجية مختلفة متعامدة.
كأحد التطبيقات العديدة للجهاز المدروس ، فإننا نعتبر مشكلة تحديد شكل منحنى الدرجة الثانية.

المتجه الذاتي لمصفوفة مربعة هو الذي ، عند ضربه في مصفوفة معينة ، ينتج عنه متجه خطي. بكلمات بسيطة، عندما يتم ضرب المصفوفة في المتجه الذاتي ، فإن الأخير يظل كما هو ، ولكن يتم ضربه في عدد ما.

تعريف

المتجه الذاتي هو متجه غير صفري V ، والذي عند ضربه بمصفوفة مربعة M ، يصبح نفسه ، يزداد بمقدار ما. في التدوين الجبري ، يبدو هذا كما يلي:

م × ف = λ × ف ،

أين λ هي القيمة الذاتية للمصفوفة M.

انصح مثال رقمي. لتسهيل الكتابة ، سيتم فصل الأرقام الموجودة في المصفوفة بفاصلة منقوطة. لنفترض أن لدينا مصفوفة:

• م = 0 ؛ أربعة؛
• 6; 10.

دعونا نضربها في متجه العمود:

• الخامس = -2 ؛

عند ضرب مصفوفة في متجه عمود ، نحصل أيضًا على متجه عمود. حازم لغة رياضيةستبدو صيغة ضرب مصفوفة 2 × 2 في متجه عمود كما يلي:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21 ؛
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 تعني عنصر المصفوفة M ، يقف في الصف الأول والعمود الأول ، و M22 هو العنصر الموجود في الصف الثاني والعمود الثاني. بالنسبة للمصفوفة ، هذه العناصر هي M11 = 0 ، M12 = 4 ، M21 = 6 ، M22 10. بالنسبة لمتجه العمود ، هذه القيم هي V11 = –2 ، V21 = 1. وفقًا لهذه الصيغة ، نحصل على ما يلي نتيجة حاصل ضرب مصفوفة مربعة بواسطة متجه:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4 ؛
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

للراحة ، نكتب متجه العمود في صف واحد. لذلك ، قمنا بضرب المصفوفة المربعة في المتجه (-2 ؛ 1) ، مما أدى إلى المتجه (4 ؛ -2). من الواضح أن هذا هو نفس المتجه مضروبًا في λ = -2. لامدا في هذه القضيةيدل على قيمة ذاتية للمصفوفة.

المتجه الذاتي للمصفوفة هو متجه خطي ، أي كائن لا يغير موقعه في الفضاء عندما يتم ضربه في مصفوفة. مفهوم العلاقة الخطية المتداخلة في ناقلات الجبرعلى غرار مصطلح التوازي في الهندسة. في التفسير الهندسي ناقلات خطية- هذه هي مقاطع موجهة متوازية بأطوال مختلفة. منذ زمن إقليدس ، نعلم أن السطر الواحد يحتوي على عدد لا نهائي من الخطوط الموازية له ، لذلك من المنطقي أن نفترض أن كل مصفوفة لها عدد لا حصر له من المتجهات الذاتية.

من المثال السابق ، يمكن ملاحظة أن كلا من (-8 ؛ 4) و (16 ؛ -8) و (32 ، -16) يمكن أن يكونا متجهات ذاتية. كل هذه متجهات خطية تقابل القيمة الذاتية λ = -2. عند ضرب المصفوفة الأصلية في هذه المتجهات ، سنظل نحصل على متجه نتيجة لذلك ، والذي يختلف عن الأصل بمقدار مرتين. هذا هو السبب ، عند حل المشكلات الخاصة بإيجاد ناقل eigenvector ، من الضروري إيجاد كائنات متجهية مستقلة خطيًا فقط. في أغلب الأحيان ، بالنسبة لمصفوفة n × n ، يوجد عدد من المتجهات الذاتية n من رقم n. تم تصميم الآلة الحاسبة الخاصة بنا لتحليل المصفوفات المربعة من الدرجة الثانية ، لذلك دائمًا ما يتم العثور على متجهين eigenvectors نتيجة لذلك ، إلا عندما يتطابقان.

في المثال أعلاه ، عرفنا مسبقًا المتجه الذاتي للمصفوفة الأصلية وحددنا رقم لامدا بصريًا. ومع ذلك ، من الناحية العملية ، يحدث كل شيء في الاتجاه المعاكس: في البداية توجد قيم ذاتية ثم متجهات ذاتية فقط.

خوارزمية الحل

لننظر إلى المصفوفة الأصلية M مرة أخرى ونحاول إيجاد متجهيها الذاتيين. لذا تبدو المصفوفة كما يلي:

• م = 0 ؛ أربعة؛
• 6; 10.

بادئ ذي بدء ، نحتاج إلى تحديد القيمة الذاتية λ ، والتي من أجلها نحتاج إلى حساب محدد المصفوفة التالية:

• (0 - λ) ؛ أربعة؛
• 6 ؛ (10 - λ).

هذه المصفوفةتم الحصول عليها بطرح المجهول λ من العناصر الموجودة على القطر الرئيسي. يتم تحديد المحدد بواسطة الصيغة القياسية:

• detA = M11 × M21 - M12 × M22
• detA = (0 - λ) × (10 - λ) - 24

نظرًا لأن المتجه الخاص بنا يجب ألا يكون صفراً ، فإننا نأخذ المعادلة الناتجة على أنها معتمدة خطيًا ونساوي المحددات detA بالصفر.

(0 - λ) × (10 - λ) - 24 = 0

لنفتح الأقواس ونحصل على المعادلة المميزة للمصفوفة:

λ 2-10λ - 24 = 0

هذا هو المعيار معادلة من الدرجة الثانية، والتي سيتم حلها من حيث التمييز.

د \ u003d ب 2-4ac \ u003d (-10) × 2-4 × (-1) × 24 \ u003d 100 + 96 \ u003d 196

جذر المميز هو الجذر التربيعي (د) = 14 ، لذا λ1 = -2 ، λ2 = 12. الآن لكل قيمة لامدا ، نحتاج إلى إيجاد المتجه الذاتي. دعونا نعبر عن معاملات النظام لـ λ = -2.

• م - λ × ه = 2 ؛ أربعة؛
• 6; 12.

في هذه الصيغة ، E هو مصفوفة الهوية. بناءً على المصفوفة التي تم الحصول عليها ، نقوم بتكوين نظام من المعادلات الخطية:

2 س + 4 ص = 6 س + 12 ص

حيث x و y هما عناصر من المتجه الذاتي.

دعونا نجمع كل X على اليسار وكل Y على اليمين. من الواضح - 4x = 8y. قسّم التعبير على - 4 واحصل على x = -2y. الآن يمكننا تحديد المتجه الذاتي الأول للمصفوفة بأخذ أي قيم للمجهول (تذكر ما لا نهاية للمتجهات الذاتية المعتمدة خطيًا). لنأخذ y = 1 ، ثم x = -2. لذلك ، يبدو المتجه الذاتي الأول مثل V1 = (–2 ؛ 1). العودة إلى بداية المقال. كان هذا الكائن المتجه هو الذي ضربنا المصفوفة به لتوضيح مفهوم المتجه الذاتي.

لنجد الآن المتجه الذاتي لـ λ = 12.

• م - λ × E = -12 ؛ أربعة
• 6; -2.

دعونا نؤلف نفس نظام المعادلات الخطية ؛

• -12 س + 4 ص = 6 س - 2 ص
• -18 س = -6 ص
• 3 س = ص.

الآن لنأخذ x = 1 ، ومن ثم y = 3. وبالتالي ، فإن المتجه الذاتي الثاني يبدو مثل V2 = (1 ؛ 3). عند ضرب المصفوفة الأصلية في ناقلات معينة، ستكون النتيجة دائمًا نفس المتجه مضروبًا في 12. هذا يكمل خوارزمية الحل. الآن أنت تعرف كيفية تحديد المتجه الذاتي للمصفوفة يدويًا.

• محدد.
• تتبع ، أي مجموع العناصر على القطر الرئيسي ؛
• رتبة ، وهذا هو الحد الأقصى للمبلغصفوف / أعمدة مستقلة خطيًا.

يعمل البرنامج وفقًا للخوارزمية المذكورة أعلاه ، مما يقلل من عملية الحل. من المهم الإشارة إلى أنه في البرنامج يتم الإشارة إلى لامدا بالحرف "c". لنلق نظرة على مثال عددي.

مثال البرنامج

دعنا نحاول تعريف المتجهات الذاتية للمصفوفة التالية:

• م = 5 ؛ 13 ؛
• 4; 14.

دعنا ندخل هذه القيم في خلايا الآلة الحاسبة ونحصل على الإجابة بالشكل التالي:

• رتبة المصفوفة: 2 ؛
• محدد المصفوفة: 18 ؛
• تتبع المصفوفة: 19 ؛
• حساب Eigenvector: c 2 - 19.00c + 18.00 (معادلة مميزة) ؛
• حساب Eigenvector: 18 (قيمة لامدا الأولى) ؛
• حساب Eigenvector: 1 (قيمة لامدا الثانية) ؛
• نظام معادلات المتجه 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 - 4y1 ؛
• نظام معادلة المتجه 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1 ؛
• Eigenvector 1: (1 ؛ 1) ؛
• Eigenvector 2: (-3.25 ؛ 1).

وهكذا ، حصلنا على اثنين من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا.

استنتاج

يعتبر الجبر الخطي والهندسة التحليلية موضوعات قياسية لأي طالب جديد التخصص الفني. عدد كبير منالمتجهات والمصفوفات مرعبة ، ومن السهل ارتكاب خطأ في مثل هذه الحسابات المرهقة. سيسمح برنامجنا للطلاب بالتحقق من حساباتهم أو حل مشكلة العثور على eigenvector تلقائيًا. توجد حاسبات جبر خطية أخرى في الكتالوج الخاص بنا ، استخدمها في دراستك أو عملك.

www.siteيسمح لك أن تجد. الموقع يقوم بالحساب. في غضون ثوانٍ قليلة ، سيصدر الخادم الحل الصحيح. المعادلة المميزة للمصفوفةسوف يكون تعبير جبري، التي تم العثور عليها من خلال قاعدة حساب المحدد المصفوفات المصفوفات، بينما على القطر الرئيسي ستكون هناك اختلافات في قيم العناصر القطرية والمتغير. عند حساب معادلة مميزة للمصفوفة على الإنترنت، كل عنصر المصفوفاتمع العناصر الأخرى المقابلة المصفوفات. البحث في الوضع عبر الانترنتممكن فقط للمربع المصفوفات. ابحث عن العملية معادلة مميزة للمصفوفة على الإنترنتينزل إلى الحساب مجموع جبريمنتجات العناصر المصفوفاتنتيجة إيجاد المحدد المصفوفات، فقط لغرض التحديد معادلة مميزة للمصفوفة على الإنترنت. تستغرق هذه العملية مكان خاصنظريا المصفوفات، يسمح لك بالعثور على قيم eigenvalues ​​والمتجهات باستخدام الجذور. البحث عن المهمة معادلة مميزة للمصفوفة على الإنترنتهو مضاعفة العناصر المصفوفاتمع التجميع اللاحق لهذه المنتجات وفقًا لقاعدة معينة. www.siteيجد معادلة مميزة للمصفوفةبعد معين في الوضع عبر الانترنت. عملية حسابية معادلة مميزة للمصفوفة على الإنترنتبالنسبة لبعد معين ، هذا هو إيجاد كثير الحدود مع معاملات عددية أو رمزية تم العثور عليها بواسطة قاعدة حساب المحدد المصفوفات- كمجموع نواتج العناصر المقابلة المصفوفات، فقط لغرض التحديد معادلة مميزة للمصفوفة على الإنترنت. إيجاد كثير الحدود بالنسبة لمتغير لمربع المصفوفاتكتعريف معادلة مميزة للمصفوفة، شائع من الناحية النظرية المصفوفات. قيمة جذور كثير الحدود معادلة مميزة للمصفوفة على الإنترنتتستخدم لتعريف المتجهات الذاتية والقيم الذاتية لـ المصفوفات. ومع ذلك ، إذا كان المحدد المصفوفاتسيكون صفرا ، إذن معادلة خصائص المصفوفةستظل موجودة ، على عكس العكس المصفوفات. من أجل حساب معادلة مميزة للمصفوفةأو ابحث عن عدة في وقت واحد معادلات مميزة المصفوفات، تحتاج إلى إنفاق الكثير من الوقت والجهد ، بينما سيجد خادمنا معادلة مميزة للمصفوفة عبر الإنترنت. في هذه الحالة ، الجواب من خلال إيجاد معادلة مميزة للمصفوفة على الإنترنتستكون صحيحة وبدقة كافية ، حتى لو كانت الأرقام عند العثور عليها معادلة مميزة للمصفوفة على الإنترنتسيكون غير عقلاني. متصل www.siteيُسمح بإدخالات الأحرف في العناصر المصفوفات، إنه معادلة مميزة للمصفوفة عبر الإنترنتيمكن تمثيلها بشكل رمزي عام عند الحساب مصفوفة المعادلة المميزة عبر الإنترنت. من المفيد التحقق من الإجابة التي تم الحصول عليها عند حل مشكلة البحث معادلة مميزة للمصفوفة على الإنترنتباستخدام الموقع www.site. عند إجراء عملية حساب كثير الحدود - المعادلة المميزة للمصفوفة، من الضروري أن تكون منتبهًا ومركّزًا للغاية في حل هذه المشكلة. في المقابل ، سيساعدك موقعنا على التحقق من قرارك بشأن الموضوع مصفوفة المعادلة المميزة عبر الإنترنت. إذا لم يكن لديك وقت لإجراء فحوصات طويلة للمشكلات التي تم حلها ، فحينئذٍ www.siteسيكون بالتأكيد أداة ملائمة للتحقق عند البحث والحساب معادلة مميزة للمصفوفة على الإنترنت.

القيم الذاتية (الأرقام) والمتجهات الذاتية.
أمثلة الحل

كن نفسك

من كلا المعادلتين يتبع ذلك.

لنضع بعد ذلك: .

نتيجة ل: هو ناقل eigenvector الثاني.

دعنا نكرر نقاط مهمةحلول:

- النظام الناتج له بالتأكيد حل عام (المعادلات تعتمد خطيًا) ؛

- يتم اختيار "Y" بطريقة تجعله عددًا صحيحًا ويكون الإحداثي الأول "x" عددًا صحيحًا وموجبًا وصغيرًا قدر الإمكان.

- نتحقق من أن الحل المعين يلبي كل معادلة في النظام.

إجابه .

كانت "نقاط التفتيش" الوسيطة كافية ، لذا فإن التحقق من المساواة ، من حيث المبدأ ، غير ضروري.

في مصادر المعلومات المختلفة ، غالبًا ما تتم كتابة إحداثيات المتجهات الذاتية ليس في أعمدة ، ولكن في صفوف ، على سبيل المثال: (ولكي أكون صادقًا ، كنت أكتبها في سطور). هذا الخيار مقبول ولكن في ضوء الموضوع التحولات الخطيةمن الناحية الفنية أكثر ملاءمة للاستخدام ناقلات العمود.

ربما بدا لك الحل طويلًا جدًا ، لكن هذا فقط لأنني علقت على المثال الأول بتفصيل كبير.

مثال 2

المصفوفات

نحن نتدرب بمفردنا! عينة تقريبية من التصميم النهائي للمهمة في نهاية الدرس.

احيانا عليك ان تفعل مهمة إضافية، يسمى:

اكتب التحلل الكنسي للمصفوفة

ما هذا؟

إذا تم تشكيل المتجهات الذاتية للمصفوفة أساس، ثم يمكن تمثيلها على النحو التالي:

أين توجد مصفوفة تتكون من إحداثيات المتجهات الذاتية ، - قطريمصفوفة مع القيم الذاتية المقابلة.

يسمى هذا تحلل المصفوفة العنوان الأساسيأو قطري.

تأمل مصفوفة المثال الأول. نواقلها الخاصة مستقل خطيا(غير خطية متداخلة) وتشكل أساسًا. لنصنع مصفوفة من إحداثياتها:

على قطري رئيسيالمصفوفات بالترتيب المناسبتوجد قيم eigenvalues ​​، والعناصر المتبقية تساوي الصفر:
- أؤكد مرة أخرى على أهمية الترتيب: "اثنان" يتوافق مع المتجه الأول وبالتالي يقع في العمود الأول ، "ثلاثة" - إلى المتجه الثاني.

وفقًا للخوارزمية المعتادة للبحث مصفوفة معكوسةأو طريقة جاوس جوردانتجد . لا ، هذا ليس خطأ مطبعي! - أمامك نادر مثل كسوف الشمسحدث عندما تطابق معكوس المصفوفة الأصلية.

يبقى لكتابة التحلل الكنسي للمصفوفة:

يمكن حل النظام باستخدام التحولات الأوليةوفي الأمثلة التالية سوف نلجأ إليها هذه الطريقة. ولكن هنا تعمل طريقة "المدرسة" بشكل أسرع. من المعادلة الثالثة نعبر عن: - استبدل المعادلة الثانية:

نظرًا لأن الإحداثي الأول هو صفر ، فإننا نحصل على نظام يتبعه من كل معادلة.

ومره اخرى انتبه إلى الوجود الإلزامي لعلاقة خطية. إذا كان يعمل فقط حل تافه ، ثم إما أنه تم العثور على قيمة eigenvalue بشكل غير صحيح ، أو تم تجميع / حل النظام مع وجود خطأ.

الإحداثيات المدمجة تعطي قيمة

المتجه الذاتي:

ومرة أخرى ، نتحقق من أن الحل الذي تم العثور عليه يرضي كل معادلة النظام. في الفقرات التالية وفي المهام اللاحقة ، أوصي بقبول هذه الرغبة كقاعدة إلزامية.

2) بالنسبة للقيمة الذاتية ، باتباع نفس المبدأ ، نحصل عليها النظام القادم:

من المعادلة الثانية للنظام نعبر عن: - استبدل المعادلة الثالثة:

نظرًا لأن إحداثي "زيتا" يساوي صفرًا ، نحصل على نظام من كل معادلة يتبعها الاعتماد الخطي.

يترك

نتحقق من أن الحل يرضي كل معادلة النظام.

وهكذا ، فإن المتجه الذاتي:.

3) وأخيرًا ، يتوافق النظام مع قيمته الخاصة:

تبدو المعادلة الثانية هي الأبسط ، لذا فإننا نعبر عنها ونستبدلها في المعادلتين الأولى والثالثة:

كل شيء على ما يرام - تم الكشف عن تبعية خطية ، نستبدلها في التعبير:

نتيجة لذلك ، تم التعبير عن "X" و "Y" من خلال "Z":. في الممارسة العملية ، ليس من الضروري تحقيق مثل هذه العلاقات فقط ؛ في بعض الحالات يكون من الأنسب التعبير عن كل من خلال أو من خلال. أو حتى "قطار" - على سبيل المثال ، "X" حتى "Y" و "Y" حتى "Z"

لنضع بعد ذلك:

نتحقق من أن الحل الذي تم العثور عليه يفي بكل معادلة من النظام ويكتب المتجه الذاتي الثالث

إجابه: المتجهات الذاتية:

هندسيًا ، تحدد هذه المتجهات ثلاثة اتجاهات مكانية مختلفة ("هناك والعودة مرة أخرى")، وفقًا لذلك التحول الخطييحول المتجهات غير الصفرية (المتجهات الذاتية) إلى نواقل تربطها علاقة خطية.

إذا كان الشرط مطلوبًا لإيجاد توسع متعارف عليه ، فهذا ممكن هنا ، لأن تتوافق قيم eigenvalues ​​المختلفة مع متجهات ذاتية مختلفة مستقلة خطيًا. نصنع مصفوفة من إحداثياتهم ، المصفوفة القطرية من ذو صلةقيم eigenvalues ​​والبحث مصفوفة معكوسة .

إذا ، وفقًا للشرط ، من الضروري الكتابة مصفوفة التحويل الخطي على أساس المتجهات الذاتية، ثم نعطي الإجابة بالصيغة. هناك فرق وفرق كبير!لهذه المصفوفة هي المصفوفة "دي".

التحدي مع المزيد حسابات بسيطةل حل مستقل:

مثال 5

أوجد المتجهات الذاتية للتحول الخطي ، التي قدمتها المصفوفة

عند العثور على الأرقام الخاصة بك ، حاول عدم إحضار الحالة إلى كثير الحدود من الدرجة الثالثة. بالإضافة إلى ذلك ، قد تختلف حلول نظامك عن حلولي - لا يوجد غموض هنا ؛ والمتجهات التي تجدها قد تختلف عن متجهات العينة حتى التناسب مع إحداثيات كل منها. على سبيل المثال ، و. من الممتع أكثر من الناحية الجمالية تقديم الإجابة في شكل ، ولكن لا بأس إذا توقفت عند الخيار الثاني. ومع ذلك ، كل شيء حدود معقولة، لا يبدو الإصدار جيدًا جدًا.

عينة نهائية تقريبية من الواجب في نهاية الدرس.

كيف تحل المشكلة في حالة القيم الذاتية المتعددة؟

الخوارزمية العامةلا يزال كما هو ، لكن له خصائصه الخاصة ، ومن المستحسن الاحتفاظ ببعض أقسام الحل بأسلوب أكاديمي أكثر صرامة:

مثال 6

ابحث عن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

قرار

بالطبع ، دعنا نستفيد من العمود الأول الرائع:

وبعد التحلل ثلاثي الحدود مربعللمضاعفات:

نتيجة لذلك ، يتم الحصول على قيم eigenvalues ​​، اثنان منها مضاعفات.

لنجد المتجهات الذاتية:

1) سنتعامل مع جندي منفرد وفق مخطط "مبسط":

من المعادلتين الأخيرتين ، المساواة واضحة للعيان ، والتي من الواضح أنه يجب استبدالها في المعادلة الأولى للنظام:

لا يوجد مزيج أفضل:
المتجه الذاتي:

2-3) الآن نقوم بإزالة اثنين من الحراس. في هذه الحالة ، قد يكون إما اثنين أو واحدناقل eigenvector. بغض النظر عن تعدد الجذور ، نعوض بالقيمة في المحدد ، وهو ما يجلب لنا ما يلي نظام متجانس من المعادلات الخطية:

المتجهات الذاتية هي النواقل بالضبط
نظام القرار الأساسي

في الواقع ، طوال الدرس ، كنا منشغلين فقط في إيجاد متجهات النظام الأساسي. فقط في الوقت الحاضر هذا المصطلحلم يكن مطلوبًا بشكل خاص. بالمناسبة ، هؤلاء الطلاب الماهرون الذين ، في التمويه معادلات متجانسةستضطر إلى تدخينه الآن.

كان الإجراء الوحيد هو إزالة الأسطر الزائدة. والنتيجة هي مصفوفة "واحد في ثلاثة" مع "خطوة" رسمية في المنتصف.
- المتغير الأساسي - المتغيرات الحرة. هناك نوعان من المتغيرات الحرة ، لذلك هناك أيضًا متجهان للنظام الأساسي.

دعنا نعبر عن المتغير الأساسي من حيث المتغيرات الحرة:. يسمح عامل الصفر الموجود أمام "x" بأخذ أي قيم على الإطلاق (وهو ما يمكن رؤيته بوضوح من نظام المعادلات).

في سياق هذه المشكلة ، من الأنسب كتابة الحل العام ليس على التوالي ، ولكن في عمود:

الزوج يتوافق مع eigenvector:
الزوج يتوافق مع eigenvector:

ملحوظة : يمكن للقراء المحنكين أن يلتقطوا هذه المتجهات شفهيًا - فقط عن طريق تحليل النظام ، ولكن هناك حاجة إلى بعض المعرفة هنا: هناك ثلاثة متغيرات ، رتبة مصفوفة النظام- الوحدة تعني نظام القرار الأساسييتكون من 3-1 = 2 نواقل. ومع ذلك ، فإن النواقل التي تم العثور عليها مرئية تمامًا حتى بدون هذه المعرفة ، على مستوى حدسي بحت. في هذه الحالة ، سيتم كتابة المتجه الثالث "بشكل أكثر جمالًا":. ومع ذلك ، كلمة تحذير ، في مثال آخر اختيار بسيطقد لا يكون الأمر كذلك ، ولهذا فإن الحجز مخصص للأشخاص ذوي الخبرة. علاوة على ذلك ، لماذا لا نعتبر المتجه الثالث ، على سبيل المثال ،؟ بعد كل شيء ، فإن إحداثياته ​​تلبي أيضًا كل معادلة للنظام والمتجهات مستقلة خطيًا. هذا الخيار ، من حيث المبدأ ، مناسب ، لكنه "ملتو" ، لأن المتجه "الآخر" هو مزيج خطي من نواقل النظام الأساسي.

إجابه: القيم الذاتية: ، المتجهات الذاتية:

مثال مشابه لحل افعل ذلك بنفسك:

مثال 7

ابحث عن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

عينة تقريبية للانتهاء في نهاية الدرس.

تجدر الإشارة إلى أنه في كلا المثالين السادس والسابع ، يتم الحصول على ثلاثية من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا ، وبالتالي يمكن تمثيل المصفوفة الأصلية في التحلل الكنسي. لكن مثل هذه التوت لا تحدث في جميع الحالات:

المثال 8

قرار: يؤلف ويحل المعادلة المميزة:

نقوم بتوسيع المحدد بالعمود الأول:

نقوم بإجراء المزيد من التبسيط وفقًا للطريقة المدروسة ، مع تجنب كثير الحدود من الدرجة الثالثة:

– القيم الذاتية.

لنجد المتجهات الذاتية:

1) لا توجد صعوبات مع الجذر:

لا تتفاجأ ، بالإضافة إلى المجموعة ، المتغيرات قيد الاستخدام أيضًا - لا يوجد فرق هنا.

من المعادلة الثالثة نعبر عنها - نستبدلها في المعادلتين الأولى والثانية:

من كلا المعادلتين يلي:

دعنا إذن:

2-3) للقيم المتعددة نحصل على النظام .

دعونا نكتب مصفوفة النظام ، وباستخدام التحولات الأولية ، نحولها إلى شكل متدرج:

التعريف 9.3.المتجه X مسمي ناقل الخاصةالمصفوفات وإذا كان هناك مثل هذا الرقم λ, أن المساواة تحمل: و X= λ X, وهذا هو نتيجة التقديم على X التحويل الخطي الذي تعطيه المصفوفة و، هو ضرب هذا المتجه بالرقم λ . الرقم نفسه λ مسمي رقم خاصالمصفوفات و.

الاستبدال في الصيغ (9.3) x` j = λx j ،نحصل على نظام معادلات لتحديد إحداثيات المتجه الذاتي:

. (9.5)

سيكون لهذا النظام المتجانس الخطي حل غير تافه فقط إذا كان المحدد الرئيسي له هو 0 (قاعدة كرامر). بكتابة هذا الشرط في النموذج:

نحصل على معادلة لتحديد القيم الذاتية λ مسمي معادلة مميزة. باختصار ، يمكن تمثيلها على النحو التالي:

| أ- λE | = 0, (9.6)

لأن جانبها الأيسر هو محدد المصفوفة أ- λE. متعدد الحدود فيما يتعلق λ | أ- λE| مسمي كثير الحدود المميزةالمصفوفات أ.

خصائص كثير الحدود المميزة:

1) لا تعتمد كثير الحدود المميز للتحول الخطي على اختيار الأساس. دليل - إثبات. (انظر (9.4)) ، ولكن بالتالي، . وبالتالي ، لا يعتمد على اختيار الأساس. ومن ثم ، و | أ- λE| لا يتغير عند الانتقال إلى أساس جديد.

2) إذا كانت المصفوفة وهو التحول الخطي متماثل(أولئك. a ij = a ji) ، فإن جميع جذور المعادلة المميزة (9.6) هي أرقام حقيقية.

خصائص القيم الذاتية والمتجهات الذاتية:

1) إذا اخترنا أساسًا من المتجهات الذاتية × 1 ، × 2 ، × 3 المقابلة لقيم eigenvalues λ 1 ، 2 ، 3المصفوفات و، ثم على هذا الأساس التحول الخطييحتوي A على مصفوفة قطرية:

(9.7) يأتي إثبات هذه الخاصية من تعريف المتجهات الذاتية.

2) إذا كان التحويل قيم ذاتية ومختلفة ، فإن المتجهات الذاتية المقابلة لها تكون مستقلة خطيًا.

3) إذا كانت كثيرة الحدود المميزة للمصفوفة وثلاثة جذر مختلف، ثم في بعض الأساس المصفوفة وله شكل قطري.

لنجد قيم eigenvalues ​​والمتجهات الذاتية للمصفوفة لنجعل المعادلة المميزة: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0 ، λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

ابحث عن إحداثيات المتجهات الذاتية المقابلة لكل قيمة تم العثور عليها λ. من (9.5) يتبع ذلك إذا X (1) ={× 1 ، × 2 ، × 3) هو المتجه الذاتي المقابل ل λ 1 = -2 إذن

- مشترك ، لكن نظام غير محدد. يمكن كتابة حلها كـ X (1) ={أ,0,-أ) ، حيث يمثل a أي رقم. على وجه الخصوص ، إذا طلبت ذلك | x (1) |=1, X (1) =

الاستبدال في النظام (9.5) λ 2 = 3 ، نحصل على نظام لتحديد إحداثيات المتجه الذاتي الثاني - x (2) ={y1، y2، y3}:

، أين X (2) ={ب ، -ب ، ب) أو المقدمة | x (2) |=1, x (2) =

ل λ 3 = 6 أوجد المتجه الذاتي x (3) ={z1، z2، z3}:

, x (3) ={ج,2 ج ، ج) أو في النسخة العادية

× (3) = ويمكن أن نرى أن X (1) X (2) = أب- أب= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = قبل الميلاد- 2قبل الميلاد + قبل الميلاد= 0. وهكذا ، فإن المتجهات الذاتية لهذه المصفوفة متعامدة زوجيًا.

المحاضرة 10

الأشكال التربيعية وعلاقتها بالمصفوفات المتماثلة. خصائص المتجهات الذاتية والقيم الذاتية لمصفوفة متماثلة. اختزال الشكل التربيعي إلى الشكل الكنسي.

التعريف 10.1.شكل تربيعيالمتغيرات الحقيقية × 1 ، × 2 ، ... ، × نيسمى كثير الحدود من الدرجة الثانية فيما يتعلق بهذه المتغيرات ، والتي لا تحتوي على مصطلح مجاني وشروط من الدرجة الأولى.

أمثلة أشكال تربيعية:

(ن = 2),

(ن = 3). (10.1)

تذكر تعريف المصفوفة المتماثلة الواردة في المحاضرة الأخيرة:

التعريف 10.2. مصفوفة مربعةمسمي متماثل، إذا ، هذا هو ، إذا كانت عناصر المصفوفة متماثلة بالنسبة للقطر الرئيسي متساوية.

خصائص القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لمصفوفة متماثلة:

1) جميع القيم الذاتية لمصفوفة متماثلة حقيقية.

إثبات (لـ ن = 2).

دع المصفوفة ويشبه: . دعونا نجعل المعادلة المميزة:

(10.2) أوجد المميز:

لذلك ، فإن المعادلة لها جذور حقيقية فقط.

2) المتجهات الذاتية لمصفوفة متماثلة متعامدة.

إثبات (لـ ن= 2).

إحداثيات المتجهات الذاتية ويجب أن تحقق المعادلات.