ابحث عن علاقة التكرار على الإنترنت. توليد الوظائف - ذهابًا وإيابًا

علاقة متكررة, معادلة متكررةأو الصيغة المتكررةتسمى علاقة النموذج ، والتي تسمح لك بحساب جميع أعضاء التسلسل
، إذا كان الأول كأفراد.

1. الصيغة
يحدد التقدم الحسابي.

2. الصيغة
يحدد التقدم الهندسي.

3. الصيغة
يحدد التسلسل أرقام فيبوناتشي.⁫

في الحالة التي تكون فيها علاقة التكرار خطية ومتجانسة ، أي علاقة النموذج

(ص= const) ، التسلسل
مسمي قابل للإرجاع. متعدد الحدود

مسمي صفة مميزةلتسلسل العودة
. الجذور متعددة الحدود
مسمي صفة مميزة.

تسمى مجموعة كل التسلسلات التي ترضي علاقة تكرار معينة معادلة عامة.

وصف المعادلة العامة للعلاقة (1) له نظائر مع وصف حل المعادلة التفاضلية العادية ذات المعاملات الثابتة.

نظرية 1. 1. يتركهو جذر كثير الحدود المميز (2). ثم التسلسل
، أينجهو ثابت تعسفي ، يرضي العلاقة (1).

2. لو
- جذور بسيطة كثير الحدود المميز (2) ، إذن قرار مشتركعلاقة التكرار (1) لها الشكل، أين
ثوابت اعتباطية.

3. لو- جذر التعدد
كثير الحدود المميز (2) ، ثم الحل العام لعلاقة التكرار (1) له الشكل
، أينثوابت اعتباطية.

معرفة الحل العام للمعادلة المتكررة (1) حسب الشروط الأولية ،
البحث عن ثوابت غير معرّف وبالتالي الحصول على حل للمعادلة (1) بالشروط الأولية المحددة.

مثال 2. ابحث عن تسلسل
، إرضاء علاقة التكرار
والشروط الأولية
.

جذور كثير الحدود المميز
هي الأرقام
. لذلك ، من خلال نظرية 3.1. الحل العام له الشكل
. استخدام الشروط الأولية، نحصل على النظام

الحل الذي نجده
و
. في هذا الطريق،
.⁫

ضع في اعتبارك المعادلة المتكررة الخطية غير المتجانسة

يترك
هو الحل العام للمعادلة المتجانسة (1) ، و
- خاص(محدد) قرارمعادلة غير متجانسة (3). ثم التسلسل
تشكل حلاً عامًا للمعادلة (3) ، وبالتالي فهي صالحة.

نظرية 2.يتم تمثيل الحل العام لمعادلة خطية متكررة غير متجانسة كمجموع الحل العام للمعادلة المتكررة الخطية المتجانسة المقابلة وبعض الحلول الخاصة للمعادلة غير المتجانسة.

وبالتالي ، بموجب النظرية 1 ، يتم تقليل مشكلة إيجاد حل عام للمعادلة العودية (3) لإيجاد حل معين.

في بعض الحالات ، توجد وصفات عامة لإيجاد حل عام.

لو
(أين ) ليس جذرًا مميزًا ، إذن ، يحل محله
في (3) نحصل عليها من هنا
، على سبيل المثال ، يمكن إعطاء حل معين بواسطة الصيغة
.

يترك
- درجة كثيرة الحدود صمن متغير ن، والرقم 1 ليس جذرًا مميزًا. ثم يجب أيضًا البحث عن حل معين في النموذج
. بالتعويض عن كثيرات الحدود في الصيغة (3) ، نحصل عليها

بمقارنة المعاملات على الجانبين الأيسر والأيمن للمساواة الأخيرة ، نحصل على نسب الأرقام السماح بتحديد هذه الأرقام.

مثال. ابحث عن حل للمعادلة

(4)

مع الحالة الأولية
.

ضع في اعتبارك كثير الحدود المميز
. مثل
والجانب الأيمن
المعادلة (3) تساوي ن+1 ، سنبحث عن حل معين بالشكل
. أستعاض في المعادلة (4) نحصل عليها. معادلة المعاملات على الجانبين الأيسر والأيمن للمساواة الأخيرة ، نحصل على النظام

أين نجد
. وبالتالي ، فإن حل معين للمعادلة (4) له الشكل
. بواسطة Theorem 3.1. الحل العام للمعادلة المتجانسة
من خلال الصيغة
، ومن خلال نظرية 3.2. نحصل على الحل العام للمعادلة (4):
. من الحالة الأولية
تجد
، بمعنى آخر. . في هذا الطريق،
.

حاشية. ملاحظة: المواضع دون تكرار. التباديل. مجموعات. العلاقات المتكررة. طريقة إثبات أخرى. عملية الأقسام المتتالية. المهمة: "صعوبة الماجوردومو".

المواضع دون تكرار

متاح مختلف البنود. كم منها يمكن أن تصنع - الأبراج؟ في هذه الحالة ، يتم اعتبار ترتيبين مختلفين إذا كانا يختلفان عن بعضهما البعض من خلال عنصر واحد على الأقل ، أو يتكونان من نفس العناصر ، ولكن يتم ترتيبهما بترتيب مختلف. تسمى هذه الترتيبات المواضع دون تكرار، وعددهم يشار إليه بواسطة. عند تجميع المواضع دون تكرار العناصر ، نحتاج إلى اتخاذ خيارات. في الخطوة الأولى ، يمكنك اختيار أي من العناصر المتاحة. إذا كان هذا الاختيار قد تم بالفعل ، فيجب عليك في الخطوة الثانية الاختيار من بين العناصر المتبقية. على - م عناصر الخطوة. لذلك ، وفقًا لقاعدة المنتج ، نحصل على أن عدد المواقع دون التكرار من الكائنات يتم التعبير عنه على النحو التالي:

التباديل

عند تجميع الترتيبات بدون تكرار من العناصر ص ، حصلنا على ترتيبات تختلف عن بعضها البعض في التكوين وترتيب العناصر. لكن إذا اتخذنا ترتيبات تشمل جميع العناصر ، فيمكن أن تختلف عن بعضها البعض فقط في ترتيب العناصر المدرجة فيها. تسمى هذه الترتيبات تباديل العناصر ن، أو باختصار ، التباديل.

مجموعات

في الحالات التي لا نهتم فيها بترتيب العناصر في المجموعة ، ولكننا مهتمون فقط بتكوينها ، فإننا نتحدث عن التوليفات. لذلك ، - تسمى جميع أنواع مجموعات العناصر - الترتيبات المكونة من هذه العناصر وتختلف عن بعضها البعض في التكوين ، ولكن ليس في ترتيب العناصر. يُشار إلى عدد التركيبات التي يمكن أن تتكون من عناصر بواسطة.

يتم اشتقاق صيغة عدد التركيبات من صيغة عدد المواضع. في الواقع ، سنقوم أولاً بتكوين كل شيء - مجموعات من العناصر ، ثم سنعيد ترتيب العناصر المضمنة في كل مجموعة بكل الطرق الممكنة. في هذه الحالة ، اتضح أن جميع مواقع العناصر ، وكل مرة واحدة فقط. ولكن من كل - يمكن إجراء مجموعات! التباديل ، وعدد هذه المجموعات هو. إذن الصيغة صالحة

من هذه الصيغة نجد ذلك

العلاقات المتكررة

عند حل الكثير مشاكل اندماجيةاستخدم طريقة تقليل هذه المشكلة إلى مشكلة تتعلق أقلالعناصر. يتم استدعاء طريقة تقليل مشكلة مماثلة لعدد أصغر من الكائنات طريقة العلاقة المتكررة(من الكلمة اللاتينية "recurrere" - "to return").

دعونا نوضح مفهوم علاقات التكرار بمشكلة كلاسيكية طرحها ليوناردو بيزا حوالي عام 1202 ، والمعروفة باسم فيبوناتشي. أهمية أرقام فيبوناتشي لتحليل الخوارزميات الاندماجية تجعل هذا المثال مناسبًا جدًا.

طرح فيبوناتشي المشكلة في شكل قصة حول معدل نمو أعداد الأرانب وفقًا للافتراضات التالية. كل شيء يبدأ بزوج واحد من الأرانب. يُخصب كل زوج بعد شهر ، وبعد ذلك يلد كل زوج زوج جديدأرانب كل شهر. الأرانب لا تموت أبدًا ولا يتوقف تكاثرها أبدًا.

دعونا - عدد أزواج الأرانب في السكان بعد شهور ، ودع هذه المجموعة تتكون من أزواج من الأبناء والأزواج "القديمة" ، أي. وبالتالي ، في الشهر المقبل ستحدث الأحداث التالية:. سيزداد عدد السكان المسنين في الوقت الحالي بعدد الولادات في الوقت المناسب. . كل زوج قديم في وقت واحد ينتج زوجًا من النسل في الوقت المناسب. في الشهر التالي ، يتكرر هذا النمط:

بدمج هذه المساواة ، نحصل على علاقة التكرار التالية:

(7.1)

إن اختيار الشروط الأولية لتسلسل فيبوناتشي ليس مهمًا ؛ يتم تحديد الخاصية الأساسية لهذا التسلسل من خلال علاقة التكرار. سوف نفترض (في بعض الأحيان ).

لنلقِ نظرة مختلفة قليلاً على هذه المشكلة..

ينجب زوج من الأرانب مرة واحدة في الشهر نسلًا من أرنبين (إناث وذكور) ، والأرانب المولودة حديثًا تنجب بالفعل ذرية بعد شهرين من الولادة. كم عدد الأرانب التي ستظهر في السنة إذا كان هناك زوج واحد من الأرانب في بداية العام؟

من حالة المشكلة يترتب على ذلك أنه في غضون شهر سيكون هناك زوجان من الأرانب. بعد شهرين ، سيعطي أول زوج من الأرانب ذرية فقط ، وسيتم الحصول على 3 أزواج. وفي غضون شهر ، سيعطي كل من الزوج الأصلي للأرانب وزوج الأرانب الذي ظهر قبل شهرين ذرية. لذلك ، سيكون هناك 5 أزواج من الأرانب في المجموع. قم بالإشارة إلى عدد أزواج الأرانب بعد الأشهر منذ بداية العام. من الواضح أنه في غضون شهور سيكون هناك هذه الأزواج والعديد من أزواج الأرانب المولودة حديثًا كما كانت في نهاية الشهر ، أي المزيد من أزواج الأرانب. بمعنى آخر ، هناك علاقة تكرار

(7.2)

منذ ذلك الحين ، حسب الشرط ، ووجدناها على التوالي

خاصه، .

يتم استدعاء الأرقام أرقام فيبوناتشي. لديهم عدد من الخصائص الرائعة. نشتق الآن التعبير عن هذه الأعداد من خلال. للقيام بذلك ، نقوم بتأسيس اتصال بين أرقام فيبوناتشي والمشكلة الاندماجية التالية.

أوجد عدد المتواليات المكونة من 0 و 1 التي لا يوجد فيها متتاليان 1 متتالية.

لإنشاء هذا الاتصال ، نأخذ أي تسلسل من هذا القبيل ونقارن به زوجًا من الأرانب وفقًا للقاعدة التالية: تتوافق الوحدات مع أشهر ميلاد أحد أزواج "أسلاف" هذا الزوج (بما في ذلك الأصل الأصلي) ، والأصفار تتوافق مع جميع الأشهر الأخرى. على سبيل المثال ، يحدد التسلسل 010010100010 "علم الأنساب" التالي: ظهر الزوجان في نهاية الشهر الحادي عشر ، ووالداها - في نهاية الشهر السابع ، "جد" - في نهاية الشهر الخامس و "عظيم -الجد "- في نهاية الشهر الثاني. ثم يتم تشفير الزوج الأصلي من الأرانب بالتسلسل 000000000000.

من الواضح في هذه الحالة أن وحدتين متتاليتين لا يمكن أن تكونا في أي تسلسل - فالزوج الذي ظهر للتو لا يمكنه ، بشرط ، أن ينجب النسل في غضون شهر. بالإضافة إلى ذلك ، وفقًا للقاعدة المشار إليها ، تتوافق أزواج مختلفة من الأرانب مع تسلسلات مختلفة ، والعكس صحيح ، يكون لزوجين مختلفين من الأرانب دائمًا "سلالة" مختلفة ، حيث تلد أنثى الأرانب ، حسب الحالة ، وتتكون من زوج واحد فقط من الأرانب.

يظهر الاتصال الثابت أن عدد العواقب التي تمتلكها خاصية محددة، يساوي.

دعونا الآن نثبت ذلك

(7.3)

أين ، إذا كان غريبًا ، وإذا كان زوجيًا. بعبارات أخرى، - الجزء الكاملالأرقام (فيما يلي سنشير إلى الجزء الصحيح من الرقم بواسطة ؛ وبالتالي ، ).

في الواقع ، هو عدد الكل - المتتاليات المكونة من 0 و 1 التي لا يوجد فيها اثنان من 1 متجاورتين. عدد مثل هذه التسلسلات التي تتضمن بالضبط 1s و 0s يساوي. لأن هذا يجب أن يتم

الحجم: بكسل

بدء الانطباع من الصفحة:

نسخة طبق الأصل

1 وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي جامعة ولاية كوستروما سميت باسم N.A Nekrasov T.

2 BBK ya73-5 M348 تم النشر بقرار من مجلس التحرير والنشر بجامعة الملك سعود مراجع N. حل العلاقات المتكررة: ورشة عمل [نص] / T. N. Matytsina. كوستروما: جامعة الملك سعود im. N.A Nekrasova ، p. ورشة عمل تحتوي على المهام الفرديةللطلاب وهي مصممة لتقديم عمل مستقلحول إتقان الجزء الأول من دورة "الرياضيات المتقطعة". لطلاب 2 3 مقررات بكلية الفيزياء والرياضيات ، يدرسون في تخصصات "الرياضيات" مع تخصص إضافي "علوم الحاسب الآلي" ، "المعلوماتية" مع تخصص إضافي "الرياضيات". BBK ya73-5 T. N. Matytsina، 2010 KSU im. إن. أ. نيكراسوفا ،

3 المحتويات مقدمة القواعد الارشاديةلحل علاقات التكرار الخطية المفاهيم الأساسية وتعريفات المتواليات المتكررة (المتكررة) الخوارزميات لحل LORS و LRS أمثلة لحل مشاكل LORS و LRS قرار مستقلمهام حل إجابات LORS و LRS قائمة ببليوغرافية

4 مقدمة الجزء الأول من مقرر "الرياضيات المنفصلة" ، درسه طلاب 2 3 مقررات في كلية الفيزياء والرياضيات ، يدرسون في تخصصات "المعلوماتية" مع التخصص الإضافي "الرياضيات" (الفصل الرابع) و "الرياضيات" مع التخصص الإضافي "علوم الكمبيوتر" (الفصل الخامس) ، يتضمن حل العلاقات المتكررة. يتضمن هذا الإصدار مهام لحساب علاقات التكرار الخطي المتجانسة وغير المتجانسة. كان سبب كتابة العمل العملي هو حقيقة أن الطلاب ليس لديهم عمليا أي مهارات في حل المشكلات في هذه الدورة. أحد الأسباب هو عدم وجود كتاب مدرسي أو كتاب مشاكل يمكن الوصول إليه. ستساعد المهام من ورشة العمل المقترحة كل طالب (بشكل فردي) على التعامل مع الأساليب والتقنيات الأساسية لحل المشكلات. بهدف المزيد سهل التعلمتتناول المواد الموجودة في بداية الدليل جميع أنواع المهام المقترحة لحل مستقل. في النهاية توجد قائمة بالقراءات الموصى بها والتي ستساعدك على دراسة هذا الموضوع بعمق. موضوع "العلاقات المتكررة" قريب من دورة مدرسية(التدرجات الحسابية والهندسية ، سلسلة من المربعات والمكعبات الأعداد الطبيعية، وما إلى ذلك) ، لذلك ، لا يتطلب من الطلاب أن يكونوا قد درسوا مسبقًا أي تخصصات أخرى. تم تطوير ونشر أساسيات نظرية علاقات التكرار (تسلسل العودة) في عشرينيات القرن الماضي. القرن ال 18 عالم رياضيات فرنسيموفر وأحد أعضاء أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم ، عالم الرياضيات السويسري د. برنولي. تم تقديم نظرية مفصلة من قبل أعظم عالم رياضيات في القرن الثامن عشر. أربعة

5 بطرسبورغ الأكاديمي ل. أويلر. من الأعمال اللاحقة ، يجب على المرء أن يفرز عرض نظرية المتواليات المتكررة في الدورات التدريبية حول حساب الفروق المحدودة ، التي قرأها علماء الرياضيات الروسيون المشهورون ، الأكاديميان P. L. Chebyshev و A. A. Markov. العلاقات المتكررة (من كلمة لاتينيةمتكرر للعودة) يلعب دورًا كبيرًا في الرياضيات المنفصلة ، كونه أساسًا بمعنى معين التناظرية المنفصلة للمعادلات التفاضلية. بالإضافة إلى ذلك ، فهي تسمح لك بالتقليل هذه المهمةمن المعلمات إلى مشكلة من 1 معلمة ، ثم إلى مشكلة من معلمتين ، وما إلى ذلك. من خلال تقليل عدد المعلمات بشكل متتابع ، يمكن للمرء الوصول إلى مشكلة يسهل حلها بالفعل. مفهوم العلاقة المتكررة (تسلسل العودة) هو تعميم واسع لمفهوم الحساب أو المتوالية الهندسية. كحالات خاصة ، فإنه يغطي أيضًا متواليات مربعات أو مكعبات من الأعداد الطبيعية ، متواليات من الأرقام العشرية رقم منطقي(وأي متواليات دورية بشكل عام) ، متواليات حواشي قسمة اثنين من كثيرات الحدود مرتبة في زيادة قوى x ، إلخ. 5

6 1. المنهجية التوصيات لحل العلاقات الخطية المتكررة 1.1. المفاهيم والتعريفات الأساسية للتسلسلات المتكررة (المتكررة) سنكتب المتواليات في شكل 1 ، a 2 ، a 3 ، a ، (1) أو ، باختصار ، (a). إذا كان هناك رقم طبيعي k وأرقام α 1 ، α 2 ، α k (حقيقي أو تخيلي) ، بحيث ، بدءًا من بعض الأرقام ولجميع الأرقام اللاحقة ، a + k = α 1 a + k 1 + α 2 a + ك α ك أ ، (ك 1) ، (2) ثم التسلسل (1) يسمى تسلسل متكرر (متكرر) من الترتيب ك ، وتسمى العلاقة (2) معادلة متكررة (متكررة) للطلب ك. وبالتالي ، فإن التسلسل المتكرر يتميز بحقيقة أن كل عضو من أعضائه (بدءًا من بعضها) يتم التعبير عنه من خلال نفس العدد k للأعضاء السابقين مباشرة وفقًا للصيغة (2). يتم استخدام الاسم نفسه "متكرر" (ومتكرر أيضًا) على وجه التحديد لأنه هنا ، من أجل حساب المصطلح اللاحق ، يعودون إلى المصطلحات السابقة. دعونا نعطي بعض الأمثلة على التسلسلات المتكررة. مثال 1. التقدم الهندسي. دعونا نحصل على تقدم هندسي: a 1 = α ، a 2 = α q ، a 3 = α q 2 ، a = α q 1 ، ؛ (3) لها المعادلة (2) تأخذ الشكل: a +1 = q a. (4) 6

7 هنا k = 1 و α 1 = q. وبالتالي ، فإن التقدم الهندسي هو تسلسل متكرر من الدرجة الأولى. مثال 2. التقدم الحسابي. متي المتوالية العدديةأ 1 = α ، أ 2 = α + د ، أ 3 = α + 2d ، أ = α + (1) د ، لدينا علاقة +1 = أ + د ليس لها شكل المعادلة (2). ومع ذلك ، إذا أخذنا في الاعتبار نسبتين مكتوبتين لقيمتين متجاورتين: أ +2 = أ +1 + د و +1 = أ + د ، فإننا نحصل عليهما عن طريق الطرح أ +2 أ +1 =. أ +1 أ ، أو أ +2 = 2 أ +1 معادلة بالصيغة (2). هنا k = 2 ، α 1 = 2 ، α 2 = 1. لذلك ، فإن التقدم الحسابي هو تسلسل متكرر من الدرجة الثانية. مثال 3 ضع في اعتبارك مشكلة فيبوناتشي 1 القديمة المتعلقة بعدد الأرانب. مطلوب تحديد عدد أزواج الأرانب الناضجة المتكونة من زوج واحد خلال العام ، إذا كان معروفًا أن كل زوج من الأرانب الناضجة يلد زوجًا جديدًا كل شهر ، ويصل المواليد الجدد إلى مرحلة النضج الكامل في غضون شهر. ما يثير الاهتمام في هذه المشكلة ليس النتيجة ، التي ليس من الصعب الحصول عليها على الإطلاق ، ولكن التسلسل الذي يعبر عنه أعضاؤه الرقم الإجماليناضجة أزواج من الأرانب في لحظة أولية(أ 1) في شهر (أ 2) ، في شهرين (أ 3) وبشكل عام بالأشهر (أ +1). من الواضح أن 1 = 1. في غضون شهر ، سيتم إضافة زوج من الأطفال حديثي الولادة ، لكن عدد الأزواج الناضجين سيكون هو نفسه: 2 = 1. في غضون شهرين ، ستصل الأرانب إلى مرحلة النضج والعدد الإجمالي للناضجين ستكون الأزواج مساوية لاثنين: أ 3 = 2. دعونا نحسب بالفعل الكمية 1 فيبوناتشي ، أو ليوناردو بيزا ، عالم رياضيات إيطالي من العصور الوسطى (حوالي 1200) ترك كتابًا عن العداد يحتوي على عمليات حسابية واسعة النطاق و معلومات جبريةاقترضت من الناس آسيا الوسطىوالبيزنطيين وأعادوا صياغتهم وطوروا بطريقة إبداعية. 7

8 أزواج ناضجين بعد شهر واحد وبعد أشهر 1+. نظرًا لأنه بحلول هذا الوقت ، فإن الأزواج الناضجة المتوفرة سابقًا ستعطي المزيد من النسل ، ثم بعد + 1 شهر سيكون العدد الإجمالي للأزواج الناضجة: أ +2 = أ +1 + أ. (6) ومن ثم فإن 4 = أ 3 + أ 2 = 3 ، أ 5 = أ 4 + أ 3 = 5 ، أ 6 = أ 5 + أ 4 = 8 ، أ 7 = أ 6 + أ 5 = 13. وهكذا حصلنا على التسلسل أ 1 = 1 ، أ 2 = 1 ، أ 3 = 2 ، أ 4 = 3 ، أ 5 = 5 ، أ 6 = 8 ، أ 7 = 13 ، أ 13 = 233 ، (7) بوصة التي كل مصطلح لاحق يساوي المجموعالسابقتين. يسمى هذا التسلسل تسلسل فيبوناتشي ، ويطلق على أعضائه أرقام فيبوناتشي. توضح المعادلة (6) أن تسلسل فيبوناتشي هو تسلسل متكرر من الدرجة الثانية. مثال 4. في المثال التالي ، ضع في اعتبارك تسلسل مربعات الأعداد الطبيعية: أ 1 = 1 2 ، أ 2 = 2 2 ، أ 3 = 3 2 ، أ = 2 ،. (8) هنا +1 = (+ 1) 2 = وبالتالي ، a +1 = a (9) زيادة بمقدار واحد ، نحصل على: a +2 = a (10) وبالتالي (طرح المصطلح حسب المصطلح ( 9) من (10)) ، أ +2 أ +1 = أ +1 أ + 2 ، أو أ +2 = 2 أ +1 أ + 2. (11) زيادة في المساواة (11) بواحد ، لدينا: أ +3 = 2 أ + 2 أ ؛ (12) من أين (طرح الحد حسب الحد (11) من (12)) أ +3 أ +2 = 2 أ +2 3 أ +1 + أ ، 8

9 أو أ +3 = 3 أ +2 3 أ +1 + أ. (13) لقد حصلنا على معادلة تكرارية من الدرجة الثالثة. وبالتالي ، فإن التسلسل (8) هو تسلسل متكرر من الدرجة الثالثة. مثال 5. ضع في اعتبارك تسلسل مكعبات الأعداد الطبيعية: أ 1 = 1 3 ، أ 2 = 2 3 ، أ 3 = 3 3 ، أ = 3 ،. (14) بالطريقة نفسها كما في المثال 4 ، يمكننا التحقق من أن تسلسل مكعبات الأعداد الطبيعية هو تسلسل متكرر من الدرجة الرابعة. يحقق أعضاؤها المعادلة أ +4 = 4 أ +3 6 أ أ +1 أ. (15) في حالة أبسط المتتاليات المتكررة ، مثل التتابعات الحسابية والهندسية ، أو متواليات المربعات أو مكعبات الأعداد الطبيعية ، يمكننا العثور على أي عنصر من عناصر التسلسل دون اللجوء إلى حساب الأعضاء السابقة. في حالة تسلسل أرقام فيبوناتشي ، للوهلة الأولى ، ليس لدينا فرصة لذلك ، ومن أجل حساب رقم فيبوناتشي الثالث عشر أ 13 ، نجد أولاً ، واحدًا تلو الآخر ، جميع المصطلحات السابقة (باستخدام المعادلة أ +2 = أ +1 + أ (6)): أ 1 = 1 ، أ 2 = 1 ، أ 3 = 2 ، أ 4 = 3 ، أ 5 = 5 ، أ 6 = 8 ، أ 7 = 13 ، أ 8 = 21 ، أ 9 = 34 ، أ 10 = 55 ، أ 11 = 89 ، أ 12 = 144 ، أ 13 = 233. في سياق دراسة مفصلة لهيكل الأعضاء تسلسل متكرريمكنك الحصول على الصيغ التي تسمح لك بالحساب بصيغة الحالة العامةأي عضو في التسلسل المتكرر دون اللجوء إلى حساب الأعضاء السابقين. بمعنى آخر ، تتمثل المهمة التالية في العثور على صيغة للعضو الرابع في التسلسل ، اعتمادًا على الرقم فقط. تسع

10 يمكن كتابة علاقة التكرار في الحالة العامة كـ a + k = F (، a + k 1 ، a + k 2 ، a) ، حيث F هي دالة لمتغيرات k + 1 ، والرقم k يسمى ترتيب العلاقة. حل علاقة التكرار هو التسلسل العددي ب 1 ، ب 2 ، ب 3 ، ب ، والتي تثبت المساواة: ب + ك = F (، ب + ك 1 ، ب + ك 2 ، ب) لأي = 0 ، 1 ، 2 ،. بشكل عام ، علاقة التكرار التعسفية لها عدد لا نهائي من الحلول. على سبيل المثال ، إذا أخذنا في الاعتبار العلاقة المتكررة من الدرجة الثانية أ +2 = أ +1 + أ ، إذن ، بالإضافة إلى متتالية فيبوناتشي: 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ، ... ، تتميز بحقيقة أن 1 = a 2 = 1 يرضي عددًا لا نهائيًا من التسلسلات الأخرى التي تم الحصول عليها باختيار مختلف للقيمين a 1 و a 2. لذلك ، على سبيل المثال ، بالنسبة إلى 1 = 3 و 2 = 1 نحصل على التسلسل: 3 ، 1 ، 2 ، 1 ، 3 ، 4 ، 7 ، 11 ، 18 ، 29 ،. لتحديد حل علاقة التكرار بشكل فريد ، من الضروري تعيين الشروط الأولية (يجب أن يكون هناك بالضبط العديد من الشروط الأولية مثل ترتيب علاقة التكرار). لحل علاقة تكرار يعني إيجاد صيغة الحد رقم عشر من التسلسل. لسوء الحظ ، لا توجد طريقة عامة لحل علاقات التكرار التعسفي. الاستثناء هو فئة ما يسمى بالعلاقات المتكررة الخطية ذات المعاملات الثابتة. العلاقة العودية من الشكل a + k = α 1 a + k 1 + α 2 a + k α k a ، حيث a i هي بعض الأرقام ، i = 1 ، 2 ، k ، تسمى علاقة تكرار متجانسة خطية (LORS) مع معاملات ثابتة من أجل ك. 10

11 علاقة عودية بالصيغة a + k = α 1 a + k 1 + α 2 a + k α k a + f () ، حيث a i هي بعض الأرقام ، i = 1 ، 2 ، k ، f () 0 هي a وظيفة ، تسمى النسبة التكرارية الخطية (LRS) مع معاملات ثابتة من خوارزميات الترتيب لحل LORS وخوارزمية LRS لحل LORS. لدينا LORS: a + k = α 1 a + k 1 + α 2 a + k α k a. خطوة واحدة. يتوافق كل LORS من رتبة k مع معادلة جبرية من الدرجة k بنفس المعاملات ، وتسمى المعادلة المميزة لـ LORS. نؤلف المعادلة المميزة x k = α 1 x k 1 + α 2 x k α k x 0 ونجد جذورها x i ، حيث i = 1، k. 2 خطوة. إذا كانت x i جذور التعددية 1 (أي أنها جميعًا مختلفة عن بعضها البعض) ، فإن الحل العام لـ LORS له الشكل: a = c 1 (x 1) + c 2 (x 2) + c 3 (x 3) + c k (x k) = c i x i إذا كانت x i جذور التعددية r i ، فإن الحل العام لـ LORS يكون على الشكل 2) x). أنا x أنا ك أنا = 1 3 خطوة. تم إيجاد المعاملات c i باستخدام الشروط الأولية. أحد عشر

12 خوارزمية لحل LRS. لدينا LRS: a + k = α 1 a + k 1 + α 2 a + k α k a + f (). يمكن تمثيل الوظيفة f () على أنها R m () λ ، حيث R m () هي كثيرة الحدود من الدرجة m في متغير. في الواقع ، على سبيل المثال: f () = 10 3 = (10 3) 1 = R 1 () 1 ، أو f () = = (2 + 3) 3 = R 2 () 3. دعنا نعيد كتابة LRS كـ a + k α 1 a + k 1 α 2 a + k 2 α k a = R m () λ. خطوة واحدة. نكتب LORS المقابلة: a + k α 1 a + k 1 α 2 a + k 2 α k a = 0 ونجد الحل العام. للقيام بذلك ، نقوم بتكوين المعادلة المميزة x k α 1 x k 1 α 2 x k 2 α k x 0 = 0 ونجد جذورها x i ، حيث i = 1، k. دعنا ، على سبيل المثال ، x i جذور مختلفة ، ثم الحل العام لـ LORS المقابل له الشكل: a = c 1 (x 1) + c 2 (x 2) + c 3 (x 3) + + c k (x k). 2 خطوة. نجد حلاً معينًا لـ LRS: أ) إذا لم تكن λ جذرًا معادلة مميزة x k α 1 x k 1 α 2 x k 2 α k = 0 ، ثم a = Q m () λ ، حيث Q m () هي كثيرة الحدود من الدرجة m في متغير ؛ ب) إذا كانت λ هي جذر المعادلة المميزة x k α 1 x k 1 α 2 x k 2 α k = 0 من التعددية r ، فإن a = r Q m () λ ، حيث Q m () هي كثيرة الحدود من الدرجة m في متغير. بعد ذلك ، نستبدل a في LRS الأصلي ونجد المعاملات في كثير الحدود Q m (). 12

13 3 خطوة. نجد الحل العام لـ LRS ، وهو مجموع الحل العام لـ LORS a المقابل والحل الخاص لـ LRS a ، أي ، a = a + a. تم إيجاد المعاملات c i باستخدام الشروط الأولية أمثلة لحل LORS و LRS باستخدام الخوارزمية أعلاه لإيجاد حلول لـ LORS و LRS ، دعنا نحلل العديد من المشاكل. المهمة 1. أوجد حلاً لعلاقة خطية متكررة متجانسة من الدرجة الثانية: a +2 = 6 a +1 8 a، a 0 = 3، a 1 = تكوين المعادلة المميزة x 2 = 6 x 8 x 0 وابحث جذورها. × 2 6 س + 8 = 0 ؛ × 1 \ u003d 2 ، × 2 \ u003d 4 الجذور مختلفة ، وبالتالي ، فإن تعددها هو إيجاد الحل العام لـ LORS: a \ u003d c 1 (x 1) + c 2 (x 2) \ u003d c منذ يتم إعطاء الشروط الأولية ، ثم يتم تحديد المعاملين c 1 و c 2 بشكل فريد. أ 0 \ u003d ج ج \ u003d ج 1 + ج 2 \ u003d 3 ؛ أ 1 = ج ج = 2 ج 1 + 4 ج 2 = 4. حصلنا على النظام: c1 + c2 = 3 ، 2c1 + 4c2 = 4. لحلها ، نجد المعامِلات: ج 1 = 8 ، ج 2 = 5. وهكذا ، شكل حل LORS: a = المسألة 2. ابحث عن حل لعلاقة تكرار خطية متجانسة: 13

14 أ +2 \ u003d 6 أ +1 9 أ ، أ 0 \ u003d 5 ، أ 1 \ u003d قم بتكوين المعادلة المميزة × 2 \ u003d 6 × 9 وابحث عن جذورها. × 2 6 س + 9 = 0 ؛ (× 3) 2 = 0 ؛ x 1 \ u003d x 2 \ u003d 3 جذران ، بينما تزامن x 1 و x 2 ، وبالتالي ، فإن تعدد الجذر هو إيجاد الحل العام لـ LORS: a \ u003d (c 1 + c 2) (x 1) \ u003d (c 1 + c 2) باستخدام الشروط الأولية ، نحدد المعاملين c 1 و c 2: a 0 = (c 1 + c 2 0) 3 0 = c 1 = 5 ؛ a 1 = (c 1 + c 2 1) 3 1 = (c 1 + c 2) 3 = 6. حصلنا على النظام c1 = 5، c1 + c2 = 2. لحلها ، وجدنا المعاملات ج 1 = 5 ، c 2 = 3. وهكذا ، فإن الحل LORS يتخذ الشكل: أ = (5 3) 3. ملاحظة. كما هو معروف ، يمكن أن تكون جذور المعادلة التربيعية عقلانية ، وغير منطقية ، وأرقام معقدة ، وما إلى ذلك. يتم حل طريقة حل علاقات التكرار الخطية مع هذه الجذور بالمثل. المشكلة 3. أوجد حلًا لعلاقة تكرار متجانسة خطية من الرتبة الثالثة: أ +3 = 3 أ أ +1 8 أ ، أ 0 = 9 ، أ 1 = 9 ، أ 2 = تكوين المعادلة المميزة × 3 = 3 س س 8 وايجاد جذوره. × 3 3 × 2 6 س + 8 = 0 ؛ (x 1) (x + 2) (x 4) = 0 ؛ x 1 = 1 ، x 2 = 2 ، x 3 = 4 الجذور مختلفة ، بالتالي ، تعددها متساوي. c c 2 (2) + c

15 3. باستخدام الشروط الأولية ، نجد المعاملات c 1 و c 2 و c 3. a 0 = c c 2 (2) 0 + c = c 1 + c 2 + c 3 = 9؛ أ 1 = ص ص 2 (2) 1 + ج = ص 1 2 ج 2 + 4 ج 3 = 9 ؛ a 2 = c c 2 (2) 2 + c = c 1 + 4c c 3 = 9. c1 + c2 + ñ3 = 9 3 = 2. وهكذا ، c1 + 4c2 + 16c3 = 9 ، وبالتالي ، فإن حل LORS له الشكل : أ = (2) 2 4. المشكلة 4. ابحث عن حل لعلاقة التكرار المتجانسة الخطية من الترتيب الثالث: أ 0 \ u003d 6 ، أ 1 \ u003d 15 ، أ 2 \ u003d قم بتكوين المعادلة المميزة × 3 \ u003d x 2 + 5x 3 ووجد جذوره. س 3 + س 2 5 س + 3 = 0 ؛ (x 1) 2 (x + 3) = 0 ؛ × 1 \ u003d × 2 \ u003d 1 جذر التعددية 2 ؛ × 3 = 3 جذر تعدد 3. باستخدام الشروط الأولية ، نجد المعامِلات c 1 و c 2 و c 3. a 0 = (c 1 + c 2 0) c 3 (3) 0 = c 1 + c 3 = 6 ؛ أ 1 = (ص 1 + ص 2 1) ص 3 (3) 1 = ص 1 + ص 2 3 ج 3 = 15 ؛ a 2 = (c 1 + c 2 2) c 3 (3) 2 = c 1 + 2c 2 + 9c 3 = 8. c1 + ñ3 = 6 ، حل النظام c1 + c2 3c3 = 15 ، نحصل على c 1 = 8 ، c 2 = 1 و c 3 = 2. وهكذا ، c1 + 2c2 + 9c3 = 8 ، وبالتالي ، فإن حل LORS له الشكل: أ = (8 +) 1 2 (3). 15

16 المهمة 5. أوجد حلاً لعلاقة التكرار الخطي من الدرجة الثانية: دعنا نعيد كتابة LRS بالشكل أ +2 = 18 أ + 128 ، أ 0 = 5 ، أ 1 = 2. أ أ = () 1. اكتب LRS المقابل: أ أ = 0. معادلة مميزة وإيجاد جذورها. × 2 18 س + 81 = 0 ؛ (× 9) 2 = 0 ؛ x 1 \ u003d x 2 \ u003d 9 ، تتطابق جذور المعادلة المميزة ، وبالتالي ، فإن تعددها هو 2. ثم الحل العام a \ u003d (c 1 + c 2) (x 1) \ u003d (c 1 + c 2) إيجاد حل خاص لنظام LRS. حسب الشرط f () = R m () λ = = = R 0 () λ ، حيث R 0 () = 128 هي كثيرة الحدود من درجة صفر في متغير ، و λ = 1 ليست جذر المعادلة المميزة لـ LORS المقابلة. لذلك ، a \ u003d Q m () λ \ u003d Q 0 () 1 ، حيث Q 0 () هي متعددة الحدود بدرجة صفر في متغير ، بشكل عام Q 0 () \ u003d s. وبالتالي ، a \ u003d c 1. بعد ذلك ، نستبدل a في LRS الأصلي () ونجد المعامل c في كثير الحدود Q 0 (): c c c 1 =؛ من 18 ثانية + 81 ثانية = 128 ؛ 64 ثانية = 128 ؛ ج = 2. لذلك ، نحصل على أ = ج 1 = 2 1 = 2. 16

17 3. نجد الحل العام لـ LRS ، وهو مجموع الحل العام لـ LRS المقابل والحل الخاص لـ LRS a ، أي أ = أ + أ = (ج 1 + ج 2) يبقى إيجاد المعاملين c 1 و c باستخدام الشروط الأولية 2. a 0 = (c 1 + c 2 0) = c = 5 ؛ أ 1 = (ص 1 + ص 2 1) = 9 ج 1 + 9 ج = 2 ؛ حل النظام c1 + 2 = 5 ، 9c1 + 9c2 + 2 = 2 ، نحصل على c 1 = 3 ، c 2 = 3. وهكذا ، فإن حل LRS له الشكل: أ = (3 3) المسألة 6. أوجد حل لعلاقة التكرار الخطي: أ +2 = 10 أ أ ، أ 0 = 7 ، أ 1 = 50. دعونا نعيد كتابة LRS على هيئة أ أ = نكتب LRS المقابل: أ أ أ = 0 ؛ اكتب معادلة مميزة وابحث عن جذورها. × 2 10 × + 25 = 0 ؛ (× 5) 2 = 0 ؛ x 1 \ u003d x 2 \ u003d 5 هو جذر التعددية 2. ثم الحل العام لـ LORS له الشكل: a \ u003d (c 1 + c 2) (x 1) \ u003d (c 1 + c 2) اعثر على حل معين لـ LRS. حسب الحالة f () = R m () λ = 50 5 = R 0 () λ ، حيث R 0 () = 50 هي كثيرة الحدود من درجة صفر في متغير ، و λ = 5 تتزامن مع جذر x 1 للتعددية 2 من المعادلة المميزة لـ LORS المقابلة. لذلك ، a = r Q m () λ = = 2 Q 0 () 5 ، حيث Q 0 () = مع كثير حدود بدرجة صفر في متغير. وبالتالي ، a \ u003d 2 بـ 5. بعد ذلك ، نستبدل a في LRS الأصلي ونجد المعامل c: 17

18 ث (+ 2) ث (+ 1) ق 2 5 \ u003d 50 5 (قسّم على 5 0) ؛ 25 ثانية (+ 2) 2 50 ثانية (+ 1) ق 2 = 50 ؛ ق () 2s () + ق 2 = 2 ؛ c = 1. لذلك ، a = 2 c 5 = نكتب الحل العام لـ LRS: a = a + a = (c 1 + c 2) c 2 0) = c 1 = 7 ؛ أ 1 = (ص 1 + ص 2 1) = 5 ج 1 + 5 ج = 50 ؛ حل النظام c1 = 7 ، c1 + c2 + 1 = 10 ، نحصل على c 1 = 7 ، c 2 = 2. وبالتالي ، فإن حل LRS له الشكل: أ = (7 + 2) = () 5. المشكلة 7 أوجد علاقة التكرار الخطي للحل: a +2 = 6 a +1 8 a، a 0 = 0، a 1 = 11. أعد كتابة LRS بالصيغة a +2 6 a a = اكتب LRS المقابل: a +2 6 أ أ = 0 ؛ اكتب معادلة مميزة وابحث عن جذورها. × 2 6 س + 8 = 0 ؛ x 1 \ u003d 2، x 2 \ u003d 4 جذور من التعددية تساوي 1. ثم الحل العام لـ LRS له الشكل a \ u003d c 1 (x 1) + c 2 (x 2) \ u003d c c ابحث عن معين حل LRS. حسب الشرط f () = R m () λ = = (3 + 2) 1 = R 1 () λ ، حيث R 1 () = متعدد الحدود من الدرجة الأولى في متغير ، و λ = 1 ليس جذر المعادلة المميزة لـ LORS المقابلة. لذلك ، a = Q m () λ = Q 1 () 1 ، حيث Q 1 () هي كثيرة الحدود من الدرجة الأولى في متغير ، بشكل عام Q 1 () = = a + b. إذن أ = (أ + ب) 1. 18

19 أ و ب: بعد ذلك ، نستبدل a في LRS الأصلي ونجد المعاملات (أ (+ 2) + ب) (أ (+ 1) + ب) (أ + ب) 1 = 3 + 2 ؛ 25 ثانية (+ 2) 2 50 ثانية (+ 1) ق 2 = 3 + 2 ؛ 3 أ + (3 ب 4 أ) = وهكذا ، حصلنا على أن اثنين من كثيرات الحدود متساويان ، ومن ثم المعاملتان المتماثلتان متساويتان: 3 أ = 3 ، أ = 1 ، 3 ب 4 أ = 2 ب = 2. لذلك ، أ = (أ + ب ) 1 = نكتب الحل العام لـ LRS: أ = أ + أ = ج ج (+ 2). باستخدام الشروط الأولية ، نجد المعاملين c 1 و c 2: a 0 = c c (0 + 2) = 0 ؛ أ 1 \ u003d ج ج (1 + 2) = 11 ؛ حل النظام c1 + c2 = 2 ، 2c1 + 4c2 = 14 ، نحصل على c 1 = 3 ، c 2 = 5. وهكذا ، فإن حل LRS له الشكل: أ = المشكلة 8. أوجد حل علاقة التكرار الخطي: أ +2 = 5 أ +1 6 أ + (10 4) 2 ، أ 0 = 5 ، أ 1 = 12. أعد كتابة LRS بالصيغة أ +2 5 أ = (10 4) اكتب LRS المقابل: أ + 2 5 أ أ = 0 ؛ اكتب معادلة مميزة وابحث عن جذورها. × 2 5 س + 6 = 0 ؛ x 1 = 3 ، x 2 = 2 جذور من تعدد مختلف 1. ثم الحل العام لـ LORS هو: a = c 1 (x 1) + c 2 (x 2) = c c

20 2. إيجاد حل خاص لنظام LRS. حسب الشرط ، لدينا أن f () = = R m () λ = (10 4) 2 = R 1 () λ ، حيث R 1 () = (10 4) هي كثيرة الحدود من الدرجة الأولى في متغير ، و λ = 2 ، ثم يتزامن مع جذر المعادلة المميزة لـ LORS المقابلة. لذلك ، a = r Q m () λ = 1 Q 1 () 2 ، حيث Q 1 () هي كثيرة الحدود من الدرجة الأولى في متغير ، بشكل عام Q 1 () = a + b. وهكذا ، نحصل على a = = (a + b) 2. بعد ذلك ، نعوض a في العلاقة الأصلية ونوجد المعاملين a و b. (+ 2) (أ (+ 2) + ب) (+ 1) (أ (+ 1) + ب) (أ + ب) 2 = (10 4) 2. قسّم هذه المعادلة على 2 0: 4 (+ 2) (أ (+ 2) + ب) 10 (+ 1) (أ (+ 1) + ب) + 6 (أ + ب) = 10 4 ؛ 4 أ + (6 أ 2 ب) = وهكذا ، حصلنا على أن اثنين من كثيرات الحدود متساويان ، ومن ثم المعاملتان المتماثلتان متساويتان: 4 أ = 4 ، أ = 1 ، 6 أ 2 ب = 10 ب = 2. لذلك ، أ = (أ + ب ) 2 = (2) نكتب الحل العام لـ LRS ، أي أ = أ + أ = ج ج (2) 2. باستخدام الشروط الأولية ، نجد المعاملين ج 1 ، ج 2. أ 0 = ج ج (0 2) 2 0 = 5 ؛ أ 1 = ج ج (1 2) 2 1 = 12. حل النظام c1 + c2 = 5 ، 3c1 + 2c2 = 14 ، نحصل على c 1 = 4 ، c 2 = 1. وبالتالي ، فإن حل LRS له الشكل: أ = (2) 2 = () 2.20

21 المهمة 9. أوجد حلًا لعلاقة التكرار الخطي: a +2 = 8 a ، a 0 = 1 ، a 1 = 7. دعونا نعيد كتابة LRS بالصيغة a +2 8 a a = () اكتب LRS المقابل : أ +2 8 أ أ = 0 ؛ اكتب معادلة مميزة وابحث عن جذورها. × 2 8 × + 16 = 0 ؛ x 1 = x 2 = 4 تزامنت الجذور ، وبالتالي ، فإن تعدد الجذر هو 2. ثم الحل العام لـ LORS هو: a = (c 1 + c 2) (x 1) = (c 1 + c 2 ) إيجاد حل خاص لنظام LRS. حسب الشرط ، f () = R m () λ = = () 1 = R 2 () λ ، حيث R 2 () = متعدد الحدود من الدرجة الثانية في متغير ، و λ = 1 لا يتطابق مع جذر المعادلة المميزة لـ LORS المقابلة. لذلك ، a \ u003d Q m () λ \ u003d Q 2 () 1 ، حيث Q 2 () هي متعددة الحدود من الدرجة الثانية في متغير ، بشكل عام Q 2 () \ u003d a 2 + b + c. وهكذا ، a = = (a 2 + b + c) 1. بعد ذلك ، نعوض a في النسبة الأصلية ونوجد المعاملات a و b و c. (أ (+ 2) 2 + ب (+ 2) + ج) (أ (+ 1) 2 + ب (+ 1) + ج) (أ ب + ج) 1 = () 1 ؛ أ (+ 2) 2 + ب (+ 2) + ص 8 أ (+ 1) 2 8 ب (+ 1) 8 ج + 16 أ ب + 16 ج = = ؛ 9a 2 12a + 9b 4a 6b + 9c = وهكذا ، حصلنا على أن كثيرتي حدود متساويتان ، ومن ثم المعاملتان المتماثلتان متساويتان: 9a = 9 ، 12a + 9b = 6 ، 4a 6b + 9c = 2 a = 1 ، b = 2 ، ج = 2.21

22 لذلك ، أ = (أ 2 + ب + ج) 1 = نكتب الحل العام لـ LRS ، أي أ = أ + أ = (ج 1 + ج 2) (). باستخدام الشروط الأولية ، نجد المعاملين c 1 و c 2. a 0 = (c 1 + c 2 0) () = 1؛ a 1 = (c 1 + c 2 1) () = 7. حل النظام c1 + 2 = 1 ، 4c1 + 4c2 + 5 = 7 ، نحصل على c 1 = 1 ، c 2 = 2. وهكذا ، حل LRS له الشكل: أ = (1 2)

23 2. مهام الحل المستقل 2.1. مسائل حل علاقات التكرار المتجانسة الخطية LORS و LRS من الدرجة الثانية 1. أ +2 = 9 أ ، أ 0 = 2 ، أ 1 = أ +2 = 3.5 أ +1 2.5 أ ، أ 0 = 3.5 ، أ 1 = أ +2 = 8 أ أ ، أ 0 = 4 ، أ 1 = أ +2 = 2 أ ، أ 0 = 3 ، أ 1 = أنا. 5. أ +2 = 10 أ أ ، أ 0 = 3 ، أ 1 = أ +2 = 6 أ ، أ 0 = 0 ، أ 1 = 2 ط أ +2 = 8 أ ، أ 0 = 2 ، أ 1 = أ + 2 = 4 أ أ ، أ 0 = 7 ، أ 1 = أ +2 = أ +1 + أ ، أ 0 = 2 ، أ 1 = أ +2 = 8 أ ، أ 0 = 8 ، أ 1 = أ +2 = () أ أ ، أ 0 = 7 ، أ 1 = أ +2 = 5 أ +1 4 أ ، أ 0 = 0 ، أ 1 = أ +2 = 2 أ +1 5 أ ، أ 0 = 5 ، أ 1 = 6i أ +2 = 3 أ أ ، أ 0 = 7 ، أ 1 = أ +2 = 6 أ +1 9 أ ، أ 0 = 8 ، أ 1 = أ +2 = 6 أ ، أ 0 = 3 ، أ 1 = 92 ط. 17. أ +2 = أ ، أ 0 = 4 ، أ 1 = أ +2 = 14 أ ، أ 0 = 5 ، أ 1 = أ +2 = 8 أ ، أ 0 = 2 ، أ 1 = أ +2 = 7 أ أ ، أ 0 = 5 ، أ 1 = أ +2 = 2 أ +1 + أ ، أ 0 = 2 ، أ 1 =

24 1 22. أ +2 = أ +1 أ ، أ 0 = 4 ، أ 1 = أ +2 = 4 أ +1 أ ، أ 0 = 12 ، أ 1 = أ +2 = أ ، أ 0 = 2 ، أ 1 = أ +2 = 2 أ ، أ 0 = 8 ، أ 1 = أ +2 = 6 أ +1 9 أ ، أ 0 = 12 ، أ 1 = أ +2 = 4 أ +1 5 أ ، 0 = 5 ، أ 1 = 10 أنا أ +2 = 3 أ +1 أ ، أ 0 = 8 ، أ 1 = أ +2 = 14 أ ، أ 0 = 5 ، أ 1 = أ +2 = 4 أ ، أ 0 = 2 ، أ 1 = أ +2 = 4 أ +1 5 أ ، أ 0 = 3 ، أ 1 = 6 7 ط. 32. أ +2 = أ أ ، أ 0 = 5 ، أ 1 = أ +2 = 16 أ ، أ 0 = 7 ، أ 1 = أ +2 = 5 أ +1 6 أ ، أ 0 = 2 ، أ 1 = أ +2 = 10 أ أ ، أ 0 = 2 ، أ 1 = 10 4 ط أ +2 = 6 أ +1 5 أ ، أ 0 = 11 ، أ 1 = أ +2 = 2 أ أ ، أ 0 = 11 ، أ 1 = أ +2 = 6 أ ؛ أ 0 = 3 ، أ 1 = 0. العلاقات المتكررة الخطية المتجانسة من الدرجة الثالثة 39. أ +3 = 7 أ أ ، أ 0 = 1 ، أ 1 = 3 ، أ 2 = أ +3 = 4 أ +2 أ + 1 6 أ ، أ 0 = 4 ، أ 1 = 5 ، أ 2 = أ +3 = 6 أ أ ، أ 0 = 5 ، أ 1 = 8 ، أ 2 = أ +3 = 8 أ أ ، أ 0 = 4 ، أ 1 = 31 ، أ 2 = أ +3 = 5 أ +2 3 أ +1 9 أ ، أ 0 = 1 ، أ 1 = 3 ، أ 2 = أ +3 = 15 أ أ ، أ 0 = 8 ، أ 1 = 40 ، أ 2 =

25 45. أ +3 = 27 أ أ ، أ 0 = 6 ، أ 1 = 3 ، أ 2 = أ +3 = 6 أ أ ، أ 0 = 15 ، أ 1 = 32 ، أ 2 = أ +3 = 15 أ أ ، أ 0 = 1 ، أ 1 = 20 ، أ 2 = أ +3 = 9 أ أ ، أ 0 = 0 ، أ 1 = 4 ، أ 2 = أ +3 = 2 أ أ +1 6 أ ، أ 0 = 4 ، أ 1 = 5 ، أ 2 = أ +3 = 4 أ +2 5 أ أ ، أ 0 = 2 ، أ 1 = 6 ، أ 2 = أ +3 = 6 أ +2 5 أ ، أ 0 = 4 ، أ 1 = 2 ، أ 2 = أ +3 = 3 أ أ ، أ 0 = 2 ، أ 1 = 17 ، أ 2 = أ +3 = 9 أ أ ، أ 0 = 1 ، أ 1 = 3 ، أ 2 = أ +3 = 6 أ +1 6 أ ، أ 0 = 13 ، أ 1 = 31 ، أ 2 = أ +3 = 5 أ +2 3 أ +1 9 أ ، أ 0 = 3 ، أ 1 = 14 ، أ 2 = أ +3 = أ +1 4 أ ، أ 0 = 2 ، أ 1 = 1 ، أ 2 = أ +3 = 3 أ أ ، أ 0 = 2 ، أ 1 = 3 ، أ 2 = أ +3 = 12 أ أ ، أ 0 = 2 ، أ 1 = 16 ، أ 2 = أ +3 = 4 أ أ ، أ 0 = 0.2 ، أ 1 = 6 ، أ 2 = أ +3 = 8 أ أ ، أ 0 = 3 ، أ 1 = 13 ، أ 2 = أ +3 = 4 أ أ ، أ 0 = 3 ، أ 1 = 29 ، أ 2 = أ +3 = 5 أ +2 7 أ أ ، أ 0 = 11 ، أ 1 = 34 ، أ 2 = أ +3 = 11 أ أ ، أ 0 = 27 ، أ 1 = 17 ، أ 2 = أ +3 = 12 أ أ ، أ 0 = 1 ، أ 1 = 37 ، أ 2 = أ +3 = 3 أ أ ، أ 0 = 11 ، أ 1 = 23 ، أ 2 = أ +3 = 7 أ أ ، أ 0 = 3 ، أ 1 = 6 ، أ 2 = أ +3 = 4 أ أ ، أ 0 = 4 ، أ 1 = 1 ، أ 2 = 4 ؛ 68. أ +3 = 7 أ أ ، أ 0 = 1 ، أ 1 = 0 ، أ 2 = أ +3 = 5 أ أ ، أ 0 = 6 ، أ 1 = 0 ، أ 2 = أ +3 = 5 أ +2 3 أ أ ، أ 0 = 10 ، أ 1 = 1 ، أ 2 = أ +3 = 3 أ +2 3 أ +1 + أ ، أ 0 = 2 ، أ 1 = 4 ، أ 2 = أ +3 = 3 أ أ ، أ 0 = 6 ، أ 1 = 5 ، أ 2 =

26 73. أ +3 = 10 أ أ ، أ 0 = 0 ، أ 1 = 1 ، أ 2 = أ +3 = 8 أ أ ، أ 0 = 8 ، أ 1 = 23 ، أ 2 = أ +3 = 5 أ + 2 8 أ +1 4 أ ، أ 0 = 11 ، أ 1 = 15 ، أ 2 = أ +3 = أ أ ، أ 0 = 6 ، أ 1 = 5 ، أ 2 = أ +3 = 10 أ أ ، أ 0 = 1 ، أ 1 = 2 ، أ 2 = أ +3 = أ أ ، أ 0 = 1 ، أ 1 = 14 ، أ 2 = أ +3 = 2 أ +2 + أ ، أ 0 = 10 ، أ 1 = 1 ، أ 2 = أ +3 = 5 أ +2 8 أ أ ، أ 0 = 9 ، أ 1 = 9 ، أ 2 = أ +3 = 8 ط أ +1 10 ط أ ، أ 0 = 8 ، أ 1 = 14 ط ، أ 2 = 38. علاقات التكرار الخطية من الدرجة الأولى 82. أ +1 = 4 أ + 6 ، أ 0 = أ +1 = أ + + 1 ، أ 0 = أ +1 = 5 أ ، أ 0 = أ +1 = 3 أ + 5 2 ، أ 0 = أ +1 = 3 أ + (4) 5 1 ، أ 0 = أ +1 = 4 أ + 8 4 ، أ 0 = أ +1 = 3 أ ، أ 0 = 14. العلاقات الخطية المتكررة من الدرجة الثانية 89 3 ، أ 0 = 0 ، أ 1 = أ +2 = 7 أ ، أ 0 = 3 ، أ 1 = أ +2 = 9 أ + (18 20) 2 ، أ 0 = 6 ، أ 1 = أ +2 = 8 أ +1 7 أ ، أ 0 = 9 ، أ 1 = أ +2 = 4 أ +1 9 أ ، أ 0 = 15 ، أ 1 = 27 أنا أ +2 = 12 أ أ ، أ 0 = 13 ، أ 1 = 6.26

A A KIRSANOV COMPLEX NUMBERS PSKOV BBK 57 K45 نُشرت بقرار من قسم الجبر والهندسة ، ومجلس التحرير والنشر لـ PSPI المسمى SM Kirov المراجع: Medvedeva IN ، مرشح الفيزياء والرياضيات ، أستاذ مشارك

وكالة فيدراليةمن قبل الدولة التعليم مؤسسة تعليميةأعلى التعليم المهنيولاية أوختا جامعة فنية(UGTU) وظيفة حدود منهجية

المعادلات التفاضلية المفاهيم العامة للمعادلات التفاضلية تطبيقات عديدة ومتنوعة في الميكانيكا والفيزياء وعلم الفلك والتكنولوجيا ومجالات أخرى. رياضيات أعلى(علي سبيل المثال

وزارة التربية والعلوم الاتحاد الروسيمعهد موسكو للفيزياء والتكنولوجيا (جامعة الولاية) مدرسة المراسلة للفيزياء والتكنولوجيا الرياضيات تحولات الهوية. قرار

الوزارة زراعةالمؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية الروسية تعليم عالى"الأكاديمية الزراعية الحكومية بيرم سميت بعد

وزارة التعليم في الاتحاد الروسي Gubkin Russian State University of Oil and Gas VI إيفانوف المبادئ التوجيهية لدراسة موضوع "المعادلات التفاضلية" (للطلاب

أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة الاختزال إلى معادلة واحدة من الترتيب من وجهة نظر عملية ، تعتبر الأنظمة الخطية ذات المعاملات الثابتة مهمة جدًا

تدرب على تكامل الكسور النسبية كسر منطقييسمى جزء من الصورة P Q ، حيث P و Q كثيرات الحدود. يسمى الكسر المنطقي مناسب إذا كانت درجة كثير الحدود P أقل من الدرجة

03 الرياضيات في التعليم العالي UDC 54 ؛ 5799 محتوى وتقنيات تعليم الرياضيات في الجامعة بعض طرق تلخيص التتابعات العددية أ ب ولاية لاسون نوفغورود

معادلات تفاضلية عادية من الدرجة الأولى مفاهيم أساسية المعادلة التفاضليةتسمى المعادلة معادلة تدخل فيها دالة غير معروفة تحت علامة مشتق أو تفاضل.

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي National Research جامعة ولاية نيجني نوفغورود التي تحمل اسم NI Lobachevsky NP Semerikova AA Dubkov AA ، سلسلة وظائف تحليلية

A. I. Kozko V. G. Chirsky مشاكل مع المعلمة وغيرها المهام الصعبةدار نشر موسكو MTsNMO 2007 UDC 512 LBC 22.141 K59 K59 Kozko AI ، Chirsky VG مشاكل مع معلمة وغيرها من المشاكل المعقدة. م:

محاضرة ن المعادلات التفاضلية ذات الرتبة الأعلى ، طرق الحل ، مشكلة كوشي ، المعادلات التفاضلية الخطية ذات الرتبة الأعلى ، المعادلات الخطية المتجانسة ، المعادلات التفاضلية ذات الرتبة الأعلى ،

معهد جامعة قازان الفيدرالي للرياضيات والميكانيكا IM. NI LOBACHEVSKY قسم نظرية وتقنيات تدريس الرياضيات والمعلوماتية Falileeva M.V. الخطوات الأولى في حل المعادلات و

نشرة Nekrasov KSU 6 Skibitsky EG Shkabura OV أسلوب التفكير كاستراتيجية لحل المشكلات باستخدام الكمبيوتر // المعلوماتية والتعليم C 7 Yakovleva NO الأسس النظرية والمنهجية

UDC 373: 512 LBC 22.14ya721 M52 M52 Merzlyak ، A.G. الرياضيات: جديد مرجع كاملللتحضير لـ OGE / A.G. مرزليك ، ف. بولونسكي ، إم إس. ياكير. موسكو: AST ، 2017. 447 ، ص: مريض. ردمك 978-5-17-096816-9

برنامج تعليميلعام 2016-2017 السنة الأكاديمية(الصفوف 7-11) ، تمت الموافقة عليها بأمر من MBOU "الثانوية مدرسة شاملة 21 "كالوغا 145 / 01-08 بتاريخ 08.26.2016 برنامج العمل لموضوع الجبر

الموضوع 14 "المعادلات والأنظمة الجبرية ليست كذلك المعادلات الخطية»كثيرة الحدود من الدرجة n هي كثيرة الحدود بالصيغة P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n ، حيث a 0 ، a 1 ، a n-1 ، a n معطاة أرقام ، 0 ،

محاضرة تكامل الكسور المنطقية الكسور المنطقية تكامل الكسور المنطقية البسيطة.

الصف 10 ، المستوى الأساسي المهمة 1 الخيار 0 (عرض ، مع حلول) المراسلات مدرسة الرياضيات 009/010 للعام الدراسي 1 اكتب تعبيرًا ككثيرات حدود طريقة العرض القياسيةوابحث عنه

سمة: النظرية العامةأنظمة المعادلات الخطية A. Ya جامعة اتحاديةمعهد الرياضيات و علوم الكومبيوترقسم الجبر والرياضيات المتقطعة

خزينة البلدية مؤسسة تعليميةالمدرسة الثانوية 3 لمدينة Pudozh تم النظر فيها في اجتماع منطقة موسكو للرياضيات والمعلوماتية - محضر 1 بتاريخ 29.08.2016 رئيس منطقة موسكو Kuptsova

57 ضع في اعتبارك تكامل أبسط جزء منطقي من النوع الرابع (M N) d () p q p لنقم بتغيير المتغير عن طريق ضبط d. أين أ ف ف. ثم التكامل M N d p p p q q a، M p N Mp q d M (p q) p

الموضوع 1-8: الأعداد المركبة A. Ya. Ovsyannikov Ural Federal University Institute of Mathematics and Computer Science قسم الجبر والرياضيات المنفصلة الجبر والهندسة للميكانيكا (فصل دراسي واحد)

محاضرات -6 فصول معادلات تفاضلية عادية مفاهيم أساسية مشاكل مختلفة في العلوم الطبيعية تؤدي هندسة الاقتصاد إلى حل معادلات يكون فيها المجهول دالة لـ

احتلال. درجة مع تعسفي مؤشر حقيقي، خصائصه. وظيفة الطاقة، خصائصه ، الرسوم البيانية .. أذكر خصائص الدرجة مع مؤشر منطقي. a a a a للأوقات الطبيعية

مؤسسة تعليمية تابعة للبلدية ، المدرسة الثانوية 4 ، بالتييسك برنامج العمل موضوعات"الجبر" الصف الثامن الأساسي بالتييسك 2017 1 1. توضيحي

عناصر الحساب التشغيلي للنشر TGTU وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي GOU VPO "جامعة تامبوف التقنية الحكومية" عناصر الحساب التشغيلي

ضع في اعتبارك الطريقة الأولى لحل SLE وفقًا لقاعدة كرامر لنظام من ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل: يتم حساب الإجابة باستخدام معادلات كرامر: D ، D1 ، D2 ، D3 محددات

كثيرات الحدود الجبرية. 1 كثيرات الحدود الجبرية للدرجة n على حقل K التعريف 1.1 متعدد الحدود من الدرجة n ، n N (0) ، في متغير z على حقل رقم K هو تعبير عن الصيغة: fz = a n z n

موضوع الوحدة المتتاليات والمتسلسلات الوظيفية خصائص التقارب المنتظم للمتواليات والمتسلسلات سلسلة الطاقةمحاضرة تعريفات المتواليات الوظيفية والمتسلسلات بشكل موحد

SAEI HPE DAGESTAN STATE INSTITUTE OF NATIONAL ECONOMY Babicheva TA قسم الرياضيات العليا الكتاب المدرسي للانضباط المعادلات التفاضلية Makhachkala UDC 5 (75) BBK i 7 الدورة التعليمية

توجد نظريات "ثلاثية فيثاغورس" مورسيف ميخائيل بتروفيتش أساليب مختلفةتعريفات الخيارات مثلثات فيثاغورس»أحيانًا يطلق عليهم" توائم فيثاغورس "أو" مثلثات مصرية "

1. متطلبات مستوى إعداد الطلاب. يجب أن يكون الطالب الذي أنهى الصف التاسع قادراً على: الأداء عمليات حسابية، والجمع بين التقنيات الشفوية والمكتوبة ؛ البحث عن قيم الجذر درجة طبيعية,

الوكالة الفيدرالية للتعليم جامعة تومسك الحكومية لأنظمة التحكم والإلكترونيات الراديوية قسم الرياضيات العليا (HM) بريخودوفسكي ماجستير. المشغلين الخطيين والأشكال التربيعية عملية

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي جامعة ولاية نوفوسيبيرسك المتخصصة في التعليم والبحث العلمي الرياضيات للصف التاسع تلخيص التسلسل النهائي نوفوسيبيرسك

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي FSBEI HE "جامعة ولاية تفير" تمت الموافقة عليها من قبل رئيس البرنامج التعليمي Tsvetkov VP 2015 برنامج عمل التخصص (مع شرح توضيحي) نظرية الأعداد

مشتق ، معناه الهندسي والفيزيائي إن الزيادة في الوظيفة = f () هي الفرق f f ، حيث هي زيادة الوسيطة يمكن أن نرى من الشكل أن g () الشكل مشتق الوظيفة = f () في النقطة تسمى النهائي

المحاضرة 2. الخصائص معاملات ذات الحدين. الجمع وطريقة توليد الدوال (الحالة النهائية). معاملات كثيرة الحدود. تقديرات المعاملات ذات الحدين ومتعددة الحدود. تقديرات المبلغ

1. ملاحظة توضيحية. برنامج عمل حول موضوع "الجبر" للطلبة الصم للصفوف 8 و 9 و 10 و 11 تم تطويره على أساس برنامج المؤسسات التعليمية "الجبر" للصفوف 7-9 / المؤلفين.

BBK 74.262.21 B94 B94 Butsko E.V. الجبر: الصف 7: دليل منهجي / E.V. بوتسكو ، أ. مرزليك ، ف. بولونسكي وآخرون.م: فينتانا-جراف ، 2017. 104 ص. : سوف. ردمك 978-5-360-08673-4

شرح لبرنامج العمل في الجبر الدرجة: 7 مستوى الدراسة المواد التعليمية: مواد التدريس الأساسية ، كتاب مدرسي تم تجميع برنامج العمل في الجبر للصف السابع على أساس برنامج "الجبر" (Yu.N. Makarychev،

I الخيار 8B class ، 4 أكتوبر 007 1 أدخل الكلمات المفقودة: التعريف 1 الحساب الجذر التربيعيمن الرقم الذي يساوي a من الرقم a (a 0) يُشار إليه على النحو التالي: بالتعبير إجراء البحث

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي الوكالة الفيدرالية للتعليم جامعة ولاية بينزا رودنكو أيه كيه ، رودنكو مينيسوتا ، سيمريش يوس جمع المهام مع حلول للتحضير

BBK.4ya7t + .4ya7.6 M5 الكتاب المدرسي مدرج في القائمة الفيدرالية Merzlyak A.G. M5 الجبر: الصف 9: كتاب مدرسي للطلاب المنظمات التعليمية/ اي جي. مرزليك ، ف. بولياكوف. م: فينتانا جراف ، 07.368

التحليل الرياضيالقسم: المعادلات التفاضلية الموضوع: الأنظمة الخطية المتجانسة للمعادلات التفاضلية ذات المعاملات الثابتة المحاضر Pakhomova EG 0 g 4 أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة

ن. أ. Áîãîìîëîâ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ ÇÀÄÀ È Ñ ÐÅØÅÍÈßÌÈ àñòü 1 УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СПО 2-е издание, исправленное и дополненное Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì îòäåëîì ñðåäíåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ â êà

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي كلية جامعة ولاية تومسك الرياضيات التطبيقيةوعلم التحكم الآلي قسم نظرية الاحتمالات و الإحصاء الرياضيحدود منهجية

القسم 2 نظرية حدود الموضوع التسلسلات الرقميةتعريف تسلسل رقمي 2 تسلسل مقيد وغير مقيد 3 متواليات رتيبة 4 صغير بلا حدود و

جامعة موسكو التقنية الحكومية التي تحمل اسم N.E. كلية بومان " العلوم الأساسية" كرسي " النمذجة الرياضية» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

المعادلات غير المنطقية والمتباينات جدول المحتويات المعادلات غير المنطقية طريقة رفع كلا طرفي المعادلة إلى نفس القوة معادلة غير منطقيةمختلط

حول تعميم أرقام ستيرلنغ ، يتم تقديم Ustinov AV لمعلمي ، NM Korobov ، في عيد ميلاده الخامس والثمانين ، يتم تقديم أرقام Stirling المعممة في هذه الورقة. بالنسبة لهم ثبت أن الخصائص مماثلة لتلك العادية

تطوير درس الجبر RURUKIN لـ Yu.N. Makarycheva وآخرون (M: Prosveshchenie) طبعة جديدة من الدرجة 8 موسكو "VAKO" 015 UDC 7: 167.1: 51 LBC 74.6.1 R87 R87 Rurukin A.N. تطورات الدرس

قسم التحليل الرياضي: تكامل غير محددالموضوع: تكامل الكسور المنطقية المحاضر Pakhomova E.G. 0 5. تكامل الكسور المنطقية تعريف. يسمى الكسر المنطقي

برنامج عمل المذكرة التوضيحية لموضوع "الجبر. الصفوف 8-9 “يقوم على: 1. المكون الفيدرالي معيار الدولةالأساسية العامة والثانوية (كاملة) تعليم عام

محاضرة المعادلات التفاضلية من الرتبة الثالثة (DE-) الشكل العامسيتم كتابة المعادلة التفاضلية للرتبة n: (n) F ، = 0 () ستأخذ معادلة الترتيب رقم (n =) الشكل F (،) = 0 معادلات مماثلة

الموضوع 1-7: المحددات A. Ya. Ovsyannikov Ural Federal University Institute of Mathematics and Computer Science قسم الجبر والرياضيات المنفصلة الجبر والهندسة للميكانيكا (فصل دراسي واحد) التباديل

تعليمات منهجية لمهام الحساب في مسار الرياضيات العليا "سلسلة معادلات تفاضلية عادية من تكاملات متعددة" الجزء الثالث موضوعات عادية محتويات المعادلات التفاضلية

الوكالة الفيدرالية للتعليم ، جامعة أرخانجيلسك الحكومية التقنية ، سلسلة كلية الهندسة المدنية ، إرشادات لاستكمال مهام العمل المستقل أرخانجيلسك

مؤسسة تعليمية للميزانية البلدية "سميت ليسيوم بعد الأكاديمي ب. بيتروف "لمدينة سمولينسك" متفق عليه "نائب المدير Kazantseva T.V. "29" "08" 206 "مقبول" المجلس التربوي

9. ، 9. فئة الوحدة النمطية 5 "التسلسلات. الدرجات والجذور »يتم فحص الأجزاء النظرية والعملية في الاختبار. المتتاليات المتتاليات الرقمية. طرق تحديد التسلسلات العددية.

الحل العامالعلاقة المتكررة (1) هي مجموعة كل المتتاليات التي تحقق هذه العلاقة.

قرار خاصالعلاقة (1) يسمى أحد المتتاليات التي تحقق هذه العلاقة.

المثال 1 ¢.تسلسل أ=أ 0 +اختصار الثاني أ=أ - 1 +د. هذه هي صيغة المصطلح المشترك للتقدم الحسابي بفارق دومع العضو الأولي في التقدم أ 0 .

المثال 2 ¢.تسلسل ب ن=ب 0 × ف نهو حل عام للعلاقة ب ن=ب ن - 1 × ف. هذه هي صيغة المصطلح المشترك للتقدم الهندسي ذي المقام ف¹0 ومع العضو الأولي للتقدم ب 0 .

مثال 3 ¢.ما يسمى صيغة بينيهي ن= هو حل خاص للعلاقة j ن= ي ن-2 + ي ن- 1 من أجل j 0 = j 1 = 1.

3. العلاقات الخطية المتكررة.نسبة العرض

أ + ك+ص 1 أ + ك - 1 +…+ص ك أ ن=ح(ن) (2)

أين ح(ن) هي دالة في الرقم ، و ، يسمى علاقة التكرار الخطي.

تسمى علاقة التكرار الخطي متجانس، لو F(ن)=0:

أ + ك+ص 1 أ + ك - 1 +…+ص ك أ ن=0. (3)

متعدد الحدود س ك+ص 1 س ك - 1 +…+ص ك - 1 x+ص كمسمي صفة مميزةللعلاقة (2).

بسيط، إذا كان يقبل القسمة على ولكن لا يقبل القسمة عليه.

يسمى الجذر a من كثير الحدود مضاعف، إذا كان يقبل القسمة على ولكن لا يقبل القسمة عليها ،.

الرقم يسمى تعددجذر .

النظرية الأساسية في الجبر: كثير حدود الدرجة ذات المعاملات المعقدة لها جذور معقدة ، بالنظر إلى تعددها.

نظرية 1 ن جذور بسيطةأ 1 ، ... ، أ ن

, (4)

أين ج 1 ,…,ج كÎ ج.

دليل - إثبات. من السهل التحقق من التأكيدات التالية.

(أ) تسلسل cx n، أين جÎ ج، هو حل للعلاقة المتكررة (3).

(ب) إذا كانت التسلسلات أو ب نهي حلول العلاقة (3) ، ثم التسلسل أ+ب نهو أيضا حل العلاقة (3).

من ( أ) و ( ب) ويترتب على ذلك أن أي تسلسل من النموذج (4) هو حل للعلاقة (3).

على العكس من ذلك ، فإن أي حل للعلاقة (3) له شكل (4).

في ن=0,1,…,ك-1 ، من المساواة (4) نحصل على نظام المعادلات الخطية فيما يتعلق ج 1 ,…,ج ك:

(5)

محدد النظام (5) هو محدد Vandermonde المعروف في الجبر:

منذ الجذور البسيطة x 1 ,…,س كمميز زوجيًا ، ثم D¹0. ومن ثم ، فإن النظام (5) لديه حل (فريد).

مهمة 1.أوجد الحد المشترك للتقدم الهندسي باستخدام الصيغة (4).

قرار ب ن=qb n- 1 يشبه. وبالتالي .

المهمة 2.أوجد الحل العام لنسبة فيبوناتشي أ + 2 =أ+أ + 1 .

قرار. كثير الحدود المميز لعلاقة التكرار أ + 2 =أ+أ+ 1 لديه الشكل. وبالتالي .

نعطي بدون دليل التعميم التالي للنظرية 1.

نظرية 2. دع كثير الحدود المميز لعلاقة التكرار الخطي المتجانسة (3) لها كالجذور: أ 1 تعدد ،… ، أ كتعدد . ثم يكون الحل العام لعلاقة التكرار (3) بالشكل التالي:

المهمة 3.أوجد الحل العام للعلاقة.

قرار.كثير الحدود المميز له جذر 2 من التعددية 3. لذلك .

تعليق. يمكن إيجاد الحل العام للعلاقة الخطية غير المتجانسة (2) كمجموع الحل العام للعلاقة الخطية المتجانسة (3) والحل الخاص للعلاقة الخطية غير المتجانسة (2).

4. توليد الوظائف.سلسلة رسمية أ 0 +أ 1 x+أ 2 x 2 +…+أ ك س ك+… يسمى توليد وظيفة التسلسل أ 0 ,أ 1 ,أ 2 ,…,أ ك,…

وظيفة التوليد هي إما سلسلة متقاربة أو سلسلة متباعدة. قد تكون سلسلتان متباعدتان متساويتين مع وظائف ، ولكن يتم إنشاء وظائف من متواليات مختلفة. على سبيل المثال ، الصفوف 1 + 2 x+2 2 x 2 +…+2ك س ك+ ... و 1 + 3 x+3 2 x 2 +…+3ك س ك+ ... حدد نفس الوظيفة (يساوي 1 عند النقطة x= 1 ، لأجل غير مسمى عند النقاط x> 1) ، ولكنها تولد وظائف متتالية مختلفة.

خصائص توليد وظائف التسلسلات:

مجموع (الفرق) لتوليد دوال المتتاليات أو ب نتساوي دالة توليد مجموع (فرق) التسلسلات أ+ب ن;

نتاج توليد وظائف التسلسلات أو ب نهي وظيفة توليد التواء التسلسل أو ب ن:

ج ن=أ 0 ب ن+أ 1 ب ن - 1 +…+أ - 1 ب 1 +أ ن ب 0 .

مثال 1وظيفة يولد للتسلسل

مثال 2وظيفة يتم إنشاء للتسلسل 1 ، 1 ، 1 ، ...

نسخة طبق الأصل

1 حل المعادلات المتكررة تدل على قيمة بعض التعبيرات عندما يتم استبدال عدد صحيح بها. ثم يسمى اعتماد عضو التسلسل على أعضاء التسلسل F F بقيم وسيطة أصغر معادلة متكررة. مثال يمكن أن يكون معادلة بالشكل: F المعادلة المتكررة لها ترتيب إذا كانت تسمح بالتعبير عن عضو في التسلسل F من خلال الأعضاء F F وهكذا ، فإن المعادلة لها الترتيب والمعادلة F 3 6 لها الترتيب 3 ويظهر حل المعادلة المتكررة في الشكل. لاحظ أن المعادلة تصف ما يسمى تسلسل أرقام فيبوناتشي: 3 F 4 3 F 5 5 F F 8 في الواقع ، تنخفض خوارزمية الحل إلى حقيقة أنه في كل خطوة باستخدام الأعضاء الأوليينو معادلة معينةنحسب المصطلح التالي من التسلسل بالتصرف بهذه الطريقة ، سنحصل عاجلاً أم آجلاً على أي مصطلح من التسلسل. ومع ذلك ، في هذه الحالة ، سيتعين علينا حساب جميع المصطلحات السابقة. بالنسبة للمصطلح العاشر من المتتالية ، تتحول معادلته الأخيرة إلى متطابقة. على سبيل المثال ، المتتالية 4 8 هي أحد حلول المعادلة المتكررة 3 في الواقع ، المصطلح العام لهذا التسلسل له شكل ولكن بالنسبة لأي متطابقة ، تأخذ المتطابقة ضع 3 وهكذا فهو حل للمعادلة المتكررة يسمى حل المعادلة المتكررة عام إذا كان يعتمد على الثوابت التعسفية C C وباختيار هذه الثوابت يمكن للمرء الحصول على أي حل معادلة معينةعلى سبيل المثال ، بالنسبة للمعادلة 5 6 ، سيكون الحل العام هو F C C 3 3 من السهل التحقق من أن المتتالية 3 تتحول إلى متطابقة لذلك ، يكفي إظهار أن أي حل يمكن تمثيله على أنه

2 يتم تحديد الحل بشكل فريد من خلال القيم ، وبالتالي ، من الضروري إظهار ذلك بالنسبة لأي أرقام وهناك مثل C أن F C C 3C C 3 C محدد النظام هو لأي نظام ولديه حل لذلك ، 3 هو بالفعل حل لـ F ؛ F؛ أنا: FFF ؛ FF. FF. خوارزمية F الشكل لتوليد سلسلة من أرقام فيبوناتشي

3 معادلات خطية متكررة لحل المعادلات المتكررة قواعد عامةغير موجود ومع ذلك ، هناك فئة شائعة جدًا من المعادلات يتم حلها بطريقة موحدة. هذه معادلات متكررة من الشكل f 4 حيث توجد بعض الأرقام معاملات ثابتةو f هي بعض وظائف هذه المعادلات تسمى خطية لأن عناصر التسلسل F متصلة الاعتماد الخطيإذا كانت الدالة f ، فإن المعادلات من هذا النموذج تسمى معادلات متجانسة أو متجانسة ذات معاملات ثابتة وإلا ، فإن المعادلات تسمى معادلات LINEAR HOMOGENEOUS RECURRENT غير متجانسة معادلات خطية متجانسة ذات معاملات ثابتة لها شكل معادلات F 5 مثل هذا الحل هو يسمى حل تافه أولاً ، ضع في اعتبارك كيف يتم حل هذه المعادلات ، أي أننا ندرس المعادلات على شكل F 6. يعتمد حل هذه المعادلات على العبارتين التاليتين: إذا كان F و F حلان للمعادلة المتكررة 6 ، لأي رقمين A و B ، فإن التسلسل F AF BF هو أيضًا حل لهذه المعادلة. في الواقع ، من خلال الشرط F F F F ، نضرب هذه المساواة في الهويات ونتيجة لذلك نحصل على: A و F F B على التوالي ، ونضيف الناتج [AF BF] [AF BF] AF BF وهذا يعني أن F AF BF هو حل للمعادلة 6 إذا كان الرقم هي جذر المعادلة

4 ثم التسلسل هو حل المعادلة العودية F دعنا نثبت هذه العبارة ، دعنا ثم نستبدل هذه القيم في 6 نحصل على المساواة أو هذا صحيح لأنه بالشرط لدينا حل تافه أي تسلسل من النموذج حيث لاحظ أنه إلى جانب التسلسل () هو أيضًا حل للمعادلة 6 لإثبات هذه الحقيقة ، يكفي استخدام العبارة عن طريق تعيين A B فيها. من العبارات ويتبع القاعدة التالية لحل المعادلات المتكررة الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية . لنعطي معادلة متكررة 6 F. قم بتكوين معادلة من الدرجة الثانية تسمى المعادلة المميزة لهذه المعادلة المتكررة. المعادلة 6 لها الشكل C C دعونا نثبت هذا البيان نلاحظ أولاً أنه وفقًا لبيان التسلسل و حلول معادلة F F المتكررة المعطاة A ثم بالعبارة و C C هو حلها ، نحتاج فقط إلى إظهار أن أيًا منها قد تم حله يمكن كتابة المعادلة 6 في هذا الشكل ولكن أي حل لمعادلة من الدرجة الثانية يتم تحديده من خلال القيم ، وبالتالي ، يكفي إظهار أن نظام المعادلات C C C C لديه حل لأي منها ومن الواضح أن هذه الحلول من أجل C F C ، النظام لديه دائمًا حل ضع في اعتبارك مثالًا كما ذكرنا سابقًا ، يمكن الحصول على تسلسل أرقام فيبوناتشي 3583 باستخدام المعادلة العودية F 8 لذلك ، فإن المعادلة المميزة لها الشكل. جذور هذه المعادلة التربيعية هي الأرقام

5 5 5 وبالتالي ، الحل العام لمعادلة فيبوناتشي له الصيغة 5 5 C C 9 الشروط الأولية هي قيم F F وفقًا لهذه الشروط الأولية ، نحصل على و C نظام المعادلات C C C 5 C C حل نظام المعادلات هذا ، نجد أن C C وبالتالي F 5 وبالتالي ، يأخذ هذا التعبير قيمًا صحيحة لجميع القيم الطبيعية. الحالة ، لن يكون التعبير C C حلاً عامًا بعد الآن لأن هذا الحل يمكن كتابته كـ C C C نتيجة لذلك ، يبقى ثابت واحد فقط C ويختاره بحيث تحقق المعادلة شرطين أوليين ، وبشكل عام ، مستحيل. لذلك ، من الضروري إيجاد حل آخر مختلف عن هذا الحل. في الواقع ، إذا كانت معادلة F التربيعية لها جذرين متطابقين ، فوفقًا لنظرية فييتا ، تتم كتابة المعادلة على النحو التالي: ثم المعادلة المتكررة المعادلة لها الشكل ، دعونا نتحقق من أن F الهوية F F هي بالفعل حلها ، بالتعويض عن قيم F في المعادلة ، نحصل على المعادلة الواضحة ومن ثم - هذا هو حل معادلتنا المتكررة وهكذا ، نحن نعرف بالفعل حلين لهذه المعادلة المتكررة المعادلة: ثم يمكن كتابة الحل العام على النحو التالي: F F C C C C الآن يمكن اختيار المعاملين C و C بحيث يتم استيفاء أي شرطين أوليين لـ F

6 ج ج ج ج تحل المعادلات الخطية المتكررة ذات الرتبة الأكبر من اثنين بنفس الطريقة.دع المعادلة لها الشكل و تكوين المعادلة المميزة إذا كانت جميع جذور هذه المعادلة الجبرية من الدرجة الثالثة مختلفة ، فإن الحل العام للمعادلة المعادلة لها شكل معادلات F C C C في الحل العام ، هذا الجذر يتوافق مع الجزء C C C. تكوين مثل هذه التعبيرات لجميع الجذور وإضافتها ، نحصل على الحل العام للمعادلة s P حيث يكون تعدد الجذر s هو الرقم جذور مختلفة P هي كثير حدود من الدرجة فيما يتعلق بمثال ضع في اعتبارك المعادلة F 4 قم بتكوين المعادلة المميزة الحل العام للمعادلة العودية له الصيغة C C C C قم بتكوين نظام من المعادلات لإيجاد و C: C C C C 4 حل النظام الذي نحصل عليه C و ج

7 البحث عن جذور متعدد الحدود عند العثور على جذور معادلة مميزة ، غالبًا ما يكون من الضروري حل المعادلات ذات الدرجة الأكبر.لحل هذه المشكلة ، يمكنك استخدام طريقة التحديد وأخذ عددًا عشوائيًا والتحقق مما إذا كان جذر كثير حدود معين. في هذه الحالة ، يمكنك العثور سريعًا على جذر ولا يمكنك العثور عليه مطلقًا ، فمن المستحيل التحقق من جميع الأرقام ، نظرًا لوجود عدد لا نهائي منها. شيء آخر هو إذا تمكنا من لتضييق منطقة البحث ، على سبيل المثال ، لمعرفة أن الجذور المرغوبة هي ، على سبيل المثال ، من بين ثلاثين رقمًا محددًا A لثلاثين رقمًا ، يمكنك التحقق من A فيما يتعلق بهذا ، فإن العبارة مهمة. نظرية إذا كان الكسر غير قابل للاختزال / الأعداد الصحيحة هي جذر كثير الحدود F x مع معاملات عدد صحيح ، ثم المعامل الرئيسي لكثير الحدود قابل للقسمة على والمصطلح الحر في الواقع ، إذا كانت x x x هي أعداد صحيحة و / هي جذرها ، فإن F / هؤلاء / / / اضرب كلاهما جوانب المساواة من خلال الحصول على ذلك يترتب على ذلك أنه من الواضح أن عددًا صحيحًا يقبل القسمة عليه لكن / هي كسر غير قابل للاختزال ، فهذه الأرقام هي جريمة مشتركة ، وبعد ذلك ، كما هو معروف من نظرية قابلية الأعداد الصحيحة ، والأرقام هي أيضًا جزء من الجرم المشترك ، لذا فهي قابلة للقسمة على والجريمة ، لذا فهي قابلة للقسمة بالمثل ، أثبت أنه قابل للقسمة من خلال النظرية المُثبتة التي تسمح لنا بتضييق منطقة البحث بشكل كبير عن الجذور المنطقية لكثير الحدود مع معاملات عدد صحيح ، دعنا نوضح هذا في مثال محددلنجد الجذور المنطقية لكثير الحدود 4 3 F x 6x 3x 4x 8x 8 وفقًا للنظرية المُثبتة ، فإن الجذور المنطقية لكثير الحدود هي من بين الكسور غير القابلة للاختزال للصيغة / حيث يوجد قاسم الحد الحر 8 وهو مقسومه على المعامل الرئيسي 6 البسط. على سبيل المثال ، يمكننا القول أن مقسومه على الرقم 8 أ هو مقسوم موجب على الرقم 6 حيث أن قواسم الرقم 8 هي 48 ± والمقسوم الموجب على الرقم 6 سيكون 36 ، ثم الجذور المنطقية لكثير الحدود المعنية هي من بين الأرقام ± / 3/6/344 / 388/3 تذكر أننا كتبنا فقط الكسور غير القابلة للاختزال. وبالتالي ، لدينا عشرين رقمًا "مرشحة" للجذور. يبقى فقط التحقق من كل منها واختيار تلك التي هي جذور بالفعل. ولكن مرة أخرى ، يجب إجراء الكثير من عمليات التحقق. وتبسط النظرية التالية هذا العمل

8 نظرية إذا كان الكسر غير القابل للاختزال هو جذر كثير الحدود F x مع معاملات عدد صحيح ، فإن F يقبل القسمة على أي عدد صحيح ، بشرط أنه لإثبات هذه النظرية ، نقسم F x على x مع الباقي نحصل على F x x s x منذ x هو متعدد الحدود مع معاملات عدد صحيح ، ثم هو نفسه و s x a هو عدد صحيح دعونا s x b x b x b x b ثم x x b x b x b x b في هذه المساواة نضع x / مع الأخذ في الاعتبار أن F / نحصل على / b b b b اضرب كلا طرفي المساواة الأخيرة بـ: b b b b وبالتالي F قابل للقسمة من خلال إثبات النظرية ، فلنعد الآن إلى مثالنا وباستخدام هذه النظرية سنقوم بتضييق نطاق البحث عن الجذور المنطقية أكثر ، دعونا نطبق نظرية القيم وتلك إذا كان الكسر غير القابل للاختزال هو جذر كثير الحدود x ثم هو قابلة للقسمة على و F قابلة للقسمة من خلال واضح في حالتنا F 5 a 5 لاحظ أنه في نفس الوقت استبعدنا الوحدة من الاعتبار. لذلك ، يجب البحث عن الجذور المنطقية لكثير الحدود في البيئة أرقام di / 3/6/3 8 8/3 ضع في اعتبارك / / ثم F 5 أيضًا قابلة للقسمة على هذا الرقم ، ثم 3 و 5 أيضًا قابلة للقسمة على 3 ، لذا فإن الكسر / يبقى بين المرشحين للجذور دعونا الآن / / في هذه الحالة 3 و F 5 غير قابلين للقسمة على -3 وهذا يعني أن الكسر / لا يمكن أن يكون جذر كثير الحدود هذا. بعد التحقق من كل من الكسور المكتوبة أعلاه ، نتوصل إلى أن الجذور المرغوبة هي من بين الأرقام / 3 4 وهكذا ، باستخدام تماما استقبال بسيطتمكنت من تضييق منطقة البحث بشكل كبير عن الجذور المنطقية لكثير الحدود قيد الدراسة. من خلال التحقق من 4 3 مرشحات متبقية ، نتأكد من أن متعدد الحدود x 6x 3x 4x 8x 8 له جذران منطقيان / و / 3 تسمح الطريقة الموضحة أعلاه بإيجاد فقط الجذور المنطقية لكثير الحدود ذات المعاملات الصحيحة ، بينما يمكن أن يكون لكثير الحدود و جذور غير عقلانيةلذلك ، على سبيل المثال ، كثير الحدود المدروس في المثال له جذران إضافيان: ± 5 هذه هي جذور كثير الحدود x x 4 لاحظ أنه عند اختبار المرشحين للجذور باستخدام النظرية الأخيرة ، فإنهم عادةً ما يأخذون في الاعتبار الحالة ± وبعبارة أخرى ، إذا / هي مرشح للجذور ، ثم يتحققون مما إذا كان F و F قابلين للقسمة على و ، على التوالي ، ولكن قد يحدث ، على سبيل المثال ، أن هذه الوحدة هي الجذر ومن ثم يمكن القسمة على أي رقم ويفقد الاختيار معناها. في هذا في هذه الحالة ، يجب أن نقسم x على x ونحصل على x x s x ونختبر لكثير الحدود sx. في هذه الحالة ، يجب ألا ننسى أن جذرًا واحدًا x جذر x موجود بالفعل

9 في بعض الحالات ، عندما تشير المعادلة المميزة إلى المعادلات نوع خاصيمكن إيجاد جذورها بالتعويض.وتشمل هذه المعادلات ، على سبيل المثال ، المعادلات المتماثلة والمقلوبة. المتماثل هو معادلة درجة - حتى من الصيغة x bx cx cx bx 3 المعادلات المتماثلة هي حالة خاصة من المعادلات المقلوبة. بالصيغة x bx cx / c x / b x حيث - بعض المعامل ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، حل المعادلات المتماثلة والمقلوبة من الدرجة الرابعة. دع المعادلة المتماثلة 4 x 3 bx cx bx. أولاً ، نخفضها الدرجة بقسمة كلا الجزأين على x. بالنظر إلى أن التعبير t x / x 4 يمكن كتابته على النحو t bt c 6 حل المعادلة 6 كمعادلة تربيعية عادية ، نحصل على جذرين t و t الآن بالتناوب بالتناوب مع الجذور t و t في المعادلة 5 نحن الحصول على معادلتين تربيعيتين x tx x t x 7 حل المعادلات 7 يعطينا جميع الجذور الأربعة للمعادلة الأصلية 3 وهكذا ، فإن حل المعادلة المتماثلة من الدرجة الرابعة يتقلص لحل ثلاثة المعادلات التربيعيةتم حل المعادلات العكسية بالمثل.إذا كان من الممكن تمثيل معادلة الدرجة الرابعة كـ 4 x 3 bx cx bx 8 فيمكن الحصول على حلها بالتعويض عن t x / x 9 كما في الحالة السابقة ، نخفض درجة المعادلة بمقدار قسمة كلا الجزأين على x للمعادلة الناتجة x bx c b / x / x نستخدم التعويض 9 ثم يمكن إعادة كتابة المعادلة كـ t bt c تمامًا كما في المثال السابق ، نحل المعادلة ونحصل على جذرين t و t الآن ، بالتناوب مع الجذور t و t في المعادلة 9 ، نحصل على معادلتين تربيعيتين x tx x t x

10 حل المعادلات الخطية المتكررة غير المتجانسة تسمى المعادلة الخطية المتكررة غير المتجانسة إذا كان من الممكن تمثيلها في النموذج التالي: f 3 حيث f - بعض وظائف دعونا نقدم معادلة متكررة خطية متجانسة لـ OLRU تقابل معادلة متكررة خطية غير متجانسة لـ NLRU 3 F 4 ونشير إلى حلها العام بواسطة FO عن طريق القياس مع طرق حل المعادلات التفاضلية ، نهمل أولاً الشروط الأولية ونفترض أنه تم العثور بالفعل على حل واحد للمعادلة 3 ، دعنا نسمي هذا الحل بالتحديد ونشير إليه من خلال سنبحث عن الحل العام لـ NLRU في شكل مجموع F لحلها الخاص والعام حل OLRU F 5 3 O دعنا نظهر أن 5 هو بالفعل حل من NLRU 3 دعنا نستبدل 5 في F F F F O O F F F F f O O ولكن هذه المعادلة متطابقة لأن FO FO F O F F F f أي c هو أيضًا عدد صحيح ، استبدل 7 في 6 c c c b b c 8 سيكون الثابت t هو حل معين للمعادلة 6 بشرط أن مقام الصيغة 8 لا يساوي الصفر ، دعونا نقدم كثير الحدود المميز لـ NLRU 6

ب F h b F h h مثال حل المعادلة 5 مع F 35 يؤلف RLRS F يؤلف المعادلة المميزة h 3 حل المعادلة المميزة 4 اكتب الحل العام لـ RLRS F C C C C 5 أوجد الحل الخاص لـ RLRS 5 F 5 h منذ ذلك الحين h 6 اكتب الحل العام لـ RLRS F F C C 5 7 مع مراعاة الشروط الأولية ، نجد معاملات في حل NLRU

12 C C 5 C C 5 35 نحصل على C C 8 نكتب حل NLRU F 5 لذلك حصلنا على صيغة صريحة لحساب الحد -th من المتسلسلة في الختام ، نحسب التسلسل نفسه: الدرجة كما في اليمين جانب F c 34 بالتعويض عن 34 في 33 نحصل على قاعدة حساب معاملات كثير الحدود j c j b 35 j معادلة المعاملات على الجانبين الأيمن والأيسر بالمصطلحات التي تحتوي عليها ، نحصل على المعاملات المتبقية c c b b c عند h h بالمثل عن طريق المعادلة المعاملات عند 35 إذا كان جذر المعادلة المميزة h للتعددية ، فيجب البحث عن حل معين لـ NLRT في النموذج F c SOLUTION من NLRT تحت دالة EXPONENT FUNCTION سنبحث عن حل معين لـ NLRT F bα 37 بالصورة 36 بالتعويض عن 38 في 37 لدينا

13 bα F h α إذا لم تكن α جذرًا للمعادلة المميزة h إذا كانت α جذرًا لمعادلة التعددية المميزة ، فيجب البحث عن حل معين 37 في الشكل F dα حيث يكون d ثابتًا عدد التكرارات في بناء مصفوفة التحقق من الكود M M 4 3 مع M 7 لذلك ، يتم تحديد الحل المعين المقترح بشكل غير صحيح ، لأن جذر المعادلة المميزة الآن نقوم بتغيير شكل الحل المعين إلى M d e واستبداله بالمعادلة الأصلية التي لدينا e 3 d هكذا M C 3 ومع مراعاة الشروط الأولية C 3 لذا فإن حل المعادلة الأصلية M 3 3 معادلات غير المعادلات الخطية المتكررة ذات المعاملات الثابتة ليس لها طريقة حل عامة يمكن حلها ، على سبيل المثال ، عن طريق التجربة والخطأ F F b b b at ؛

14 b b b F F عند 3 الآن يمكننا أن نفترض أن حل المعادلة 39 هو 4 og b F حيث بالتعويض عن 4 في 39 لدينا og og og b b b b b b F F og og j j b b لذا 4 هو بالفعل حل للمعادلة 39

الموضوع 14 "المعادلات الجبرية وأنظمة المعادلات غير الخطية" متعدد الحدود من الدرجة n هو متعدد الحدود على شكل P n () a 0 n + a 1 n-1 + a n-1 + a n حيث a 0، a 1 ، a n-1 ، a n بأرقام معينة ، a 0 ،

محاضرة المعادلات التفاضلية من الدرجة الثالثة (DE-) سيتم كتابة الشكل العام للمعادلة التفاضلية للرتبة n: (n) F ، = 0 () معادلة الترتيب th (n =) ستأخذ الشكل F ( ،) = 0 معادلات مماثلة

نشاط عملي تكامل الكسور المنطقية الكسر المنطقي هو جزء من الصورة P Q ، حيث P و Q كثيرات الحدود يسمى الكسر المنطقي مناسبًا إذا كانت درجة كثير الحدود P أقل من الدرجة

الصف 10 ، المستوى الأساسي المهمة 1 الخيار 0 (عرض ، مع حلول) المدرسة الرياضية المراسلات 009/010 العام الدراسي 1 اعرض التعبير باعتباره متعدد الحدود للنموذج القياسي واعثر عليه

احتلال. الدرجة مع الأس الحقيقي التعسفي ، خصائصه. دالة القوة ، وخصائصها ، والرسوم البيانية .. تذكر خصائص الدرجة بأسس منطقي. a a a a للأوقات الطبيعية

المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الأولى المفاهيم الأساسية المعادلة التفاضلية هي معادلة تدخل فيها دالة غير معروفة تحت علامة المشتقة أو التفاضلية.

الموضوع 7 رتبة المصفوفة ثانوي أساسينظرية رتبة المصفوفة وعواقبها أنظمة المعادلات الخطية ذات نظرية المجهول كرونيكر كابيلينظام القرار الأساسي نظام متجانسخطي

كتيب عن الرياضيات 5 9 فصول MOSCOW "VAKO" 201 UDC 32.851 BBK 4.262.22 C4 6+ تمت الموافقة على المنشور للاستخدام في العملية التعليميةبناءً على أمر وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي

المعادلات التفاضلية المفاهيم العامة للمعادلات التفاضلية تطبيقات عديدة ومتنوعة للغاية في الميكانيكا والفيزياء وعلم الفلك والتكنولوجيا وفي فروع أخرى من الرياضيات العليا (على سبيل المثال ،

تطبيق الجبر. الجزء الأول: الحقول المنتهية أو الجالوا. II 1/78 الجزء الأول الحقول المنتهية أو Galois. II الجبر التطبيقي. الجزء الأول: الحقول المنتهية أو الجالوا. II 2/78 حقول بقايا Modulo

تطبيق الجبر. الجزء الأول: الحقول المحدودة (حقول جالوا). II 1/78 الجزء الأول الحقول المحدودة (حقول جالوا). II الجبر التطبيقي. الجزء الأول: الحقول المحدودة (حقول جالوا). II 2/78 بقايا الحقول النموذجية الأولية

المحاضرة 7 2 معادلات فريدهولم من النوع الثاني ذات النواة المتدهورة تختلف هذه الحالة من حيث أن حل المعادلة التكاملية يتم تقليله إلى حل خطي نظام جبريويمكن الحصول عليها بسهولة

8 معادلات تفاضلية خطية من الترتيب الثاني مع معاملات متغيرة 8 مفاهيم أساسية المعادلة التفاضلية الخطية من الرتبة th ذات المعاملات المتغيرة هي معادلة

محاضرة تكامل الكسور المنطقية الكسور المنطقية تكامل الكسور المنطقية البسيطة.

محاضرة. عناصر نظرية كثيرات الحدود. متعدد الحدود (بعض المعلومات الأساسية) وظيفة النموذج: 1 P (x) a0x a1x ... a 1x a = + + + + (1) حيث العدد الطبيعي a i (i = 01 ...) معاملات ثابتة

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي

الدرس 4 تكامل الوظائف المنطقية (تابع) وظيفة عقلانية(أو ، ببساطة ، كسر) هي نسبة اثنين من كثيرات الحدود ، أي دالة على الشكل R () = f () g () = a 0 m + a m + ... +

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي جامعة سانت بطرسبرغ للهندسة المعمارية والهندسة المدنية V B SMIRNOV، L E MOROZOV المعادلات التفاضلية العادية التعليمية

الوكالة الفيدرالية للتعليم GOU VPO "Ural State Technical University UPI" NM Kravchenko المعادلات التفاضلية والمتسلسلة مساعدة تعليمية محرر علميأستاذ مشارك ، مرشح

المعادلات غير المنطقية والمتباينات جدول المحتويات المعادلات غير المنطقية طريقة رفع كلا طرفي المعادلة إلى نفس القوة

الموضوع 2-19: Bilinear and أشكال تربيعية A. Ya. Ovsyannikov Ural Federal University Institute of Mathematics and Computer Science قسم الجبر والرياضيات المنفصلة الجبر والهندسة للميكانيكا

I الخيار 8B class ، 4 أكتوبر ، 007 1 أدخل الكلمات المفقودة: التعريف 1 يُشار إلى الجذر التربيعي الحسابي للعدد ، الذي يساوي a من الرقم a (a 0) على النحو التالي: بواسطة التعبير إجراء البحث

نظريات "ثلاثية فيثاغورس" ميخائيل بتروفيتش مورسيف هناك طرق مختلفة لتحديد المتغيرات من "مثلثات فيثاغورس" يطلق عليها أحيانًا "ثلاثية فيثاغورس" أو "مثلثات مصرية" ك

الموضوع تكامل غير محدد الطرق الأساسية للتكامل التكامل بالأجزاء دع u و v هما وظيفتان قابلتان للتفاضل لنفس الوسيطة من المعروف أن d (u v) udv vdu (77) مأخوذ من كليهما

موضوع 4. الحل العددي للمعادلات غير الخطية -1- الموضوع 4. الحل العددي للمعادلات غير الخطية 4.0. بيان المشكلة مشكلة إيجاد الجذور معادلة غير خطيةمن الشكل y = f () غالبًا ما توجد في علمي

عمل بحثي موضوع "تحلل كثير الحدود من الدرجة الخامسة إلى عوامل تربيعية باستخدام لاغرانج متعدد الحدود".

~ ~ المعادلات التفاضلية معلومات عامةحول المعادلات التفاضلية مهمة كتابة المعادلات التفاضلية التعريف: المعادلة التفاضلية هي المعادلة التي

الفصل لا يتجزأ إلى أجل غير مسمى التكامل المباشرتسمى الوظيفة F () المشتق العكسي للوظيفة f () إذا كانت المساواة F "() f () مجموعة جميع المشتقات العكسية للدالة المعينة f ()

وزارة العلوم والتعليم بالاتحاد الروسي أكاديمية رايزان للهندسة الإذاعية GS LUKYANOVA AINOVIKOV

المحاضرة 9 التحليل الخطي للمعادلات التفاضلية المعادلات التفاضلية الخطية ذات الرتب الأعلى معادلات متجانسةخصائص حلولهم خصائص الحلول معادلات غير متجانسةالتعريف 9 الخطي

المحاضرة 3 Extremum لدالة من عدة متغيرات دع دالة من عدة متغيرات u = f (x، x) تحدد في المجال D ، والنقطة x (x، x) = تنتمي إلى هذا المجال الوظيفة u = f ( س ، س) لديها

حلول مسائل الأولمبياد السادس للطالب في الجبر مشكلة 1 برهن على أنه إذا كانت جميع العناصر حقيقية مصفوفة مربعةالطلبات الأكبر من اثنين تختلف عن الصفر ، ثم يمكن ضربها في الموجب

الموضوع 1 الأعداد الحقيقية 4 ساعات 11 تطوير مفهوم الرقم 1 في البداية ، كانت الأرقام تُفهم فقط على أنها أعداد طبيعية ، وهي كافية للحساب الأصناف الفرديةمجموعة من

95 Bilinear و وظائف من الدرجة الثانيةدالة خطية التعريف دالة خطية (شكل خطي) على مسافة خطية L هي دالة من متجهين من L يكون خطيًا في كل من

المؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي "جامعة نوفوسيبيرسك الوطنية للبحوث الحكومية" أنظمة التفاضل الخطي

مرجع بعض علامات تقسيم الأعداد الطبيعية الأعداد الطبيعية هي الأرقام المستخدمة للعد: الأعداد الطبيعية تشكل مجموعة تسمى مجموعة الأعداد الطبيعية مجموعة

1 UDC 517 96 1. حل معادلة Riccati وتطبيقها على المعادلات الخطية من الدرجة الثانية Chochiev Timofey Zakharovich ، مرشح العلوم الفيزيائية والرياضية ، باحث أول

أنظمة المعادلات التفاضلية مقدمة بالإضافة إلى المعادلات التفاضلية العادية ، تُستخدم أنظمة المعادلات التفاضلية لوصف العديد من العمليات في الحياة الواقعية.

جامعة موسكو التقنية الحكومية التي تحمل اسم N.E. كلية بومان للعلوم الأساسية قسم النمذجة الرياضية А.Н. كاناتنيكوف ،

وزارة التعليم العام والمهني للاتحاد الروسي جامعة ولاية روستوف E. Ya. غرامة

المحاضرة 2 أنظمة المعادلات الخطية محددات الأوامر الصغيرة 1 معادلة الأنظمة الخطية دعونا نعطي واحدًا آخر نظام خطيبنفس الحجم أ 11 س 1 + أ 12 س 2 + + أ 1 ن س ن = ب 1 ، أ 21 س 1

{ المفاهيم العامة- نظرية كوشي - العملية التفاضلية الخطية - النظريات الأساسية - الاستقلال الخطيالحلول - محدد خاطئ - Wronskian لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة

قسم التحليل الرياضي: موضوع متكامل غير محدد: تكامل الكسور المنطقية محاضر Pakhomova E.G. 0 5. تكامل الكسور المنطقية تعريف. يسمى الكسر المنطقي

الفصل المعادلات التفاضلية المفاهيم والتعريفات الأساسية المعادلة التفاضلية هي معادلة تربط المتغير المستقل x بالدالة المطلوبة (y f (x ومشتقات الوظيفة المطلوبة

طريقة فصل المتغيرات (طريقة فورييه) مبادئ عامةطريقة فصل المتغيرات لأبسط معادلة تفاضلية جزئية ، يكون فصل المتغيرات هو البحث عن حلول للصيغة من t فقط. ش (س ، ت

الموضوع: النظرية العامة لنظم المعادلات الخطية A. Ya. Ovsyannikov Ural Federal University Institute of Mathematics and Computer Science Department of Algebra and Discrete Mathematics Algebra and Geometry for

حول الحل في الأعداد الطبيعية للمعادلات للنموذج في تحليل ديوفانتين ، تعد المعادلات الخاصة بالصيغة من بين المعادلات التي يصعب حلها. غير معروف حاليا الطريقة العامة الحل الكاملحتى أبسط معادلات هذا

الجبر: الصف السابع. الدرس 2. التعبيرات الرقمية. التعبيرات ذات المتغيرات مساء الخير يا رفاق! في الدرس الأخير ، قمنا بمراجعة الموضوعات التي تعلمناها في الصف السادس. تذكرت كيفية تنفيذ الإجراءات العادية و

الفصل 2 مساحات المتجهات 9 ناقلات الفضاءفوق حقل 91 Axiomatics ، دع الحقل P يُعطى ، والذي سنسمي عناصره scalars ، وبعض المجموعة V ، التي سنسمي عناصرها

الكسور المستمرة الكسور المنتهية المحددة التعريف تعبير بالصيغة a 0 + a + a + + a m حيث a 0 Z a a m N a m N / () يسمى الكسر المستمر و m هو طول الكسر المستمر a 0 a a m سيكون تسمى معاملات الكسر المستمر

نظرية الأخطاء الأولية. حل SLAU. 4. المعايير في المساحات محدودة الأبعاد ... 4. شرطية SLAEs .... 5.3 الطرق التكراريةحلول الأنظمة الخطية ...............................

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي ولاية الأورال جامعة الاقتصاديو ب.ملنيكوف فيلد. قسم الامتدادات الميدانية كتاب إلكترونيلمرافقة المحاضرات إد. الرابعة ، مراجعة. وإضافية

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي الأبحاث الوطنية جامعة موسكو الحكومية للبناء قسم الميكانيكا التطبيقية والرياضيات التفاضلية العادية

الفصل السابع مفهوم طرق التقارب محاضرة مشاكل مضطربة بشكل منتظم وفريد عند البناء النماذج الرياضية أشياء ملموسة، تتميز مقاييس مختلفةعن طريق الفضاء