أوجد متجهات المصفوفة الذاتية. نظام المعادلات الخطية المتجانسة

المتجه الذاتي لمصفوفة مربعة هو الذي ، عند ضربه في مصفوفة معينة ، ينتج عنه متجه خطي. بكلمات بسيطة، عندما يتم ضرب المصفوفة في المتجه الذاتي ، فإن الأخير يظل كما هو ، ولكن يتم ضربه في عدد ما.

تعريف

المتجه الذاتي هو متجه غير صفري V ، والذي عند ضربه بمصفوفة مربعة M ، يصبح نفسه ، يزداد بمقدار ما. في التدوين الجبري ، يبدو هذا كما يلي:

م × ف = λ × ف ،

أين λ هي القيمة الذاتية للمصفوفة M.

انصح مثال رقمي. لتسهيل الكتابة ، سيتم فصل الأرقام الموجودة في المصفوفة بفاصلة منقوطة. لنفترض أن لدينا مصفوفة:

م = 0 ؛ أربعة؛
6; 10.

دعونا نضربها في متجه العمود:

الخامس = -2 ؛

عند ضرب مصفوفة في متجه عمود ، نحصل أيضًا على متجه عمود. حازم لغة رياضيةستبدو صيغة ضرب مصفوفة 2 × 2 في متجه عمود كما يلي:

M × V = M11 × V11 + M12 × V21 ؛
M21 × V11 + M22 × V21.

M11 تعني عنصر المصفوفة M ، يقف في الصف الأول والعمود الأول ، و M22 هو العنصر الموجود في الصف الثاني والعمود الثاني. بالنسبة للمصفوفة ، هذه العناصر هي M11 = 0 ، M12 = 4 ، M21 = 6 ، M22 10. بالنسبة لمتجه العمود ، هذه القيم هي V11 = –2 ، V21 = 1. وفقًا لهذه الصيغة ، نحصل على ما يلي نتيجة حاصل ضرب مصفوفة مربعة بواسطة متجه:

M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4 ؛
6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

للراحة ، نكتب متجه العمود في صف واحد. لذلك ، قمنا بضرب المصفوفة المربعة في المتجه (-2 ؛ 1) ، مما أدى إلى المتجه (4 ؛ -2). من الواضح أن هذا هو نفس المتجه مضروبًا في λ = -2. لامدا في هذه القضيةيدل على قيمة ذاتية للمصفوفة.

المتجه الذاتي للمصفوفة هو متجه خطي ، أي كائن لا يغير موقعه في الفضاء عندما يتم ضربه في مصفوفة. مفهوم العلاقة الخطية المتداخلة في ناقلات الجبرعلى غرار مصطلح التوازي في الهندسة. في التفسير الهندسي ناقلات خطية- هذه هي مقاطع موجهة متوازية بأطوال مختلفة. منذ زمن إقليدس ، نعلم أن سطرًا واحدًا به عدد لا نهائي من الأسطر الموازية له ، لذلك فمن المنطقي أن نفترض أن كل مصفوفة بها عدد لا نهائي من المتجهات الذاتية.

من المثال السابق ، يمكن ملاحظة أن كلا من (-8 ؛ 4) و (16 ؛ -8) و (32 ، -16) يمكن أن يكونا متجهات ذاتية. كل هذه متجهات خطية تقابل القيمة الذاتية λ = -2. عند ضرب المصفوفة الأصلية في هذه المتجهات ، سنظل نحصل على متجه نتيجة لذلك ، والذي يختلف عن الأصل بمقدار مرتين. هذا هو السبب ، عند حل المشكلات الخاصة بإيجاد ناقل eigenvector ، من الضروري إيجاد كائنات متجهية مستقلة خطيًا فقط. في أغلب الأحيان ، بالنسبة لمصفوفة n × n ، يوجد عدد من المتجهات الذاتية n من رقم n. تم تصميم الآلة الحاسبة الخاصة بنا لتحليل المصفوفات المربعة من الدرجة الثانية ، لذلك دائمًا ما يتم العثور على متجهين eigenvectors نتيجة لذلك ، إلا عندما يتطابقان.

في المثال أعلاه ، عرفنا مسبقًا المتجه الذاتي للمصفوفة الأصلية وحددنا رقم لامدا بصريًا. ومع ذلك ، من الناحية العملية ، يحدث كل شيء في الاتجاه المعاكس: في البداية توجد قيم ذاتية ثم متجهات ذاتية فقط.

خوارزمية الحل

لننظر إلى المصفوفة الأصلية M مرة أخرى ونحاول إيجاد متجهيها الذاتيين. لذا تبدو المصفوفة كما يلي:

م = 0 ؛ أربعة؛
6; 10.

بادئ ذي بدء ، نحتاج إلى تحديد القيمة الذاتية λ ، والتي من أجلها نحتاج إلى حساب محدد المصفوفة التالية:

(0 - λ) ؛ أربعة؛
6 ؛ (10 - λ).

هذه المصفوفةتم الحصول عليها بطرح المجهول λ من العناصر الموجودة على القطر الرئيسي. يتم تحديد المحدد بواسطة الصيغة القياسية:

detA = M11 × M21 - M12 × M22
detA = (0 - λ) × (10 - λ) - 24

نظرًا لأن المتجه الخاص بنا يجب ألا يكون صفراً ، فإننا نأخذ المعادلة الناتجة على أنها معتمدة خطيًا ونساوي المحددات detA بالصفر.

(0 - λ) × (10 - λ) - 24 = 0

دعونا نفك الأقواس ونحصل على معادلة مميزةالمصفوفات:

λ 2-10λ - 24 = 0

هذا هو المعيار معادلة من الدرجة الثانية، والتي سيتم حلها من حيث التمييز.

د \ u003d ب 2-4ac \ u003d (-10) × 2-4 × (-1) × 24 \ u003d 100 + 96 \ u003d 196

جذر المميز هو الجذر التربيعي (د) = 14 ، لذا λ1 = -2 ، λ2 = 12. الآن لكل قيمة لامدا ، نحتاج إلى إيجاد المتجه الذاتي. دعونا نعبر عن معاملات النظام لـ λ = -2.

م - λ × ه = 2 ؛ أربعة؛
6; 12.

في هذه الصيغة ، E هو مصفوفة الهوية. بناءً على المصفوفة التي تم الحصول عليها ، سنقوم بتكوين النظام المعادلات الخطية:

2 س + 4 ص = 6 س + 12 ص

حيث x و y هما عناصر من المتجه الذاتي.

دعونا نجمع كل X على اليسار وكل Y على اليمين. من الواضح - 4x = 8y. قسّم التعبير على - 4 واحصل على x = -2y. الآن يمكننا تحديد المتجه الذاتي الأول للمصفوفة بأخذ أي قيم للمجهول (تذكر ما لا نهاية للمتجهات الذاتية المعتمدة خطيًا). لنأخذ y = 1 ، ثم x = -2. لذلك ، يبدو المتجه الذاتي الأول مثل V1 = (–2 ؛ 1). العودة إلى بداية المقال. كان هذا الكائن المتجه هو الذي ضربنا المصفوفة به لتوضيح مفهوم المتجه الذاتي.

لنجد الآن المتجه الذاتي لـ λ = 12.

م - λ × E = -12 ؛ أربعة
6; -2.

دعونا نؤلف نفس نظام المعادلات الخطية ؛

-12 س + 4 ص = 6 س - 2 ص
-18 س = -6 ص
3 س = ص.

الآن لنأخذ x = 1 ، ومن ثم y = 3. وبالتالي ، فإن المتجه الذاتي الثاني يبدو مثل V2 = (1 ؛ 3). عند ضرب المصفوفة الأصلية في ناقلات معينة، ستكون النتيجة دائمًا نفس المتجه مضروبًا في 12. هذا يكمل خوارزمية الحل. الآن أنت تعرف كيفية تحديد المتجه الذاتي للمصفوفة يدويًا.

محدد.
تتبع ، أي مجموع العناصر على القطر الرئيسي ؛
رتبة ، وهذا هو الحد الأقصى للمبلغصفوف / أعمدة مستقلة خطيًا.

يعمل البرنامج وفقًا للخوارزمية المذكورة أعلاه ، مما يقلل من عملية الحل. من المهم الإشارة إلى أنه في البرنامج يتم الإشارة إلى لامدا بالحرف "c". لنلق نظرة على مثال عددي.

مثال البرنامج

دعنا نحاول تعريف المتجهات الذاتية للمصفوفة التالية:

م = 5 ؛ 13 ؛
4; 14.

دعنا ندخل هذه القيم في خلايا الآلة الحاسبة ونحصل على الإجابة بالشكل التالي:

رتبة المصفوفة: 2 ؛
محدد المصفوفة: 18 ؛
تتبع المصفوفة: 19 ؛
حساب Eigenvector: c 2 - 19.00c + 18.00 (معادلة مميزة) ؛
حساب Eigenvector: 18 (قيمة لامدا الأولى) ؛
حساب Eigenvector: 1 (قيمة لامدا الثانية) ؛
نظام معادلات المتجه 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 - 4y1 ؛
نظام معادلة المتجه 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1 ؛
Eigenvector 1: (1 ؛ 1) ؛
Eigenvector 2: (-3.25 ؛ 1).

وهكذا ، حصلنا على اثنين من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا.

استنتاج

يعتبر الجبر الخطي والهندسة التحليلية موضوعات قياسية لأي طالب جديد التخصص الفني. عدد كبير منالمتجهات والمصفوفات مرعبة ، ومن السهل ارتكاب خطأ في مثل هذه الحسابات المرهقة. سيسمح برنامجنا للطلاب بالتحقق من حساباتهم أو حل مشكلة العثور على eigenvector تلقائيًا. توجد حاسبات جبر خطية أخرى في الكتالوج الخاص بنا ، استخدمها في دراستك أو عملك.

كيفية اللصق الصيغ الرياضيةالى الموقع؟

إذا احتجت في أي وقت إلى إضافة صيغة رياضية واحدة أو اثنتين إلى صفحة ويب ، فإن أسهل طريقة للقيام بذلك هي كما هو موضح في المقالة: يتم إدراج الصيغ الرياضية بسهولة في الموقع في شكل صور يقوم Wolfram Alpha بإنشائها تلقائيًا. بالإضافة إلى البساطة ، هذا طريقة عالميةسيساعد في تحسين ظهور الموقع في محركات البحث. لقد كانت تعمل لفترة طويلة (وأعتقد أنها ستعمل إلى الأبد) ، لكنها عفا عليها الزمن من الناحية الأخلاقية.

إذا كنت تستخدم المعادلات الرياضية باستمرار على موقعك ، فأوصيك باستخدام MathJax ، وهي مكتبة JavaScript خاصة تعرض تدوين رياضيفي متصفحات الويب باستخدام ترميز MathML أو LaTeX أو ASCIIMathML.

هناك طريقتان لبدء استخدام MathJax: (1) باستخدام رمز بسيط ، يمكنك بسرعة توصيل برنامج نصي MathJax بموقعك ، والذي سيكون في اللحظة المناسبةالتنزيل تلقائيًا من خادم بعيد (قائمة الخوادم) ؛ (2) قم بتحميل البرنامج النصي MathJax من خادم بعيد إلى الخادم الخاص بك وقم بتوصيله بجميع صفحات موقعك. الطريقة الثانية أكثر تعقيدًا وتستغرق وقتًا طويلاً وستسمح لك بتسريع تحميل صفحات موقعك ، وإذا أصبح خادم MathJax الرئيسي غير متاح مؤقتًا لسبب ما ، فلن يؤثر ذلك على موقعك بأي شكل من الأشكال. بالرغم من هذه المميزات اخترت الطريقة الأولى فهي أبسط وأسرع ولا تتطلب مهارات فنية. اتبع المثال الخاص بي ، وفي غضون 5 دقائق ستتمكن من استخدام جميع ميزات MathJax على موقع الويب الخاص بك.

يمكنك توصيل البرنامج النصي لمكتبة MathJax من خادم بعيد باستخدام خياري رمز مأخوذين من موقع MathJax الرئيسي أو من صفحة التوثيق:

يجب نسخ أحد خيارات التعليمات البرمجية هذه ولصقه في رمز صفحة الويب الخاصة بك ، ويفضل أن يكون ذلك بين العلامات وأو بعد العلامة مباشرة . وفقًا للخيار الأول ، يتم تحميل MathJax بشكل أسرع ويقلل من إبطاء الصفحة. لكن الخيار الثاني يتتبع ويحمل تلقائيًا أحدث إصدارات MathJax. إذا أدخلت الرمز الأول ، فسيلزم تحديثه بشكل دوري. إذا قمت بلصق الكود الثاني ، فسيتم تحميل الصفحات بشكل أبطأ ، لكنك لن تحتاج إلى مراقبة تحديثات MathJax باستمرار.

أسهل طريقة لتوصيل MathJax هي في Blogger أو WordPress: في لوحة التحكم بالموقع ، أضف عنصر واجهة مستخدم مصمم لإدراج كود JavaScript لجهة خارجية ، وانسخ الإصدار الأول أو الثاني من كود التحميل أعلاه فيه ، ثم ضع الأداة بالقرب من بداية القالب (بالمناسبة ، هذا ليس ضروريًا على الإطلاق ، حيث يتم تحميل البرنامج النصي MathJax بشكل غير متزامن). هذا كل شئ. تعرف الآن على صيغة الترميز MathML و LaTeX و ASCIIMathML وستكون جاهزًا لتضمين الصيغ الرياضية في صفحات الويب الخاصة بك.

يتم بناء أي كسورية وفقًا لقاعدة معينة ، والتي يتم تطبيقها باستمرار لعدد غير محدود من المرات. كل وقت يسمى التكرار.

الخوارزمية التكرارية لبناء إسفنجة منجر بسيطة للغاية: يتم تقسيم المكعب الأصلي مع الجانب 1 بواسطة طائرات موازية لوجوهها إلى 27 مكعبًا متساويًا. تتم إزالة مكعب مركزي واحد و 6 مكعبات مجاورة له على طول الوجوه منه. اتضح مجموعة تتكون من 20 مكعبات أصغر متبقية. بالقيام بالشيء نفسه مع كل من هذه المكعبات ، نحصل على مجموعة تتكون من 400 مكعب أصغر. استمرارًا لهذه العملية إلى أجل غير مسمى ، نحصل على إسفنجة منجر.

www.siteيسمح لك أن تجد. الموقع يقوم بالحساب. في غضون ثوانٍ قليلة ، سيصدر الخادم الحل الصحيح. المعادلة المميزة للمصفوفةسوف يكون تعبير جبري، التي تم العثور عليها من خلال قاعدة حساب المحدد المصفوفات المصفوفات، بينما على القطر الرئيسي ستكون هناك اختلافات في قيم العناصر القطرية والمتغير. عند حساب معادلة مميزة للمصفوفة على الإنترنت، كل عنصر المصفوفاتمع العناصر الأخرى المقابلة المصفوفات. البحث في الوضع عبر الانترنتممكن فقط للمربع المصفوفات. ابحث عن العملية معادلة مميزة للمصفوفة على الإنترنتينزل إلى الحساب مجموع جبريمنتجات العناصر المصفوفاتنتيجة إيجاد المحدد المصفوفات، فقط لغرض التحديد معادلة مميزة للمصفوفة على الإنترنت. تستغرق هذه العملية مكان خاصنظريا المصفوفات، يسمح لك بالعثور على قيم eigenvalues والمتجهات باستخدام الجذور. البحث عن المهمة معادلة مميزة للمصفوفة على الإنترنتهو مضاعفة العناصر المصفوفاتمع التجميع اللاحق لهذه المنتجات وفقًا لقاعدة معينة. www.siteيجد معادلة مميزة للمصفوفةبعد معين في الوضع عبر الانترنت. عملية حسابية معادلة مميزة للمصفوفة على الإنترنتبالنسبة لبعد معين ، هذا هو إيجاد كثير الحدود مع معاملات عددية أو رمزية تم العثور عليها بواسطة قاعدة حساب المحدد المصفوفات- كمجموع نواتج العناصر المقابلة المصفوفات، فقط لغرض التحديد معادلة مميزة للمصفوفة على الإنترنت. إيجاد كثير الحدود بالنسبة لمتغير لمربع المصفوفاتكتعريف معادلة مميزة للمصفوفة، شائع من الناحية النظرية المصفوفات. قيمة جذور كثير الحدود معادلة مميزة للمصفوفة على الإنترنتتستخدم لتعريف المتجهات الذاتية و القيم الذاتيةل المصفوفات. ومع ذلك ، إذا كان المحدد المصفوفاتسيكون صفرا ، إذن معادلة خصائص المصفوفةسيظل موجودًا ، على عكس العكس المصفوفات. من أجل حساب معادلة مميزة للمصفوفةأو ابحث عن عدة في وقت واحد معادلات مميزة المصفوفات، تحتاج إلى إنفاق الكثير من الوقت والجهد ، بينما سيجد خادمنا معادلة مميزة للمصفوفة عبر الإنترنت. في هذه الحالة ، الجواب من خلال إيجاد معادلة مميزة للمصفوفة على الإنترنتستكون صحيحة وبدقة كافية ، حتى لو كانت الأرقام عند العثور عليها معادلة مميزة للمصفوفة على الإنترنتسيكون غير عقلاني. متصل www.siteيُسمح بإدخالات الأحرف في العناصر المصفوفات، إنه معادلة مميزة للمصفوفة عبر الإنترنتيمكن تمثيلها بشكل رمزي عام عند الحساب مصفوفة المعادلة المميزة عبر الإنترنت. من المفيد التحقق من الإجابة التي تم الحصول عليها عند حل مشكلة البحث معادلة مميزة للمصفوفة على الإنترنتباستخدام الموقع www.site. عند إجراء عملية حساب كثير الحدود - المعادلة المميزة للمصفوفة، من الضروري أن تكون منتبهًا ومركّزًا للغاية في حل هذه المشكلة. في المقابل ، سيساعدك موقعنا على التحقق من قرارك بشأن الموضوع مصفوفة المعادلة المميزة عبر الإنترنت. إذا لم يكن لديك وقت لإجراء فحوصات طويلة للمشكلات التي تم حلها ، فحينئذٍ www.siteسيكون بالتأكيد أداة ملائمة للتحقق عند البحث والحساب معادلة مميزة للمصفوفة على الإنترنت.

". يوضح الجزء الأول الأحكام التي تعتبر الحد الأدنى من الضرورة لفهم القياسات الكيميائية ، بينما يحتوي الجزء الثاني على الحقائق التي تحتاج إلى معرفتها من أجل فهم أعمق للطرق تحليل متعدد المتغيرات. يتم توضيح العرض التقديمي من خلال أمثلة تم إجراؤها في مصنف Excel. مصفوفة xlsالتي تصاحب هذا المستند.

يتم وضع ارتباطات الأمثلة في النص ككائنات Excel. هذه الأمثلة مجردة بطبيعتها ، ولا ترتبط بالمهام بأي شكل من الأشكال. الكيمياء التحليلية. أمثلة حقيقيةتمت مناقشة استخدام جبر المصفوفة في القياسات الكيميائية في نصوص أخرى مخصصة لمختلف تطبيقات القياس الكيميائي.

معظم القياسات التي أجريت في الكيمياء التحليلية ليست مباشرة ولكن غير مباشر. هذا يعني أنه في التجربة ، بدلاً من قيمة التحليل المطلوب C (التركيز) ، يتم الحصول على قيمة أخرى x(إشارة) متعلقة بـ C ولكن لا تساويها ، أي x(C) ≠ C. كقاعدة عامة ، نوع الاعتماد x(C) غير معروف ، لكن لحسن الحظ في الكيمياء التحليلية معظم القياسات متناسبة. هذا يعني أنه مثل تركيز C في أمرات ، ستزداد الإشارة X بنفس المقدار ، أي x(أج) = فأس(ج). بالإضافة إلى ذلك ، تكون الإشارات مضافة أيضًا ، وبالتالي فإن الإشارة من عينة تحتوي على مادتين بتركيزات C 1 و C 2 ستكون كذلك يساوي المجموعإشارات من كل مكون ، أي x(C1 + C2) = x(C1) + x(C2). التناسب والجمع معا يعطي الخطية. يمكن إعطاء العديد من الأمثلة لتوضيح مبدأ الخطية ، لكن يكفي ذكر أكثر اثنين من الأمثلة أمثلة واضحة- اللوني والتحليل الطيفي. الميزة الثانية المتأصلة في تجربة الكيمياء التحليلية هي متعدد القنوات. تقيس المعدات التحليلية الحديثة الإشارات للعديد من القنوات في نفس الوقت. على سبيل المثال ، يتم قياس شدة انتقال الضوء لعدة أطوال موجية في وقت واحد ، أي نطاق. لذلك ، في التجربة نتعامل مع مجموعة متنوعة من الإشارات x 1 , x 2 ,...., xن يميز مجموعة التركيزات C 1، C 2، ...، C m من المواد الموجودة في النظام قيد الدراسة.

أرز. 1 أطياف

لذا فإن التجربة التحليلية تتميز بالخطية والأبعاد المتعددة. لذلك ، من الملائم اعتبار البيانات التجريبية كمتجهات ومصفوفات ومعالجتها باستخدام جهاز جبر المصفوفة. يتضح من ثمار هذا النهج من خلال المثال الموضح في ، والذي يظهر ثلاثة أطياف مأخوذة من 200 طول موجي من 4000 إلى 4796 سم -1. الأول ( x 1) والثاني ( x 2) تم الحصول على الأطياف للعينات القياسية التي تُعرف فيها تركيزات المادتين A و B: في العينة الأولى [A] = 0.5 ، [B] = 0.1 ، وفي العينة الثانية [A] = 0.2 ، [ ب] = 0.6. ماذا يمكن أن يقال عن عينة جديدة غير معروفة ، ويشار إلى طيفها x 3 ?

النظر في ثلاثة أطياف تجريبية x 1 , x 2 و x 3 كثلاثة متجهات من البعد 200. باستخدام الجبر الخطي ، يمكن للمرء أن يوضح ذلك بسهولة x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2 ، لذلك من الواضح أن العينة الثالثة تحتوي فقط على المادتين A و B بتركيزات [A] = 0.5 × 0.1 + 0.2 × 0.3 = 0.11 و [B] = 0.1 × 0.1 + 0.6 × 0.3 = 0.19.

1. معلومات أساسية

1.1 المصفوفات

مصفوفةيسمى جدول الأرقام المستطيل ، على سبيل المثال

أرز. 2 مصفوفة

يتم الإشارة إلى المصفوفات بأحرف كبيرة غامقة ( أ) وعناصرها - المقابلة أحرف صغيرةمع المؤشرات ، أي أاي جاي . يرقِّم الفهرس الأول الصفوف ويرقم الثاني الأعمدة. في القياس الكيميائي ، من المعتاد الإشارة إليها أقصى قيمةالفهرس بنفس الحرف مثل الفهرس نفسه ، ولكن بحروف كبيرة. لذلك ، المصفوفة أيمكن أيضًا كتابتها كـ ( أ اي جاي , أنا = 1,..., أنا; ي = 1,..., ي). على سبيل المثال المصفوفة أنا = 4, ي= 3 و أ 23 = −7.5.

زوج من الأرقام أناو ييسمى بعد المصفوفة ويشار إليه على أنه أنا× ي. مثال على مصفوفة في القياسات الكيميائية هو مجموعة من الأطياف التي تم الحصول عليها من أجل أناعينات على يأطوال موجية.

1.2 أبسط العمليات مع المصفوفات

يمكن المصفوفات اضرب بالأرقام. في هذه الحالة ، يتم ضرب كل عنصر بهذا الرقم. علي سبيل المثال -

أرز. 3 ضرب مصفوفة في عدد

يمكن أن تكون مصفوفتان من نفس البعد من حيث العناصر يطوىو طرح او خصم. علي سبيل المثال،

أرز. 4 إضافة مصفوفة

نتيجة الضرب في رقم وإضافة ، يتم الحصول على مصفوفة من نفس البعد.

المصفوفة الصفرية هي مصفوفة تتكون من أصفار. تم تعيينه ا. من الواضح أن أ+ا = أ, أ−أ = او 0 أ = ا.

يمكن المصفوفة تبديل موضع. خلال هذه العملية ، يتم قلب المصفوفة ، أي يتم تبديل الصفوف والأعمدة. يشار إلى التحويل بشرطة ، أ"أو الفهرس أر. وهكذا ، إذا أ = {أ اي جاي , أنا = 1,..., أنا; ي = 1,...,ي)، ومن بعد أر = ( أ جي , ي = 1,...,ي؛ أنا = 1 ، ... ، أنا). علي سبيل المثال

أرز. 5 تبديل المصفوفة

من الواضح أن ( أر) ر = أ, (أ+ب) ر = أر + بر.

1.3 ضرب المصفوفة

يمكن المصفوفات تتضاعف، ولكن فقط إذا كانت لديهم الأبعاد المناسبة. لماذا هذا سيكون واضحًا من التعريف. منتج ماتريكس أ، البعد أنا× كوالمصفوفات ب، البعد ك× ي، تسمى المصفوفة ج، البعد أنا× ي، التي تكون عناصرها أرقامًا

هكذا للمنتج ABمن الضروري أن يكون عدد الأعمدة في المصفوفة اليسرى أكان يساوي عدد الصفوف في المصفوفة اليمنى ب. مثال على منتج ماتريكس -

الشكل 6 ناتج المصفوفات

يمكن صياغة قاعدة ضرب المصفوفة على النحو التالي. للعثور على عنصر مصفوفة جيقف عند التقاطع أنا-الخط و يالعمود -th ( ج اي جاي) يجب ضرب عنصر تلو الآخر أناالصف السادس من المصفوفة الأولى أعلى ي- العمود الثاني من المصفوفة الثانية بوأضف كل النتائج. لذلك في المثال الموضح ، يتم الحصول على العنصر من الصف الثالث والعمود الثاني كمجموع منتجات الصف الثالث. أوالعمود الثاني ب

الشكل 7 عنصر حاصل ضرب المصفوفات

يعتمد منتج المصفوفات على الترتيب ، أي AB ≠ بكالوريوس، على الأقل لأسباب تتعلق بالأبعاد. يقال أنه غير تبادلي. ومع ذلك ، فإن منتج المصفوفات هو تجميعي. هذا يعني انه ABC = (AB)ج = أ(قبل الميلاد). علاوة على ذلك ، فهي أيضًا توزيعية ، أي أ(ب+ج) = AB+تيار متردد. من الواضح أن AO = ا.

1.4 المصفوفات المربعة

إذا كان عدد أعمدة المصفوفة يساوي عدد صفوفها ( أنا = J = ن) ، ثم تسمى هذه المصفوفة مربع. في هذا القسم ، سننظر فقط في مثل هذه المصفوفات. من بين هذه المصفوفات ، يمكن للمرء أن يفرد المصفوفات ذات الخصائص الخاصة.

المنعزلمصفوفة (يشار إليها أناوأحيانا ه) عبارة عن مصفوفة تكون فيها جميع العناصر مساوية للصفر ، باستثناء العناصر القطرية التي تساوي 1 ، أي

بوضوح منظمة العفو الدولية = I ل = أ.

تسمى المصفوفة قطري، إذا كانت جميع عناصرها ، باستثناء العناصر القطرية ( أ ثانيا) تساوي الصفر. علي سبيل المثال

أرز. 8 مصفوفة قطرية

مصفوفة أدعا القمة الثلاثي، إذا كانت جميع عناصره الواقعة أسفل القطر تساوي صفرًا ، أي أ اي جاي= 0 ، في أنا>ي. علي سبيل المثال

أرز. 9 العلوي مصفوفة مثلثة

يتم تعريف المصفوفة المثلثية السفلية بالمثل.

مصفوفة أمسمي متماثل، لو أر = أ. بعبارات أخرى أ اي جاي = أ جي. علي سبيل المثال

أرز. 10 مصفوفة متماثلة

مصفوفة أمسمي متعامد، لو

أر أ = AAر = أنا.

تسمى المصفوفة عاديلو

1.5 التتبع والحاسم

التاليةمصفوفة مربعة أ(يشار إليها Tr ( أ) أو Sp ( أ)) هو مجموع عناصرها القطرية ،

علي سبيل المثال،

أرز. 11 تتبع المصفوفة

من الواضح أن

س (α أ) = α Sp ( أ) و

س ( أ+ب) = س ( أ) + س ( ب).

يمكن إثبات ذلك

س ( أ) = س ( أر) ، س ( أنا) = ن,

وكذلك ذلك

س ( AB) = س ( بكالوريوس).

اخر خاصية مهمةالمصفوفة المربعة لها محدد(يرمز لها det ( أ)). تعريف المحدد في الحالة العامةمعقد للغاية ، لذلك سنبدأ بأبسط خيار - المصفوفة أالبعد (2 × 2). ثم

بالنسبة لمصفوفة (3 × 3) ، فإن المحدد سيكون مساويًا لـ

في حالة المصفوفة ( ن× ن) يتم حساب المحدد على أنه مجموع 1 2 3 ... ن= ن! المصطلحات ، كل منها يساوي

المؤشرات ك 1 , ك 2 ,..., ك نيتم تعريفها على أنها جميع التباديل المرتبة الممكنة صالأرقام في المجموعة (1 ، 2 ، ... ، ن). يعد حساب محدد المصفوفة إجراءً معقدًا يتم تنفيذه عمليًا باستخدام برامج خاصة. علي سبيل المثال،

أرز. 12 محدد المصفوفة

نلاحظ فقط الخصائص الواضحة:

det ( أنا) = 1 ، det ( أ) = det ( أر) ،

det ( AB) = det ( أ) det ( ب).

1.6 ثلاثة أبعاد

إذا كانت المصفوفة تحتوي على عمود واحد فقط ( ي= 1) ، ثم يسمى هذا الكائن المتجه. بتعبير أدق ، متجه العمود. علي سبيل المثال

يمكن أيضًا اعتبار المصفوفات التي تتكون من صف واحد ، على سبيل المثال

هذا الكائن هو أيضًا متجه ، ولكن ناقلات التوالي. عند تحليل البيانات ، من المهم فهم المتجهات التي نتعامل معها - الأعمدة أو الصفوف. لذلك يمكن اعتبار الطيف المأخوذ لعينة واحدة كمتجه صف. ثم يجب معاملة مجموعة الشدة الطيفية عند بعض الأطوال الموجية لجميع العينات كمتجه عمود.

حجم المتجه هو عدد عناصره.

من الواضح أن أي متجه عمود يمكن تحويله إلى متجه صف عن طريق التحويل ، أي

في تلك الحالات التي لا يتم فيها تحديد شكل المتجه بشكل محدد ، ولكن يتم ذكر المتجه ببساطة ، فإنها تعني متجه العمود. سوف نلتزم أيضًا بهذه القاعدة. يتم الإشارة إلى المتجه بحرف صغير غامق مباشر. المتجه الصفري هو متجه كل عناصره تساوي صفرًا. يشار إليه 0 .

1.7 أبسط العمليات مع المتجهات

يمكن إضافة المتجهات وضربها بأرقام بنفس طريقة المصفوفات. علي سبيل المثال،

أرز. 13 عمليات مع نواقل

متجهان xو ذمسمي علاقة خطية متداخلة، إذا كان هناك رقم α من هذا القبيل

1.8 منتجات النواقل

متجهان من نفس البعد نيمكن أن تتضاعف. يجب ألا يكون هناك متجهان x = (x 1 , x 2 ,...,xن) ر و ذ = (ذ 1 , ذ 2 ,...,ذن) ر. مسترشدين بقاعدة الضرب "صف بعمود" ، يمكننا عمل منتجين منهما: xر ذو س صر. اول عمل

مسمي العدديةأو داخلي. نتيجتها هي رقم. كما أنه يستخدم الترميز ( x,ذ)= xر ذ. علي سبيل المثال،

أرز. 14 منتج داخلي (عددي)

العمل الثاني

مسمي خارجي. نتيجتها هي مصفوفة البعد ( ن× ن). علي سبيل المثال،

أرز. 15 المنتج الخارجي

ثلاثة أبعاد، منتج عدديالتي تساوي الصفر تسمى متعامد.

1.9 معيار ناقلات

يُطلق على المنتج القياسي للمتجه نفسه مربعًا قياسيًا. هذه القيمة

يحدد المربع الطولالمتجه x. للدلالة على الطول (يسمى أيضا القاعدةمتجه) يتم استخدام التدوين

علي سبيل المثال،

أرز. 16 قاعدة ناقلات

متجه طول الوحدة (|| x|| = 1) يسمى تطبيع. ناقل غير صفري ( x ≠ 0 ) يمكن تطبيعه بتقسيمه على الطول ، أي x = ||x|| (x /||x||) = ||x|| ه. هنا ه = x /||x|| هو ناقل طبيعي.

تسمى النواقل متعامدة إذا كانت جميعها طبيعية ومتعامدة زوجيًا.

1.10. الزاوية بين النواقل

يعرّف المنتج العددي و ركنφ بين متجهين xو ذ

إذا كانت المتجهات متعامدة ، فإن cosφ = 0 و φ = π / 2 ، وإذا كانت متعامدة ، فإن cosφ = 1 و φ = 0.

1.11. تمثيل المتجه لمصفوفة

كل مصفوفة أبحجم أنا× ييمكن تمثيلها كمجموعة من النواقل

هنا كل متجه أ يهو ي-العمود والصف متجه ب أناهو أناالصف السادس من المصفوفة أ

1.12. النواقل المعتمدة خطيا

نواقل من نفس البعد ( ن) يمكن إضافتها وضربها في رقم ، تمامًا مثل المصفوفات. والنتيجة هي متجه من نفس البعد. يجب ألا يكون هناك عدة نواقل من نفس البعد x 1 , x 2 ,...,x K ونفس عدد الأرقام α α 1 ، α 2 ، ... ، α ك. المتجه

ذ= α 1 x 1 + α 2 x 2 + ... + α ك x ك

مسمي تركيبة خطيةثلاثة أبعاد x ك .

إذا كان هناك مثل هذه الأرقام غير الصفرية α ك ≠ 0, ك = 1,..., ك، ماذا او ما ذ = 0 ، ثم هذه المجموعة من النواقل x كمسمي تعتمد خطيا. خلاف ذلك ، تسمى النواقل مستقلة خطيًا. على سبيل المثال ، النواقل x 1 = (2، 2) t و x 2 = (1، −1) t تعتمد خطيًا منذ ذلك الحين x 1 +2x 2 = 0

1.13. رتبة المصفوفة

ضع في اعتبارك مجموعة من كثلاثة أبعاد x 1 , x 2 ,...,x كأبعاد ن. رتبة هذا النظام من النواقل هي الحد الأقصى لعدد المتجهات المستقلة خطيًا. على سبيل المثال في المجموعة

لا يوجد سوى متجهين مستقلين خطيًا ، على سبيل المثال x 1 و x 2 ، لذا فإن مرتبتها هي 2.

من الواضح ، إذا كان هناك متجهات في المجموعة أكثر من أبعادها ( ك>ن) ، إذن فهم بالضرورة تابعين خطيًا.

رتبة المصفوفة(يُشار إليها بالرتبة ( أ)) هي رتبة نظام النواقل التي تتكون منها. على الرغم من أنه يمكن تمثيل أي مصفوفة بطريقتين (متجهات العمود أو متجهات الصف) ، إلا أن هذا لا يؤثر على قيمة الترتيب ، نظرًا لأن

1.14 مصفوفة معكوسة

مصفوفة مربعة أيسمى non-degenerate إذا كان لديه فريد يعكسمصفوفة أ-1 ، تحددها الشروط

AA −1 = أ −1 أ = أنا.

لا توجد المصفوفة العكسية لجميع المصفوفات. الشرط الضروري والكافي لعدم الأجيال هو

det ( أ) ≠ 0 أو رتبة ( أ) = ن.

انقلاب المصفوفة هو إجراء معقد توجد به برامج خاصة. علي سبيل المثال،

أرز. 17 انعكاس المصفوفة

نعطي الصيغ لأبسط حالة - المصفوفات 2 × 2

إذا كانت المصفوفات أو بغير منحط ، إذن

(AB) −1 = ب −1 أ −1 .

1.15. مصفوفة معكوسة الزائفة

إذا كانت المصفوفة أتتدهور والمصفوفة المعكوسة غير موجودة ، ثم في بعض الحالات يمكن للمرء استخدامها معكوس زائفالمصفوفة ، والتي يتم تعريفها على أنها مثل هذه المصفوفة أ+ ذلك

AA + أ = أ.

ليست المصفوفة العكسية الزائفة هي الوحيدة ويعتمد شكلها على طريقة البناء. على سبيل المثال ل مصفوفة مستطيلةيمكن استخدام طريقة Moore-Penrose.

إذا كان عدد الأعمدة أقل من رقمخطوط ، إذن

أ + =(أر أ) −1 أر

علي سبيل المثال،

أرز. 17a انقلاب المصفوفة الزائفة

إذا كان عدد الأعمدة رقم أكثرخطوط ، إذن

أ + =أر ( AAر) −1

1.16 ضرب متجه بمصفوفة

المتجه xيمكن ضربه بمصفوفة أالبعد المناسب. في هذه الحالة ، يتم ضرب متجه العمود على اليمين فأس، وسلسلة المتجه على اليسار xر أ. إذا كان البعد من المتجه ي، وبُعد المصفوفة أنا× يثم تكون النتيجة متجه البعد أنا. علي سبيل المثال،

أرز. 18 ضرب المصفوفة المتجهية

إذا كانت المصفوفة أ- ميدان ( أنا× أنا) ، ثم المتجه ذ = فأسله نفس أبعاد x. من الواضح أن

أ(α 1 x 1 + α 2 x 2) = α 1 فأس 1 + α 2 فأس 2 .

لذلك يمكن اعتبار المصفوفات تحولات خطية للمتجهات. خاصه x = x, ثور = 0 .

2. معلومات إضافية

2.1. نظم المعادلات الخطية

يترك أ- حجم المصفوفة أنا× ي، أ ب- متجه البعد ي. ضع في اعتبارك المعادلة

فأس = ب

فيما يتعلق بالناقل x، أبعاد أنا. في الأساس ، هذا هو نظام أناالمعادلات الخطية مع يمجهول x 1 ,...,x ي. يوجد حل إذا وفقط إذا

مرتبة( أ) = رتبة ( ب) = ص,

أين بهي مصفوفة البعد المعزز أنا×( ي + 1) تتكون من المصفوفة أ، مبطن بعمود ب, ب = (أ ب). خلاف ذلك ، المعادلات غير متناسقة.

لو ص = أنا = ي، فالحل فريد من نوعه

x = أ −1 ب.

لو ص < أنا، ثم هناك الكثير حلول مختلفة، والتي يمكن التعبير عنها من حيث التركيبة الخطية ي−صثلاثة أبعاد. نظام معادلات متجانسة فأس = 0 مع مصفوفة مربعة أ (ن× ن) لا يملك حل تافه (x ≠ 0 ) إذا وفقط إذا det ( أ) = 0. إذا ص= رتبة ( أ)<ن، ثم هناك ن−صحلول مستقلة خطيًا.

2.2. الأشكال ثنائية الخط والتربيع

لو أ- هذا هو مصفوفة مربعة، أ xو ذ- نواقل البعد المقابل ، ثم الناتج القياسي للشكل xر آيةمسمي خطينالشكل الذي تحدده المصفوفة أ. في x = ذالتعبير xر فأسمسمي من الدرجة الثانيةشكل.

2.3 مصفوفات محددة موجبة

مصفوفة مربعة أمسمي إيجابية محددة، إذا كان لأي متجه غير صفري x ≠ 0 ,

xر فأس > 0.

ال نفي (xر فأس < 0), غير سلبي (xر فأس≥ 0) و غير إيجابي (xر فأس≤ 0) مصفوفات معينة.

2.4 تحلل تشوليسكي

إذا كانت المصفوفة المتماثلة أهو محدد موجب ، ثم هناك مصفوفة مثلثة فريدة من نوعها يومع العناصر الإيجابية ، والتي من أجلها

أ = يور يو.

علي سبيل المثال،

أرز. 19 تحلل تشوليسكي

2.5 التحلل القطبي

يترك أهي مصفوفة مربعة غير متولدة من البعد ن× ن. ثم هناك شيء فريد قطبيالتمثيل

أ = ريال سعودى،

أين سهي مصفوفة متماثلة غير سالبة ، و صهي مصفوفة متعامدة. المصفوفات سو صيمكن تعريفها بشكل صريح:

س 2 = AAر أو س = (AAر) ½ و ص = س −1 أ = (AAر) −½ أ.

علي سبيل المثال،

أرز. 20 التحلل القطبي

إذا كانت المصفوفة أمتدهور ، فإن التحلل ليس فريدًا - وهي: سلا يزال وحيدا ، ولكن صقد يكون هناك الكثير. يمثل التحلل القطبي مصفوفة أكمجموعة ضغط / تمدد سوتحول ص.

2.6. المتجهات الذاتية والقيم الذاتية

يترك أهي مصفوفة مربعة. المتجه الخامسمسمي ناقل الخاصةالمصفوفات أ، لو

Av = λ الخامس,

حيث الرقم λ يسمى القيمة الذاتيةالمصفوفات أ. وبالتالي ، فإن التحويل الذي تقوم به المصفوفة أأكثر من ناقلات الخامس، يتم تقليله إلى تمدد بسيط أو ضغط بعامل λ. يتم تحديد المتجه الذاتي حتى الضرب بالثابت α ≠ 0 ، أي لو الخامسهو ناقل ذاتي ، ثم α الخامسهو أيضا عامل eigenvector.

2.7. القيم الذاتية

في المصفوفة أ، البعد ( ن× ن) لا يمكن أن يكون أكبر من ن القيم الذاتية. يرضون معادلة مميزة

det ( أ − λ أنا) = 0,

يجرى معادلة جبرية نالترتيب. على وجه الخصوص ، بالنسبة لمصفوفة 2 × 2 ، فإن المعادلة المميزة لها الشكل

علي سبيل المثال،

أرز. 21 القيم الذاتية

مجموعة من القيم الذاتية λ 1 ، ... ، λ نالمصفوفات أمسمي نطاق أ.

الطيف له خصائص مختلفة. خاصه

det ( أ) = λ 1 × ... × λ ن، Sp ( أ) = λ 1 + ... + λ ن.

يمكن أن تكون القيم الذاتية لمصفوفة عشوائية أرقامًا معقدة ، ولكن إذا كانت المصفوفة متماثلة ( أر = أ) ، فإن قيمها الذاتية حقيقية.

2.8. المتجهات الذاتية

في المصفوفة أ، البعد ( ن× ن) لا يمكن أن يكون أكبر من نالمتجهات الذاتية ، كل منها يتوافق مع قيمته الخاصة. لتحديد eigenvector الخامس نتحتاج إلى حل نظام من المعادلات المتجانسة

(أ − λ ن أنا)الخامس ن = 0 .

لها حل غير تافه لأن det ( أ-λ ن أنا) = 0.

علي سبيل المثال،

أرز. 22 المتجهات الذاتية

المتجهات الذاتية لمصفوفة متماثلة متعامدة.

القيم الذاتية (الأرقام) والمتجهات الذاتية.
أمثلة الحل

كن نفسك

من كلا المعادلتين يتبع ذلك.

لنضع بعد ذلك: .

نتيجة ل: هو ناقل eigenvector الثاني.

دعنا نكرر نقاط مهمةحلول:

- النظام الناتج بالتأكيد قرار مشترك(المعادلات تعتمد خطيًا) ؛

- يتم تحديد "Y" بطريقة تجعله عددًا صحيحًا ويكون الإحداثي الأول "x" عددًا صحيحًا وموجبًا وصغيرًا قدر الإمكان.

- نتحقق من أن الحل المعين يلبي كل معادلة في النظام.

إجابه .

كانت "نقاط التفتيش" الوسيطة كافية ، لذا فإن التحقق من المساواة ، من حيث المبدأ ، غير ضروري.

في مصادر المعلومات المختلفة ، غالبًا ما تتم كتابة إحداثيات المتجهات الذاتية ليس في أعمدة ، ولكن في صفوف ، على سبيل المثال: (ولكي أكون صادقًا ، كنت أكتبها في سطور). هذا الخيار مقبول ولكن في ضوء الموضوع التحولات الخطيةمن الناحية الفنية أكثر ملاءمة للاستخدام ناقلات العمود.

ربما بدا لك الحل طويلًا جدًا ، لكن هذا فقط لأنني علقت على المثال الأول بتفصيل كبير.

مثال 2

المصفوفات

نحن نتدرب بمفردنا! عينة تقريبية من التصميم النهائي للمهمة في نهاية الدرس.

احيانا عليك ان تفعل مهمة إضافية، يسمى:

اكتب التحلل الكنسي للمصفوفة

ما هذا؟

إذا تم تشكيل المتجهات الذاتية للمصفوفة أساس، ثم يمكن تمثيلها على النحو التالي:

أين توجد مصفوفة تتكون من إحداثيات المتجهات الذاتية ، - قطريمصفوفة مع القيم الذاتية المقابلة.

يسمى هذا تحلل المصفوفة العنوان الأساسيأو قطري.

تأمل مصفوفة المثال الأول. نواقلها الخاصة مستقل خطيا(غير خطية متداخلة) وتشكل أساسًا. لنصنع مصفوفة من إحداثياتها:

على قطري رئيسيالمصفوفات بالترتيب المناسبتوجد قيم eigenvalues ، والعناصر المتبقية تساوي الصفر:
- أؤكد مرة أخرى على أهمية الترتيب: "اثنان" يتوافق مع المتجه الأول وبالتالي يقع في العمود الأول ، "ثلاثة" - إلى المتجه الثاني.

وفقًا للخوارزمية المعتادة للبحث مصفوفة معكوسةأو طريقة جاوس جوردانتجد . لا ، هذا ليس خطأ مطبعي! - أمامك نادر مثل كسوف الشمسحدث عندما تطابق معكوس المصفوفة الأصلية.

يبقى لكتابة التحلل الكنسي للمصفوفة:

يمكن حل النظام باستخدام التحولات الأوليةوفي الأمثلة التالية سوف نلجأ إليها هذه الطريقة. ولكن هنا تعمل طريقة "المدرسة" بشكل أسرع. من المعادلة الثالثة نعبر عن: - استبدل المعادلة الثانية:

نظرًا لأن الإحداثي الأول هو صفر ، فإننا نحصل على نظام يتبعه من كل معادلة.

ومره اخرى انتبه إلى الوجود الإلزامي لعلاقة خطية. إذا تم الحصول على حل تافه فقط ، ثم إما أنه تم العثور على قيمة eigenvalue بشكل غير صحيح ، أو تم تجميع / حل النظام مع وجود خطأ.

الإحداثيات المدمجة تعطي قيمة

المتجه الذاتي:

ومرة أخرى ، نتحقق من أن الحل الذي تم العثور عليه يرضي كل معادلة النظام. في الفقرات التالية وفي المهام اللاحقة ، أوصي بقبول هذه الرغبة كقاعدة إلزامية.

2) بالنسبة للقيمة الذاتية ، باتباع نفس المبدأ ، نحصل عليها النظام القادم:

من المعادلة الثانية للنظام نعبر عن: - استبدل المعادلة الثالثة:

نظرًا لأن إحداثي "زيتا" يساوي صفرًا ، نحصل على نظام من كل معادلة يتبعها الاعتماد الخطي.

يترك

نتحقق من أن الحل يرضي كل معادلة النظام.

وهكذا ، فإن المتجه الذاتي:.

3) وأخيرًا ، يتوافق النظام مع قيمته الخاصة:

تبدو المعادلة الثانية هي الأبسط ، لذا فإننا نعبر عنها ونستبدلها في المعادلتين الأولى والثالثة:

كل شيء على ما يرام - تم الكشف عن تبعية خطية ، نستبدلها في التعبير:

نتيجة لذلك ، تم التعبير عن "X" و "Y" من خلال "Z":. في الممارسة العملية ، ليس من الضروري تحقيق مثل هذه العلاقات فقط ؛ في بعض الحالات يكون من الأنسب التعبير عن كل من خلال أو من خلال. أو حتى "قطار" - على سبيل المثال ، "X" حتى "Y" و "Y" حتى "Z"

لنضع بعد ذلك:

نتحقق من أن الحل الذي تم العثور عليه يفي بكل معادلة من النظام ويكتب المتجه الذاتي الثالث

إجابه: المتجهات الذاتية:

هندسيًا ، تحدد هذه المتجهات ثلاثة اتجاهات مكانية مختلفة ("هناك والعودة مرة أخرى")، وفقًا لذلك التحول الخطييحول المتجهات غير الصفرية (المتجهات الذاتية) إلى نواقل تربطها علاقة خطية.

إذا كان الشرط مطلوبًا لإيجاد توسع متعارف عليه ، فهذا ممكن هنا ، لأن تتوافق قيم eigenvalues المختلفة مع متجهات ذاتية مختلفة مستقلة خطيًا. نصنع مصفوفة من إحداثياتهم ، المصفوفة القطرية من ذو صلةقيم eigenvalues والبحث مصفوفة معكوسة .

إذا ، وفقًا للشرط ، من الضروري الكتابة مصفوفة التحول الخطيعلى أساس المتجهات الذاتية، ثم نعطي الإجابة بالصيغة. هناك فرق وفرق كبير!لهذه المصفوفة هي المصفوفة "دي".

التحدي مع المزيد حسابات بسيطةل قرار مستقل:

مثال 5

أوجد المتجهات الذاتية للتحويل الخطي المعطى بواسطة المصفوفة

عند العثور على الأرقام الخاصة بك ، حاول عدم إحضار الحالة إلى كثير الحدود من الدرجة الثالثة. بالإضافة إلى ذلك ، قد تختلف حلول نظامك عن حلولي - لا يوجد غموض هنا ؛ والمتجهات التي تجدها قد تختلف عن متجهات العينة حتى التناسب مع إحداثيات كل منها. على سبيل المثال ، و. من الممتع أكثر من الناحية الجمالية تقديم الإجابة في شكل ، ولكن لا بأس إذا توقفت عند الخيار الثاني. ومع ذلك ، كل شيء حدود معقولة، النسخة لا تبدو جيدة جدا.

عينة نهائية تقريبية من الواجب في نهاية الدرس.

كيف تحل المشكلة في حالة القيم الذاتية المتعددة؟

الخوارزمية العامةلا يزال كما هو ، لكن له خصائصه الخاصة ، ومن المستحسن الاحتفاظ ببعض أقسام الحل بأسلوب أكاديمي أكثر صرامة:

مثال 6

ابحث عن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

قرار

بالطبع ، دعنا نستفيد من العمود الأول الرائع:

وبعد التحلل ثلاثي الحدود مربعللمضاعفات:

نتيجة لذلك ، يتم الحصول على قيم eigenvalues ، اثنان منها مضاعفات.

دعونا نجد منطقتناثلاثة أبعاد:

1) سنتعامل مع جندي منفرد وفق مخطط "مبسط":

من المعادلتين الأخيرتين ، المساواة واضحة للعيان ، والتي من الواضح أنه يجب استبدالها في المعادلة الأولى للنظام:

لا يوجد مزيج أفضل:
المتجه الذاتي:

2-3) الآن نقوم بإزالة اثنين من الحراس. في هذه الحالة ، قد يكون إما اثنين أو واحدناقل eigenvector. بغض النظر عن تعدد الجذور ، نعوض بالقيمة في المحدد ، وهو ما يجلب لنا ما يلي نظام متجانس من المعادلات الخطية:

المتجهات الذاتية هي النواقل بالضبط
نظام القرار الأساسي

في الواقع ، طوال الدرس ، كنا منشغلين فقط في إيجاد متجهات النظام الأساسي. فقط في الوقت الحاضر هذا المصطلحلم يكن مطلوبًا بشكل خاص. بالمناسبة ، هؤلاء الطلاب الماهرون الذين ، في التمويه معادلات متجانسةستضطر إلى تدخينه الآن.

كان الإجراء الوحيد هو إزالة الأسطر الزائدة. والنتيجة هي مصفوفة "واحد في ثلاثة" مع "خطوة" رسمية في المنتصف.
- المتغير الأساسي - المتغيرات الحرة. هناك نوعان من المتغيرات الحرة ، لذلك هناك أيضًا متجهان للنظام الأساسي.

دعنا نعبر عن المتغير الأساسي من حيث المتغيرات الحرة:. يسمح عامل الصفر الموجود أمام "x" بأخذ أي قيم على الإطلاق (وهو ما يمكن رؤيته بوضوح من نظام المعادلات).

في سياق هذه المشكلة ، من الأنسب كتابة الحل العام ليس على التوالي ، ولكن في عمود:

الزوج يتوافق مع eigenvector:
الزوج يتوافق مع eigenvector:

ملحوظة : يمكن للقراء المحنكين أن يلتقطوا هذه المتجهات شفهيًا - فقط عن طريق تحليل النظام ، ولكن هناك حاجة إلى بعض المعرفة هنا: هناك ثلاثة متغيرات ، رتبة مصفوفة النظام- الوحدة تعني نظام القرار الأساسييتكون من 3-1 = 2 نواقل. ومع ذلك ، فإن النواقل التي تم العثور عليها مرئية تمامًا حتى بدون هذه المعرفة ، على مستوى حدسي بحت. في هذه الحالة ، سيتم كتابة المتجه الثالث "بشكل أكثر جمالًا":. ومع ذلك ، كلمة تحذير ، في مثال آخر اختيار بسيطقد لا يكون الأمر كذلك ، ولهذا فإن الحجز مخصص للأشخاص ذوي الخبرة. علاوة على ذلك ، لماذا لا نعتبر المتجه الثالث ، على سبيل المثال ،؟ بعد كل شيء ، فإن إحداثياته تلبي أيضًا كل معادلة للنظام والمتجهات مستقلة خطيًا. هذا الخيار ، من حيث المبدأ ، مناسب ، لكنه "ملتو" ، لأن المتجه "الآخر" هو مزيج خطي من نواقل النظام الأساسي.

إجابه: القيم الذاتية: ، المتجهات الذاتية:

مثال مشابه لحل افعل ذلك بنفسك:

مثال 7

ابحث عن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

عينة تقريبية للانتهاء في نهاية الدرس.

تجدر الإشارة إلى أنه في كلا المثالين السادس والسابع ، يتم الحصول على ثلاثية من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا ، وبالتالي يمكن تمثيل المصفوفة الأصلية في التحلل الكنسي. لكن مثل هذه التوت لا تحدث في جميع الحالات:

المثال 8