Име на параметъра	Значение
Тема на статията:	акордов метод.
Рубрика (тематична категория)	Математика

Метод на акордите -един от често срещаните итеративни методи. Нарича се още по метода на линейната интерполация, по метода на пропорционалните части.

Идеята на метода на акорда е, че на достатъчно малък сегмент дъгата на кривата при=f (x) се заменя с хордата и абсцисата на пресечната точка на хордата с оста воле приблизителна стойност на корена.

Фигура 2 - Геометрична интерпретация на метода на Нютон.

Нека за категоричност е" (x)> 0,е""(х)>0,f(а)<0,f(б)> 0 (фиг. 3, а). Вземете за първоначалното приближение желания корен Х*стойности x 0 \u003d a. През точките a 0 и B начертаваме хорда и за първо приближение на корена Х*вземете абсцисата x 1 на пресечната точка на хордата с оста ОХСега приблизителната стойност х 1 корен може да бъде прецизиран, ако приложим метода на акордите върху сегмента [x 1 ; b]. Абциса х 2 точки на пресичане на хордата A 1 B ще бъде друго приближение на корена. Продължавайки този процес по-нататък, получаваме последователността x 0 , x 1 , x 2 ,..., x k ,... приблизителни коренни стойности Х*дадено уравнение.

Така че методът на акордите може да бъде написан така:

, k=0, 1.2, …, (8)

AT общ случайще бъде фиксиран краят на сегмента на изолиран корен, в който знакът на функцията f(x)съвпада със знака на втората производна и за начално приближение x 0 можем да вземем точката на отсечката [ а; b], в който f(x 0)×f"’(x 0)< 0.

Например, когато f (а)>0,f (б)<0,f "(x)< 0,f "(x)< 0 (фиг. .3, b) край bсегмент [ а; b] поправено е.

Ако f(a)>0, f(б)< 0,е"(Х)< 0,f"( х)>0 (фиг.3, c), или f(а)<0,f(б)>0,е'(Х)>0,е"'(х)<0 (рис. 3,G),точка a е фиксираният край на сегмента [ а; b].

Достатъчни условия за сходимост на метода на акордите са дадени от следната теорема.

Фигура 3. Геометрична интерпретация на метода на акордите

Теорема.Нека на интервала [ а; b] функция f (Х)е непрекъснат заедно със своите производни от втори ред включително и f(a)×f(b)<0, а производные е" (х)и е" (Х)запазете знаците си [ а; b], тогава има такъв коренов кръг Х*уравнения f(х)=0, което за всяко първоначално приближение х 0 от тази окръжност редицата (x k ), изчислена по формула (8), се събира към корена Х*.

акордов метод. - понятие и видове. Класификация и характеристики на категорията "Метод на акорда". 2017 г., 2018 г.

- Метод на акордите

Нека 1) функцията y=F(x) е дефинирана и непрекъсната на сегмента . 2) F(a)F(b)<0 Требуется найти корень на отрезке с точностью &... .

- АКОРДОВ МЕТОД

При диференциране по този метод върху начертаната крива на графиката на функцията се отбелязват множество точки, които се свързват с хорди, т.е. заменете дадената крива с прекъсната линия (фиг. 2). Прави се следното предположение: ъгълът на наклона на допирателните в точките, разположени в средата ... .

- Метод на акордите

В някои случаи методът на акордите има малко по-висока степен на сходимост, при която на втория етап при избора на следващото приближение вътре в сегмента, съдържащ корена, се взема предвид остатъчната стойност в краищата на сегмента: точката е избрана по-близо до края, където ... .

- Метод на акордите.

Идеята на метода е илюстрирана на фигурата. Указва се интервал, на който f(x0)f(x1) &... .

- Метод на акордите

При този метод като приближение не се избира средата на сегмента, а точката на пресичане на хордата с абсцисната ос. Уравнението на хордата AB, свързваща краищата на сегмента: (1) Точката на пресичане с абсцисната ос има координати, заместваме в (1) и намираме (2). Сравнете знаци и... .

- Комбиниран метод на хорди и допирателни

Ако и са приблизителни стойности на корена по отношение на дефицит и излишък. 1. Ако е включено, тогава едновременно. 2. Ако е включено, тогава едновременно. Пример. Разделете корените аналитично и ги прецизирайте чрез комбинирания метод на хордите и допирателните с точност до 0,001. , следователно за изчисления...

акордов метод (Методът е известен още като Методът на секущата ) един от методите за решаване нелинейни уравненияи се основава на последователното стесняване на интервала, съдържащ единствения корен на уравнението. Итеративният процес се извършва до достигане на определената точност..

За разлика от метода половин деление, методът на акорда предполага, че разделянето на разглеждания интервал ще се извърши не в средата му, а в точката на пресичане на акорда с оста на абсцисата (ос - X). Трябва да се отбележи, че хордата е сегмент, който се изтегля през точките на разглежданата функция в краищата на разглеждания интервал. Разглежданият метод осигурява по-бързо намиране на корена от метода на разделяне на половината, при условие че разглежданият интервал е същият.

Геометрично методът на хордата е еквивалентен на замяна на кривата с хорда, минаваща през точките и (виж Фиг. 1.).

Фиг. 1. Построяване на отсечка (хорда) към функцията .

Уравнението на права линия (хорда), която минава през точки A и B, има следния вид:

Това уравнение е типично уравнение за описване на права линия в декартова координатна система. Наклонът на кривата се дава от ординатата и абсцисата, като се използват съответно стойностите в знаменателя и .

За точката на пресичане на правата с абсцисната ос уравнението, написано по-горе, ще бъде пренаписано в следната форма:

Като нов интервал за преминаване на итеративния процес избираме един от двата или , в края на които функцията приема стойности с различни знаци. Обратното на знаците на стойностите на функцията в краищата на сегмента може да се определи по много начини. Един от многото от тези начини е да се умножат стойностите на функцията в краищата на сегмента и да се определи знакът на продукта чрез сравняване на резултата от умножението с нула:

или .

Итеративният процес на прецизиране на корена завършва, когато условието за близост на две последователни приближения стане по-малко от зададената точност, т.е.

Фиг.2. Обяснение към дефиницията на изчислителната грешка.

Трябва да се отбележи, че конвергенцията на метода на хордата е линейна, но по-бърза от конвергенцията на метода на бисекция.

Алгоритъм за намиране на корена на нелинейно уравнение по метода на хордите

1. Намерете началния интервал на несигурност, като използвате един от методите за разделяне на корена. Удайте грешката в изчислението (малко положително число) и начална стъпка на итерация () .

2. Намерете пресечната точка на хордата с абсцисната ос:

3. Необходимо е да се намери стойността на функцията в точките , и . След това трябва да проверите две условия:

Ако условието е изпълнено , тогава желаният корен е вътре в левия сегмент, поставен, ;

Ако условието е изпълнено , тогава желаният корен е вътре в десния сегмент, вземете , .

В резултат на това се намира нов интервал на неопределеност, на който се намира желаният корен на уравнението:

4. Проверяваме приблизителната стойност на корена на уравнението за дадена точност, в случай на:

Ако разликата между две последователни приближения стане по-малка от определената точност, тогава итеративният процес приключва. Приблизителната стойност на корена се определя по формулата:

Ако разликата от две последователни приближения не достигне необходимата точност, тогава е необходимо да продължите итеративния процес и да преминете към стъпка 2 от разглеждания алгоритъм.

Пример за решаване на уравнения по метода на акордите

Като пример, помислете за решаване на нелинейно уравнение с помощта на метода на акордите. Коренът трябва да бъде намерен в разглеждания диапазон с точност до .

Вариант на решаване на нелинейно уравнение в софтуерен пакетMathCAD.

Резултатите от изчислението, а именно динамиката на изменението на приблизителната стойност на корена, както и грешките на изчислението от стъпката на итерация, са представени в графичен вид (виж фиг. 1).

Фиг. 1. Резултати от изчислението по метода на акордите

За да се осигури зададената точност при търсене на уравнение в диапазона, е необходимо да се извършат 6 итерации. На последната стъпка на итерация приблизителната стойност на корена на нелинейното уравнение ще бъде определена от стойността: .

Забележка:

Модификация на този метод е метод на фалшива позиция(False Position Method), който се различава от метода на секущата само по това, че всеки път не се вземат последните 2 точки, а тези точки, които са около корена.

Трябва да се отбележи, че ако втората производна може да бъде взета от нелинейна функция, алгоритъмът за търсене може да бъде опростен. Да приемем, че втората производна запазва постоянен знак и да разгледаме два случая:

Случай #1:

От първото условие се оказва, че фиксираната страна на сегмента е - странатаа.

Случай #2:

Итерационен метод

Метод на проста итерация за уравнението f(х) = 0 е както следва:

1) Оригиналното уравнение се трансформира във форма, удобна за повторения:

х = φ (х). (2.2)

2) Изберете първоначално приближение х 0 и изчислете следващите приближения по итеративната формула
x k = φ (x k -1), к =1,2, ... (2.3)

Ако има граница на итеративната последователност, тя е коренът на уравнението f(х) = 0, т.е. f(ξ ) =0.

г = φ (х)

a x 0 х 1 х 2 ξ b

Ориз. 2. Конвергентен итерационен процес

На фиг. 2 показва процеса на получаване на следващото приближение с помощта на итерационния метод. Последователността от приближения се сближава към корена ξ .

Теоретичните основи за прилагане на итерационния метод са дадени от следната теорема.

Теорема 2.3. Нека са изпълнени следните условия:

1) коренът на уравнението х= φ(x)принадлежи към сегмента [ а, b];

2) всички стойности на функцията φ (х) принадлежат на сегмента [ а, b],T. д. а ≤ φ (х)≤b;

3) има такова положително число р< 1, че производната φ "(х) във всички точки на отсечката [ а, b] удовлетворява неравенството | φ "(х) | ≤ р.

1) итерационна последователност x n= φ (x n- 1)(n = 1, 2, 3, ...) се сближава за всяко х 0 Î [ а, b];

2) границата на итеративната последователност е коренът на уравнението

x = φ(х), т.е. ако x k= ξ, тогава ξ= φ (ξ);

3) неравенството, характеризиращо скоростта на сходимост на итеративната последователност

| ξ -x k | ≤ (б-а)×q k.(2.4)

Очевидно тази теорема поставя доста строги условия, които трябва да бъдат проверени преди прилагането на итерационния метод. Ако производната на функцията φ (х) е по-голямо от единица по абсолютна стойност, тогава процесът на итерации се разминава (фиг. 3).

г = φ (х) г = х

Ориз. 3. Различен итерационен процес

Неравенството

|xk-xk- 1 | ≤ ε . (2.5)

акордов методе да замени кривата при = f(х) от отсечка, минаваща през точките ( а, f(а)) и ( b, f(b)) ориз. четири). Абсцисата на пресечната точка на правата с оста ОХвзети като следващо приближение.

За да получим формулата за изчисление за метода на хордата, ние записваме уравнението на права линия, минаваща през точките ( а, f(а)) и ( b, f(b)) и чрез приравняване придо нула, намираме х:

Þ

Алгоритъм на метода на акорда :

1) нека к = 0;

2) изчислете следващия номер на итерация: к = к + 1.

Да намерим друг к-e приближение по формула:

x k= а- f(а)(b - а)/(f(b) - f(а)).

Изчислете f(x k);

3) ако f(x k)= 0 (коренът е намерен), след това преминете към стъпка 5.

Ако f(x k) × f(b)>0, тогава b= x k, в противен случай а = x k;

4) ако |x k – x k -1 | > ε , след това преминете към стъпка 2;

5) изведете стойността на корена x k ;

Коментирайте. Действията на третия параграф са подобни на действията на метода на половината разделяне. Въпреки това, в метода на акорда, същият край на сегмента (десен или ляв) може да се измести на всяка стъпка, ако графиката на функцията в близост до корена е изпъкнала нагоре (фиг. 4, а) или вдлъбнат надолу (фиг. 4, bСледователно, разликата на съседните приближения се използва в критерия за конвергенция.

Ориз. четири. акордов метод

4. Метод на Нютон(допирателни)

Нека се намери приблизителната стойност на корена на уравнението f(х)= 0 и го означете x n.Формула за изчисление Метод на Нютонза определяне на следващото приближение x n+1 може да се получи по два начина.

Първият начин изразява геометричен смисъл Метод на Нютони се състои в това, че вместо пресечната точка на графиката на функцията при= f(х) с ос волтърси точката на пресичане с оста волдопирателна, начертана към графиката на функцията в точката ( x n,f(x n)), както е показано на фиг. 5. уравнението на допирателната има вида y - f(x n)= е"(x n)(х- x n).

Ориз. 5. Метод на Нютон (тангенс)

В точката на пресичане на допирателната с оста волпроменлива при= 0. Приравняване придо нула, изразяваме хи вземете формулата метод на допирателната :

(2.6)

Вторият начин: разширяване на функцията f(х) в серия на Тейлър в близост до точката x = x n:

Ограничаваме се до линейни термини по отношение на ( х- x n), се равнява на нула f(х) и изразяване на неизвестното от полученото уравнение х, обозначавайки го чрез x n+1 получаваме формула (2.6).

Да донесем достатъчни условияконвергенция на метода на Нютон.

Теорема 2.4. Нека на интервала [ а, b] са изпълнени следните условия:

1) функция f(х) и неговите производни е"(х)и е ""(х) са непрекъснати;

2) производни е"(x) и f""(х) са различни от нула и запазват определени постоянни знаци;

3) f(а)×f(b) < 0 (функция f(х) променя знака на сегмента).
След това има сегмент [ α , β ], съдържащ желания корен на уравнението f(х) = 0, на който се събира итеративната последователност (2.6). Ако като нулево приближение х 0 изберете тази гранична точка [ α , β ], в която знакът на функцията съвпада със знака на втората производна,

тези. f(х 0)× е"(х 0)>0, тогава итеративната последователност се сближава монотонно

Коментирайте. Имайте предвид, че методът на акордите просто идва от противоположната страна и двата метода могат да се допълват взаимно. Възможни и комбинирани метод на хордовите допирателни.

5. Методът на секущата

Методът на секанса може да се получи от метода на Нютон чрез заместване на производната с приблизителен израз - формулата на разликата:

, ,

. (2.7)

Формула (2.7) използва двете предишни приближения x nи x n - 1. Следователно за дадено начално приближение х 0 трябва да се изчисли следващо приближение х 1 , например по метода на Нютон с приблизителна замяна на производната по формулата

,

Алгоритъм на секущия метод:

1) дадено първоначална стойност х 0 и грешка ε . Изчислете

;

2) за n = 1, 2, ... докато условието | x n – x n -1 | > ε , изчисли x n+ 1 по формула (2.7).