Производната на функция е една от най-трудните теми в училищната програма. Не всеки завършил ще отговори на въпроса какво е производно.

Тази статия просто и ясно обяснява какво е дериват и защо е необходим.. Сега няма да се стремим към математическа строгост на представянето. Най-важното е да разберете смисъла.

Нека си припомним определението:

Производната е скоростта на промяна на функцията.

Фигурата показва графики на три функции. Според вас кой расте най-бързо?

Отговорът е очевиден - третият. Той има най-високата скорост на промяна, тоест най-голямата производна.

Ето още един пример.

Костя, Гриша и Матвей получиха работа едновременно. Нека видим как са се променили доходите им през годината:

Можете да видите всичко на графиката веднага, нали? Приходите на Костя са се увеличили повече от два пъти за шест месеца. И доходите на Гриша също се увеличиха, но съвсем малко. И доходите на Матю намаляха до нула. Началните условия са същите, но скоростта на изменение на функцията, т.е. производна, - различно. Що се отнася до Матвей, производната на доходите му като цяло е отрицателна.

Интуитивно можем лесно да оценим скоростта на промяна на функция. Но как да го направим?

Това, което наистина гледаме, е колко стръмно върви графиката на функцията нагоре (или надолу). С други думи, колко бързо y се променя с x. Очевидно една и съща функция в различни точки може да има различна стойност на производната - тоест може да се променя по-бързо или по-бавно.

Производната на функция се означава с .

Нека покажем как да намираме с помощта на графиката.

Начертана е графика на някаква функция. Вземете точка върху него с абциса. Начертайте допирателна към графиката на функцията в тази точка. Искаме да оценим колко стръмно се изкачва графиката на функцията. Удобна стойност за това е тангенс на наклона на допирателната.

Производната на функция в точка е равна на тангенса на наклона на допирателната, начертана към графиката на функцията в тази точка.

Моля, обърнете внимание - като ъгъл на наклон на тангентата, ние приемаме ъгъла между тангентата и положителната посока на оста.

Понякога учениците питат какво е допирателната към графиката на функция. Това е права линия, която има единствената обща точка с графиката в този раздел, освен това, както е показано на нашата фигура. Изглежда като допирателна към окръжност.

Да намерим. Спомняме си, че тангенсът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е равен на съотношението на срещуположния катет към съседния. От триъгълник:

Намерихме производната с помощта на графиката, без дори да знаем формулата на функцията. Такива задачи често се срещат на изпита по математика под номер.

Има и друга важна корелация. Спомнете си, че правата линия е дадена от уравнението

Величината в това уравнение се нарича наклон на права линия. Тя е равна на тангенса на ъгъла на наклона на правата спрямо оста.

.

Разбираме това

Нека запомним тази формула. Той изразява геометричния смисъл на производната.

Производната на функция в точка е равна на наклона на допирателната, начертана към графиката на функцията в тази точка.

С други думи, производната е равна на тангенса на наклона на тангенса.

Вече казахме, че една и съща функция може да има различни производни в различни точки. Нека видим как производната е свързана с поведението на функцията.

Нека начертаем графика на някаква функция. Нека тази функция се увеличава в някои области и намалява в други и с различни темпове. И нека тази функция има максимални и минимални точки.

В даден момент функцията се увеличава. Допирателната към графиката, начертана в точката, образува остър ъгъл; с положителна посока на оста. Така че производната е положителна в точката.

В момента нашата функция намалява. Допирателната в тази точка образува тъп ъгъл; с положителна посока на оста. Тъй като тангенсът на тъп ъгъл е отрицателен, производната в точката е отрицателна.

Ето какво се случва:

Ако една функция нараства, нейната производна е положителна.

Ако намалява, производната му е отрицателна.

И какво ще се случи при максималните и минималните точки? Виждаме, че в (максимална точка) и (минимална точка) допирателната е хоризонтална. Следователно тангенсът на наклона на тангентата в тези точки е нула и производната също е нула.

Точката е максималната точка. В този момент нарастването на функцията се заменя с намаление. Следователно знакът на производната се променя в точката от "плюс" на "минус".

В точката - минималната точка - производната също е равна на нула, но нейният знак се променя от "минус" на "плюс".

Заключение: с помощта на производната можете да разберете всичко, което ни интересува за поведението на функцията.

Ако производната е положителна, тогава функцията нараства.

Ако производната е отрицателна, тогава функцията е намаляваща.

В максималната точка производната е нула и променя знака от плюс на минус.

В минималната точка производната също е нула и променя знака от минус на плюс.

Записваме тези констатации под формата на таблица:

	се увеличава	максимална точка	намаляващи	минимална точка	се увеличава
+	0	-	0	+

Нека направим две малки уточнения. Един от тях ще ви трябва, когато решавате задачата. Друг – през първата година, с по-сериозно изучаване на функции и производни.

Възможен е случай, когато производната на функция в дадена точка е равна на нула, но функцията няма нито максимум, нито минимум в тази точка. Този т.нар :

В дадена точка допирателната към графиката е хоризонтална и производната е нула. Въпреки това, преди точката функцията нараства - и след точката тя продължава да нараства. Знакът на производната не се променя - тя остава положителна, както беше.

Също така се случва в точката на максимум или минимум производната да не съществува. На графиката това съответства на рязко прекъсване, когато е невъзможно да се начертае допирателна в дадена точка.

Но как да намерим производната, ако функцията е дадена не от графика, а от формула? В този случай се прилага

Дата: 20.11.2014 г

Какво е дериват?

Производна таблица.

Производната е едно от основните понятия на висшата математика. В този урок ще представим това понятие. Да се ​​запознаем, без строги математически формулировки и доказателства.

Това въведение ще ви позволи да:

Разбират същността на простите задачи с производна;

Решете успешно тези много прости задачи;

Подгответе се за по-сериозни производни уроци.

Първо, приятна изненада.

Строгото определение на производната се основава на теорията на границите и нещата са доста сложни. Това е разстройващо. Но практическото приложение на производната, като правило, не изисква толкова обширни и дълбоки познания!

За успешното изпълнение на повечето задачи в училище и университета е достатъчно да знаете само няколко термина- да разбере задачата и само няколко правила- да го решим. И това е. Това ме радва.

Ще се опознаем ли?)

Термини и обозначения.

В елементарната математика има много математически операции. Събиране, изваждане, умножение, степенуване, логаритъм и др. Ако към тези операции се добави още една операция, елементарната математика става по-висока. Тази нова операция се нарича диференциация.Дефиницията и значението на тази операция ще бъдат разгледани в отделни уроци.

Тук е важно да се разбере, че диференцирането е просто математическа операция върху функция. Ние вземаме всяка функция и я трансформираме според определени правила. Резултатът е нова функция. Тази нова функция се нарича: производна.

Диференциация- действие върху функция.

Производнае резултат от това действие.

точно както напр. сумае резултат от добавянето. Или частене резултат от разделянето.

Познавайки условията, можете поне да разберете задачите.) Формулировката е следната: намиране на производната на функция; вземете производната; диференциране на функцията; изчисляване на производнаи т.н. Всичко е един и същ.Разбира се, има и по-сложни задачи, при които намирането на производната (диференцирането) ще бъде само една от стъпките при решаването на задачата.

Производната се обозначава с тире горе вдясно над функцията. Като този: y"или f"(x)или S"(t)и така нататък.

Прочети y щрих, ef щрих от x, es щрих от te,добре разбираш...)

Простото число може също да обозначава производната на определена функция, например: (2x+3)", (х 3 )" , (sinx)"и т.н. Често производната се обозначава с диференциали, но ние няма да разглеждаме такава нотация в този урок.

Да предположим, че сме се научили да разбираме задачите. Не остава нищо - да се научите как да ги решавате.) Нека ви напомня отново: намирането на производната е трансформация на функция по определени правила.Тези правила са учудващо малко.

За да намерите производната на функция, трябва да знаете само три неща. Три стълба, върху които почива цялата диференциация. Ето ги трите кита:

1. Таблица на производните (формули за диференциране).

3. Производна на сложна функция.

Да започнем по ред. В този урок ще разгледаме таблицата с производни.

Производна таблица.

Светът има безкраен брой функции. Сред този набор има функции, които са най-важни за практическо приложение. Тези функции се съдържат във всички закони на природата. От тези функции, като от тухли, можете да изградите всички останали. Този клас функции се нарича елементарни функции.Именно тези функции се изучават в училище – линейна, квадратна, хипербола и др.

Диференциране на функциите "от нулата", т.е. въз основа на дефиницията на производната и теорията на границите - доста отнемащо време нещо. И математиците също са хора, да, да!) Така че те опростиха живота си (и нас). Те изчисляваха производни на елементарни функции преди нас. Резултатът е таблица с производни, където всичко е готово.)

Ето я тази плоча за най-популярните функции. Ляво - елементарна функция, дясно - нейна производна.

	функция г	Производна на функция y y"
1	C (постоянен)	C" = 0
2	х	x" = 1
3	x n (n е произволно число)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	грях х	(sinx)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	ах
	дх
5	дневник ах
	ln x ( a = e)

Препоръчвам да обърнете внимание на третата група функции в тази таблица с производни. Производната на степенна функция е една от най-често срещаните формули, ако не и най-често срещаната! Намекът ясен ли е?) Да, желателно е да знаете таблицата на производните наизуст. Между другото, това не е толкова трудно, колкото може да изглежда. Опитайте се да решите повече примери, самата таблица ще бъде запомнена!)

Намирането на табличната стойност на производната, както разбирате, не е най-трудната задача. Ето защо много често в такива задачи има допълнителни чипове. Или във формулировката на задачата, или в оригиналната функция, която изглежда не е в таблицата ...

Нека да разгледаме няколко примера:

1. Намерете производната на функцията y = x 3

В таблицата няма такава функция. Но има обща производна на степенната функция (трета група). В нашия случай n=3. Така че заместваме тройката вместо n и внимателно записваме резултата:

(х 3) " = 3 х 3-1 = 3x 2

Това е всичко.

Отговор: y" = 3x 2

2. Намерете стойността на производната на функцията y = sinx в точката x = 0.

Тази задача означава, че първо трябва да намерите производната на синуса и след това да замените стойността х = 0към същата тази производна. В този ред е!В противен случай се случва те незабавно да заменят нула в оригиналната функция ... От нас се иска да намерим не стойността на оригиналната функция, а стойността неговата производна.Производната, да ви напомня, вече е нова функция.

На табелата намираме синуса и съответната производна:

y" = (sinx)" = cosx

Заместете нулата в производната:

y"(0) = cos 0 = 1

Това ще бъде отговорът.

3. Разграничете функцията:

Какво вдъхновява?) В таблицата с производни дори няма такава функция.

Позволете ми да ви напомня, че да диференцирате функция е просто да намерите производната на тази функция. Ако забравите елементарната тригонометрия, намирането на производната на нашата функция е доста обезпокоително. Масата не помага...

Но ако видим, че нашата функция е косинус на двоен ъгъл, тогава всичко веднага се подобрява!

Да да! Не забравяйте, че трансформацията на оригиналната функция преди диференциациядоста приемливо! И се случва да направи живота много по-лесен. Според формулата за косинус на двоен ъгъл:

Тези. нашата сложна функция не е нищо друго освен y = cox. И това е таблична функция. Веднага получаваме:

Отговор: y" = - sin x.

Пример за напреднали и студенти:

4. Намерете производната на функция:

Разбира се, няма такава функция в таблицата с производни. Но ако си спомняте елементарна математика, действия със сили... Тогава е напълно възможно да опростите тази функция. Като този:

А x на степен една десета вече е таблична функция! Трета група, n=1/10. Директно според формулата и напишете:

Това е всичко. Това ще бъде отговорът.

Надявам се, че с първия кит на диференциацията - таблицата на производните - всичко е ясно. Остава да се справим с двата останали кита. В следващия урок ще научим правилата за диференциране.

При решаването на различни проблеми на геометрията, механиката, физиката и други клонове на знанието стана необходимо да се използва един и същ аналитичен процес от дадена функция y=f(x)извика нова функция производна функция(или просто производна) на тази функция f(x)и са символизирани

Процесът, чрез който дадена функция f(x)получите нова функция f"(x), Наречен диференциацияи се състои от следните три стъпки: 1) даваме аргумента хнарастване  хи определя съответното увеличение на функцията  y = f(x+ x)-f(x); 2) съставят връзката

3) броене хпостоянно, и  х0, намираме
, което се означава с f"(x), сякаш подчертавайки, че получената функция зависи само от стойността х, при което преминаваме до границата. Определение: Производна y "=f" (x) дадена функция y=f(x) дадено xсе нарича граница на отношението на нарастването на функцията към нарастването на аргумента, при условие че нарастването на аргумента клони към нула, ако, разбира се, тази граница съществува, т.е. краен. По този начин,
, или

Имайте предвид, че ако за някаква стойност х, например когато х=а, отношение
при  х0 не клони към крайна граница, то в този случай казваме, че функцията f(x)при х=а(или в точката х=а) няма производна или не е диференцируема в точка х=а.

2. Геометричният смисъл на производната.

Помислете за графиката на функцията y \u003d f (x), диференцируема в близост до точката x 0

f(x)

Нека разгледаме произволна права линия, минаваща през точката на графиката на функцията - точката A (x 0, f (x 0)) и пресичаща графиката в някаква точка B (x; f (x)). Такава права линия (АВ) се нарича секанс. От ∆ABC: ​​​​AC = ∆x; BC \u003d ∆y; tgβ=∆y/∆x.

Тъй като AC || Ox, тогава ALO = BAC = β (съответно в паралел). Но ALO е ъгълът на наклона на секанса AB към положителната посока на оста Ox. Следователно tgβ = k е наклонът на правата AB.

Сега ще намалим ∆x, т.е. ∆x→ 0. В този случай точка B ще се приближи до точка A според графиката и секансът AB ще се завърти. Пределната позиция на секанса AB при ∆x → 0 ще бъде правата линия (a), наречена допирателна към графиката на функцията y \u003d f (x) в точка A.

Ако преминем към границата при ∆х → 0 в равенството tgβ =∆y/∆x, тогава получаваме
или tg \u003d f "(x 0), тъй като
-ъгъл на наклона на допирателната към положителната посока на оста Ox
, по дефиниция на производна. Но tg \u003d k е наклонът на тангентата, което означава, че k \u003d tg \u003d f "(x 0).

И така, геометричното значение на производната е следното:

Производна на функция в точка x 0 равен на наклона на допирателната към графиката на функцията, начертана в точката с абсцисата x 0 .

3. Физическо значение на производната.

Помислете за движението на точка по права линия. Нека е дадена координатата на точката във всеки момент x(t). Известно е (от курса на физиката), че средната скорост за период от време е равна на отношението на изминатото разстояние през този период от време към времето, т.е.

Vav = ∆x/∆t. Нека преминем към границата в последното равенство при ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - моментна скорост в момент t 0, ∆t → 0.

и lim = ∆x/∆t = x "(t 0) (по дефиницията на производна).

И така, (t) = x"(t).

Физическото значение на производната е следното: производната на функциятаг = f(х) в точкатах 0 е скоростта на промяна на функциятаf(x) в точкатах 0

Производната се използва във физиката за намиране на скоростта от известна функция на координатите от времето, ускорението от известна функция на скоростта от времето.

 (t) \u003d x "(t) - скорост,

a(f) = "(t) - ускорение, или

Ако е известен законът за движение на материална точка по окръжност, тогава е възможно да се намери ъгловата скорост и ъгловото ускорение по време на въртеливо движение:

φ = φ(t) - промяна на ъгъла с времето,

ω \u003d φ "(t) - ъглова скорост,

ε = φ"(t) - ъглово ускорение, или ε = φ"(t).

Ако е известен законът за разпределение на масата на нехомогенен прът, тогава линейната плътност на нехомогенния прът може да се намери:

m \u003d m (x) - маса,

x  , l - дължина на пръта,

p \u003d m "(x) - линейна плътност.

С помощта на производната се решават задачи от теорията на еластичността и хармоничните вибрации. Да, според закона на Хук

F = -kx, x – променлива координата, k – коефициент на еластичност на пружината. Поставяйки ω 2 \u003d k / m, получаваме диференциалното уравнение на пружинното махало x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,

където ω = √k/√m е честотата на трептене (l/c), k е силата на пружината (H/m).

Уравнение под формата y "+ ω 2 y \u003d 0 се нарича уравнение на хармоничните трептения (механични, електрически, електромагнитни). Решението на такива уравнения е функцията

y = Asin(ωt + φ 0) или y = Acos(ωt + φ 0), където

A - амплитуда на трептене, ω - циклична честота,

φ 0 - начална фаза.

Какво е дериват?
Определение и значение на производната на функция

Мнозина ще бъдат изненадани от неочакваното място на тази статия в моя авторски курс за производната на функция на една променлива и нейните приложения. В крайна сметка, както беше от училище: стандартен учебник, на първо място, дава дефиниция на производна, нейното геометрично, механично значение. След това учениците намират производни на функции по дефиниция и всъщност едва тогава техниката на диференциране се усъвършенства с помощта производни таблици.

Но от моя гледна точка следният подход е по-прагматичен: на първо място е препоръчително да РАЗБЕРЕТЕ ДОБРЕ ограничение на функцията, и особено безкрайно малки. Факт е, че дефиницията на производната се основава на концепцията за лимит, което е слабо разгледано в училищния курс. Ето защо значителна част от младите потребители на гранитни знания слабо проникват в самата същност на производното. Така че, ако не сте добре запознати с диференциалното смятане или мъдрият мозък успешно се е освободил от този багаж през годините, моля, започнете с функционални граници. В същото време овладейте / запомнете решението си.

Същият практически смисъл предполага, че първо е печелившо научете се да намирате производни, включително производни на сложни функции. Теорията си е теория, но, както се казва, винаги искаш да правиш разлика. В това отношение е по-добре да изработите изброените основни уроци и може би да станете майстор на диференциациятабез дори да осъзнават същността на действията си.

Препоръчвам да започнете материалите на тази страница, след като прочетете статията. Най-прости задачи с производна, където по-специално се разглежда проблемът за допирателната към графиката на функция. Но може да се забави. Факт е, че много приложения на производното не изискват разбирането му и не е изненадващо, че теоретичният урок се появи доста късно - когато трябваше да обясня намиране на интервали на нарастване/намаляване и екстремумифункции. Освен това той беше в темата доста дълго време " Функции и графики”, докато не реших да го сложа по-рано.

Затова, мили чайници, не бързайте да поглъщате есенцията на производното като гладни животни, защото насищането ще е безвкусно и непълно.

Концепцията за нарастване, намаляване, максимум, минимум на функция

Много уроци водят до концепцията за производна с помощта на някои практически задачи и аз също измислих интересен пример. Представете си, че трябва да пътуваме до град, до който може да се стигне по различни начини. Веднага изхвърляме кривите криволичещи пътеки и ще разглеждаме само прави линии. Правите посоки обаче също са различни: можете да стигнете до града по плосък аутобан. Или по хълмиста магистрала - нагоре-надолу, нагоре-надолу. Друг път върви само нагоре, а друг се спуска през цялото време. Търсачите на силни усещания ще изберат маршрут през ждрелото със стръмна скала и стръмно изкачване.

Но каквито и да са предпочитанията ви, желателно е да познавате района или поне да имате топографска карта за него. Ами ако няма такава информация? В крайна сметка можете да изберете например равна пътека, но в резултат на това да се натъкнете на ски писта със забавни финландци. Не е фактът, че навигаторът и дори сателитното изображение ще дадат надеждни данни. Затова би било хубаво да формализираме релефа на пътя с помощта на математиката.

Помислете за някакъв път (страничен изглед):

За всеки случай напомням един елементарен факт: пътуването се осъществява от ляво на дясно. За простота приемаме, че функцията непрекъснатов разглеждания район.

Какви са характеристиките на тази диаграма?

На интервали функция се увеличава, тоест всяка негова следваща стойност Повече ▼предишния. Грубо казано, графикът върви нагоре(изкачваме хълма). И на интервала функцията намаляващи- всяка следваща стойност по-малкопредишния и графикът ни върви отгоре надолу(слизане по склона).

Нека обърнем внимание и на специални точки. В точката, до която достигаме максимум, това е съществуватакъв участък от пътя, на който стойността ще бъде най-голяма (най-висока). В същата точка, минимум, и съществуватакова негово съседство, в което стойността е най-малка (най-ниска).

По-строгата терминология и определения ще бъдат разгледани в урока. относно екстремумите на функцията, но засега нека проучим още една важна характеристика: на интервалите функцията се увеличава, но се увеличава на различни скорости. И първото нещо, което хваща окото ви е, че графиката се издига нагоре на интервала много по-готиноотколкото на интервала. Възможно ли е да се измери стръмността на пътя с помощта на математически инструменти?

Скорост на промяна на функцията

Идеята е следната: вземете някаква стойност (прочетете "делта x"), който ще наречем увеличение на аргументаи нека започнем да го „пробваме“ на различни точки от нашия път:

1) Нека погледнем най-лявата точка: заобикаляйки разстоянието, се изкачваме по склона до височина (зелена линия). Стойността се нарича увеличение на функцията, и в този случай това увеличение е положително (разликата на стойностите по оста е по-голяма от нула). Нека направим съотношението , което ще бъде мярката за стръмността на нашия път. Очевидно е много конкретно число и тъй като и двете увеличения са положителни, тогава .

внимание! Наименование са ЕДНОсимвол, тоест не можете да „откъснете“ „делтата“ от „x“ и да разгледате тези букви отделно. Разбира се, коментарът се отнася и за символа за нарастване на функцията.

Нека проучим естеството на получената дроб по-смислено. Да предположим, че първоначално сме на височина 20 метра (в лявата черна точка). Преодолявайки разстоянието от метри (лява червена линия), ще бъдем на височина 60 метра. Тогава увеличението на функцията ще бъде метри (зелена линия) и: . По този начин, на всеки метъртози участък от пътя височината се увеличава средно аритметичнос 4 метра…забравихте ли оборудването си за катерене? =) С други думи, конструираното съотношение характеризира СРЕДНАТА СКОРОСТ НА ИЗМЕНЕНИЕ (в този случай растеж) на функцията.

Забележка : Числените стойности на въпросния пример съответстват на пропорциите на чертежа само приблизително.

2) Сега нека отидем на същото разстояние от най-дясната черна точка. Тук покачването е по-нежно, така че увеличението (пурпурна линия) е сравнително малко и съотношението в сравнение с предишния случай ще бъде доста скромно. Относително казано, метри и темп на растеж на функциятае . Тоест тук за всеки метър от пътя има средно аритметичнополовин метър нагоре.

3) Малко приключение на планинския склон. Нека погледнем горната черна точка, разположена на оста y. Да приемем, че това е знак от 50 метра. Отново преодоляваме разстоянието, в резултат на което се оказваме по-ниско - на ниво 30 метра. Тъй като движението е направено отгоре надолу(в "обратната" посока на оста), след което финала увеличението на функцията (височината) ще бъде отрицателно: метра (кафява линия на чертежа). И в случая говорим за скорост на разпадХарактеристика: , тоест за всеки метър от пътя на този участък височината намалява средно аритметичнос 2 метра. Погрижете се за дрехите на петата точка.

Сега нека зададем въпроса: коя е най-добрата стойност на "измервателния стандарт" за използване? Ясно е, че 10 метра е много грубо. Доста дузина неравности могат лесно да се поберат върху тях. Защо има неравности, отдолу може да има дълбоко дере, а след няколко метра - другата му страна с по-нататъшно стръмно изкачване. Така с десетметров няма да получим разбираема характеристика на такива участъци от пътя през съотношението.

От горната дискусия следва следното заключение: толкова по-малка е стойността, толкова по-точно ще опишем релефа на пътя. Освен това следните факти са верни:

– За всякаквиповдигащи точки можете да изберете стойност (макар и много малка), която се вписва в границите на едно или друго покачване. А това означава, че съответното нарастване на височината ще бъде гарантирано положително и неравенството ще показва правилно растежа на функцията във всяка точка от тези интервали.

- По същия начин, за всякаквиточка на наклон, има стойност, която ще пасне напълно на този наклон. Следователно съответното увеличение на височината е недвусмислено отрицателно и неравенството ще покаже правилно намаляването на функцията във всяка точка от дадения интервал.

– От особен интерес е случаят, когато скоростта на изменение на функцията е нула: . Първо, нулево увеличение на височината () е знак за четен път. И второ, има и други любопитни ситуации, примери за които виждате на фигурата. Представете си, че съдбата ни е отвела на самия връх на хълм с реещи се орли или на дъното на дере с квакащи жаби. Ако направите малка стъпка във всяка посока, тогава промяната във височината ще бъде незначителна и можем да кажем, че скоростта на промяна на функцията всъщност е нула. Същият модел се наблюдава в точки.

Така се доближихме до невероятна възможност да характеризираме перфектно точно скоростта на промяна на функция. В края на краищата, математическият анализ ни позволява да насочим нарастването на аргумента към нула: т.е. безкрайно малък.

В резултат на това възниква друг логичен въпрос: възможно ли е да се намери за пътя и неговия график друга функция, който ще ни кажеотносно всички равнини, изкачвания, спускания, върхове, низини, както и степента на нарастване/намаляване във всяка точка от пътя?

Какво е дериват? Дефиниция на производна.
Геометричният смисъл на производната и диференциала

Моля, четете внимателно и не много бързо - материалът е прост и достъпен за всеки! Няма проблем, ако на някои места нещо не изглежда много ясно, винаги можете да се върнете към статията по-късно. Ще кажа повече, че е полезно да изучавате теорията няколко пъти, за да разберете качествено всички точки (съветът е особено подходящ за „технически“ студенти, за които висшата математика играе важна роля в образователния процес).

Естествено, в самата дефиниция на производната в точка, ще я заменим с:

До какво стигнахме? И стигнахме до извода, че за функция по закон е подравнен друга функция, което се нарича производна функция(или просто производна).

Производната характеризира темп на промянафункции . как? Мисълта минава като червена нишка от самото начало на статията. Помислете за някакъв момент домейнифункции . Нека функцията е диференцируема в дадена точка. Тогава:

1) Ако , тогава функцията нараства в точката . И очевидно има интервал(дори и много малък), съдържащ точката, в която функцията расте, а графиката й върви „отдолу нагоре“.

2) Ако , тогава функцията намалява в точката . И има интервал, съдържащ точка, в която функцията намалява (графиката върви „отгоре надолу“).

3) Ако , тогава безкрайно близоблизо до точката, функцията запазва скоростта си постоянна. Това се случва, както беше отбелязано, за функционална константа и в критичните точки на функцията, по-специално в минималните и максималните точки.

Някаква семантика. Какво означава глаголът "диференцирам" в широк смисъл? Да се ​​разграничи означава да се отдели признак. Диференцирайки функцията, ние "избираме" скоростта на нейното изменение под формата на производна на функцията. И какво, между другото, се разбира под думата "производно"? функция се случиот функцията.

Термините много успешно интерпретират механичния смисъл на производната :
Да разгледаме закона за изменение на координатите на тялото, който зависи от времето, и функцията на скоростта на движение на даденото тяло. Функцията характеризира скоростта на изменение на координатата на тялото, следователно е първата производна на функцията по време: . Ако концепцията за „движение на тялото“ не съществуваше в природата, тогава нямаше да съществува производнапонятието "скорост".

Ускорението на тялото е скоростта на промяна на скоростта, следователно: . Ако първоначалните концепции за „движение на тялото“ и „скорост на движение на тялото“ не съществуваха в природата, тогава нямаше да ги има производнапонятието ускорение на тялото.

Когато човек направи първите самостоятелни стъпки в изучаването на математическия анализ и започне да задава неудобни въпроси, вече не е толкова лесно да се отървете от фразата, че „диференциалното смятане е намерено в зелето“. Ето защо е време да бъдете решени и да разрешите мистерията на раждането на таблици с производни и правила за диференциране. Започнато в статията за значението на производната, който горещо препоръчвам за изучаване, защото там просто разгледахме понятието производна и започнахме да цъкаме задачи по темата. Същият урок има подчертана практическа насоченост, освен това,

разгледаните по-долу примери по принцип могат да бъдат усвоени чисто формално (например, когато няма време / желание да се рови в същността на производното). Също така е много желателно (но отново не е необходимо) да можете да намирате производни, използвайки "обичайния" метод - поне на ниво два основни класа:Как да намерим производната? и Производна на сложна функция.

Но без нещо, което сега определено е незаменимо, е без функционални граници. Трябва да РАЗБЕРЕТЕ какво е лимит и да можете да ги решавате, поне на средно ниво. И всичко това, защото производното

функция в точка се определя по формулата:

Напомням ви за обозначенията и термините: наричат увеличение на аргумента;

– увеличение на функцията;

- това са ЕДИНСТВЕНИ символи ("делта" не може да бъде "откъснато" от "X" или "Y").

Очевидно е "динамична" променлива, е константа и е резултат от изчисляването на границата - номер (понякога - "плюс" или "минус" безкрайност).

Като точка, можете да разгледате ВСЯКА стойност, принадлежаща на домейнифункция, която има производна.

Забележка: клаузата "в която съществува производната" - като цяло значими.! Така например точката, въпреки че влиза в домейна на функцията, но в производната

не съществува там. Следователно формулата

неприложим в точката

и съкратена формулировка без резерва би била неправилна. Подобни факти са валидни и за други функции с "прекъсвания" в графиката, по-специално за арксинуса и аркосинуса.

Така след замяна получаваме втората работна формула:

Обърнете внимание на едно коварно обстоятелство, което може да обърка чайника: в тази граница "x", като сама по себе си независима променлива, играе ролята на екстра, а "динамиката" отново се задава от увеличението. Резултатът от изчислението на лимита

е производната функция.

Въз основа на гореизложеното формулираме условията на два типични проблема:

- Намирам производна в точкаизползвайки определението за производна.

- Намирам производна функцияизползвайки определението за производна. Тази версия, според моите наблюдения, се среща много по-често и ще й бъде обърнато основно внимание.

Основната разлика между задачите е, че в първия случай се изисква да се намери числото (по избор безкрайност), а във втория

функция . Освен това производното може изобщо да не съществува.

Как?

Направете съотношение и изчислете границата.

Откъдетаблица с производни и правила за диференциране ? С едно ограничение

Изглежда като магия, но

реалност - ловкост и без измама. На урока Какво е дериват?Започнах да разглеждам конкретни примери, където, използвайки определението, намерих производните на линейна и квадратична функция. За целите на когнитивната загрявка ще продължим да безпокоим производна таблица, усъвършенстване на алгоритъма и техническите решения:

Всъщност се изисква да се докаже специален случай на производната на степенна функция, който обикновено се появява в таблицата: .

Решението е технически формализирано по два начина. Нека започнем с първия, вече познат подход: стълбата започва с дъска, а производната функция започва с производна в точка.

Помислете за някаква (конкретна) точка, принадлежаща на домейнифункция, която има производна. Задайте увеличението в тази точка (разбира се, не отвъд o / o - z) и съставете съответното нарастване на функцията:

Нека изчислим лимита:

Несигурността 0:0 се елиминира чрез стандартна техника, смятана още през първи век пр.н.е. умножават се

числител и знаменател на съединен израз :

Техниката за решаване на такава граница е разгледана подробно във въвеждащия урок. за границите на функциите.

Тъй като ВСЯКА точка от интервала може да бъде избрана като

След това чрез заместване получаваме:

Още веднъж, нека се порадваме на логаритмите:

Намерете производната на функцията, като използвате дефиницията на производната

Решение: Нека разгледаме различен подход за завъртане на същата задача. Той е абсолютно същият, но по-рационален по отношение на дизайна. Идеята е да се отървем от

индекс и използвайте буква вместо буква.

Да разгледаме произволна точка, принадлежаща на домейнифункция (интервал) и задайте увеличението в нея. И тук, между другото, както в повечето случаи, можете да направите без никакви резерви, тъй като логаритмичната функция е диференцируема във всяка точка от областта на дефиницията.

Тогава съответното увеличение на функцията е:

Нека намерим производната:

Простотата на дизайна е балансирана от объркване, което може

възникват при начинаещи (и не само). В крайна сметка сме свикнали с факта, че буквата „X“ се променя в лимита! Но тук всичко е различно: - антична статуя и - жив посетител, бързо крачещ по коридора на музея. Тоест, "x" е "като константа".

Ще коментирам премахването на несигурността стъпка по стъпка:

(1) Използване на свойството на логаритъма.

(2) Разделете числителя на знаменателя в скоби.

(3) В знаменателя ние изкуствено умножаваме и делим на "х", така че

възползвайте се от прекрасното , докато като безкрайно малъкизпълнява.

Отговор: По дефиниция на производна:

Или накратко:

Предлагам самостоятелно да конструирам още две таблични формули:

Намерете производна по дефиниция

В този случай компилираното увеличение е незабавно удобно да се намали до общ знаменател. Приблизителна проба на заданието в края на урока (първият метод).

Намерете производна по дефиниция

И тук всичко трябва да бъде сведено до забележителна граница. Решението е оформено по втория начин.

По същия начин редица други таблични производни. Пълен списък може да се намери в училищен учебник или, например, 1-ви том на Фихтенхолц. Не виждам много смисъл да пренаписвам от книги и доказателства за правилата за диференциация - те също се генерират

формула .

Да преминем към задачи от реалния живот: Пример 5

Намерете производната на функция , използвайки дефиницията на производната

Решение: използвайте първия стил. Нека разгледаме някаква точка, която принадлежи, и да зададем нарастването на аргумента в нея. Тогава съответното увеличение на функцията е:

Може би някои читатели все още не са разбрали напълно принципа, по който трябва да се направи увеличение. Взимаме точка (число) и намираме стойността на функцията в нея: , тоест във функцията

вместо "x" трябва да се замени. Сега вземаме

Увеличаване на съставена функция изгодно е незабавното опростяване. За какво? Улеснете и съкратете решението на по-нататъшната граница.

Използваме формули, отваряме скоби и намаляваме всичко, което може да се намали:

Пуйката е изкормена, няма проблем с печеното:

В крайна сметка:

Тъй като всяко реално число може да бъде избрано като качество, ние правим заместването и получаваме .

Отговор : по дефиниция.

За целите на проверката намираме производната, използвайки правилата

разграничения и таблици:

Винаги е полезно и приятно да знаете правилния отговор предварително, така че е по-добре мислено или на чернова да разграничите предложената функция по „бърз“ начин в самото начало на решението.

Намерете производната на функция по дефиницията на производната

Това е пример за „направи си сам“. Резултатът е на повърхността:

Обратно към Стил #2: Пример 7

Нека разберем веднага какво трябва да се случи. от правилото за диференциране на сложна функция:

Решение: разгледайте произволна точка, принадлежаща на, задайте увеличението на аргумента в нея и направете увеличението

Нека намерим производната:

(1) Използваме тригонометричната формула

(2) Под синуса отваряме скобите, под косинуса даваме подобни членове.

(3) Под синус намаляваме членовете, под косинус разделяме числителя на знаменателя член по член.

(4) Поради нечетността на синуса изваждаме "минуса". Под косинус

показват, че терминът .

(5) Изкуствено умножаваме знаменателя, за да го използваме първата прекрасна граница. Така несигурността се елиминира, разресваме резултата.

Отговор: по дефиниция Както можете да видите, основната трудност на разглеждания проблем се основава на

сложността на самата граница + лека оригиналност на опаковката. На практика се срещат и двата метода на проектиране, затова описвам и двата подхода възможно най-подробно. Еквивалентни са, но все пак по мое субективно впечатление е по-целесъобразно за манекените да се придържат към 1-ви вариант с „X нула“.

Използвайки определението, намерете производната на функцията

Това е задача за самостоятелно решение. Пробата е форматирана в същия дух като предишния пример.

Нека анализираме по-рядка версия на проблема:

Намерете производната на функция в точка, като използвате определението за производна.

Първо, какъв трябва да бъде крайният резултат? Число Изчислете отговора по стандартния начин:

Решение: от гледна точка на яснота тази задача е много по-проста, тъй като във формулата вместо

се счита за конкретна стойност.

Задаваме увеличение в точката и съставяме съответното увеличение на функцията:

Изчислете производната в точка:

Използваме много рядка формула за разликата на тангентите и за сетен път свеждаме решението до първото

невероятен лимит:

Отговор: по дефиниция на производната в точка.

Задачата не е толкова трудна за решаване и „в общи линии“ - достатъчно е да смените ноктите или просто, в зависимост от метода на проектиране. В този случай, разбира се, получавате не число, а производна функция.

Пример 10 Използвайки дефиницията, намерете производната на функция в точката

Това е пример за „направи си сам“.

Последната бонус задача е предназначена предимно за студенти със задълбочено изучаване на математически анализ, но няма да навреди и на всички останали:

Дали функцията ще бъде диференцируема в точката?

Решение: Очевидно е, че частично дадена функция е непрекъсната в точка, но ще бъде ли диференцируема там?

Алгоритъмът за решаване, и то не само за частични функции, е следният:

1) Намерете лявата производна в дадена точка: .

2) Намерете дясната производна в дадена точка: .

3) Ако едностранните производни са крайни и съвпадат:

, тогава функцията е диференцируема в точката и

геометрично тук има обща допирателна (вижте теоретичната част на урока Дефиниция и значение на производната).

Ако се получат две различни стойности: (един от които може да е безкраен), тогава функцията не е диференцируема в точка.

Ако и двете едностранни производни са равни на безкрайност

(дори и да имат различни знаци), тогава функцията не

е диференцируема в точка, но съществува безкрайна производна и обща вертикална допирателна към графиката (вижте пример 5 от урокаНормално уравнение) .