Графично решение на неравенство с две променливи. Задаване на фигури върху координатната равнина чрез уравнения и неравенства

Често е необходимо да се изобрази на координатната равнина множеството от решения на неравенство с две променливи. Решение на неравенство с две променливи е двойка стойности на тези променливи, която превръща даденото неравенство в истинско числено неравенство.

2 г+ Zx< 6.

Нека първо начертаем права линия. За да направим това, записваме неравенството като уравнение 2 г+ Zx = 6 и експрес г.Така получаваме: y=(6-3x)/2.

Тази линия разделя множеството от всички точки на координатната равнина на точки над нея и точки под нея.

Вземете мем от всяка област контролно-пропускателен пункт, например A (1; 1) и B (1; 3)

Координатите на точка A удовлетворяват даденото неравенство 2y + 3x< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

Координати на точка B неудовлетворяват това неравенство 2∙3 + 3∙1< 6.

Тъй като това неравенство може да промени знака на правата 2y + Zx = 6, тогава неравенството удовлетворява множеството точки от областта, където се намира точката A. Нека защриховаме тази област.

Така изобразихме множеството от решения на неравенството 2y + Zx< 6.

Пример

Изобразяваме множеството от решения на неравенството x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 > 0 върху координатната равнина.

Първо, изграждаме графика на уравнението x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 \u003d 0. Разделяме кръговото уравнение в това уравнение: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 - 4y + 4) \u003d 4 или (x + 1) 2 + (y - 2) 2 \u003d 2 2.

Това е уравнението на окръжност с център в точка 0 (-1; 2) и радиус R = 2. Нека построим тази окръжност.

Тъй като това неравенство е строго и точките, лежащи върху самата окръжност, не удовлетворяват неравенството, построяваме окръжността с пунктирана линия.

Лесно се проверява, че координатите на центъра O на окръжността не удовлетворяват това неравенство. Изразът x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 сменя знака си върху построената окръжност. Тогава неравенството се изпълнява от точки, разположени извън кръга. Тези точки са защриховани.

Пример

Нека изобразим върху координатната равнина множеството от решения на неравенството

(y - x 2) (y - x - 3)< 0.

Първо изграждаме графика на уравнението (y - x 2) (y - x - 3) \u003d 0. Това е парабола y \u003d x 2 и права линия y \u003d x + 3. Ние изграждаме тези линии и имайте предвид, че промяната в знака на израза (y - x 2) (y - x - 3) се случва само на тези редове. За точката A (0; 5) определяме знака на този израз: (5-3) > 0 (т.е. това неравенство не е изпълнено). Сега е лесно да се отбележи наборът от точки, за които това неравенство е изпълнено (тези области са защриховани).

Алгоритъм за решаване на неравенства с две променливи

1. Редуцираме неравенството до формата f (x; y)< 0 (f (х; у) >0; f (x; y) ≤ 0; f (x; y) ≥ 0;)

2. Записваме равенството f (x; y) = 0

3. Разпознайте графиките, записани от лявата страна.

4. Изграждаме тези графики. Ако неравенството е строго (f (x; y)< 0 или f (х; у) >0), след това - с удари, ако неравенството не е строго (f (x; y) ≤ 0 или f (x; y) ≥ 0), след това - с плътна линия.

5. Определете колко части от графиката са разделени в координатната равнина

6. Изберете контролна точка в една от тези части. Определете знака на израза f (x; y)

7. Подреждаме знаци в други части на равнината, като вземаме предвид редуването (както по метода на интервалите)

8. Избираме частите, от които се нуждаем, в съответствие със знака на неравенството, което решаваме, и прилагаме щриховка

В тази статия отговарям на друг въпрос от моите абонати. Въпросите са различни. Не всички от тях са правилно формулирани. И някои от тях са формулирани по такъв начин, че не е възможно веднага да се разбере какво иска да попита авторът. Ето защо, сред огромния брой изпратени въпроси, трябва да избера наистина интересни, такива „бисери“, отговорите на които са не само вълнуващи, но и полезни, както ми се струва, за другите ми читатели. Днес отговарям на един от тези въпроси. Как да представим множеството от решения на система от неравенства?


Това е наистина добър въпрос. Тъй като методът за графично решаване на задачи в математиката е много мощен метод. Човек е подреден по такъв начин, че да му е по-удобно да възприема информация с помощта на различни визуални материали. Ето защо, ако овладеете този метод, тогава повярвайте ми, той ще бъде незаменим за вас както при решаване на задачи от Единния държавен изпит, особено от втората част, други изпити, така и при решаване на задачи за оптимизация и т.н. и т.н.

Така. Как можем да отговорим на този въпрос. Да започнем просто. Нека системата от неравенства съдържа само една променлива.

Пример 1. Начертайте набор от решения на системата от неравенства: Title="(!LANG:Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Нека опростим тази система. За целта добавяме 7 към двете части на първото неравенство и разделяме двете части на 2, без да променяме знака на неравенството, тъй като 2 е положително число. Към двете части на второто неравенство добавяме 4. В резултат на това получаваме следната система от неравенства:

Title="(!LANG:Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Обикновено такъв проблем се нарича едномерен. Защо? Да, защото за да се изобрази множеството от неговите решения е достатъчна права линия. Числова линия, за да бъдем точни. Обърнете внимание на точки 6 и 8 на тази числова ос. Ясно е, че точка 8 ще бъде вдясно от точка 6, защото на числовата ос големите числа са вдясно от по-малките. Освен това точка 8 ще бъде защрихована, тъй като според нотацията на първото неравенство тя е включена в неговото решение. Напротив, точка 6 ще бъде небоядисана, тъй като не е включена в решението на второто неравенство:

Нека сега отбележим със стрелка над стойностите, които са по-малки или равни на 8, както се изисква от първото неравенство на системата, и със стрелка отдолу, стойностите, които са по-големи от 6, както се изисква по второто неравенство на системата:

Остава да се отговори на въпроса къде на числовата ос са решенията на системата от неравенства. Запомнете веднъж завинаги. Знакът на системата - къдрава скоба - в математиката замества съюза "И". Тоест, превеждайки езика на формулите на човешки език, можем да кажем, че от нас се изисква да посочим стойности, които са по-големи от 6 И по-малки или равни на 8. Тоест необходимият интервал се намира в пресечната точка от отбелязаните интервали:

И така, изобразихме множеството от решения на системата от неравенства върху реалната права, ако системата от неравенства съдържа само една променлива. Този защрихован интервал включва всички стойности, за които са изпълнени всички неравенства, записани в системата.

Нека сега разгледаме един по-сложен случай. Нека нашата система съдържа неравенства с две променливи и . В този случай няма да е възможно да се управлява само права линия, за да се представят решенията на такава система. Ние надхвърляме едноизмерния свят и добавяме към него друго измерение. Тук имаме нужда от цял ​​самолет. Разгледайте ситуацията на конкретен пример.

И така, как може да се изобрази множеството от решения на дадена система от неравенства с две променливи в правоъгълна координатна система върху равнина? Да започнем с най-простото. Нека се запитаме каква площ от тази равнина е определена от неравенството. Уравнението определя права линия, минаваща перпендикулярно на оста ОХпрез точката (0;0). Тоест всъщност тази линия съвпада с оста ой. Е, тъй като се интересуваме от стойности, които са по-големи или равни на 0, тогава цялата полуравнина, разположена вдясно от правата линия, ще направи:

Освен това всички точки, които лежат на оста ой, също са подходящи за нас, тъй като неравенството не е строго.

За да разберете коя област на координатната равнина определя третото неравенство, трябва да начертаете функцията. Това е права линия, минаваща през началото и например точката (1;1). Тоест, всъщност това е права линия, съдържаща ъглополовящата на ъгъла, който образува първата координатна четвърт.

Сега нека разгледаме третото неравенство в системата и да помислим върху него. Каква област трябва да намерим? Да видим: . Знак за по-голямо или равно. Тоест ситуацията е подобна на тази в предишния пример. Само че тук „повече” не означава „по-вдясно”, а „по-високо”. защото ойТова е нашата вертикална ос. Тоест площта, определена на равнината от третото неравенство, е наборът от точки над или върху правата:

С първото неравенство на системата е малко по-малко удобно. Но след като успяхме да дефинираме обхвата на третото неравенство, мисля, че е ясно как да продължим.

Необходимо е да представим това неравенство по такъв начин, че само променливата да е отляво, а само променливата да е отдясно. За да направим това, изваждаме неравенството от двете страни и разделяме двете страни на 2, без да променяме знака на неравенството, тъй като 2 е положително число. В резултат на това получаваме следното неравенство:

Остава само да начертаете в координатната равнина права линия, която пресича оста ойв точка A(0;4) и права линия в точка . Научих последното, като приравнявах правилните части на уравненията на правите и получавах уравнението. От това уравнение се намира координатата на пресечната точка, а координатата, мисля, че се досетихте, е равна на координатата. За тези, които все още не са познали, това е така, защото имаме уравнението на една от пресичащите се линии:.

Веднага щом начертаем тази права линия, веднага можем да маркираме областта, която търсим. Знакът за неравенство тук е „по-малко или равно на“. Това означава, че желаната област се намира под или директно върху изобразената линия:

Е, последният въпрос. Къде в крайна сметка е желаната област, която удовлетворява и трите неравенства на системата? Очевидно е, че се намира в пресечната точка и на трите маркирани области. Отново пресичане! Запомнете: знакът на системата в математиката означава пресечната точка. Ето я тази област:

Е, последният пример. Още по-общо. Да предположим сега, че имаме не една променлива в системата и не две, а цели три!

Тъй като има три променливи, за да представим набора от решения на такава система от неравенства, се нуждаем от трето измерение в допълнение към двете, с които работихме в предишния пример. Тоест излизаме от равнината в космоса и вече изобразяваме пространствена координатна система с три измерения: х, Yи З. Което съответства на дължината, ширината и височината.

Нека започнем, като изобразим в тази координатна система повърхността, дадена от уравнението. По форма то е много подобно на уравнението на окръжност върху равнина, само че се добавя още един член с променлива. Лесно е да се досетите, че това е уравнението на сфера с център в точка (1; 3; 2), чийто квадрат на радиуса е 4. Тоест самият радиус е 2.

След това въпрос. И какво тогава определя самото неравенство? За тези, които са озадачени от този въпрос, предлагам да разсъждават по следния начин. Превеждайки езика на формулите на човешки, можем да кажем, че е необходимо да се посочат всички сфери с център в точката (1;3;2), чиито радиуси са по-малки или равни на 2. Но тогава всички тези сфери ще бъдат вътре в изобразена сфера! Тоест всъщност това неравенство определя цялата вътрешна област на изобразената сфера. Ако искате, се дава топка, ограничена от изобразената сфера:

Повърхността, дадена от уравнението x+y+z=4, е равнина, която пресича координатните оси в точки (0;0;4), (0;4;0) и (4;0;0). Е, ясно е, че колкото по-голямо е числото вдясно от знака за равенство, толкова по-далеч от центъра на координатите ще бъдат точките на пресичане на тази равнина с координатните оси. Тоест второто неравенство определя полупространство, разположено "над" дадената равнина. Използвайки условния термин "по-висок", имам предвид по-нататък в посока на увеличаване на стойностите на координатите по осите.

Тази равнина пресича изобразената сфера. В този случай напречното сечение е кръг. Можете дори да изчислите колко далеч от центъра на координатната система е центърът на този кръг. Между другото, който познае как да направи това, напишете своите решения и отговори в коментарите. По този начин оригиналната система от неравенства определя област от пространството, която е по-далеч от тази равнина в посока на нарастване на координатите, но е затворена в изобразената сфера:

Така се изобразява множеството от решения на системата от неравенства. Ако в системата има повече от 3 променливи (например 4), вече няма да е възможно визуално да се изобрази наборът от решения. Защото това ще изисква 4-измерна координатна система. Но нормален човек не може да си представи как могат да бъдат разположени 4 взаимно перпендикулярни координатни оси. Въпреки че имам приятел, който твърди, че го може и то с лекота. Не знам дали казва истината, може би истината. Но все пак нормалното човешко въображение не позволява това.

Надявам се, че днешният урок ви е бил полезен. За да проверите колко добре сте го научили, направете домашното по-долу.

Начертайте набор от решения на системата от неравенства:

ql-right-eqno"> title="(!LANG:Предадено от QuickLaTeX.com">!}

Подготвен от Сергей Валериевич

Неравенството е две числа или математически изрази, свързани с един от знаците: > (повече, в случай на строги неравенства),< (меньше, в случае строгих неравенств), ≥ (больше или равно, в случае нестрогих неравенств), ≤ (меньше или равно, в случае нестрогих неравенств).

неравенството е линеенпри същите условия като уравнението: то съдържа променливи само на първа степен и не съдържа произведения на променливи.

Решаването на линейни неравенства и системи от линейни неравенства е неразривно свързано с тяхното геометрично значение: решението на линейно неравенство е определена полуравнина, на която цялата равнина е разделена от права линия, чието уравнение се дава от линейно неравенство. Тази полуравнина, а в случай на система от линейни неравенства част от равнината, ограничена от няколко прави, трябва да се намери на чертежа.

Много икономически проблеми се свеждат до решаване на системи от линейни неравенства с голям брой променливи, по-специално проблеми с линейно програмиране, при които се изисква да се намери максимумът или минимумът на функция.

Решаване на системи от линейни неравенства с произволен брой неизвестни

Нека първо анализираме линейните неравенства в равнината. Помислете за едно неравенство с две променливи и:

,

където са коефициентите на променливите (някои числа), е свободният член (също някакво число).

Едно неравенство с две неизвестни, подобно на уравнение, има безкраен брой решения. Решение на това неравенство е двойка числа, удовлетворяващи това неравенство. Геометрично множеството от решения на неравенството е изобразено като полуравнина, ограничена от права линия

,

която ще наричаме гранична линия.

Стъпка 1. Построете права линия, ограничаваща множеството решения на линейното неравенство

За да направите това, трябва да знаете кои да е две точки от тази линия. Нека намерим точките на пресичане с координатните оси. Пресечна ордината Ае нула (Фигура 1). Числените стойности на осите на тази фигура се отнасят за пример 1, който ще анализираме веднага след това теоретично отклонение.

Намираме абсцисата, като решаваме като система уравнението на права линия с уравнението на оста.

Нека намерим пресечната точка с оста:

Като заместим стойността в първото уравнение, получаваме

Където .

Така намерихме абсцисата на точката А .

Нека намерим координатите на пресечната точка с оста.

Точка на абсцисата бе равно на нула. Нека решим уравнението на граничната линия с уравнението на координатната ос:

,

следователно координатите на точката б: .

Стъпка 2. Начертайте линия, която ограничава множеството от решения на неравенството.Познаване на точките Аи бпресичане на граничната линия с координатните оси, можем да начертаем тази линия. Правата линия (отново фигура 1) разделя цялата равнина на две части, разположени отдясно и отляво (отгоре и отдолу) на тази права линия.

Стъпка 3. Определете коя от полуравнините е решението на това неравенство.За да направим това, трябва да заместим началото на координатите (0; 0) в това неравенство. Ако координатите на началото удовлетворяват неравенството, тогава решението на неравенството е полуравнината, в която се намира началото. Ако координатите не удовлетворяват неравенството, тогава решението на неравенството е полуравнина, която не съдържа началото. Полуравнината на решението на неравенството ще бъде означена с черти от правата линия вътре в полуравнината, както е на фигура 1.

Ако решим системата от линейни неравенства, тогава всяка стъпка се изпълнява за всяко от неравенствата на системата.

Пример 1Решете неравенството

Решение. Нека начертаем права линия

Замествайки права линия в уравнението, получаваме, и замествайки, получаваме. Следователно координатите на точките на пресичане с осите ще бъдат А(3; 0) , б(0; 2) . Начертайте права линия през тези точки (отново Фигура 1).

Избираме полуравнина от решения на неравенството. За да направите това, заместваме координатите на началото (0; 0) в неравенството:

получаваме , т.е. координатите на началото удовлетворяват това неравенство. Следователно решението на неравенството е полуравнина, съдържаща началото, т.е. лявата (или долната) полуравнина.

Ако това неравенство беше строго, тоест щеше да има формата

тогава точките на граничната линия не биха били решение, тъй като те не удовлетворяват неравенството.

Сега разгледайте система от линейни неравенства с две неизвестни:

Всяко от неравенствата на тази система на равнината определя полуравнина. Система от линейни неравенства се нарича последователна, ако има поне едно решение, и несъгласувана, ако няма решения. Решение на система от линейни неравенства е всяка двойка числа (), която удовлетворява всички неравенства на тази система.

Геометрично решението на система от линейни неравенства е наборът от точки, които удовлетворяват всички неравенства на системата, тоест общата част на получените полуравнини. Следователно, геометрично, в общия случай решението може да бъде изобразено като определен многоъгълник, в частен случай може да бъде права, отсечка и дори точка. Ако системата от линейни неравенства е непоследователна, тогава няма нито една точка на равнината, която да удовлетворява всички неравенства на системата.

Пример 2

Решение. И така, изисква се да се намери многоъгълник от решения на тази система от неравенства. Нека построим гранична линия за първото неравенство, тоест права, и гранична линия за второто неравенство, тоест права.

Правим това стъпка по стъпка, както беше показано в теоретичната справка и в пример 1, особено след като в пример 1 беше построена гранична линия за неравенството, което е първото в тази система.

Полуравнините на решението, съответстващи на неравенствата на тази система, са защриховани навътре на фигура 2. Общата част на полуравнините на решението е отворен ъгъл ABC. Това означава, че множеството точки в равнината, които образуват отворения ъгъл ABC, е решение както на първото, така и на второто неравенство на системата, тоест е решение на система от две линейни неравенства. С други думи, координатите на всяка точка от това множество удовлетворяват и двете неравенства на системата.

Пример 3Решете система от линейни неравенства

Решение. Нека построим граничните линии, съответстващи на неравенствата на системата. Правим това, като следваме стъпките, дадени в теоретичната основа за всяко неравенство. Сега дефинираме полуравнините на решенията за всяко неравенство (Фигура 3).

Полуравнините на решението, съответстващи на неравенствата на дадената система, са защриховани навътре. Пресечната точка на полуравнините на решенията е изобразена, както е показано на фигурата, под формата на четириъгълник ABCE. Открихме, че многоъгълникът на решение на система от линейни неравенства с две променливи е четириъгълник ABCE .

Всичко описано по-горе за системи от линейни неравенства с две неизвестни се отнася и за система от неравенства с произволен брой неизвестни, с единствената разлика, че решението на неравенство с ннеизвестното ще бъде съвкупността нчисла (), отговарящи на всички неравенства, и вместо граничната линия ще има гранична хиперравнина н-измерно пространство. Решението ще бъде полиедър на решение (симплекс), ограничен от хиперравнини.

Има само "X" и само абсцисната ос, сега се добавят "Y" и полето на дейност се разширява до цялата координатна равнина. По-нататък в текста фразата "линейно неравенство" се разбира в двумерен смисъл, което ще стане ясно след секунди.

В допълнение към аналитичната геометрия, материалът е подходящ за редица проблеми на математическия анализ, икономическото и математическото моделиране, така че ви препоръчвам да изучавате тази лекция с цялата сериозност.

Линейни неравенства

Има два вида линейни неравенства:

1) Строгнеравенства: .

2) Нестрогинеравенства: .

Какъв е геометричният смисъл на тези неравенства?Ако линейно уравнение определя права линия, тогава линейно неравенство определя полуравнина.

За да разберете информацията по-долу, трябва да знаете видовете линии в равнината и да можете да изграждате линии. Ако имате затруднения в тази част, прочетете помощта Графики и свойства на функциите– параграф за линейна функция.

Нека започнем с най-простите линейни неравенства. Синята мечта на всеки губещ е координатна равнина, на която няма нищо:

Както знаете, абсцисната ос е дадена от уравнението - "y" винаги (за всяка стойност на "x") е равно на нула

Нека разгледаме неравенството. Как да го разбираме неофициално? "Y" винаги е (за всяка стойност на "x") положително. Очевидно е, че това неравенство определя горната полуравнина, тъй като всички точки с положителни "игри" се намират там.

В случай, че неравенството не е строго, към горната полуравнина допълнителносе добавя ос.

По същия начин: неравенството е изпълнено от всички точки на долната полуравнина, нестриктното неравенство съответства на долната полуравнина + ос .

С у-оста същата прозаична история:

– неравенството определя дясната полуравнина;
– неравенството определя дясната полуравнина, включително оста y;
– неравенството определя лявата полуравнина;
– неравенството определя лявата полуравнина, включително оста y.

На втората стъпка разглеждаме неравенства, в които една от променливите липсва.

Липсва "y":

Или липсва "X":

С тези неравенства може да се работи по два начина. моля, разгледайте и двата подхода. По пътя нека си припомним и консолидираме училищните действия с неравенствата, които вече бяха обсъдени в урока Обхват на функцията.

Пример 1

Решете линейни неравенства:

Какво означава да се реши линейно неравенство?

Да се ​​реши линейно неравенство означава да се намери полуравнина, чиито точки удовлетворяват даденото неравенство (плюс самата права, ако неравенството не е строго). Решение, обикновено, графика.

По-удобно е веднага да изпълните чертежа и след това да коментирате всичко:

а) Решете неравенството

Метод първи

Методът е много подобен на историята с координатните оси, която обсъдихме по-горе. Идеята е да трансформираме неравенството - да оставим една променлива от лявата страна без константи, в този случай променливата x.

правило: В неравенството членовете се прехвърлят от част на част с промяна на знака, докато знакът на самото неравенство не се променя(например, ако е имало знак „по-малко от“, тогава той ще остане „по-малко“).

Прехвърляме "петицата" на правилната странасъс смяна на знака:

правило ПОЛОЖИТЕЛЕН не се променя.

Сега начертайте права линия (пунктирана синя линия). Правата линия е прекъсната, защото неравенството строг, и точките, принадлежащи на тази права, със сигурност няма да бъдат включени в решението.

Какво е значението на неравенството? "X" винаги е (за всяка стойност на "y") по-малко от . Очевидно това твърдение е изпълнено от всички точки на лявата полуравнина. Тази полуравнина по принцип може да бъде засенчена, но ще се огранича до малки сини стрелки, за да не превърна рисунката в художествена палитра.

Метод втори

Това е универсален начин. ЧЕТЕТЕ МНОГО ВНИМАТЕЛНО!

Първо начертайте права линия. За по-голяма яснота, между другото, е препоръчително да представите уравнението във формата .

Сега изберете всяка точка от равнината, не принадлежащи на права линия. В повечето случаи най-вкусната точка, разбира се. Заместете координатите на тази точка в неравенството:

получено грешно неравенство(с прости думи това не може да бъде), което означава, че точката не удовлетворява неравенството .

Основното правило на нашата задача:
не удовлетворяванеравенство, тогава ВСИЧКИточки от дадена полуравнина не задоволяваткъм това неравенство.
– Ако някоя точка от полуравнината (която не принадлежи на правата) удовлетворяванеравенство, тогава ВСИЧКИточки от дадена полуравнина задоволяваткъм това неравенство.

Можете да тествате: всяка точка отдясно на линията няма да удовлетвори неравенството.

Какъв е изводът от експеримента с точката? Няма накъде, неравенството е изпълнено от всички точки на другата - лявата полуравнина (можете и да проверите).

б) Решете неравенството

Метод първи

Нека трансформираме неравенството:

правило: Двете страни на неравенството могат да бъдат умножени (разделени) по ОТРИЦАТЕЛЕНчисло, докато знакът за неравенство ПРОМЯНАна обратното (например, ако е имало знак „по-голямо или равно на“, тогава той ще стане „по-малко или равно на“).

Умножете двете страни на неравенството по:

Нека начертаем права линия (червен цвят), освен това начертайте плътна линия, тъй като имаме неравенство нестроги, а линията със сигурност принадлежи на решението.

След като анализираме полученото неравенство, стигаме до извода, че неговото решение е долната полуравнина (+ самата права).

Подходяща полуравнина е щрихована или маркирана със стрелки.

Метод втори

Нека начертаем права линия. Нека да изберем произволна точка от равнината (която не принадлежи на права линия), например, и да заместим нейните координати в нашето неравенство:

получено правилно неравенство, тогава точката удовлетворява неравенството , и като цяло ВСИЧКИ точки от долната полуравнина удовлетворяват това неравенство.

Тук с експерименталната точка „улучваме“ желаната полуравнина.

Решението на задачата е обозначено с червена права линия и червени стрелки.

На мен лично първото решение ми харесва повече, защото второто е по-формално.

Пример 2

Решете линейни неравенства:

Това е пример за „направи си сам“. Опитайте се да разрешите проблема по два начина (между другото, това е добър начин да проверите решението). В отговора в края на урока ще има само финалната рисунка.

Мисля, че след всички действия, извършени в примерите, ще трябва да ги ожените, няма да е трудно да решите най-простото неравенство, като и т.н.

Обръщаме се към разглеждането на третия общ случай, когато и двете променливи присъстват в неравенството:

Алтернативно, свободният термин "ce" може да бъде нула.

Пример 3

Намерете полуравнини, съответстващи на следните неравенства:

Решение: Това използва универсалния метод за заместване на точки.

а) Нека съставим уравнението на права линия, докато линията трябва да бъде начертана с пунктирана линия, тъй като неравенството е строго и самата права линия няма да бъде включена в решението.

Избираме експериментална точка от равнината, която не принадлежи на дадената права, например, и заместваме нейните координати в нашето неравенство:

получено грешно неравенство, така че точката и ВСИЧКИ точки на тази полуравнина не отговарят на неравенството . Решението на неравенството ще бъде друга полуравнина, възхищаваме се на синята светкавица:

б) Да решим неравенството. Нека първо начертаем права линия. Това е лесно да се направи, имаме канонична права пропорционалност. Правата е начертана плътна, тъй като неравенството не е строго.

Избираме произволна точка от равнината, която не принадлежи на правата. Бих искал отново да използвам произхода, но, уви, сега не е подходящ. Следователно ще трябва да работите с друга приятелка. По-изгодно е да вземете точка с малки координатни стойности, например . Заместете неговите координати в нашето неравенство:

получено правилно неравенство, така че точката и всички точки от дадената полуравнина отговарят на неравенството . Желаната полуравнина е маркирана с червени стрелки. В допълнение, решението включва самата линия.

Пример 4

Намерете полуравнини, съответстващи на неравенствата:

Това е пример за „направи си сам“. Цялостно решение, приблизителна проба на доработка и отговор в края на урока.

Нека да разгледаме обратния проблем:

Пример 5

а) Дадена е права линия. Дефинирайте полуравнината, в която се намира точката, докато самата права трябва да бъде включена в решението.

б) Дадена е права линия. Дефинирайте полуравнината, в която се намира точката. Самата линия не е включена в решението.

Решение: тук няма нужда от чертеж и решението ще бъде аналитично. Нищо трудно:

а) Съставете спомагателен многочлен и изчислете стойността му в точката:
. Така търсеното неравенство ще бъде със знака "по-малко". По условие правата е включена в решението, така че неравенството няма да е строго:

б) Съставете полинома и изчислете стойността му в точката :
. Така търсеното неравенство ще бъде със знак "по-голямо от". По условие правата не е включена в решението, следователно неравенството ще бъде строго: .

Отговор:

Творчески пример за самообучение:

Пример 6

Дадени са точки и права. Сред изброените точки намерете тези, които заедно с началото лежат от една и съща страна на дадената права.

Малък съвет: първо трябва да напишете неравенство, което определя полуравнината, в която се намира началото. Аналитично решение и отговор в края на урока.

Системи линейни неравенства

Система от линейни неравенства е, както разбирате, система, съставена от няколко неравенства. Леле, дадох дефиницията =) Таралежът си е таралеж, ножът си е нож. Но истината е - оказа се просто и достъпно! Не, сериозно, не искам да давам някои примери по общ начин, така че нека веднага да преминем към належащите проблеми:

Какво означава да се реши система от линейни неравенства?

Решете система от линейни неравенства- това означава намерете множеството точки в равнинатакоито задоволяват за всекисистемно неравенство.

Като най-прости примери, помислете за системи от неравенства, които определят координатните четвърти на правоъгълна координатна система („рисуването на двойки“ е в самото начало на урока):

Системата от неравенства определя първата координатна четвърт (горе вдясно). Координати на всяка точка от първата четвърт, например, и т.н. задоволяват за всекинеравенството на тази система.

По същия начин:
– системата от неравенства определя втората координатна четвърт (горе вляво);
– системата от неравенства определя третата координатна четвърт (долу вляво);
– системата от неравенства определя четвъртата координатна четвърт (долу вдясно).

Система от линейни неравенства може да няма решения, тоест да бъде несъвместими. Отново най-простият пример: . Съвсем очевидно е, че "x" не може да бъде повече от три и по-малко от две едновременно.

Решението на системата от неравенства може да бъде права линия, например: . Лебед, рак, без щука, тегли каруцата в две различни посоки. Да, нещата все още са там - решението на тази система е права линия.

Но най-честият случай, когато решението на системата е някакво равнинна площ. Област за вземане на решенияможе би неограничен(например координатни квартали) или ограничен. Ограничената област на решенията се нарича многоъгълна система за решение.

Пример 7

Решете система от линейни неравенства

На практика в повечето случаи трябва да се справите с нестроги неравенства, така че те ще танцуват останалата част от урока.

Решение: фактът, че има твърде много неравенства, не трябва да плаши. Колко неравенства може да има в една система?Да, колкото искаш. Основното нещо е да се придържате към рационален алгоритъм за конструиране на зоната на решение:

1) Първо се занимаваме с най-простите неравенства. Неравенствата определят първата координатна четвърт, включително границата на координатните оси. Вече е много по-лесно, тъй като зоната за търсене е стеснена значително. На чертежа веднага маркираме съответните полуравнини със стрелки (червени и сини стрелки)

2) Второто най-просто неравенство - тук няма "y". Първо, изграждаме самата линия и, второ, след като трансформираме неравенството във формата , веднага става ясно, че всички „xes” са по-малки от 6. Маркираме съответната полуравнина със зелени стрелки. Е, зоната за търсене стана още по-малка - такъв правоъгълник, който не е ограничен отгоре.

3) На последната стъпка решаваме неравенствата „с пълни боеприпаси“: . Обсъдихме подробно алгоритъма за решение в предишния раздел. Накратко: първо изграждаме права линия, след което с помощта на експериментална точка намираме нужната ни полуравнина.

Станете, деца, застанете в кръг:


Областта на решение на системата е многоъгълник, на чертежа е ограден с пурпурна линия и засенчен. Прекалих малко =) В тетрадката е достатъчно или да засенчите зоната на решенията, или да я очертаете по-смело с обикновен молив.

Всяка точка от този многоъгълник удовлетворява ВСЯКО неравенство от системата (за интерес можете да проверите).

Отговор: решението на системата е многоъгълник.

Когато правите чисто копие, би било хубаво да опишете подробно в кои точки сте изградили прави линии (вижте урока Графики и свойства на функциите), и как са определени полуравнините (вижте първия параграф на този урок). На практика обаче в повечето случаи ще ви бъде признат само правилният чертеж. Самите изчисления могат да се извършват на чернова или дори устно.

Освен полигона за решение на системата, на практика, макар и по-рядко, се среща и открита площ. Опитайте се да анализирате сами следния пример. Въпреки че, за точност, тук няма мъчения - алгоритъмът за изграждане е същият, просто зоната ще се окаже неограничена.

Пример 8

Решете системата

Решение и отговор в края на урока. Най-вероятно ще имате други буквени обозначения за върховете на получената област. Това не е важно, основното е да намерите правилно върховете и да изградите правилно района.

Не е необичайно, когато в задачите се изисква не само да се конструира домейнът на решенията на системата, но и да се намерят координатите на върховете на домейна. В предишните два примера координатите на тези точки бяха очевидни, но на практика всичко далеч не е лед:

Пример 9

Решете системата и намерете координатите на върховете на получената област

Решение: ще изобразим областта на решенията на тази система на чертежа. Неравенството задава лявата полуравнина с оста y и тук вече няма безплатни. След изчисления върху чиста/чернова или задълбочени мисловни процеси, получаваме следната област за вземане на решения:

Графика на линейно или квадратно неравенство се изгражда по същия начин, както се изгражда графика на която и да е функция (уравнение). Разликата е, че неравенството предполага множество решения, така че графиката на неравенството не е просто точка на числова права или права на координатна равнина. С помощта на математически операции и знака за неравенство можете да определите набора от решения на неравенството.

стъпки

Графично представяне на линейно неравенство върху числова ос

1. Решете неравенството.За да направите това, изолирайте променливата, като използвате същите алгебрични трикове, които използвате за решаване на всяко уравнение. Не забравяйте, че когато умножавате или разделяте неравенство на отрицателно число (или член), обърнете знака за неравенство.

   • Например, като се има предвид неравенството 3y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12). За да изолирате променливата, извадете 9 от двете страни на неравенството и след това разделете двете страни на 3:
     3y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)
     3 y + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 y > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • Едно неравенство трябва да има само една променлива. Ако неравенството има две променливи, по-добре е да начертаете графиката върху координатната равнина.

2. Начертайте числова ос.На числовата линия маркирайте намерената стойност (променливата може да бъде по-малка, по-голяма или равна на тази стойност). Начертайте числова линия с подходяща дължина (дълга или къса).

   • Например, ако сте изчислили това y > 1 (\displaystyle y>1), маркирайте стойността 1 на числовата ос.

3. Начертайте кръг, за да представите намерената стойност.Ако променливата е по-малка от ( < {\displaystyle <} ) или по ( > (\displaystyle >)) от тази стойност кръгът не е запълнен, тъй като наборът от решения не включва тази стойност. Ако променливата е по-малка или равна на ( ≤ (\displaystyle \leq )) или по-голямо или равно на ( ≥ (\displaystyle\geq )) до тази стойност кръгът е запълнен, защото наборът от решения включва тази стойност.

   • y > 1 (\displaystyle y>1), на числовата ос, начертайте празен кръг в точка 1, защото 1 не е в набора от решения.

4. На числовата ос оцветете зоната, която определя набора от решения.Ако променливата е по-голяма от намерената стойност, засенчете областта вдясно от нея, тъй като наборът от решения включва всички стойности, които са по-големи от намерената стойност. Ако променливата е по-малка от намерената стойност, засенчете областта вляво от нея, тъй като наборът от решения включва всички стойности, които са по-малки от намерената стойност.

   • Например, като се има предвид неравенството y > 1 (\displaystyle y>1), на числовата линия, засенчете областта отдясно на 1, тъй като наборът от решения включва всички стойности, по-големи от 1.

   Графично представяне на линейно неравенство върху координатната равнина

   1. Решете неравенството (намерете стойността y (\displaystyle y)). За да получите линейно уравнение, изолирайте променливата от лявата страна, като използвате известни алгебрични методи. Променливата трябва да остане от дясната страна x (\displaystyle x)и евентуално някаква константа.

      • Например, като се има предвид неравенството 3y + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x). За изолиране на променлива y (\displaystyle y), извадете 9 от двете страни на неравенството и след това разделете двете страни на 3:
        3y + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. Начертайте линейното уравнение върху координатната равнина.начертайте графиката, както начертавате всяко линейно уравнение. Начертайте точката на пресичане с оста Y и след това начертайте други точки, като използвате наклона.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)начертайте уравнението y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Точката на пресичане с оста Y има координати , а наклонът е 3 (или 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Така че първо начертайте точка с координати (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); точката над точката на пресичане с оста y има координати (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); точката под точката на пресичане с оста y има координати (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1, -6))

   3. Начертайте права линия.Ако неравенството е строго (включва знака < {\displaystyle <} или > (\displaystyle >)), начертайте пунктирана линия, тъй като наборът от решения не включва стойности, лежащи на линията. Ако неравенството не е строго (включва знака ≤ (\displaystyle \leq )или ≥ (\displaystyle\geq )), начертайте плътна линия, тъй като наборът от решения включва стойности, които лежат на линията.

      • Например при неравенство y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)начертайте пунктираната линия, тъй като наборът от решения не включва стойности, лежащи на линията.

   4. Засенчете съответната област.Ако неравенството има вида y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), попълнете областта над линията. Ако неравенството има вида г< m x + b {\displaystyle y, попълнете областта под линията.

      • Например при неравенство y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)засенчете областта над линията.

   Графично представяне на квадратно неравенство върху координатната равнина

   1. Определете, че това неравенство е квадратно.Квадратното неравенство има вида a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Понякога неравенството не съдържа променлива от първи ред ( x (\displaystyle x)) и/или свободен член (константа), но трябва да включва променлива от втори ред ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Променливи x (\displaystyle x)и y (\displaystyle y)трябва да бъдат изолирани от различни страни на неравенството.

      • Например, трябва да начертаете неравенството г< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Начертайте графика върху координатната равнина.За да направите това, преобразувайте неравенството в уравнение и изградете графика, както изграждате графика на всяко квадратно уравнение. Не забравяйте, че графиката на квадратно уравнение е парабола.

      • Например при неравенство г< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle yначертайте квадратно уравнение y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Върхът на параболата е в точката (5 , − 9) (\displaystyle (5, -9)), а параболата пресича оста x в точки (2 , 0) (\displaystyle (2,0))и (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).