Как да конвертирате логаритъм в обща основа. Свойства на логаритмите и примери за техните решения

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

При необходимост - в съответствие със закона, съдебен ред, в съдебни производства и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо от съображения за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

\(a^(b)=c\) \(\Ляво-дясна стрелка\) \(\log_(a)(c)=b\)

Нека го обясним по-лесно. Например \(\log_(2)(8)\) равен на степента, до което трябва да се повдигне \(2\), за да се получи \(8\). От това е ясно, че \(\log_(2)(8)=3\).

Примери:	\(\log_(5)(25)=2\)	защото \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	защото \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	защото \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Аргумент и основа на логаритъма

Всеки логаритъм има следната "анатомия":

Аргументът на логаритъма обикновено се записва на неговото ниво, а основата се записва с долен индекс по-близо до знака на логаритъма. И този запис се чете така: "логаритъм от двадесет и пет при основа пет."

Как да изчислим логаритъма?

За да изчислите логаритъма, трябва да отговорите на въпроса: до каква степен трябва да се повдигне основата, за да получите аргумента?

Например, изчислете логаритъма: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

а) На каква степен трябва да се повдигне \(4\), за да се получи \(16\)? Очевидно второто. Ето защо:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) На каква степен трябва да се повдигне \(\sqrt(5)\), за да се получи \(1\)? И каква степен прави всяко число единица? Нула разбира се!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

г) На каква степен трябва да се повдигне \(\sqrt(7)\), за да се получи \(\sqrt(7)\)? В първата - всяко число от първа степен е равно на себе си.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

д) На каква степен трябва да се повдигне \(3\), за да се получи \(\sqrt(3)\)? От знаем какво е дробна степен, така че квадратният корен е степента на \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Пример : Изчислете логаритъма \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Решение :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Трябва да намерим стойността на логаритъма, нека го означим като х. Сега нека използваме дефиницията на логаритъма: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Ляво-дясна стрелка\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Какво свързва \(4\sqrt(2)\) и \(8\)? Две, защото и двете числа могат да бъдат представени с двойки: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Отляво използваме свойствата на степента: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) и \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Базите са равни, преминаваме към равенството на показателите
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Умножете двете страни на уравнението по \(\frac(2)(5)\)
		Полученият корен е стойността на логаритъма

Отговор : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Защо е измислен логаритъма?

За да разберем това, нека решим уравнението: \(3^(x)=9\). Просто съпоставете \(x\), за да работи равенството. Разбира се, \(x=2\).

Сега решете уравнението: \(3^(x)=8\). Какво е равно на x? Това е смисълът.

Най-гениалните ще кажат: "Х е малко по-малко от две." Как точно трябва да се напише това число? За да отговорят на този въпрос, те измислиха логаритъм. Благодарение на него отговорът тук може да бъде записан като \(x=\log_(3)(8)\).

Искам да подчертая, че \(\log_(3)(8)\), както и всеки логаритъм е просто число. Да, изглежда необичайно, но е кратко. Защото ако искахме да го запишем във формуляра десетична дроб, тогава ще изглежда така: \(1.892789260714.....\)

Пример : Решете уравнението \(4^(5x-4)=10\)

Решение :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) и \(10\) не могат да бъдат намалени до една и съща основа. Така че тук не можете без логаритъма. Нека използваме дефиницията на логаритъма: \(a^(b)=c\) \(\Ляво-дясна стрелка\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Обърнете уравнението така, че x да е отляво
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		пред нас. Преместете \(4\) надясно. И не се страхувайте от логаритъма, третирайте го като обикновено число.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Разделете уравнението на 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Тук е нашият корен. Да, изглежда необичайно, но отговорът не е избран.

Отговор : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Десетични и естествени логаритми

Както е посочено в дефиницията на логаритъма, неговата основа може да бъде всяка положително число, с изключение на единицата \((a>0, a\neq1)\). И сред всички възможни основи има две, които се срещат толкова често, че е измислена специална кратка нотация за логаритми с тях:

Натурален логаритъм: логаритъм, чиято основа е числото на Ойлер \(e\) (равно приблизително на \(2,7182818…\)), а логаритъмът се записва като \(\ln(a)\).

Това е, \(\ln(a)\) е същото като \(\log_(e)(a)\)

Десетичен логаритъм: Логаритъм, чиято основа е 10, се записва \(\lg(a)\).

Това е, \(\lg(a)\) е същото като \(\log_(10)(a)\), където \(a\) е някакво число.

Основно логаритмично тъждество

Логаритмите имат много свойства. Една от тях се казва „Основна логаритмично тъждество“ и изглежда така:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Това свойство следва пряко от определението. Нека да видим как се появи тази формула.

Да си припомним кратка бележкадефиниции на логаритъм:

ако \(a^(b)=c\), тогава \(\log_(a)(c)=b\)

Тоест \(b\) е същото като \(\log_(a)(c)\). Тогава можем да запишем \(\log_(a)(c)\) вместо \(b\) във формулата \(a^(b)=c\) . Оказа се \(a^(\log_(a)(c))=c\) - основното логаритмично тъждество.

Можете да намерите останалите свойства на логаритмите. С тяхна помощ можете да опростите и изчислите стойностите на изрази с логаритми, които са трудни за директно изчисляване.

Пример : Намерете стойността на израза \(36^(\log_(6)(5))\)

Решение :

Отговор : \(25\)

Как да напиша число като логаритъм?

Както бе споменато по-горе, всеки логаритъм е просто число. Обратното също е вярно: всяко число може да бъде записано като логаритъм. Например знаем, че \(\log_(2)(4)\) е равно на две. Тогава можете да напишете \(\log_(2)(4)\) вместо две.

Но \(\log_(3)(9)\) също е равно на \(2\), така че можете също да напишете \(2=\log_(3)(9)\) . По същия начин с \(\log_(5)(25)\) и с \(\log_(9)(81)\) и т.н. Тоест, оказва се

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Така, ако имаме нужда, можем да запишем двете като логаритъм с произволна основа навсякъде (дори в уравнение, дори в израз, дори в неравенство) - просто записваме основата на квадрат като аргумент.

Същото е и с тройката - може да се запише като \(\log_(2)(8)\), или като \(\log_(3)(27)\), или като \(\log_(4)( 64) \) ... Тук записваме основата в куба като аргумент:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

И с четири:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

И с минус едно:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

И с една трета:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Всяко число \(a\) може да бъде представено като логаритъм с основа \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Пример : Намерете стойността на израз \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Решение :

Отговор : \(1\)

(от гръцки λόγος - "дума", "отношение" и ἀριθμός - "число") числа bпо разум а(log α b) се нарича такова число ° С, и b= a c, тоест log α b=° Си b=a° Сса еквивалентни. Логаритъмът има смисъл, ако a > 0, a ≠ 1, b > 0.

С други думи логаритъмчисла bпо разум аформулиран като показател, до който трябва да се повдигне число аза да получите номера b(логаритъмът съществува само за положителни числа).

От тази формулировка следва, че изчислението x= log α b, е еквивалентно на решаването на уравнението a x =b.

Например:

log 2 8 = 3, защото 8=2 3 .

Отбелязваме, че посочената формулировка на логаритъма дава възможност за незабавно определяне логаритмична стойносткогато числото под знака на логаритъма е определена степен на основата. Наистина, формулировката на логаритъма позволява да се обоснове, че ако b=a c, след това логаритъма на числото bпо разум асе равнява с. Също така е ясно, че темата за логаритъм е тясно свързана с темата степен на числото.

Посочено е изчисляването на логаритъма логаритъм. Логаритъмът е математическа операциявземане на логаритъм. Когато се взема логаритъм, продуктите от фактори се трансформират в суми от членове.

Потенциранее математическата операция, обратна на логаритъма. При потенциране дадената основа се повдига на степен на израза, върху който се извършва потенцирането. В този случай сумите на членовете се трансформират в произведението на факторите.

Доста често се използват реални логаритми с основа 2 (двоични), e число на Ойлер e ≈ 2,718 ( натурален логаритъм) и 10 (десетичен).

На този етапподходящо за разглеждане проби от логаритмидневник 7 2 , вътре √ 5, lg0,0001.

И записите lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 нямат смисъл, тъй като в първия от тях отрицателно число се поставя под знака на логаритъма, във втория - отрицателно числов основата, а в третата - и отрицателно число под знака на логаритъма и единица в основата.

Условия за определяне на логаритъма.

Струва си да разгледаме отделно условията a > 0, a ≠ 1, b > 0. определение на логаритъм.Нека помислим защо са взети тези ограничения. Това ще ни помогне с равенство от формата x = log α b, наречено основно логаритмично тъждество, което пряко следва от дефиницията на логаритъма, дадена по-горе.

Вземете условието a≠1. Тъй като едно е равно на едно на произволна степен, тогава равенството x=log α bможе да съществува само когато b=1, но log 1 1 ще бъде всяко реално число. За да премахнем тази неяснота, ние приемаме a≠1.

Нека докажем необходимостта от условието а>0. При а=0според формулировката на логаритъма, може да съществува само когато b=0. И след това съответно дневник 0 0може да бъде всяко ненулево реално число, тъй като нула на всяка ненулева степен е нула. За да се премахне тази неяснота, условието a≠0. И когато а<0 би трябвало да отхвърлим анализа на рационалните и ирационалните стойности на логаритъма, тъй като показателят с рационален и ирационален показател се определя само за неотрицателни основи. Именно поради тази причина условието а>0.

И последното условие b>0следва от неравенството а>0, тъй като x=log α b, и стойността на степента с положителна основа авинаги позитивен.

Характеристики на логаритмите.

Логаритмихарактеризиращ се с отличителен Характеристика, което доведе до широкото им използване за значително улесняване на старателните изчисления. При прехода "към света на логаритмите" умножението се трансформира в много по-лесно събиране, делението в изваждане, а издигането на степен и вземането на корен се трансформират съответно в умножение и деление на степен.

Формулировката на логаритми и таблица с техните стойности (за тригонометрични функции) е публикувана за първи път през 1614 г. от шотландския математик Джон Напиер. Логаритмичните таблици, уголемени и детайлизирани от други учени, бяха широко използвани в научни и инженерни изчисления и останаха актуални, докато не започнаха да се използват електронни калкулатори и компютри.

основни свойства.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

същите основания

log6 4 + log6 9.

Сега нека усложним малко задачата.

Примери за решаване на логаритми

Ами ако има степен в основата или аргумента на логаритъма? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва логаритъма на ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Задача. Намерете стойността на израза:

Преход към нова основа

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

Задача. Намерете стойността на израза:

Вижте също:

Основни свойства на логаритъма

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Показателят е 2,718281828…. За да запомните показателя, можете да изучите правилото: показателят е 2,7 и два пъти годината на раждане на Лев Толстой.

Основни свойства на логаритмите

Познавайки това правило, вие ще знаете както точната стойност на експонента, така и датата на раждане на Лев Толстой.

Примери за логаритми

Вземете логаритъм на изразите

Пример 1
а). x=10ac^2 (a>0, c>0).

По свойства 3,5 изчисляваме

4. където .

Пример 2 Намерете x if

Пример 3. Нека е дадена стойността на логаритмите

Изчислете log(x), ако

Основни свойства на логаритмите

Логаритмите, като всяко число, могат да се събират, изваждат и преобразуват по всеки възможен начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.

Тези правила трябва да се знаят - без тях нито един сериозен логаритмична задача. Освен това има много малко от тях - всичко може да се научи за един ден. Така че да започваме.

Събиране и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритма с една и съща основа: logax и logay. След това те могат да се събират и изваждат и:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

И така, сумата от логаритмите е равна на логаритъма от произведението, а разликата е логаритъма от частното. Моля, обърнете внимание: ключовият момент тук е - същите основания. Ако базите са различни, тези правила не работят!

Тези формули ще помогнат за изчисляване на логаритмичния израз, дори когато отделните му части не се вземат предвид (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите и вижте:

Тъй като основите на логаритмите са еднакви, използваме формулата за сумата:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log2 48 − log2 3.

Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log3 135 − log3 5.

Отново, основите са същите, така че имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от "лоши" логаритми, които не се разглеждат отделно. Но след трансформациите се получават съвсем нормални числа. Въз основа на този факт мн тестови работи. Да, контрол - подобни изрази с цялата сериозност (понякога - практически без промени) се предлагат на изпита.

Премахване на експонентата от логаритъма

Лесно е да се види това последното правилоследва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва логаритъма на ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно, т.е. можете да въведете числата преди знака на логаритъма в самия логаритъм. Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log7 496.

Нека се отървем от степента в аргумента според първата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете стойността на израза:

Обърнете внимание, че знаменателят е логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:

Мисля да последен примернеобходимо е уточнение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя.

Формули на логаритми. Логаритмите са примери за решения.

Те представиха основата и аргумента на логаритъма, стоящ там под формата на градуси и извадиха индикаторите - получиха „триетажна“ дроб.

Сега нека разгледаме основната фракция. Числителят и знаменателят имат едно и също число: log2 7. Тъй като log2 7 ≠ 0, можем да намалим дробта - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката, четворката може да се прехвърли в числителя, което беше направено. Резултатът е отговорът: 2.

Преход към нова основа

Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако основите са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?

Формулите за преход към нова база идват на помощ. Ние ги формулираме под формата на теорема:

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

По-специално, ако поставим c = x, получаваме:

От втората формула следва, че е възможно да се разменят основата и аргументът на логаритъма, но в този случай целият израз се „обръща“, т.е. логаритъма е в знаменателя.

Тези формули рядко се срещат в обикновените числови изрази. Възможно е да се прецени колко са удобни само при вземане на решение логаритмични уравненияи неравенства.

Има обаче задачи, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека разгледаме няколко от тях:

Задача. Намерете стойността на израза: log5 16 log2 25.

Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма са точни показатели. Нека извадим индикаторите: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Сега нека обърнем втория логаритъм:

Тъй като произведението не се променя от пермутация на множители, ние спокойно умножихме четири и две и след това изчислихме логаритмите.

Задача. Намерете стойността на израза: log9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека го запишем и да се отървем от индикаторите:

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:

Основно логаритмично тъждество

Често в процеса на решаване се изисква да се представи число като логаритъм на дадена основа. В този случай формулите ще ни помогнат:

В първия случай числото n става експонента в аргумента. Числото n може да бъде абсолютно всичко, защото е само стойността на логаритъма.

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Нарича се така:

Наистина, какво ще се случи, ако числото b се повдигне до такава степен, че числото b в тази степен дава числото a? Точно така: това е същото число a. Прочетете внимателно този параграф отново - много хора „висят“ върху него.

Подобно на новите формули за базово преобразуване, основната логаритмична идентичност понякога е единственото възможно решение.

Задача. Намерете стойността на израза:

Обърнете внимание, че log25 64 = log5 8 - току-що извади квадрата от основата и аргумента на логаритъма. Дадени са правилата за умножение на степени с същата база, получаваме:

Ако някой не е наясно, това беше истинска задача от Единния държавен изпит 🙂

Логаритмична единица и логаритмична нула

В заключение ще дам две тъждества, които е трудно да наречем свойства - по-скоро това са следствия от дефиницията на логаритъма. Постоянно се намират в проблеми и учудващо създават проблеми дори на "напредналите" ученици.

logaa = 1 е. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът при всяка основа а от самата тази основа е равен на едно.
log 1 = 0 е. Основата a може да бъде всякаква, но ако аргументът е единица, логаритъма е нула! Тъй като a0 = 1 е пряко следствие от определението.

Това са всички имоти. Не забравяйте да се упражнявате да ги прилагате на практика! Изтеглете измамника в началото на урока, разпечатайте го и решете задачите.

Вижте също:

Логаритъмът на числото b при основа a означава израза. Да се изчисли логаритъма означава да се намери такава мощност x (), при която равенството е вярно

Основни свойства на логаритъма

Горните свойства трябва да се знаят, тъй като на тяхна основа почти всички задачи и примери се решават въз основа на логаритми. Останалите екзотични свойства могат да бъдат извлечени чрез математически манипулации с тези формули

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

При изчисляване формулите за сумата и разликата на логаритмите (3.4) се срещат доста често. Останалите са малко сложни, но в редица задачи са незаменими за опростяване на сложни изрази и изчисляване на техните стойности.

Често срещани случаи на логаритми

Някои от често срещаните логаритми са тези, при които основата е дори десет, експоненциална или двойка.
Логаритъмът с основа десет обикновено се нарича логаритъм с основа десет и се обозначава просто lg(x).

От протокола се вижда, че в протокола не са записани осн. Например

Натуралният логаритъм е логаритъмът, чиято основа е степента (означена като ln(x)).

Показателят е 2,718281828…. За да запомните показателя, можете да изучите правилото: показателят е 2,7 и два пъти годината на раждане на Лев Толстой. Познавайки това правило, вие ще знаете както точната стойност на експонента, така и датата на раждане на Лев Толстой.

И друг важен логаритъм по основа две е

Производната на логаритъма на функцията е равна на единица, разделена на променливата

Интегралният или първообразният логаритъм се определя от зависимостта

Горният материал е достатъчен, за да решите широк клас задачи, свързани с логаритми и логаритми. За разбиране на материала ще дам само няколко общи примера от училищна програмаи университети.

Примери за логаритми

Вземете логаритъм на изразите

Пример 1
а). x=10ac^2 (a>0, c>0).

По свойства 3,5 изчисляваме

2.
По свойството разлика на логаритмите имаме

3.
Използвайки свойства 3.5 намираме

4. където .

По външния вид съставен изразизползването на поредица от правила е опростено до формата

Намиране на логаритмични стойности

Пример 2 Намерете x if

Решение. За изчислението прилагаме свойства 5 и 13 до последния член

Заместник в записа и скърби

Тъй като основите са равни, приравняваме изразите

Логаритми. Първо ниво.

Нека е дадена стойността на логаритмите

Изчислете log(x), ако

Решение: Вземете логаритъм на променливата, за да запишете логаритъма чрез сумата от членовете

Това е само началото на запознаването с логаритмите и техните свойства. Практикувайте изчисления, обогатете практическите си умения - скоро ще имате нужда от придобитите знания за решаване на логаритмични уравнения. След като изучихме основните методи за решаване на такива уравнения, ние ще разширим знанията ви за още не по-малко важна тема- логаритмични неравенства ...

Основни свойства на логаритмите

Тези правила трябва да се знаят – без тях не може да се реши нито една сериозна логаритмична задача. Освен това има много малко от тях - всичко може да се научи за един ден. Така че да започваме.

Събиране и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритма с една и съща основа: logax и logay. След това те могат да се събират и изваждат и:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Задача. Намерете стойността на израза: log6 4 + log6 9.

Тъй като основите на логаритмите са еднакви, използваме формулата за сумата:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log2 48 − log2 3.

Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log3 135 − log3 5.

Отново, основите са същите, така че имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от "лоши" логаритми, които не се разглеждат отделно. Но след трансформациите се получават съвсем нормални числа. Много тестове се основават на този факт. Да, контрол - подобни изрази с цялата сериозност (понякога - практически без промени) се предлагат на изпита.

Премахване на експонентата от логаритъма

Сега нека усложним малко задачата. Ами ако има степен в основата или аргумента на логаритъма? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Лесно се вижда, че последното правило следва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Как се решават логаритми

Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log7 496.

Нека се отървем от степента в аргумента според първата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете стойността на израза:

Обърнете внимание, че знаменателят е логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:

Мисля, че последният пример има нужда от пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя. Те представиха основата и аргумента на логаритъма, стоящ там под формата на градуси и извадиха индикаторите - получиха „триетажна“ дроб.

Преход към нова основа

Формулите за преход към нова база идват на помощ. Ние ги формулираме под формата на теорема:

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

По-специално, ако поставим c = x, получаваме:

Тези формули рядко се срещат в обикновени числови изрази. Възможно е да се оцени колко са удобни само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.

Задача. Намерете стойността на израза: log5 16 log2 25.

Сега нека обърнем втория логаритъм:

Задача. Намерете стойността на израза: log9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека го запишем и да се отървем от индикаторите:

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:

Основно логаритмично тъждество

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Нарича се така:

Задача. Намерете стойността на израза:

Обърнете внимание, че log25 64 = log5 8 - току-що извади квадрата от основата и аргумента на логаритъма. Като се имат предвид правилата за умножение на степени с една и съща основа, получаваме:

Ако някой не е наясно, това беше истинска задача от Единния държавен изпит 🙂

Логаритмична единица и логаритмична нула

logaa = 1 е. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът при всяка основа а от самата тази основа е равен на едно.
log 1 = 0 е. Основата a може да бъде всякаква, но ако аргументът е единица, логаритъма е нула! Тъй като a0 = 1 е пряко следствие от определението.

Инструкция

Запишете дадения логаритмичен израз. Ако изразът използва логаритъм от 10, тогава записът му се съкращава и изглежда така: lg b е десетичен логаритъм. Ако логаритъма има числото e като основа, тогава изразът се записва: ln b е натурален логаритъм. Разбираемо е, че резултатът от any е степента, на която трябва да се повдигне основното число, за да се получи числото b.

Когато намирате сумата на две функции, просто трябва да ги разграничите една по една и да добавите резултатите: (u+v)" = u"+v";

При намиране на производната на произведението на две функции е необходимо производната на първата функция да се умножи по втората и да се добави производната на втората функция, умножена по първата функция: (u*v)" = u"* v+v"*u;

За да се намери производната на частното на две функции, е необходимо от произведението на производната на дивидента, умножено по функцията делител, да се извади произведението на производната на делителя, умножено по функцията делител, и да се раздели всичко това чрез функцията делител на квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ако се даде сложна функция, тогава е необходимо да се умножи производната на вътрешната функция и производната на външната. Нека y=u(v(x)), тогава y"(x)=y"(u)*v"(x).

Използвайки полученото по-горе, можете да разграничите почти всяка функция. Така че нека да разгледаме няколко примера:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *х));
Има и задачи за пресмятане на производната в точка. Нека е дадена функцията y=e^(x^2+6x+5), трябва да намерите стойността на функцията в точката x=1.
1) Намерете производната на функцията: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Изчислете стойността на функцията в дадена точка y"(1)=8*e^0=8

Подобни видеа

Полезни съвети

Научете таблицата на елементарните производни. Това ще спести много време.

източници:

постоянна производна

И така, какво е различното ir рационално уравнениеот рационалното? Ако неизвестната променлива е под знака корен квадратен, тогава уравнението се счита за ирационално.

Инструкция

Основният метод за решаване на такива уравнения е методът на повдигане на двете страни уравненияв квадрат. Въпреки това. това е естествено, първата стъпка е да се отървете от знака. Технически този метод не е труден, но понякога може да доведе до проблеми. Например уравнението v(2x-5)=v(4x-7). Като повдигнете двете страни на квадрат, получавате 2x-5=4x-7. Такова уравнение не е трудно за решаване; х=1. Но номер 1 няма да бъде даден уравнения. Защо? Заменете единицата в уравнението вместо стойността x. И дясната и лявата страна ще съдържат изрази, които нямат смисъл, т.е. Такава стойност не е валидна за квадратен корен. Следователно 1 е външен корен и следователно дадено уравнениеняма корени.

И така, ирационалното уравнение се решава с помощта на метода на повдигане на квадрат на двете му части. И след като се реши уравнението, е необходимо задължително да се отреже външни корени. За да направите това, заменете намерените корени в оригиналното уравнение.

Помислете за друг.
2x+vx-3=0
Разбира се, това уравнение може да бъде решено с помощта на същото уравнение като предишното. Трансферни съединения уравнения, които нямат квадратен корен, правилната странаи след това използвайте метода на повдигане на квадрат. решаване на полученото рационално уравнение и корени. Но друг, по-елегантен. Въведете нова променлива; vx=y. Съответно ще получите уравнение като 2y2+y-3=0. Тоест обичайното квадратно уравнение. Намерете корените му; y1=1 и y2=-3/2. След това решете две уравнения vx=1; vx \u003d -3/2. Второто уравнение няма корени, от първото намираме, че x=1. Не забравяйте за необходимостта от проверка на корените.

Разрешаването на самоличности е доста лесно. Това изисква правене идентични трансформациидо достигане на целта. По този начин, с помощта на прости аритметични операциизадачата ще бъде решена.

Ще имаш нужда

- хартия;
- химикалка.

Инструкция

Най-простите такива трансформации са алгебричните съкратени умножения (като квадрат на сумата (разликата), разликата на квадратите, сумата (разликата), кубът на сумата (разликата)). Освен това има много тригонометрични формули, които по същество са едни и същи самоличности.

Наистина, квадратът на сумата от два члена е равен на квадрата на първия плюс двойно произведениепървото към второто и плюс квадрата на второто, т.е. (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+2ab +b^2.

Опростете и двете

Общи принципи на решение

Повторете учебника математически анализили висша математика, което е определен интеграл. Както знаете, решението определен интегралима функция, чиято производна ще даде интегранд. Тази функциясе нарича примитивен. По този принцип се конструират основните интеграли.
Определете по формата на подинтегралната функция кой от табличните интеграли се вписва този случай. Не винаги е възможно да се определи това веднага. Често табличната форма става забележима само след няколко трансформации за опростяване на интегранта.

Метод на заместване на променливи

Ако интегрантът е тригонометрична функция, чийто аргумент е някакъв полином, след това опитайте да използвате метода за заместване на променливи. За да направите това, заменете полинома в аргумента на интегранта с нова променлива. Въз основа на съотношението между новата и старата променлива, определете новите граници на интегриране. Като диференцирате този израз, намерете нов диференциал в . Така ще получите новият видпървият интеграл, близък или дори съответстващ на който и да е табличен.

Решение на интеграли от втори род

Ако интегралът е интеграл от втория вид, векторната форма на интегранта, тогава ще трябва да използвате правилата за преминаване от тези интеграли към скаларни. Едно такова правило е съотношението на Остроградски-Гаус. Този законви позволява да преминете от потока на ротора към някои векторна функциякъм тройния интеграл върху дивергенцията на даденото векторно поле.

Подмяна на границите на интеграция

След намиране на антипроизводното е необходимо да се заменят границите на интегриране. Първо въведете стойността горен лимитв израза за антипроизводното. Ще получите някакъв номер. След това извадете от полученото число друго число, получената долна граница на антипроизводното. Ако една от границите на интегриране е безкрайност, тогава я заместваме в противопроизводна функциянеобходимо е да се стигне до границата и да се намери към какво клони изразът.
Ако интегралът е двуизмерен или триизмерен, тогава ще трябва да представите геометричните граници на интегрирането, за да разберете как да изчислите интеграла. Наистина, в случая на, да речем, триизмерен интеграл, границите на интегриране могат да бъдат цели равнини, които ограничават обема, който трябва да бъде интегриран.