Кои системи от линейни уравнения се наричат квадратни. Системи линейни уравнения: основни понятия

Система от линейни алгебрични уравнения. Основни термини. Матрична нотация.

Дефиниция на система от линейни алгебрични уравнения. Системно решение. Класификация на системите.

Под система от линейни алгебрични уравнения(SLAE) предполагат система

Параметрите aij се извикват коефициенти, и би безплатни членовеСЛАУ. Понякога, за да подчертаят броя на уравненията и неизвестните, те казват „m × n система от линейни уравнения“, като по този начин показват, че SLAE съдържа m уравнения и n неизвестни.

Ако всички свободни членове bi=0, тогава се извиква SLAE хомогенен. Ако сред свободните членове има поне един, различен от нула, се извиква SLAE разнородни.

Решение на СЛАУ(1) всеки подреден набор от числа се нарича (α1,α2,…,αn), ако елементите на този набор, заместени в даден ред вместо неизвестните x1,x2,…,xn, превръщат всяко SLAE уравнение в идентичност .

Всеки хомогенен SLAE има поне едно решение: нула(в друга терминология - тривиално), т.е. x1=x2=…=xn=0.

Ако SLAE (1) има поне едно решение, то се извиква ставаако няма решения, несъвместими. Ако съвместно SLAE има точно едно решение, то се извиква определени, ако има безкраен брой решения - несигурен.

Матрична форма на запис на системи от линейни алгебрични уравнения.

Няколко матрици могат да бъдат свързани с всеки SLAE; освен това самият SLAE може да бъде написан като матрично уравнение. За SLAE (1) разгледайте следните матрици:

Матрицата А се нарича системна матрица. Елементите на тази матрица са коефициентите на дадената SLAE.

Матрицата A˜ се нарича разширена матрична система. Получава се чрез добавяне към системната матрица на колона, съдържаща свободни членове b1,b2,...,bm. Обикновено тази колона е разделена с вертикална линия за по-голяма яснота.

Столбната матрица B се нарича матрица на свободните членове, а колонната матрица X е матрица на неизвестните.

Използвайки въведената по-горе нотация, SLAE (1) може да се запише под формата на матрично уравнение: A⋅X=B.

Забележка

Матриците, свързани със системата, могат да бъдат записани по различни начини: всичко зависи от реда на променливите и уравненията на разглеждания SLAE. Но във всеки случай редът на неизвестните във всяко уравнение на дадена SLAE трябва да бъде еднакъв

Теоремата на Кронекер-Капели. Изследване на системи от линейни уравнения за съвместимост.

Теорема на Кронекер-Капели

Система от линейни алгебрични уравнения е последователна тогава и само тогава, когато рангът на матрицата на системата е равен на ранга на разширената матрица на системата, т.е. rankA=rankA˜.

Една система се нарича последователна, ако има поне едно решение. Теоремата на Кронекер-Капели казва следното: ако rangA=rangA˜, тогава има решение; ако rangA≠rangA˜, тогава този SLAE няма решения (непоследователен). Отговорът на въпроса за броя на тези решения се дава от следствие от теоремата на Кронекер-Капели. При формулирането на следствието се използва буквата n, която е равна на броя на променливите на дадената SLAE.

Следствие от теоремата на Кронекер-Капели

Ако rangA≠rangA˜, тогава SLAE е непоследователен (няма решения).

Ако rankA=rankA˜

Ако rangA=rangA˜=n, тогава SLAE е определен (има точно едно решение).

Имайте предвид, че формулираната теорема и нейното следствие не показват как да се намери решението на SLAE. С тяхна помощ можете само да разберете дали тези решения съществуват или не, и ако съществуват, тогава колко.

Методи за решаване на SLAE

Метод на Крамер

Методът на Cramer е предназначен за решаване на онези системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE), за които детерминантата на матрицата на системата е различна от нула. Естествено, това означава, че матрицата на системата е квадратна (концепцията за детерминанта съществува само за квадратни матрици). Същността на метода на Крамър може да се изрази в три точки:

Съставете детерминантата на матрицата на системата (нарича се още детерминанта на системата) и се уверете, че тя не е равна на нула, т.е. ∆≠0.

За всяка променлива xi е необходимо да се състави детерминантата Δ X i, получена от детерминантата Δ чрез заместване на i-тата колона с колоната от свободни членове на дадения SLAE.

Намерете стойностите на неизвестните по формулата xi= Δ X i /Δ

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения с помощта на обратна матрица.

Решаването на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) с помощта на обратна матрица (понякога този метод се нарича също матричен метод или метод на обратната матрица) изисква предварително запознаване с такова понятие като матричната форма на SLAE. Методът на обратната матрица е предназначен за решаване на онези системи от линейни алгебрични уравнения, за които матричната детерминанта на системата е различна от нула. Естествено, това означава, че матрицата на системата е квадратна (концепцията за детерминанта съществува само за квадратни матрици). Същността на метода на обратната матрица може да се изрази в три точки:

Запишете три матрици: матрицата на системата A, матрицата на неизвестните X, матрицата на свободните членове B.

Намерете обратната матрица A -1 .

Използвайки равенството X=A -1 ⋅B вземете решението на дадения SLAE.

Метод на Гаус. Примери за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по метода на Гаус.

Методът на Гаус е един от най-нагледните и прости начини за решаване системи от линейни алгебрични уравнения(БАВНО): както хомогенни, така и хетерогенни. Накратко, същността на този метод е последователното елиминиране на неизвестни.

Трансформации, разрешени в метода на Гаус:

Смяна на местата на два реда;

Умножаване на всички елементи на низ по някакво различно от нула число.

Добавяне към елементите на един ред на съответните елементи на друг ред, умножени по произволен коефициент.

Зачертаване на линия, всички елементи на която са равни на нула.

Зачеркване на дублиращи се редове.

Що се отнася до последните две точки: повтарящите се линии могат да бъдат изтрити на всеки етап от решението по метода на Гаус - разбира се, оставяйки един от тях. Например, ако редове № 2, № 5, № 6 се повтарят, тогава един от тях може да бъде оставен, например ред № 5. В този случай редове #2 и #6 ще бъдат изтрити.

Нулевите редове се премахват от разширената матрица на системата, когато се появяват.

Системи линейни уравнения. Лекция 6

Системи линейни уравнения.

Основни понятия.

система за преглед

Наречен система - линейни уравнения с неизвестни.

Числата , , се наричат системни коефициенти.

Извикват се номера безплатни членове на системата, – системни променливи. Матрица

Наречен основната матрица на системата, и матрицата

– разширена матрична система. Матрици - колони

И съответно матрици на свободни членове и неизвестни на системата. Тогава, в матрична форма, системата от уравнения може да бъде записана като . Системно решениесе наричат стойностите на променливите, при заместването на които всички уравнения на системата се превръщат в истински числени равенства. Всяко решение на системата може да бъде представено като матрица-колона. Тогава матричното равенство е вярно.

Системата от уравнения се нарича ставаако има поне едно решение и несъвместимиако няма решение.

Да се реши система от линейни уравнения означава да се установи дали тя е съвместима и ако е съвместима, да се намери нейното общо решение.

Системата се нарича хомогененако всички негови свободни членове са равни на нула. Една хомогенна система винаги е съвместима, защото има решение

Теоремата на Кронекер-Копели.

Отговорът на въпроса за съществуването на решения на линейни системи и тяхната уникалност ни позволява да получим следния резултат, който може да бъде формулиран като следните твърдения за система от линейни уравнения с неизвестни

(1)

Теорема 2. Системата от линейни уравнения (1) е последователна тогава и само ако рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената (.

Теорема 3. Ако рангът на основната матрица на обща система от линейни уравнения е равен на броя на неизвестните, тогава системата има уникално решение.

Теорема 4. Ако рангът на основната матрица на съвместна система е по-малък от броя на неизвестните, тогава системата има безкраен брой решения.

Правила за решаване на системи.

3. Намерете израза на главните променливи през свободните и получете общото решение на системата.

4. Чрез даване на произволни стойности на свободни променливи се получават всички стойности на основните променливи.

Методи за решаване на системи от линейни уравнения.

Метод на обратната матрица.

и , т.е. системата има уникално решение. Записваме системата в матрична форма

където , , .

Умножете двете страни на матричното уравнение отляво по матрицата

Тъй като , получаваме , от което получаваме равенство за намиране на неизвестни

Пример 27.Използвайки метода на обратната матрица, решете системата от линейни уравнения

Решение. Означаваме с главната матрица на системата

Нека , тогава намираме решението по формулата .

Нека изчислим.

Тъй като , тогава системата има уникално решение. Намерете всички алгебрични допълнения

, ,

По този начин

Да проверим

Обратната матрица е намерена правилно. От тук, използвайки формулата, намираме матрицата на променливите.

Сравнявайки стойностите на матриците, получаваме отговора: .

Методът на Крамер.

Нека е дадена система от линейни уравнения с неизвестни

и , т.е. системата има уникално решение. Записваме решението на системата в матрична форма или

Обозначете

. . . . . . . . . . . . . . ,

Така получаваме формули за намиране на стойностите на неизвестните, които се наричат Формули на Крамер.

Пример 28.Решете следната система от линейни уравнения, като използвате метода на Крамер .

Решение. Намерете детерминантата на основната матрица на системата

Тъй като , тогава системата има уникално решение.

Намерете останалите детерминанти за формулите на Крамър

Използвайки формулите на Cramer, намираме стойностите на променливите

Метод на Гаус.

Методът се състои в последователно изключване на променливи.

Нека е дадена система от линейни уравнения с неизвестни.

Процесът на решаване на Гаус се състои от две стъпки:

На първия етап разширената матрица на системата се редуцира до стъпаловидна форма с помощта на елементарни трансформации

където , което съответства на системата

След това променливите се считат за свободни и във всяко уравнение се прехвърлят в дясната страна.

На втория етап променливата се изразява от последното уравнение, получената стойност се замества в уравнението. От това уравнение

променливата е изразена. Този процес продължава до първото уравнение. Резултатът е израз на главните променливи по отношение на свободните променливи .

Пример 29.Решете следната система, като използвате метода на Гаус

Решение. Нека напишем разширената матрица на системата и я редуцираме до стъпкова форма

защото е по-голямо от броя на неизвестните, тогава системата е съвместима и има безкраен брой решения. Нека напишем системата за стъпковата матрица

Детерминантата на разширената матрица на тази система, съставена от първите три колони, не е равна на нула, затова я считаме за основна. Променливи

Ще бъде основен и променливата ще бъде безплатна. Нека го преместим във всички уравнения наляво

От последното уравнение изразяваме

Замествайки тази стойност в предпоследното второ уравнение, получаваме

където . Замествайки стойностите на променливите и в първото уравнение, намираме . Пишем отговора в следната форма

Системите от уравнения се използват широко в икономическата индустрия при математическото моделиране на различни процеси. Например при решаване на проблеми с управлението и планирането на производството, логистични маршрути (транспортен проблем) или разполагане на оборудване.

Системите от уравнения се използват не само в областта на математиката, но и във физиката, химията и биологията, когато се решават задачи за намиране на размера на популацията.

Система от линейни уравнения е термин за две или повече уравнения с няколко променливи, за които е необходимо да се намери общо решение. Такава последователност от числа, за която всички уравнения стават истински равенства или доказват, че последователността не съществува.

Линейно уравнение

Уравнения от вида ax+by=c се наричат линейни. Обозначенията x, y са неизвестните, чиято стойност трябва да се намери, b, a са коефициентите на променливите, c е свободният член на уравнението.
Решаването на уравнението чрез начертаване на неговата графика ще изглежда като права линия, всички точки на която са решението на полинома.

Видове системи линейни уравнения

Най-простите са примери за системи от линейни уравнения с две променливи X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, където F1,2 са функции и (x, y) са функционални променливи.

Решете система от уравнения - това означава да се намерят такива стойности (x, y), за които системата става истинско равенство, или да се установи, че няма подходящи стойности на x и y.

Двойка стойности (x, y), записана като координати на точка, се нарича решение на система от линейни уравнения.

Ако системите имат едно общо решение или няма решение, те се наричат еквивалентни.

Хомогенни системи от линейни уравнения са системи, чиято дясна страна е равна на нула. Ако дясната част след знака "равно" има стойност или е изразена от функция, такава система не е хомогенна.

Броят на променливите може да бъде много повече от две, тогава трябва да говорим за пример на система от линейни уравнения с три или повече променливи.

Изправени пред системи, учениците приемат, че броят на уравненията трябва задължително да съвпада с броя на неизвестните, но това не е така. Броят на уравненията в системата не зависи от променливите, може да има произволно голям брой от тях.

Прости и сложни методи за решаване на системи от уравнения

Няма общ аналитичен начин за решаване на такива системи, всички методи се основават на числени решения. Училищният курс по математика описва подробно такива методи като пермутация, алгебрично добавяне, заместване, както и графичен и матричен метод, решение по метода на Гаус.

Основната задача при преподаването на методи за решаване е да научите как правилно да анализирате системата и да намерите оптималния алгоритъм за решение за всеки пример. Основното нещо е да не запомните система от правила и действия за всеки метод, а да разберете принципите на прилагане на конкретен метод.

Решаването на примери за системи от линейни уравнения от 7 клас на общообразователната училищна програма е доста просто и е обяснено много подробно. Във всеки учебник по математика на този раздел се отделя достатъчно внимание. Решаването на примери за системи от линейни уравнения по метода на Гаус и Крамер се изучава по-подробно в първите курсове на висшите учебни заведения.

Решаване на системи чрез метода на заместване

Действията на метода на заместване са насочени към изразяване на стойността на една променлива чрез втората. Изразът се замества в останалото уравнение, след което се редуцира до форма с една променлива. Действието се повтаря в зависимост от броя на неизвестните в системата

Да дадем пример за система от линейни уравнения от 7-ми клас по метода на заместване:

Както може да се види от примера, променливата x беше изразена чрез F(X) = 7 + Y. Полученият израз, заместен във второто уравнение на системата на мястото на X, помогна да се получи една променлива Y във второто уравнение . Решението на този пример не създава затруднения и ви позволява да получите стойността на Y. Последната стъпка е да проверите получените стойности.

Не винаги е възможно да се реши пример на система от линейни уравнения чрез заместване. Уравненията могат да бъдат сложни и изразяването на променливата по отношение на второто неизвестно ще бъде твърде тромаво за по-нататъшни изчисления. Когато в системата има повече от 3 неизвестни, заместващото решение също е непрактично.

Решение на пример на система от линейни нехомогенни уравнения:

Решение чрез алгебрично събиране

При търсене на решение на системи чрез метода на събиране се извършва почленно събиране и умножение на уравнения с различни числа. Крайната цел на математическите операции е уравнение с една променлива.

Приложенията на този метод изискват практика и наблюдение. Не е лесно да се реши система от линейни уравнения с помощта на метода на събиране с брой променливи 3 или повече. Алгебричното добавяне е полезно, когато уравненията съдържат дроби и десетични числа.

Алгоритъм за действие на решението:

Умножете двете страни на уравнението по някакво число. В резултат на аритметичната операция един от коефициентите на променливата трябва да стане равен на 1.
Съберете получения израз член по член и намерете едно от неизвестните.
Заместете получената стойност във второто уравнение на системата, за да намерите оставащата променлива.

Метод на решение чрез въвеждане на нова променлива

Може да се въведе нова променлива, ако системата трябва да намери решение за не повече от две уравнения, броят на неизвестните също трябва да бъде не повече от две.

Методът се използва за опростяване на едно от уравненията чрез въвеждане на нова променлива. Новото уравнение се решава по отношение на въведеното неизвестно и получената стойност се използва за определяне на оригиналната променлива.

От примера може да се види, че чрез въвеждане на нова променлива t е възможно да се намали първото уравнение на системата до стандартен квадратен трином. Можете да разрешите полином, като намерите дискриминанта.

Необходимо е да се намери стойността на дискриминанта, като се използва добре известната формула: D = b2 - 4*a*c, където D е желаният дискриминант, b, a, c са множителите на полинома. В дадения пример a=1, b=16, c=39, следователно D=100. Ако дискриминантът е по-голям от нула, тогава има две решения: t = -b±√D / 2*a, ако дискриминантът е по-малък от нула, тогава има само едно решение: x= -b / 2*a.

Решението за получените системи се намира по метода на добавяне.

Визуален метод за решаване на системи

Подходящ за системи с 3 уравнения. Методът се състои в начертаване на графики на всяко уравнение, включено в системата върху координатната ос. Координатите на точките на пресичане на кривите ще бъдат общото решение на системата.

Графичният метод има редица нюанси. Разгледайте няколко примера за решаване на системи от линейни уравнения по визуален начин.

Както може да се види от примера, две точки бяха конструирани за всяка линия, стойностите на променливата x бяха избрани произволно: 0 и 3. Въз основа на стойностите на x бяха намерени стойностите за y: 3 и 0. На графиката са отбелязани точки с координати (0, 3) и (3, 0) и свързани с линия.

Стъпките трябва да се повторят за второто уравнение. Пресечната точка на правите е решението на системата.

В следния пример се изисква да се намери графично решение на системата от линейни уравнения: 0.5x-y+2=0 и 0.5x-y-1=0.

Както се вижда от примера, системата няма решение, тъй като графиките са успоредни и не се пресичат по цялата си дължина.

Системите от примери 2 и 3 са сходни, но когато се конструират, става очевидно, че техните решения са различни. Трябва да се помни, че не винаги е възможно да се каже дали системата има решение или не, винаги е необходимо да се изгради графика.

Матрицата и нейните разновидности

Матриците се използват за кратко записване на система от линейни уравнения. Матрицата е специален вид таблица, пълна с числа. n*m има n - редове и m - колони.

Матрицата е квадратна, когато броят на колоните и редовете е равен. Матрица-вектор е матрица с една колона с безкраен възможен брой редове. Матрица с единици по един от диагоналите и други нулеви елементи се нарича идентичност.

Обратната матрица е такава матрица, когато се умножи, по която оригиналната се превръща в единична, такава матрица съществува само за оригиналната квадратна.

Правила за преобразуване на система от уравнения в матрица

По отношение на системите от уравнения коефициентите и свободните членове на уравненията се записват като числа на матрицата, едно уравнение е един ред от матрицата.

Матричен ред се нарича ненулев, ако поне един елемент от реда не е равен на нула. Следователно, ако в някое от уравненията броят на променливите е различен, тогава е необходимо да въведете нула на мястото на липсващото неизвестно.

Колоните на матрицата трябва стриктно да съответстват на променливите. Това означава, че коефициентите на променливата x могат да бъдат записани само в една колона, например първата, коефициентът на неизвестното y - само във втората.

При умножаване на матрица всички елементи на матрицата се умножават последователно по число.

Опции за намиране на обратната матрица

Формулата за намиране на обратната матрица е доста проста: K -1 = 1 / |K|, където K -1 е обратната матрица и |K| - матричен детерминант. |K| не трябва да е равно на нула, тогава системата има решение.

Детерминантата се изчислява лесно за матрица две по две, необходимо е само елементите да се умножат диагонално един с друг. За опцията "три по три" има формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можете да използвате формулата или можете да запомните, че трябва да вземете по един елемент от всеки ред и всяка колона, така че номерата на колоните и редовете на елементите да не се повтарят в продукта.

Решаване на примери на системи от линейни уравнения по матричния метод

Матричният метод за намиране на решение прави възможно намаляването на тромавите записи при решаване на системи с голям брой променливи и уравнения.

В примера a nm са коефициентите на уравненията, матрицата е вектор, x n са променливите, а b n са свободните членове.

Решаване на системи по метода на Гаус

Във висшата математика методът на Гаус се изучава заедно с метода на Крамер, а процесът на намиране на решение на системи се нарича метод на решаване на Гаус-Крамър. Тези методи се използват за намиране на променливите на системи с голям брой линейни уравнения.

Методът на Гаус е много подобен на решенията за заместване и алгебрично добавяне, но е по-систематичен. В училищния курс се използва решението на Гаус за системи от 3 и 4 уравнения. Целта на метода е да доведе системата до формата на обърнат трапец. Чрез алгебрични трансформации и замествания стойността на една променлива се намира в едно от уравненията на системата. Второто уравнение е израз с 2 неизвестни, а 3 и 4 - съответно с 3 и 4 променливи.

След привеждане на системата до описания вид, по-нататъшното решение се свежда до последователно заместване на известни променливи в уравненията на системата.

В училищните учебници за 7 клас пример за гаусово решение е описан, както следва:

Както може да се види от примера, на стъпка (3) са получени две уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решението на всяко от уравненията ще ви позволи да намерите една от променливите x n.

Теорема 5, която се споменава в текста, гласи, че ако едно от уравненията на системата се замени с еквивалентно, то получената система също ще бъде еквивалентна на оригиналната.

Методът на Гаус е труден за разбиране от учениците в средното училище, но е един от най-интересните начини за развитие на изобретателността на децата, които учат в програмата за напреднали в часовете по математика и физика.

За по-лесно записване на изчисленията е обичайно да се прави следното:

Коефициентите на уравнението и свободните членове се записват под формата на матрица, където всеки ред от матрицата съответства на едно от уравненията на системата. разделя лявата страна на уравнението от дясната страна. Римските цифри означават номерата на уравненията в системата.

Първо те записват матрицата, с която да работят, след това всички действия, извършени с един от редовете. Получената матрица се записва след знака "стрелка" и продължава да извършва необходимите алгебрични операции, докато се постигне резултатът.

В резултат на това трябва да се получи матрица, в която един от диагоналите е 1, а всички други коефициенти са равни на нула, т.е. матрицата се редуцира до една форма. Не трябва да забравяме да правим изчисления с числата от двете страни на уравнението.

Тази нотация е по-малко тромава и ви позволява да не се разсейвате от изброяване на множество неизвестни.

Безплатното прилагане на всеки метод на решение ще изисква внимание и известен опит. Не всички методи се прилагат. Някои начини за намиране на решения са по-предпочитани в определена област на човешката дейност, докато други съществуват с цел обучение.

Пример 1. Намерете общо решение и някакво конкретно решение на системата

Решениенаправете го с калкулатор. Изписваме разширената и основната матрици:

Пунктираната линия разделя основната матрица A. Записваме неизвестните системи отгоре, като имаме предвид възможната пермутация на членовете в уравненията на системата. Определяйки ранга на разширената матрица, ние едновременно намираме ранга на основната. В матрица B първата и втората колона са пропорционални. От двете пропорционални колони само една може да попадне в основния минор, така че нека преместим например първата колона отвъд прекъснатата линия с противоположния знак. За системата това означава прехвърляне на членове от x 1 към дясната страна на уравненията.

Привеждаме матрицата до триъгълна форма. Ще работим само с редове, тъй като умножаването на матричен ред с число, различно от нула и добавянето към друг ред за системата означава умножаване на уравнението по същото число и добавянето му към друго уравнение, което не променя решението на системата . Работа с първия ред: умножете първия ред на матрицата по (-3) и добавете към втория и третия ред на свой ред. След това умножаваме първия ред по (-2) и го добавяме към четвъртия.

Втората и третата линия са пропорционални, следователно една от тях, например втората, може да бъде зачеркната. Това е еквивалентно на изтриване на второто уравнение на системата, тъй като то е следствие от третото.

Сега работим с втория ред: умножете го по (-1) и го добавете към третия.

Прекъснатият минор има най-висок порядък (от всички възможни минори) и е различен от нула (равен е на произведението на елементите по главния диагонал) и този минор принадлежи както на основната матрица, така и на разширената, следователно rangA = рангB = 3 .
Незначителен е основен. Той включва коефициенти за неизвестни x 2, x 3, x 4, което означава, че неизвестните x 2, x 3, x 4 са зависими, а x 1, x 5 са свободни.
Трансформираме матрицата, оставяйки само основния минор отляво (което съответства на точка 4 от горния алгоритъм за решение).

Системата с коефициенти на тази матрица е еквивалентна на оригиналната система и има формата

Чрез метода на елиминиране на неизвестните намираме:
x 4 =3-4x 5, x 3 =3-4x 5 -2x 4 =3-4x 5 -6+8x 5 =-3+4x 5
x 2 =x 3 +2x 4 -2+2x 1 +3x 5 = -3+4x 5 +6-8x 5 -2+2x 1 +3x 5 = 1+2x 1 -x 5
Получихме отношения, изразяващи зависими променливи x 2, x 3, x 4 през свободни x 1 и x 5, тоест намерихме общо решение:

Давайки произволни стойности на свободните неизвестни, получаваме произволен брой конкретни решения. Нека намерим две конкретни решения:
1) нека x 1 = x 5 = 0, тогава x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) поставете x 1 = 1, x 5 = -1, след това x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Така намерихме две решения: (0.1, -3,3,0) - едно решение, (1.4, -7.7, -1) - друго решение.

Пример 2. Проучете съвместимостта, намерете общо и едно конкретно решение на системата

Решение. Нека пренаредим първото и второто уравнения, за да имаме единица в първото уравнение и да напишем матрицата B.

Получаваме нули в четвъртата колона, опериращи на първия ред:

Сега вземете нулите в третата колона, като използвате втория ред:

Третият и четвъртият ред са пропорционални, така че един от тях може да бъде зачеркнат, без да се променя ранга:
Умножете третия ред по (-2) и добавете към четвъртия:

Виждаме, че ранговете на основната и разширената матрици са 4, а рангът съвпада с броя на неизвестните, следователно системата има уникално решение:
-x 1 \u003d -3 → x 1 \u003d 3; x 2 \u003d 3-x 1 → x 2 \u003d 0; x 3 \u003d 1-2x 1 → x 3 \u003d 5.
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.

Пример 3. Проверете системата за съвместимост и намерете решение, ако съществува.

Решение. Съставяме разширената матрица на системата.

Пренаредете първите две уравнения така, че да има 1 в горния ляв ъгъл:
Умножавайки първия ред по (-1), добавяме го към третия:

Умножете втория ред по (-2) и добавете към третия:

Системата е непоследователна, тъй като основната матрица получи ред, състоящ се от нули, който се зачертава, когато се намери рангът, и последният ред остава в разширената матрица, т.е. r B > r A .

Упражнение. Проучете тази система от уравнения за съвместимост и я решете с помощта на матрично смятане.
Решение

Пример. Докажете съвместимостта на система от линейни уравнения и я решете по два начина: 1) по метода на Гаус; 2) Метод на Крамер. (въведете отговора във формата: x1,x2,x3)
Решение :doc :doc :xls
Отговор: 2,-1,3.

Пример. Дадена е система от линейни уравнения. Докажете неговата съвместимост. Намерете общо решение на системата и едно конкретно решение.
Решение
Отговор: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Упражнение. Намерете общи и конкретни решения за всяка система.
Решение.Ние изучаваме тази система с помощта на теоремата на Кронекер-Капели.
Изписваме разширената и основната матрици:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
х 1	x2	х 3	x4	x5

Тук матрица A е с удебелен шрифт.
Привеждаме матрицата до триъгълна форма. Ще работим само с редове, тъй като умножаването на матричен ред с число, различно от нула и добавянето към друг ред за системата означава умножаване на уравнението по същото число и добавянето му към друго уравнение, което не променя решението на системата .
Умножете първия ред по (3). Умножете втория ред по (-1). Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Умножете втория ред по (2). Умножете 3-тия ред по (-3). Нека добавим третия ред към втория:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Умножете втория ред по (-1). Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Избраният минор има най-висок ред (сред възможните минори) и е различен от нула (равен е на произведението на елементите по реципрочния диагонал), и този минор принадлежи както към основната матрица, така и към разширената, следователно rang( A) = rang(B) = 3 Тъй като рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената, тогава системата е колаборативна.
Този минор е основен. Той включва коефициенти за неизвестни x 1, x 2, x 3, което означава, че неизвестните x 1, x 2, x 3 са зависими (основни), а x 4, x 5 са свободни.
Трансформираме матрицата, оставяйки само основния минор отляво.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
х 1	x2	х 3		x4	x5

Системата с коефициентите на тази матрица е еквивалентна на оригиналната система и има формата:
27x3=
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Чрез метода на елиминиране на неизвестните намираме:
Получихме релации, изразяващи зависими променливи x 1, x 2, x 3 през свободни x 4, x 5, тоест намерихме общо решение:
х 3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
несигурен, защото има повече от едно решение.

Упражнение. Решете системата от уравнения.
Отговор:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Давайки произволни стойности на свободните неизвестни, получаваме произволен брой конкретни решения. Системата е несигурен