тази статияпосветен на вземането на решения различни уравненияи неравенства, съдържащи
променлива под знака на модула.

Ако на изпита срещнете уравнение или неравенство с модул, можете да го решите,
изобщо не знаейки специални методии използвайки само дефиницията на модула. Истина,
може да отнеме час и половина ценно време за изпит.

Затова искаме да ви разкажем за техники, които опростяват решаването на такива проблеми.

Преди всичко нека си припомним това

Обмисли различни видове уравнения с модул. (Повече за неравенствата по-късно.)

Ляв модул, десен номер

Това е най-простият случай. Нека решим уравнението | х 2 − 5х + 4| = 4.

Има само две числа, чийто модул е ​​четири. Това са 4 и -4. Следователно уравнението
е еквивалентен на комбинация от две прости:

х 2 − 5х+ 4 = 4 или х 2 − 5х + 4 = −4.

Второто уравнение няма решения. Първи решения: х= 0 и х = 5.

Отговор: 0; пет.

Променлива както под модула, така и извън модула

Тук трябва да разширите модула по дефиниция. . . или си представете!

1. |2 − х| = 5 − 4х

Уравнението се разделя на два случая в зависимост от знака на израза под модула.
С други думи, това е еквивалентно на комбинацията от две системи:

Решение на първата система: х= 1. Втората система няма решения.
Отговор: 1.

2 . х 2 + 4|х − 3| − 7х + 11 = 0.

Първи случай: х≥ 3. Отстранете модула:

Номер х 2 , като е отрицателен, не отговаря на условието х≥ 3 и следователно не е корен на първоначалното уравнение.

Нека разберем дали числото отговаря на това условие хедин . За да направим това, правим разликата и определяме нейния знак:

означава, х 1 е по-голямо от три и следователно е коренът на първоначалното уравнение

Втори случай: х < 3. Снимаем модуль:

Номер х 3 е по-голямо от и следователно не отговаря на условието х < 3. Проверим х 4:

означава, х 4 е коренът на първоначалното уравнение.

3. |2х 2 − 3х − 4| = 6х − 1.

Премахване на модула по дефиниция? Страшно е дори да си го помислим, защото дискриминантът не е точен квадрат. Нека използваме по-добре следното съображение: уравнение от формата |A| = B е еквивалентно на комбинация от две системи:

Същото, но малко по-различно:

С други думи, решаваме две уравнения, A = B и A = −B, и след това избираме корените, които отговарят на условието B ≥ 0.

Да започваме. Първо решаваме първото уравнение:

След това решаваме второто уравнение:

Сега във всеки случай проверяваме знака на дясната страна:

Следователно те са подходящи само х 1 и х 3 .

Квадратни уравнения със замяна | х| = T

Нека решим уравнението: х 2 + 2|х| − 3 = 0.

Тъй като х 2 = |х| 2, удобно е да направите замяна | х| = T. Получаваме:

Отговор: ±1.

Модул е ​​равен на модул

Говорим за уравнения от вида |A| = |B|. Това е подарък от съдбата. Без модулни разширения по дефиниция! Просто е:

Например, разгледайте уравнението: |3 х 2 + 5х − 9| = |6х+ 15|. Той е еквивалентен на следния набор:

Остава да се реши всяко от уравненията на населението и да се запише отговорът.

Два или повече модула

Нека решим уравнението: | х − 1| − 2|х − 2| + 3|х − 3| = 4.

Няма да се занимаваме с всеки модул поотделно и да го отваряме по дефиниция - ще има твърде много опции. Има по-рационален начин - методът на интервалите.

Изразите под модули изчезват в точки х = 1, х= 2 и х= 3. Тези точки разделят числовата права на четири интервала (интервали). Отбелязваме тези точки на числовата ос и поставяме знаците за всеки от изразите под модулите върху получените интервали. (Редът на знаците е същият като реда на съответните модули в уравнението.)

По този начин трябва да разгледаме четири случая - когато хе във всеки от интервалите.

Случай 1: х≥ 3. Всички модули се премахват "с плюс":

Получена стойност х= 5 удовлетворява условието х≥ 3 и следователно е коренът на първоначалното уравнение.

Случай 2: 2 ≤ х≤ 3. Последният модул вече е премахнат "с минус":

Получена стойност хсъщо е валиден - принадлежи към разглеждания интервал.

Случай 3: 1 ≤ х≤ 2. Вторият и третият модул се премахват "с минус":

Получихме правилното числово равенство за всяко хот разглеждания интервал служат за решения дадено уравнение.

Случай 4: x≤ 1 ≤ 1. Вторият и третият модул се премахват "с минус":

Нищо ново. Това вече го знаем х= 1 е решението.

Отговор: ∪ (5).

Модул в модула

Нека решим уравнението: ||3 − х| − 2х + 1| = 4х − 10.

Започваме с разширяване на вътрешния модул.

1) х≤ 3. Получаваме:

Изразът под модула изчезва при . Тази точка принадлежи към разглежданите
интервал. Следователно трябва да разгледаме два подслучая.

1.1) В този случай получаваме:

Тази стойност хне е подходящ, тъй като не принадлежи към разглеждания интервал.

1.2). Тогава:

Тази стойност хсъщо не е добре.

И така, при х≤ 3 няма решения. Да преминем към втория случай.

2) х≥ 3. Имаме:

Тук имаме късмет: изразът х+ 2 е положителен в разглеждания интервал! Следователно вече няма да има подслучаи: модулът се премахва „с плюс“:

Тази стойност хе в разглеждания интервал и следователно е коренът на първоначалното уравнение.

Така се решават всички проблеми. от този тип- отворете последователно вложените модули, като започнете от вътрешния.

Модулни неравенства

Тук няма принципно нови идеи. от всички необходими знаниявече притежавате. Затова ще анализираме само два проблема. Останалото е в час и домашни.

1. 2|х − 4| + |3х + 5| ≥ 16.

1) х≥ 4. Имаме:

Полученото неравенство е изпълнено за всички разгледани х≥ 4. С други думи, всички числа от интервала .

3). Ние имаме:

Тъй като − , тогава всички стойности хот получения интервал служат за решения на първоначалното неравенство.

Остава да обединим наборите от решения, получени в трите разгледани случая.

2. |х 2 − 2х − 3| < 3х − 3.

Това е задача № 6 от теоретичната част на урок 8 от книгата на В. В. Ткачук „Математика за абитуриент“. Авторът го решава по интервалния метод. Не забравяйте да разглобите решението на автора!

Имайте предвид, че интервалният метод тук е много безболезнен поради причината, че корените на квадратния трином под модула са цели числа. Ами ако дискриминантът не е перфектен квадрат? Заменете, например, под модул -3 с -5. Тогава обемът на изчислителната работа ще се увеличи значително.

Ще ви покажем друг начин за решаване на този проблем, независим от капризите на дискриминанта.

Нашето неравенство има формата |A|< B. Очевидны следующие утверждения.

Ако B ≤ 0, то неравенството няма решения.

Ако B > 0, тогава неравенството е еквивалентно на двойното неравенство −B< A < B или, что то же самое, системе

С други думи, вземаме пресечната точка на множеството от решения на дадената система с множеството от решения на неравенството B > 0, тоест решаваме системата

В нашата задача получаваме:

Нека изобразим множествата от решения на тези неравенства на фигурата. Решенията на първото (двойно) неравенство са показани в черно; зелен цвят- решения на населението; Син цвят- решения на последното неравенство на системата.

Решението на системата е пресечната точка на тези множества, т.е. множеството, над което има линии от трите цвята. Засенчва се.

Това математически калкулаторонлайн да ви помогне решаване на уравнение или неравенство с модули. Програма за решаване на уравнения и неравенства с модулине само дава отговор на проблема, той води подробно решение с обяснения, т.е. показва процеса на получаване на резултата.

Тази програма може да бъде полезна за ученици в гимназията в подготовка за контролна работаи изпити, при проверка на знанията преди изпит, родителите да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да закупите нови учебници? Или просто искате да го направите възможно най-скоро? домашна работаматематика или алгебра? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробно решение.

По този начин можете да провеждате свое собствено обучение и/или да обучавате вашето по-малки братяили сестри, докато нивото на образование в областта на решаваните задачи се повишава.

|x| или abs(x) - модул x

Въведете уравнение или неравенство с модули

Решете уравнение или неравенство

Беше установено, че някои скриптове, необходими за решаването на тази задача, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

Имате деактивиран JavaScript в браузъра си.
JavaScript трябва да е активиран, за да се появи решението.
Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.

защото Има много хора, които искат да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля Изчакай сек...

Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачавие решавате какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Уравнения и неравенства с модули

В основния училищен курс по алгебра можете да срещнете най-простите уравнения и неравенства с модули. За да ги решите, можете да приложите геометричен метод, основан на факта, че \(|x-a| \) е разстоянието на числовата ос между точките x и a: \(|x-a| = \rho (x;\; a ) \). Например, за да решите уравнението \(|x-3|=2 \), трябва да намерите точки на числовата ос, които са на разстояние 2 от точка 3. Има две такива точки: \(x_1=1 \) и \(x_2=5 \) .

Решаване на неравенството \(|2x+7|

Но основният начин за решаване на уравнения и неравенства с модули е свързан с така нареченото „разширяване на модула по дефиниция“:
ако \(a \geq 0 \), тогава \(|a|=a \);
if \(a По правило уравнение (неравенство) с модули се свежда до набор от уравнения (неравенства), които не съдържат знака на модула.

В допълнение към горното определение се използват следните твърдения:
1) Ако \(c > 0 \), тогава уравнението \(|f(x)|=c \) е еквивалентно на набора от уравнения: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(масив)\right.\)
2) Ако \(c > 0 \), тогава неравенството \(|f(x)| 3) Ако \(c \geq 0 \), тогава неравенството \(|f(x)| > c \) е еквивалентно на набор от неравенства: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Ако и двете части на неравенството \(f(x) ПРИМЕР 1. Решете уравнението \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \).

Ако \(x-1 \geq 0 \), тогава \(|x-1| = x-1 \) и дадено уравнениеприема формата
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Дясна стрелка x^2 +2x -8 = 0 \).
Ако \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Стрелка надясно x^2 -2x -4 = 0 \).
Следователно даденото уравнение трябва да се разглежда поотделно във всеки от двата посочени случая.
1) Нека \(x-1 \geq 0 \), т.е. \(x \geq 1 \). От уравнението \(x^2 +2x -8 = 0 \) намираме \(x_1=2, \; x_2=-4\). Условието \(x \geq 1 \) се изпълнява само от стойността \(x_1=2\).
2) Нека \(x-1 Отговор: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

ПРИМЕР 2. Решете уравнението \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) \).

Първи начин(разширяване на модула по дефиниция).
Като се аргументираме както в пример 1, заключаваме, че даденото уравнение трябва да се разглежда отделно при две условия: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) или \(x^2-6x+7

1) Ако \(x^2-6x+7 \geq 0 \), тогава \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) и даденото уравнение става \(x^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Дясна стрелка 3x^2-23x+30=0 \). Решаването му квадратно уравнение, получаваме: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Нека да разберем дали стойността \(x_1=6 \) удовлетворява условието \(x^2-6x+7 \geq 0 \). За това заместваме определена стойноств квадратно неравенство. Получаваме: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), т.е. \(7 \geq 0 \) е правилното неравенство. Следователно \(x_1=6 \) е коренът на даденото уравнение.
Нека разберем дали стойността \(x_2=\frac(5)(3) \) удовлетворява условието \(x^2-6x+7 \geq 0 \). За да направите това, заместваме посочената стойност в квадратното неравенство. Получаваме: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), т.е. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) е невалидно неравенство. Така че \(x_2=\frac(5)(3) \) не е корен на даденото уравнение.

2) Ако \(x^2-6x+7 Стойността \(x_3=3\) удовлетворява условието \(x^2-6x+7 Стойността \(x_4=\frac(4)(3) \) прави не отговарят на условието \ (x^2-6x+7 И така, даденото уравнение има два корена: \(x=6, \; x=3 \).

Вторият начин.Дадено е уравнение \(|f(x)| = h(x) \), тогава за \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(масив)\right. \)
И двете уравнения са решени по-горе (с първия метод за решаване на даденото уравнение), техните корени са както следва: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4) )(3) \). Условие \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) от тези четири стойностиудовлетворяват само две: 6 и 3. Следователно даденото уравнение има два корена: \(x=6, \; x=3 \).

Трети начин(графика).
1) Нека начертаем функцията \(y = |x^2-6x+7| \). Първо конструираме парабола \(y = x^2-6x+7\). Имаме \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Графиката на функцията \(y = (x-3)^2-2 \) може да се получи от графиката на функцията \(y = x^2 \), като я преместите с 3 мащабни единици надясно (на оста x) и 2 мащабни единици надолу (по оста y). Правата x=3 е оста на параболата, която ни интересува. Като контролни точки за по-точно начертаване е удобно да се вземе точката (3; -2) - върха на параболата, точката (0; 7) и точката (6; 7), симетрична спрямо нея спрямо оста на параболата.
За да построите сега графиката на функцията \(y = |x^2-6x+7| \), трябва да оставите непроменени онези части от построената парабола, които не лежат под оста x, и да отразявате частта от парабола, която лежи под оста x спрямо оста x.
2) Нека начертаем линейната функция \(y = \frac(5x-9)(3) \). Удобно е да се вземат точки (0; –3) и (3; 2) като контролни точки.

Важно е точката x \u003d 1,8 на пресечната точка на правата с абсцисната ос да се намира вдясно от лявата пресечна точка на параболата с абсцисната ос - това е точката \(x=3-\ sqrt(2) \) (тъй като \(3-\sqrt(2 ) 3) Съдейки по чертежа, графиките се пресичат в две точки - A (3; 2) и B (6; 7). Замествайки абсцисите на тези точки x \u003d 3 и x \u003d 6 в даденото уравнение, ние се уверяваме, че и двете други стойности дават правилното числово равенство. И така, нашата хипотеза беше потвърдена - уравнението има два корена: x \u003d 3 и x \u003d 6 Отговор: 3; 6.

Коментирайте. Графичен начинвъпреки цялата си елегантност, той не е много надежден. В разглеждания пример това работи само защото корените на уравнението са цели числа.

ПРИМЕР 3. Решете уравнението \(|2x-4|+|x+3| = 8 \)

Първи начин
Изразът 2x–4 става 0 в точката x = 2, а изразът x + 3 в точката x = –3. Тези две точки разделят числовата линия на три интервала: \(x

Помислете за първия интервал: \((-\infty; \; -3) \).
Ако x Разгледайте втория интервал: \([-3; \; 2) \).
Ако \(-3 \leq x Разгледайте третия интервал: \(

С прости думи, модулът е „число без минус“. И именно в тази двойственост (някъде не е нужно да правите нищо с оригиналния номер, но някъде трябва да премахнете някакъв минус там) и цялата трудност за начинаещите ученици се крие.

Има ли още геометрична дефиниция. Също така е полезно да го знаете, но ще се позоваваме на него само в сложни и някои специални случаи, където геометричният подход е по-удобен от алгебричния (спойлер: не днес).

Определение. Нека точката $a$ е отбелязана на реалната права. След това модулът $\left| x-a \right|$ е разстоянието от точката $x$ до точката $a$ на тази права.

Ако нарисувате картина, ще получите нещо подобно:

Графична дефинициямодул

По един или друг начин, от определението на модула непосредствено следва неговото ключово свойство: модулът на числото винаги е неотрицателна стойност. Този факт ще бъде червена нишка през цялата ни история днес.

Решение на неравенства. Метод на разстоянието

Сега нека се заемем с неравенствата. Има много от тях, но нашата задача сега е да можем да решим поне най-простия от тях. Тези, които се свеждат до линейни неравенства, както и до метода на интервалите.

По тази тема имам две голям урок(между другото, много, МНОГО полезно - препоръчвам за изучаване):

1. Интервалният метод за неравенства (особено гледайте видеото);
2. Дробно-рационални неравенства е много обемен урок, но след него изобщо няма да ви останат въпроси.

Ако знаете всичко това, ако фразата „да преминем от неравенство към уравнение“ не ви кара смътно да искате да се убиете в стената, значи сте готови: добре дошли в ада в основната тема на урока. :)

1. Неравенства от формата "Модул по-малък от функция"

Това е една от най-често срещаните задачи с модули. Необходимо е да се реши неравенство от вида:

\[\ляво| f\надясно| \ltg\]

Всичко може да действа като функции $f$ и $g$, но обикновено те са полиноми. Примери за такива неравенства:

\[\begin(align) & \left| 2x+3\надясно| \ltx+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\край (подравняване)\]

Всички те се решават буквално в един ред според схемата:

\[\ляво| f\надясно| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \право.\право)\]

Лесно се вижда, че се отърваваме от модула, но вместо това получаваме двойно неравенство (или, което е същото, система от две неравенства). Но този преход отчита абсолютно всичко възможни проблеми: ако числото под модула е положително, методът работи; ако е отрицателен, той все още работи; и дори с най-неадекватната функция на мястото на $f$ или $g$, методът пак ще работи.

Естествено възниква въпросът: не е ли по-лесно? За съжаление не можете. Това е целият смисъл на модула.

Но стига с философстването. Нека разрешим няколко проблема:

Задача. Решете неравенството:

\[\ляво| 2x+3\надясно| \ltx+7\]

Решение. И така, имаме класическо неравенство от формата „модулът е по-малък от“ - дори няма какво да се трансформира. Ние работим по алгоритъма:

\[\begin(align) & \left| f\надясно| \lt g\Стрелка надясно -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\надясно| \lt x+7\Стрелка надясно -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Не бързайте да отваряте скобите, предшествани от „минус“: напълно възможно е поради бързината да направите обидна грешка.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Задачата е сведена до две елементарни неравенства. Отбелязваме техните решения на успоредни реални прави:

Пресечна точка на много

Пресечната точка на тези множества ще бъде отговорът.

Отговор: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Задача. Решете неравенството:

\[\ляво| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Решение. Тази задача е малко по-трудна. Като начало изолираме модула, като преместим втория член вдясно:

\[\ляво| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\наляво(x+1 \надясно)\]

Очевидно отново имаме неравенство от формата „модулът е по-малък“, така че се отърваваме от модула според вече известния алгоритъм:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Сега внимание: някой ще каже, че съм малко перверзник с всички тези скоби. Но още веднъж напомням, че основната ни цел е решете правилно неравенството и получете отговора. По-късно, когато сте усвоили перфектно всичко, което е описано в този урок, можете да се изопачавате както искате: отваряйте скоби, добавяйте минуси и т.н.

И като за начало, просто се отърваваме от двойното минус отляво:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\ляво(x+1\дясно)\]

Сега нека отворим всички скоби в двойното неравенство:

Да преминем към двойното неравенство. Този път изчисленията ще бъдат по-сериозни:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( подравняване)\надясно.\]

И двете неравенства са квадратни и се решават по интервалния метод (затова казвам: ако не знаете какво е, по-добре още не се захващайте с модули). Преминаваме към уравнението в първото неравенство:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\край (подравняване)\]

Както можете да видите, резултатът се оказа непълно квадратно уравнение, което се решава елементарно. Сега да разгледаме второто неравенство на системата. Там трябва да приложите теоремата на Виета:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\край (подравняване)\]

Отбелязваме получените числа на две успоредни линии (отделно за първото неравенство и отделно за второто):

Отново, тъй като решаваме система от неравенства, ние се интересуваме от пресечната точка на защрихованите множества: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Това е отговорът.

Отговор: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Мисля, че след тези примери схемата за решение е много ясна:

1. Изолирайте модула, като преместите всички други членове в противоположната страна на неравенството. Така получаваме неравенство от вида $\left| f\надясно| \ltg$.
2. Решете това неравенство, като се отървете от модула, както е описано по-горе. В един момент ще е необходимо да се премине от двойно неравенство към система от два независими израза, всеки от които вече може да бъде решен отделно.
3. Накрая остава само да пресечем решенията на тези два независими израза - и това е, ще получим окончателния отговор.

Подобен алгоритъм съществува за неравенства от следния тип, когато модулът е по-голям от функцията. Има обаче няколко сериозни "но". За тези „но“ ще говорим сега.

2. Неравенства от формата "Модулът е по-голям от функцията"

Те изглеждат така:

\[\ляво| f\надясно| \gt g\]

Подобен на предишния? Изглежда. Въпреки това, такива задачи се решават по съвсем различен начин. Формално схемата е следната:

\[\ляво| f\надясно| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

С други думи, разглеждаме два случая:

1. Първо, просто игнорираме модула - решаваме обичайното неравенство;
2. Тогава всъщност отваряме модула със знака минус и след това умножаваме двете части на неравенството по −1 със знак.

Опциите се обединяват квадратна скоба, т.е. Имаме комбинация от две изисквания.

Обърнете внимание отново: пред нас не е система, а агрегат, следователно в отговора множествата се комбинират, а не се пресичат. Това е фундаментална разлика от предишния параграф!

Като цяло, много студенти имат много объркване със съюзите и пресичанията, така че нека разгледаме този въпрос веднъж завинаги:

• "∪" е знак за конкатенация. Всъщност това е стилизирана буква "U", която дойде при нас от на английскии е съкращение от "Съюз", т.е. „Асоциации“.
• „∩“ е знакът за пресичане. Тези глупости не са дошли от никъде, а просто се появяват като опозиция на "∪".

За да го направите още по-лесно за запомняне, просто добавете крака към тези знаци, за да направите очила (само не ме обвинявайте сега, че насърчавам наркоманиите и алкохолизма: ако сериозно изучавате този урок, значи вече сте наркоман):

Разлика между пресичане и обединение на множества

Преведено на руски това означава следното: съюзът (колекцията) включва елементи от двете групи, следователно, не по-малко от всеки от тях; но пресечната точка (системата) включва само тези елементи, които са както в първото множество, така и във второто. Следователно пресечната точка на наборите никога не е по-голяма от наборите източник.

Значи стана по-ясно? Това е страхотно. Да преминем към практиката.

Задача. Решете неравенството:

\[\ляво| 3x+1 \надясно| \gt 5-4x\]

Решение. Ние действаме по схемата:

\[\ляво| 3x+1 \надясно| \gt 5-4x\дясна стрелка \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ точно.\]

Решаваме всяко неравенство на населението:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Маркираме всеки получен набор на числовата линия и след това ги комбинираме:

Обединение на комплекти

Очевидно отговорът е $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Отговор: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Задача. Решете неравенството:

\[\ляво| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

Решение. Добре? Не, всичко е едно и също. Преминаваме от неравенство с модул към набор от две неравенства:

\[\ляво| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Решаваме всяко неравенство. За съжаление, корените няма да са много добри там:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\край (подравняване)\]

Във второто неравенство също има малко игра:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\край (подравняване)\]

Сега трябва да отбележим тези числа на две оси - по една ос за всяко неравенство. Трябва обаче да маркирате точките в правилния ред: повече брой, колкото повече изместваме точката надясно.

И тук чакаме настройка. Ако всичко е ясно с числата $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (членовете в числителя на първия част са по-малки от членовете в числителя на втория, така че сумата също е по-малка), с числата $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ също няма да има трудности (положително число очевидно е по-отрицателно), но с последната двойка всичко не е толкова просто. Кое е по-голямо: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ или $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? От отговора на този въпрос ще зависи разположението на точките на числовите прави и всъщност отговорът.

Така че нека сравним:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Изолирахме корена, получихме неотрицателни числа от двете страни на неравенството, така че имаме право да поставим на квадрат и двете страни:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Мисля, че е безсмислено, че $4\sqrt(13) \gt 3$, така че $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, накрая точките на осите ще бъдат подредени по следния начин:

Случай на грозни корени

Нека ви напомня, че решаваме множество, така че отговорът ще бъде обединението, а не пресечната точка на защрихованите множества.

Отговор: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

Както можете да видите, нашата схема работи чудесно и за двете прости задачи, и за много твърди. Единственото нещо " слабост» при този подход - трябва правилно да сравните ir рационални числа(и повярвайте ми: не са само корените). Но отделен (и много сериозен урок) ще бъде посветен на въпросите на сравнението. И продължаваме напред.

3. Неравенства с неотрицателни "опашки"

Така стигнахме до най-интересното. Това са неравенства от вида:

\[\ляво| f\надясно| \gt\наляво| g\надясно|\]

Най-общо казано, алгоритъмът, за който ще говорим сега, е верен само за модула. Работи във всички неравенства, където има гарантирани неотрицателни изрази отляво и отдясно:

Какво да правим с тези задачи? Просто запомни:

В неравенствата с неотрицателни опашки двете страни могат да бъдат повдигнати до всяка естествена степен. Нито един допълнителни ограничениятова няма да се случи.

На първо място, ще се интересуваме от квадратурата - тя изгаря модули и корени:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\край (подравняване)\]

Просто не бъркайте това с вземане на корен на квадрат:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Безброй грешки бяха направени, когато ученик забрави да инсталира модул! Но това е съвсем различна история (това са, така да се каже, ирационални уравнения), така че няма да навлизаме в нея сега. Нека по-добре да разрешим няколко проблема:

Задача. Решете неравенството:

\[\ляво| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Решение. Веднага забелязваме две неща:

1. Това е нестрого неравенство. Точките на числовата ос ще бъдат изчертани.
2. И двете страни на неравенството очевидно са неотрицателни (това е свойство на модула: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Следователно можем да повдигнем на квадрат двете страни на неравенството, за да се отървем от модула и да решим проблема, използвайки обичайния метод на интервала:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\край (подравняване)\]

На последната стъпка изневерих малко: промених последователността от членове, използвайки четността на модула (всъщност умножих израза $1-2x$ по −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ дясно)\дясно)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Решаваме по интервалния метод. Нека преминем от неравенство към уравнение:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\край (подравняване)\]

Отбелязваме намерените корени на числовата ос. Още веднъж: всички точки са защриховани, защото първоначалното неравенство не е строго!

Отървете се от знака на модула

Нека ви напомня за особено упоритите: вземаме знаците от последното неравенство, което беше написано преди да преминем към уравнението. И рисуваме върху площите, изисквани в същото неравенство. В нашия случай това е $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Това е. Проблема решен.

Отговор: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Задача. Решете неравенството:

\[\ляво| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Решение. Правим всичко по същия начин. Няма да коментирам - просто вижте последователността на действията.

Нека го повдигнем на квадрат:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \десен))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ надясно))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Метод на разстояние:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Стрелка надясно x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Стрелка надясно D=16-40 \lt 0\Стрелка надясно \varnothing . \\\край (подравняване)\]

На числовата ос има само един корен:

Отговорът е цяла гама

Отговор: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Малка забележка за последната задача. Както един от моите ученици точно отбеляза, и двата подмодулни израза в това неравенство са очевидно положителни, така че знакът за модул може да бъде пропуснат без вреда за здравето.

Но това вече е съвсем друго ниво на мислене и друг подход – условно може да се нарече метод на следствията. За него - в отделен урок. А сега нека да преминем към последната част на днешния урок и да разгледаме един универсален алгоритъм, който винаги работи. Дори когато всички предишни подходи бяха безсилни. :)

4. Метод на изброяване на опциите

Ами ако всички тези трикове не работят? Ако неравенството не се свежда до неотрицателни опашки, ако е невъзможно да се изолира модулът, ако изобщо болка-тъга-копнеж?

Тогава на сцената излиза "тежката артилерия" на цялата математика - методът на изброяването. По отношение на неравенствата с модула изглежда така:

1. Изпишете всички подмодулни изрази и ги приравнете към нула;
2. Решете получените уравнения и отбележете намерените корени на една числова ос;
3. Правата линия ще бъде разделена на няколко секции, в рамките на които всеки модул има фиксиран знак и следователно недвусмислено се разширява;
4. Решете неравенството на всеки такъв участък (можете отделно да разгледате граничните корени, получени в параграф 2 - за надеждност). Комбинирайте резултатите - това ще бъде отговорът. :)

Е, как? слаб? лесно! Само за дълго време. Да видим на практика:

Задача. Решете неравенството:

\[\ляво| x+2 \надясно| \lt\наляво| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Решение. Тези глупости не се свеждат до неравенства като $\left| f\надясно| \lt g$, $\left| f\надясно| \gt g$ или $\left| f\надясно| \lt\наляво| g \right|$, така че да продължим.

Изписваме подмодулни изрази, приравняваме ги към нула и намираме корените:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Стрелка надясно x=1. \\\край (подравняване)\]

Общо имаме два корена, които разделят числовата линия на три секции, вътре в които всеки модул се разкрива уникално:

Разделяне на числовата ос с нули на субмодулни функции

Нека разгледаме всеки раздел поотделно.

1. Нека $x \lt -2$. Тогава и двата израза на подмодула са отрицателни и оригиналното неравенство се пренаписва, както следва:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Имаме доста просто ограничение. Нека го пресечем с първоначалното предположение, че $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Очевидно променливата $x$ не може едновременно да бъде по-малка от −2, но по-голяма от 1,5. В тази област няма решения.

1.1. Нека отделно разгледаме граничния случай: $x=-2$. Нека просто заместим това число в първоначалното неравенство и да проверим: важи ли?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \right|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Стрелка надясно \varnothing . \\\край (подравняване)\]

Очевидно веригата от изчисления ни е довела до грешното неравенство. Следователно първоначалното неравенство също е невярно и $x=-2$ не е включено в отговора.

2. Сега нека $-2 \lt x \lt 1$. Левият модул вече ще се отвори с "плюс", но десният все още е с "минус". Ние имаме:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\край (подравняване)\]

Отново се пресичаме с първоначалното изискване:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

И отново празното множество от решения, тъй като няма числа, които да са едновременно по-малки от −2,5 и по-големи от −2.

2.1. И отново специален случай: $x=1$. Заменяме в първоначалното неравенство:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\надясно| \lt\наляво| 0 \right|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Стрелка надясно \varnothing . \\\край (подравняване)\]

Подобно на предишния „специален случай“, числото $x=1$ очевидно не е включено в отговора.

3. Последната част от реда: $x \gt 1$. Тук всички модули са разширени със знак плюс:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

И отново пресичаме намереното множество с оригиналното ограничение:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \вдясно)\]

Най-накрая! Намерихме интервала, който ще бъде отговорът.

Отговор: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

И накрая, една бележка, която може да ви спаси от глупави грешки при решаването на реални проблеми:

Решенията на неравенства с модули обикновено са непрекъснати множества на числовата ос - интервали и отсечки. Много по-рядко изолирани точки. И още по-рядко се случва границите на решението (края на сегмента) да съвпадат с границата на разглеждания диапазон.

Следователно, ако границите (тези много „специални случаи“) не са включени в отговора, тогава областите отляво-вдясно на тези граници почти сигурно също няма да бъдат включени в отговора. И обратното: границата, въведена в отговор, което означава, че някои области около нея също ще бъдат отговори.

Имайте това предвид, когато проверявате вашите решения.

Уравнения и неравенства с модул.

Обяснителна бележка.

Този курс е посветен на систематичното представяне учебен материалсвързани с концепцията за модула на числото и аспектите на нейното приложение. То адресира различни методирешения на уравнения и неравенства с модул въз основа на неговата дефиниция, свойства и графична интерпретация.

Курсът е с практическа насоченост. Основното му съдържание е Цели на обучението. Някои от тях са дадени от цялостно решениеилюстриране на един или друг метод. Други са включени за самостоятелна работа. Изявление практикирешения са придружени от необходимите теоретична информация.

Курсът има за цел да развие по-широко разбиране на модула сред учениците. В допълнение, задачи единичен изпитв математиката те предполагат способността да се работи с модул. По този начин основната роля на курса е да подготви студентите за успешна доставкаИЗПОЛЗВАНЕ.

Учебен и тематичен план

Материал за класове

Урок 1. Определяне на модул на число и приложението му при решаване на уравнения.

Определение. Неотрицателен модул реално число хобадете се на този номер: | х | = х; модулът на отрицателно реално число x се нарича противоположно число: | x | = - х.

Накратко се пише така:

|x | =

Въведен е терминът "модул" (от лат. modulus - мярка). Английски математикР. Кортес (1682-1716) и немският математик К. Вайерщрас (1815-1897) през 1841 г. Използвайки горната дефиниция, можете да решавате уравнения и неравенства, съдържащи модул. Сега нека разгледаме няколко прости примери.

Пример 1. Решете уравнението |3-3x|= -1.

Решение. Според свойството на модула изразът | 3-3x | е неотрицателно, така че никога не може да бъде равно на (-1).

Отговор. Решения няма.

Пример 2. Решете уравнението | 3x -x 2 -2 | = 3x -x 2

Решение. Нека не решаваме това уравнение. традиционни начини, но имайте предвид, че има следващ изглед:

|A| =А.

Отбележете, че по дефиницията на модула това равенство задължително е изпълнено за A>0 и за A<0 оно не может быть верным. Поэтому исходное уравнение равносильно квадратному неравенству 3х – х 2 - 2 >0, което вече знаем как да решим.

Отговор. .

Пример 3. Решете уравнението | x + 2 | = | 2x - 1 |.

Решение. Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението. Това може да се направи, тъй като и двете страни на първоначалното уравнение са неотрицателни. Вземете

| x + 2 | 2 = | 2x-1 | 2.

Очевидно в това уравнение можете да премахнете модулите и да напишете еквивалентно квадратно уравнение

(x + 2) 2 \u003d (2x - 1) 2,

Преобразувайки което, получаваме

x 2 + 4x + 4 \u003d 4x 2 - 4x + 1, 3x 2 - 8x - 3 \u003d 0.

Отговор. (-1/3,3).

Сега да преминем към по-традиционните задачи.

Основна рецепцияпри решаване на уравнения и неравенства, съдържащи израза |f (x )|, се състои в разширяване на модула по дефиниция, а именно цялата област позволени стойности M е разделено на две подмножества M 1 и M 2, така че

f (x )>0 за всички x M 1 , тогава |f (x )| = f(x)

f(x)<0 для всех х ∊ М 2 ,тогда |f (x )| = - f (x )

Пример 4. Решете уравнението | 2x-3 | = 3x - 7.

Решение. Разгледайте случаите: 1. 2x - 3 > 0, 2x - 3 = 3x - 7, x = 4

2. 2x - 3<0, -2х + 3 = 3х- 7, х=2-не является корнем, т.к. при х=2 2х-3>0. Отговор: 4.

Този метод не е единственият. При решаване на уравнение от вида

| f(x) | =g(x)

Най-широко използвани са следните два метода.

Първият, стандартен, се основава на разкриването на модула, въз основа на неговата дефиниция и се състои в прехода към еквивалентен набор от системи

| f(x) | = g(x)

Вторият начин е да се премине от оригиналното уравнение към еквивалентна система

| f(x) | =g(x)

Първият метод трябва да се използва, когато сложен изразза функцията g (x) и не много сложна - за функцията f (x); второто, напротив, е по-добре да се използва, ако изразът за g (x) не е труден.

Пример 5. Решете уравнението |x | = x - √2x +1 + 1 (Използване на първия метод)

Пример 6. Решете уравнението 3|x 2 -2x -1| = 5x +1 (Използване на втория метод)

Неравенство на формата | f(x) |< g (x ) гораздо удобнее решать, перейдя двойному неравенству или к равносильной ему системе двух неравенств

| f(x) | g(x) -g(x) f(x) g(x)

По същия начин, неравенство на формата

| f(x) | g(x)

Решете уравнения

3|y 2 – 6y + 7| = 5y – 9 |x | - |x – 1| = 1 |x 2 – 1| = (x - 1)

x 2 + |x – 1| = 1 |x 2 + 2x – 3| \u003d x 2 + x - 20

Решете неравенства

|2x – 5|< 3 |x 2 – 2x – 3| < 3x - 3

x 2 – 6 > |x | |3 - |x - 2| |< 1

Урок 2. Методът на интервалите за решаване на уравнения и неравенства, съдържащи модула.

Решете уравнение | x-2| + |2x -3| = 5. Разширявайки последователно модулите, включени в разглежданото уравнение, ще трябва да разгледаме четири системи и съзнателно неподходящ случай. И ако в уравнението има три или повече модула, броят на системите ще се увеличи още повече. Следователно, за решаване на проблеми, които включват два или повече модула, е по-рационално да се използва методът на интервала.

За да се използва методът на интервалите при решаване на уравнения с модули, числовата ос трябва да бъде разделена на интервали по такъв начин, че на всеки от тях всички подмодулни изрази да запазят постоянни знаци и следователно на всеки интервал всички модули да бъдат разширени по определен начин .

Пример 1. Решете уравнението | 3x+4| + 2|x -3| = 16

Отбележете на реалната ос точките x = - 4/3 и x = 3, където изразите на подмодула се заличават. Нека определим знаците на подмодулните изрази върху трите образувани пропуска.

Случай 1. При x>3 и двата модула се разширяват със знак "+". Получаваме системата

x>3,

3x+4+2(x-3) = 16x=18/5 (18/5>3)

Случай 2. При -4/3

4/3

3x+4+2(-x+3) = 16.

Уравнението на тази система има корен x=6, който не удовлетворява неравенството на системата, следователно не е корен на даденото уравнение.

Случай 3. При х< -4/3 оба модуля раскрываются со знаком «-«, получаем

х< -4/3,

3x-4+(-x+3) = 16.

Тази система има уникално решение x = -14/5.

Отговор: (-14/5; 18/5).

Решението на неравенствата, съдържащи модула, в повечето случаи се конструира подобно на решението на съответните уравнения. Основната разлика е, че след освобождаването от модулите се изисква да се реши, разбира се, не уравнение, а неравенство.

Има още една разлика. Ако при решаването на уравнения е възможно широко да се използва проверката на получените решения, тогава в случай на неравенства може да бъде трудно да се отхвърлят външни решения чрез проверка. Това означава, че когато решават неравенства, те се опитват да използват основно еквивалентни преходи.

Пример 2. Решете неравенството |x – 4| + |x + 1|<7

Решение. На числовата ос е необходимо да се отбележат числата x=-1 и x=4, при които изразите под знаците на модулите се нулират. След това на трите получени интервала поставяме знаците на изразите

(x-4) и (x+1). __________________________

Получените набори от символи ни показват кои случаи да разгледаме. В резултат на разкриването на модулите в тези три случая получаваме три системи.

Решавайки тези системи и комбинирайки отговорите, получаваме

Отговор: (-2; 5).

Упражнения за самостоятелна работа

Решете уравненията:

| x – 1| + |x – 2| + |x – 3| = 4

|6 – 2x | + |3x + 7| - 2|4x + 11| = x – 3 | |3x – 1| - |2x + 1| | = 1

Решете неравенствата:

|x – 1| + |x + 2|< 3

|x – 1|< |2x – 3| - |x – 2| |x 2 – 3| + x 2 + x < 7.

Урок 4. Решаване на уравнения и неравенства с модули на координатната права.

При изследване на разстоянието между две точки A (x 1) и B (x 2) на координатната линия се извежда формула, според която AB \u003d | x 1 - x 2 |. С помощта на тази формула могат да се решават уравнения и неравенства от вида |x – a | = b , |x – a | = |x – b |, |x – a |

| x – a |>|x – b |, както и уравнения и неравенства, които се свеждат до тях.

Пример1. Решете уравнението |x – 3| = 1.

Решение. Превеждайки записа на това уравнение на "езика на разстоянията", получаваме изречението "разстоянието от точката с координата x до точката с координата 3 е равно на 1". Следователно решението на уравнението се свежда до намиране на точки, които са на разстояние 1 от точката с координата 3. Нека се обърнем към геометрична илюстрация.

_______________________________________________________

Корените на уравнението са числата 2 и 4.

Пример2. Решете уравнението | 2x+1 | = 3

Намаляване на това уравнение до формата | x - (-1/2) | = 3/2, използвайте формулата за разстояние.

Отговор: -2;1.

Пример 3. Решете уравнението |x + 2| = |x – 1|.

Решение. Нека запишем това уравнение във формата |x - (-2)| = |x – 1|. Въз основа на геометрични съображения е лесно да се разбере, че коренът на последното уравнение е координатата на точката, равноотдалечена от точките с координати 1 и -2.

Отговор: -0,5.

Пример 4. Решете неравенството |x – 1|<2.

Решение. Въз основа на геометрични представяния заключаваме, че решенията на това неравенство са координатите на точки, които са на по-малко от 2 от точката с координата 1.

Отговор: (-1;3)

Упражнения за самостоятелна работа

| x – 2| = 0,4 | 10-х |< 7 | x + 4 | = | x – 4 |

| x + 3 | = 0,7 | x + 1 | > 1 | х + 2,5| = | х-3,3|

| х-2,5|< 0,5 | x + 8 | >0,7 | x | > | x – 2 |

| x – 5 |< | x – 1 | .