Намерете математическото очакване на случайна променлива. Основни формули за математическо очакване

Очаквана стойности дисперсия – най-често използваните числови характеристики случайна величина. Те характеризират най-важните характеристики на разпределението: неговото положение и степен на дисперсия. В много проблеми на практиката пълно, изчерпателно описание на случайна променлива - законът за разпределение - или не може да бъде получено изобщо, или изобщо не е необходимо. В тези случаи те са ограничени до приблизително описание на произволна променлива с помощта числови характеристики.

Математическото очакване често се нарича просто средна стойност на случайна променлива. Дисперсията на случайна променлива е характеристика на дисперсията, дисперсията на случайна променлива около нейното математическо очакване.

Математическо очакване на дискретна случайна променлива

Нека подходим към понятието математическо очакване, като първо изхождаме от механичната интерпретация на разпределението на дискретна случайна променлива. Нека единичната маса е разпределена между точките на оста x х1 , х 2 , ..., хн, и всяка материална точка има съответстваща й маса от стр1 , стр 2 , ..., стрн. Необходимо е да изберете една точка на оста x, характеризираща позицията на цялата система материални точки, като се вземат предвид техните маси. Естествено е да приемем за такава точка центъра на масата на системата от материални точки. Това е среднопретеглената стойност на случайната променлива х, в която абсцисата на всяка точка хазвлиза с "тежест", равна на съответната вероятност. Средната стойност на така получената случайна променлива хсе нарича неговото математическо очакване.

Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всичките й възможни стойности и вероятностите на тези стойности:

Пример 1Беше организирана печеливша лотария. Има 1000 печалби, 400 от които са по 10 рубли всяка. 300 - 20 рубли всяка 200-100 рубли всеки. и 100 - 200 рубли всяка. Какво средният размерпечалби за човек, който закупи един билет?

Решение. Намираме средната печалба, ако обща сумапечалби, което е равно на 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50 000 рубли, разделено на 1000 (общата сума на печалбите). Тогава получаваме 50000/1000 = 50 рубли. Но изразът за изчисляване на средната печалба може да бъде представен и в следната форма:

От друга страна, при тези условия размерът на печалбата е случайна променлива, която може да приеме стойности от 10, 20, 100 и 200 рубли. с вероятности, равни съответно на 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Следователно очакваната средна печалба е равно на суматапроизведенията на размера на печалбите по вероятността да бъдат получени.

Пример 2Издателят реши да публикува нова книга. Той ще продаде книгата за 280 рубли, от които 200 ще бъдат дадени на него, 50 на книжарницата и 30 на автора. Таблицата дава информация за разходите за издаване на книга и вероятността за продажба на определен брой копия от книгата.

Намерете очакваната печалба на издателя.

Решение. Случайната величина "печалба" е равна на разликата между приходите от продажбата и себестойността на разходите. Например, ако се продадат 500 копия от книга, тогава приходите от продажбата са 200 * 500 = 100 000, а разходите за публикуване са 225 000 рубли. Така издателят е изправен пред загуба от 125 000 рубли. Следната таблица обобщава очакваните стойности на случайната променлива - печалба:

Номер	печалба хаз	Вероятност страз	хаз страз
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Обща сума:		1,00	25000

Така получаваме математическото очакване на печалбата на издателя:

Пример 3Шанс за попадение с един изстрел стр= 0,2. Определете консумацията на черупки, които осигуряват математическото очакване на броя на ударите, равен на 5.

Решение. От същата формула за очакване, която използвахме досега, изразяваме х- консумация на черупки:

Пример 4Определете математическото очакване на случайна променлива хброй попадения с три изстрела, ако вероятността за попадение с всеки изстрел стр = 0,4 .

Съвет: намерете вероятността от стойностите на случайна променлива по Формула на Бернули .

Свойства на очакванията

Разгледайте свойствата на математическото очакване.

Имот 1.Математическото очакване на постоянна стойност е равно на тази константа:

Имот 2.Постоянният фактор може да бъде изваден от знака за очакване:

Имот 3.Математическото очакване на сумата (разликата) на случайните променливи е равно на сумата (разликата) на техните математически очаквания:

Имот 4.Математическото очакване на произведението на случайните променливи е равно на произведението на техните математически очаквания:

Имот 5.Ако всички стойности на случайната променлива хнамаляване (увеличаване) със същото число ОТ, тогава неговото математическо очакване ще намалее (увеличи) със същото число:

Когато не можете да се ограничите само до математическо очакване

В повечето случаи само математическото очакване не може да характеризира адекватно една случайна променлива.

Нека случайни променливи хи Yсе дават от следните закони на разпределение:

Значение х	Вероятност
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Значение Y	Вероятност
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Математическите очаквания на тези величини са еднакви – равни на нула:

Разпределението им обаче е различно. Случайна стойност хможе да приема само стойности, които са малко по-различни от математическото очакване и случайната променлива Yможе да приема стойности, които се отклоняват значително от математическото очакване. Подобен пример: средната заплата не дава възможност да се прецени специфично тегловисоко и ниско платени работници. С други думи, по математическото очакване не може да се прецени какви отклонения от него, поне средно, са възможни. За да направите това, трябва да намерите дисперсията на случайна променлива.

Дисперсия на дискретна случайна променлива

дисперсиядискретна случайна променлива хсе нарича математическо очакване на квадрата на неговото отклонение от математическото очакване:

Стандартното отклонение на случайна променлива хНаречен аритметична стойносткорен квадратен от неговата дисперсия:

Пример 5Изчисляване на дисперсии и стандартни отклонения на случайни променливи хи Y, чиито закони на разпределение са дадени в таблиците по-горе.

Решение. Математически очаквания на случайни променливи хи Y, както е намерено по-горе, са равни на нула. Според дисперсионната формула за д(х)=д(г)=0 получаваме:

След това стандартните отклонения на случайни променливи хи Yпредставляват

По този начин, със същите математически очаквания, дисперсията на случайната променлива хмного малък и случаен Y- значителен. Това е следствие от разликата в разпределението им.

Пример 6Инвеститорът има 4 алтернативни инвестиционни проекта. Таблицата обобщава данните за очакваната печалба в тези проекти със съответната вероятност.

Проект 1	Проект 2	Проект 3	Проект 4
500, П=1	1000, П=0,5	500, П=0,5	500, П=0,5
	0, П=0,5	1000, П=0,25	10500, П=0,25
		0, П=0,25	9500, П=0,25

Намерете за всяка алтернатива математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение.

Решение. Нека покажем как се изчисляват тези количества за 3-тата алтернатива:

Таблицата обобщава намерените стойности за всички алтернативи.

Всички алтернативи имат едно и също математическо очакване. Това означава, че в дългосрочен план всички имат еднакъв доход. Стандартното отклонение може да се тълкува като мярка за риск – колкото по-голямо е то, толкова по-голям е рискът на инвестицията. Инвеститор, който не иска много риск, ще избере проект 1, защото има най-малкото стандартно отклонение (0). Ако инвеститорът предпочита риск и висока доходност за кратък период, тогава той ще избере проекта с най-голяма стандартно отклонение- проект 4.

Свойства на дисперсия

Нека представим свойствата на дисперсията.

Имот 1.дисперсия постоянна стойносте равно на нула:

Имот 2.Константният коефициент може да бъде изваден от дисперсионния знак чрез повдигане на квадрат:

Имот 3.Дисперсията на случайна променлива е равна на математическото очакване на квадрата на тази стойност, от което се изважда квадратът на математическото очакване на самата стойност:

където .

Имот 4.Дисперсията на сумата (разликата) на случайните променливи е равна на сумата (разликата) на техните дисперсии:

Пример 7Известно е, че дискретна случайна променлива хприема само две стойности: −3 и 7. Освен това е известно математическото очакване: д(х) = 4 . Намерете дисперсията на дискретна случайна променлива.

Решение. Означаваме с стрвероятността, с която една случайна променлива приема стойност х1 = −3 . Тогава вероятността на стойността х2 = 7 ще бъде 1 − стр. Нека изведем уравнението за математическото очакване:

д(х) = х 1 стр + х 2 (1 − стр) = −3стр + 7(1 − стр) = 4 ,

където получаваме вероятностите: стр= 0,3 и 1 − стр = 0,7 .

Законът за разпределение на случайна променлива:

х	−3	7
стр	0,3	0,7

Изчисляваме дисперсията на тази случайна променлива, използвайки формулата от свойство 3 на дисперсията:

д(х) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Намерете сами математическото очакване на случайна променлива и след това вижте решението

Пример 8Дискретна случайна променлива хприема само две стойности. Приема по-голямата стойност от 3 с вероятност 0,4. Освен това е известна дисперсията на случайната променлива д(х) = 6 . Намерете математическото очакване на случайна променлива.

Пример 9Една урна съдържа 6 бели и 4 черни топки. От урната се вземат 3 топки. Броят на белите топки сред изтеглените топки е дискретна случайна променлива х. Намерете математическото очакване и дисперсията на тази случайна променлива.

Решение. Случайна стойност хможе да приеме стойностите 0, 1, 2, 3. Съответните вероятности могат да бъдат изчислени от правило за умножение на вероятностите. Законът за разпределение на случайна променлива:

х	0	1	2	3
стр	1/30	3/10	1/2	1/6

Оттук и математическото очакване на тази случайна променлива:

М(х) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Дисперсията на дадена случайна променлива е:

д(х) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Математическо очакване и дисперсия на непрекъсната случайна променлива

За непрекъсната случайна променлива механичната интерпретация на математическото очакване ще запази същото значение: центърът на масата за единица маса, разпределена непрекъснато по оста x с плътност f(х). За разлика от дискретна случайна променлива, за която аргументът на функцията хазпроменя рязко, за непрекъсната случайна променлива, аргументът се променя непрекъснато. Но математическото очакване на непрекъсната случайна променлива също е свързано с нейната средна стойност.

За да намерите математическото очакване и дисперсията на непрекъсната случайна променлива, трябва да намерите определени интеграли . Ако е дадена функция на плътност на непрекъсната случайна променлива, тогава тя влиза директно в интегранта. Ако е дадена функция на разпределение на вероятностите, тогава като я диференцирате, трябва да намерите функцията на плътност.

Средната аритметична стойност на всички възможни стойности на непрекъсната случайна променлива се нарича негова математическо очакване, означено с или .

решение:

6.1.2 Свойства на очакванията

1. Математическото очакване на константна стойност е равно на самата константа.

2. Константен фактор може да бъде изваден от знака за очакване.

3. Математическото очакване на произведението на две независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.

Това свойство е валидно за произволен брой случайни променливи.

4. Математическото очакване на сумата от две случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на членовете.

Това свойство е вярно и за произволен брой случайни променливи.

Пример: M(X) = 5, M(Y)= 2. Намерете математическото очакване на случайна променлива З, прилагайки свойствата на математическото очакване, ако е известно, че Z=2X + 3Y.

решение: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =

1) математическото очакване на сумата е равно на сумата от математическите очаквания

2) постоянният фактор може да бъде изваден от знака за очакване

Нека се извършат n независими опита, вероятността за настъпване на събитие А, в които е равна на p. Тогава важи следната теорема:

Теорема. Математическо очакване M(X) на броя на поява на събитие A в n независими тестовее равно на произведението на броя опити и вероятността за възникване на събитие във всеки опит.

6.1.3 Дисперсия на дискретна случайна променлива

Математическото очакване не може да характеризира напълно случаен процес. В допълнение към математическото очакване е необходимо да се въведе стойност, която характеризира отклонението на стойностите на случайната променлива от математическото очакване.

Това отклонение е равно на разликата между случайната променлива и нейното математическо очакване. В този случай математическото очакване на отклонението е нула. Това се обяснява с факта, че някои възможни отклонения са положителни, други са отрицателни и в резултат на взаимното им премахване се получава нула.

Дисперсия (разпръскване)Дискретна случайна променлива се нарича математическото очакване на квадрата на отклонението на случайната променлива от нейното математическо очакване.

На практика подобен начинизчисляването на дисперсията е неудобно, т.к води до тромави изчисления за голям брой стойности на случайна променлива.

Затова се използва друг метод.

Теорема. Дисперсията е равна на разликата между математическото очакване на квадрата на случайната променлива X и квадрата на нейното математическо очакване.

Доказателство. Като вземем предвид факта, че математическото очакване M (X) и квадратът на математическото очакване M 2 (X) са постоянни стойности, можем да запишем:

Пример. Намерете дисперсията на дискретна случайна променлива, дадена от закона за разпределение.

х
X 2
Р	0.2	0.3	0.1	0.4

Решение: .

6.1.4 Дисперсионни свойства

1. Дисперсията на постоянна стойност е нула. .

2. Константен фактор може да бъде изваден от знака на дисперсията чрез повдигането му на квадрат. .

3. Дисперсията на сумата от две независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на тези променливи. .

4. Дисперсията на разликата на две независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на тези променливи. .

Теорема. Дисперсията на броя на случванията на събитие А в n независими опита, при всяко от които вероятността p за възникване на събитието е постоянна, е равна на произведението на броя опити и вероятността за възникване и невъзникване на събитието във всеки процес.

Пример: Намерете дисперсията на DSV X - броя на появяванията на събитие A в 2 независими опита, ако вероятността за възникване на събитието в тези опити е една и съща и е известно, че M(X) = 1,2.

Прилагаме теоремата от раздел 6.1.2:

M(X) = np

M(X) = 1,2; н= 2. Намерете стр:

1,2 = 2∙стр

стр = 1,2/2

р = 1 – стр = 1 – 0,6 = 0,4

Нека намерим дисперсията по формулата:

D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 Средно стандартно отклонениедискретна случайна променлива

Стандартно отклонениеслучайната променлива X се нарича корен квадратен от дисперсията.

(25)

Теорема. Средно аритметично стандартно отклонениесуми крайно числовзаимно независими случайни променливи е корен квадратенот сумата на квадратите на стандартните отклонения на тези величини.

6.1.6 Мода и медиана на дискретна случайна променлива

Мода M o DSVизвиква се най-вероятната стойност на случайна променлива (т.е. стойността, която има най-голяма вероятност)

Медиана M e DSWе стойността на случайна променлива, която разделя серията на разпределение наполовина. Ако броят на стойностите на случайната променлива е четен, тогава медианата се намира като средноаритметично от двете средни стойности.

Пример: Режим на намиране и медиана на DSW х:

х
стр	0.2	0.3	0.1	0.4

аз = = 5,5

Напредък

1. Запознайте се с теоретичната част на тази работа (лекции, учебник).

2. Изпълнете задачата по ваш избор.

3. Съставете отчет за работата.

4. Защитете работата си.

2. Целта на работата.

3. Напредък на работата.

4. Решение по ваш избор.

6.4 Варианти на работа за самостоятелна работа

Вариант номер 1

1. Намерете математическото очакване, дисперсията, стандартното отклонение, модата и медианата на DSV X, дадени от закона за разпределение.

х
П	0.1	0.6	0.2	0.1

2. Намерете математическото очакване на случайна величина Z, ако са известни математическите очаквания на X и Y: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.

3. Намерете дисперсията на DSV X - броят на случванията на събитие А в две независими опити, ако вероятностите за възникване на събития в тези опити са еднакви и е известно, че M (X) = 1.

4. Даден е списък с възможни стойности на дискретна случайна променлива х: х 1 = 1, x2 = 2, х 3

Вариант номер 2

х
П	0.3	0.1	0.2	0.4

2. Намерете математическото очакване на случайна величина Z, ако са известни математическите очаквания на X и Y: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.

3. Намерете дисперсията на DSV X - броят на случванията на събитие А в три независими опита, ако вероятностите за възникване на събития в тези опити са еднакви и е известно, че M (X) = 0,9.

х 1 = 1, x2 = 2, х 3 = 4, x4= 10, като са известни и математическите очаквания на тази величина и нейният квадрат: , . Намерете вероятностите , , , съответстващи на възможните стойности , , и съставете закона за разпределение на DSW.

Вариант номер 3

1. Намерете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на DSV X, дадено от закона за разпределение.

х
П	0.5	0.1	0.2	0.3

2. Намерете математическото очакване на случайна величина Z, ако са известни математическите очаквания на X и Y: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.

3. Намерете дисперсията на DSV X - броят на случванията на събитие А в четири независими опита, ако вероятностите за възникване на събития в тези опити са еднакви и е известно, че M (x) = 1,2.

4. Даден е списък с възможни стойности на дискретна случайна променлива X: х 1 = 0, x2 = 1, х 3 = 2, x4= 5, като са известни и математическите очаквания на тази величина и нейният квадрат: , . Намерете вероятностите , , , съответстващи на възможните стойности , , и съставете закона за разпределение на DSW.

Вариант номер 4

Всяка отделна стойност се определя изцяло от нейната функция на разпределение. Също така, за решаване на практически проблеми е достатъчно да знаете няколко числени характеристики, благодарение на които става възможно да се представят основните характеристики на случайна променлива в кратка форма.

Тези количества са предимно очаквана стойности дисперсия .

Очаквана стойност- средната стойност на случайна променлива в теорията на вероятностите. Означен като.

от най-много по прост начинматематическо очакване на случайна променлива X(w), се намират като интегралнаЛебегпо отношение на вероятностната мярка Р оригинален вероятностно пространство

Можете също да намерите математическото очакване на стойност като Интеграл на Лебегот хчрез разпределение на вероятностите R Xколичества х:

където е множеството от всички възможни стойности х.

Математическо очакване на функции от случайна величина хе чрез разпространение R X. Например, ако х- случайна променлива със стойности в и f(x)- недвусмислено Борелфункция х , тогава:

Ако F(x)- разпределителна функция х, тогава математическото очакване е представимо интегралнаLebeggue - Stieltjes (или Риман - Stieltjes):

докато интегрируемостта хв какъв смисъл ( * ) съответства на крайността на интеграла

В конкретни случаи, ако хТо има дискретно разпределениес вероятни стойности x k, k=1, 2, . , и вероятности , тогава

ако хима абсолютно непрекъснато разпространениес плътност на вероятността p(x), тогава

в този случай съществуването на математическо очакване е еквивалентно на абсолютната конвергенция на съответния ред или интеграл.

Свойства на математическото очакване на случайна величина.

Математическото очакване на постоянна стойност е равно на тази стойност:

° С- постоянен;

M=C.M[X]

Математическото очакване на сумата от произволно взетите стойности е равно на сумата от техните математически очаквания:

Математическото очакване на произведението на независими случайни променливи = произведението на техните математически очаквания:

M=M[X]+M[Y]

ако хи Yнезависима.

ако серията се събира:

Алгоритъм за изчисляване на математическото очакване.

Свойства на дискретни случайни променливи: всичките им стойности могат да бъдат преномерирани естествени числа; приравнете всяка стойност с ненулева вероятност.

1. Умножете двойките на свой ред: x iНа пи.

2. Добавете продукта на всяка двойка x i p i.

Например, за н = 4 :

Функция на разпределение на дискретна случайна променливастъпаловидно, той нараства рязко в онези точки, чиито вероятности имат положителен знак.

Пример:Намерете математическото очакване по формулата.

Концепцията за математическото очакване може да се разгледа с помощта на примера за хвърляне на зарове. При всяко хвърляне се записват изпуснатите точки. За изразяването им се използват естествени стойности в диапазона 1 - 6.

След определен брой хвърляния, като използвате прости изчисления, можете да намерите средноаритметичната стойност на падналите точки.

Освен че отпада някоя от стойностите на диапазона, тази стойност ще бъде произволна.

И ако увеличите броя на хвърлянията няколко пъти? При големи количествахвърляния, средноаритметичната стойност на точките ще се доближи конкретно число, което в теорията на вероятностите се нарича математическо очакване.

И така, математическото очакване се разбира като средната стойност на случайна променлива. Този показател може да бъде представен и като претеглена сума от вероятни стойности.

Тази концепция има няколко синонима:

средна стойност;
средна стойност;
централен тренд индикатор;
първи момент.

С други думи, това не е нищо повече от число, около което се разпределят стойностите на случайна променлива.

AT различни полета човешка дейностподходите за разбиране на математическото очакване ще бъдат малко по-различни.

Може да се разглежда като:

средната полза, получена от вземането на решение, в случай че такова решение се разглежда от гледна точка на теорията на големите числа;
възможно количество печалба или загуба (теоретично хазарт), изчислено средно за всяка от ставките. На жаргон те звучат като „предимство на играча“ (положително за играча) или „предимство на казиното“ (отрицателно за играча);
процент от печалбата, получена от печалби.

Математическото очакване не е задължително за абсолютно всички случайни величини. Липсва при тези, които имат несъответствие в съответния сбор или интеграл.

Свойства на очакванията

Като всеки статистически параметър, математическото очакване има следните свойства:

Основни формули за математическо очакване

Изчисляването на математическото очакване може да се извърши както за случайни променливи, характеризиращи се както с непрекъснатост (формула A), така и с дискретност (формула B):

M(X)=∑i=1nxi⋅pi, където xi са стойностите на случайната променлива, pi са вероятностите:
M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, където f(x) е дадена плътност на вероятността.

Примери за изчисляване на математическото очакване

Пример А.

Възможно ли е да разберете средната височина на гномите в приказката за Снежанка. Известно е, че всеки от 7-те гнома е имал определена височина: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 и 0,81м.

Алгоритъмът за изчисление е доста прост:

намерете сумата от всички стойности на индикатора за растеж (случайна променлива):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
Получената сума се разделя на броя на гномите:
6,31:7=0,90.

Така средният ръст на гномите в една приказка е 90 см. С други думи, това е математическото очакване на растежа на гномите.

Работна формула - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6

Практическа реализация на математическото очакване

Към изчислението статистически показателматематическото очакване се използва в различни области практически дейности. Преди всичко говорим сиотносно търговската площ. Всъщност въвеждането на този показател от Хюйгенс е свързано с определянето на шансовете, които могат да бъдат благоприятни или, напротив, неблагоприятни за дадено събитие.

Този параметър се използва широко за оценка на риска, особено когато става въпрос за финансови инвестиции.
Така че в бизнеса изчисляването на математическото очакване действа като метод за оценка на риска при изчисляване на цените.

Също така този показател може да се използва при изчисляване на ефективността на определени мерки, например за защита на труда. Благодарение на него можете да изчислите вероятността за настъпване на събитие.

Друга област на приложение на този параметър е управлението. Може да се изчисли и по време на контрола на качеството на продукта. Например, с помощта на мат. очакванията могат да бъдат изчислени възможен бройпроизводство на дефектни части.

Математическото очакване също се оказва незаменимо при дирижирането статистическа обработкаполучени по време на научно изследванерезултати. Той също така ви позволява да изчислите вероятността за желан или нежелан резултат от експеримент или изследване в зависимост от нивото на постигане на целта. В крайна сметка постигането му може да се свърже с печалба и печалба, а непостигането му - като загуба или загуба.

Използване на математическото очакване във Форекс

Практическото приложение на този статистически параметър е възможно при извършване на транзакции на валутния пазар. Може да се използва за анализ на успеха на търговските транзакции. Освен това повишаването на стойността на очакванията показва увеличаване на техния успех.

Също така е важно да запомните, че математическото очакване не трябва да се разглежда като единственият статистически параметър, използван за анализ на представянето на търговеца. Използването на няколко статистически параметъра заедно със средната стойност повишава точността на анализа в пъти.

Този параметър се е доказал добре при наблюдението на търговските сметки. Благодарение на него се извършва бърза оценка на извършената работа по депозитната сметка. В случаите, когато дейността на търговеца е успешна и той избягва загуби, не се препоръчва да се използва само изчислението на математическото очакване. В тези случаи рисковете не се вземат предвид, което намалява ефективността на анализа.

Проведените проучвания на тактиките на търговците показват, че:

най-ефективни са тактиките, базирани на случаен вход;
най-малко ефективни са тактиките, базирани на структурирани входове.

За постигане на положителни резултати е също толкова важно:

тактики за управление на парите;
стратегии за изход.

Използвайки такъв показател като математическото очакване, можем да предположим каква ще бъде печалбата или загубата при инвестиране на 1 долар. Известно е, че този показател, изчислен за всички игри, практикувани в казиното, е в полза на институцията. Това е, което ви позволява да правите пари. В случай на дълга поредица от игри, вероятността клиентът да загуби пари се увеличава значително.

Игрите на професионалните играчи са ограничени до малки периоди от време, което увеличава шанса за печалба и намалява риска от загуба. Същата закономерност се наблюдава и при извършването на инвестиционни операции.

Инвеститорът може да спечели значителна сума с положително очакване и правене Голям бройтранзакции за кратък период от време.

Очакваната продължителност може да се разглежда като разликата между процента печалба (PW) по средната печалба (AW) и вероятността от загуба (PL) по средната загуба (AL).

Като пример, разгледайте следното: позиция - 12,5 хиляди долара, портфейл - 100 хиляди долара, риск на депозит - 1%. Доходността на транзакциите е 40% от случаите със средна печалба от 20%. В случай на загуба средната загуба е 5%. Изчисляването на математическото очакване за сделка дава стойност от $625.

Математическото очакване е средната стойност на случайна променлива.

Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички нейни възможни стойности и техните вероятности:

Пример.

X -4 6 10
p 0,2 0,3 0,5

Решение: Математическото очакване е равно на сумата от продуктите на всички възможни стойности на X и техните вероятности:

M (X) \u003d 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 \u003d 6.

За да изчислите математическото очакване, е удобно да извършвате изчисления в Excel (особено когато има много данни), предлагаме да използвате готов шаблон ().

Пример за независимо решение(можете да използвате калкулатор).
Намерете математическото очакване на дискретна случайна променлива X, дадено от закона за разпределение:

X 0,21 0,54 0,61
p 0,1 0,5 0,4

Математическото очакване има следните свойства.

Свойство 1. Математическото очакване на постоянна стойност е равно на самата константа: М(С)=С.

Свойство 2. От знака за очакване може да се извади постоянен множител: М(СХ)=СМ(Х).

Свойство 3. Математическото очакване на произведението на взаимно независими случайни променливи е равно на произведението на математическите очаквания на факторите: M (X1X2 ... Xp) \u003d M (X1) M (X2) *. ..*M(Xn)

Свойство 4. Математическото очакване на сумата от случайните величини е равно на сумата от математическите очаквания на членовете: М(Хг + Х2+...+Хn) = М(Хг)+М(Х2)+…+М (Хn).

Задача 189. Намерете математическото очакване на случайна величина Z, ако са известни математическите очаквания X и Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

Решение: Използвайки свойствата на математическото очакване (математическото очакване на сумата е равно на сумата от математическите очаквания на членовете; постоянният фактор може да бъде изваден от знака за очакване), получаваме M(Z)=M (X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. Използвайки свойствата на математическото очакване, докажете, че: а) M(X - Y) = M(X)-M (Y); б) математическото очакване на отклонението X-M(X) е нула.

191. Дискретната случайна величина X приема три възможни стойности: x1= 4 С вероятност p1 = 0,5; x3 = 6 С вероятност P2 = 0,3 и x3 с вероятност p3. Намерете: x3 и p3, знаейки, че M(X)=8.

192. Даден е списък с възможни стойности на дискретна случайна променлива X: x1 \u003d -1, x2 \u003d 0, x3 \u003d 1, математическите очаквания на това количество и неговия квадрат също са известни: M (X ) \u003d 0,1, M (X ^ 2) \u003d 0 , девет. Намерете вероятностите p1, p2, p3, съответстващи на възможните стойности xi

194. Партида от 10 части съдържа три нестандартни части. Два елемента бяха избрани на случаен принцип. Намерете математическото очакване на дискретна случайна променлива X - броят на нестандартните части сред две избрани.

196. Намерете математическото очакване на дискретна случайна променлива X-брой на такива хвърляния от пет зарове, във всяка от които ще се появи по една точка на две кости, ако общ бройхвърляния, равни на двадесет.

Очаквана стойност биномно разпределениее равно на произведението от броя опити и вероятността събитие да се случи в едно изпитване: