Намерете вероятността за определеното събитие, като използвате формулата на Бернули. Схема на Бернули

Нека не мислим дълго за високото - нека започнем веднага с определение.

- това е, когато се извършват n независими експеримента от един и същи тип, във всеки от които може да се появи интересно за нас събитие А и е известна вероятността за това събитие P (A) \u003d p. Изисква се да се определи вероятността събитие А да се случи точно k пъти по време на n опита.

Задачите, които се решават по схемата на Бернули, са изключително разнообразни: от прости (като „намерете вероятността стрелецът да уцели 1 път от 10“) до много тежки (например задачи за проценти или карти за игра) . В действителност тази схема често се използва за решаване на проблеми, свързани с контрола на качеството на продукта и надеждността на различни механизми, всички характеристики на които трябва да бъдат известни преди започване на работа.

Да се ​​върнем към дефиницията. Тъй като говорим за независими опити и във всеки опит вероятността за събитие А е една и съща, възможни са само два резултата:

1. A е появата на събитие A с вероятност p;
2. "не A" - събитие A не се е появило, което се случва с вероятност q = 1 − p.

Най-важното условие, без което схемата на Бернули губи смисъла си, е постоянството. Без значение колко експеримента провеждаме, ние се интересуваме от едно и също събитие А, което се случва с еднаква вероятност p.

Между другото, не всички проблеми в теорията на вероятностите могат да бъдат сведени до постоянни условия. Всеки компетентен учител по висша математика ще ви каже за това. Дори нещо толкова просто като ваденето на цветни топки от кутия не е експеримент с постоянни условия. Извадиха друга топка - съотношението на цветовете в кутията се промени. Следователно вероятностите също са се променили.

Ако условията са постоянни, може точно да се определи вероятността събитие А да се случи точно k пъти от n възможни. Ние формулираме този факт под формата на теорема:

Нека вероятността за възникване на събитие А във всеки експеримент е постоянна и равна на p. Тогава вероятността в n независими опита събитие А да се появи точно k пъти се изчислява по формулата:

където C n k е броят на комбинациите, q = 1 − p.

Тази формула се нарича: Интересно е да се отбележи, че проблемите по-долу са напълно решени без използването на тази формула. Например, можете да приложите формули за добавяне на вероятности. Обемът на изчисленията обаче ще бъде просто нереалистичен.

Задача. Вероятността за производство на дефектен продукт на машината е 0,2. Определете вероятността в партида от десет детайла, произведени на дадена машина, точно k да са без дефекти. Решете задачата за k = 0, 1, 10.

По условието се интересуваме от събитие А на освобождаване на продукти без дефекти, което се случва всеки път с вероятност p = 1 − 0,2 = 0,8. Трябва да определим вероятността това събитие да се случи k пъти. Събитието А е противопоставено на събитието „не А“, т.е. производство на дефектен продукт.

Така имаме: n = 10; р=0,8; q = 0,2.

И така, намираме вероятността всички части в партидата да са дефектни (k = 0), че само една част е дефектна (k = 1) и че изобщо няма дефектни части (k = 10):

Задача. Монетата се хвърля 6 пъти. Загубата на герба и опашките е еднакво вероятна. Намерете вероятността, че:

1. гербът ще падне три пъти;
2. гербът ще падне веднъж;
3. гербът ще се появи поне два пъти.

И така, интересуваме се от събитието А, когато гербът изпада. Вероятността за това събитие е p = 0,5. Събитието А се противопоставя на събитието „не А“, когато излиза на опашки, което се случва с вероятност q = 1 − 0,5 = 0,5. Необходимо е да се определи вероятността гербът да изпадне k пъти.

Така имаме: n = 6; р = 0,5; q = 0,5.

Нека определим вероятността гербът да е паднал три пъти, т.е. k = 3:

Сега нека определим вероятността гербът да е паднал само веднъж, т.е. k = 1:

Остава да се определи с каква вероятност гербът ще изпадне поне два пъти. Основната пречка е във фразата „не по-малко“. Оказва се, че всяко k, с изключение на 0 и 1, ще ни подхожда, т.е. трябва да намерите стойността на сумата X \u003d P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Обърнете внимание, че тази сума също е равна на (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), т.е. от всички възможни варианти е достатъчно да „изрежете“ тези, когато гербът е паднал 1 път (k = 1) или изобщо не е изпаднал (k = 0). Тъй като P 6 (1) вече знаем, остава да намерим P 6 (0):

Задача. Вероятността телевизорът да има скрити дефекти е 0,2. Складът получи 20 телевизора. Кое събитие е по-вероятно: да има два телевизора със скрити дефекти в тази партида или три?

Интересно събитие А е наличието на латентен дефект. Общо телевизори n = 20, вероятността за скрит дефект p = 0,2. Съответно вероятността да получите телевизор без скрит дефект е q = 1 − 0,2 = 0,8.

Получаваме началните условия за схемата на Бернули: n = 20; р = 0,2; q = 0,8.

Нека намерим вероятността да получим два "дефектни" телевизора (k = 2) и три (k = 3):

\[\begin(array)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Очевидно P 20 (3) > P 20 (2), т.е. вероятността да получите три телевизора със скрити дефекти е по-вероятно да получите само два такива телевизора. Освен това разликата не е слаба.

Малка бележка за факторите. Много хора изпитват неясно чувство на дискомфорт, когато видят записа "0!" (прочетете "нулев факториел"). И така, 0! = 1 по дефиниция.

P.S. И най-голямата вероятност в последната задача е да получите четири телевизора със скрити дефекти. Направете си сметката и вижте сами.

Вижте също:

Благодаря ви, че прочетохте и споделихте с другите

Когато се решават вероятностни проблеми, често се срещат ситуации, в които едно и също изпитание се повтаря много пъти и резултатът от всяко изпитание е независим от резултатите на другите. Този експеримент се нарича още схема на повторни независими тестовеили Схема на Бернули.

Примери за повторни тестове:

1) многократно извличане на една топка от урната, при условие че топката, извадена след регистриране на цвета й, се връща обратно в урната;

2) повторение от един стрелец на изстрели в една и съща цел, при условие че вероятността за успешно попадение с всеки изстрел се приема за една и съща (ролята на нулирането не се взема предвид).

Така че, нека в резултат на теста възможно два изхода: или ще се появи събитие И, или противоположното му събитие. Нека проведем n опита на Бернули. Това означава, че всички n опита са независими; вероятността за възникване на събитието $A$ във всеки отделен или отделен тест е постоянна и не се променя от тест на тест (т.е. тестовете се провеждат при едни и същи условия). Нека означим вероятността за настъпване на събитието $A$ в едно изпитание с буквата $p$, т.е. $p=P(A)$, а вероятността за обратното събитие (събитието $A$ не се е случило) се дава с буквата $q=P(\overline(A))=1-p$.

Тогава вероятността събитието Ище се появи в тези нтестове точно кпъти, изразено Формула на Бернули

$$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k), \quad q=1-p.$$

Извиква се разпределението на броя успехи (случки на събитие). биномно разпределение.

Онлайн калкулатори за формулата на Бернули

Някои от най-популярните видове задачи, които използват формулата на Бернули, са анализирани в статии и са снабдени с онлайн калкулатор, можете да отидете до тях, като използвате връзките:

Примери за решения на задачи по формулата на Бернули

Пример.Една урна съдържа 20 бели и 10 черни топки. Изваждат се 4 топки и всяка извадена топка се връща в урната, преди да бъде изтеглена следващата и топките в урната да се смесят.

Формула на Бернули. Разрешаване на проблем

Намерете вероятността 2 от 4-те изтеглени топки да са бели.

Решение.Събитие И- получи бяла топка. След това вероятностите
, .
Според формулата на Бернули търсената вероятност е
.

Пример.Определете вероятността едно семейство с 5 деца да има не повече от 3 момичета. Предполага се, че вероятността да имате момче и момиче е еднаква.

Решение.Вероятността да имаш момиче
, тогава .

Нека намерим вероятностите в семейството да няма момичета, родени са едно, две или три момичета:

, ,

, .

Следователно желаната вероятност

.

Пример.Сред детайлите, обработвани от работника, има средно 4% нестандартни. Намерете вероятността две от 30-те части, взети за тестване, да бъдат нестандартни.

Решение.Тук опитът се крие в проверката на качеството на всяка от 30-те части.

Събитие А е „поява на нестандартна част“, ​​неговата вероятност е , тогава . От тук, по формулата на Бернули, намираме
.

Пример.За всеки отделен изстрел от пистолета вероятността за попадение в целта е 0,9. Намерете вероятността от 20 изстрела броят на успешните изстрели да бъде поне 16 и най-много 19.

Решение.Изчисляваме по формулата на Бернули:

Пример.Независимите изпитания продължават до събитието Иняма да стане кведнъж. Намерете вероятността, че ще отнеме нопити (n ³ k), ако във всяко от тях .

Решение.Събитие AT- точно нтестове преди к-та поява на събитието Ие продукт на следните две събития:

D-in нти тест Инастъпили;

C - първо (n–1)ти тест Исе появи (к-1)веднъж.

Теоремата за умножение и формулата на Бернули дават търсената вероятност:

Трябва да се отбележи, че използването на биномния закон често е свързано с изчислителни трудности. Следователно, с нарастващи стойности ни мстава целесъобразно да се използват приблизителни формули (Поасон, Моавр-Лаплас), които ще бъдат разгледани в следващите раздели.

Видео урок Формула на Бернули

За тези, които са по-визуални в последователно видео обяснение, 15-минутен видеоклип:

Формула за пълна вероятност: теория и примери за решаване на проблеми

Формула за обща вероятност и условни вероятности за събития

Формула за пълна вероятност е следствие от основните правила на теорията на вероятностите - правилото за събиране и правилото за умножение.

Формулата за обща вероятност ви позволява да намерите вероятността за събитие А, което може да възникне само с всеки от нвзаимно изключващи се събития, които образуват пълна система, ако техните вероятности са известни, и условни вероятности разработки Апо отношение на всяко от събитията на системата са равни на .

Събитията се наричат ​​още хипотези, те се изключват взаимно. Следователно в литературата можете да намерите и тяхното обозначение не по буквата б, но с писмо з(хипотеза).

За решаване на задачи с такива условия е необходимо да се разглеждат 3, 4, 5 или в общия случай нвъзможността за събитие Ас всяко събитие.

Използвайки теоремите за събиране и умножение на вероятностите, получаваме сумата от продуктите на вероятностите за всяко от събитията на системата по условна вероятност разработки Аза всяко събитие в системата.

21 изпитания на Бернули. Формула на Бернули

Тоест вероятността от събитие Аможе да се изчисли по формулата

или като цяло

,

което се нарича формула за обща вероятност .

Формула за пълна вероятност: примери за решаване на проблеми

Пример 1Има три еднакви на вид урни: в първата има 2 бели топки и 3 черни, във втората има 4 бели и една черна, в третата има три бели топки. Някой произволно се приближава до една от урните и изважда една топка от нея. Възползвам се формула за обща вероятност, намерете вероятността топката да е бяла.

Решение. Събитие А- появата на бяла топка. Излагаме три хипотези:

— избрана е първата урна;

— избира се втората урна;

— избира се третата урна.

Вероятности за условни събития Аза всяка от хипотезите:

, , .

Прилагаме формулата за обща вероятност, като резултат - необходимата вероятност:

.

Пример 2В първия завод от всеки 100 електрически крушки се произвеждат средно 90 стандартни, във втория - 95, в третия - 85, като продукцията на тези заводи е съответно 50%, 30% и 20% от всички електрически крушки, доставени на магазините в определен район. Намерете вероятността да закупите стандартна електрическа крушка.

Решение. Нека обозначим вероятността за придобиване на стандартна електрическа крушка като А, и събитията, че закупената електрическа крушка е произведена съответно в първи, втори и трети завод до . По условие са известни вероятностите за тези събития: , , и условните вероятности за събитието Апо отношение на всеки от тях: , , . Това са вероятностите за придобиване на стандартна електрическа крушка, при условие че е произведена съответно в първия, втория и третия завод.

Събитие Аще се случи, ако се случи събитие или К– крушката е произведена в първия завод и е стандартна, или събитие Л- крушката е направена във втория завод и е стандартна или събитие М- крушката е произведена в трети завод и е стандартна.

Други възможности за настъпване на събитието Ане. Следователно събитието Ае сумата от събития К, Ли Мкоито са несъвместими. Прилагайки теоремата за добавяне на вероятностите, представяме вероятността за събитие Акато

и чрез теоремата за умножение на вероятността получаваме

това е, специален случай на формулата за пълна вероятност.

Замествайки вероятностите в лявата част на формулата, получаваме вероятността за събитието А:

Нямате време да се задълбочите в решението? Можете да поръчате работа!

Пример 3Самолетът каца на летището. Ако времето позволява, пилотът приземява самолета, като използва освен прибори и визуално наблюдение. В този случай вероятността за успешно кацане е . Ако летището е облачно с ниска облачност, тогава пилотът приземява самолета, като се ориентира само по прибори. В този случай вероятността за успешно кацане е ; .

Устройствата, които осигуряват сляпо кацане, имат надеждност (вероятност за безотказна работа) П. При наличие на ниска облачност и неуспешни инструменти за сляпо кацане, вероятността за успешно кацане е ; . Статистиката показва, че в к% от кацанията, летището е покрито с ниска облачност. намирам пълна вероятност за събитиетоА- безопасно кацане на самолета.

Решение. Хипотези:

— няма ниска облачност;

- Има ниска облачност.

Вероятностите на тези хипотези (събития):

;

Условна вероятност.

Условната вероятност отново се намира по формулата за общата вероятност с хипотези

- устройствата за сляпо кацане работят;

- устройствата за сляпо кацане отказаха.

Вероятностите на тези хипотези са:

Според формулата за пълна вероятност

Пример 4Устройството може да работи в два режима: нормален и ненормален. Нормален режим се наблюдава в 80% от всички случаи на работа на устройството, а ненормален - в 20% от случаите. Вероятност за повреда на устройството за определено време Tравно на 0,1; в ненормалното 0,7. намирам пълна вероятностповреда на устройството във времето T.

Решение. Отново означаваме вероятността от повреда на устройството като А. И така, по отношение на работата на устройството във всеки режим (събития), вероятностите са известни по условие: за нормален режим е 80% (), за ненормален режим - 20% (). Вероятност на събитието А(т.е. повреда на устройството) в зависимост от първото събитие (нормален режим) е 0,1 (); в зависимост от второто събитие (ненормален режим) - 0,7 ( ). Ние заместваме тези стойности във формулата за обща вероятност (т.е. сумата от продуктите на вероятността на всяко от събитията на системата и условната вероятност на събитието Апо отношение на всяко от събитията на системата) и имаме търсения резултат.

Нека не мислим дълго за високото - нека започнем веднага с определение.

Схемата на Бернули е, когато се извършват n независими експеримента от един и същи тип, във всеки от които може да се появи интересно за нас събитие A и вероятността за това събитие е известна P (A) \u003d p. Изисква се да се определи вероятността събитие А да се случи точно k пъти по време на n опита.

Задачите, които се решават по схемата на Бернули, са изключително разнообразни: от прости (като „намерете вероятността стрелецът да уцели 1 път от 10“) до много тежки (например задачи за проценти или карти за игра) . В действителност тази схема често се използва за решаване на проблеми, свързани с контрола на качеството на продукта и надеждността на различни механизми, всички характеристики на които трябва да бъдат известни преди започване на работа.

Да се ​​върнем към дефиницията. Тъй като говорим за независими опити и във всеки опит вероятността за събитие А е една и съща, възможни са само два резултата:

1. A е появата на събитие A с вероятност p;
2. "не A" - събитие A не се е появило, което се случва с вероятност q = 1 − p.

Най-важното условие, без което схемата на Бернули губи смисъла си, е постоянството. Без значение колко експеримента провеждаме, ние се интересуваме от едно и също събитие А, което се случва със същата вероятност p.

Между другото, не всички проблеми в теорията на вероятностите могат да бъдат сведени до постоянни условия. Всеки компетентен учител по висша математика ще ви каже за това. Дори нещо толкова просто като ваденето на цветни топки от кутия не е експеримент с постоянни условия. Извадиха друга топка - съотношението на цветовете в кутията се промени. Следователно вероятностите също са се променили.

Ако условията са постоянни, може точно да се определи вероятността събитие А да се случи точно k пъти от n възможни. Ние формулираме този факт под формата на теорема:

Теорема на Бернули. Нека вероятността за възникване на събитие А във всеки експеримент е постоянна и равна на p. Тогава вероятността в n независими опита събитие А да се появи точно k пъти се изчислява по формулата:

където C n k е броят на комбинациите, q = 1 − p.

Тази формула се нарича формула на Бернули. Интересно е да се отбележи, че проблемите по-долу са напълно решени без използването на тази формула. Например, можете да приложите формули за добавяне на вероятности. Обемът на изчисленията обаче ще бъде просто нереалистичен.

Задача. Вероятността за производство на дефектен продукт на машината е 0,2. Определете вероятността в партида от десет детайла, произведени на дадена машина, точно k да са без дефекти. Решете задачата за k = 0, 1, 10.

По условието се интересуваме от събитие А на освобождаване на продукти без дефекти, което се случва всеки път с вероятност p = 1 − 0,2 = 0,8. Трябва да определим вероятността това събитие да се случи k пъти. Събитие А се противопоставя на събитието „не А”, т.е. производство на дефектен продукт.

Така имаме: n = 10; р=0,8; q = 0,2.

И така, намираме вероятността всички части в партидата да са дефектни (k = 0), че само една част е дефектна (k = 1) и че изобщо няма дефектни части (k = 10):

Задача. Монетата се хвърля 6 пъти. Загубата на герба и опашките е еднакво вероятна. Намерете вероятността, че:

1. гербът ще падне три пъти;
2. гербът ще падне веднъж;
3. гербът ще се появи поне два пъти.

И така, ние се интересуваме от събитието А, когато гербът падне. Вероятността за това събитие е p = 0,5. Събитието А се противопоставя на събитието „не А“, когато излиза на опашки, което се случва с вероятност q = 1 − 0,5 = 0,5. Необходимо е да се определи вероятността гербът да изпадне k пъти.

Така имаме: n = 6; р = 0,5; q = 0,5.

Нека определим вероятността гербът да е паднал три пъти, т.е. k = 3:

Сега нека определим вероятността гербът да е паднал само веднъж, т.е. k = 1:

Остава да се определи с каква вероятност гербът ще изпадне поне два пъти. Основната пречка е във фразата „не по-малко“. Оказва се, че всяко k ще ни подхожда, с изключение на 0 и 1, т.е. трябва да намерите стойността на сумата X \u003d P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Обърнете внимание, че тази сума също е равна на (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), т.е. от всички възможни варианти е достатъчно да „изрежете“ тези, когато гербът е паднал 1 път (k = 1) или изобщо не е изпаднал (k = 0). Тъй като P 6 (1) вече знаем, остава да намерим P 6 (0):

Задача. Вероятността телевизорът да има скрити дефекти е 0,2. Складът получи 20 телевизора. Кое събитие е по-вероятно: да има два телевизора със скрити дефекти в тази партида или три?

Интересно събитие А е наличието на латентен дефект. Общо телевизори n = 20, вероятността за скрит дефект p = 0,2. Съответно вероятността да получите телевизор без скрит дефект е q = 1 − 0,2 = 0,8.

Получаваме началните условия за схемата на Бернули: n = 20; р = 0,2; q = 0,8.

Нека намерим вероятността да получим два "дефектни" телевизора (k = 2) и три (k = 3):

\[\begin(array)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Очевидно P 20 (3) > P 20 (2), т.е. вероятността да получите три телевизора със скрити дефекти е по-вероятно да получите само два такива телевизора. Освен това разликата не е слаба.

Малка бележка за факторите. Много хора изпитват неясно чувство на дискомфорт, когато видят записа "0!" (прочетете "нулев факториел"). И така, 0! = 1 по дефиниция.

П. С. И най-голямата вероятност в последната задача е да получите четири телевизора със скрити дефекти. Направете си сметката и вижте сами.

Преди да представи третия въпрос от лекцията, учителят посочва проблема, който налага разглеждането на теоремата за повторението на експериментите, като същевременно отбелязва, че в хода на изучаваната теория на вероятностите ще се разглежда само определена теорема, свързана с повторението независими експерименти, във всеки от които събитието А се появява с постоянна вероятност.

След това учителят показва доказателството на тази теорема (извеждането на формулата на Бернули).

За да обясни физическата същност на разглежданата теорема, учителят използва шрайбпроектор и подготвени слайдове.

В края на лекцията учителят обяснява защо разпределението на вероятностите за настъпване на събитие А в серия от n опита, в условия, когато те са несъвместими и образуват пълна група от събития, се нарича биномно и обръща внимание на важността за познаване на това разпределение за решаване на приложни проблеми.

Досега разглеждахме комбинации от сравнително малък брой събития, когато директното прилагане на правилата за събиране и умножение на вероятности не причинява големи изчислителни затруднения. Въпреки това, с увеличаване на броя на събитията или броя на опитите, в които може да се появи събитието, което ни интересува, изследваният метод на изчисление става много тромав.

В този случай проблемът беше решен съвсем просто, само ако експериментите бяха независими.

Извикват се няколко експеримента независима, ако вероятността за един или друг резултат от всеки от експериментите не зависи от това какви резултати са имали другите експерименти.

На практика има случаи, когато вероятността за настъпване на събитие Ивъв всички независими експерименти могат да бъдат еднакви или да се променят от опит към опит. Например, когато регулирате огъня след всеки изстрел, вероятността за попадение в целта с всеки изстрел ще се променя.

В случай, че в независими експерименти вероятността за настъпване на събитие от опит към опит се променя, се използва общата теорема за повторението на експериментите, а когато в независими експерименти вероятността за настъпване на събитие не се променя от опита за опит се използва конкретната теорема за повторението на експериментите.

В курса на теорията на вероятностите, която изучаваме, ще разгледаме само конкретен термин за повторение на експерименти, когато е необходимо да се определи вероятността за настъпване на събитие Ив серия от n независими експеримента, във всеки от които събитие А се случва с еднаква вероятност.

Например, необходимо е да се изчисли вероятността при пет изстрела от пистолет при постоянни настройки да бъдат получени точно две попадения в целта, ако изстрелите са независими и вероятността за попадение в целта е известна и не се променя за всеки изстрел.

Ако направим възможни комбинации от настъпването на интересуващото ни събитие A 1, тогава получаваме:

Ще има 10 възможни комбинации, в които ще се случи събитието A = (получете 2 удара с пет удара).

Прилагайки теоремата за сумата и произведението на независими събития, ще имаме:

Увеличаването на броя на събитията, които ни интересуват, или на броя на тестовете ще доведе до още по-голямо увеличаване на обема на изчислителните операции, така че възниква проблемът с намирането на по-малко отнемащи време методи за изчисление.

Формулиране на проблема:

Нека се приеме, че при едни и същи условия се провеждат n независими теста, резултатът от всеки от които може да бъде началото или събитията И, или неговата противоположност .

Означаваме с И 1 настъпване на събитие Ина първия тест, И 2 - на втория тест, И н- на последния тест.

Поради постоянството на условията на изпитване:

P(A 1 ) = P(A 2 ) = … P(A н ) = p

Ние се интересуваме от вероятността събитие А да се случи точно веднъж по време на n опита и да не се случи в останалите n-m опита (т.е. събитието, противоположно на събитие А, ще се случи - ).

Да приемем, че събитието, което ни интересува Исе среща подред m пъти, започвайки от първия, т.е. случва се събитие д.

Е = А 1 И 2 … И м -1 И м 
(1)

м н- м

Съгласно условието за повторение на теста, събитията, включени в тази комбинация, са независими, докато вероятностите за възникване на събития A 1, И 2 ,… И м -1 , И меднакви и равни p: P(A 1 ) = P(A 2 ) =…= P(A м ) = p,и вероятностите да не се случат събития
са еднакви и равни р=1-p:.

Прилагайки правилото за умножение на вероятностите за независими събития към израз 1, получаваме:

P(E) = P(A 1 ) P(A 2 ) … P(A м -1 ) P(A м ) R(
= p м (1-p) н  - м = p м р н - м

Поради постоянството на условията на теста, ние предположихме, че събитието, което ни интересува Исе появява последователно m пъти, започвайки от първия. Но събитието Ив низпитанията могат да дойдат точно мпъти в различни последователности или комбинации. В същото време не ни интересува в каква точно последователност се появява събитието А мведнъж.

Броят на тези комбинации е равен на броя на комбинациите от n елемента по м.

Тъй като тези комбинации от събития (като комбинации E) са несъвместими и ние не се интересуваме от последователността на възникване на събитието Иточно в теста мпъти, след което означава вероятността да ни интересува чрез Р м, получаваме:

Р м =
Р м (1-p) н - м =
=

където
- брой комбинации от нелементи от м.

Тази формула е кръстена на формулата на Бернули.

Формулата на Бернули ви позволява да получите отговор на въпроса: каква е вероятността, че при повтаряне на n независими опити, някакво събитие Иидва точно мпъти, ако във всяко от тези изпитания вероятността събитието да се случи е Ипостоянен и равен P(A) = p.

Горната формула на Бернули е от изключително значение в теорията на вероятностите поради това, че е свързана с повторение на тестове при едни и същи условия, т.е. с такива условия, в които се проявяват законите на теорията на вероятностите.

Заключение на лекцията:

В лекцията разгледахме основните въпроси на теорията на вероятностите във връзка със случайни променливи, въведохме основния концептуален апарат, необходим за по-нататъшно изучаване на дисциплината: дефиницията на случайна променлива, тяхната класификация; понятия за закон на разпределение и неговата форма за различни видове случайна променлива.

При подготовката за следващи лекции и практически упражнения, трябва самостоятелно да допълните своите лекционни бележки със задълбочено изучаване на препоръчаната литература и решаване на предложените проблеми.

Освен това в следващите уроци ще изучаваме теореми и зависимости, които ни позволяват да определим вероятността случайна променлива да се появи необходимия брой пъти или на определен интервал, например вероятността за попадение в цел.

Разгледайте:

Wentzel E.S. Теория на вероятностите. Учебник. Осмо издание, стереотипно. - М .: Висше училище, 2002 - 575 с. – с. 67-78, 80-84

Вентцел Е.С., Овчаров Л.А. Теория на вероятностите и нейните инженерни приложения. Урок. Трето издание, преработено и допълнено. - М .: "Академия", 2003 - 464 с. – с. 73-93

Гмурман В.Е. Теория на вероятностите и математическа статистика. Урок. Десето издание, стереотипно.-М .: Висше училище, 2004 г. - 480 с. стр. 64-73

В този урок ще намерим вероятността за възникване на събитие в независими опити, когато опитите се повтарят. . Опитите се наричат ​​​​независими, ако вероятността за един или друг резултат от всяко изпитание не зависи от това какви резултати са имали други изпитания. . Независими тестове могат да се провеждат както при едни и същи условия, така и при различни условия. В първия случай вероятността за възникване на събитие във всички опити е една и съща; във втория случай тя варира от опит до опит.

Примери за независими повторни тестове :

• един от възлите на устройството или два или три възела ще се повредят и повредата на всеки възел не зависи от другия възел и вероятността за повреда на един възел е постоянна във всички тестове;
• част, произведена при определени постоянни технологични условия, или три, четири, пет части, ще се окажат нестандартни и една част може да се окаже нестандартна, независимо от всяка друга част, и вероятността частта да оказва се нестандартно е постоянно във всички тестове;
• от няколко изстрела по мишената, един, три или четири изстрела уцелват мишената, независимо от резултата на други изстрели и вероятността за попадение в мишената е постоянна във всички опити;
• когато монетата бъде поставена, машината ще работи правилно един, два или друг брой пъти, независимо от това какви други вмъквания на монети са имали, и вероятността машината да работи правилно е постоянна във всички опити.

Тези събития могат да бъдат описани с една схема. Всяко събитие се случва във всеки опит с еднаква вероятност, която не се променя, ако резултатите от предишни опити станат известни. Такива тестове се наричат ​​независими, а схемата се нарича Схема на Бернули . Предполага се, че такива тестове могат да се повтарят толкова пъти, колкото желаете.

Ако вероятността стрсъбитие Ае постоянна във всеки опит, тогава вероятността, че в ннезависимо тестово събитие Аще дойде мпъти, намиращи се на Формула на Бернули :

(където р= 1 – стр- вероятността събитието да не се случи)

Нека поставим задачата - да намерим вероятността събитие от този тип в нще дойдат независими изпитания мведнъж.

Формула на Бернули: примери за решаване на проблеми

Пример 1Намерете вероятността от пет произволно избрани части две да са стандартни, ако вероятността всяка част да е стандартна е 0,9.

Решение. Вероятност на събитието И, състоящ се в това, че част, взета на случаен принцип, е стандартна стр=0,9 , а вероятността да е нестандартен е р=1–стр=0,1. Събитието, посочено в условието на задачата (означаваме го с AT) възниква, ако например първите две части са стандартни, а следващите три са нестандартни. Но събитието ATвъзниква и ако първата и третата част са стандартни, а останалите са нестандартни, или ако втората и петата част са стандартни, а останалите са нестандартни. Има и други възможности за настъпване на събитието. AT. Всеки от тях се характеризира с факта, че от пет взети части, две, заемащи произволни места от пет, ще се окажат стандартни. Следователно, общият брой различни възможности за настъпване на събитие ATе равен на броя на възможностите за поставяне на две стандартни части на пет места, т.е. е равно на броя на комбинациите от пет елемента по две и .

Вероятността за всяка възможност, съгласно теоремата за умножение на вероятностите, е равна на произведението от пет фактора, от които два, съответстващи на появата на стандартни части, са равни на 0,9, а останалите три, съответстващи на появата на не -стандартни части, са равни на 0,1, т.е. тази вероятност е. Тъй като тези десет възможности са несъвместими събития, според теоремата за добавяне, вероятността за събитие AT, което обозначаваме

Пример 2Вероятността машината да изисква вниманието на работник в рамките на един час е 0,6. Ако приемем, че повредите на машините са независими, намерете вероятността в продължение на един час вниманието на работника да бъде изисквано от някоя от четирите машини, обслужвани от него.

Решение. Използвайки Формула на Бернулипри н=4 , м=1 , стр=0,6 и р=1–стр=0,4, получаваме

Пример 3За нормалната работа на автобазата трябва да има най-малко осем вагона на линията, а те са десет. Вероятността за неизлизане на всяка кола от линията е равна на 0,1. Намерете вероятността за нормална работа на депото през следващия ден.

Решение. Autobase ще работи добре (събитие Е), ако едно или осем ще влязат в реда (събитието И), или девет (събитие AT), или събитие на всички десет автомобила (събитие ° С). Според теоремата за добавяне на вероятности,

Намираме всеки термин според формулата на Бернули. Тук н=10 , м=8; 10 и стр\u003d 1-0,1 \u003d 0,9, тъй като стртрябва да означава вероятността кола да влезе в линията; тогава р=0,1. В резултат на това получаваме

Пример 4Нека вероятността клиентът да се нуждае от мъжка обувка с размер 41 е 0,25. Намерете вероятността от шестима купувачи поне двама да се нуждаят от обувки с размер 41.

Нека се извършат n опита по отношение на събитието A. Да въведем следните събития: Аk -- събитие А е реализирано по време на k-тия тест, $ k=1,2,\dots , n$. Тогава $\bar(A)_(k) $ е обратното събитие (събитие А не се е случило по време на k-тото изпитание, $k=1,2,\dots , n$).

Какво представляват партньорските и независимите изпитания

Определение

Извикват се тестове от същия тип по отношение на събитие A, ако вероятностите на събитията $A1, A2, \dots , An$ са еднакви: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (т.е. вероятността за възникване на събитие А в едно изпитване е постоянна във всички изпитвания).

Очевидно в този случай вероятностите за противоположни събития също съвпадат: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar( A) _(n))$.

Определение

Опитите се наричат ​​независими по отношение на събитие A, ако събитията $A1, A2, \dots , An$ са независими.

В такъв случай

В този случай равенството се запазва, когато всяко събитие Ak се замени с $\bar(A)_(k) $.

Нека се проведе поредица от n подобни независими опита по отношение на събитие А. Носим обозначението: p - вероятността на събитието A в един тест; q е вероятността от противоположното събитие. Така P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ за всяко k и p+q=1.

Вероятността в поредица от n опита събитие А да се случи точно k пъти (0 ≤ k ≤ n) се изчислява по формулата:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

Равенство (1) се нарича формула на Бернули.

Вероятността в поредица от n независими опита от един и същи тип събитие А да се случи поне k1 пъти и най-много k2 пъти се изчислява по формулата:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

Прилагането на формулата на Бернули за големи стойности на n води до тромави изчисления, така че в тези случаи е по-добре да се използват други формули - асимптотични.

Обобщение на схемата на Бернули

Помислете за обобщение на схемата на Бернули. Ако в поредица от n независими опита, всяко от които има m по двойки несъвместими и възможни резултати Ak със съответните вероятности Рk= рk(Аk). Тогава формулата за полиномно разпределение е валидна:

Пример 1

Вероятността да се разболеете от грип по време на епидемия е 0,4. Намерете вероятността от 6 служители на компанията да се разболеят

1. точно 4 служители;
2. не повече от 4 служители.

Решение. 1) Очевидно за решаването на този проблем е приложима формулата на Бернули, където n=6; k=4; р=0,4; q=1-p=0,6. Прилагайки формула (1), получаваме: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \приблизително 0,138$.

За решаването на този проблем е приложима формула (2), където k1=0 и k2=4. Ние имаме:

\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0.4^(0) \cdot 0.6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0.4 ^(1) \cdot 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0,4^(2) \cdot 0,6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0,4^(3) \ cdot 0,6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \ приблизително 0,959.) \край (масив)\]

Трябва да се отбележи, че тази задача е по-лесна за решаване, като се използва обратното събитие - повече от 4 служители се разболяха. Тогава, като вземем предвид формула (7) за вероятностите от противоположни събития, получаваме:

Отговор: $\ $0,959.

Пример 2

Една урна съдържа 20 бели и 10 черни топки. Изваждат се 4 топки и всяка извадена топка се връща в урната, преди да бъде изтеглена следващата и топките в урната да се смесят. Намерете вероятността от четирите изтеглени топки да има 2 бели топки на фигура 1.

Снимка 1.

Решение. Нека събитието А е това -- изтеглена е бяла топка. Тогава вероятностите $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .

Според формулата на Бернули изискваната вероятност е $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \right)^(2) =\frac(8)(27) $.

Отговор: $\frac(8)(27) $.

Пример 3

Определете вероятността едно семейство с 5 деца да има не повече от 3 момичета. Предполага се, че вероятността да имате момче и момиче е еднаква.

Решение. Вероятност да имате момиче $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-вероятност да имате момче. В едно семейство няма повече от три момичета, което означава, че са се родили или едно, или две, или три момичета, или всички момчета в семейството.

Намерете вероятностите в семейството да няма момичета, родени са едно, две или три момичета: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

Следователно изискваната вероятност е $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .

Отговор: $\frac(13)(16)$.

Пример 4

Първият стрелец с един изстрел може да уцели десетката с вероятност 0,6, деветте с вероятност 0,3 и осемте с вероятност 0,1. Каква е вероятността с 10 изстрела да уцели десет шест пъти, девет три пъти и осем осем пъти?