Нехомогенна система по метода на вариация на произволни константи. ОДА

Помислете за линеен нехомогенен диференциално уравнениес постоянни коефициентипроизволен n-ти ред:
(1) .
Методът на постоянната вариация, който разгледахме за уравнение от първи ред, е приложим и за уравнения от по-високи редове.

Разтворът се извършва на два етапа. На първия етап отхвърляме дясната страна и решаваме хомогенното уравнение. В резултат на това получаваме решение, съдържащо n произволни константи. Във втората стъпка променяме константите. Тоест считаме, че тези константи са функции на независимата променлива x и намираме формата на тези функции.

Въпреки че тук разглеждаме уравнения с постоянни коефициенти, но методът на Лагранж също е приложим за решаване на всякакви линейни нехомогенни уравнения. За това обаче трябва да се знае фундаменталната система от решения хомогенно уравнение.

Стъпка 1. Решение на хомогенното уравнение

Както в случая с уравнения от първи ред, първо търсим общо решениехомогенно уравнение, приравняващо дясната нехомогенна част на нула:
(2) .
Общото решение на такова уравнение има формата:
(3) .
Ето произволни константи; - n линейно независими решения на хомогенното уравнение (2), които образуват основната система от решения на това уравнение.

Стъпка 2. Вариация на константи - Замяна на константи с функции

Във втората стъпка ще се занимаваме с вариацията на константите. С други думи, ще заменим константите с функции на независимата променлива x:
.
Тоест търсим решение на първоначалното уравнение (1) в следната форма:
(4) .

Ако заместим (4) в (1), получаваме едно диференциално уравнение за n функции. В този случай можем да свържем тези функции с допълнителни уравнения. След това получавате n уравнения, от които можете да определите n функции. Могат да се направят допълнителни уравнения различни начини. Но ще го направим по такъв начин, че решението да има най-простата форма. За да направите това, когато диференцирате, трябва да приравните към нула членове, съдържащи производни на функции. Нека демонстрираме това.

За да заместим предложеното решение (4) в оригиналното уравнение (1), трябва да намерим производните на първите n реда на функцията, записана във формата (4). Разграничете (4) чрез прилагане правила за диференциране на сумии работи:
.
Нека групираме членовете. Първо изписваме термините с производни на , а след това и термините с производни на :

.
Налагаме първото условие на функциите:
(5.1) .
Тогава изразът за първата производна по отношение на ще има по-проста форма:
(6.1) .

По същия начин намираме втората производна:

.
Налагаме второто условие на функциите:
(5.2) .
Тогава
(6.2) .
И така нататък. При допълнителни условия ние приравняваме на нула членовете, съдържащи производните на функциите.

Така, ако изберем следните допълнителни уравнения за функциите:
(5.k) ,
тогава първите производни по отношение на ще имат най-простата форма:
(6.k) .
Тук .

Намираме n-тата производна:
(6.n)
.

Заместваме в оригиналното уравнение (1):
(1) ;






.
Вземаме предвид, че всички функции отговарят на уравнение (2):
.
Тогава сумата от условията, съдържащи даде нула. В резултат на това получаваме:
(7) .

В резултат на това получихме система от линейни уравнения за производни:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

Решавайки тази система, ние намираме изрази за производни като функции на x. Интегрирайки, получаваме:
.
Тук има константи, които вече не зависят от x. Замествайки в (4), получаваме общото решение на първоначалното уравнение.

Имайте предвид, че никога не сме използвали факта, че коефициентите a i са постоянни, за да определим стойностите на производните. Ето защо методът на Лагранж е приложим за решаване на всякакви линейни нехомогенни уравнения, ако е известна фундаменталната система от решения на хомогенното уравнение (2).

Примери

Решаване на уравнения по метода на вариацията на константите (Лагранж).

Методът на вариация на произволни константи се използва за решаване на нехомогенни диференциални уравнения. Този урокпредназначени за тези студенти, които вече са повече или по-малко добре запознати с темата. Ако тепърва започвате да се запознавате с дистанционното управление, т.е. Ако сте чайник, препоръчвам да започнете с първия урок: Диференциални уравнения от първи ред. Примери за решения. И ако вече приключвате, моля, изхвърлете евентуалното предубеждение, че методът е труден. Защото е прост.

В какви случаи се използва методът на вариация на произволни константи?

1) Методът на вариация на произволна константа може да се използва за решаване линеен нехомогенен DE от 1-ви ред. Тъй като уравнението е от първи ред, тогава константата (константата) също е единица.

2) Методът на вариация на произволни константи се използва за решаване на някои линейни нееднородни уравнения от втори ред. Тук две константи (константи) варират.

Логично е да се предположи, че урокът ще се състои от два параграфа .... Затова написах това предложение и около 10 минути мъчително обмислях какви други умни глупости да добавя за плавен преход към практически примери. Но по някаква причина няма мисли след празниците, въпреки че изглежда, че не съм злоупотребявал с нищо. Така че нека преминем направо към първия параграф.

Метод на произволна постоянна вариация
за линейно нееднородно уравнение от първи ред

Преди да разгледаме метода на вариация на произволна константа, е желателно да се запознаем със статията Линейни диференциални уравнения от първи ред. В този урок ние се упражнявахме първи начин за решаваненехомогенна DE от 1-ви ред. Това първо решение, напомням ви, се нарича метод на подмянаили Метод на Бернули(да не се бърка с Уравнение на Бернули!!!)

Сега ще разгледаме втори начин за решаване– метод на вариация на произволна константа. Ще дам само три примера и ще ги взема от горния урок. Защо толкова малко? Защото всъщност решението по втория начин ще бъде много подобно на решението по първия начин. Освен това, според моите наблюдения, методът на вариация на произволни константи се използва по-рядко от метода на заместване.

Пример 1

(Разлика от пример № 2 от урока Линейни нехомогенни DE от 1-ви ред)

Решение:Това уравнение е линейно нехомогенно и има позната форма:

Първата стъпка е да решите по-просто уравнение:
Тоест, ние глупаво нулираме дясната страна - вместо това пишем нула.
Уравнението аз ще се обадя спомагателно уравнение.

AT този примеррешете следното спомагателно уравнение:

пред нас разделимо уравнение, чието решение (надявам се) вече не е трудно за вас:

По този начин:
е общото решение на спомагателното уравнение.

На второто стъпало замениконстанта на някои ощенеизвестна функция, която зависи от "x":

Оттук и името на метода - променяме константата. Като алтернатива, константата може да бъде някаква функция, която трябва да намерим сега.

AT началеннехомогенно уравнение Да заменим:

Заместник и в уравнението :

контролен момент - двата члена от лявата страна се анулират. Ако това не се случи, трябва да потърсите грешката по-горе.

В резултат на замяната се получава уравнение с разделими променливи. Разделете променливите и интегрирайте.

Каква благословия, експонентите също намаляват:

Добавяме „нормална“ константа към намерената функция:

На финален етапзапомнете нашата замяна:

Току-що намерена функция!

Така че общото решение е:

Отговор:общо решение:

Ако разпечатате двете решения, лесно ще забележите, че и в двата случая намерихме едни и същи интеграли. Единствената разлика е в алгоритъма за решение.

Сега нещо по-сложно, ще коментирам и втория пример:

Пример 2

Намерете общото решение на диференциалното уравнение
(Разлика от пример № 8 от урока Линейни нехомогенни DE от 1-ви ред)

Решение:Привеждаме уравнението във формата :

Задайте дясната страна на нула и решете спомагателното уравнение:

Общо решение на спомагателното уравнение:

В нехомогенното уравнение ще направим заместването:

Според правилото за диференциране на продукта:

Заместник и в първоначалното нехомогенно уравнение:

Двата члена от лявата страна се отменят, което означава, че сме на правилният начин:

Интегрираме по части. Една вкусна буква от формулата за интегриране по части вече е включена в решението, така че използваме например буквите "a" и "be":

Сега нека да разгледаме замяната:

Отговор:общо решение:

И един пример за независимо решение:

Пример 3

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, съответстващо на даденото начално условие.

,
(Разлика от пример за урок 4 Линейни нехомогенни DE от 1-ви ред)
Решение:
Това DE е линейно нехомогенно. Използваме метода на вариация на произволни константи. Нека да решим спомагателното уравнение:

Разделяме променливите и интегрираме:

Общо решение:
В нехомогенното уравнение ще направим заместването:

Нека направим замяната:

Така че общото решение е:

Намерете конкретно решение, съответстващо на даденото начално условие:

Отговор:лично решение:

Решението в края на урока може да послужи като приблизителен модел за изпълнение на задачата.

Метод на вариация на произволни константи
за линейно нехомогенно уравнение от втори ред
с постоянни коефициенти

Често се чува мнението, че методът на вариация на произволни константи за уравнение от втори ред не е лесен. Но предполагам следното: най-вероятно методът изглежда труден за мнозина, тъй като не е толкова често срещан. Но в действителност няма особени затруднения - ходът на решението е ясен, прозрачен и разбираем. И красив.

За овладяване на метода е желателно да можете да решавате нехомогенни уравненияметод от втори ред за избор на конкретно решение според формата на дясната страна. Този методразгледани подробно в статията. Нехомогенна DE от 2-ри ред. Спомняме си, че линейно нехомогенно уравнение от втори ред с постоянни коефициенти има формата:

Методът за избор, който беше разгледан в горния урок, работи само в ограничен брой случаи, когато полиноми, експоненти, синуси, косинуси са от дясната страна. Но какво да правите, когато отдясно, например, дроб, логаритъм, тангенс? В такава ситуация на помощ идва методът на вариация на константите.

Пример 4

Намерете общото решение на диференциално уравнение от втори ред

Решение:От дясната страна дадено уравнениеима фракция, така че веднага можем да кажем, че методът за избор на конкретно решение не работи. Използваме метода на вариация на произволни константи.

Нищо не предвещава гръмотевична буря, началото на решението е съвсем обикновено:

Да намерим общо решениерелевантни хомогененуравнения:

Съставяме и решаваме характеристичното уравнение:


– получават се спрегнати комплексни корени, така че общото решение е:

Обърнете внимание на записа на общото решение - ако има скоби, отворете ги.

Сега правим почти същия трик като за уравнението от първи ред: променяме константите, като ги заместваме с неизвестни функции. Това е, общо решение на нееднороднитеЩе търсим уравнения във формата:

Където - ощенеизвестни функции.

Прилича на сметище, но сега ще подредим всичко.

Производните на функции действат като неизвестни. Нашата цел е да намерим производни и намерените производни трябва да удовлетворяват както първото, така и второто уравнение на системата.

Откъде идват "игрите"? Донася ги щъркелът. Разглеждаме предварително полученото общо решение и пишем:

Нека намерим производни:

Справих се с лявата страна. Какво има вдясно?

- това е дясна частпървоначалното уравнение, в този случай:

Коефициентът е коефициентът при втората производна:

На практика почти винаги и нашият пример не прави изключение.

Всичко е изчистено, сега можете да създадете система:

Системата обикновено е решена според формулите на Крамеризползвайки стандартния алгоритъм. Единствената разлика е, че вместо числа имаме функции.

Намерете основната детерминанта на системата:

Ако сте забравили как се разкрива детерминантата „две по две“, вижте урока Как да изчислим детерминантата?Линкът води към дъската на срама =)

И така: , така че системата има уникално решение.

Намираме производната:

Но това не е всичко, досега сме открили само производното.
Самата функция се възстановява чрез интегриране:

Нека да разгледаме втората функция:

Тук добавяме "нормална" константа

На последния етап от решението си спомняме в каква форма търсихме общото решение на нехомогенното уравнение? По такъв:

Необходими функциитоку-що намерен!

Остава да извършите замяната и да запишете отговора:

Отговор:общо решение:

По принцип отговорът може да отвори скоби.

Пълна проверка на отговора се извършва по стандартната схема, която беше разгледана в урока. Нехомогенна DE от 2-ри ред. Но проверката няма да е лесна, тъй като трябва да намерим доста тежки производни и да извършим тромаво заместване. Това е неприятна функция, когато решавате разлики по този начин.

Пример 5

Решете диференциалното уравнение по метода на вариация на произволни константи

Това е пример за „направи си сам“. Всъщност дясната страна също е дроб. Помним тригонометрична формула, между другото, ще трябва да се приложи в хода на решението.

Методът на вариация на произволни константи е най-много универсален метод. Те могат да решат всяко уравнение, което може да бъде решено методът за избор на конкретно решение според формата на дясната страна. Възниква въпросът защо и там да не използваме метода на вариация на произволни константи? Отговорът е очевиден: изборът на конкретно решение, което беше разгледано в урока Нееднородни уравнения от втори ред, значително ускорява решението и намалява нотацията - без бъркане с детерминанти и интеграли.

Разгледайте два примера с Проблем с Коши.

Пример 6

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, съответстващо на даденото начални условия

,

Решение:Отново дроб и показател в интересно място.
Използваме метода на вариация на произволни константи.

Да намерим общо решениерелевантни хомогененуравнения:



– получават се различни реални корени, така че общото решение е:

Общото решение на нехомогеннототърсим уравнения във формата: , където - ощенеизвестни функции.

Нека създадем система:

В такъв случай:
,
Намиране на производни:
,

По този начин:

Решаваме системата с помощта на формулите на Крамер:
, така че системата има уникално решение.

Възстановяваме функцията чрез интеграция:

Използва се тук метод за привеждане на функция под диференциален знак.

Възстановяваме втората функция чрез интегриране:

Решава се такъв интеграл метод на заместване на променливи:

От самата замяна изразяваме:

По този начин:

Този интеграл може да бъде намерен метод на екстракция пълен квадрат , но в примери с diffurs предпочитам да разширя фракцията метод на несигурни коефициенти:

Намерени са и двете функции:

В резултат на това общото решение на нехомогенното уравнение е:

Намерете конкретно решение, което отговаря на началните условия .

Технически се извършва търсене на решение по стандартен начин, което беше обсъдено в статията Нехомогенни диференциални уравнения от втори ред.

Чакайте, сега ще намерим производната на намереното общо решение:

Ето такъв позор. Не е необходимо да го опростявате, по-лесно е веднага да съставите система от уравнения. Според началните условия :

Заменете намерените стойности на константите в общо решение:

В отговора логаритмите могат да бъдат малко опаковани.

Отговор:лично решение:

Както можете да видите, трудности могат да възникнат в интегралите и производните, но не и в алгоритъма на метода за вариация на произволни константи. Не аз ви уплаших, всичко това е сборник на Кузнецов!

За да се отпуснете, последен, по-прост, саморазрешаващ се пример:

Пример 7

Решете проблема на Коши

,

Примерът е прост, но креативен, когато правите система, разгледайте я внимателно, преди да решите ;-),




В резултат на това общото решение е:

Намерете конкретно решение, съответстващо на началните условия .



Заместваме намерените стойности на константите в общото решение:

Отговор:лично решение:

Разгледайте сега линейното нехомогенно уравнение
. (2)
Нека y 1 ,y 2 ,.., y n е фундаменталната система от решения и е общото решение на съответното хомогенно уравнение L(y)=0 . Подобно на случая на уравнения от първи ред, ще търсим решение на уравнение (2) във формата
. (3)
Нека проверим дали съществува решение в тази форма. За да направим това, заместваме функцията в уравнението. За да заместим тази функция в уравнението, намираме нейните производни. Първата производна е
. (4)
При изчисляване на втората производна четири члена се появяват от дясната страна на (4), при изчисляване на третата производна се появяват осем члена и т.н. Следователно, за удобство на по-нататъшните изчисления, първият член в (4) се приема за равен на нула. Имайки това предвид, втората производна е равна на
. (5)
По същите причини, както преди, в (5) ние също поставяме първия член равен на нула. накрая n-та производнае равно на
. (6)
Замествайки получените стойности на производните в оригиналното уравнение, имаме
. (7)
Вторият член в (7) е равен на нула, тъй като функциите y j , j=1,2,..,n, са решения на съответното хомогенно уравнение L(y)=0. Комбинирайки с предишния, получаваме системата алгебрични уравненияза намиране на функции C" j (x)
(8)
Детерминантата на тази система е детерминантата на Вронски на фундаменталната система от решения y 1 ,y 2 ,..,y n на съответното хомогенно уравнение L(y)=0 и следователно не е равна на нула. Следователно има уникално решение за системата (8). След като го намерихме, получаваме функциите C "j (x), j=1,2,…,n, и следователно C j (x), j=1,2,…,n Замествайки тези стойности в (3), получаваме решението на линейното нехомогенно уравнение.
Описаният метод се нарича метод на вариация на произволна константа или метод на Лагранж.

Максимална производна степен 2 3 4 5 6

Пример #1. Намерете общото решение на уравнението y "" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Разгледайте съответното хомогенно уравнение y "" + 4y" + 3y = 0. Корените му характеристично уравнение r 2 + 4r + 3 = 0 са -1 и -3. Следователно основната система от решения на хомогенно уравнение се състои от функциите y 1 = e - x и y 2 = e -3 x. Търсим решение на нехомогенно уравнение във формата y \u003d C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. За да намерим производните C " 1 , C" 2 съставяме система от уравнения (8)

решавайки което, намираме , Интегрирайки получените функции, имаме
Накрая получаваме

Пример #2. Решете линейни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти по метода на вариация на произволни константи:

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Решение:
Това диференциално уравнение принадлежи към линейните диференциални уравнения с постоянни коефициенти.
Ще търсим решението на уравнението във формата y = e rx . За да направим това, съставяме характеристичното уравнение на линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Корените на характеристичното уравнение: r 1 = 4, r 2 = 2
Следователно основната система от решения са функциите:
y 1 \u003d e 4x, y 2 \u003d e 2x
Общото решение на хомогенното уравнение има формата:

Търсене на конкретно решение чрез метода на вариация на произволна константа.
За да намерим производните на C "i, съставяме система от уравнения:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Изразете C" 1 от първото уравнение:
C" 1 \u003d -c 2 e -2x
и заместник във втория. В резултат на това получаваме:
C" 1 \u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C" 2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Интегрираме получените функции C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Тъй като , след което записваме получените изрази във формата:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Така общото решение на диференциалното уравнение има формата:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
или
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Намираме конкретно решение при условие:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Замествайки x = 0 в намереното уравнение, получаваме:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Намираме първата производна на полученото общо решение:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Замествайки x = 0, получаваме:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Получаваме система от две уравнения:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
или
C * 1 + C * 2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
или
C * 1 + C * 2 = 2
2C1 + C2 = 2
Където:
C1=0, C*2=2
Конкретно решение ще бъде написано като:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Теоретичен минимум

В теорията на диференциалните уравнения има метод, който претендира за достатъчно висока степен на универсалност за тази теория.
Говорим за метода на вариация на произволна константа, приложим за решаването на различни класове диференциални уравнения и техните
системи. Това е точно случаят, когато теорията - ако извадите доказателството на твърденията извън скоби - е минимална, но ви позволява да постигнете
значителни резултати, така че основният акцент ще бъде върху примерите.

Общата идея на метода е доста проста за формулиране. Позволявам дадено уравнение(система от уравнения) е трудна за решаване или изобщо не е ясна,
как да го решим. Въпреки това може да се види, че когато някои членове са изключени от уравнението, то се решава. След това решават точно такова опростено
уравнение (система), получавате решение, съдържащо определен брой произволни константи - в зависимост от реда на уравнението (числото
уравнения в системата). Тогава се приема, че константите в намереното решение всъщност не са константи, намереното решение
се замества в първоначалното уравнение (система), се получава диференциално уравнение (или система от уравнения) за определяне на "константите".
Има известна специфика при прилагането на метода на вариация на произволна константа към различни задачи, но това са вече подробности, които ще бъдат
показани с примери.

Нека разгледаме отделно решението на линейни нееднородни уравнения от по-високи порядъци, т.е. уравнения на формата
.
Общото решение на линейно нехомогенно уравнение е сумата от общото решение на съответното хомогенно уравнение и частното решение
дадено уравнение. Да приемем, че общото решение на хомогенното уравнение вече е намерено, а именно фундаменталната система от решения (FSR) е конструирана
. Тогава общото решение на хомогенното уравнение е .
Необходимо е да се намери всяко конкретно решение на нехомогенното уравнение. За тази цел константите се считат за зависими от променливата.
След това трябва да решите системата от уравнения
.
Теорията гарантира, че тази система от алгебрични уравнения по отношение на производни на функции има уникално решение.
При намиране на самите функции интеграционните константи не се появяват: в крайна сметка се търси всяко едно решение.

В случай на решаване на системи от линейни нехомогенни уравнения от първи ред на формата

алгоритъмът остава почти непроменен. Първо трябва да намерите съответния FSR хомогенна системауравнения, съставете основната матрица
система , чиито колони са елементите на FSR. След това уравнението
.
Решавайки системата, ние определяме функциите, като по този начин намираме конкретно решение на оригиналната система
(основната матрица се умножава по намерената колона с характеристики).
Добавяме го към общото решение на съответната система от хомогенни уравнения, която е изградена на базата на вече намерената FSR.
Получава се общото решение на оригиналната система.

Примери.

Пример 1 Линейни нееднородни уравнения от първи ред.

Нека разгледаме съответното хомогенно уравнение (означаваме търсената функция с ):
.
Това уравнение се решава лесно чрез разделяне на променливи:

.
Сега представяме решението на първоначалното уравнение във формата , където функцията тепърва ще се намира.
Ние заместваме този тип решение в оригиналното уравнение:
.
Както можете да видите, вторият и третият член от лявата страна взаимно се компенсират - това е особеностметод на вариация на произволна константа.

Тук вече - наистина, произволна константа. По този начин,
.

Пример 2 Уравнение на Бернули.

Действаме подобно на първия пример - решаваме уравнението

метод за разделяне на променливи. Ще се окаже , така че търсим решението на първоначалното уравнение във формата
.
Заместете тази функция в оригиналното уравнение:
.
И отново има съкращения:
.
Тук трябва да запомните, за да сте сигурни, че при разделяне на решението не се губи. И случаят отговаря на решението на оригинала
уравнения. Да го помним. Така,
.
Да пишем.
Това е решението. Когато пишете отговора, трябва да посочите и решението, намерено по-рано, тъй като то не отговаря на никаква крайна стойност
константи.

Пример 3 Линейни нехомогенни уравнения от по-високи редове.

Веднага отбелязваме, че това уравнение може да бъде решено по-просто, но е удобно да се покаже методът върху него. Въпреки че някои предимства
методът на вариация на произволна константа също го има в този пример.
И така, трябва да започнете с FSR на съответното хомогенно уравнение. Спомнете си, че за да намерите FSR, характеристиката
уравнението
.
Така общото решение на хомогенното уравнение
.
Включените тук константи трябва да се променят. Компилиране на система

Нека се обърнем към разглеждането на линейни нееднородни диференциални уравнения на формата

където - желана аргументна функция , и функциите



са дадени и непрекъснати на някакъв интервал
.

Нека да разгледаме линейно хомогенно уравнение, чиято лява страна съвпада с лявата страна на нехомогенното уравнение (2.31),

Извиква се уравнение от вида (2.32). хомогенно уравнение, съответстващо на нехомогенното уравнение (2.31).

Важи следната теорема за структурата на общото решение на нехомогенното линейно уравнение (2.31).

Теорема 2.6.Общото решение на линейното нехомогенно уравнение (2.31) в областта

е сумата от всяко негово частно решение и общото решение на съответното хомогенно уравнение (2.32) в областта (2.33), т.е.

където - конкретно решение на уравнение (2.31),
е основната система от решения на хомогенното уравнение (2.32), и
са произволни константи.

Доказателството на тази теорема може да се намери в.

Използвайки примера на диференциално уравнение от втори ред, ние представяме метод, чрез който може да се намери конкретно решение на линейно нехомогенно уравнение. Този метод се нарича Вариации на метода на Лагранж на произволни константи.

И така, нека е дадено нехомогенно линейно уравнение

(2.35)

където коефициентите
и дясната страна
непрекъснато в някакъв интервал
.

Означаваме с
и
фундаментална система от решения на хомогенното уравнение

(2.36)

Тогава общото му решение има вида

(2.37)

където и са произволни константи.

Ще търсим решение на уравнение (2.35) в същата форма , както и общото решение на съответното хомогенно уравнение, замествайки произволни константи с някои диференцируеми функции на (ние променяме произволни константи),тези.

където
и
са някои разграничими функции от , които все още са неизвестни и които ще се опитаме да определим, така че функцията (2.38) да бъде решение на нееднородното уравнение (2.35). Диференцирайки двете страни на равенството (2.38), получаваме

Така че при изчисляване няма производни от втори ред на
и
, изискваме това навсякъде в
условието

Тогава за ще има

Изчислете втората производна

Заместване на изрази за ,,от (2.38), (2.40), (2.41) в уравнение (2.35), получаваме

Изрази в квадратни скоби, са равни на нула навсякъде в
, защото и - частни решения на уравнение (2.36). В този случай (2.42) приема формата Комбинирайки това условие с условие (2.39), получаваме система от уравнения за определяне
и

(2.43)

Последната система е система от две алгебрични линейни нехомогенни уравнения по отношение на
и
. Детерминантата на тази система е детерминантата на Вронски за фундаменталната система от решения ,и следователно е различен от нула навсякъде в
. Това означава, че системата (2.43) има единствено решение. След като го реши по какъвто и да е начин относно
,
намирам

където
и
са добре познати функции.

Извършвайки интеграцията и като вземем предвид, че като
,
трябва да се вземе всяка една двойка функции, ние задаваме константите на интегриране равни на нула. Вземете

Замествайки изрази (2.44) в отношения (2.38), можем да запишем желаното решение на нехомогенното уравнение (2.35) във формата

Този метод може да се обобщи, за да се намери конкретно решение на линейното нехомогенно уравнение -та поръчка.

Пример 2.6. реши уравнението
при
ако функции

образуват фундаментална система от решения на съответното хомогенно уравнение.

Нека намерим конкретно решение на това уравнение. За да направите това, в съответствие с метода на Лагранж, първо трябва да решите система (2.43), която в нашия случай има формата
Намаляване на двете страни на всяко от уравненията с получаваме

Изваждайки член по член на първото уравнение от второто уравнение, намираме
и след това от първото уравнение следва
Извършвайки интегрирането и задавайки интеграционните константи равни на нула, имаме

Конкретно решение на това уравнение може да бъде представено като

Тогава общото решение на това уравнение има формата

където и са произволни константи.

И накрая, отбелязваме едно забележително свойство, което често се нарича принцип на налагане на решения и се описва от следната теорема.

Теорема 2.7.Ако между
функция
- конкретно решение на уравнението на функцията
конкретно решение на уравнението на същия интервал, функцията
е конкретно решение на уравнението