Концепцията за квадратна форма. Матрица с квадратна форма. Канонична форма на квадратна форма. Метод на Лагранж. Нормален изглед на квадратна форма. Ранг, индекс и сигнатура на квадратна форма. Положително определена квадратна форма. Квадрика.

Понятие за квадратна форма:функция върху векторно пространство, определено от хомогенен полином от втора степен в координатите на вектора.

Квадратна форма от ннеизвестен се нарича сбор, всеки член от който е или квадрат на едно от тези неизвестни, или продукт на две различни неизвестни.

Квадратна матрица:Матрицата се нарича матрица с квадратична форма в дадена основа. Ако характеристиката на полето не е равна на 2, можем да приемем, че матрицата с квадратична форма е симетрична, т.е.

Напишете матрица с квадратна форма:

следователно

Във формата на векторна матрица квадратната форма е:

А, къде

Канонична форма на квадратна форма:Квадратната форма се нарича канонична, ако всички т.е.

Всяка квадратна форма може да бъде редуцирана до канонична форма с помощта на линейни трансформации. На практика обикновено се използват следните методи.

Метод на Лагранж : последователен избор на цели квадрати. Например ако

След това се извършва подобна процедура с квадратната форма и т.н. Ако в квадратна форма всичко е но тогава след предварително преобразуване въпросът се свежда до разглежданата процедура. Така че, ако, например, тогава предполагаме

Нормална форма на квадратна форма:Нормалната квадратна форма е канонична квадратна форма, в която всички коефициенти са равни на +1 или -1.

Ранг, индекс и сигнатура на квадратна форма:Ранг на квадратична форма Асе нарича ранг на матрицата А. Рангът на квадратична форма не се променя при неизродени трансформации на неизвестни.

Броят на отрицателните коефициенти се нарича индекс на отрицателна форма.

Броят на положителните членове в канонична форма се нарича положителен индекс на инерция на квадратичната форма, броят на отрицателните членове се нарича отрицателен индекс. Разликата между положителните и отрицателните индекси се нарича сигнатура на квадратичната форма

Положително определена квадратна форма:Реална квадратна форма се нарича положително определено (отрицателно определено), ако за всякакви реални стойности на променливите, които не са едновременно нула,

. (36)

В този случай матрицата се нарича още положително определена (отрицателна определена).

Класът на положително определените (отрицателно определени) форми е част от класа на неотрицателните (респ. неположителни) форми.

Квадрика:Квадрик - н-дименсионална хиперповърхност в н+1-мерно пространство, дефинирано като набор от нули на полином от втора степен. Ако въведете координатите ( х 1 , х 2 , x n+1 ) (в евклидово или афинно пространство), общото уравнение на квадрика е

Това уравнение може да бъде пренаписано по-компактно в матрична нотация:

където x = ( х 1 , х 2 , x n+1 ) — ред вектор, х T е транспониран вектор, Q— матрица на размера ( н+1)×( н+1) (приема се, че поне един от елементите му е различен от нула), Пе ред вектор и Р— постоянен. Най-често се разглеждат квадрики върху реални или комплексни числа. Дефиницията може да бъде разширена до квадрики в проективно пространство, вижте по-долу.

По-общо, наборът от нули на система от полиномиални уравнения е известен като алгебрично разнообразие. По този начин квадриката е (афинно или проективно) алгебрично многообразие от втора степен и коразмерност 1.

Трансформации на равнина и пространство.

Дефиниция на равнинна трансформация. Датчик за движение. свойства на движението. Два вида движения: движение от първи вид и движение от втори вид. Примери за движения. Аналитично изразяване на движението. Класификация на равнинните движения (в зависимост от наличието на фиксирани точки и инвариантни линии). Група равнинни движения.

Дефиниция на равнинна трансформация: Дефиниция.Равнинна трансформация, която запазва разстоянието между точките, се нарича движение(или движение) на самолета. Равнинната трансформация се нарича афинен, ако трансформира всякакви три точки, лежащи на една и съща права, в три точки, също лежащи на същата права и в същото време запазвайки простото отношение на трите точки.

Определение на движението:Това са трансформации на формата, които запазват разстоянията между точките. Ако две фигури са точно подравнени една спрямо друга чрез движение, тогава тези фигури са еднакви, равни.

Свойства на движението:Всяко движение на равнина, запазващо ориентацията, е или паралелно преместване, или ротация; всяко движение на равнина, променящо ориентацията, е или аксиална симетрия, или плъзгаща симетрия. При движение точките, лежащи на права линия, се трансформират в точки, лежащи на права линия, като редът на взаимното им разположение се запазва. При движение ъглите между полуправите се запазват.

Два вида движения: движение от първи вид и движение от втори вид:Движения от първи вид са тези движения, които запазват ориентацията на основите на определена фигура. Те могат да се реализират чрез непрекъснати движения.

Движенията от втория вид са тези движения, които променят ориентацията на основите към противоположната. Те не могат да се реализират чрез непрекъснати движения.

Примери за движения от първи вид са транслация и въртене около права линия, а движения от втори вид са централна и огледална симетрия.

Композицията от произволен брой движения от първи вид е движение от първи вид.

Съставът на четен брой движения от втори род е движение от 1-ви вид, а съставът на нечетен брой движения от 2-ри род е движение от 2-ри род.

Примери за движения:Паралелен трансфер. Нека a е дадения вектор. Паралелният трансфер към вектор a е преобразуване на равнината върху себе си, при което всяка точка M се преобразува в точка M 1, така че вектор MM 1 е равен на вектор a.

Паралелният превод е движение, защото е картографиране на равнината върху себе си, като се запазват разстоянията. Това движение може да бъде визуално представено като изместване на цялата равнина по посока на даден вектор a по дължината му.

Завъртете.Нека означим точката O на равнината ( център за обръщане) и задайте ъгъла α ( ъгъл на завъртане). Завъртане на равнината около точка O с ъгъл α е преобразуване на равнината върху себе си, при което всяка точка M се преобразува в точка M 1, така че OM = OM 1 и ъгълът MOM 1 е равен на α. В този случай точка O остава на мястото си, т.е. тя се нанася върху себе си, а всички останали точки се въртят около точка O в същата посока - по или обратно на часовниковата стрелка (фигурата показва въртене обратно на часовниковата стрелка).

Ротацията е движение, защото представлява преобразуване на равнината върху себе си, при което разстоянията се запазват.

Аналитичен израз на движението:аналитичната връзка между координатите на прообраза и образа на точката има вида (1).

Класификация на равнинни движения (в зависимост от наличието на фиксирани точки и инвариантни линии): Определение:

Точка на равнина е инвариантна (фиксирана), ако при дадено преобразуване се трансформира в себе си.

Пример: При централна симетрия точката на центъра на симетрия е инвариантна. При завъртане точката на центъра на въртене е инвариантна. При аксиалната симетрия инвариантната линия е права линия - оста на симетрия е права линия от инвариантни точки.

Теорема: Ако движението няма нито една инвариантна точка, то има поне една инвариантна посока.

Пример: Паралелен трансфер. Наистина, правите линии, успоредни на тази посока, са инвариантни като фигура като цяло, въпреки че не се състои от инвариантни точки.

Теорема: Ако лъч се движи, лъчът се преобразува в себе си, тогава това движение е или идентична трансформация, или симетрия по отношение на правата линия, съдържаща дадения лъч.

Следователно въз основа на наличието на инвариантни точки или фигури е възможно да се класифицират движенията.

Име на движението	Инвариантни точки	Инвариантни линии
Движение от първи вид.
1. - завой	(център) - 0	Не
2. Трансформация на идентичността	всички точки на равнината	всичко направо
3. Централна симетрия	точка 0 - център	всички прави, минаващи през точка 0
4. Паралелен трансфер	Не	всичко направо
Движение от втори вид.
5. Аксиална симетрия.	набор от точки	ос на симетрия (права линия) всички прави линии

Група за движение на равнина:В геометрията групите от самокомпозиции на фигури играят важна роля. Ако е определена фигура в равнина (или в пространство), тогава можем да разгледаме набора от всички тези движения на равнината (или пространството), по време на които фигурата се превръща в себе си.

Този набор е група. Например, за равностранен триъгълник, групата от равнинни движения, които трансформират триъгълника в себе си, се състои от 6 елемента: завъртания през ъгли около точка и симетрии около три прави линии.

Те са показани на фиг. 1 с червени линии. Елементите от групата на самоподравняването на правилен триъгълник могат да бъдат определени по различен начин. За да обясним това, нека номерираме върховете на правилен триъгълник с числата 1, 2, 3. Всяко самоподравняване на триъгълника отвежда точки 1, 2, 3 до същите точки, но взети в различен ред, т.е. може условно да се запише под формата на една от тези скоби:

и т.н.

където числата 1, 2, 3 показват номерата на тези върхове, в които върховете 1, 2, 3 отиват в резултат на разглежданото движение.

Проективни пространства и техните модели.

Концепцията за проективно пространство и модел на проективно пространство. Основни факти от проективната геометрия. Куп прави с център в точка O е модел на проективната равнина. Проективни точки. Разширената равнина е модел на проективната равнина. Разширеното триизмерно афинно или евклидово пространство е модел на проективно пространство. Изображения на плоски и пространствени фигури в паралелен дизайн.

Концепцията за проективно пространство и модел на проективно пространство:

Проективно пространство над поле е пространство, състоящо се от линии (едномерни подпространства) на някакво линейно пространство над дадено поле. Директни пространства се наричат точкипроективно пространство. Това определение може да се обобщи за произволно тяло

Ако има размерност, тогава размерността на проективното пространство се нарича число, а самото проективно пространство се обозначава и се нарича свързано с (за да се посочи това, нотацията се приема).

Преходът от векторно пространство на размерност към съответното проективно пространство се нарича проективизацияпространство.

Точките могат да бъдат описани с хомогенни координати.

Основни факти от проективната геометрия:Проективната геометрия е клон на геометрията, който изучава проективни равнини и пространства. Основната характеристика на проективната геометрия е принципът на дуалността, който добавя елегантна симетрия към много дизайни. Проективната геометрия може да се изучава както от чисто геометрична гледна точка, така и от аналитична (използвайки хомогенни координати) и алгебрична гледна точка, разглеждайки проективната равнина като структура над поле. Често и в исторически план истинската проективна равнина се счита за евклидовата равнина с добавянето на "права в безкрайност".

Докато свойствата на фигурите, с които работи евклидовата геометрия, са показател(специфични стойности на ъгли, сегменти, области), а еквивалентността на фигурите е еквивалентна на техните конгруентност(т.е. когато фигурите могат да бъдат преобразувани една в друга чрез движение, като същевременно се запазват метричните свойства), има по-„дълбоко разположени“ свойства на геометричните фигури, които се запазват при трансформации от по-общ тип от движението. Проективната геометрия се занимава с изучаването на свойства на фигури, които са инвариантни в класа проективни трансформации, както и самите тези трансформации.

Проективната геометрия допълва евклидовата геометрия, като предоставя красиви и прости решения на много проблеми, усложнени от наличието на успоредни прави. Проективната теория на коничните сечения е особено проста и елегантна.

Има три основни подхода към проективната геометрия: независима аксиоматизация, допълване на евклидовата геометрия и структура върху поле.

Аксиоматизиране

Проективното пространство може да бъде дефинирано с помощта на различен набор от аксиоми.

Coxeter предоставя следното:

1. Има права линия и точка извън нея.

2. Всяка линия има поне три точки.

3. През две точки можете да начертаете точно една права линия.

4. Ако А, б, ° С, И д- различни точки и ABИ CDпресичат се, тогава A.C.И BDпресичат се.

5. Ако ABCе равнина, тогава има поне една точка извън равнината ABC.

6. Две различни равнини пресичат поне две точки.

7. Трите диагонални точки на пълен четириъгълник не са колинеарни.

8. Ако три точки са на права х х

Проективната равнина (без третото измерение) се определя от малко по-различни аксиоми:

1. През две точки можете да начертаете точно една права линия.

2. Всякакви две прави се пресичат.

3. Има четири точки, от които три не са колинеарни.

4. Трите диагонални точки на пълните четириъгълници не са колинеарни.

5. Ако три точки са на права хса инвариантни по отношение на проективността на φ, тогава всички точки от хинвариантен по отношение на φ.

6. Теорема на Дезарг: Ако два триъгълника имат перспектива през точка, то те имат перспектива и през права.

При наличието на трето измерение теоремата на Дезарг може да бъде доказана без въвеждане на идеална точка и права.

Разширена равнина - модел на проективна равнина:В афинното пространство A3 вземаме сноп от прави S(O) с център в точка O и равнина Π, която не минава през центъра на снопа: O 6∈ Π. Сноп от прави в афинно пространство е модел на проективната равнина. Нека дефинираме преобразуване на множеството от точки на равнината Π върху множеството прави линии на съединителя S (По дяволите, моля се, ако имате този въпрос, извинете ме)

Разширено триизмерно афинно или евклидово пространство - модел на проективно пространство:

За да направим картографирането сюръективно, ние повтаряме процеса на формално разширяване на афинната равнина Π до проективната равнина, Π, допълвайки равнината Π с набор от неправилни точки (M∞), така че: ((M∞)) = P0(O). Тъй като в картата обратният образ на всяка равнина от снопа от равнини S(O) е права в равнината d, очевидно е, че множеството от всички неправилни точки на разширената равнина: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), представлява неправилна права d∞ на разширената равнина, която е обратен образ на сингулярната равнина Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Нека се съгласим, че тук и занапред ще разбираме последното равенство P0(O) = Π0 в смисъл на равенство на множества от точки, но снабдени с различна структура. Чрез допълване на афинната равнина с неправилна права, ние гарантирахме, че картографирането (I.21) става биективно върху множеството от всички точки на разширената равнина:

Изображения на плоски и пространствени фигури по време на паралелен дизайн:

В стереометрията се изучават пространствени фигури, но на чертежа те се изобразяват като плоски фигури. Как трябва да се изобрази една пространствена фигура на равнина? Обикновено в геометрията за това се използва паралелен дизайн. Нека p е някаква равнина, л- пресичаща го права линия (фиг. 1). През произволна точка А, непринадлежащи на линията л, начертайте линия, успоредна на правата л. Пресечната точка на тази права с равнината p се нарича успоредна проекция на точката Акъм равнината p по посока на правата л. Нека го обозначим А". Ако точката Апринадлежи на линията л, след това чрез паралелна проекция Аточката на пресичане на правата се счита за равнина p лс равнина p.

Така всяка точка Апространство неговата проекция се сравнява А" върху равнината p. Това съответствие се нарича успоредна проекция върху равнината p по посока на правата л.

Група проективни трансформации. Приложение за решаване на проблеми.

Концепцията за проективна трансформация на равнина. Примери за проективни трансформации на равнината. Свойства на проективните трансформации. Хомология, свойства на хомологията. Група проективни трансформации.

Концепцията за проективна трансформация на равнина:Концепцията за проективна трансформация обобщава концепцията за централна проекция. Ако извършим централна проекция на равнината α върху някаква равнина α 1, след това проекция на α 1 върху α 2, α 2 върху α 3, ... и накрая, някаква равнина α нотново върху α 1, тогава съставът на всички тези проекции е проективната трансформация на равнината α; В такава верига могат да се включат и паралелни проекции.

Примери за проективни равнинни трансформации:Проективна трансформация на завършена равнина е нейното едно-към-едно преобразуване върху себе си, при което се запазва колинеарността на точките, или, с други думи, образът на всяка права е права линия. Всяка проективна трансформация е композиция от верига от централни и паралелни проекции. Афинната трансформация е частен случай на проективна трансформация, при която правата в безкрайност се превръща в себе си.

Свойства на проективните трансформации:

По време на проективна трансформация три точки, които не лежат на права, се трансформират в три точки, които не лежат на права.

По време на проективна трансформация рамката се превръща в рамка.

По време на проективна трансформация линията преминава в права линия и моливът преминава в молив.

Хомология, свойства на хомологията:

Проективна трансформация на равнина, която има права от инвариантни точки и следователно молив от инвариантни прави, се нарича хомология.

1. Права, минаваща през несъвпадащи съответни точки на хомология, е инвариантна права;

2. Правите, минаващи през несъвпадащи съответни точки на хомология, принадлежат на един и същи молив, чийто център е инвариантна точка.

3. Точката, нейният образ и центърът на хомоложността лежат на една права.

Група проективни трансформации:разгледайте проективното преобразуване на проективната равнина P 2 върху себе си, тоест проективната трансформация на тази равнина (P 2 ’ = P 2).

Както и преди, композицията f от проективни трансформации f 1 и f 2 на проективната равнина P 2 е резултат от последователно изпълнение на трансформации f 1 и f 2: f = f 2 °f 1 .

Теорема 1: множеството H от всички проективни трансформации на проективната равнина P 2 е група по отношение на композицията на проективните трансформации.

Хомогенен полином от степен 2 на няколко променливи се нарича квадратна форма.

Квадратната форма на променливите се състои от членове от два вида: квадрати на променливи и техните произведения по двойки с определени коефициенти. Квадратната форма обикновено се записва като следната квадратна диаграма:

Двойките подобни членове се записват с равни коефициенти, така че всеки от тях да съставлява половината от коефициента на съответното произведение на променливите. По този начин всяка квадратна форма е естествено свързана със своята матрица на коефициента, която е симетрична.

Удобно е да се представи квадратната форма в следната матрична нотация. Нека обозначим с X колона от променливи през X - ред, т.е. матрица, транспонирана с X. Тогава

Квадратните форми се срещат в много клонове на математиката и нейните приложения.

В теорията на числата и кристалографията квадратичните форми се разглеждат при допускането, че променливите приемат само цели числа. В аналитичната геометрия квадратната форма е част от уравнението на крива (или повърхност) от ред. В механиката и физиката изглежда, че квадратичната форма изразява кинетичната енергия на система чрез компонентите на обобщените скорости и т.н. Но освен това изучаването на квадратичните форми е необходимо и при анализа, когато се изучават функции на много променливи, при въпроси за което е важно да се установи как тази функция в околността на дадена точка се отклонява от линейната функция, която я апроксимира. Пример за задача от този тип е изследването на функция за нейния максимум и минимум.

Помислете, например, за проблема за изследване на максимума и минимума за функция на две променливи, която има непрекъснати частни производни до ред. Необходимо условие точката да даде максимум или минимум на функция е частните производни на реда в точката да са равни на нула.Нека приемем, че това условие е изпълнено. Нека дадем малки увеличения на променливите x и y и k и да разгледаме съответното нарастване на функцията.Според формулата на Тейлър, това увеличение, до малки по-високи разряди, е равно на квадратната форма, където са стойностите на вторите производни изчислена в точка Ако тази квадратна форма е положителна за всички стойности на и k (с изключение на), тогава функцията има минимум в точката; ако е отрицателна, тогава има максимум. И накрая, ако една форма приема както положителни, така и отрицателни стойности, тогава няма да има максимум или минимум. Функциите на по-голям брой променливи се изучават по подобен начин.

Изследването на квадратичните форми се състои главно от изучаване на проблема за еквивалентността на формите по отношение на един или друг набор от линейни трансформации на променливи. Две квадратни форми се наричат ​​еквивалентни, ако едната от тях може да бъде преобразувана в другата чрез едно от преобразуванията на дадено множество. В тясна връзка с проблема за еквивалентността е проблемът за намаляване на формата, т.е. трансформирайки го в някаква възможно най-проста форма.

В различни въпроси, свързани с квадратични форми, също се разглеждат различни набори от допустими трансформации на променливи.

По въпросите на анализа се използват всякакви неспециални трансформации на променливи; за целите на аналитичната геометрия най-голям интерес представляват ортогоналните трансформации, т.е. тези, които съответстват на прехода от една система от променливи декартови координати към друга. И накрая, в теорията на числата и кристалографията се разглеждат линейни трансформации с цели коефициенти и детерминанта, равна на единица.

Ще разгледаме два от тези проблеми: въпросът за редуциране на квадратична форма до нейната най-проста форма чрез всякакви неособени трансформации и същия въпрос за ортогонални трансформации. Първо, нека разберем как се трансформира матрица с квадратична форма по време на линейна трансформация на променливи.

Нека , където A е симетрична матрица от коефициенти на формата, X е колона от променливи.

Нека направим линейна трансформация на променливи, записвайки я съкратено като . Тук C означава матрицата на коефициентите на тази трансформация, X е колона от нови променливи. Тогава и следователно матрицата на трансформираната квадратна форма е такава

Матрицата автоматично се оказва симетрична, което лесно се проверява. По този начин проблемът за редуциране на квадратна форма до най-простата форма е еквивалентен на проблема за редуциране на симетрична матрица до най-простата форма чрез умножаването й отляво и отдясно на взаимно транспонирани матрици.

Квадратна форма f(x 1, x 2,...,x n) от n променливи е сбор, всеки член от който е или квадрат на една от променливите, или произведение на две различни променливи, взети с определен коефициент: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

Матрицата А, съставена от тези коефициенти, се нарича матрица с квадратична форма. Винаги е така симетриченматрица (т.е. матрица, симетрична спрямо главния диагонал, a ij =a ji).

В матричната нотация квадратичната форма е f(X) = X T AX, където

Наистина

Например, нека запишем квадратната форма в матрична форма.

За да направим това, намираме матрица с квадратна форма. Нейните диагонални елементи са равни на коефициентите на квадратните променливи, а останалите елементи са равни на половинките на съответните коефициенти на квадратната форма. Ето защо

Нека колоната на матрицата от променливи X се получава чрез неизродена линейна трансформация на колоната на матрицата Y, т.е. X = CY, където C е неособена матрица от n-ти ред. Тогава квадратичната форма f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

По този начин, с недегенерирана линейна трансформация C, матрицата на квадратна форма приема формата: A * =C T AC.

Например, нека намерим квадратичната форма f(y 1, y 2), получена от квадратичната форма f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 чрез линейна трансформация.

Квадратната форма се нарича каноничен(То има каноничен изглед), ако всички негови коефициенти a ij = 0 за i≠j, т.е. f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Матрицата му е диагонална.

Теорема(доказателството не е дадено тук). Всяка квадратна форма може да бъде редуцирана до канонична форма с помощта на неизродена линейна трансформация.

Например, нека приведем в канонична форма квадратичната форма f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

За да направите това, първо изберете пълен квадрат с променливата x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Сега избираме пълен квадрат с променливата x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Тогава неизродената линейна трансформация y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 и y 3 = x 3 довежда тази квадратна форма до каноничната форма f(y 1,y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Обърнете внимание, че каноничната форма на квадратична форма се определя нееднозначно (една и съща квадратна форма може да бъде редуцирана до канонична форма по различни начини 1). Въпреки това, каноничните форми, получени по различни методи, имат редица общи свойства. По-специално, броят на термините с положителни (отрицателни) коефициенти на квадратична форма не зависи от метода за редуциране на формата до тази форма (например в разглеждания пример винаги ще има два отрицателни и един положителен коефициент). Това свойство се нарича закон за инерцията на квадратичните форми.

Нека проверим това, като приведем същата квадратна форма в канонична форма по различен начин. Нека започнем трансформацията с променливата x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2) /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2) /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1,y 2,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2, където y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 и y 3 = x 1 . Тук има положителен коефициент 2 за y 3 и два отрицателни коефициента (-3) за y 1 и y 2 (и използвайки друг метод, получихме положителен коефициент 2 за y 1 и два отрицателни - (-5) за y 2 и (-1/20) за y 3 ).

Трябва също да се отбележи, че рангът на матрица с квадратична форма, т.нар ранг на квадратна форма, е равен на броя на ненулевите коефициенти на каноничната форма и не се променя при линейни трансформации.

Квадратната форма f(X) се нарича положително(отрицателен)определени, ако за всички стойности на променливите, които не са едновременно нула, той е положителен, т.е. f(X) > 0 (отрицателен, т.е. f(X)< 0).

Например, квадратичната форма f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 е положително определена, тъй като е сбор от квадрати, а квадратната форма f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 е отрицателно определена, тъй като представлява може да бъде представено във формата f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

В повечето практически ситуации е малко по-трудно да се установи определен знак на квадратна форма, така че за това използваме една от следните теореми (ще ги формулираме без доказателство).

Теорема. Квадратната форма е положителна (отрицателна) определена тогава и само ако всички собствени стойности на нейната матрица са положителни (отрицателни).

Теорема (критерий на Силвестър). Квадратната форма е положително определена тогава и само ако всички водещи минори на матрицата на тази форма са положителни.

Основен (ъглов) минорМатриците от k-ти ред от An-ти ред се наричат ​​детерминанта на матрицата, съставена от първите k реда и колони на матрицата A ().

Забележете, че за отрицателно определени квадратни форми знаците на главните минори се редуват и минорът от първи ред трябва да е отрицателен.

Например, нека разгледаме квадратичната форма f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 за определеност на знака.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0; D= 25 – 8 = 17; . Следователно квадратната форма е положително определена.

Метод 2. Главен минор от първи ред на матрицата A  1 =a 11 = 2 > 0. Главен минор от втори ред  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Следователно, според критерия на Силвестър, квадратичната формата е положително определена.

Разглеждаме друга квадратна форма за определеност на знака, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Метод 1. Нека изградим матрица с квадратична форма A = . Характеристичното уравнение ще има формата = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0; D= 25 – 8 = 17 ; . Следователно квадратната форма е отрицателно определена.

Метод 2. Главен минор от първи ред на матрицата A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Следователно, според критерия на Силвестър, квадратичната форма е отрицателно определена (знаците на главните малки се редуват, започвайки с минуса).

И като друг пример, разглеждаме определената със знак квадратна форма f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Метод 1. Нека изградим матрица с квадратична форма A = . Характеристичното уравнение ще има формата = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0; D= 1 + 40 = 41; . Едно от тези числа е отрицателно, а другото е положително. Знаците на собствените стойности са различни. Следователно квадратната форма не може да бъде нито отрицателно, нито положително определена, т.е. тази квадратична форма не е знакоопределена (може да приема стойности на всеки знак).

Метод 2. Главен минор от първи ред на матрица A  1 =a 11 = 2 > 0. Главен минор от втори ред 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Разглежданият метод за редуциране на квадратична форма до канонична форма е удобен за използване, когато се срещат ненулеви коефициенти с квадратите на променливите. Ако те не са там, все още е възможно да се извърши преобразуването, но трябва да използвате някои други техники. Например, нека f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2) ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, където y 1 = x 1 + x 2, аy 2 = x 1 – x 2.

Квадратни форми

Квадратна форма f(x 1, x 2,...,x n) от n променливи е сбор, всеки член от който е или квадрат на една от променливите, или произведение на две различни променливи, взети с определен коефициент: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Матрицата А, съставена от тези коефициенти, се нарича матрица с квадратична форма. Винаги е така симетриченматрица (т.е. матрица, симетрична спрямо главния диагонал, a ij = a ji).

В матричната нотация квадратичната форма е f(X) = X T AX, където

Наистина

Например, нека запишем квадратната форма в матрична форма.

За да направим това, намираме матрица с квадратна форма. Нейните диагонални елементи са равни на коефициентите на квадратните променливи, а останалите елементи са равни на половинките на съответните коефициенти на квадратната форма. Ето защо

Нека колоната на матрицата от променливи X се получава чрез неизродена линейна трансформация на колоната на матрицата Y, т.е. X = CY, където C е неособена матрица от n-ти ред. След това квадратната форма
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

По този начин, с недегенерирана линейна трансформация C, матрицата на квадратна форма приема формата: A * = C T AC.

Например, нека намерим квадратичната форма f(y 1, y 2), получена от квадратичната форма f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 чрез линейна трансформация.

Квадратната форма се нарича каноничен(То има каноничен изглед), ако всички негови коефициенти a ij = 0 за i ≠ j, т.е.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Матрицата му е диагонална.

Теорема(доказателството не е дадено тук). Всяка квадратна форма може да бъде редуцирана до канонична форма с помощта на неизродена линейна трансформация.

Например, нека намалим квадратичната форма до канонична форма
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

За да направите това, първо изберете пълен квадрат с променливата x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Сега избираме пълен квадрат с променливата x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Тогава неизродената линейна трансформация y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10) x 3 и y 3 = x 3 довежда тази квадратична форма до каноничната форма f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Обърнете внимание, че каноничната форма на квадратична форма се определя нееднозначно (една и съща квадратна форма може да бъде редуцирана до канонична форма по различни начини). Въпреки това, каноничните форми, получени по различни методи, имат редица общи свойства. По-специално, броят на термините с положителни (отрицателни) коефициенти на квадратична форма не зависи от метода за редуциране на формата до тази форма (например в разглеждания пример винаги ще има два отрицателни и един положителен коефициент). Това свойство се нарича закон за инерцията на квадратичните форми.

Нека проверим това, като приведем същата квадратна форма в канонична форма по различен начин. Нека започнем трансформацията с променливата x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) +((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, където y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 и y 3 = x 1 . Тук има положителен коефициент 2 при y 3 и два отрицателни коефициента (-3) при y 1 и y 2 (и използвайки друг метод получихме положителен коефициент 2 при y 1 и два отрицателни коефициента - (-5) при y 2 и (-1/20) при y 3).

Трябва също да се отбележи, че рангът на матрица с квадратична форма, т.нар ранг на квадратна форма, е равен на броя на ненулевите коефициенти на каноничната форма и не се променя при линейни трансформации.

Квадратната форма f(X) се нарича положително (отрицателен) определени, ако за всички стойности на променливите, които не са едновременно равни на нула, той е положителен, т.е. f(X) > 0 (отрицателно, т.е.
f(X)< 0).

Например, квадратичната форма f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 е положително определена, тъй като е сбор от квадрати, а квадратната форма f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 е отрицателно определена, тъй като представлява може да се представи като f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

В повечето практически ситуации е малко по-трудно да се установи определен знак на квадратна форма, така че за това използваме една от следните теореми (ще ги формулираме без доказателство).

Теорема. Квадратната форма е положителна (отрицателна) определена тогава и само ако всички собствени стойности на нейната матрица са положителни (отрицателни).

Теорема (критерий на Силвестър). Квадратната форма е положително определена тогава и само ако всички водещи минори на матрицата на тази форма са положителни.

Основен (ъглов) минорМатрицата от k-ти ред A от n-ти ред се нарича детерминанта на матрицата, съставена от първите k реда и колони на матрицата A ().

Забележете, че за отрицателно определени квадратни форми знаците на главните минори се редуват и минорът от първи ред трябва да е отрицателен.

Например, нека разгледаме квадратичната форма f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 за определеност на знака.

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Следователно квадратната форма е положително определена.

Метод 2. Главен минор от първи ред на матрица A D 1 = a 11 = 2 > 0. Главен минор от втори ред D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Следователно, според критерия на Силвестър, квадратната форма е положително определено.

Разглеждаме друга квадратна форма за определеност на знака, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Метод 1. Нека изградим матрица с квадратична форма A = . Характеристичното уравнение ще има формата = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Следователно квадратната форма е отрицателно определена.

В този раздел ще се съсредоточим върху специален, но важен клас положителни квадратни форми.

Определение 3. Реална квадратна форма се нарича неотрицателна (неположителна), ако за всякакви реални стойности на променливите

. (35)

В този случай симетричната матрица на коефициентите се нарича положителна полуопределена (отрицателна полуопределена).

Определение 4. Реална квадратна форма се нарича положително определена (отрицателно определена), ако за всякакви реални стойности на променливите, които не са едновременно нула,

. (36)

В този случай матрицата се нарича още положително определена (отрицателна определена).

Класът на положително определените (отрицателно определени) форми е част от класа на неотрицателните (респ. неположителни) форми.

Нека е дадена неотрицателна форма. Нека си го представим като сбор от независими квадрати:

. (37)

В това представяне всички квадрати трябва да са положителни:

. (38)

Всъщност, ако имаше такива, тогава би било възможно да изберете такива стойности, че

Но тогава, с тези стойности на променливите, формата ще има отрицателна стойност, което е невъзможно по условие. Очевидно, обратно, от (37) и (38) следва, че формата е положителна.

Така една неотрицателна квадратна форма се характеризира с равенствата.

Нека сега е положително определена форма. Тогава това е неотрицателна форма. Следователно тя може да бъде представена във формата (37), където всички са положителни. От положителната определеност на формата следва, че . Наистина, в случая е възможно да изберете стойности, които не са едновременно равни на нула, при които всички ще се обърнат към нула. Но тогава, по силата на (37), при , което противоречи на условие (36).

Лесно е да се види, че обратно, ако в (37) и всички са положителни, тогава това е положително определена форма.

С други думи, неотрицателна форма е положително определена тогава и само ако не е единствено число.

Следващата теорема дава критерий за положителната определеност на форма под формата на неравенства, на които трябва да отговарят коефициентите на формата. В този случай се използва обозначението, което вече се среща в предишните параграфи за последователни главни второстепенни на матрицата:

.

Теорема 3. За да бъде една квадратна форма положително определена, е необходимо и достатъчно неравенствата да са изпълнени

Доказателство. Достатъчността на условията (39) следва пряко от формулата на Якоби (28). Необходимостта от условия (39) се установява по следния начин. От положителната определеност на формата следва положителната определеност на „отсечените” форми

.

Но тогава всички тези форми трябва да са неединствени, т.е.

Сега имаме възможност да използваме формулата на Якоби (28) (при ). Тъй като от дясната страна на тази формула всички квадрати трябва да са положителни, тогава

Това предполага неравенства (39). Теоремата е доказана.

Тъй като всеки главен минор на матрица, с правилно преномериране на променливите, може да бъде поставен в горния ляв ъгъл, тогава имаме

Последица. В положително определена квадратична форма всички главни второстепенни на матрицата на коефициента са положителни:

Коментирайте. От неотрицателността на последователните основни второстепенни

неотрицателността на формата не следва. Наистина формата

,

при което , отговаря на условията , но не е неотрицателна.

Важи обаче следното

Теорема 4. За да бъде една квадратна форма неотрицателна, е необходимо и достатъчно всички главни минори на нейната матрица на коефициента да са неотрицателни:

Доказателство. Нека въведем спомагателната форма беше неположителна, необходима и достатъчна, за да се осъществят неравенствата