Плоски многоъгълници, които изграждат повърхността на полиедър. Полиедърът е тяло, чиято повърхност се състои от краен брой плоски многоъгълници

Куб, топка, пирамида, цилиндър, конус - геометрични тела. Сред тях има полиедри. Многостене геометрично тяло, чиято повърхност се състои от краен брой многоъгълници. Всеки от тези многоъгълници се нарича лице на многостена, страните и върховете на тези многоъгълници са съответно ръбовете и върховете на многостена.

Двустенни ъгли между съседни лица, т.е. лица, които имат обща страна - ръба на многостена - също са двустенни умове на многостена.Ъглите на многоъгълници - лицата на изпъкнал многоъгълник - са плоски умове на многостена.В допълнение към плоски и двустенни ъгли, изпъкнал многостен също има многостенни ъгли.Тези ъгли образуват лица, които имат общ връх.

Сред полиедрите има призмиИ пирамиди.

призма -е многостен, чиято повърхност се състои от два равни многоъгълника и успоредника, които имат общи страни с всяка от основите.

Два равни многоъгълника се наричат причини ggrizmg, а успоредниците са я страниченръбове. Оформят се страничните лица странична повърхностпризми. Ръбовете, които не лежат в основата, се наричат странични ребрапризми.

Призмата се нарича p-въглища,ако основите му са i-gons. На фиг. 24.6 показва четириъгълна призма ABCDA"B"C"D".

Призмата се нарича направо,ако страничните му стени са правоъгълници (фиг. 24.7).

Призмата се нарича правилно , ако е права и основите й са правилни многоъгълници.

Четириъгълна призма се нарича паралелепипед , ако основите му са успоредници.

Паралелепипедът се нарича правоъгълен,ако всичките му лица са правоъгълници.

Диагонал на паралелепипеде сегмент, свързващ срещуположните му върхове. Паралелепипедът има четири диагонала.

Доказано е, чеДиагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка и се разполовяват от тази точка. Диагоналите на правоъгълен паралелепипед са равни.

Пирамидае многостен, чиято повърхност се състои от многоъгълник - основата на пирамидата, и триъгълници, които имат общ връх, наречени странични лица на пирамидата. Общият връх на тези триъгълници се нарича Горна частпирамиди, ребра, простиращи се от върха, - странични ребрапирамиди.

Перпендикулярът, пуснат от върха на пирамидата към основата, както и дължината на този перпендикуляр се наричат височинапирамиди.

Най-простата пирамида - триъгълнаили тетраедър (фиг. 24.8). Особеността на триъгълната пирамида е, че всяко лице може да се счита за основа.

Пирамидата се нарича правилно,ако основата му е правилен многоъгълник и всички странични ръбове са равни един на друг.

Имайте предвид, че трябва да правим разлика правилен тетраедър(т.е. тетраедър, в който всички ръбове са равни един на друг) и правилна триъгълна пирамида(в основата му лежи правилен триъгълник, а страничните ръбове са равни един на друг, но дължината им може да се различава от дължината на страната на триъгълника, която е основата на призмата).

Разграничете изпъкналИ неизпъкналполиедри. Можете да дефинирате изпъкнал многостен, ако използвате концепцията за изпъкнало геометрично тяло: многостенът се нарича изпъкнал.ако е изпъкнала фигура, т.е. заедно с произволни две от точките си, той съдържа изцяло и свързващата ги отсечка.

Изпъкнал полиедър може да се дефинира по различен начин: многостен се нарича изпъкнал,ако лежи изцяло от едната страна на всеки от полигоните, които го ограничават.

Тези определения са еквивалентни. Ние не предоставяме доказателства за този факт.

Всички полиедри, които бяха разгледани досега, бяха изпъкнали (куб, паралелепипед, призма, пирамида и др.). Многостенът, показан на фиг. 24.9, не е изпъкнал.

Доказано е, чев изпъкнал многостен всички лица са изпъкнали многоъгълници.

Нека разгледаме няколко изпъкнали полиедра (Таблица 24.1)

От тази таблица следва, че за всички разглеждани изпъкнали полиедри равенството B - P + Ж= 2. Оказа се, че това е вярно и за всеки изпъкнал многостен. Това свойство е доказано за първи път от Л. Ойлер и е наречено теорема на Ойлер.

Изпъкнал многостен се нарича правилноако лицата му са равни правилни многоъгълници и във всеки връх се събират еднакъв брой лица.

Използвайки свойството на изпъкнал многостенен ъгъл, може да се докаже това Има не повече от пет различни вида правилни полиедри.

Наистина, ако ветрилото и полиедърът са правилни триъгълници, тогава 3, 4 и 5 могат да се събират в един връх, тъй като 60" 3< 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

Ако три правилни триъгълника се събират във всеки връх на полифан, тогава получаваме десен тетраедър,което в превод от фетически означава „тетраедър“ (фиг. 24.10, А).

Ако четири правилни триъгълника се срещнат във всеки връх на полиедър, тогава получаваме октаедър(фиг. 24.10, V).Повърхността му се състои от осем правилни триъгълника.

Ако пет правилни триъгълника се събират във всеки връх на полиедър, тогава получаваме икосаедър(Фиг. 24.10, d). Повърхността му се състои от двадесет правилни триъгълника.

Ако лицата на полифан са квадрати, тогава само три от тях могат да се събират в един връх, тъй като 90 ° 3< 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также хексаедър(фиг. 24.10, б).

Ако ръбовете на многокрил са правилни петоъгълници, тогава само фи може да се събира в един връх, тъй като 108° 3< 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется додекаедър(фиг. 24.10, д).Повърхността му се състои от дванадесет правилни петоъгълника.

Лицата на полиедър не могат да бъдат шестоъгълни или повече, тъй като дори за шестоъгълник 120° 3 = 360°.

В геометрията е доказано, че в триизмерното евклидово пространство има точно пет различни вида правилни полиедри.

За да направите модел на многостен, трябва да го направите сканиране(по-точно развитието на повърхността му).

Развитието на полиедър е фигура в равнина, която се получава, ако повърхността на полиедъра се разреже по определени ръбове и се разгъне, така че всички многоъгълници, включени в тази повърхност, да лежат в една и съща равнина.

Имайте предвид, че полиедърът може да има няколко различни развития в зависимост от това кои ръбове изрязваме. Фигура 24.11 показва фигури, които са различни развития на правилна четириъгълна пирамида, т.е. пирамида с квадрат в основата си и всички странични ръбове, равни един на друг.

За да бъде една фигура в равнина развитие на изпъкнал многостен, тя трябва да отговаря на редица изисквания, свързани с характеристиките на многостена. Например, фигурите на фиг. 24.12 не са развития на правилна четириъгълна пирамида: на фигурата, показана на фиг. 24.12, а,на върха Мчетири лица се събират, което не може да се случи в правилна четириъгълна пирамида; и на фигурата, показана на фиг. 24.12, б,странични ребра А БИ слънцене е равно.

По принцип развитието на полиедър може да се получи чрез разрязване на повърхността му не само по ръбовете. Пример за такова развитие на куб е показано на фиг. 24.13. Следователно, по-точно, развитието на полиедър може да се определи като плосък многоъгълник, от който повърхността на този многостен може да бъде направена без припокривания.

Органи на революцията

Тяло на въртененаречено тяло, получено в резултат на въртенето на някаква фигура (обикновено плоска) около права линия. Тази линия се нарича ос на въртене.

Цилиндър- его тяло, което се получава в резултат на въртене на правоъгълник около една от страните му. В случая посочената страна е ос на цилиндъра.На фиг. 24.14 показва цилиндър с ос ОО',получена чрез завъртане на правоъгълник АА"О"Ооколо права линия ОО".Точки ОТНОСНОИ ОТНОСНО"- центрове на основите на цилиндрите.

Цилиндър, който е резултат от въртене на правоъгълник около една от страните му, се нарича прав кръговцилиндър, тъй като основите му са два равни кръга, разположени в успоредни равнини, така че сегментът, свързващ центровете на кръговете, е перпендикулярен на тези равнини. Страничната повърхност на цилиндъра е образувана от сегменти, равни на страната на правоъгълника, успоредни на оста на цилиндъра.

ИзмитанеСтраничната повърхност на прав кръгов цилиндър, ако се разреже по образуващата, е правоъгълник, едната страна на който е равна на дължината на образуващата, а другата на дължината на основната обиколка.

Конус- това е тяло, което се получава в резултат на въртене на правоъгълен триъгълник около един от катетите.

В този случай посоченият крак е неподвижен и се нарича оста на конуса.На фиг. Фигура 24.15 показва конус с ос SO, получен чрез завъртане на правоъгълен триъгълник SOA с прав ъгъл O около крака S0. Точка S се нарича върха на конуса, OA- радиуса на основата му.

Конусът, който се получава от въртенето на правоъгълен триъгълник около един от краката му, се нарича прав кръгъл конустъй като основата му е кръг, а върхът му е проектиран в центъра на този кръг. Страничната повърхност на конуса се образува от сегменти, равни на хипотенузата на триъгълника, при въртене на които се образува конус.

Ако страничната повърхност на конуса се изреже по протежение на генератора, тогава той може да бъде „разгънат“ върху равнина. ИзмитанеСтраничната повърхност на прав кръгов конус е кръгъл сектор с радиус, равен на дължината на образуващата.

Когато цилиндър, конус или друго тяло на въртене пресича равнина, съдържаща оста на въртене, се оказва аксиално сечение.Аксиалното сечение на цилиндъра е правоъгълник, аксиалното сечение на конуса е равнобедрен триъгълник.

Топка- това е тяло, което се получава в резултат на въртене на полукръг около неговия диаметър. На фиг. 24.16 показва топка, получена чрез въртене на полукръг около диаметъра АА".Точка ОТНОСНОНаречен центъра на топката,а радиусът на окръжността е радиусът на топката.

Повърхността на топката се нарича сфера.Сферата не може да се обърне върху равнина.

Всяко сечение на топка от равнина е кръг. Радиусът на напречното сечение на топката ще бъде най-голям, ако равнината минава през центъра на топката. Следователно сечението на топка от равнина, минаваща през центъра на топката, се нарича голям кръг на топката,и кръгът, който го ограничава, е голям кръг.

ИЗОБРАЖЕНИЕ НА ГЕОМЕТРИЧНИ ТЕЛА ВЪРХУ РАВНОСТТА

За разлика от плоските фигури, геометричните тела не могат да бъдат точно изобразени, например върху лист хартия. Въпреки това, с помощта на чертежи на равнина, можете да получите доста ясно изображение на пространствени фигури. За да направите това, се използват специални методи за изобразяване на такива фигури в равнина. Един от тях е паралелен дизайн.

Нека са дадени равнина и права, пресичаща a А.Нека вземем произволна точка А в пространството, която не принадлежи на правата а,и ние ще ви преведем хдиректен А",успоредна на правата А(фиг. 24.17). Направо а"пресича равнината в дадена точка Х",което се нарича успоредна проекция на точка X върху равнина a.

Ако точка А лежи на права линия а,след това с паралелна проекция Х"е точката, в която линията Апресича равнината А.

Ако точката хпринадлежи на равнината a, тогава точката Х"съвпада с точката Х.

Така, ако са дадени равнина a и пресичаща я права А.след това всяка точка хпространството може да бъде свързано с една единствена точка А" - успоредна проекция на точката хвърху равнината a (при проектиране успоредно на правата линия А).Самолет АНаречен проекционна равнина.Относно линията Аказват, че ще лае посока на дизайна - ggri замяна директно Авсеки друг резултат от пряк дизайн, паралелен на него, няма да се промени. Всички прави са успоредни на права а,определят същата посока на проектиране и се извикват заедно с правата линия Апроектиране на прави линии.

Проекцияфигури Еобадете се на набор ф'проекция на всички точки. Картографиране на всяка точка хфигури Е"нейната успоредна проекция е точка Х"фигури F",Наречен паралелен дизайнфигури Е(фиг. 24.18).

Паралелна проекция на реален обект е неговата сянка, падаща върху равна повърхност на слънчева светлина, тъй като слънчевите лъчи могат да се считат за успоредни.

Паралелният дизайн има редица свойства, познаването на които е необходимо при изобразяване на геометрични тела върху равнина. Нека формулираме основните, без да предоставяме тяхното доказателство.

Теорема 24.1. По време на паралелно проектиране се изпълняват следните свойства за прави линии, които не са успоредни на посоката на проектиране, и за сегменти, лежащи върху тях:

1) проекцията на права е права, а проекцията на сегмент е сегмент;

2) проекциите на успоредни прави са успоредни или съвпадат;

3) съотношението на дължините на проекциите на сегменти, лежащи на една и съща линия или на успоредни прави, е равно на съотношението на дължините на самите сегменти.

От тази теорема следва следствие:при паралелна проекция средата на сегмента се проектира в средата на неговата проекция.

При изобразяване на геометрични тела върху равнина е необходимо да се гарантира, че са изпълнени посочените свойства. В противен случай може да бъде произволно. По този начин ъглите и съотношенията на дължините на непаралелни сегменти могат да се променят произволно, т.е., например, триъгълник в паралелен дизайн се изобразява като произволен триъгълник. Но ако триъгълникът е равностранен, тогава проекцията на неговата медиана трябва да свързва върха на триъгълника със средата на противоположната страна.

И още едно изискване трябва да се спазва при изобразяване на пространствени тела в равнина - да се създаде правилна представа за тях.

Нека изобразим например наклонена призма, чиито основи са квадрати.

Нека първо изградим долната основа на призмата (можете да започнете отгоре). Съгласно правилата за паралелен дизайн, oggo ще бъде изобразен като произволен успоредник ABCD (фиг. 24.19, а). Тъй като ръбовете на призмата са успоредни, изграждаме успоредни прави линии, минаващи през върховете на построения успоредник, и върху тях полагаме равни отсечки AA", BB', CC", DD", дължината на които е произволна. Чрез свързване на точки A", B", C", D в серия ", получаваме четириъгълник A" B "C" D", изобразяващ горната основа на призмата. Не е трудно да се докаже, че A "B" C "D"- успоредник равен на успоредник ABCDи следователно имаме образ на призма, чиито основи са равни квадрати, а останалите лица са успоредници.

Ако трябва да изобразите права призма, чиито основи са квадрати, тогава можете да покажете, че страничните ръбове на тази призма са перпендикулярни на основата, както е направено на фиг. 24.19, b.

Освен това чертежът на фиг. 24.19, bможе да се счита за изображение на правилна призма, тъй като нейната основа е квадрат - правилен четириъгълник, а също и правоъгълен паралелепипед, тъй като всичките му лица са правоъгълници.

Нека сега разберем как да изобразим пирамида на равнина.

За да изобразите правилна пирамида, първо начертайте правилен многоъгълник, лежащ в основата, чийто център е точка ОТНОСНО.След това начертайте вертикален сегмент операционна системаизобразяваща височината на пирамидата. Имайте предвид, че вертикалността на сегмента операционна системаосигурява по-голяма яснота на чертежа. Накрая, точка S е свързана с всички върхове на основата.

Нека изобразим например правилна пирамида, чиято основа е правилен шестоъгълник.

За да изобразите правилно правилен шестоъгълник по време на паралелен дизайн, трябва да обърнете внимание на следното. Нека ABCDEF е правилен шестоъгълник. Тогава ALLF е правоъгълник (фиг. 24.20) и следователно при паралелно проектиране ще бъде изобразен като произволен успоредник B"C"E"F". Тъй като диагонал AD минава през точка O - центъра на многоъгълника ABCDEF и е успореден на отсечките. BC и EF и AO = OD, тогава с паралелен дизайн ще бъде представен от произволен сегмент A "D" , преминаващ през точката ОТНОСНО"паралелен B"C"И E"F"и между другото, A"O" = O"D".

По този начин последователността на изграждане на основата на шестоъгълна пирамида е следната (фиг. 24.21):

§ изобразяват произволен успоредник B"C"E"F"и неговите диагонали; маркирайте точката на тяхното пресичане О";

§ през точка ОТНОСНО"начертайте права линия, успоредна СРЕЩУ"(или E"F');

§ изберете произволна точка от построената права а"и маркирайте точката Д"такова, че О"Д" = А "О"и свържете точката а"с точки В"И Е“, и точка Д” – сточки С"И Е".

За да завършите изграждането на пирамидата, начертайте вертикален сегмент операционна система(дължината му се избира произволно) и свързва точка S с всички върхове на основата.

При паралелна проекция топката се изобразява като окръжност със същия радиус. За да направите изображението на топката по-визуално, начертайте проекция на някакъв голям кръг, чиято равнина не е перпендикулярна на равнината на проекцията. Тази проекция ще бъде елипса. Центърът на топката ще бъде представен от центъра на тази елипса (фиг. 24.22). Сега можем да намерим съответните полюси ни S, при условие че свързващата ги отсечка е перпендикулярна на екваториалната равнина. За да направите това, през точката ОТНОСНОначертайте права перпендикулярна линия ABи маркирайте точка C - пресечната точка на тази права с елипсата; след това през точка C прекарваме допирателна към елипсата, представляваща екватора. Доказано е, че разстоянието СМравно на разстоянието от центъра на топката до всеки от полюсите. Следователно, оставяйки настрана сегментите НАИ операционна системаравен СМ,получаваме полюсите Н и С.

Нека разгледаме една от техниките за конструиране на елипса (тя се основава на трансформация на равнината, която се нарича компресия): конструирайте кръг с диаметър и нарисувайте хорди, перпендикулярни на диаметъра (фиг. 24.23). Половината от всяка хорда се разделя наполовина и получените точки се свързват с гладка крива. Тази крива е елипса, чиято главна ос е сегментът AB,а центърът е точка ОТНОСНО.

Тази техника може да се използва за изобразяване на прав кръгъл цилиндър (фиг. 24.24) и прав кръгов конус (фиг. 24.25) върху равнина.

Прав кръгъл конус е изобразен така. Първо изграждат елипса - основата, след което намират центъра на основата - точката ОТНОСНОи начертайте отсечка перпендикулярно операционна системакоето представлява височината на конуса. От точка S се начертават допирателни към елипсата (това се прави „на око“, като се прилага линийка) и се избират сегменти SCИ SDтези прави линии от точка S до точки на допиране C и D.Имайте предвид, че сегментът CDне съвпада с диаметъра на основата на конуса.

„Видове полиедри“ - Правилни звездовидни многостени. додекаедър. Малък звездовиден додекаедър. Многостени. Хексаедър. Платонови тела. Призматоиден. Пирамида. Икосаедър. Октаедър. Тяло, ограничено от краен брой равнини. Звезден октаедър. Две лица. Закон за реципрочността. Математик. Тетраедър.

„Полиедър на геометрично тяло“ - Многостени. призми. Съществуването на несъизмерими количества. Поанкаре. Ръб, край. Измерване на обема. Лица на паралелепипед. Правоъгълен паралелепипед. Често виждаме пирамида на улицата. Многостен. Интересни факти. Александрийски фар. Геометрични фигури. Разстояние между равнините. Мемфис.

„Каскади от полиедри“ - Ръб на куб. Октаедърен ръб. Куб и додекаедър. Единичен тетраедър. Додекаедър и икосаедър. Додекаедър и тетраедър. Октаедър и икосаедър. Многостен. Правилен многостен. Октаедър и додекаедър. Икосаедър и октаедър. Единичен икосаедър. Тетраедър и икосаедър. Единична додекаедър. Октаедър и тетраедър. Куб и тетраедър.

“Стереометрия на многостените” - Многостени в архитектурата. Разрез на многостени. Дайте име на полиедъра. Голямата пирамида в Гиза. Платонови тела. Коригирайте логическата верига. Многостен. Историческа справка. Най-добрият час на многостените. Разрешаване на проблем. Цели на урока. „Игра със зрителите“ Съвпадат ли геометричните фигури и техните имена?

„Звездни форми на полиедри“ - Голям звездовиден додекаедър. Полиедърът, показан на фигурата. Звездни полиедри. Странични ребра. Звездни кубоктаедри. Звездовиден пресечен икосаедър. Полиедър, получен чрез пресичане на звездовиден пресечен икосаедър. Върхове на големия звездовиден додекаедър. Звездообразни икосаедри. Голям додекаедър.

„Разрез на многостен с равнина“ - Разрез на многостени. Многоъгълници. Разрезите образуваха петоъгълник. Следа от режещата равнина. Раздел. Нека намерим пресечната точка на правите. Самолет. Построете напречно сечение на куб. Построете напречно сечение на призмата. Намираме смисъла. Призма. Методи за конструиране на сечения. Полученият шестоъгълник. Разрез на куб. Аксиоматичен метод.

Има общо 29 презентации

Геометрични тела

Въведение

В стереометрията се изучават фигури в пространството, които се наричат геометрични тела.

Предметите около нас ни дават представа за геометрични тела. За разлика от реалните обекти, геометричните тела са въображаеми обекти. Ясно геометрично тялочовек трябва да си го представи като част от пространството, заето от материя (глина, дърво, метал, ...) и ограничено от повърхност.

Всички геометрични тела се делят на полиедриИ кръгли тела.

Многостени

Многостене геометрично тяло, чиято повърхност се състои от краен брой плоски многоъгълници.

Ръбовеполиедър, се наричат ​​многоъгълниците, които изграждат повърхността му.

Ребрана многостен се наричат ​​страните на лицата на многостена.

Върховена многостен се наричат ​​върховете на лицата на многостена.

Полиедрите се делят на изпъкналИ неизпъкнал.

Полиедърът се нарича изпъкнал, ако лежи изцяло от едната страна на някое от лицата си.

Упражнение. Посочете ръбове, ребраИ върховекуб, показан на фигурата.

Изпъкналите полиедри се делят на призмиИ пирамиди.

Призма

Призмае многостен с две равни и успоредни лица
н-gons и останалите нлицата са успоредници.

две н-гоновете се наричат призмени основи, успоредници – странични лица. Страните на страничните лица и основите се наричат призмени ребра, краищата на ръбовете се наричат върховете на призмата. Страничните ръбове са ръбове, които не принадлежат на основите.

Многоъгълниците A 1 A 2 ...A n и B 1 B 2 ...B n са основите на призмата.

Успоредници A 1 A 2 B 2 B 1, ... - странични лица.

Свойства на призмата:

· Основите на призмата са равни и успоредни.

· Страничните ръбове на призмата са равни и успоредни.

Диагонал на призматанарича сегмент, свързващ два върха, които не принадлежат на едно и също лице.

Височина на призматасе нарича перпендикуляр, пуснат от точка на горната основа към равнината на долната основа.

Призмата се нарича 3-ъгълна, 4-ъгълна, ..., н-въглища, ако е основа
3-ъгълници, 4-ъгълници, ..., н-gons.

Директна призманаречена призма, чиито странични ребра са перпендикулярни на основите. Страничните стени на права призма са правоъгълници.

Наклонена призманаречена призма, която не е права. Страничните стени на наклонена призма са успоредници.

С правилната призмаНаречен правпризма с правилни многоъгълници в основата си.

■ площ пълна повърхностпризмисе нарича сумата от площите на всички негови лица.

■ площ странична повърхностпризмисе нарича сумата от площите на неговите странични стени.

Спълен = Сстрана + 2 Сосновен

Многостен

• Многостен- това е тяло, чиято повърхност се състои от краен брой плоски многоъгълници.

Полиедърът се нарича изпъкнал

• Полиедърът се нарича изпъкнал , ако се намира от едната страна на всеки плосък многоъгълник на неговата повърхност.

• Евклид (предполага се 330-277 г. пр. н. е.) - математик от Александрийската школа на Древна Гърция, автор на първия трактат по математика, който е достигнал до нас, „Елементи“ (в 15 книги)

странични лица.

• Призмата е многостен, който се състои от два плоски многоъгълника, разположени в различни равнини и комбинирани чрез паралелна транслация, и всички сегменти, свързващи съответните точки на тези многоъгълници.Многоъгълниците Ф и Ф1, лежащи в успоредни равнини, се наричат ​​основи на призми, а останалите лица се наричат странични лица.

• Следователно повърхността на призмата се състои от два равни многоъгълника (основи) и паралелограми (странични стени). Има триъгълни, четириъгълни, петоъгълни и др. в зависимост от броя на върховете на основата.

• Ако страничният ръб на призмата е перпендикулярен на равнината на нейната основа, тогава такава призма се нарича прав ; ако страничният ръб на призмата не е перпендикулярен на равнината на нейната основа, тогава такава призма се нарича наклонен . Правата призма има правоъгълни странични стени.

Основите на призмата са равни.

• Основите на призмата са равни.

• Основите на призмата лежат в успоредни равнини.

• Страничните ръбове на призмата са успоредни и равни.

• Височината на призмата е разстоянието между равнините на нейните основи.

• Оказва се, че призмата може да бъде не само геометрично тяло, но и художествен шедьовър.Именно призмата е станала основа за картините на Пикасо, Брак, Грис и др.

• Оказва се, че снежинката може да приеме формата на шестоъгълна призма, но това ще зависи от температурата на въздуха.

• През 3 век пр.н.е. д. е построен фар, за да могат корабите безопасно да преминават покрай рифовете на път за Александрийския залив. През нощта им помагаше в това отражението на пламъците, а през деня - стълб дим. Това беше първият фар в света и престоя 1500 години.

• Фарът е построен на малкия остров Фарос в Средиземно море, край бреговете на Александрия. Изграждането му отнема 20 години и е завършено около 280 г. пр.н.е.

• През 14 век фарът е разрушен от земетресение. Отломките му са използвани при изграждането на военна крепост. Крепостта е преустройвана няколко пъти и все още стои на мястото на първия фар в света.

Мавзол бил владетел на Кария. Столицата на региона е Халикарнас. Мавзол се жени за сестра си Артемизия. Той решил да построи гробница за себе си и своята царица. Мавсол мечтаел за величествен паметник, който да напомня на света за неговото богатство и власт. Той почина преди да приключи работата по гробницата. Артемизия продължи да ръководи строителството. Гробницата е построена през 350 г. пр.н.е. д. Наречен е Мавзолей на царя.

Пепелта на кралската двойка се съхраняваше в златни урни в гробница в основата на сградата. Редица каменни лъвове пазеха тази стая. Самата структура приличаше на гръцки храм, заобиколен от колони и статуи. На върха на сградата имаше стъпаловидна пирамида. На височина 43 м над земята, той беше увенчан със скулптура на колесница, теглена от коне. На него вероятно е имало статуи на краля и кралицата.

• Осемнадесет века по-късно земетресение разрушава мавзолея до основи. Изминаха още триста години, преди археолозите да започнат разкопки. През 1857 г. всички находки са транспортирани до Британския музей в Лондон. Сега на мястото, където някога е бил Мавзолеят, са останали само шепа камъни.

кристали.

Съществуват не само геометрични фигури, създадени от човешка ръка. Има много от тях в самата природа. Въздействието върху външния вид на земната повърхност на природни фактори като вятър, вода, слънчева светлина е много спонтанно и хаотично. Но пясъчните дюни, камъчета на брега на морето, Кратерът на изчезнал вулкан, като правило, има геометрично правилни форми.Понякога в земята се намират камъни с такава форма, сякаш някой внимателно ги е изрязал, смилал и полирал.Това е - кристали.

паралелепипед.

• Ако основата на призмата е успоредник, тогава тя се нарича паралелепипед.

• Моделите на правоъгълен паралелепипед са:

• хладна стая

• Оказва се, че калцитните кристали, колкото и да са натрошени на по-малки части, винаги се разпадат на парчета с форма на паралелепипед.

• Градските сгради най-често имат формата на полиедри.Като правило това са обикновени паралелепипеди.И само неочаквани архитектурни решения украсяват градовете.

• 1. Правилна ли е призмата, ако ръбовете й са равни?

• а) да; в) не. Обосновете отговора си.

• 2. Височината на правилна триъгълна призма е 6 см. Страната на основата е 4 см. Намерете общата повърхност на тази призма.

• 3. Повърхнините на двете странични стени на наклонена триъгълна призма са 40 и 30 cm2. Ъгълът между тези лица е прав. Намерете страничната повърхност на призмата.

• 4. В паралелепипеда ABCDA1B1C1D1 са начертани сечения A1BC и CB1D1. В какво съотношение разделят тези равнини диагонала AC1?

• 1) тетраедър с 4 лица, 4 върха, 6 ръба;

• 2) куб - 6 лица, 8 върха, 12 ръба;

• 3) октаедър - 8 лица, 6 върха, 12 ръба;

• 4) додекаедър - 12 лица, 20 върха, 30 ръба;

• 5) икосаедър - 20 лица, 12 върха, 30 ръба.

Талес от Милет, основател йонийски Питагор от Самос

Учените и философите на Древна Гърция възприемат и преработват постиженията на културата и науката на Древния Изток. Талес, Питагор, Демокрит, Евдокс и други пътували до Египет и Вавилон, за да изучават музика, математика и астрономия. Неслучайно с името се свързва началото на гръцката геометрична наука Талес от Милет, основател йонийскиучилища. Йонийците, които населяват територията, която граничи с източните страни, са първите, които заемат знанията на Изтока и започват да ги развиват. Учените от йонийската школа са първите, които подлагат на логическа обработка и систематизират математическа информация, заимствана от древните източни народи, особено от вавилонците. Прокъл и други историци приписват много геометрични открития на Талес, главата на тази школа. Относно отношението Питагор от Самосза геометрията Прокъл пише следното в коментара си към Елементите на Евклид: „Той изучаваше тази наука (т.е. геометрията), започвайки от нейните първи основи, и се опитваше да получи теореми, използвайки чисто логическо мислене.“ Прокъл приписва на Питагор, в допълнение към добре известната теорема за квадрата на хипотенузата, изграждането на пет правилни полиедъра:

Платонови тела

Платонови тела са изпъкнали полиедри, чиито лица са правилни многоъгълници. Всички многостенни ъгли на правилния многостен са еднакви. Както следва от изчисляването на сумата от равнинни ъгли във връх, има не повече от пет изпъкнали правилни полиедъра. Използвайки метода, посочен по-долу, може да се докаже, че има точно пет правилни полиедъра (това е доказано от Евклид). Те са правилен тетраедър, куб, октаедър, додекаедър и икосаедър.

Октаедър (фиг. 3).

• Октаедър -октаедър; тяло, ограничено от осем триъгълника; правилен октаедър е ограничен от осем равностранни триъгълника; един от петте правилни полиедра. (фиг. 3).

• додекаедър -додекаедър, тяло, ограничено от дванадесет многоъгълника; Правилен петоъгълник; един от петте правилни полиедра . (фиг. 4).

• Икосаедър -двадесетоъгълник, тяло, ограничено от двадесет многоъгълника; правилният икосаедър е ограничен от двадесет равностранни триъгълника; един от петте правилни полиедра. (фиг. 5).

Лицата на додекаедъра са правилни петоъгълници. Диагоналите на правилния петоъгълник образуват така наречения звезден петоъгълник - фигура, която служи като емблема, идентификационен знак за учениците на Питагор. Известно е, че Питагорейската лига е била едновременно философска школа, политическа партия и религиозно братство. Според легендата един питагореец се разболял в чужда земя и не могъл да плати на собственика на къщата, който се грижел за него преди смъртта му. Последният изрисува петоъгълник във формата на звезда на стената на къщата си. Виждайки този знак няколко години по-късно, друг скитащ питагореец попита собственика за случилото се и щедро го възнагради.

• Надеждна информация за живота и научната дейност на Питагор не е запазена. Приписва му се създаването на учението за подобието на фигурите. Той вероятно е сред първите учени, които разглеждат геометрията не като практическа и приложна дисциплина, а като абстрактна логическа наука.

Школата на Питагор открива съществуването на несъизмерими величини, тоест такива, чиято връзка не може да бъде изразена с цяло число или дробно число. Пример за това е отношението на дължината на диагонала на квадрат към дължината на неговата страна, равно на C2. Това число не е рационално (т.е. цяло число или съотношение на две цели числа) и се нарича ирационално, т.е. ирационален (от лат. ratio - отношение).

Тетраедър (Фиг. 1).

• Тетраедър -тетраедър, всички лица на който са триъгълници, т.е. триъгълна пирамида; правилен тетраедър е ограничен от четири равностранни триъгълника; един от петте правилни многоъгълника. (Фиг. 1).

• Куб или правилен хексаедър (фиг. 2).

Тетраедър -тетраедър, всички лица на който са триъгълници, т.е. триъгълна пирамида; правилен тетраедър е ограничен от четири равностранни триъгълника; един от петте правилни многоъгълника. (Фиг. 1).

• Тетраедър -тетраедър, всички лица на който са триъгълници, т.е. триъгълна пирамида; правилен тетраедър е ограничен от четири равностранни триъгълника; един от петте правилни многоъгълника. (Фиг. 1).

• Куб или правилен хексаедър - правилна четириъгълна призма с равни ръбове, ограничена от шест квадрата. (фиг. 2).

Пирамида

• Пирамида- многостен, който се състои от плосък многоъгълник - основата на пирамидата, точките, които не лежат в равнината на основата-върхът на пирамидата и всички сегменти, свързващи върха на пирамидата с точките на основата

Картината показва петоъгълна пирамида SABCDEи неговото развитие. Триъгълници, които имат общ връх, се наричат странични лицапирамиди; общ връх на страничните лица - Горна частпирамиди; многоъгълник, на който този връх не принадлежи, е базапирамиди; краищата на пирамидата се сближават на върха - странични ребрапирамиди. Височинапирамидата е перпендикулярен сегмент, прекаран през върха й към основната равнина, с краища на върха и върху основната равнина на пирамидата. На фигурата има сегмент ТАКА- височина на пирамидата.

• Определение . Пирамида, чиято основа е правилен многоъгълник и чийто връх е проектиран в центъра му, се нарича правилна.

• Фигурата показва правилна шестоъгълна пирамида.

Обемите на хамбарите за зърно и други структури под формата на кубове, призми и цилиндри са били изчислявани от египтяните и вавилонците, китайците и индийците чрез умножаване на основната площ по височината. Древният Изток обаче е познавал предимно определени правила, открити експериментално, които са използвани за намиране на обеми за площите на фигурите. По-късно, когато геометрията се формира като наука, се открива общ подход за изчисляване на обемите на полиедрите.

• Сред забележителните гръцки учени от V - IV век. пр.н.е., които развиват теорията за обемите са Демокрит от Абдера и Евдокс от Книд.

• Евклид не използва термина "обем". За него терминът „куб“ например означава и обем на куб. В книга XI на "Принципите" са представени следните теореми, между другото.

• 1. Паралелепипедите с равни височини и равни основи са равни по размер.

• 2. Отношението на обемите на два паралелепипеда с еднаква височина е равно на отношението на площите на техните основи.

• 3. При паралелепипеди с еднаква площ площите на основите са обратно пропорционални на височините.

• Теоремите на Евклид се отнасят само до сравнението на обемите, тъй като Евклид вероятно е смятал директното изчисляване на обемите на телата за въпрос на практически ръководства по геометрия. В приложните трудове на Херон от Александрия има правила за изчисляване на обема на куб, призма, паралелепипед и други пространствени фигури.

• Призма, чиято основа е успоредник, се нарича паралелепипед.

• Според дефиницията паралелепипедът е четириъгълна призма, чиито лица са паралелограми. Паралелепипедите, като призмите, могат да бъдат правИ наклонен. Фигура 1 показва наклонен паралелепипед, а фигура 2 показва прав паралелепипед.

• Нарича се прав паралелепипед, чиято основа е правоъгълник правоъгълен паралелепипед. Всички лица на правоъгълен паралелепипед са правоъгълници. Модели на правоъгълен паралелепипед са класна стая, тухла и кибритена кутия.

• Дължините на три ръба на правоъгълен паралелепипед с общ край се наричат измервания. Например има кибритени кутии с размери 15, 35, 50 мм. Кубът е правоъгълен паралелепипед с еднакви размери. Всичките шест лица на куба са равни квадрати.

• Нека разгледаме някои свойства на паралелепипеда.

• Теорема. Паралелепипедът е симетричен спрямо средата на своя диагонал.

• Това следва пряко от теоремата важни свойства на паралелепипеда:

• 1. Всеки сегмент с краища, принадлежащи на повърхността на паралелепипеда и минаващи през средата на неговия диагонал, се разделя наполовина от него; по-специално, всички диагонали на паралелепипед се пресичат в една точка и се разделят на две от нея. 2. Противоположните лица на паралелепипед са успоредни и равни

Въведение

Повърхнина, съставена от многоъгълници и ограничаваща някакво геометрично тяло, се нарича многостенна повърхнина или полиедър.

Полиедърът е ограничено тяло, чиято повърхност се състои от краен брой многоъгълници. Многоъгълниците, които ограничават полиедър, се наричат ​​лица, а линиите на пресичане на лицата се наричат ​​ръбове.

Полиедрите могат да имат разнообразна и много сложна структура. Различни структури, като например къщи, изградени от тухли и бетонни блокове, са примери за полиедри. Други примери могат да бъдат намерени сред мебели, като например маса. В химията формата на въглеводородните молекули е тетраедър, правилен двадесетедър, куб. Във физиката кристалите служат като примери за полиедри.

От древни времена идеите за красота са били свързани със симетрията. Това вероятно обяснява интереса на хората към полиедрите - невероятни символи на симетрия, които привлякоха вниманието на изключителни мислители, които бяха изумени от красотата, съвършенството и хармонията на тези фигури.

Първите споменавания на полиедри са известни три хиляди години пр.н.е. в Египет и Вавилон. Достатъчно е да си припомним известните египетски пирамиди и най-известната от тях Хеопсовата пирамида. Това е правилна пирамида, в основата на която има квадрат със страна 233 м и чиято височина достига 146,5 м. Неслучайно казват, че Хеопсовата пирамида е мълчалив трактат по геометрия.

Историята на правилните полиедри датира от древни времена. Започвайки от 7 век пр.н.е., в Древна Гърция се създават философски школи, в които се извършва постепенен преход от практическа към философска геометрия. Разсъждението, с помощта на което беше възможно да се получат нови геометрични свойства, придоби голямо значение в тези школи.

Една от първите и най-известни школи е питагорейската, наречена на своя основател Питагор. Отличителният знак на питагорейците беше пентаграмата, на езика на математиката това е правилен неизпъкнал или звездообразен петоъгълник. На пентаграмата се приписва способността да защитава човек от зли духове.

Питагорейците вярвали, че материята се състои от четири основни елемента: огън, земя, въздух и вода. Те приписват съществуването на пет правилни полиедъра на структурата на материята и Вселената. Според това мнение атомите на основните елементи трябва да имат формата на различни тела:

§ Вселената е додекаедър

§ Земя - куб

§ Огън - тетраедър

§ Вода – икосаедър

§ Въздух - октаедър

По-късно учението на питагорейците за правилните полиедри е очертано в неговите трудове от друг древногръцки учен, идеалистичният философ Платон. Оттогава правилните полиедри са станали известни като Платонови тела.

Платонови тела са правилни хомогенни изпъкнали многостени, тоест изпъкнали многостени, чиито лица и ъгли са равни, а лицата са правилни многоъгълници. Същият брой ръбове се събират към всеки връх на правилен многостен. Всички двустенни ъгли при ръбовете и всички многостенни ъгли при върховете на правилен многоъгълник са равни. Платоновите тела са триизмерен аналог на плоски правилни многоъгълници.

Теорията на полиедрите е съвременен клон на математиката. Тя е тясно свързана с топологията, теорията на графите и е от голямо значение както за теоретичните изследвания в геометрията, така и за практическите приложения в други клонове на математиката, например алгебра, теория на числата, приложна математика - линейно програмиране, теория на оптималното управление. Следователно тази тема е актуална и знанията по този въпрос са важни за съвременното общество.

Главна част

Полиедърът е ограничено тяло, чиято повърхност се състои от краен брой многоъгълници.

Нека дадем дефиниция на полиедър, която е еквивалентна на първата дефиниция на полиедър.

Многостен – Това е фигура, която е обединение на краен брой тетраедри, за които са изпълнени следните условия:

1) всеки два тетраедъра нямат общи точки, или имат общ връх, или само общ ръб, или цяло общо лице;

2) от всеки тетраедър до друг можете да преминете по верига от тетраедри, в която всеки следващ е в съседство с предишния по цялото лице.

Многостенни елементи

Лицето на полиедър е определен многоъгълник (многоъгълникът е ограничена затворена област, чиято граница се състои от краен брой сегменти).

Страните на лицата се наричат ​​ръбове на многостена, а върховете на лицата се наричат ​​върхове на многостена. Елементите на многостена, в допълнение към неговите върхове, ръбове и лица, също включват плоските ъгли на неговите лица и двустенните ъгли в неговите ръбове. Двустенният ъгъл при ръба на полиедър се определя от лицата му, приближаващи този ръб.

Класификация на полиедри

Изпъкнал многостен -е полиедър, всеки две точки от който могат да бъдат свързани с сегмент. Изпъкналите полиедри имат много забележителни свойства.

Теорема на Ойлер.За всеки изпъкнал многостен V-R+G=2,

Където IN – броя на неговите върхове, Р - броя на ребрата му, Ж - броя на лицата му.

Теорема на Коши.Два затворени изпъкнали полиедра, еднакво съставени от съответно равни лица, са равни.

Изпъкнал многостен се счита за правилен, ако всичките му лица са равни правилни многоъгълници и същият брой ръбове се събират във всеки от върховете му.

Правилен многостен

Многостенът се нарича правилен, ако, първо, той е изпъкнал, второ, всичките му лица са равни правилни многоъгълници, трето, същият брой лица се срещат във всеки от неговите върхове и, четвърто, всичките му двустенни ъгли са равни.

Има пет изпъкнали правилни полиедъра - тетраедър, октаедър и икосаедър с триъгълни лица, куб (хексахедър) с квадратни лица и додекаедър с петоъгълни лица. Доказателството за този факт е известно от повече от две хиляди години; с това доказателство и изследването на петте правилни тела са завършени Елементите на Евклид (древногръцкия математик, автор на първите достигнали до нас теоретични трактати по математика). Защо правилните полиедри са получили такива имена? Това се дължи на броя на лицата им. Тетраедърът има 4 лица, в превод от гръцки „тетра” - четири, „едър” - лице. Хексаедър (куб) има 6 лица, "хекса" има шест; октаедър - октаедър, "окто" - осем; додекаедър - додекаедър, "додека" - дванадесет; Икосаедърът има 20 лица, а икосите има двадесет.

2.3. Видове правилни полиедри:

1) Правилен тетраедър(съставен от четири равностранни триъгълника. Всеки от върховете му е връх на три триъгълника. Следователно сборът от равнинните ъгли във всеки връх е 180 0);

2)куб- паралелепипед, чиито лица са квадрати. Кубът е съставен от шест квадрата. Всеки връх на куба е връх на три квадрата. Следователно сумата от равнинните ъгли във всеки връх е 270 0.

3) Правилен октаедърили просто октаедър– полиедър с осем правилни триъгълни лица и четири лица, срещащи се във всеки връх. Октаедърът се състои от осем равностранни триъгълника. Всеки връх на октаедъра е връх на четири триъгълника. Следователно сумата от равнинните ъгли във всеки връх е 240 0. Може да се изгради чрез сгъване на основите на две пирамиди, чиито основи са квадрати, а страничните стени са правилни триъгълници. Ръбовете на октаедър могат да бъдат получени чрез свързване на центровете на съседни страни на куб, но ако свържем центровете на съседни страни на правилен октаедър, ще получим ръбовете на куб. Казват, че кубът и октаедърът са двойствени един на друг.

4)Икосаедър- съставен от двадесет равностранни триъгълника. Всеки връх на икосаедъра е връх на пет триъгълника. Следователно сумата от равнинните ъгли във всеки връх е равна на 300 0.

5) додекаедър- многостен, съставен от дванадесет правилни петоъгълника. Всеки връх на додекаедъра е връх на три правилни петоъгълника. Следователно сумата от равнинните ъгли във всеки връх е 324 0.

Додекаедърът и икосаедърът също са двойствени един на друг в смисъл, че чрез свързване на центровете на съседни лица на икосаедъра с сегменти, ние получаваме додекаедър и обратно.

Правилният тетраедър е двойствен на себе си.

Освен това няма правилен многостен, чиито лица да са правилни шестоъгълници, седмоъгълници и n-ъгълници като цяло за n ≥ 6.

Правилен многостен е многостен, в който всички лица са правилни равни многоъгълници и всички двустенни ъгли са равни. Но има и полиедри, в които всички многостенни ъгли са равни, а лицата са правилни, но срещуположни правилни многоъгълници. Полиедрите от този тип се наричат ​​равноъгълни полуправилни многостени. Полиедри от този тип са открити за първи път от Архимед. Той описва подробно 13 полиедра, които по-късно са наречени телата на Архимед в чест на великия учен. Това са пресечен тетраедър, пресечен оксаедър, пресечен икозаедър, пресечен куб, пресечен додекаедър, кубоктаедър, икозидодекаедър, пресечен кубоктаедър, пресечен икозидодекаедър, ромбикубоктаедър, ромбикозидодекаедър, "изместен" (изместен) куб, "чипс" (кур нос) додекаедър.

2.4. Полуправилните полиедри или архимедовите тела са изпъкнали полиедри с две свойства:

1. Всички лица са правилни многоъгълници от два или повече вида (ако всички лица са правилни многоъгълници от един и същи тип, това е правилен многостен).

2. За всяка двойка върхове има симетрия на полиедъра (т.е. движение, което трансформира полиедъра в себе си), прехвърляйки един връх към другия. По-специално, всички многостенни ъгли на върха са равни.

В допълнение към полуправилните многостени, от правилните многостени - Платонови тела - можете да получите така наречените правилни звездни полиедри. Има само четири от тях, те се наричат ​​​​още тела на Кеплер-Поансо. Кеплер открива малък додекаедър, който нарича бодлив или таралеж, и голям додекаедър. Поансо открива два други правилни звездовидни полиедра, съответно двойни на първия две: големият звездовиден додекаедър и големият икосаедър.

Два тетраедъра, преминаващи един през друг, образуват октаедър. Йоханес Кеплер даде на тази фигура името „стела октангула“ - „осмоъгълна звезда“. Среща се и в природата: това е така нареченият двоен кристал.

В дефиницията на правилен полиедър думата „изпъкнал“ умишлено не беше подчертана - разчитайки на очевидна очевидност. И това означава допълнително изискване: „и всичките лица на които лежат от едната страна на равнината, минаваща през някое от тях.“ Ако се откажем от такова ограничение, тогава към Платоновите тела, в допълнение към „разширения октаедър“, ще трябва да добавим още четири полиедра (те се наричат ​​тела на Кеплер-Поансо), всеки от които ще бъде „почти правилен“. Всички те са получени от „главната роля“ на Платонов тяло, тоест чрез разширяване на ръбовете му, докато се пресекат един с друг, и затова се наричат ​​звездовидни. Кубът и тетраедърът не генерират нови фигури - техните лица, колкото и да продължавате, не се пресичат.

Ако разширите всички лица на октаедъра, докато се пресекат едно с друго, ще получите фигура, която се появява, когато два тетраедъра се проникнат взаимно - „стела октангула“, която се нарича „разширена октаедър."

Икосаедърът и додекаедърът дават на света четири „почти правилни полиедъра“ наведнъж. Един от тях е малкият звездовиден додекаедър, получен за първи път от Йоханес Кеплер.

В продължение на векове математиците не признават правото на всички видове звезди да се наричат ​​многоъгълници поради факта, че страните им се пресичат. Лудвиг Шлефли не изхвърли едно геометрично тяло от семейството на полиедрите просто защото лицата му се пресичат, но той остана непреклонен, щом разговорът се насочи към малкия звездовиден додекаедър. Неговият аргумент беше прост и тежък: това Кеплерово животно не се подчинява на формулата на Ойлер! Оформят се шиповете му дванадесет лица, тридесет ръба и дванадесет върха и, следователно, B+G-R изобщо не е равно на две.

Шлефли беше едновременно прав и грешен. Разбира се, геометричният таралеж не е толкова бодлив, че да се бунтува срещу безпогрешната формула. Просто не трябва да смятате, че е образувано от дванадесет пресичащи се лица във формата на звезда, а да го разглеждате като просто, честно геометрично тяло, съставено от 60 триъгълника, имащо 90 ръба и 32 върха.

Тогава B+G-R=32+60-90 е равно, както се очаква, на 2. Но тогава думата "правилно" не се отнася за този многостен - в края на краищата лицата му вече не са равностранни, а просто равнобедрени триъгълници. Кеплер не го направи разбрал, че получената фигура има двойник.

Полиедърът, който се нарича „великият додекаедър“, е построен от френския геометър Луи Поансо двеста години след звездните фигури на Кеплер.

Големият икосаедър е описан за първи път от Луис Поансо през 1809 г. И отново Кеплер, след като видя голям звездовиден додекаедър, остави честта да открие втората фигура на Луи Поансо. Тези цифри също наполовина се подчиняват на формулата на Ойлер.

Практическа употреба

Полиедри в природата

Правилните полиедри са най-изгодните форми, поради което са широко разпространени в природата. Това се потвърждава от формата на някои кристали. Например кристалите на трапезната сол са с форма на куб. При производството на алуминий се използва алуминиево-калиев кварц, чийто монокристал има формата на правилен октаедър. Производството на сярна киселина, желязо и специални видове цимент не може да се направи без серни пирит. Кристалите на този химикал са с форма на додекаедър. Антимон натриев сулфат, вещество, синтезирано от учени, се използва в различни химични реакции. Кристалът на натриев антимон сулфат има формата на тетраедър. Последният правилен полиедър, икосаедърът, предава формата на борните кристали.

Звездовидните полиедри са много декоративни, което им позволява да бъдат широко използвани в бижутерийната индустрия при производството на всякакви бижута. Използват се и в архитектурата. Много форми на звездни полиедри са предложени от самата природа. Снежинките са многогранници с форма на звезда. От древни времена хората са се опитвали да опишат всички възможни видове снежинки и са съставяли специални атласи. Вече са известни няколко хиляди различни вида снежинки.

Правилни полиедри се срещат и в живата природа. Например скелетът на едноклетъчния организъм Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) има формата на икосаедър. Повечето феодарии живеят в морските дълбини и служат като плячка за коралови риби. Но най-простото животно се защитава с дванадесет шипа, излизащи от 12-те върха на скелета. Прилича повече на звезден полиедър.

Можем да наблюдаваме и полиедри под формата на цветя. Ярък пример са кактусите.

Свързана информация.