Рационални неравенства и тяхната система. Дробни рационални неравенства

>>Математика: Рационални неравенства

Рационално неравенство с една променлива x е неравенство на формата - рационални изрази, т.е. алгебрични изрази, съставени от числа и променливата x с помощта на операции събиране, изваждане, умножение, деление и повишаване на естествена степен. Разбира се, променливата може да бъде означена с всяка друга буква, но в математиката най-често се предпочита буквата x.

При решаване на рационални неравенства се използват трите правила, формулирани по-горе в § 1. С помощта на тези правила дадено рационално неравенство обикновено се преобразува във вида / (x) > 0, където / (x) е алгебрично дроб (или полином). След това разложете числителя и знаменателя на дробта f (x) на фактори от формата x - a (ако, разбира се, това е възможно) и приложете интервалния метод, който вече споменахме по-горе (вижте пример 3 в предишния параграф).

Пример 1Решете неравенството (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

Решение.Разгледайте израза f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

Обръща се на 0 в точки 1,-1,2; маркирайте тези точки на числовата ос. Числовата линия е разделена от посочените точки на четири интервала (фиг. 6), на всеки от които изразът f (x) запазва постоянен знак. За да проверим това, ще проведем четири аргумента (за всеки от тези интервали поотделно).

Вземете която и да е точка x от интервала (2, Тази точка се намира на числовата права вдясно от точка -1, вдясно от точка 1 и вдясно от точка 2. Това означава, че x> -1, x> 1, x> 2 (фиг. 7). Но тогава x-1>0, x+1>0, x - 2> 0 и следователно f (x)> 0 (като продукт на рационално неравенство от три положителни числа). И така, неравенството f (x ) > 0.

Вземете всяка точка x от интервала (1,2). Тази точка се намира на числовата линия вдясно от точка-1, вдясно от точка 1, но вляво от точка 2. Следователно x\u003e -1, x\u003e 1, но x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Вземете всяка точка x от интервала (-1,1). Тази точка се намира на числовата права вдясно от точка -1, вляво от точка 1 и вляво от точка 2. Така че x > -1, но x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, х -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (като произведение на две отрицателни и едно положително число). И така, на интервала (-1,1) неравенството f (x)> 0 е в сила.

Накрая вземете всяка точка x от отворения лъч (-oo, -1). Тази точка се намира на числовата права вляво от точка -1, вляво от точка 1 и вляво от точка 2. Това означава, че x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Нека да обобщим. Знаците на израза f (x) в избраните интервали са както е показано на фиг. 11. Интересуват ни онези от тях, на които е изпълнено неравенството f (x) > 0. Използвайки геометричния модел, представен на фиг. 11 установяваме, че неравенството f (x) > 0 е изпълнено на интервала (-1, 1) или на отворения лъч
Отговор: -1 < х < 1; х > 2.

Пример 2Решете неравенството
Решение.Както в предишния пример, ще извлечем необходимата информация от фиг. 11, но с две промени в сравнение с пример 1. Първо, тъй като се интересуваме какви стойности на x удовлетворяват неравенството f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки Второ, доволни сме и от тези точки, в които е изпълнено равенството f (x) = 0. Това са точките -1, 1, 2, отбелязваме ги на фигурата с тъмни кръгове и ги включваме в отговора. На фиг. 12 показва геометричен модел на отговора, от който не е трудно да се премине към аналитичен запис.
Отговор:
ПРИМЕР 3.Решете неравенството
Решение. Нека разложим на множители числителя и знаменателя на алгебричната дроб fx, съдържаща се от лявата страна на неравенството. В числителя имаме x 2 - x \u003d x (x - 1).

За да разложим на множители квадратния тричлен x 2 - bx ~ 6, съдържащ се в знаменателя на дробта, намираме нейните корени. От уравнението x 2 - 5x - 6 \u003d 0 намираме x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. Следователно, (използвахме формулата за разлагане на квадратен тричлен: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
Така преобразувахме даденото неравенство във формата

Помислете за израза:

Числителят на тази дроб се превръща в 0 в точки 0 и 1 и се превръща в 0 в точки -1 и 6. Нека отбележим тези точки на числовата ос (фиг. 13). Числовата линия е разделена от посочените точки на пет интервала, като на всеки интервал изразът fx) запазва постоянен знак. Като се аргументираме по същия начин, както в пример 1, стигаме до извода, че знаците на израза fx) в избраните интервали са както е показано на фиг. 13. Интересуваме се къде е неравенството f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 отговор: -1

Пример 4Решете неравенството

Решение.При решаване на рационални неравенства, като правило, те предпочитат да оставят само числото 0 от дясната страна на неравенството.Затова преобразуваме неравенството във вида

Освен това:

Както показва опитът, ако дясната страна на неравенството съдържа само числото 0, е по-удобно да разсъждаваме, когато и числителят, и знаменателят от лявата му страна имат положителен старши коефициент. И какво имаме? Имаме всичко в знаменателят на дробта в този смисъл в ред (водещият коефициент, т.е. коефициентът при x 2, е 6 - положително число), но не всичко е в ред в числителя - старшият коефициент (коефициентът при x) е - 4 (отрицателно число) Умножавайки двете страни на неравенството по -1 и променяйки знака на неравенството на противоположния, получаваме еквивалентно неравенство

Нека разложим числителя и знаменателя на алгебрична дроб. В числителя всичко е просто:
За разлагане на множители квадратния тричлен, съдържащ се в знаменателя на дроб

(отново използвахме формулата за разлагане на квадратен трином).
Така сведохме даденото неравенство до вида

Помислете за израза

Числителят на тази дроб се превръща в 0 в точката, а знаменателят - в точките. Отбелязваме тези точки на числовата права (фиг. 14), която е разделена от посочените точки на четири интервала, като на всеки интервал изразът f (x) запазва постоянен знак (тези знаци са показани на фиг. 14). Интересуват ни онези интервали, на които неравенството fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

Във всички разгледани примери трансформирахме даденото неравенство в еквивалентно неравенство от вида f (x) > 0 или f (x)<0,где
В този случай броят на факторите в числителя и знаменателя на дроб може да бъде всеки. След това точки a, b, c, e бяха отбелязани на числовата ос. и определи знаците на израза f (x) на избраните интервали. Забелязахме, че вдясно от избраните интервали е изпълнено неравенството f (x) > 0 и след това знаците на израза f (x) се редуват по протежение на интервалите (виж Фиг. 16а). Това редуване е удобно илюстрирано с помощта на вълнообразна крива, която е начертана отдясно наляво и отгоре надолу (фиг. 166). На тези интервали, където тази крива (понякога се нарича крива на знаците) се намира над оста x, неравенството f (x) > 0 е изпълнено; където тази крива е разположена под оста x, неравенството f (x)< 0.

Пример 5Решете неравенството

Решение.Ние имаме

(и двете части на предишното неравенство бяха умножени по 6).
За да използвате интервалния метод, маркирайте точките на числовата ос (в тези точки числителят на дробта, съдържаща се в лявата част на неравенството, изчезва) и точки (в тези точки знаменателят на посочената дроб изчезва). Обикновено точките се отбелязват схематично, като се съобразява реда, в който следват (коя отдясно, коя отляво) и без особено внимание на мащаба. Това е ясно По-сложно е положението с числата.Първата оценка показва, че и двете числа са малко по-големи от 2,6, от което не може да се заключи кое от посочените числа е по-голямо и кое по-малко. Да предположим (на случаен принцип), че Тогава
Оказа се правилното неравенство, което означава, че предположението ни се потвърди: всъщност
Така,

Отбелязваме посочените 5 точки в посочения ред на числовата ос (фиг. 17а). Подредете знаците на израза
върху получените интервали: вдясно - знак +, а след това знаците се редуват (фиг. 176). Нека начертаем крива от знаци и изберем (чрез защриховане) тези интервали, на които неравенството f (x) > 0, което ни интересува, е изпълнено (фиг. 17c). Нека най-накрая вземем предвид това говорим сиза нестрогото неравенство f (x) > 0, което означава, че се интересуваме и от тези точки, в които изразът f (x) се нулира. Това са корените на числителя на дробта f (x), т.е. точки ние ги маркираме на фиг. 17 в тъмните кръгове (и, разбира се, включете в отговора). Ето я и снимката. 17в дава пълен геометричен модел за решения на даденото неравенство.

Примери:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(\leq0\)

\(\frac(1)(2x)\) \(+\) \(\frac(x)(x+1)\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)

\(\frac(6)(x+1)\) \(>\) \(\frac(x^2-5x)(x+1)\) .

При решаване на дробни рационални неравенства се използва методът на интервалите. Ето защо, ако алгоритъмът по-долу ви създава затруднения, вижте статията за .

Как се решават дробни рационални неравенства:

Алгоритъм за решаване на дробни рационални неравенства.

Примери:



Поставете знаци върху интервалите на числовата ос. Нека ви напомня правилата за подреждане на табели:

Определяме знака в най-десния интервал - вземаме число от този интервал и го заместваме в неравенството вместо x. След това определяме знаците в скоби и резултата от умножаването на тези знаци;

Примери:




Маркирайте пространствата, които искате. Ако има отделен корен, маркирайте го с флаг, за да не забравите да го включите в отговора (вижте примера по-долу).

Примери:


Запишете в отговор подчертаните пропуски и корените, отбелязани с флагче (ако има такива).

Примери:
Отговор: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪)