Примери за решаване на блатото по метода на Гаус. Метод на Гаус (последователно изключване на неизвестни)

Този онлайн калкулатор намира решение на система от линейни уравнения (SLE), използвайки метода на Гаус. Дадено е подробно решение. За да изчислите, изберете броя на променливите и броя на уравненията. След това въведете данните в клетките и щракнете върху „Изчисли“.

х 1 +x2 +х 3 х 1 +x2 +х 3 х 1 +x2 +х 3 = = =

Представяне на числа:

Цели числа и/или обикновени дроби
Цели числа и/или десетични числа

Брой цифри след десетичния разделител

×

Предупреждение

Изчистване на всички клетки?

Затвори Изчисти

Инструкция за въвеждане на данни.Числата се въвеждат като цели числа (примери: 487, 5, -7623 и т.н.), десетични числа (напр. 67., 102,54 и т.н.) или дроби. Дробта трябва да бъде въведена във формата a/b, където a и b (b>0) са цели или десетични числа. Примери 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.н.

Метод на Гаус

Методът на Гаус е метод за преход от оригиналната система от линейни уравнения (с помощта на еквивалентни трансформации) към система, която е по-лесна за решаване от оригиналната система.

Еквивалентните трансформации на системата от линейни уравнения са:

• размяна на две уравнения в системата,
• умножение на всяко уравнение в системата с ненулево реално число,
• добавяне към едно уравнение на друго уравнение, умножено по произволно число.

Помислете за система от линейни уравнения:

(1)

Записваме система (1) в матрична форма:

брадва=b

(2)

(3)

Асе нарича коефициентна матрица на системата, b− дясната страна на ограниченията, х− вектор от променливи, които трябва да бъдат намерени. Нека се класира( А)=стр.

Еквивалентните трансформации не променят ранга на коефициентната матрица и ранга на разширената матрица на системата. Множеството от решения на системата също не се променя при еквивалентни преобразувания. Същността на метода на Гаус е да се приведе матрицата на коефициентите Адо диагонал или стъпало.

Нека изградим разширената матрица на системата:

На следващия етап нулираме всички елементи от колона 2, под елемента. Ако даденият елемент е нула, тогава този ред се заменя с реда, лежащ под дадения ред и имащ различен от нула елемент във втората колона. След това нулираме всички елементи от колона 2 под водещия елемент а 22. За да направите това, добавете редове 3, ... мс ред 2, умножен по − а 32 /а 22 , ..., −а m2 / а 22, съответно. Продължавайки процедурата, получаваме матрица с диагонална или стъпаловидна форма. Нека получената разширена матрица изглежда така:

(7)

защото rankA=ранг(A|b), тогава множеството от решения (7) е ( n−p) е разновидност. Следователно n−pнеизвестните могат да бъдат избрани произволно. Останалите неизвестни от системата (7) се изчисляват по следния начин. От последното уравнение изразяваме х p през останалите променливи и вмъкнете в предишните изрази. След това, от предпоследното уравнение, изразяваме х p−1 през останалите променливи и вмъкнете в предишните изрази и т.н. Разгледайте метода на Гаус на конкретни примери.

Примери за решаване на система от линейни уравнения по метода на Гаус

Пример 1. Намерете общото решение на система от линейни уравнения по метода на Гаус:

Означаваме с а ij елементи аз-ти ред и й-та колона.

аединадесет За да направите това, добавете редове 2,3 с ред 1, умножени съответно по -2/3, -1/2:

Тип матричен запис: брадва=b, където

Означаваме с а ij елементи аз-ти ред и й-та колона.

Изключете елементите от 1-вата колона на матрицата под елемента аединадесет За да направите това, добавете редове 2,3 с ред 1, умножени съответно по -1/5, -6/5:

Разделяме всеки ред от матрицата на съответния водещ елемент (ако водещият елемент съществува):

където х 3 , х

Замествайки горните изрази в долните, получаваме решението.

Тогава векторното решение може да бъде представено по следния начин:

където х 3 , х 4 са произволни реални числа.

Две системи от линейни уравнения се наричат ​​еквивалентни, ако наборът от всички техни решения е еднакъв.

Елементарните трансформации на системата от уравнения са:

1. Изтриване от системата на тривиалните уравнения, т.е. такива, при които всички коефициенти са равни на нула;
2. Умножаване на всяко уравнение с различно от нула число;
3. Добавяне към всяко i -то уравнение на всяко j -то уравнение, умножено по произволно число.

Променливата x i се нарича свободна, ако тази променлива не е разрешена, а цялата система от уравнения е разрешена.

Теорема. Елементарните трансформации превръщат системата от уравнения в еквивалентна.

Смисълът на метода на Гаус е да се трансформира първоначалната система от уравнения и да се получи еквивалентна разрешена или еквивалентна непоследователна система.

И така, методът на Гаус се състои от следните стъпки:

1. Разгледайте първото уравнение. Избираме първия ненулев коефициент и разделяме цялото уравнение на него. Получаваме уравнение, в което някаква променлива x i влиза с коефициент 1;
2. Нека извадим това уравнение от всички останали, като го умножим по числа, така че коефициентите за променливата x i в останалите уравнения да са настроени на нула. Получаваме система, която е разрешена по отношение на променливата x i и е еквивалентна на оригиналната;
3. Ако възникнат тривиални уравнения (рядко, но се случва; например 0 = 0), ние ги изтриваме от системата. В резултат на това уравненията стават с едно по-малко;
4. Повтаряме предишните стъпки не повече от n пъти, където n е броят на уравненията в системата. Всеки път избираме нова променлива за „обработка“. Ако възникнат противоречиви уравнения (например 0 = 8), системата е непоследователна.

В резултат на това след няколко стъпки получаваме или разрешена система (възможно със свободни променливи), или непоследователна. Разрешените системи попадат в два случая:

1. Броят на променливите е равен на броя на уравненията. Така че системата е дефинирана;
2. Броят на променливите е по-голям от броя на уравненията. Събираме всички свободни променливи отдясно - получаваме формули за разрешените променливи. Тези формули са записани в отговора.

Това е всичко! Системата от линейни уравнения е решена! Това е доста прост алгоритъм и за да го овладеете, не е необходимо да се свързвате с учител по математика. Помислете за пример:

Задача. Решете системата от уравнения:

Описание на стъпките:

1. Изваждаме първото уравнение от второто и третото - получаваме разрешената променлива x 1;
2. Второто уравнение умножаваме по (−1) и третото уравнение разделяме на (−3) - получаваме две уравнения, в които променливата x 2 влиза с коефициент 1;
3. Добавяме второто уравнение към първото и изваждаме от третото. Нека получим разрешената променлива x 2 ;
4. Накрая изваждаме третото уравнение от първото - получаваме разрешената променлива x 3 ;
5. Получихме оторизирана система, записваме отговора.

Общото решение на съвместна система от линейни уравнения е нова система, еквивалентна на оригиналната, в която всички разрешени променливи са изразени чрез свободни.

Кога може да е необходимо общо решение? Ако трябва да направите по-малко стъпки от k (k е общо колко уравнения). Въпреки това, причините, поради които процесът завършва на някаква стъпка l< k , может быть две:

1. След l -та стъпка получаваме система, която не съдържа уравнение с числото (l + 1). Всъщност това е добре, защото. така или иначе разрешената система се получава - дори няколко стъпки по-рано.
2. След l -тата стъпка се получава уравнение, в което всички коефициенти на променливите са равни на нула, а свободният коефициент е различен от нула. Това е непоследователно уравнение и следователно системата е непоследователна.

Важно е да се разбере, че появата на несъгласувано уравнение по метода на Гаус е достатъчна причина за несъответствие. В същото време отбелязваме, че в резултат на l -та стъпка не могат да останат тривиални уравнения - всички те се изтриват директно в процеса.

Описание на стъпките:

1. Извадете първото уравнение по 4 от второто. И също така добавете първото уравнение към третото - получаваме разрешената променлива x 1;
2. Изваждаме третото уравнение, умножено по 2, от второто - получаваме противоречивото уравнение 0 = −5.

И така, системата е непоследователна, тъй като е намерено несъгласувано уравнение.

Задача. Проучете съвместимостта и намерете общото решение на системата:

Описание на стъпките:

1. Изваждаме първото уравнение от второто (след умножаване по две) и третото - получаваме разрешената променлива x 1;
2. Извадете второто уравнение от третото. Тъй като всички коефициенти в тези уравнения са еднакви, третото уравнение става тривиално. В същото време умножаваме второто уравнение по (−1);
3. Изваждаме второто уравнение от първото уравнение - получаваме разрешената променлива x 2. Цялата система от уравнения сега също е разрешена;
4. Тъй като променливите x 3 и x 4 са свободни, ние ги преместваме надясно, за да изразим разрешените променливи. Това е отговорът.

И така, системата е съвместна и неопределена, тъй като има две разрешени променливи (x 1 и x 2) и две свободни (x 3 и x 4).

Решаване на системи линейни уравнения по метода на Гаус.Да предположим, че трябва да намерим решение на системата от нлинейни уравнения с ннеизвестни променливи
чиято детерминанта на основната матрица е различна от нула.

Същността на метода на Гауссе състои в последователно изключване на неизвестни променливи: първо, на х 1от всички уравнения на системата, започвайки от второто, тогава x2от всички уравнения, започвайки с третото и така нататък, докато в последното уравнение остане само неизвестната променлива x n. Такъв процес на трансформиране на уравненията на системата за последователно елиминиране на неизвестни променливи се нарича директен метод на Гаус. След завършване на движението напред на метода на Гаус, от последното уравнение намираме x n, използвайки тази стойност от предпоследното уравнение се изчислява xn-1, и така нататък, от първото уравнение се намира х 1. Процесът на изчисляване на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение на системата към първото се нарича обратен метод на Гаус.

Нека опишем накратко алгоритъма за елиминиране на неизвестни променливи.

Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Елиминирайте неизвестната променлива х 1от всички уравнения на системата, започвайки от второто. За да направите това, добавете първото уравнение, умножено по към второто уравнение на системата, добавете първото умножено по към третото уравнение и така нататък, до n-тидобавете първото уравнение, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

къде .

Ще стигнем до същия резултат, ако изразим х 1чрез други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и полученият израз беше заместен във всички останали уравнения. Така че променливата х 1изключени от всички уравнения, като се започне от второто.

След това действаме по подобен начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата

За да направите това, добавете второто умножено по към третото уравнение на системата, добавете второто умножено по към четвъртото уравнение и така нататък, до n-тидобавете второто уравнение, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

къде . Така че променливата x2изключени от всички уравнения, като се започне от третото.

След това пристъпваме към елиминирането на неизвестното х 3, докато действаме по подобен начин с частта от системата, отбелязана на фигурата

Така че продължаваме директния ход на метода на Гаус, докато системата приеме формата

От този момент започваме обратния ход на метода на Гаус: изчисляваме x nот последното уравнение като , използвайки получената стойност x nнамирам xn-1от предпоследното уравнение и т.н. намираме х 1от първото уравнение.

Пример.

Решаване на система от линейни уравнения Метод на Гаус.

Карл Фридрих Гаус, най-великият математик, дълго време се колебаеше, избирайки между философията и математиката. Може би точно такъв начин на мислене му позволи да "напусне" толкова забележимо в световната наука. По-специално, чрез създаването на "метода на Гаус" ...

В продължение на почти 4 години статиите на този сайт се занимават с училищното образование, основно от гледна точка на философията, принципите на (не)разбирането, въведени в съзнанието на децата. Идва време за повече конкретика, примери и методи... Смятам, че това е подходът към познатото, объркващо и важнообласти от живота дава най-добри резултати.

Ние хората сме така устроени, че колкото и да се говори абстрактно мислене, но разбиране винагистава чрез примери. Ако няма примери, тогава е невъзможно да се уловят принципите ... Колко невъзможно е да бъдеш на върха на планината по друг начин, освен като преминеш през целия й склон от подножието.

Същото с училището: засега живи историине достатъчно, ние инстинктивно продължаваме да го възприемаме като място, където децата се учат да разбират.

Например преподаване на метода на Гаус...

Метод на Гаус в 5 клас на училището

Веднага ще направя резервация: методът на Гаус има много по-широко приложение, например при решаване системи от линейни уравнения. Това, за което ще говорим, се случва в 5 клас. Това започнете, след като разберете кои, е много по-лесно да разберете повече "разширени опции". В тази статия говорим за метод (метод) на Гаус при намиране на сумата от редица

Ето един пример, който най-малкият ми син донесе от училище, посещавайки 5 клас на московска гимназия.

Училищна демонстрация на метода на Гаус

Учител по математика с помощта на интерактивна дъска (съвременни методи на обучение) показа на децата презентация на историята за „създаване на метода“ от малкия Гаус.

Учителят удари с камшик малкия Карл (остарял метод, сега не се използва в училищата), защото бил,

вместо последователно събиране на числа от 1 до 100, за да се намери тяхната сума забелязаноче двойки числа, разположени на еднакво разстояние от краищата на една аритметична прогресия, се събират до едно и също число. например 100 и 1, 99 и 2. След като преброи броя на тези двойки, малкият Гаус почти моментално реши задачата, предложена от учителя. За което е подложен на екзекуция пред смаяната публика. За останалите да мислят беше неуважително.

Какво направи малкият Гаус развити смисъл на числото? Забелязанонякаква функциячислови редове с постоянна стъпка (аритметична прогресия). И точно тованаправи го по-късно велик учен, способен да забележи, притежаващ чувство, инстинкт за разбиране.

Това е стойността на математиката, която развива способност да виждашобщо взето - абстрактно мислене. Ето защо, повечето родители и работодатели инстинктивно смятат математиката за важна дисциплина ...

„Математиката трябва да се преподава по-късно, за да подреди ума.
М. В. Ломоносов".

Но последователите на тези, които бичуваха бъдещите гении, превърнаха Метода в нещо противоположно. Както каза моят ръководител преди 35 години: "Те научиха въпроса." Или както най-малкият ми син каза вчера за метода на Гаус: „Може би не си струва да правим голяма наука от това, а?“

Последствията от креативността на „учените“ се виждат в нивото на сегашната училищна математика, нивото на нейното преподаване и разбирането на „Царицата на науките“ от мнозинството.

Все пак да продължим...

Методи за обяснение на метода на Гаус в 5 клас на училището

Учител по математика в московска гимназия, обясняващ метода на Гаус по начина на Виленкин, усложни задачата.

Ами ако разликата (стъпката) на аритметична прогресия не е едно, а друго число? Например 20.

Задачата, която постави на петокласниците:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Преди да се запознаем с метода на гимназията, нека да погледнем в мрежата: как го правят училищните учители - преподаватели по математика? ..

Метод на Гаус: Обяснение #1

Известен преподавател в своя канал в YOUTUBE дава следното разсъждение:

"нека напишем числата от 1 до 100 така:

първо серия от числа от 1 до 50, а точно под нея друга серия от числа от 50 до 100, но в обратен ред"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

„Моля, обърнете внимание: сумата на всяка двойка числа от горния и долния ред е една и съща и е равна на 101! Нека преброим броя на двойките, това е 50 и умножете сумата на една двойка по броя на двойките! Voila: The отговорът е готов!".

„Ако не сте разбрали, не се разстройвайте!“, повтори учителят три пъти по време на обяснението. „Тази методика ще я минеш в 9 клас!“

Метод на Гаус: Обяснение #2

Друг преподавател, по-малко известен (съдейки по броя гледания), използва по-научен подход, предлагайки алгоритъм за решение от 5 точки, който трябва да бъде изпълнен последователно.

За непосветените: 5 е едно от числата на Фибоначи, традиционно смятани за магически. Методът на 5 стъпки винаги е по-научен от метода на 6 стъпки, например. ... И това едва ли е случайно, най-вероятно авторът е скрит привърженик на теорията на Фибоначи

Като се има предвид аритметична прогресия: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Алгоритъм за намиране на сумата от числа в редица по метода на Гаус:

Стъпка 1: пренапишете дадената последователност от числа в обратен ред, точнопод първия.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Стъпка 2: изчислете сборовете на двойки числа, подредени във вертикални редове: 260.

Стъпка 3: пребройте колко такива двойки има в редицата от числа. За да направите това, извадете минималния от максималния брой на числовата серия и разделете на размера на стъпката: (256 - 4) / 6 = 42.

В същото време трябва да запомните за плюс едно правило : едно трябва да се добави към полученото частно: в противен случай ще получим резултат, който е с едно по-малък от истинския брой двойки: 42 + 1 = 43.

Стъпка 4: умножете сбора на една двойка числа по броя на двойките: 260 x 43 = 11 180

Стъпка 5: тъй като изчислихме сумата двойки числа, тогава получената сума трябва да се раздели на две: 11 180 / 2 = 5590.

Това е търсеният сбор от аритметичната прогресия от 4 до 256 с разлика 6!

Метод на Гаус: обяснение в 5 клас на московската гимназия

И ето как беше необходимо да се реши задачата за намиране на сумата от редица:

20+40+60+ ... +460+480+500

в 5 клас на московската гимназия, учебник на Виленкин (според сина ми).

След като показа презентацията, учителят по математика показа няколко примера на Гаус и даде на класа задачата да намерят сбора на числата в редица със стъпка 20.

Това изискваше следното:

Етап 1: не забравяйте да запишете всички числа в редицата в тетрадкаот 20 до 500 (на стъпки от 20).

Стъпка 2: напишете последователни членове - двойки числа:първият с последния, вторият с предпоследния и т.н. и изчислете техните суми.

Стъпка 3: изчислете "сумата на сумите" и намерете сумата на цялата серия.

Както можете да видите, това е по-компактна и ефективна техника: числото 3 също е член на редицата на Фибоначи

Моите коментари относно училищната версия на метода на Гаус

Великият математик със сигурност би избрал философията, ако беше предвидил в какво ще превърнат неговия „метод” последователите му. учител по немски езиккойто бичуваха Карл с пръчки. Той щеше да види символиката и диалектическата спирала и безсмъртната глупост на "учителите" опитвайки се да измерим хармонията на живата математическа мисъл с алгебрата на неразбирането ....

Между другото, знаете ли. че нашата образователна система се корени в немското училище от 18-ти и 19-ти век?

Но Гаус избра математиката.

Каква е същността на неговия метод?

AT опростяване. AT наблюдение и улавянепрости модели на числа. AT превръщайки сухата училищна аритметика в интересна и забавна дейност , активирайки желанието за продължаване в мозъка, а не блокирайки скъпата умствена дейност.

Възможно ли е да се изчисли сумата от числата на аритметична прогресия с една от горните "модификации на метода на Гаус" моментално? Според „алгоритмите“ малкият Карл гарантирано щеше да избегне напляскване, да култивира отвращение към математиката и да потисне творческите си импулси в зародиш.

Защо преподавателят толкова настойчиво съветваше петокласниците „да не се страхуват от неразбиране“ на метода, убеждавайки ги, че ще решават „такива“ задачи още в 9 клас? Психологически неграмотно действие. Беше добра идея да се отбележи: "Виждаш ли? Ти още в 5 клас можерешавайте проблеми, които ще преминете само след 4 години! Какви добри хора сте!"

За да използвате метода на Гаус, ниво 3 от класа е достатъчнокогато нормалните деца вече знаят как да събират, умножават и делят 2-3 цифрени числа. Проблемите възникват поради неспособността на възрастни учители, които "не влизат" как да обяснят най-простите неща на нормален човешки език, не само математически ... Те не са в състояние да заинтересуват математиката и напълно обезсърчат дори "способните".

Или, както синът ми коментира, „направете голяма наука от това“.

Как (в общия случай) да разберем на кое число трябва да се "развие" записът на числа в метод No1?

Какво да направите, ако броят на членовете на поредицата е странно?

Защо да превръщате в „Правило плюс 1“ това, което едно дете би могло просто асимилирамдори в първи клас, ако е развил "чувство за число", и не си спомням"броя до десет"?

И накрая: къде изчезна НУЛАТА, гениално изобретение, което е на повече от 2000 години и което съвременните учители по математика избягват да използват?!

Метод на Гаус, моите обяснения

Жена ми и аз обяснихме този „метод“ на нашето дете, изглежда, още преди училище ...

Простота вместо сложност или игра на въпроси - отговори

"Вижте, ето числата от 1 до 100. Какво виждате?"

Не става дума за това какво вижда детето. Номерът е да го накараш да изглежда.

— Как можеш да ги събереш? Синът разбра, че такива въпроси не се задават „просто така“ и трябва да погледнете на въпроса „някак по различен начин, по различен начин, отколкото обикновено прави“

Няма значение дали детето вижда решението веднага, това е малко вероятно. Важно е той престана да се страхува да погледне, или както казвам: „премести задачата“. Това е началото на пътя към разбирането

„Кое е по-лесно: да съберем например 5 и 6 или 5 и 95?“ Насочващ въпрос... Но все пак всяко обучение се свежда до „насочване“ на човек към „отговор“ – по всеки приемлив за него начин.

На този етап може вече да има предположения как да "спестите" от изчисленията.

Всичко, което направихме, е намек: методът на "фронтално, линейно" броене не е единственият възможен. Ако детето е съкратило това, то по-късно ще измисли още много такива методи, защото е интересно!!!И той определено ще избегне "неразбирането" на математиката, няма да изпитва отвращение към нея. Той спечели победата!

Ако открито бебетогава събирането на двойки числа, които дават сто, е дребна задача "аритметична прогресия с разлика 1"- доста мрачно и безинтересно нещо за дете - изведнъж му даде живот . От хаоса се появи ред и това винаги е ентусиазирано: така сме!

Бърз въпрос: защо след прозрението на едно дете то отново трябва да бъде забивано в рамките на сухи алгоритми, които също са функционално безполезни в случая?!

Защо да правите глупаво пренаписванепоредни номера в тетрадка: така че дори способните да нямат нито един шанс за разбиране? Статистически, разбира се, но масовото образование е фокусирано върху "статистиката" ...

Къде отиде нулата?

И все пак, събирането на числа, които дават 100, е много по-приемливо за ума, отколкото даването на 101 ...

„Училищният метод на Гаус“ изисква точно това: безсмислено сгъванена еднакво разстояние от центъра на прогресията на двойка числа, без значение какво.

Ами ако погледнеш?

Все пак нулата е най-великото изобретение на човечеството, което е на повече от 2000 години. А учителите по математика продължават да го игнорират.

Много по-лесно е да конвертирате поредица от числа, започваща с 1, в поредица, започваща с 0. Сборът няма да се промени, нали? Трябва да спрете да "мислите в учебниците" и да започнете да търсите ...И да видите, че двойки със сбор 101 могат да бъдат напълно заменени с двойки със сбор 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Как да премахнем "правилото плюс 1"?

Честно казано, за първи път чух за такова правило от онзи преподавател в YouTube ...

Какво трябва да направя, когато трябва да определя броя на членовете на поредица?

Гледайки последователността:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

и когато сте напълно уморени, след това на по-прост ред:

1, 2, 3, 4, 5

и смятам: ако извадите едно от 5, получавате 4, но съм съвсем ясен виж 5 числа! Следователно трябва да добавите такъв! Чувството за число, развито в началното училище, предполага, че дори да има цял Google от членове на поредицата (10 на стотна степен), моделът ще остане същият.

Майната им на правилата?...

Така че за няколко-три години да запълните цялото пространство между челото и тила и да спрете да мислите? Какво ще кажете за печеленето на хляб и масло? В края на краищата ние се придвижваме с равни позиции към ерата на цифровата икономика!

Повече за училищния метод на Гаус: "защо да правим наука от това? .."

Не напразно пуснах скрийншот от бележника на сина ми...

"Какво имаше в урока?"

"Е, аз веднага преброих, вдигнах ръка, но тя не попита. Затова, докато другите броеха, започнах да правя ДЗ на руски, за да не губя време. Тогава, когато другите свършиха да пишат (?? ?), тя ме повика на дъската. Казах отговора."

„Така е, покажи ми как го реши”, каза учителят. Показах. Тя каза: "Грешно, трябва да броите, както показах!"

"Добре е, че не поставих двойка. И ме накарах да напиша "процеса на вземане на решение" по техен начин в тетрадка. Защо да правим голяма наука от това? .."

Основното престъпление на учителя по математика

едва ли след това този поводКарл Гаус изпитва голямо уважение към училищния учител по математика. Но ако знаеше как последователи на този учител изопачават същността на метода... щеше да изрева от възмущение и чрез Световната организация за интелектуална собственост WIPO да постигне забрана за използване на доброто му име в училищните учебници! ..

Какво основната грешка на училищния подход? Или, както се изразих, престъплението на училищните учители по математика срещу децата?

Неразбиране на алгоритъм

Какво правят училищните методисти, огромното мнозинство от които не знаят как да мислят?

Създайте методи и алгоритми (вижте). Това защитна реакция, която предпазва учителите от критика („Всичко се прави според ...“), а децата от разбиране. И по този начин - от желанието да се критикуват учителите!(Втората производна на бюрократичната "мъдрост", научен подход към проблема). Човек, който не схваща смисъла, по-скоро ще обвини собственото си неразбиране, а не глупостта на училищната система.

Какво се случва: родителите обвиняват децата, а учителите ... същото за децата, които "не разбират от математика! ..

Вие разбирате ли?

Какво направи малкият Карл?

Абсолютно нетрадиционен подход към шаблонна задача. Това е квинтесенцията на Неговия подход. Това основното нещо, което трябва да се преподава в училище, е да мислите не с учебниците, а с главата си. Разбира се, има и инструментален компонент, който може да се използва ... в търсене по-прости и по-ефективни методи за броене.

Метод на Гаус по Виленкин

В училище учат, че методът на Гаус е да

по двойкинамерете сумите на числа, еднакво отдалечени от краищата на редицата от числа, задължително започвайки от краищата!

намерете броя на такива двойки и т.н.

Какво, ако броят на елементите в реда е нечетен, както в задачата, която беше възложена на сина? ..

„Номерът” е, че в случая трябва да намерите "допълнителния" номер на сериятаи го добавете към сбора на двойките. В нашия пример това число е 260.

Как да открием? Преписване на всички двойки числа в тетрадка!(Ето защо учителят накара децата да вършат тази глупава работа, опитвайки се да преподават на "креативност", използвайки метода на Гаус... И затова такъв "метод" е практически неприложим за големи серии от данни, и затова не е метод на Гаус метод).

Малко креативност в училищното ежедневие...

Синът постъпи различно.

Отначало той отбеляза, че е по-лесно да се умножи числото 500, а не 520.

(20 + 500, 40 + 480 ...).

Тогава той разбра: броят на стъпките се оказа нечетен: 500 / 20 = 25.

След това той добави НУЛА в началото на серията (въпреки че беше възможно да се изхвърли последният член на серията, което също би осигурило равенство) и добави числата, давайки общо 500

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 стъпки са 13 чифта "петстотин": 13 x 500 = 6500 ..

Ако изхвърлим последния член на поредицата, тогава ще има 12 двойки, но не трябва да забравяме да добавим "изхвърлените" петстотин към резултата от изчисленията. Тогава: (12 х 500) + 500 = 6500!

Лесно, нали?

Но на практика става още по-лесно, което ви позволява да отделите 2-3 минути за дистанционно наблюдение на руски, докато останалите се „броят“. В допълнение, той запазва броя на стъпките на методологията: 5, което не позволява да се критикува подходът като ненаучен.

Очевидно този подход е по-прост, по-бърз и по-гъвкав, в стила на метода. Но... учителят не само не похвали, но и ме принуди да го препиша "по правилния начин" (вижте скрийншота). Тоест, тя направи отчаян опит да задуши творческия импулс и способността да разбере математиката в зародиш! Очевидно, за да бъде наета по-късно като учител ... Тя нападна грешния ...

Всичко, което описах толкова дълго и досадно, може да се обясни на нормално дете за максимум половин час. Заедно с примери.

И така, че никога да не го забрави.

И ще стане стъпка към разбирането...не само математика.

Признайте си: колко пъти в живота си сте добавяли по метода на Гаус? И аз никога!

Но инстинкт за разбиране, който се развива (или изгасва) в процеса на изучаване на математически методи в училище ... О! .. Това е наистина незаменимо нещо!

Особено в епохата на всеобщата цифровизация, в която тихомълком навлязохме под строгото ръководство на партията и правителството.

Няколко думи в защита на учителите...

Нечестно и погрешно е цялата отговорност за този стил на преподаване да се възлага единствено на учителите. Системата е в действие.

някоиучителите разбират абсурдността на случващото се, но какво да правят? Законът за образованието, федералните държавни образователни стандарти, методики, урочни карти... Всичко трябва да се прави "по ред и основа" и всичко да се документира. Стъпка настрана - застана на опашка за уволнение. Нека не лицемерим: заплатите на московските учители са много добри... Ако ги уволнят, къде да отидат?..

Ето защо този сайт не за образованието. Той е около индивидуално обучение, единственият възможен начин за излизане от тълпата Поколението Z ...

Още от началото на 16-18 век математиците започват интензивно да изучават функциите, благодарение на които толкова много се е променило в живота ни. Компютърните технологии без тези знания просто не биха съществували. За решаване на сложни проблеми са създадени линейни уравнения и функции, различни концепции, теореми и техники за решаване. Един от тези универсални и рационални методи и техники за решаване на линейни уравнения и техните системи беше методът на Гаус. Матрици, техният ранг, детерминанта - всичко може да се изчисли без използване на сложни операции.

Какво е SLAU

В математиката съществува понятието SLAE - система от линейни алгебрични уравнения. Какво представлява тя? Това е набор от m уравнения с необходимите n неизвестни, обикновено обозначени като x, y, z или x 1 , x 2 ... x n или други символи. Да се ​​реши тази система по метода на Гаус означава да се намерят всички неизвестни неизвестни. Ако една система има еднакъв брой неизвестни и уравнения, тогава тя се нарича система от n-ти ред.

Най-популярните методи за решаване на SLAE

В учебните заведения за средно образование се изучават различни методи за решаване на такива системи. Най-често това са прости уравнения, състоящи се от две неизвестни, така че всеки съществуващ метод за намиране на отговора на тях няма да отнеме много време. Може да бъде като метод на заместване, когато друго уравнение се извлича от едно уравнение и се замества в оригиналното. Или член по член изваждане и събиране. Но методът на Гаус се счита за най-лесният и универсален. Това дава възможност за решаване на уравнения с произволен брой неизвестни. Защо тази техника се счита за рационална? Всичко е просто. Матричният метод е добър, защото не изисква няколко пъти да пренаписвате ненужни знаци под формата на неизвестни, достатъчно е да извършвате аритметични операции с коефициентите - и ще получите надежден резултат.

Къде се използват SLAE на практика?

Решението на SLAE са точките на пресичане на прави върху графиките на функциите. В нашата високотехнологична компютърна ера хората, които са тясно ангажирани с разработването на игри и други програми, трябва да знаят как да решават такива системи, какво представляват и как да проверят правилността на получения резултат. Най-често програмистите разработват специални калкулатори за линейна алгебра, това включва система от линейни уравнения. Методът на Гаус ви позволява да изчислите всички съществуващи решения. Използват се и други опростени формули и техники.

Критерий за съвместимост на SLAE

Такава система може да бъде решена само ако е съвместима. За по-голяма яснота представяме SLAE във формата Ax=b. Има решение, ако rang(A) е равно на rang(A,b). В този случай (A,b) е матрица с разширена форма, която може да бъде получена от матрица A чрез пренаписването й със свободни членове. Оказва се, че решаването на линейни уравнения по метода на Гаус е доста лесно.

Може би някои обозначения не са напълно ясни, така че е необходимо да се разгледа всичко с пример. Да кажем, че има система: x+y=1; 2x-3y=6. Състои се само от две уравнения, в които има 2 неизвестни. Системата ще има решение само ако рангът на нейната матрица е равен на ранга на разширената матрица. Какво е ранг? Това е броят на независимите линии на системата. В нашия случай рангът на матрицата е 2. Матрица А ще се състои от коефициентите, разположени близо до неизвестните, а коефициентите зад знака "=" също ще се поберат в разширената матрица.

Защо SLAE може да бъде представен в матрична форма

Въз основа на критерия за съвместимост съгласно доказаната теорема на Кронекер-Капели, системата от линейни алгебрични уравнения може да бъде представена в матрична форма. Използвайки каскадния метод на Гаус, можете да решите матрицата и да получите единствения надежден отговор за цялата система. Ако рангът на обикновена матрица е равен на ранга на нейната разширена матрица, но по-малък от броя на неизвестните, тогава системата има безкраен брой отговори.

Матрични трансформации

Преди да преминете към решаване на матрици, е необходимо да знаете какви действия могат да се извършват върху техните елементи. Има няколко елементарни трансформации:

• Чрез пренаписване на системата в матрична форма и извършване на нейното решение е възможно да се умножат всички елементи на серията с един и същ коефициент.
• За да се преобразува матрица в канонична форма, два паралелни реда могат да бъдат разменени. Каноничната форма предполага, че всички елементи на матрицата, които са разположени по главния диагонал, стават единици, а останалите стават нули.
• Съответните елементи на паралелните редове на матрицата могат да се добавят един към друг.

Метод на Джордан-Гаус

Същността на решаването на системи от линейни еднородни и нехомогенни уравнения по метода на Гаус е постепенното премахване на неизвестните. Да кажем, че имаме система от две уравнения, в които има две неизвестни. За да ги намерите, трябва да проверите системата за съвместимост. Уравнението на Гаус се решава много просто. Необходимо е да се изпишат коефициентите, разположени близо до всяко неизвестно в матрична форма. За да разрешите системата, трябва да напишете разширената матрица. Ако едно от уравненията съдържа по-малък брой неизвестни, тогава на мястото на липсващия елемент трябва да се постави "0". Към матрицата се прилагат всички известни методи на трансформация: умножение, деление на число, добавяне на съответните елементи на редовете един към друг и други. Оказва се, че във всеки ред е необходимо да оставите една променлива със стойност "1", останалите трябва да бъдат намалени до нула. За по-точно разбиране е необходимо да разгледаме метода на Гаус с примери.

Прост пример за решаване на система 2x2

Като начало, нека вземем проста система от алгебрични уравнения, в която ще има 2 неизвестни.

Нека го пренапишем в разширена матрица.

За решаването на тази система от линейни уравнения са необходими само две операции. Трябва да доведем матрицата до канонична форма, така че да има единици по главния диагонал. И така, превеждайки от матричната форма обратно в системата, получаваме уравненията: 1x+0y=b1 и 0x+1y=b2, където b1 и b2 са отговорите, получени в процеса на решаване.

1. Първата стъпка в решаването на разширената матрица ще бъде следната: първият ред трябва да се умножи по -7 и съответните елементи да се добавят съответно към втория ред, за да се отърве от едно неизвестно във второто уравнение.
2. Тъй като решението на уравненията по метода на Гаус предполага привеждане на матрицата в канонична форма, тогава е необходимо да се направят същите операции с първото уравнение и да се премахне втората променлива. За да направим това, изваждаме втория ред от първия и получаваме необходимия отговор - решението на SLAE. Или, както е показано на фигурата, умножаваме втория ред по коефициент -1 и добавяме елементите от втория ред към първия ред. Това е същото.

Както можете да видите, нашата система е решена по метода на Джордан-Гаус. Преписваме го в необходимата форма: x=-5, y=7.

Пример за решаване на SLAE 3x3

Да предположим, че имаме по-сложна система от линейни уравнения. Методът на Гаус дава възможност да се изчисли отговорът дори и за най-на пръв поглед объркваща система. Следователно, за да навлезем по-дълбоко в методологията на изчислението, можем да преминем към по-сложен пример с три неизвестни.

Както в предишния пример, ние пренаписваме системата под формата на разширена матрица и започваме да я довеждаме до каноничната форма.

За да разрешите тази система, ще трябва да извършите много повече действия, отколкото в предишния пример.

1. Първо трябва да направите в първата колона един единствен елемент, а останалите нули. За да направите това, умножете първото уравнение по -1 и добавете второто уравнение към него. Важно е да запомните, че пренаписваме първия ред в оригиналната му форма, а вторият - вече в модифициран вид.
2. След това премахваме същото първо неизвестно от третото уравнение. За целта умножаваме елементите от първия ред по -2 и ги добавяме към третия ред. Сега първият и вторият ред са пренаписани в оригиналния си вид, а третият - вече с промени. Както можете да видите от резултата, имаме първото в началото на главния диагонал на матрицата, а останалите са нули. Още няколко действия и системата от уравнения по метода на Гаус ще бъде надеждно решена.
3. Сега трябва да извършите операции с други елементи на редовете. Третата и четвъртата стъпка могат да бъдат комбинирани в една. Трябва да разделим втория и третия ред на -1, за да се отървем от отрицателните по диагонала. Вече сме довели третия ред до необходимата форма.
4. След това канонизираме втория ред. За целта умножаваме елементите на третия ред по -3 и ги добавяме към втория ред на матрицата. От резултата се вижда, че вторият ред също е намален до необходимата ни форма. Остава да направим още няколко операции и да премахнем коефициентите на неизвестните от първия ред.
5. За да направите 0 от втория елемент на реда, трябва да умножите третия ред по -3 и да го добавите към първия ред.
6. Следващата решаваща стъпка е да добавите необходимите елементи от втория ред към първия ред. Така получаваме каноничната форма на матрицата и съответно отговора.

Както можете да видите, решението на уравненията по метода на Гаус е доста просто.

Пример за решаване на система от уравнения 4x4

Някои по-сложни системи от уравнения могат да бъдат решени по метода на Гаус с помощта на компютърни програми. Необходимо е да се въвеждат коефициенти за неизвестни в съществуващите празни клетки и програмата ще изчисли необходимия резултат стъпка по стъпка, описвайки подробно всяко действие.

Инструкциите стъпка по стъпка за решаване на такъв пример са описани по-долу.

В първата стъпка в празни клетки се въвеждат свободни коефициенти и числа за неизвестни. Така получаваме същата разширена матрица, която пишем на ръка.

И се извършват всички необходими аритметични операции, за да се приведе разширената матрица в канонична форма. Трябва да се разбере, че отговорът на система от уравнения не винаги е цели числа. Понякога решението може да бъде от дробни числа.

Проверка на верността на решението

Методът на Йордан-Гаус предвижда проверка на коректността на резултата. За да разберете дали коефициентите са изчислени правилно, просто трябва да замените резултата в оригиналната система от уравнения. Лявата страна на уравнението трябва да съвпада с дясната страна, която е зад знака за равенство. Ако отговорите не съвпадат, тогава трябва да преизчислите системата или да опитате да приложите друг познат ви метод за решаване на SLAE, като заместване или изваждане и събиране член по член. В крайна сметка математиката е наука, която има огромен брой различни методи за решаване. Но помнете: резултатът винаги трябва да е един и същ, без значение какъв метод на решение сте използвали.

Метод на Гаус: най-честите грешки при решаване на SLAE

При решаването на линейни системи от уравнения най-често възникват грешки, като например неправилно прехвърляне на коефициенти в матрична форма. Има системи, в които някои неизвестни липсват в едно от уравненията, след което, прехвърляйки данните в разширената матрица, те могат да бъдат загубени. В резултат на това при решаването на тази система резултатът може да не съответства на реалния.

Друга от основните грешки може да бъде неправилното изписване на крайния резултат. Трябва ясно да се разбере, че първият коефициент ще съответства на първия неизвестен от системата, вторият - на втория и т.н.

Методът на Гаус описва подробно решаването на линейни уравнения. Благодарение на него е лесно да се извършат необходимите операции и да се намери правилният резултат. В допълнение, това е универсален инструмент за намиране на надежден отговор на уравнения с всякаква сложност. Може би затова се използва толкова често при решаването на SLAE.