н Пример 2.3.Намерете корените на уравнението

х- tg (x)= 0. (2.18)

Първият етап от решението (етап отделяне на корените) е внедрен в раздел 2.1 (пример 2.2). Търсеният корен на уравнението се намира на отсечката хÎ, както се вижда на графиката (фиг. 2.9).

Фиг.2.9. Етап на отделяне на корените

Етап на усъвършенстване на коренаРеализираме го с помощта на Excel. Нека демонстрираме това с пример метод половин деление . Изчислителни схеми за допирателни методиИ акордине се различава много от диаграмата по-долу.

Последователност:

1. Подгответе таблица, както е показано на фиг. 2.10, и въведете стойностите а, b, ε съответно в клетки B3, B4, B5.

2. Попълнете първия ред на таблицата:

D4=0 номер на итерация;

E4=B3, F4=B4, за изчисление f(a): G4=E4-TAN(E4),

По същия начин в клетки H4, I4, J4 въвеждаме формули за изчисляване, съответно f(b), x n=(a+b)/2 и f(x n);

В клетка K4 изчисляваме дължината на сегмента [ а, b]: K4=ABS(E4-F4).

3. D5=D4+1, за формиране на номера на итерация.

4. В клетки E5, F5 въвеждаме формули за формиране на краищата на вложени сегменти в съответствие с алгоритъма, описан в раздел 2.2.1:

E5=IF(J4*H4<0;I4;E4);

F5=IF(J4*H4>0;I4;F4).

5. Изберете клетки G4:K4 и ги копирайте надолу една линия.

6. Изберете клетки D5:K5 и ги копирайте надолу в края на таблицата.

Фиг.2.10. Схема за решаване на нелинейно уравнение по метода на разполовяването

Продължаваме да разделяме сегментите, докато дължината на последния стане по-малка от даденото ε, т.е. до изпълнение на условието.

За да направим края на итеративния процес ясен, ще използваме Условно форматиране

Условно форматиране –Това е форматиране на избрани клетки по някакъв критерий, което ще доведе до оцветяване на клетки, чието съдържание отговаря на дадено условие (в нашия случай).

За да направите това, изпълнете следните стъпки:

Нека селектираме клетките от последната колона (K) на изчислителната схема (фиг. 2.10), където ще бъде зададен критерият за завършване на итеративния процес;

Да изпълним командата

Начало\Стилове\ Условно форматиране;

Фиг.2.11. Прозорец при форматиране на думи

В прозореца, който се показва (фиг. 2.11), изберете реда:

Правила за избиране на клетки\Less;

От лявата страна на диалоговия прозорец, който се появява По-малко (фиг. 2.12) задаваме стойността, която ще се използва като критерий (в нашия пример това е адресът на клетка B5, където се намира стойността ε ).

Фиг.2.12. Диалогов прозорец По-малко

От дясната страна на прозореца По-малко изберете цвета, който ще се използва за оцветяване на клетките, отговарящи на зададеното условие; и натиснете бутона ДОБРЕ.

В резултат на това форматиране клетките в колона K , чиито ценности по-малко от 0,1,тонирани, фиг. 2.10.

Така за приблизителна стойност на корена на уравнението х- tg (x)= 0 с точност e=0,1 се приема 3-тата итерация, т.е. x * "4,46875. За e=0,01 - x * » 4,49609(6-та итерация).

Решение Не линейни уравненияс помощта на добавката „Избор на параметри“.

Решаването на нелинейни уравнения може да се реализира в MS приложението Excelизползвайки добавки Избор на параметри, където се изпълнява някакъв итеративен процес.

Нека намерим корените на уравнението (2.18), обсъдено по-горе.

Като нулево приближение на решението на уравнението, както се вижда от фиг. 2.13, можем да вземем х 0 =4 или х 0 =4,5.

Секвениране

1. Подгответе таблица, както е показано на фиг. 2.13. Към клетката A2 нека въведем някаква стойност х 0 (Например х 0 =4) от функцията ODZ y=f(x). Това ще бъде първоначалното приближение за итеративния процес, изпълняван от приложението Избор на параметър.

2. Клетка НА 2 е променлива клетка докато добавката работи. Нека въведем тази стойност в него х 0 , и в клетката C3 нека изчислим стойността на функцията f(x n) за това приближение.

3. Изберете команда:

Данни\Работа с данни\Какво-ако анализ\Избор на параметри.

4. В прозореца „Избор на параметри“ направете настройките, както е показано на фиг. 2.13, и щракнете върху OK.

Фиг.2.13. Решаване на нелинейно уравнение с помощта на добавката „Избор на параметър“.

Ако всичко е направено правилно, тогава в клетка B2 (фиг. 2.13) ще бъде получена приблизителна стойност на корена на нашето уравнение.

Направете всички тези операции отново с различна първоначална предположена стойност, например х 0 =4,5.

Контролни въпроси

1. Кое уравнение се нарича нелинейно. Какво е решението на нелинейно уравнение.

2. Геометрична интерпретация на решението на нелинейно уравнение.

3. Методи за решаване на нелинейно уравнение (директен и итеративен), каква е разликата.

4. Два етапа числено решениенелинейно уравнение. Какви задачи се поставят на първия и втория етап.

5. Първият етап от решаването на нелинейно уравнение. Как се избира нулевото приближение (нулева итерация).

6. Построяване на итеративна последователност. Концепцията за конвергенция на итерационна последователност. Намиране на приблизителната стойност на корена на нелинейно уравнение с точност до ε.

7. Геометрична интерпретация на числени методи за решаване на нелинейно уравнение: половина деление, Нютон (тангенси), хорди.

Глава 3.

Дадено е уравнението F(x)=0. Това - обща форманелинейно уравнение с едно неизвестно. По правило алгоритъмът за намиране на корена се състои от два етапа:

1. Намиране на приблизителната стойност на корена или сегмента по оста x, който го съдържа.

2. Уточняване на приблизителната стойност на корена до известна точност.

На първия етап се използва поетапният метод за разделяне на корена, на втория - един от методите за усъвършенстване (метод на половин разделяне, метод на Нютон, метод на хорда или метод на проста итерация).

Стъпков метод

Като пример, разгледайте уравнението x 2 - 11x + 30 = 0. Интервал на търсене, стъпка = 0,3. Нека го решим с помощта на специални умения Excel пакет. Последователност от действия (виж фиг. 1):

1. Задайте заглавието на ред 1 " Числени методирешения на нелинейни уравнения."

2. Създайте заглавие в ред 3, „Метод стъпка по стъпка“.

3. Запишете данните за задачата в клетки A6 и C6 и B6.

4. Напишете заглавията на редовете съответно в клетки B9 и C9 x и F(x).

5. В клетки B10 и B11 въведете първите две стойности на аргумента - 3 и 3.3.

6. Изберете клетки B5-B6 и плъзнете серията данни до крайната стойност (3,3), като се уверите, че аритметичната прогресия е формирана правилно.

7. В клетка C10 въведете формулата"=B10*B10-11*B10+30".

8. Копирайте формулата върху останалите елементи на реда, като използвате техниката на плъзгане. В интервала C10:C18 са получени редица резултати за изчисляване на функцията F(x). Вижда се, че функцията променя знака веднъж. Коренът на уравнението се намира в интервала.

9. Да се ​​начертае зависимостта F(x) използвайте Insert - Diagram (тип “Point”, маркерите са свързани с гладки криви).

Метод за разделяне на сегмент наполовина

Като пример, разгледайте уравнението x 2 - 11x + 30 = 0. Интервал на търсене, с точност ε=0,01. Нека го решим с помощта на специалните функции на пакета Excel.

1. Въведете заглавието „Метод за разделяне на сегменти наполовина“ в клетка B21.

2. Въведете данни за задачата в клетки A23, C23, E23.

3. В област B25:H25 създайте заглавка на таблица (ред B - лявата граница на сегмента "a", ред C - средата на сегмента "x", ред D - дясната граница на сегмента "b", ред E - стойността на функцията на лявата граница на сегмента "F( a)", ред F - стойността на функцията в средата на сегмента "F(x)", ред G - произведението "F( a)*F(x)", ред H - проверка дали е постигната точността "ê F(x)ê<е».

4. Въведете първоначалните стойности на краищата на сегмента: в клетка B26 „4.8“, в клетка D26 „5.1“.

5. Въведете формулата „=(B26+D26)/2“ в клетка C26.

6. Въведете формулата в клетка E26"=B26*B26-11*B26+30".

7. Въведете формулата в клетка F26"=C26*C26-11*C26+30".

8. Въведете формулата „=E26*F26“ в клетка G26.

9. Въведете в клетка H26 формулата „=IF(ABS(F26)<0.01; ²корен²)".

1 0. Изберете област B21:H21 и я плъзнете вертикално, докато съобщението „root“ се появи в ред H (клетка H29, H30).

Метод на допирателната (Нютон)

1. Въведете заглавието „Тангенциален метод (Нютон)“ в клетка J23.

2. Въведете текста „e=“ в клетка L23 и стойността за точност „0,00001“ в клетка M23.

3. В област K25:N25 създайте заглавие на таблица (ред K - стойността на аргумента “x”, ред L - стойността на функцията “F(x)”, ред M - производната на функцията “F¢ (x)", ред N - проверка за постигане на точност "ê F(x)ê<е».

4. В клетка K26 въведете първия първоначална стойностаргумент"-2".

5. Въведете формулата „=K26*K26*K26+2*K26*K26+3*K26+5“ в клетка L26.

6. Въведете формулата „=3*K26*K26+4*K26+3“ в клетка M26.

7. Въведете в клетка N26 формулата „=IF(ABS(L26)<$M$23;"корень")».

8. Въведете формулата в клетка K27"=K26-L26/M26".

9. Изберете област L27:N27 и я плъзнете вертикално, докато съобщението „root“ се появи в ред N (клетка N30).

Метод на акордите

Като пример, разгледайте уравнението x 3 +2x 2 +3x+5= 0. Точност ε=0,01. Нека го решим с помощта на специалните функции на пакета Excel.

1. Въведете заглавието „Метод на акордите“ в клетка B32.

2. Въведете текста „e=“ в клетка C34 и стойността за точност „0,00001“ в клетка E34.

3. В област B36:D36 създайте заглавка на таблица (ред B - стойността на аргумента "x", ред C - стойността на функцията "F(x)", ред D - проверка дали е постигната точност "ê F(x)ê<е».

4. В клетки B37 и B38 въведете началната стойност на аргумента"-2" и. "-1"

5. Въведете формулата „=B37*B37*B37+2*B37*B37+3*B37+5“ в клетка C37.

6. Въведете формулата в клетка D37"=АКО(ABS(B38-B37)<$D$34;"корень")».

7. Въведете формулата в клетка B39„=B38-C38*(B38-B37)/(C38-C37).“

8. Изберете област C39:D39 и я плъзнете вертикално, докато съобщението „root“ се появи в ред D (клетка D43).

Метод на проста итерация

Като пример разгледайте уравнението x 2 - 11x + 30 = 0. Интервал на търсене, с точност =0,05.

1. Въведете заглавието „Метод на проста итерация“ в клетка K32

2. Въведете текста “e=” в клетка N34 и стойността за точност “0,05” в клетка O34.

3. Изберете функция j (x), която удовлетворява условието за сходимост. В нашия случай такава функция е функцията S(x)=(x*x+30)/11.

4. В област K38:N38 създайте заглавка на таблица (ред K - стойността на аргумента "x", ред L - стойността на функцията "F(x)", ред M - стойността на спомагателната функция "S( x)", ред N - проверка дали е постигната точността "ê F(x)ê<е».

5. В клетка K39 въведете началната стойност на аргумента „4.8“.

6. Въведете формулата в клетка L39"=K39*K39-11*K39+30".

7. Въведете формулата „=(K39*K39+30)/11“ в клетка M39.

8. Въведете в клетка N39 формулата „=IF(ABS(L39)<$O$34;"корень")».

9. Въведете формулата „=M39“ в клетка K40.

1 0. Копирайте клетки L39:N39 в клетки L40:N40.

единадесет Изберете област L40:N40 и я плъзнете вертикално, докато съобщението „root“ се появи в ред N (клетка N53).

Фиг.1 Решаване на нелинейни уравнения в Excel

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА RF

ФЕДЕРАЛЕН ДЪРЖАВЕН БЮДЖЕТ

ОБРАЗОВАТЕЛНА ИНСТИТУЦИЯ

ВИСШЕ ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ

„ЩАТ САМАРА

УНИВЕРСИТЕТ ПО АРХИТЕКТУРНО СТРОИТЕЛСТВО"

Катедра по приложна математика и компютърни науки

ExcelИMathcad

МЕТОДИЧЕСКИ УКАЗАНИЯ

за извършване на лабораторна работа

по дисциплина "Изчислителна математика"

Решаване на нелинейни уравнения вExcel иMathcad: Метод. указ. / Comp. , - Самара: SGASU, 20с.

Насоките са разработени в съответствие с Държавния образователен стандарт за изучаване на дисциплината „Изчислителна математика”.

Разглежда се прилагането на числени методи за решаване на нелинейни уравнения и системи уравнения в Excel и MathCad. Предвидени са варианти на задачи за самостоятелно изпълнение и въпроси за самоконтрол и изпитване.

Предназначен за студенти от специалност 230201 – „Информационни системи и технологии” от всички форми на обучение.

Рецензент д.ф.н. н.

Ó, сборник, 2012 г

ã SGASU, 2012

1.2 Отделяне на корените
1.5 Метод на акордите
1.6 Метод на Нютон (тангенси)
1.7 Комбиниран метод
1.8 Итерационен метод
2.2 Решаване на системи от нелинейни уравнения по метода на Нютон
3 Лабораторни задачи
Лаборатория № 1. Разделяне на корени и стандартни средства за решаване на нелинейни уравнения
Лаборатория № 2. Сравнение на методи за прецизиране на корените на нелинейно уравнение
Лаборатория № 3. Решаване на системи от нелинейни уравнения
Лаборатория № 4. Методи за програмиране за решаване на нелинейни уравнения и системи
4 Въпроси и тестове за самоконтрол

1 Решаване на нелинейно уравнение

1.1 Обща информация за решаване на нелинейно уравнение

Като правило, нелинейно уравнение от общ вид f(x)=0невъзможно за аналитично решаване. За практически задачи е достатъчно да се намери приблизителната стойност х, в известен смисъл близо до точното решение на уравнението xtochn.

В повечето случаи търсенето на приблизително решение включва два етапа. На първи етап отделнокорени, т.е. намират сегменти, в които има строго един корен. На втори етап изяснявамкорен върху един от тези сегменти, т.е. намерете стойността му с необходимата точност.

Постигнатата точност може да се оцени или „по функция“ (в намерената точка х, функцията е достатъчно близка до 0, т.е. условието | е(x)|≤дf, Където дfизисквана точност по ординатната ос), или „по аргумент“ (намерен е достатъчно малък сегмент [ а,b], вътре в който има корен, т.е. | б–a|≤дх, Където дхнеобходимата точност по оста x).

1.2 Отделяне на корените

Разделянето на корените може да се извърши чрез комбинация графикаИ аналитиченфункционални изследвания. Такова изследване се основава на теоремата на Вайерщрас, според която за непрекъсната линия на интервал [ а,b]функции f(x) и произволно число г, отговарящ на условието е(а)≤y≤е(б), има точка на този сегмент х, в която функцията е равна г. Следователно за непрекъсната функция е достатъчно да се намери сегмент, в краищата на който функцията има различни знаци, и можете да сте сигурни, че на този сегмент има корен на уравнението f(x)=0.

За редица методи за прецизиране е желателно сегментът, намерен на първия етап, да съдържа само един корен на уравнението. Това условие е изпълнено, ако функцията върху сегмента е монотонна. Монотонността може да се провери или чрез графиката на функцията, или чрез знака на производната.

ПримерНамерете до цели числа всичкокорени на нелинейно уравнение y(x)=х3 - 10х+7=0а) чрез построяване на таблица и б) чрез построяване на графика. Намерете корена на уравнението на избрания сегмент, като използвате опциите „Избор на параметър“ и „Търсене на решение“.

РешениеНека създадем таблица в Excel, съдържаща аргументите и стойностите на функцията и да я използваме за изграждане точкова диаграма . Фигура 1 показва моментна снимка на решението.

Графиката показва, че уравнението има три корена, принадлежащи на сегментите [-4, -3] и . Тези сегменти могат да бъдат идентифицирани чрез наблюдение на промяната на знаците на функцията в таблицата. Въз основа на начертаната графика можем да заключим, че на посочените сегменти функцията f(х) е монотонен и следователно всеки от тях съдържа само един корен.

Същият анализ може да се извърши в Mathcad. За да направите това, просто въведете дефиницията на функцията f(х) , използвайки оператора за присвояване (:=) и естествени конвенционални означения за математически операции и стандартни функции, дефинирайте цикъл за промяна на аргумента, например, и след това покажете таблица със стойности на функции (разположени на един ред с команди х= f(х)= ) и график. Цикълът може да бъде зададен например с командата х:=-5,-4.5…5 . Стъпката на цикъла се формира чрез указване на началната и последващите стойности на променливата и се поставя точка и запетая преди крайната стойност на променливата, която ще бъде визуално показана на екрана като многоточие.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image002_56.jpg" width="640" height="334">

Фигура 1 – Таблица и графика за разделяне на корените на нелинейно уравнение

1.3 Прецизиране на корените с помощта на стандартни инструменти на Excel и Mathcad

При всички методи за прецизиране на корени е необходимо да се зададе първоначално приближение, което след това ще бъде прецизирано. Ако уравнението има няколко корена, в зависимост от избраното начално приближение ще бъде намерен един от тях. Ако първоначалното приближение е лошо избрано, решението може да не бъде намерено. Ако в резултат на първия етап от изчисленията вече е избран сегмент, съдържащ един корен на уравнението, всяка точка от този сегмент може да се приеме като първоначално приближение.

В Excel, за да изясните стойностите на корените, можете да използвате опциите „Избор на параметър“ и „Търсене на решение“. Пример за дизайн на решението е показан на фигури 2 и 3.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image004_31.jpg" width="501" height="175 src=">

Фигура 3 – Резултати от използването на инструменти за решаване на уравнения вExcel

В Mathcad, за да изясните корените на дадено уравнение, можете да използвате функцията корен(….) или разтвор блок. Пример за използване на функцията root(...) е показан на Фигура 4, а блокът за решение на Фигура 5. Моля, имайте предвид, че в блока за решение (след заглавието на блока дадени) между лявата и дясната страна на уравнението трябва да бъде удебелен знак за равенство(идентичности), които могат да бъдат получени чрез избор от съответната палитра с инструменти или чрез едновременно натискане на клавиша CtrlИ = .

243" height="31">

Фигура 5 – Решаване на уравнение с помощта на блока за решениеMathcad

Както можете да видите, всеки стандартен инструмент намира решение на уравнението с определена точност. Тази точност зависи от метода, използван в пакета и до известна степен от настройките на пакета. Управлението на точността на резултата тук е доста трудно, а често и невъзможно.

В същото време е много лесно да създадете своя собствена таблица или да напишете програма, която прилага един от методите за прецизиране на корени. Тук можете да използвате критериите за точност на изчисленията, зададени от потребителя. В същото време се постига разбиране на процеса на изчисление, без да се разчита на принципа на Митрофанушка: „Има шофьор на такси, той ще ви отведе там“.

По-долу са разгледани няколко от най-често срещаните методи. Нека отбележим очевидната точка: други неща равни условия този методрафинирането на корените ще бъде по-ефективно, при което се намира резултатът със същата грешка по-малъкброй функционални оценки f(x)(в същото време се постига максимална точност с същото числоизчисления на функции).

1.4 Метод за разделяне на сегмент наполовина

При този метод на всяка стъпка сегментът се разделя на две равни части. След това се сравняват знаците на функцията в краищата на всяка от двете половини (например по знака на произведението на стойностите на функциите в краищата), определя се тази, която съдържа решението ( знаците на функцията в краищата трябва да са различни), и. стеснете сегмента, като преместите границата му до намерената точка ( Аили b). Условието за прекратяване е малката част на сегмента, съдържащ корена („точност в х"), или близостта до 0 на стойността на функцията в средата на сегмента ("точност в y"). Решението на уравнението се счита за средата на отсечката, намерена на последната стъпка.

Пример. Изградете таблица, за да изясните корена на уравнението х3 –10 х+7=0 на сегмента [-4, -3] чрез разделяне на сегмент наполовина. Определете колко стъпки трябва да се направят с помощта на метода за разделяне на сегмент наполовина и каква точност се постига в този случай Х,за постигане на точност според г, равно на 0,1; 0,01; 0,001.

РешениеЗа да решите, можете да използвате таблица Excel процесор, което ви позволява автоматично да продължавате редове. На първата стъпка въвеждаме в таблицата стойностите на левия и десния край на избрания начален сегмент и изчисляваме стойността на средата на сегмента с=(а+b)/2 и след това въведете формулата за изчисляване на функцията в точката а (f(а)) и го разтегнете (копирайте), за да изчислите f(° С) И f(b). В последната колона изчисляваме израза ( b-а)/2, характеризираща степента на точност на изчисленията. Всички въведени формули могат да бъдат копирани на втория ред на таблицата.

Във втората стъпка трябва да автоматизирате процеса на търсене на тази половина от сегмента, който съдържа корена. За да направите това, използвайте логическата функция IF ( Меню: InsertFunctionBoolean). За новия ляв ръб на сегмента проверяваме истинността на условието f(а)*f(° С)>0, ако е вярно, тогава приемаме числото като нова стойност на левия край на сегмента ° С а, ° С а. По същия начин за новия десен ръб на сегмента проверяваме истинността на условието f(° С)* f(b)>0, ако е вярно, тогава приемаме числото като нова стойност на десния край на сегмента ° С(тъй като това условие показва, че корените на сегмента [ ° С, b] не), в противен случай оставяме стойността b.

Вторият ред на таблицата може да бъде продължен (копиран) за необходимия брой следващи редове.

Итеративният процес приключва, когато следващата стойност в последната колона стане по-малка от определената точност напр. В този случай стойността на средата на сегмента в последното приближение се приема като приблизителна стойност на желания корен на нелинейното уравнение. Фигура 6 показва моментна снимка на решението. За да създадете подобен процес в Mathcad, можете да използвате форма, подобна на тази, показана на Фигура 7. Броят на стъпките N може да варира, докато се постигне необходимата точност в таблицата с резултати. В този случай таблицата автоматично ще се удължи или скъси.

И така, един от трите корена на нелинейното уравнение х 3 – 10х+ 7=0, намерено с точност e=0,0001, е х= - 3,46686. Както виждаме, той наистина принадлежи към сегмента [-4; -3].

https://pandia.ru/text/78/157/images/image018_6.jpg" width="563" height="552 src=">

Фигура 7 – Усъвършенстване на корена чрез разделяне на сегмента наполовинаMathcad

1.5 Метод на акордите

При този метод нелинейна функция f(x)на разделения интервал [ а, б] се заменя с линейно - уравнението на хордата, т.е. права линия, свързваща граничните точки на графиката върху сегмент. Условието за приложимост на метода е монотонността на функцията върху началния сегмент, осигуряваща уникалността на корена върху този сегмент. Изчислението с помощта на метода на хордата е подобно на изчислението с помощта на метода за разделяне на сегмент наполовина, но сега на всяка стъпка нова точка хвътре в сегмента [ а, b] се изчислява с помощта на някоя от следните формули:

(x) > 0), или неговата дясна граница: x0 = b(Ако f(b) f"(x)>0). Изчисляване на ново приближение в следващата стъпка аз+1 произведени по формулата:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image021_4.jpg" width="596" height="265 src=">

Фигура 8 – Прецизиране на корена с помощта на метода на допирателната в Excel

Изчисленията в Mathcad се извършват по подобен начин. В този случай значително облекчение е наличието в този пакет на оператор, който автоматично изчислява производната на функция.

Най-отнемащият време елемент от изчисленията, използващи метода на Нютон, е изчисляването на производната на всяка стъпка.

Може да се използва при определени условия опростен метод на Нютон, при който производната се изчислява само веднъж – в началната точка. В този случай се използва модифицирана формула

.

Естествено, опростеният метод обикновено изисква Повече ▼стъпки.

Ако изчисляването на производната включва сериозни трудности (например, ако функцията не е зададена от аналитичен израз, а от програма, която изчислява нейните стойности), използвайте модифициран методНютон, наречен секущ метод. Тук производната се изчислява приблизително от стойностите на функцията в две последователни точки, т.е. използва се формулата

.

В метода на секанса е необходимо да посочите не една, а две начални точки - х0 И х1 . Точка x1обикновено се определя от смяна x0до другата граница на сегмента с малко, например с 0,01.

1.7 Комбиниран метод

Може да се покаже, че ако на началния сегмент функцията f(x)Ако знаците на първата и втората производни останат непроменени, тогава методите на хорда и Нютон се приближават до корена от различни посоки. Комбинираният метод използва и двата алгоритъма едновременно на всяка стъпка, за да подобри ефективността. В този случай интервалът, съдържащ корена, се намалява от двете страни, което определя друго условие за приключване на търсенето. Търсенето може да бъде спряно веднага щом в средата на интервала, получен на следващата стъпка, стойността на функцията стане по-малка по абсолютна стойност от предварително зададената грешка дf.

Ако в съответствие с правилото, формулирано по-горе, методът на Нютон се прилага към дясната граница на сегмента, формулите се използват за изчисления:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image025_10.gif" width="107" height="45 src=">.

Ако методът на Нютон се приложи към лявата граница, обозначенията в предишните формули се разменят аИ b.

1.8 Итерационен метод

За да приложите този метод, оригиналното уравнение f(x)=0трансформира във формата: х=г(Х). След това изберете първоначалната стойност x0и го заместете в лявата страна на уравнението, получавайки, в общ случай, х1 = г(x0)¹ x0¹ г(x1), тъй като x0взето произволно и не е коренът на уравнението. Получена стойност x1разглежда като друг подход към корена. Пак го нагласяват правилната странауравнения и получи следваща стойност x2=г(x1)). Изчислението продължава по формулата xi+1=г(xi). Получената последователност е: x0, x1, x2, x3 x4,...при определени условия се събират към корена xtochn.

Може да се покаже, че итеративният процес се сближава при условието
|г’ (х) | < 1 на [а, b].

Съществуват различни начиниуравнение на трансформация f(x)= 0 за преглед г(Х) = х, като в конкретен случай някои от тях ще доведат до конвергентен, а други до дивергентен изчислителен процес.

Един от начините е да използвате формулата

https://pandia.ru/text/78/157/images/image027_10.gif" width="188" height="44 src=">

Където М= макс | г’ (х)| На [ а, b].

2 Решаване на системи от нелинейни уравнения

2.1 Общи сведения за решаване на системи от нелинейни уравнения

система ннелинейни уравнения с ннеизвестен х1, х2, ..., xnнаписана във формата:

Където F1, F2,…, Fn– функции на независими променливи, включително нелинейни.

Както в случая на системи от линейни уравнения, решението на системата е следният вектор х*, което при заместване едновременно превръща всички уравнения на системата в идентичности.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image030_8.gif" width="191" height="56">

Първоначални стойности х0 И г0 се определят графично. За намиране на всяко следващо приближение (xi+1 , yi+1 ) използвайте вектор от стойности на функцията и матрица от стойности на техните първи производни, изчислени в предишната точка (xi, yi) .

https://pandia.ru/text/78/157/images/image032_5.gif" width="276" height="63 src=">

За изчисляване на нови приближения на стъпка i+1използва се матрична формула

https://pandia.ru/text/78/157/images/image034_4.gif" width="303" height="59 src=">.

Горните формули са особено лесни за писане в Mathcad, където има оператори за изчисляване на производни и операции с матрици. Въпреки това, когато правилна употреба матрични операцииТези формули могат да бъдат написани съвсем просто в Excel. Вярно е, че тук ще трябва предварително да получите формули за изчисляване на производните. Mathcad може да се използва и за аналитично изчисляване на производни.

2.3 Решаване на системи от нелинейни уравнения чрез итерационни методи

За прилагането на тези методи е необходима оригиналната система от уравнения алгебрични трансформацииизразете всяка променлива изрично по отношение на другите. За случай на две уравнения с две неизвестни нова системаще изглежда като

https://pandia.ru/text/78/157/images/image036_5.gif" width="114" height="57 src=">.

Ако едно от решенията на системата и началните стойности х0 И г0 лежат в района д, дадено от неравенствата: а ≤ х ≤ b, ° С ≤ г ≤ д, след това изчислението с помощта на метода прости итерациисе сближава, когато се изпълнява в региона дсъотношения:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image038_5.gif" width="75 height=48" height="48">< 1.

IN Итерационен метод на SeidelЗа всяко изчисление се използват най-точните стойности на всяка вече намерена променлива. За случая на две разглеждани променливи тази логика води до формулите

0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

Инструмент (по избор)

Първоначално приближение

коренх

f(x)

3. Сортирайте получените резултати по точност на решението.

Нека се намери приблизителната стойност на корена на уравнението f(х) = 0, нека го означим x n. Формула за изчисление Метод на Нютонза определяне на следващия подход x n+1 може да се получи по два начина.

Първият начин изразява геометричен смисълМетод на Нютон и се състои в това, че вместо пресечната точка на графиката на функцията г = f(х) с ос ОХ, търсим пресечната точка с оста ОХдопирателна, начертана към графиката на функцията в точката ( x n, f(x n)), както е показано на фиг. 2.6. Уравнението на допирателната има формата .

Ориз. 2.7. Метод на Нютон (тангенси)

В точката на пресичане на допирателната с оста ОХпроменлива y = 0. Приравняване гнула, нека изразим хи получаваме формулата метод на допирателната:

(2.6)

Втори начин. Нека разширим функцията f(х) в ред на Тейлър в близост до точка х = x n:

Нека се ограничим до линейни по отношение на ( x – x n) членове, ние ги приравняваме към нула f(х) и изразяване на неизвестното от полученото уравнение хи го обозначаваме с x n+1 , получаваме формула (2.6).

Нека представим достатъчни условия за сходимост на метода на Нютон.

Теорема 2.3.Нека на сегмента са изпълнени следните условия:

1) функцията и нейните производни са непрекъснати;

2) производни и са различни от нула и запазват определени постоянни знаци;

3) (функцията променя знака на сегмента).

След това има сегмент, съдържащ желания корен на уравнението, към който последователността на итерациите се събира. Ако като нулево приближение изберем граничната точка, в която знакът на функцията съвпада със знака на втората производна, т.е. , тогава итерационната последователност се сближава монотонно (фиг. 2.8).

Доказателство. Тъй като е непрекъснат, променя знака и е монотонен на , тогава е коренният изолационен интервал. Нека означим желания корен с . Помислете за функцията и намерете нейната производна. Така че, непрекъснато на , изчезва в точката , тъй като в тази точка функцията изчезва. Следователно има сегмент (), такъв че . Ако вземем тази част от сегмента, където , тогава, следователно, функцията е нарастваща, но тогава последователността е монотонна.

Ориз. 2.8. Достатъчни условияконвергенция на метода на Нютон

Коментирайте.Обърнете внимание, че методът на акорда просто идва с обратната страна, и двата метода по този начин могат да се допълват, а е възможна и комбинирана метод на хорда-тангенс.

Пример 2.7.Прецизирайте корена на уравнението до 0,000001, като използвате метода на Нютон
грях 5 х+ х 2 – 1 = 0. Вземете като първоначална стойност х 0 = – 0,7.

Решение.Нека намерим производната .

IN програма Excelнека се запознаем формули за изчисление:

1) Въведете формули и обозначения в клетките на диапазона А 1:д 3 и копирайте клетката с формулите с маркер за запълване: б 3 - до б 5,
° С 2 - до ° С 5, д 2 - до д 5;

Таблица 2.9

	А	б	° С	д
	к	х	f(x)	f"(x)
		–0,7	=SIN(5*B2)+B2^2–1	=5*COS(5*B2)+2*B2
		=B2–C2/D2

Резултатите от изчислението са показани в таблица 2.10. Получената коренна стойност беше – 0.726631609 ≈ – 0.726632 с грешка от 0.000001.

Таблица 2.10

	А	б	° С	д	А
	к	х	f(x)	f"(x)
		-0,7	-0,159216772	-6,082283436
		-0,726177138	-0,002664771	-5,865681044	0,026177138
		-0,726631437	-1.00787E-06	-5,861240228	0,000454299
		-0,726631609	-1.45328E-13	-5,861238543	1.71955E-07

Нека създадем функции в Excelза решаване на уравнението от пример 2.7 по метода на Нютон.

„За разлика от метода на хордата, при метода на допирателната, вместо хорда, на всяка стъпка се чертае допирателна към кривата y=F(x)при х=х ни се търси пресечната точка на допирателната с оста x:

Формулата за приближението (n+1) е:

Ако F(a)*F"(a)>0, х 0 =а, в противен случай х 0 =б.

Итеративният процес продължава, докато се установи, че:

Пример:

Нека ни бъде поставена задача от следния характер:Изяснете корените на уравнението cos(2x)+x-5=0по метода на тангентата с точност до 0,00001.

Първоначално трябва да решите на какво е равно x0: a или b. За да направите това, трябва да направите следното:

Намерете производната от първи ред на функцията f(x)=cos(2x)+x-5. Ще изглежда така: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Намерете производната от втори ред на функцията f(x)=cos(2x)+x-5. Ще изглежда така: f2(x)=-4cos(2x).

Резултатът е следният:

Тъй като x0=b, трябва да изпълните следните стъпки:

Попълнете клетките, както следва (обърнете внимание на имената и номерата на колоните при попълване - те трябва да са същите като на фигурата):

В клетка A6 въведете формулата =D5.

Изберете диапазона от клетки B5:E5 и използвайте метода плъзгане и пускане, за да запълните диапазона от клетки B6:E6.

Изберете диапазона от клетки A6:E5 и с помощта на метода плъзгане и пускане попълнете диапазона от долни клетки, докато получите резултат в една от клетките на колона E (диапазон от клетки A6:E9).

В резултат на това получаваме следното:

4. Комбиниран метод на хордите и допирателните

За да се постигне най-точната грешка, е необходимо едновременно да се използват методите на хордата и тангентата. „Използвайки формулата на акорда, човек намира х n+1, а според формулата на допирателната - z n+1. Процесът на намиране на приблизителен корен спира веднага щом:

Като приблизителен корен вземете стойността, равна на (11) :"[2 ]

Нека е необходимо да се изяснят корените на уравнението cos(2x)+x-5=0, като се използва комбиниран метод с точност до 0,00001.

За да разрешите този проблем с помощта на Excel, трябва да изпълните следните стъпки:

Тъй като при комбинирания метод е необходимо да се използва една от формулите на акордите и формулата на тангенса, за опростяване трябва да се въведе следната нотация:

За акордни формули означете:

Променливата c ще играе ролята на a или b в зависимост от ситуацията.

Останалите обозначения са подобни на тези, дадени във формулите на акордите, като се вземат предвид само въведените по-горе променливи.

За формулата на допирателната означете:

Останалите обозначения са подобни на тези, дадени във формулата на допирателната, като се вземат предвид само въведените по-горе променливи.

Намерете производната от първи ред на функцията f(x)=cos(2x)+x-5. Ще изглежда така: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Намерете производната от втори ред на функцията f(x)=cos(2x)+x-5. Ще изглежда така: f2(x)=-4cos(2x).

Попълнете клетките, както следва (обърнете внимание на имената и номерата на колоните при попълване - те трябва да са същите като на фигурата):

Резултатът е следният:

В клетка G1 въведете e, а в G2 въведете числото 0,00001.

В клетка H1 въведете c, а в H2 въведете числото 6, тъй като c=b (вижте клетка F2).

В клетка I1 въведете f(c), а в I2 въведете формулата =COS(2*H2)+H2-5.

Попълнете клетките последователно, както следва (обърнете внимание на имената и номерата на колоните при попълване - те трябва да са същите като на фигурата):

В клетка A6 въведете формулата =E5.

В клетка F6 въведете формулата =I5.

Изберете диапазона от клетки B5:E5 и използвайте маркера за автоматично попълване, за да попълните диапазона от клетки B6:E6.

Изберете диапазона от клетки G5:K5 и използвайте маркера за автоматично попълване, за да попълните диапазона от клетки G6:K6.

Изберете диапазона от клетки A6:K6 и попълнете всички долни клетки, като използвате метода плъзгане и пускане, докато получите отговора в една от клетките на колона K (обхват клетки A6:K9).

В резултат на това получаваме следното:

Отговор: Коренът на уравнението cos(2x)+x-5=0 е 5,32976.