Решете блатото, за да намерите нормална фундаментална система от решения. Решаване на хомогенни системи линейни уравнения

системи линейни уравнения, в които всички свободни членове са равни на нула, се наричат хомогенен :

Всяка хомогенна система винаги е последователна, тъй като винаги е била нула (тривиален ) решение. Възниква въпросът при какви условия една хомогенна система ще има нетривиално решение.

Теорема 5.2.Една хомогенна система има нетривиално решение тогава и само ако рангът на основната матрица по-малко от числонейните неизвестни.

Последица. Квадратна хомогенна система има нетривиално решение тогава и само ако детерминантата на основната матрица на системата не е равна на нула.

Пример 5.6.Определете стойностите на параметъра l, за които системата има нетривиални решения и намерете тези решения:

Решение. Тази система ще има нетривиално решение, когато детерминантата на основната матрица е равна на нула:

Следователно системата е нетривиална, когато l=3 или l=2. За l=3, рангът на основната матрица на системата е 1. След това, оставяйки само едно уравнение и приемайки, че г=аи z=b, получаваме х=b-a, т.е.

За l=2, рангът на основната матрица на системата е 2. След това, избирайки като основен минор:

получаваме опростена система

От тук намираме това x=z/4, y=z/2. Ако приемем z=4а, получаваме

Наборът от всички решения на една хомогенна система има много важно значение линейно свойство : ако X колони 1 и Х 2 - решения на хомогенната система AX = 0, тогава всяка линейна комбинация от тяха х 1+б х 2 също ще бъде решението на тази система. Наистина, тъй като БРАВИЛА 1 = 0 и БРАВИЛА 2 = 0 , тогава А(а х 1+б х 2) = а БРАВИЛА 1+б БРАВИЛА 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Поради това свойство, ако една линейна система има повече от едно решение, тогава ще има безкрайно много от тези решения.

Линейно независими колони д 1 , д 2 , E k, които са решения на хомогенна система, се нарича фундаментална система за вземане на решения хомогенна система от линейни уравнения, ако общото решение на тази система може да бъде записано като линейна комбинация от тези колони:

Ако една хомогенна система има нпроменливи, а рангът на основната матрица на системата е равен на r, тогава к = н-р.

Пример 5.7.Намерете фундаментална система от решения следваща системалинейни уравнения:

Решение. Намерете ранга на основната матрица на системата:

По този начин наборът от решения на тази система от уравнения образува линейно подпространство на измерение n - r= 5 - 2 = 3. Избираме като основен минор

.

След това, оставяйки само основните уравнения (останалото ще бъде линейна комбинация от тези уравнения) и основните променливи (останалите, така наречените свободни променливи, прехвърляме вдясно), получаваме опростена система от уравнения:

Ако приемем х 3 = а, х 4 = b, х 5 = ° С, намираме

, .

Ако приемем а= 1, b=c= 0, получаваме първото основно решение; предполагайки b= 1, a = c= 0, получаваме второто основно решение; предполагайки ° С= 1, a = b= 0, получаваме третото основно решение. В резултат нормалната фундаментална система от решения приема формата

Използвайки фундаментална системаобщото решение на хомогенна система може да бъде написано като

х = аЕ 1 + бъда 2 + cE 3 . а

Нека отбележим някои свойства на решенията на нехомогенната система от линейни уравнения AX=Bи тяхната връзка със съответната хомогенна система от уравнения AX = 0.

Общо решение на нееднородна системае равно на сумата общо решениена съответната хомогенна система AX = 0 и произволно частно решение на нееднородната система. Наистина, нека Y 0 е произволно частно решение на нехомогенна система, т.е. AY 0 = б, и Yе общото решение на нехомогенна система, т.е. AY=B. Като извадим едното равенство от другото, получаваме
А(Y-Y 0) = 0, т.е. Y-Y 0 е общото решение на съответната хомогенна система БРАВИЛА=0. Следователно, Y-Y 0 = х, или Y=Y 0 + х. Q.E.D.

Нека една нехомогенна система има формата AX = B 1 + б 2 . Тогава общото решение на такава система може да бъде записано като X = X 1 + х 2 , където AX 1 = б 1 и AX 2 = б 2. Това свойство изразява универсалното свойство на всякакви линейни системи като цяло (алгебрични, диференциални, функционални и т.н.). Във физиката това свойство се нарича принцип на суперпозиция, по електротехника и радиотехника - принцип на наслагване. Например в теорията на линейното електрически веригитокът във всяка верига може да се получи като алгебрична суматокове, причинени от всеки източник на енергия поотделно.

Пример 1 . Намерете общо решение и някаква фундаментална система от решения за системата

Решениенамери с калкулатор. Алгоритъмът за решение е същият като за линейни системи хомогенни уравнения.
Работейки само с редове, намираме ранга на матрицата, основния минор; декларираме зависими и свободни неизвестни и намираме общото решение.

Първият и вторият ред са пропорционални, един от тях ще бъде изтрит:

.
Зависими променливи - х 2, х 3, х 5, свободни - х 1, х 4. От първото уравнение 10x 5 = 0 намираме x 5 = 0, тогава
; .
Общото решение изглежда така:

Намираме фундаменталната система от решения, която се състои от (n-r) решения. В нашия случай n=5, r=3, следователно фундаменталната система от решения се състои от две решения и тези решения трябва да бъдат линейно независими. За да бъдат редовете линейно независими, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата, съставена от елементите на редовете, да бъде равен на броя на редовете, тоест 2. Достатъчно е да зададем свободните неизвестни x 1 и x 4 стойности от редовете на детерминанта от втори ред, която е различна от нула, и изчислете x 2 , x 3 , x 5 . Най-простият ненулев детерминант е .
Така че първото решение е: , секундата - .
Тези две решения съставляват основната система за вземане на решения. Имайте предвид, че фундаменталната система не е уникална (детерминанти, различни от нула, могат да бъдат съставени колкото искате).

Пример 2 . Намерете общото решение и фундаменталната система от решения на системата
Решение.



,
следва, че рангът на матрицата е 3 и е равно на числотонеизвестен. Това означава, че системата няма свободни неизвестни и следователно има уникално решение - тривиално.

Задачата . Изследвайте и решавайте система от линейни уравнения.
Пример 4

Задачата . Намерете общи и конкретни решения за всяка система.
Решение.Пишем основната матрица на системата:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
х 1	x2	х 3	x4	x5

Довеждаме матрицата до триъгълна. Ще работим само с редове, тъй като умножаването на матричен ред с число, различно от нула и добавянето към друг ред за системата означава умножаване на уравнението по същото число и добавянето му към друго уравнение, което не променя решението на системата .
Умножете втория ред по (-5). Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Умножете втория ред по (6). Умножете 3-тия ред по (-1). Нека добавим третия ред към втория:
Намерете ранга на матрицата.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
х 1	x2	х 3	x4	x5

Отличеният непълнолетен има най-висок порядък(от възможните минори) и е различно от нула (it е равно на произведениетоелементи на обратния диагонал), така че rang(A) = 2.
Този минор е основен. Той включва коефициенти за неизвестни x 1, x 2, което означава, че неизвестните x 1, x 2 са зависими (основни), а x 3, x 4, x 5 са ​​свободни.
Трансформираме матрицата, оставяйки само основния минор отляво.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
х 1	x2	x4	х 3	x5

Системата с коефициентите на тази матрица е еквивалентна на оригиналната система и има формата:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
По метода на елиминиране на неизвестни намираме нетривиално решение:
Получихме отношения, изразяващи зависими променливи x 1 ,x 2 чрез свободни x 3 ,x 4 ,x 5 , тоест намерихме общо решение:
x2 = 0,64x4 - 0,0455x3 - 1,09x5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
Намираме фундаменталната система от решения, която се състои от (n-r) решения.
В нашия случай n=5, r=2, следователно фундаменталната система от решения се състои от 3 решения и тези решения трябва да бъдат линейно независими.
За да бъдат редовете линейно независими, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата, съставена от елементите на редовете, да бъде равен на броя на редовете, т.е. 3.
Достатъчно е да зададете свободните неизвестни x 3 ,x 4 ,x 5 стойности от редовете на детерминанта от 3-ти ред, различни от нула, и да изчислите x 1 ,x 2 .
Най-простият ненулев детерминант е единичната матрица.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Задача . Намерете фундаментален набор от решения на хомогенна система от линейни уравнения.

Можете да поръчате подробно решениетвоя задача!!!

За да разберете какво е фундаментална система за вземане на решенияможете да гледате видео урока за същия пример, като щракнете върху . Сега нека да преминем към описанието на цялата необходима работа. Това ще ви помогне да разберете по-подробно същността на този въпрос.

Как да намерим основната система от решения на линейно уравнение?

Вземете за пример следната система от линейни уравнения:

Нека намерим решение на това линейна системауравнения. Да започнем с това, ние запишете матрицата на коефициента на системата.

Нека трансформираме тази матрица в триъгълна.Пренаписваме първия ред без промени. И всички елементи, които са под $a_(11)$, трябва да бъдат направени нула. За да поставите нула на мястото на елемента $a_(21)$, трябва да извадите първия от втория ред и да напишете разликата във втория ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(31)$, трябва да извадите първия от третия ред и да запишете разликата в третия ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(41)$, трябва да извадите първото умножено по 2 от четвъртия ред и да запишете разликата в четвъртия ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(31)$, извадете първото умножено по 2 от петия ред и напишете разликата в петия ред.

Пренаписваме първия и втория ред без промени. И всички елементи, които са под $a_(22)$, трябва да бъдат направени нула. За да направите нула на мястото на елемента $a_(32)$, е необходимо да извадите второто, умножено по 2, от третия ред и да запишете разликата в третия ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(42)$, е необходимо да извадите секундата, умножена по 2, от четвъртия ред и да запишете разликата в четвъртия ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(52)$, извадете второто, умножено по 3, от петия ред и напишете разликата в петия ред.

Виждаме това последните три реда са еднакви, така че ако извадите третото от четвъртото и петото, тогава те ще станат нула.

За тази матрица записвам нова системауравнения.

Виждаме, че имаме само три линейно независими уравнения и пет неизвестни, така че фундаменталната система от решения ще се състои от два вектора. Така че ние преместете последните две неизвестни надясно.

Сега започваме да изразяваме тези неизвестни, които са от лявата страна, чрез тези, които са от дясната страна. Започваме с последното уравнение, първо изразяваме $x_3$, след това заместваме получения резултат във второто уравнение и изразяваме $x_2$, а след това в първото уравнение и тук изразяваме $x_1$. Така изразихме всички неизвестни, които са от лявата страна, чрез неизвестните, които са от дясната страна.

След това, вместо $x_4$ и $x_5$, можете да замените произволни числа и да намерите $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Всеки от тези пет числа ще бъде коренът на нашата оригинална система от уравнения. За да намерите векторите, които са включени в FSRтрябва да заменим 1 вместо $x_4$ и да заменим 0 вместо $x_5$, да намерим $x_1$, $x_2$ и $x_3$ и след това обратното $x_4=0$ и $x_5=1$.

Нека бъде М 0 е множеството от решения на хомогенната система (4) от линейни уравнения.

Определение 6.12.Вектори с 1 ,с 2 , …, с п, които са решения на хомогенна система от линейни уравнения, се наричат фундаментален набор от решения(съкратено FNR) ако

1) вектори с 1 ,с 2 , …, с плинейно независими (т.е. никой от тях не може да бъде изразен чрез другите);

2) всяко друго решение на хомогенна система от линейни уравнения може да бъде изразено чрез решения с 1 ,с 2 , …, с п.

Имайте предвид, че ако с 1 ,с 2 , …, с пе някаква ф.н.р., то от израза к 1× с 1 + к 2× с 2 + … + kp× с пможе да опише целия комплект М 0 решения на система (4), така се нарича общ изглед на системното решение (4).

Теорема 6.6.Всяка неопределена хомогенна система от линейни уравнения има фундаментален набор от решения.

Начинът за намиране на фундаменталния набор от решения е следният:

Намерете общото решение на хомогенна система от линейни уравнения;

изграждане ( н – r) на конкретни решения на тази система, докато стойностите на свободните неизвестни трябва да се образуват матрица на идентичността;

изписвам обща формарешение, включено в М 0 .

Пример 6.5.Намерете фундаменталното множество от решения на следната система:

Решение. Нека намерим общото решение на тази система.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Тази система има пет неизвестни ( н= 5), от които има две основни неизвестни ( r= 2), три безплатни неизвестни ( н – r), тоест фундаменталното множество от решения съдържа три вектора на решение. Да ги построим. Ние имаме х 1 и х 3 - основни неизвестни, х 2 , х 4 , х 5 - свободни неизвестни

Стойности на свободните неизвестни х 2 , х 4 , х 5 образуват матрицата на идентичността дтрети ред. Разбрах тези вектори с 1 ,с 2 , с 3 форма ф.н.р. тази система. Тогава множеството от решения на тази хомогенна система ще бъде М 0 = {к 1× с 1 + к 2× с 2 + к 3× с 3 , к 1 , к 2 , к 3 О R).

Нека сега открием условията за съществуването на ненулеви решения на хомогенна система от линейни уравнения, с други думи, условията за съществуването на фундаментален набор от решения.

Една хомогенна система от линейни уравнения има ненулеви решения, тоест тя е неопределена, ако

1) рангът на основната матрица на системата е по-малък от броя на неизвестните;

2) в хомогенна система от линейни уравнения броят на уравненията е по-малък от броя на неизвестните;

3) ако в хомогенна система от линейни уравнения броят на уравненията е равен на броя на неизвестните, а детерминантата на основната матрица е равна на нула (т.е. | А| = 0).

Пример 6.6. При каква стойност на параметъра ахомогенна система от линейни уравнения има ненулеви решения?

Решение. Нека съставим основната матрица на тази система и да намерим нейния детерминант: = = 1×(–1) 1+1 × = – а– 4. Детерминантата на тази матрица е равна на нула, когато а = –4.

Отговор: –4.

7. Аритметика н-измерителен векторно пространство

Основни понятия

В предишните раздели вече се сблъскахме с концепцията за набор от реални числа, подредени в определен ред. Това е редова матрица (или колонна матрица) и решение на система от линейни уравнения с ннеизвестен. Тази информация може да бъде обобщена.

Определение 7.1. н-размерен аритметичен векторсе нарича подредено множество от нреални числа.

Средства а= (a 1, a 2, …, a н), къде азО R, аз = 1, 2, …, не общият изглед на вектора. Номер нНаречен измерениевектор, а числата a азму се обади координати.

Например: а= (1, –8, 7, 4, ) е петизмерен вектор.

Всичко е готово н-размерните вектори обикновено се означават като R n.

Определение 7.2.Два вектора а= (a 1, a 2, …, a н) и b= (b 1 , b 2 , …, b н) със същото измерение равенако и само ако техните съответни координати са равни, т.е. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a н= б н.

Определение 7.3.сумадве н-размерни вектори а= (a 1, a 2, …, a н) и b= (b 1 , b 2 , …, b н) се нарича вектор а + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a н+б н).

Определение 7.4. работареално число кна вектор а= (a 1, a 2, …, a н) се нарича вектор к× а = (к×a 1, к×a 2 , …, к×a н)

Определение 7.5.вектор относно= (0, 0, …, 0) се извиква нула(или нулев вектор).

Лесно е да се провери дали действията (операциите) за добавяне на вектори и умножаването им по реално числопритежавам следните свойства: " а, b, ° С Î R n, " к, лИЛИ:

1) а + b = b + а;

2) а + (b+ ° С) = (а + b) + ° С;

3) а + относно = а;

4) а+ (–а) = относно;

5) 1× а = а, 1 О R;

6) к×( л× а) = л×( к× а) = (л× к)× а;

7) (к + л)× а = к× а + л× а;

8) к×( а + b) = к× а + к× b.

Определение 7.6.Няколко R nс операциите за добавяне на вектори и умножаването им по дадено върху него реално число се нарича аритметично n-мерно векторно пространство.

Системи линейни еднородни уравнения- има формата ∑a k i x i = 0. където m > n или m Хомогенна система от линейни уравнения е винаги последователна, тъй като rangA = rangB . Със сигурност има решение, състоящо се от нули, което се нарича тривиален.

Сервизно задание. Онлайн калкулаторът е предназначен да намери нетривиално и фундаментално решение на SLAE. Полученото решение се записва във файл на Word (вижте пример за решение).

Инструкция. Изберете размера на матрицата:

брой променливи: 2 3 4 5 6 7 8 и брой редове 2 3 4 5 6

Свойства на системи от линейни еднородни уравнения

За да има системата нетривиални решения, е необходимо и достатъчно рангът на неговата матрица да бъде по-малък от броя на неизвестните.

Теорема. Системата в случай m=n има нетривиално решение тогава и само тогава, когато детерминантата на тази система е равна на нула.

Теорема. Всяка линейна комбинация от решения на система също е решение на тази система.
Определение. Множеството от решения на система от линейни еднородни уравнения се нарича фундаментална система за вземане на решенияако тази колекция се състои от линейно независими решения и всяко решение на системата е линейна комбинация от тези решения.

Теорема. Ако рангът r на системната матрица е по-малък от броя n на неизвестните, тогава има фундаментална система от решения, състояща се от (n-r) решения.

Алгоритъм за решаване на системи от линейни еднородни уравнения

1. Намерете ранга на матрицата.
2. Избираме основния минор. Избираме зависими (основни) и свободни неизвестни.
3. Зачеркваме тези уравнения на системата, чиито коефициенти не са включени в състава основен минор, тъй като те са следствия от останалите (по основната малка теорема).
4. Прехвърляме членовете на уравненията, съдържащи свободни неизвестни към правилната страна. В резултат на това получаваме система от r уравнения с r неизвестни, еквивалентни на даденото, чиято детерминанта е различна от нула.
5. Решаваме получената система, като елиминираме неизвестните. Намираме отношения, изразяващи зависими променливи по отношение на свободни.
6. Ако рангът на матрицата не е равен на броя на променливите, тогава намираме фундаментално решениесистеми.
7. В случай на rang = n, имаме тривиално решение.

Пример. Намерете основата на системата от вектори (a 1 , a 2 ,...,a m), степенувайте и изразете векторите чрез основата. Ако a 1 =(0,0,1,-1) и 2 =(1,1,2,0) и 3 =(1,1,1,1) и 4 =(3,2,1 ,4) и 5 =(2,1,0,3).
Пишем основната матрица на системата:

Умножете 3-тия ред по (-3). Нека добавим 4-тия ред към 3-тия:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Умножете 4-тия ред по (-2). Умножете 5-ия ред по (3). Нека добавим 5-ти ред към 4-ти:
Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:
Намерете ранга на матрицата.
Системата с коефициентите на тази матрица е еквивалентна на оригиналната система и има формата:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x1 + x2 = - 3x4
Чрез метода за елиминиране на неизвестни намираме нетривиално решение:
Получихме отношения, изразяващи зависими променливи x 1, x 2, x 3 през свободни x 4, тоест намерихме общо решение:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4