Всички ценности на греха. Стойности на тригонометрични функции

внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

Първо, позволете ми да ви напомня едно просто, но много полезно заключение от урока "Какво са синус и косинус? Какво са тангенс и котангенс?"

Ето този резултат:

Синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът са тясно свързани с техните ъгли. Знаем едно, значи знаем друго.

С други думи, всеки ъгъл има свой собствен фиксиран синус и косинус. И почти всеки има свой тангенс и котангенс. Защо почти?Повече за това по-долу.

Това знание ще ви помогне много! Има много задачи, при които трябва да преминете от синуси към ъгли и обратно. За това има синусова таблица.По същия начин, за задачи с косинус - косинусова таблица.И, познахте, има допирателна масаи котангенсна таблица.)

Таблиците са различни. Дълги, където можете да видите на какво е равно, да кажем, sin37 ° 6 '. Отваряме таблиците на Брадис, търсим ъгъл от тридесет и седем градуса шест минути и виждаме стойността от 0,6032. Разбира се, запомнянето на това число (и хиляди други таблични стойности) абсолютно не е задължително.

Всъщност в наше време не са необходими дълги таблици с косинуси, синуси, тангенси и котангенси. Един добър калкулатор ги замества напълно. Но не боли да знаете за съществуването на такива таблици. За обща ерудиция.)

Защо тогава този урок? - ти питаш.

Но защо. Сред безкрайния брой ъгли има специален,за които трябва да знаете всичко. Цялата училищна геометрия и тригонометрия са изградени върху тези ъгли. Това е един вид "таблица за умножение" на тригонометрията. Ако не знаете на какво е равно sin50°, например, никой няма да ви съди.) Но ако не знаете на какво е равно sin30°, пригответе се да вземете заслужена двойка...

Такива специаленъглите също са прилично въведени. Училищните учебници обикновено се предлагат любезно за наизустяване. таблица на синусите и таблица на косинуситеза седемнадесет ъгъла. И разбира се, тангенсна таблица и котангенсна таблицаза същите седемнадесет ъгъла... Т.е. предлага се да запомните 68 стойности. Които, между другото, много си приличат, повтарят се и сменят знаците от време на време. За човек без идеална визуална памет - това е друга задача ...)

Ще тръгнем по другия път. Нека заменим механичното запаметяване с логика и изобретателност. След това трябва да запомним 3 (три!) стойности за таблицата на синусите и таблицата на косинусите. И 3 (три!) Стойности за таблицата на тангенсите и таблицата на котангенсите. И това е. Шест стойности са по-лесни за запомняне от 68, мисля...)

други необходими стойностище се измъкнем от тези шест с мощна правна измама - тригонометрична окръжност. Ако не сте изучавали тази тема, отидете на връзката, не бъдете мързеливи. Този кръг не е само за този урок. Той е незаменим за цялата тригонометрия наведнъж. Неизползването на такъв инструмент е просто грях! Не искате? Това си е ваша работа. запаметявам синусова таблица. косинусова таблица. Тангентна таблица. Котангенсна таблица.Всички 68 стойности за различни ъгли.)

И така, да започваме. Като начало, нека разделим всички тези специални ъгли на три групи.

Първата група ъгли.

Помислете за първата група ъгли на седемнадесет специален. Това са 5 ъгъла: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Ето как изглежда таблицата със синуси, косинуси, тангенси и котангенси за тези ъгли:

Ъгъл x (в градуси)	0	90	180	270	360
Ъгъл x (в радиани)	0
грях х	0	1	0	-1	0
cos x	1	0	-1	0	1
tg x	0	не съществително	0	не съществително	0
ctg x	не съществително	0	не съществително	0	не съществително

Който иска да помни - помни. Но трябва веднага да кажа, че всички тези единици и нули са много объркани в главата ми. Много по-силен, отколкото искате.) Затова включваме логиката и тригонометричния кръг.

Начертаваме окръжност и отбелязваме същите ъгли върху нея: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Маркирах тези ъгли с червени точки:

Веднага се вижда каква е особеността на тези ъгли. да Това са ъглите, които падат точно по координатната ос!Всъщност, затова хората се объркват ... Но ние няма да се объркаме. Нека разберем как да намерим тригонометричните функции на тези ъгли без много запаметяване.

Между другото, позицията на ъгъла е 0 градуса напълно съвпадас ъгъл 360 градуса. Това означава, че синусите, косинусите и тангенсите на тези ъгли са абсолютно еднакви. Маркирах ъгъла от 360 градуса, за да завърша кръга.

Да предположим, че в трудна стресова среда на Единния държавен изпит по някакъв начин се съмнявате ... Какво е равно на синус 0 градуса? Изглежда като нула ... Ами ако е единица?! Механичната памет е такова нещо. В сурови условия съмненията започват да гризат ...)

Спокойно, само спокойно!) Ще ви кажа практическа техника, което ще даде 100% верен отговор и напълно ще премахне всички съмнения.

Като пример, нека да разберем как ясно и надеждно да определим, да речем, синус от 0 градуса. И в същото време косинус 0. Именно в тези стойности, колкото и да е странно, хората често се объркват.

За да направите това, нарисувайте кръг произволенъгъл х. През първото тримесечие, така че не беше далеч от 0 градуса. Отбележете върху осите синуса и косинуса на този ъгъл Х,всичко е чинар. Като този:

А сега - внимание! Намалете ъгъла х, приведете подвижната страна към оста ОХ Задръжте курсора на мишката върху снимката (или докоснете снимката на таблета) и вижте всичко.

Сега включете елементарната логика!.Гледайте и мислете: Как се държи sinx, когато ъгълът x намалява? Когато ъгълът се доближава до нула?Свива се! И cosx - увеличава!Остава да разберем какво ще се случи със синуса, когато ъгълът се срине напълно? Кога подвижната страна на ъгъла (точка А) ще се установи на оста OX и ъгълът ще стане равен на нула? Очевидно е, че синусът на ъгъла също ще отиде до нула. И косинусът ще се увеличи до ... до ... Каква е дължината на подвижната страна на ъгъла (радиуса на тригонометричната окръжност)? Единство!

Ето и отговора. Синусът от 0 градуса е 0. Косинусът от 0 градуса е 1. Абсолютно желязо и без никакво съмнение!) Просто защото иначе не може да бъде.

По абсолютно същия начин можете да разберете (или да изясните) синуса на 270 градуса, например. Или косинус 180. Начертайте кръг, произволенъгъл в една четвърт до координатната ос, която ни интересува, преместете мислено страната на ъгъла и уловете какво ще станат синусът и косинусът, когато страната на ъгъла се установи върху оста. Това е всичко.

Както можете да видите, няма нужда да запомняте нищо за тази група ъгли. не е необходимо тук синусова таблица...да и косинусова таблица- също.) Между другото, след няколко приложения на тригонометричния кръг, всички тези стойности се запомнят сами. И ако са забравени, нарисувах кръг за 5 секунди и го изясних. Много по-лесно, отколкото да се обадите на приятел от тоалетната с риск от сертификат, нали?)

Що се отнася до тангенса и котангенса, всичко е същото. Начертаваме линия на допирателна (котангенс) върху окръжността - и всичко се вижда веднага. Къде са равни на нула, а къде ги няма. Какво, не знаете ли за правите на тангенса и котангенса? Това е тъжно, но поправимо.) Посетихте раздел 555 Тангенс и котангенс върху тригонометрична окръжност - и няма проблем!

Ако разбирате как ясно да дефинирате синуса, косинуса, тангенса и котангенса за тези пет ъгъла - поздравления! За всеки случай ви информирам, че вече можете да дефинирате функции всякакви ъгли, които попадат върху оста.И това е 450 °, и 540 °, и 1800 °, и дори безкраен брой ...) Преброих (правилно!) Ъгълът върху окръжността - и няма проблеми с функциите.

Но точно с броенето на ъгли възникват проблеми и грешки... Как да ги избегнем е написано в урока: Как да начертаем (броим) всеки ъгъл на тригонометрична окръжност в градуси. Елементарно, но много полезно в борбата с грешките.)

А ето и урока: Как се чертае (брои) всеки ъгъл на тригонометрична окръжност в радиани - ще е по-рязко. По отношение на възможностите. Да речем, определете на коя от четирите полуоси пада ъгълът

можете след няколко секунди. Не се шегувам! Само след няколко секунди. Е, разбира се, не само 345 "pi" ...) И 121, и 16, и -1345. Всеки коефициент на цяло число е добър за мигновен отговор.

Ами ако ъгълът

Мисля! Верният отговор се получава за 10 секунди.За всеки дробна стойнострадиани със знаменател две.

Всъщност това е добре тригонометричен кръг. Фактът, че способността за работа с някоиъгли, до които автоматично се разширява безкрайно множество ъгли.

И така, с пет ъгъла от седемнадесет - разбрах го.

Втората група ъгли.

Следваща групаъглите са 30°, 45° и 60°. Защо тези, а не например 20, 50 и 80? Да, по някакъв начин се случи така ... Исторически.) По-нататък ще се види колко добри са тези ъгли.

Таблицата със синуси, косинуси, тангенси, котангенси за тези ъгли изглежда така:

Ъгъл x (в градуси)	0	30	45	60	90
Ъгъл x (в радиани)	0
грях х	0				1
cos x	1				0
tg x	0		1		не съществително
ctg x	не съществително		1		0

Оставих стойностите за 0° и 90° от предишната таблица за пълнота.) За да стане ясно, че тези ъгли лежат в първата четвърт и нарастват. От 0 до 90. Това ще ни бъде полезно по-нататък.

Стойностите в таблицата за ъглите 30°, 45° и 60° трябва да се запомнят. Почеши, ако искаш. Но и тук има възможност да улесните живота си.) Обърнете внимание на стойности на синусовата таблицатези ъгли. И сравнете с стойности на косинусната таблица...

да Те са един и същ!Намира се само в обратен ред. Ъглите се увеличават (0, 30, 45, 60, 90) - и синусовите стойности нарастваот 0 до 1. Можете да проверите с калкулатор. И стойностите на косинуса - намаляванеот 1 до нула. Освен това самите ценности един и същ.За ъгли от 20, 50, 80 това нямаше да се случи...

Оттук полезен извод. Достатъчно за учене тристойности за ъгли 30, 45, 60 градуса. И запомни, че те нарастват по синус и намаляват по косинус. Към синуса.) По средата (45°) те се срещат, т.е. синусът от 45 градуса е равен на косинусът от 45 градуса. И тогава те отново се разминават ... Три значения могат да се научат, нали?

При тангентите - котангенсите картината е изключително същата. Едно към едно. Само стойностите са различни. Тези стойности (още три!) също трябва да бъдат научени.

Е, почти цялото запаметяване свърши. Разбрахте (надявам се) как да определите стойностите за петте ъгъла, които попадат на оста и научихте стойностите за ъглите от 30, 45, 60 градуса. Общо 8.

Остава да се справим с последната група от 9 ъгъла.

Това са ъглите:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. За тези ъгли трябва да знаете желязната таблица на синусите, таблицата на косинусите и т.н.

Кошмар, нали?)

И ако добавите ъгли тук, като: 405 °, 600 ° или 3000 ° и много, много от същите красиви?)

Или ъгли в радиани? Например за ъглите:

и много други, които трябва да знаете всичко.

Най-смешното е да знаеш всичко - невъзможно по принцип.Ако използвате механична памет.

И е много лесно, всъщност елементарно - ако използвате тригонометрична окръжност. Ако се сдобиете с тригонометричния кръг, всички тези ужасни ъгли в градуси могат лесно и елегантно да бъдат намалени до добрите стари:

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Понятията синус (), косинус (), тангенс (), котангенс () са неразривно свързани с понятието ъгъл. За да разберем добре тези, на пръв поглед, сложни понятия (които предизвикват състояние на ужас у много ученици) и за да се уверим, че „дяволът не е толкова страшен, колкото го рисуват“, нека започнем от самото начало и разбират концепцията за ъгъл.

Концепцията за ъгъл: радиан, градус

Нека погледнем снимката. Векторът се "обърна" спрямо точката с определена стойност. Така че мярката на това завъртане спрямо началната позиция ще бъде ъгъл.

Какво още трябва да знаете за понятието ъгъл? Е, ъглови единици, разбира се!

Ъгълът, както в геометрията, така и в тригонометрията, може да бъде измерен в градуси и радиани.

Ъгъл от (един градус) се нарича централен ъгълв кръг, базиран на кръгова дъга, равна на част от кръга. По този начин цялата окръжност се състои от "парчета" от кръгови дъги или ъгълът, описан от окръжността, е равен.

Тоест фигурата по-горе показва ъгъл, който е равен, тоест този ъгъл се основава на кръгова дъга с размера на обиколката.

Ъгъл в радиани се нарича централен ъгъл в окръжност, основан на окръжна дъга, чиято дължина е равна на радиуса на окръжността. Е, разбрахте ли? Ако не, тогава нека погледнем снимката.

И така, фигурата показва ъгъл, равен на радиан, тоест този ъгъл се основава на кръгова дъга, чиято дължина е равна на радиуса на окръжността (дължината е равна на дължината или радиуса равен на дължинатадъги). Така дължината на дъгата се изчислява по формулата:

Къде е централният ъгъл в радиани.

Е, като знаете това, можете ли да отговорите колко радиана съдържа ъгъл, описан от окръжност? Да, за това трябва да запомните формулата за обиколката на кръг. Ето я:

Е, сега нека съпоставим тези две формули и ще разберем, че ъгълът, описан от окръжността, е равен. Тоест, съпоставяйки стойността в градуси и радиани, получаваме това. Съответно,. Както можете да видите, за разлика от "градуси", думата "радиан" е пропусната, тъй като мерната единица обикновено е ясна от контекста.

Колко радиана са? Това е вярно!

Схванах го? След това затегнете напред:

Някакви трудности? Тогава погледнете отговори:

Правоъгълен триъгълник: синус, косинус, тангенс, котангенс на ъгъл

И така, с разбраната концепция за ъгъла. Но какво е синус, косинус, тангенс, котангенс на ъгъл? Нека да го разберем. За това ще ни помогне правоъгълен триъгълник.

Как се наричат ​​страните? правоъгълен триъгълник? Точно така, хипотенузата и краката: хипотенузата е страната, която лежи срещу правия ъгъл (в нашия пример това е страната); краката са двете останали страни и (тези в съседство с прав ъгъл), освен това, ако разгледаме катетите спрямо ъгъла, тогава катетът е съседният катет, а катетът е срещуположният. И така, нека сега отговорим на въпроса: какво са синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл?

Синус на ъгъле съотношението на противоположния (далечен) катет към хипотенузата.

в нашия триъгълник.

Косинус на ъгъл- това е отношението на съседния (близък) крак към хипотенузата.

в нашия триъгълник.

Ъглова допирателна- това е съотношението на противоположния (далечен) крак към съседния (близък).

в нашия триъгълник.

Котангенс на ъгъл- това е съотношението на съседния (близкия) крак към противоположния (далечния).

в нашия триъгълник.

Тези определения са необходими помня! За да улесните запомнянето кой крак на какво да разделите, трябва ясно да разберете това в допирателнаи котангенсседят само краката, а хипотенузата се появява само в синуситеи косинус. И тогава можете да измислите верига от асоциации. Например този:

косинус→докосване→докосване→съседно;

Котангенс→докосване→докосване→съседно.

Преди всичко е необходимо да запомните, че синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът като съотношения на страните на триъгълника не зависят от дължините на тези страни (под един ъгъл). Не се доверявай? Тогава се уверете, като погледнете снимката:

Помислете, например, за косинуса на ъгъл. По дефиниция от триъгълник: , но можем да изчислим косинуса на ъгъл от триъгълник: . Виждате ли, дължините на страните са различни, но стойността на косинуса на един ъгъл е една и съща. По този начин стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс зависят единствено от големината на ъгъла.

Ако разбирате дефинициите, продължете напред и ги поправете!

За триъгълника, показан на фигурата по-долу, намираме.

Е, разбрахте ли? След това опитайте сами: изчислете същото за ъгъла.

Единична (тригонометрична) окръжност

Разбирайки концепциите за градуси и радиани, разгледахме кръг с радиус, равен на. Такъв кръг се нарича единичен. Той е много полезен при изучаването на тригонометрията. Затова се спираме на него малко по-подробно.

Както можете да видите, този кръг е вграден Декартова системакоординати. Радиус на кръга равно на едно, докато центърът на окръжността е в началото, началната позиция на радиус вектора е фиксирана по положителната посока на оста (в нашия пример това е радиусът).

Всяка точка от кръга съответства на две числа: координатата по оста и координатата по оста. Какви са тези координатни числа? И въобще какво общо имат те с разглежданата тема? За да направите това, помнете за разглеждания правоъгълен триъгълник. На фигурата по-горе можете да видите два цели правоъгълни триъгълника. Помислете за триъгълник. Тя е правоъгълна, защото е перпендикулярна на оста.

На какво е равно от триъгълник? Това е вярно. Освен това знаем, че това е радиусът на единичната окръжност и следователно, . Заместете тази стойност в нашата формула за косинус. Ето какво се случва:

И на какво е равно от триъгълник? Добре, разбира се, ! Заместете стойността на радиуса в тази формула и получете:

И така, можете ли да ми кажете какви са координатите на точка, която принадлежи на окръжността? Е, няма начин? И ако осъзнаете, че и са само числа? На коя координата отговаря? Е, разбира се, координатите! На коя координата отговаря? Точно така, координирайте! Така точката.

И какво тогава са равни и? Точно така, нека използваме подходящите определения за тангенс и котангенс и да получим това, а.

Ами ако ъгълът е по-голям? Ето, например, като на тази снимка:

Какво се е променило в този пример? Нека да го разберем. За да направите това, отново се обръщаме към правоъгълен триъгълник. Помислете за правоъгълен триъгълник: ъгъл (като съседен на ъгъл). Каква е стойността на синуса, косинуса, тангенса и котангенса на ъгъл? Точно така, ние се придържаме към съответните определения тригонометрични функции:

Е, както виждате, стойността на синуса на ъгъла все още съответства на координатата; стойността на косинуса на ъгъла - координатата; и стойностите на тангенса и котангенса към съответните съотношения. По този начин тези отношения са приложими за всякакви ротации на радиус вектора.

Вече беше споменато, че началната позиция на радиус вектора е по положителната посока на оста. Досега въртяхме този вектор обратно на часовниковата стрелка, но какво ще стане, ако го завъртим по посока на часовниковата стрелка? Нищо необичайно, ще получите и ъгъл с определена големина, но само той ще бъде отрицателен. По този начин, когато въртим радиус вектора обратно на часовниковата стрелка, получаваме положителни ъгли, а при въртене по часовниковата стрелка - отрицателен.

И така, ние знаем, че цяло завъртане на радиус вектора около окръжността е или. Възможно ли е радиус векторът да се завърти с или с? Е, разбира се, че можете! Следователно в първия случай радиус-векторът ще направи едно пълно завъртане и ще спре в позиция или.

Във втория случай, тоест радиус векторът ще направи три пълни завъртания и ще спре в позиция или.

Така от горните примери можем да заключим, че ъгли, които се различават с или (където е цяло число), съответстват на една и съща позиция на радиус вектора.

Фигурата по-долу показва ъгъл. Същото изображение съответства на ъгъла и т.н. Този списък може да бъде продължен за неопределено време. Всички тези ъгли могат да бъдат записани с общата формула или (където е цяло число)

Сега, знаейки дефинициите на основните тригонометрични функции и използвайки единична окръжност, опитайте се да отговорите на какво са равни стойностите:

Ето единичен кръг, за да ви помогне:

Някакви трудности? Тогава нека го разберем. Значи знаем, че:

От тук определяме координатите на точките, съответстващи на определени мерки на ъгъла. Е, нека започнем по ред: ъгълът при съответства на точка с координати, следователно:

Не съществува;

Освен това, придържайки се към същата логика, откриваме, че ъглите в съответстват съответно на точки с координати. Знаейки това, е лесно да се определят стойностите на тригонометричните функции в съответните точки. Първо опитайте сами, след това проверете отговорите.

Отговори:

Не съществува

Не съществува

Не съществува

Не съществува

Така можем да направим следната таблица:

Няма нужда да помните всички тези стойности. Достатъчно е да запомните съответствието между координатите на точките на единичния кръг и стойностите на тригонометричните функции:

Но стойностите на тригонометричните функции на ъглите в и, дадени в таблицата по-долу, трябва да се помни:

Не се страхувайте, сега ще покажем един от примерите достатъчно запаметяванесъответни стойности:

За да използвате този метод, е жизненоважно да запомните стойностите на синуса за всичките три мерки на ъгъла (), както и стойността на тангенса на ъгъла в. Познавайки тези стойности, е доста лесно да възстановите цялата таблица - стойностите на косинусите се прехвърлят в съответствие със стрелките, тоест:

Знаейки това, можете да възстановите стойностите за. Числителят „ “ ще съвпада, а знаменателят „ “ ще съвпада. Котангенсните стойности се прехвърлят в съответствие със стрелките, показани на фигурата. Ако разберете това и запомните диаграмата със стрелки, тогава ще бъде достатъчно да запомните цялата стойност от таблицата.

Координати на точка върху окръжност

Възможно ли е да се намери точка (нейните координати) върху окръжност, познаване на координатите на центъра на кръга, неговия радиус и ъгъл на въртене?

Е, разбира се, че можете! Да изведем обща формулаза намиране на координатите на точка.

Ето, например, имаме такъв кръг:

Дадено ни е, че точката е центърът на окръжността. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на точката на градуси.

Както се вижда от фигурата, координатата на точката съответства на дължината на сегмента. Дължината на сегмента съответства на координатата на центъра на окръжността, тоест е равна на. Дължината на сегмент може да бъде изразена с помощта на определението за косинус:

Тогава имаме това за координатата на точката.

По същата логика намираме стойността на y координатата за точката. По този начин,

Така че в общ изгледкоординатите на точките се определят по формулите:

Координати на центъра на кръга,

радиус на кръга,

Ъгъл на завъртане на радиус вектора.

Както можете да видите, за единичния кръг, който разглеждаме, тези формули са значително намалени, тъй като координатите на центъра са нула, а радиусът е равен на едно:

Е, нека опитаме тези формули за вкус, упражнявайки се да намираме точки върху окръжност?

1. Намерете координатите на точка върху единична окръжност, получена чрез завъртане на точка.

2. Намерете координатите на точка от единична окръжност, получена чрез завъртане на точка върху.

3. Намерете координатите на точка от единична окръжност, получена чрез завъртане на точка.

4. Точка - център на кръга. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на началния радиус-вектор с.

5. Точка - център на кръга. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на началния радиус-вектор с.

Имате проблеми с намирането на координатите на точка от окръжност?

Решете тези пет примера (или разберете добре решението) и ще научите как да ги намирате!

1.

Вижда се, че. И знаем какво съответства на пълен завой на началната точка. По този начин, желана точкаще бъде в същата позиция, както при включване. Знаейки това, намираме желаните координати на точката:

2. Окръжността е единица с център в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:

Вижда се, че. Знаем какво отговаря на две пълен оборотначална точка. Така желаната точка ще бъде в същата позиция, както при завъртане. Знаейки това, намираме желаните координати на точката:

Синус и косинус са таблични стойности. Помним техните стойности и получаваме:

Така желаната точка има координати.

3. Окръжността е единица с център в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:

Вижда се, че. Нека изобразим разглеждания пример на фигурата:

Радиусът сключва ъгли с оста, равни на и. Знаейки, че табличните стойности на косинуса и синуса са равни и след като определихме, че косинусът тук приема отрицателна стойност, а синусът е положителен, имаме:

| Повече ▼ подобни примериразбират, когато изучават формули за редуциране на тригонометрични функции в темата.

Така желаната точка има координати.

4.

Ъгъл на въртене на радиус вектора (по условие)

За да определим съответните знаци на синус и косинус, изграждаме единична окръжност и ъгъл:

Както можете да видите, стойността е положителна, а стойността е отрицателна. Познавайки табличните стойности на съответните тригонометрични функции, получаваме, че:

Нека заместим получените стойности в нашата формула и намерим координатите:

Така желаната точка има координати.

5. За да разрешим този проблем, използваме формули в общ вид, където

Координатите на центъра на кръга (в нашия пример,

Радиус на окръжност (по условие)

Ъгъл на завъртане на радиус вектора (по условие).

Заменете всички стойности във формулата и получете:

и - таблични стойности. Запомняме ги и ги заместваме във формулата:

Така желаната точка има координати.

ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

Синусът на ъгъл е съотношението на противоположния (далечен) крак към хипотенузата.

Косинусът на ъгъл е съотношението на съседния (близък) крак към хипотенузата.

Тангенсът на ъгъл е съотношението на противоположния (далечен) крак към съседния (близък).

Котангенсът на ъгъл е съотношението на съседния (близкия) крак към противоположния (далечния).

ТАБЛИЦА НА СТОЙНОСТИТЕ НА ТРИГОНОМЕТРИЧНИТЕ ФУНКЦИИ

Таблицата със стойности на тригонометричните функции е съставена за ъгли от 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 и 360 градуса и съответните им ъгли в радиани. От тригонометричните функции таблицата показва синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. За удобство на решението училищни примеристойностите на тригонометричните функции в таблицата са записани като дроб със запазване на знаците за извличане на квадратен корен от числа, което много често помага за намаляване на сложни математически изрази. За тангенс и котангенс стойностите на някои ъгли не могат да бъдат определени. За стойностите на тангенса и котангенса на такива ъгли има тире в таблицата със стойности на тригонометрични функции. Общоприето е, че тангенсът и котангенсът на такива ъгли са равни на безкрайност. На отделна страница има формули за редуциране на тригонометрични функции.

Таблицата със стойности за синус на тригонометричната функция показва стойностите за следните ъгли: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 в степенна мярка, което съответства на sin 0 pi, sin pi / 6, sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi в радианова мярка за ъгли. училищна масасинусите.

За тригонометричната косинусова функция таблицата показва стойностите за следните ъгли: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 в градусна мярка, което съответства на cos 0 pi, cos pi до 6, cos pi с 4, cos pi с 3, cos pi с 2, cos pi, cos 3 pi с 2, cos 2 pi в радианова мярка за ъгли. Ученическа маса от косинуси.

Тригонометричната таблица за тангенса на тригонометричната функция дава стойности за следните ъгли: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 в степенна мярка, което съответства на tg 0 pi, tg pi / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi в радианова мярка за ъгли. Следните стойноститригонометричните функции на тангенса не са определени tg 90, tg 270, tg pi / 2, tg 3 pi / 2 и се считат за равни на безкрайност.

За котангенса на тригонометричната функция в тригонометричната таблица са дадени стойностите на следните ъгли: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 в градусна мярка, което съответства на ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3, tg pi / 2, tg 3 pi/2 в радианова мярка за ъгли. Следните стойности на тригонометричните котангенси не са дефинирани ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi и се считат за равни на безкрайност.

Стойностите на тригонометричните функции секанс и косеканс са дадени за същите ъгли в градуси и радиани като синус, косинус, тангенс, котангенс.

Таблицата със стойности на тригонометрични функции на нестандартни ъгли показва стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за ъгли в градуси 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 градуса и в радиани pi/12 , pi/10, pi/8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 радиана. Стойностите на тригонометричните функции се изразяват чрез дроби и квадратни корени, за да се опрости редуцирането на дроби в училищните примери.

Още три чудовища на тригонометрията. Първият е тангенса от 1,5 градуса и половина, или пи, делено на 120. Второто е косинус от пи, делено на 240, пи/240. Най-дългият е косинус от пи, делено на 17, пи/17.

Тригонометричният кръг на стойностите на функциите синус и косинус визуално представя знаците на синуса и косинуса в зависимост от големината на ъгъла. Специално за блондинките косинусовите стойности са подчертани със зелено тире, за да бъдат по-малко обърквани. Преобразуването на градуси в радиани също е много ясно представено, когато радианите се изразяват чрез pi.

Тази тригонометрична таблица представя стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за ъгли от 0 нула до 90 деветдесет градуса в интервали от един градус. За първите четиридесет и пет градуса имената на тригонометричните функции трябва да се гледат в горната част на таблицата. Първата колона съдържа градуси, стойностите на синусите, косинусите, тангенсите и котангенсите са записани в следващите четири колони.

За ъгли от четиридесет и пет градуса до деветдесет градуса имената на тригонометричните функции са написани в долната част на таблицата. Последната колона съдържа градуси, стойностите на косинусите, синусите, котангенсите и тангенсите са записани в предходните четири колони. Трябва да внимавате, защото имената на тригонометричните функции в долната част на тригонометричната таблица са различни от имената в горната част на таблицата. Синусите и косинусите се разменят, точно както тангенсът и котангенсът. Това се дължи на симетрията на стойностите на тригонометричните функции.

Знаците на тригонометричните функции са показани на фигурата по-горе. Синусът има положителни стойности от 0 до 180 градуса или от 0 до pi. Отрицателни стойностисинусът има 180 до 360 градуса, или пи до 2 пи. Косинусовите стойности са положителни от 0 до 90 и 270 до 360 градуса или от 0 до 1/2 pi и 3/2 до 2 pi. Тангенсът и котангенсът имат положителни стойности от 0 до 90 градуса и от 180 до 270 градуса, съответстващи на стойности от 0 до 1/2 pi и от pi до 3/2 pi. Отрицателният тангенс и котангенс са 90 до 180 градуса и 270 до 360 градуса, или 1/2 pi към pi и 3/2 pi към 2 pi. При определяне на знаците на тригонометричните функции за ъгли, по-големи от 360 градуса или 2 pi, трябва да се използват свойствата на периодичност на тези функции.

Тригонометричните функции синус, тангенс и котангенс са нечетни функции. Стойностите на тези функции за отрицателни ъгли ще бъдат отрицателни. Косинусът е четна тригонометрична функция - косинусовата стойност за отрицателен ъгълще бъде положителен. Когато умножавате и разделяте тригонометрични функции, трябва да следвате правилата на знаците.

1. Таблицата със стойности за тригонометричната функция синус показва стойностите за следните ъгли

   Документ

   Отделна страница съдържа формули за отливане тригонометриченфункции. AT масастойностизатригонометриченфункциисинуситедаденостойностизаследващияъгли: грях 0, грях 30, грях 45 ...

2. Предложеният математически апарат е пълен аналог на комплексното смятане за n-мерни хиперкомплексни числа с произволен брой степени на свобода n и е предназначен за математическо моделиране на нелинейни

   Документ

   ... функциисе равнява функцииИзображения. От тази теорема Трябва, Какво занамиране на координатите U, V, достатъчно е да се изчисли функция... геометрия; полинарен функции(многоизмерни аналози на двуизмерни тригонометриченфункции), техните свойства, масии приложение; ...

3. През V век пр. н. е. древногръцкият философ Зенон от Елея формулира своите известни апории, най-известната от които е апорията „Ахил и костенурката“. Ето как звучи:

   Да кажем, че Ахил тича десет пъти по-бързо от костенурката и е на хиляда крачки зад нея. През времето, през което Ахил изминава това разстояние, костенурката изпълзява стотина стъпки в същата посока. Когато Ахил измине сто крачки, костенурката ще пропълзи още десет крачки и т.н. Процесът ще продължи безкрайно, Ахил никога няма да настигне костенурката.

   Това разсъждение се превърна в логичен шок за всички следващи поколения. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Гилберт... Всички те по един или друг начин са разглеждали апориите на Зенон. Шокът беше толкова силен, че " ... дискусиите продължават и в момента, за да се стигне до общо мнение за същността на парадоксите научна общноствсе още не е успял... математически анализ, теория на множествата, нови физически и философски подходи; нито едно от тях не стана общоприето решение на проблема ..."[Уикипедия," Апориите на Зенон "]. Всички разбират, че са заблудени, но никой не разбира каква е измамата.

   От гледна точка на математиката, Зенон в своята апория ясно демонстрира прехода от стойността към. Този преход предполага прилагане вместо константи. Доколкото разбирам, математическият апарат за прилагане на променливи мерни единици или все още не е разработен, или не е приложен към апориите на Зенон. Прилагането на обичайната ни логика ни вкарва в капан. Ние, по инерцията на мисленето, прилагаме постоянни единици време към реципрочното. От физическа гледна точка изглежда, че времето се забавя до своето точкав момента, в който Ахил настига костенурката. Ако времето спре, Ахил вече не може да изпревари костенурката.

   Ако обърнем логиката, с която сме свикнали, всичко си идва на мястото. Ахил тича с постоянна скорост. Всеки следващ сегмент от пътя му е десет пъти по-кратък от предишния. Съответно времето, прекарано за преодоляването му, е десет пъти по-малко от предишното. Ако приложим концепцията за „безкрайност“ в тази ситуация, тогава би било правилно да кажем „Ахил безкрайно бързо ще изпревари костенурката“.

   Как да избегнем този логически капан? Остани вътре постоянни единициизмервания на времето и не преминават към реципрочни стойности. На езика на Зенон това изглежда така:

   За времето, необходимо на Ахил да измине хиляда крачки, костенурката пълзи стотина крачки в същата посока. През следващия интервал от време, равен на първия, Ахил ще направи още хиляда стъпки, а костенурката ще пропълзи сто стъпки. Сега Ахил е на осемстотин крачки пред костенурката.

   Този подход описва адекватно реалността без никакви логически парадокси. Но не е така цялостно решениепроблеми. Твърдението на Айнщайн за непреодолимостта на скоростта на светлината е много подобно на апорията на Зенон "Ахил и костенурката". Предстои ни да проучим, преосмислим и решим този проблем. И решението трябва да се търси не в безкрайно големи числа, а в мерни единици.

   Друга интересна апория на Зенон разказва за летяща стрела:

   Летящата стрела е неподвижна, тъй като във всеки момент от времето тя е в покой, и тъй като е в покой във всеки момент от времето, тя винаги е в покой.

   В тази апория логически парадокспреодолява се много просто - достатъчно е да се изясни, че във всеки момент летящата стрела се опира в различни точки в пространството, което всъщност е движение. Тук трябва да се отбележи още един момент. От една снимка на автомобил на пътя е невъзможно да се определи нито фактът на неговото движение, нито разстоянието до него. За да се определи фактът на движение на автомобила, са необходими две снимки, направени от една и съща точка в различни моменти във времето, но те не могат да се използват за определяне на разстоянието. За да определите разстоянието до колата, ви трябват две снимки, направени от различни точкипространство в един момент от времето, но е невъзможно да се определи фактът на движение от тях (естествено, все още са необходими допълнителни данни за изчисления, тригонометрията ще ви помогне). На какво искам да се съсредоточа Специално внимание, е, че две точки във времето и две точки в пространството са различни неща, които не бива да се бъркат, защото предоставят различни възможности за изследване.

   Сряда, 4 юли 2018 г

   Много добре разликите между набор и мултимножество са описани в Уикипедия. Ние гледаме.

   Както можете да видите, "множеството не може да има два еднакви елемента", но ако има идентични елементи в множеството, такова множество се нарича "мултимножество". Разумните същества никога няма да разберат такава логика на абсурда. Това е нивото на говорещите папагали и дресираните маймуни, при които умът отсъства от думата „напълно“. Математиците действат като обикновени обучители, проповядвайки ни своите абсурдни идеи.

   Имало едно време инженерите, които са построили моста, са били в лодка под моста по време на тестовете на моста. Ако мостът се срути, посредственият инженер загина под развалините на своето творение. Ако мостът можеше да издържи натоварването, талантливият инженер построи други мостове.

   Колкото и да се крият математиците зад фразата "имайте предвид, аз съм в къщата", или по-скоро "математика учи абстрактни понятия", има една пъпна връв, която е неразривно свързана с реалността. Тази пъпна връв са парите. Приложимо математическа теориязадава на самите математици.

   Учихме математика много добре и сега седим на касата и плащаме заплати. Тук един математик идва при нас за парите си. Преброяваме му цялата сума и я разпределяме на масата си в различни купчини, в които поставяме банкноти от една и съща номинална стойност. След това вземаме по една банкнота от всяка купчина и даваме на математика неговата "математическа заплата". Обясняваме математиката, че той ще получи останалите сметки само когато докаже, че множеството без еднакви елементи не е равно на множеството с еднакви елементи. Тук започва забавлението.

   Първо ще проработи логиката на депутатите: „към другите можеш, но към мен не!“ По-нататък ще започнат уверения, че има различни номера на банкноти на банкноти от една и съща номинална стойност, което означава, че те не могат да се считат за идентични елементи. Е, ние броим заплатата в монети - няма цифри на монетите. Тук математикът ще започне конвулсивно да си припомня физиката: на различни монети има различно количествокал, кристална структураи подредбата на атомите във всяка монета е уникална...

   А сега имам най-много интерес Питай: къде е границата, отвъд която елементите на мултимножество се превръщат в елементи на множество и обратно? Такава линия не съществува - всичко се решава от шаманите, науката тук дори не е близо.

   Вижте тук. Избираме футболни стадиони с същата областполета. Площта на полетата е една и съща, което означава, че имаме мултимножество. Но ако разгледаме имената на едни и същи стадиони, получаваме много, защото имената са различни. Както можете да видите, едно и също множество от елементи е едновременно множество и мултимножество. Колко правилно? И тук математикът-шаман-шулер изважда козово асо от ръкава си и започва да ни говори или за множество, или за мултимножество. При всички случаи той ще ни убеди, че е прав.

   За да разберем как съвременните шамани оперират с теорията на множествата, обвързвайки я с реалността, е достатъчно да отговорим на един въпрос: как елементите на едно множество се различават от елементите на друго множество? Ще ви покажа, без никакво "мислимо като неединно цяло" или "немислимо като единно цяло".

   Неделя, 18 март 2018 г

   Сумата от цифрите на едно число е танц на шамани с тамбура, който няма нищо общо с математиката. Да, в уроците по математика ни учат да намираме сумата от цифрите на числото и да го използваме, но те са шамани за това, за да научат своите потомци на своите умения и мъдрост, в противен случай шаманите просто ще изчезнат.

   Имате ли нужда от доказателство? Отворете Wikipedia и се опитайте да намерите страницата „Сума от цифри на число“. Тя не съществува. В математиката няма формула, чрез която можете да намерите сумата от цифрите на всяко число. Все пак числата са графични символи, с помощта на който пишем числа и на езика на математиката задачата звучи така: „Намерете сбора от графични символи, представляващи произволно число.“ Математиците не могат да решат този проблем, но шаманите могат елементарно.

   Нека да разберем какво и как правим, за да намерим сумата от цифрите на дадено число. И така, да кажем, че имаме числото 12345. Какво трябва да се направи, за да се намери сборът от цифрите на това число? Нека разгледаме всички стъпки по ред.

   1. Запишете числото на лист хартия. какво направихме Преобразувахме числото в числов графичен символ. Това не е математическа операция.

   2. Разрязваме една получена снимка на няколко картинки, съдържащи отделни номера. Изрязването на картина не е математическа операция.

   3. Преобразувайте отделни графични знаци в числа. Това не е математическа операция.

   4. Съберете получените числа. Сега това е математика.

   Сумата от цифрите на числото 12345 е 15. Това са "курсовете по кроене и шиене" от шаманите, използвани от математиците. Но това не е всичко.

   От гледна точка на математиката няма значение в коя бройна система записваме числото. И така, в различни системиизчислението, сумата от цифрите на едно и също число ще бъде различна. В математиката числовата система се обозначава като долен индекс отдясно на числото. ОТ Голям брой 12345 Не искам да си заблуждавам главата, помислете за числото 26 от статията за. Нека запишем това число в двоична, осмична, десетична и шестнадесетична бройни системи. Няма да разглеждаме всяка стъпка под микроскоп, вече го направихме. Нека да видим резултата.

   Както можете да видите, в различните бройни системи сумата от цифрите на едно и също число е различна. Този резултат няма нищо общо с математиката. Все едно намирането на площта на правоъгълник в метри и сантиметри ще ви даде напълно различни резултати.

   Нулата във всички бройни системи изглежда еднакво и няма сбор от цифри. Това е още един аргумент в полза на факта, че. Въпрос към математиците: как се означава в математиката това, което не е число? Какво, за математиците не съществува нищо друго освен числа? За шаманите мога да го позволя, но за учените не. Реалността не е само в числа.

   Полученият резултат трябва да се счита за доказателство, че бройните системи са единици за измерване на числата. В крайна сметка не можем да сравняваме числа с различни мерни единици. Ако едни и същи действия с различни мерни единици на една и съща величина водят до различни резултати след сравняването им, то това няма нищо общо с математиката.

   Какво е истинска математика? Това е, когато резултатът от дадено математическо действие не зависи от стойността на числото, използваната мерна единица и от това кой извършва това действие.
   

   Знак на вратата Отваря вратата и казва:

   Ох! Това не е ли женската тоалетна?
   - Млада жена! Това е лаборатория за изследване на безкрайната святост на душите при възнесение на небето! Нимб отгоре и стрелка нагоре. Каква друга тоалетна?

   Жена... Ореол отгоре и стрелка надолу е мъж.

   Ако такова произведение на дизайнерското изкуство мига пред очите ви няколко пъти на ден,

   Тогава не е изненадващо, че изведнъж намирате странна икона в колата си:

   Лично аз полагам усилия да видя минус четири градуса в акащ човек (една снимка) (композиция от няколко снимки: знак минус, число четири, обозначение на градуса). И не мисля, че това момиче е глупаво, не който знае физика. Тя просто има дъгов стереотип за възприемане на графични изображения. И математиците ни учат на това през цялото време. Ето един пример.

   1А не е "минус четири градуса" или "едно а". Това е "какащ човек" или числото "двадесет и шест" в шестнадесетичната бройна система. Тези хора, които постоянно работят в тази бройна система, автоматично възприемат числото и буквата като един графичен символ.

   Тригонометрията, като наука, възниква в Древния Изток. Първите тригонометрични съотношения са разработени от астрономи за създаване на точен календар и ориентиране по звездите. Тези изчисления са за сферична тригонометрия, докато в училищен курсизучава съотношението на страните и ъгъла на плосък триъгълник.

   Тригонометрията е дял от математиката, занимаващ се със свойствата на тригонометричните функции и връзката между страните и ъглите на триъгълниците.

   По време на разцвета на културата и науката от 1-во хилядолетие от н. е. се разпространяват знания от древен изтокдо Гърция. Но основните открития на тригонометрията са заслуга на мъжете от Арабския халифат. По-специално, туркменският учен ал-Маразви въведе такива функции като тангенс и котангенс, състави първите таблици със стойности за синуси, тангенси и котангенси. Концепцията за синус и косинус е въведена от индийски учени. Много внимание се отделя на тригонометрията в произведенията на такива велики фигури от древността като Евклид, Архимед и Ератостен.

   Основни величини на тригонометрията

   Основни тригонометрични функции числов аргументса синус, косинус, тангенс и котангенс. Всеки от тях има своя собствена графика: синус, косинус, тангенс и котангенс.

   Формулите за изчисляване на стойностите на тези количества се основават на теоремата на Питагор. По-известен е на учениците във формулировката: „Питагорови панталони, равни във всички посоки“, тъй като доказателството е дадено на примера на равнобедрен правоъгълен триъгълник.

   Синус, косинус и други зависимости установяват връзка между остри ъглии страни на произволен правоъгълен триъгълник. Даваме формули за изчисляване на тези величини за ъгъл А и проследяваме връзката на тригонометричните функции:

   

   Както можете да видите, tg и ctg са обратни функции. Ако представим крак a като грях продукт A и хипотенузата c и крака b във формата cos A * c, тогава получаваме следните формули за тангенса и котангенса:

   

   тригонометричен кръг

   Графично съотношението на посочените количества може да се представи по следния начин:

   

   кръг, в този случай, представлява всички възможни стойности на ъгъла α — от 0° до 360°. Както можете да видите от фигурата, всяка функция приема отрицателно или положителна стойноств зависимост от ъгъла. Например, sin α ще бъде със знак „+“, ако α принадлежи към I и II четвърти на кръга, т.е. е в диапазона от 0 ° до 180 °. При α от 180° до 360° (III и IV четвърти), sin α може да бъде само отрицателна стойност.

   Нека се опитаме да изградим тригонометрични таблици за конкретни ъгли и да разберем значението на количествата.

   

   Стойностите на α, равни на 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° и т.н., се наричат ​​специални случаи. Стойностите на тригонометричните функции за тях се изчисляват и представят под формата на специални таблици.

   

   Тези ъгли не са избрани случайно. Означението π в таблиците е за радиани. Rad е ъгълът, при който дължината на кръгова дъга съответства на нейния радиус. Тази стойносте въведен, за да се установи универсална връзка, при изчисляване в радиани действителната дължина на радиуса в cm няма значение.

   

   Ъглите в таблиците за тригонометрични функции съответстват на стойности в радиан:

   

   Така че не е трудно да се досетите, че 2π е пълен кръг или 360°.

   Свойства на тригонометричните функции: синус и косинус

   За да разгледаме и сравним основните свойства на синуса и косинуса, тангенса и котангенса, е необходимо да начертаем техните функции. Това може да стане под формата на крива, разположена в двумерна координатна система.

   Обмисли сравнителна таблицасвойства за синусоида и косинусова вълна:

   

   синусоида	косинусова вълна
   y = sin x	y = cos x
   ODZ [-1; един]	ODZ [-1; един]
   sin x = 0, за x = πk, където k ϵ Z	cos x = 0, за x = π/2 + πk, където k ϵ Z
   sin x = 1, за x = π/2 + 2πk, където k ϵ Z	cos x = 1, за x = 2πk, където k ϵ Z
   sin x = - 1, при x = 3π/2 + 2πk, където k ϵ Z	cos x = - 1, за x = π + 2πk, където k ϵ Z
   sin (-x) = - sin x, т.е. странна функция	cos (-x) = cos x, т.е. функцията е четна
   	функцията е периодична, най-малкият период е 2π
   sin x › 0, като x принадлежи на четвърти I и II или от 0° до 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, като x принадлежи на четвърти I и IV или от 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
   sin x ‹ 0, като x принадлежи на четвъртини III и IV или от 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, като x принадлежи на четвъртини II и III или от 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
   нараства на интервала [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	нараства на интервала [-π + 2πk, 2πk]
   намалява на интервалите [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	намалява на интервали
   производна (sin x)' = cos x	производна (cos x)’ = - sin x

   Определянето дали дадена функция е четна или не е много лесно. Достатъчно е да си представите тригонометричен кръг със знаци на тригонометрични величини и мислено да „сгънете“ графиката спрямо оста OX. Ако знаците са еднакви, функцията е четна, в противен случай е нечетна.

   

   Въведение в радианите и изброяването основни свойствасинусоидите и косинусовите вълни ни позволяват да донесем следната закономерност:

   

   Много е лесно да се провери правилността на формулата. Например, за x = π/2, синусът е равен на 1, както и косинусът на x = 0. Проверката може да се направи, като се разгледат таблици или чрез проследяване на функционални криви за дадени стойности.

   Свойства на тангентоида и котангентоида

   Графиките на функциите тангенс и котангенс се различават значително от синусоидата и косинусовата вълна. Стойностите tg и ctg са обратни една на друга.

   

   

   1. Y = tgx.
   2. Допирателната клони към стойностите на y при x = π/2 + πk, но никога не ги достига.
   3. Най-малко положителен периодтангентоидът е равен на π.
   4. Tg (- x) \u003d - tg x, т.е. функцията е странна.
   5. Tg x = 0, за x = πk.
   6. Функцията се увеличава.
   7. Tg x › 0, за x ϵ (πk, π/2 + πk).
   8. Tg x ‹ 0, за x ϵ (— π/2 + πk, πk).
   9. Производна (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

   Обмисли графично изображениекотангентоиди отдолу.

   

   Основните свойства на котангентоида:

   1. Y = ctgx.
   2. За разлика от функциите синус и косинус, в тангентоида Y може да приеме стойностите на набора от всички реални числа.
   3. Котангентоидът клони към стойностите на y при x = πk, но никога не ги достига.
   4. Най-малкият положителен период на котангентоида е π.
   5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, т.е. функцията е странна.
   6. Ctg x = 0, за x = π/2 + πk.
   7. Функцията намалява.
   8. Ctg x › 0, за x ϵ (πk, π/2 + πk).
   9. Ctg x ‹ 0, за x ϵ (π/2 + πk, πk).
   10. Производна (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Фикс