Algoritam za pronalaženje diferencijala funkcije. Osnovne diferencijalne teoreme

Diferencijal... Za neke je ovo lijepa daleka, a za druge - nerazumljiva riječ povezana s matematikom. Ali ako je ovo vaš surov poklon, naš članak će vam pomoći da naučite kako pravilno "pripremiti" diferencijal i s čime ga "servirati".

Diferencijal u matematici znači linearni dio inkrementi funkcije. Koncept diferencijala je neraskidivo povezan sa pisanjem derivacije prema Leibnizu f′(x 0) = df/dx·x 0 . Na osnovu ovoga, diferencijal prvog reda za funkciju f definiranu na skupu X ima sljedeći oblik: d x0 f = f (x 0) d x0 x. Kao što vidite, da biste dobili diferencijal, morate biti u mogućnosti da slobodno pronađete derivate. Stoga bi bilo korisno ponoviti pravila za izračunavanje derivata kako bi se shvatilo šta će se dogoditi u budućnosti. Dakle, pogledajmo bliže diferencijaciju na primjerima. Potrebno je pronaći diferencijal funkcije date u ovom obliku: y = x 3 -x 4. Prvo, nalazimo derivaciju funkcije: y′= (x 3 -x 4)′ = (x 3)′-(x 4)′ = 3x 2 -4x 3 . Pa, sada je dobijanje diferencijala jednostavno kao i ljuštenje krušaka: df = (3x 3 -4x 3) dx. Sada smo dobili diferencijal u obliku formule, a u praksi nas često zanima i digitalna vrijednost diferencijala za date specifične parametre x i ∆x. Postoje slučajevi kada je funkcija izražena implicitno u terminima x. Na primjer, y = x²-y x . Derivat funkcije izgleda ovako: 2x-(y x)′. Ali kako dobiti (y x)′? Takva funkcija se naziva kompleksna i diferencira se prema odgovarajućem pravilu: df/dx = df/dy·dy/dx. AT ovaj slučaj: df/dy = x y x-1 i dy/dx = y′. Sada sastavljamo sve zajedno: y′ = 2x-(x y x-1 y′). Grupiramo sve igrače u jednom pravcu: (1+x y x-1) y′ = 2x, i kao rezultat dobijamo: y′ = 2x/(1+x y x-1) = dy/dx. Na osnovu ovoga, dy = 2x dx/(1+x y x-1). Naravno, dobro je što su takvi zadaci rijetki. Ali sada ste spremni za njih. Pored razmatranih diferencijala prvog reda, još postoje diferencijali višeg reda. Pokušajmo pronaći diferencijal za funkciju d /d(x 3 )· (x 3 – 2 x6 – x9 ), što će biti diferencijal drugog reda za f(x). Na osnovu formule f′(u) = d/du f(u), gdje je u = f(x), uzimamo u = x 3 . Dobijamo: d/d(u) (u-2u 2 -u 3) = (u-2u 2 -u 3)′ = 1-4u-3u 2 . Vraćamo zamjenu i dobijamo odgovor - 1 – x 3 – x 6 , x≠0. Online usluga također može postati pomoćnik u pronalaženju diferencijala. Naravno, nećete ga koristiti na kontroli ili ispitu. Ali uz nezavisnu provjeru ispravnosti rješenja, njegovu ulogu je teško precijeniti. Osim samog rezultata, prikazuje i međurješenja, grafikone i neodređeni integral diferencijalna funkcija, kao i korijene diferencijalne jednadžbe. Jedina mana je što piše funkciju u jednom redu kada je unesete, ali s vremenom se možete naviknuti na to. Pa, naravno, takva usluga se ne može nositi sa složenim funkcijama, ali sve što je jednostavnije je preteško za njega. Praktična upotreba diferencijalni nalazi prvenstveno u fizici i ekonomiji. Dakle, u fizici se problemi vezani za određivanje brzine i njenog izvoda, ubrzanja, često rješavaju diferencijacijom. A u ekonomiji, diferencijal je sastavni deo izračunavanja efikasnosti preduzeća i fiskalne politike države, na primer, efekat finansijske poluge.

Ovaj članak je pregledan tipični zadaci diferencijaciju. Pa višu matematiku studenti univerziteta često sadrže više zadataka o korištenju diferencijala u približnim proračunima, kao i traženju rješenja diferencijalne jednadžbe. Ali glavna stvar je da se uz jasno razumijevanje osnova lako možete nositi sa svim novim zadacima.

PREDAVANJE 10. FUNKCIJSKI DIFERENCIJAL. TEOREME FERMA, ROLA, LAGRANGE I CAUCHY.

1. Funkcijski diferencijal

1.1. Definicija diferencijala funkcije

OD koncept derivata je usko povezan sa drugim fundamentalnim konceptom matematička analiza je diferencijal funkcije.

Definicija 1. Funkcija y = f (x) definirana u nekom susjedstvu točke x naziva se diferencijabilnom u tački x ako je njen prirast u ovoj tački

y = f (x + x) − f (x)

ima oblik

y = A x + α(Δx) x,

gdje je A konstanta i funkcija α(Δx) → 0 kao x → 0.

Neka je y = f (x) diferencijabilna funkcija, tada dajemo sljedeću definiciju.

Definicija 2. Glavna linearna	dio A x	inkrementi	funkcije f(x)
naziva se diferencijal funkcije u tački x i označava se sa dy.
Na ovaj način,
y = dy + α(Δx) x.
Napomena 1. Vrijednost dy =	x se zove	glavni dio linije
prirast y zbog činjenice da je drugi dio prirasta α(Δx)			x za male
x postaje mnogo manji od A

Tvrdnja 1. Da bi funkcija y = f (x) bila diferencijabilna u tački x, potrebno je i dovoljno da ima izvod u ovoj tački.

Dokaz. Need. Neka je funkcija f (x) diferencijabilna u tački

x + α(Δx) x, for

x → 0. Tada

A + limα(Δx) = A.

Dakle, izvod f ′ (x) postoji i jednak je A.

Adekvatnost. Neka postoji

f ′ (x), tj. postoji ograničenje lim

F'(x).

F ′ (x) + α(Δx),

y = f′ (x)Δx + α(Δx) x.

Posljednja jednakost znači da je funkcija y = f (x) diferencijabilna.

1.2. geometrijskog smisla diferencijal

Neka je l tangenta na graf funkcije y = f (x) u tački M (x, f (x)) (slika 1). Pokažimo da je dy vrijednost segmenta P Q. Zaista,

dy = f ′ (x)Δx = tg α x =

" "l

"" " "

" α

Dakle, diferencijal dy funkcije f (x) u tački x jednak je inkrementu ordinate tangente l u toj tački.

1.3. Invarijantnost diferencijalnog oblika

Ako je x nezavisna varijabla, onda

dy = f′ (x)dx.

Pretpostavimo da je x = ϕ(t), gdje je t nezavisna varijabla, y = f (ϕ(t)). Onda

dy = (f (ϕ(t))′ dt = f′ (x)ϕ′ (t)dt = f′ (x)dx (ϕ′ (t)dt = dx).

Dakle, oblik diferencijala se nije promijenio, uprkos činjenici da x nije nezavisna varijabla. Ovo svojstvo se naziva invarijantnost oblika diferencijala.

1.4. Primjena diferencijala u aproksimativnim proračunima

Iz formule y = dy + α(Δx) x, odbacujući α(Δx) x, jasno je da za male

y ≈ dy = f ′ (x)Δx.

Odavde dobijamo

f (x + x) − f (x) ≈ f′ (x)Δx,

f (x + x) ≈ f (x) + f′ (x)Δx. (1) Formula (1) se koristi u približnim proračunima.

1.5. Diferencijali višeg reda

Po definiciji, drugi diferencijal funkcije y = f (x) u tački x je diferencijal prvog diferencijala u toj tački, koji je označen

d2 y = d(dy).

Izračunajmo drugi diferencijal:

d2 y = d(dy) = d(f′ (x)dx) = (f′ (x)dx)′ dx = (f′′ (x)dx)dx = f′′ (x)dx2

(prilikom izračunavanja derivacije (f ′ (x)dx)′ uzeli smo u obzir da vrijednost dx ne zavisi od x i da je stoga konstantna tokom diferencijacije).

Općenito, diferencijal reda n funkcije y = f (x) je prvi

diferencijal

od diferencijala

ovu funkciju, koja

označeno sa

dn y = d(dn−1 y)

dn y = f(n) (x)dxn .

Pronađite diferencijal funkcije y = arctg x .

Rješenje. dy = (arctg x)′ dx =

1+x2

Naći diferencijale prvog i drugog reda funkcije v = e2t .

Rješenje. dv = 2e2t dt , d2 v = 4e2t dt2 .

Usporedite prirast i diferencijal funkcije y = 2x3 + 5x2.

Rješenje. Mi nalazimo

5x2=

10x)∆x + (6x + 5)∆x

dy = (6x2 + 10x)dx.

Razlika između prirasta

y i diferencijal dy je infinitezimalno veći

poredak u odnosu na

x jednako (6x + 5)Δx2 + 2Δx3 .

Primjer 4. Izračunajte približnu vrijednost površine kruga čiji je polumjer 3,02 m.

Rješenje. Koristimo formulu S = πr2 . Postavljanje r = 3, r = 0,02, imamo

S ≈ dS = 2πr r = 2π 3 0,02 = 0,12π.

Stoga je približna vrijednost površine kruga 9π + 0, 12π = 9, 12π ≈

28, 66 (m 2 ).

Primjer 5. Izračunajte približnu vrijednost arcsin 0,51 sa tačnošću od 0,001. Rješenje. Razmotrimo funkciju y = arcsin x . Uzimajući da je x = 0,5, x = 0,01 i

primjena formule (1)

x) ≈ arcsin x + (arcsin x)′

(arcsinx)′

≈ arcsin 0,5+

0, 011 = 0, 513.

1 − (0, 5)2

Primjer 6. Izračunajte približno √ 3

sa tačnošću od 0,0001.

Rješenje. Razmotrimo funkciju y = √ 3

i stavi x = 8,

x = 0, 01. Slično

po formuli (1)

(√ 3x)′ =

√3

√ x + x ≈√ 3 x + (√ 3 x)′ x,

3√ 3 64

0,01 = 2 + 3 4 0,01 ≈ 2,0008.

p 8, 01 ≈√ 8 +

2. Teoreme Fermata, Rollea, Lagrangea i Cauchyja

Definicija 3. Kaže se da funkcija y = f (x) ima (ili dostiže) u tački α lokalni maksimum(minimum) ako postoji susjedstvo U (α) tačke α takvo da za sve x U (α) :

f (α) ≥ f (x) (f (α) ≤ f (x)).

Lokalni maksimum i lokalni minimum ujedinjeni su zajedničkim imenom

lokalni ekstrem.

Funkcija čiji je grafikon prikazan na sl. 4 ima lokalni maksimum u tačkama β, β1 i lokalni minimum u tačkama α, α1.

Tvrdnja 2. (Fermat) Neka je funkcija y = f (x) diferencijabilna u tački α i ima lokalni ekstrem u ovoj tački. Tada je f ′ (α) = 0.

Ideja koja stoji iza dokaza Fermatove teoreme je sljedeća. Neka, radi određenosti, f (x) ima lokalni minimum u tački α. Po definiciji, f ′ (α) je granica pri x → 0 relacije

	f (α + x) − f (α)

Ali za dovoljno male (do apsolutna vrijednost) x
	f (α + x) − f (α) ≥ 0.
Stoga, sa takvim	x dobijamo


Otuda to sledi
	f ′ (α) = lim g(Δx) = 0.

Uradite potpuni dokaz sami.
Izjava 3. (Roll)	Ako je y = f(x) kontinuirano	Razlikuje se po
(a, b) i f (a) = f (b), tada postoji tačka α (a, b)		da je f ′ (α) = 0.

Dokaz. Po svojstvu funkcija koje su neprekidne na segmentu, postoje tačke x1 , x2 takve da

ekstrem. Po hipotezi teoreme, f (x) je diferencijabilna u tački α. Po Fermatovom teoremu, f ′ (α) = 0. Teorema je dokazana.

Rolleova teorema ima jednostavno geometrijsko značenje (slika 5): ako su ekstremne ordinate krive y = f (x) jednake, tada postoji tačka na krivulji y = f (x) u kojoj je tangenta krive je paralelna sa Ox osom.

Dokaz. Imajte na umu da je g(a) =6 g(b). Zaista, inače bi funkcija g(x) zadovoljila sve uslove Rolleove teoreme. Prema tome, postojala bi tačka β (a, b) takva da je g′ (β) = 0. Ali ovo je u suprotnosti sa hipotezom teoreme.

Razmotrite sljedeću pomoćnu funkciju:

F (x) = f (x) - f (a) - f (b) - f (a) (g(x) - g(a)). g(b) − g(a)

Funkcija F (x) je kontinuirana na ,			je diferencibilan na (a, b). Osim toga, očigledno je
šta'	F (a) = F (b) = 0. Prema tome, prema Rolleovoj teoremi, postoji tačka α (a, b) takva da
F (α) = 0, tj.
	f′(α)				g′ (α) = 0.
		− g(b)
ovo implicira

				f′(α)

				g′ (α)

Teorema je dokazana.

Tvrdnja 5. (Lagrange) Ako je y = f (x) kontinuirano na , diferencibilno na (a, b), onda postoji α (a, b) takvo da

F′ (α).

Dokaz. Lagrangeova teorema direktno slijedi iz Cauchyjeve teoreme za g(x) =

Geometrijski, Lagrangeova teorema znači da je na krivulji y = f (x) između tačaka

A i B, postoji takva tačka C, tangenta u kojoj je paralelna tetivi AB. y

Rolleova teorema o ovom segmentu

izvedeno. c vrijednost

odrediti

jednačine

f ′ (x) = 2x − 6 = 0, tj. c = 3.

nađi tačku

M, u kojoj

Primjer 8. Na luku

AB kriva y = 2x − x

tangenta paralelna sa tetivom

Rješenje. Funkcija y = 2x − x

je kontinuiran i diferenciran za sve vrijednosti

x. Prema Lagrangeovom teoremu, između dvije vrijednosti a = 1,

b = 3 postoji vrijednost

x = c zadovoljava jednakost y(b) − y(a) = (b − a) y′ (c), gdje je y′ = 2 − 2x. Zamjenom odgovarajućih vrijednosti dobijamo

y(3) − y(1) = (3 − 1) y (c),

(2 3 - 32 ) - (2 1 - 12 ) = (3 - 1) (2 - 2c),

dakle c = 2, y(2) = 0.

Dakle, tačka M ima koordinate (2; 0).

Primjer 9. Na luku AB krive date parametarskim jednadžbama

x = t2 , y = t3 , nađi tačku

M u kojem je tangenta paralelna tetivi AB ako

tačke A i B odgovaraju vrijednostima t = 1 i t = 3.

Rješenje. Nagib akordi AB je

I faktor nagiba

tangenta u tački M (za

t = c) je

(c)/x′

x′ = 2t,

y′ = 3t2 . Za

definicijom c po Cauchyjevom teoremu dobijamo jednačinu

yt′ (c)

xt′ (c)

tj. c = 13/6.

Pronađena vrijednost c zadovoljava nejednakost 1< c < 3. Подставив значение t = c в parametarske jednačine krivulje, dobijamo x = 169/36, y = 2197/216. Dakle željenu tačku M (169/36; 2197/216).

LOGARITAMSKA DIFERENCIJACIJA

Diferencijacija mnogih funkcija je pojednostavljena ako se preliminarno logaritmiziraju. Da biste to učinili, postupite na sljedeći način. Ako treba da nađete y" iz jednačine y=f(x), tada možete:

Primjeri.

EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA SNAGE I NJENA DIFERENCIJACIJA

eksponencijalna funkcija je funkcija forme y = u v, gdje u=u(x), v=v(x).

Logaritamska diferencijacija se koristi za pronalaženje derivacije funkcije eksponencijalne snage.

Primjeri.

TABELA DERIVATA

Kombinirajmo u jednoj tabeli sve osnovne formule i pravila diferencijacije koja smo ranije izveli. Svugdje ćemo pretpostaviti u=u(x), v=v(x), S=konst. Za derivate glavnog elementarne funkcije koristićemo teoremu izvoda složena funkcija.

Primjeri.

KONCEPT FUNKCIJSKOG DIFERENCIJALA. ODNOS IZMEĐU DIFERENCIJALNOG I DERIVATNOG

Neka funkcija y=f(x) je diferencibilan na intervalu [ a; b]. Derivat ove funkcije u nekom trenutku X 0 Î [ a; b] je definirana jednakošću

Dakle, svojstvom granice

Množenje svih članova rezultirajuće jednakosti sa Δ x, dobijamo:

Δ y = f"(x 0)·Δ x+ a Δ x.

Dakle, beskonačno mali prirast Δ y diferencijabilna funkcija y=f(x) može se predstaviti kao zbir dva člana, od kojih je prvi (za f"(X 0) ≠ 0) glavni dio prirasta, linearno u odnosu na Δ x, a druga je infinitezimalna vrijednost višeg reda od Δ x. glavni dio inkrementi funkcije, tj. f"(X 0)·Δ x naziva se diferencijal funkcije u tački X 0 i označeno sa dy.

Dakle, ako je funkcija y=f(x) ima derivat f"(x) u tački x, zatim proizvod derivacije f"(x) po inkrementu Δ x poziva se argument diferencijalna funkcija i označavaju:

Nađimo diferencijal funkcije y= x. U ovom slučaju y" = (x)" = 1 i, prema tome, dy=dx=Δ x. Dakle diferencijal dx nezavisna varijabla x poklapa se sa njegovim prirastom Δ x. Stoga možemo zapisati formulu (1) na sljedeći način:

dy = f "(x)dx

Ali iz ove relacije slijedi da . Dakle, derivat f "(x) se može posmatrati kao omjer diferencijala funkcije i diferencijala nezavisne varijable.

Ranije smo pokazali da diferencijabilnost funkcije u tački implicira postojanje diferencijala u toj tački.

I obrnuto je tačno.

Ako za datu vrijednost x prirast funkcije Δ y = f(x+Δ x) – f(x) može se predstaviti kao Δ y = A·Δ x+ α, gdje je α beskonačno mala veličina koja zadovoljava uvjet, tj. ako za funkciju y=f(x) postoji diferencijal dy=A dx u nekom trenutku x, tada ova funkcija ima izvod u tački x i f "(x)=ALI.

Zaista, imamo , i budući da za Δ x→0, zatim .

Dakle, postoji vrlo bliska veza između diferencijabilnosti funkcije i postojanja diferencijala; oba koncepta su ekvivalentna.

Primjeri. Pronađite diferencijale funkcija:

GEOMETRIJSKO ZNAČENJE DIFERENCIJALA

Razmotrite funkciju y=f(x) i odgovarajuću krivu. Hajdemo na krivinu proizvoljna tačka M(x; y), nacrtajte tangentu na krivu u ovoj tački i označite sa α kut koji tangenta formira s pozitivnim smjerom ose Ox. Dajemo nezavisnu varijablu x prirast Δ x, tada će funkcija dobiti povećanje Δ y = NM jedan . Vrijednosti x+Δ x i y+Δ y na krivini y = f(x) tačka će se podudarati

M 1 (x+Δ x; y+Δ y).

Od Δ MNT naći NT=MN tgα. Jer tgα = f "(x), a MN = Δ x, onda NT = f "(x)·Δ x. Ali po definiciji diferencijala dy=f "(x)·Δ x, zbog toga dy = NT.

Dakle, diferencijal funkcije f(x) koji odgovara datim vrijednostima x i Δx jednak je prirastu ordinate tangente na krivulju y=f(x) u datoj tački x.

TEOREMA DIFERENCIJALNE INVARIJANCIJE

Videli smo ranije da ako u je nezavisna varijabla, onda diferencijal funkcije y=f "(u) ima oblik dy = f "(u)du.

Pokažimo da je ovaj oblik sačuvan i u slučaju kada u nije nezavisna varijabla, već funkcija, tj. naći izraz za diferencijal kompleksne funkcije. Neka y=f(u), u=g(x) ili y = f(g(x)). Zatim, prema pravilu diferencijacije složene funkcije:

Dakle, po definiciji

Ali g"(x)dx= du, zbog toga dy=f"(u)du.

Dokazali smo sljedeću teoremu.

Teorema. Diferencijal kompleksne funkcije y=f(u), za koji u=g(x), ima isti oblik dy=f"(u)du, što bi imala ako bi međuargument u bila je nezavisna varijabla.

Drugim riječima, oblik diferencijala ne ovisi o tome da li je argument funkcije nezavisne varijable ili funkcija drugog argumenta. Ovo svojstvo diferencijala se zove diferencijalna invarijantnost oblika.

Primjer.. Nađi dy.

Uzimajući u obzir svojstvo invarijantnosti diferencijala, nalazimo

PRIMJENA DIFERENCIJALA NA PRIBLIŽNE PRORAČUNE

Javite nam vrijednost funkcije y 0 =f(x 0 ) i njen derivat y 0 " = f "(x0) u tački x0. Hajde da pokažemo kako pronaći vrijednost funkcije u nekoj bliskoj tački x.

Kao što smo već saznali, prirast funkcije Δ y može se predstaviti kao zbir Δ y=dy+α·Δ x, tj. prirast funkcije se razlikuje od diferencijala za beskonačno mali iznos. Prema tome, zanemarujući mali Δ x drugi član u aproksimativnim proračunima, ponekad koriste približnu jednakost Δ y≈dy ili Δ y» f"(x0)·Δ x.

Jer, po definiciji, Δ y = f(x) – f(x0), onda f(x) – f(x0)≈f"(x0)·Δ x.

Primjeri.

DERIVATI VIŠEG REDA

Neka funkcija y=f(x) je diferencibilan na nekom intervalu [ a; b]. Vrijednost derivata f"(x), uopšteno govoreći, zavisi od x, tj. derivat f"(x) je također funkcija varijable x. Neka i ova funkcija ima izvod. Diferencirajući ga, dobijamo takozvani drugi izvod funkcije f(x).

Izvod prvog izvoda se zove derivat drugog reda ili drugi derivat iz ove funkcije y=f(x) i označeno y""ili f""(x). dakle, y"" = (y")".

Na primjer, ako at = X 5, dakle y"= 5x 4 , i y""= 20x 4 .

Slično, zauzvrat, izvod drugog reda se također može diferencirati. Izvod drugog izvoda se zove derivat trećeg reda ili treći derivat i označeno sa y"""ili f"""( x).

općenito, derivat n-tog reda od funkcije f(x) naziva se derivacija (prva) izvoda ( n– 1) reda i označava se simbolom y(n) ili f(n) ( x): y(n) = ( y(n-1))".

Dakle, da bi se pronašao izvod višeg reda date funkcije, svi njeni derivati nižeg reda se sekvencijalno nalaze.

Budući da su neraskidivo povezani, oba su se već nekoliko stoljeća aktivno koristila u rješavanju gotovo svih problema koji su se pojavili u procesu ljudske naučne i tehničke djelatnosti.

Pojava koncepta diferencijala

Prvo je objasnio šta je diferencijal, jedan od kreatora (zajedno sa Isakom Njutnom) diferencijalni račun poznati njemački matematičar Gottfried Wilhelm Leibniz. Prije toga su matematičari 17 čl. koristio je vrlo nejasnu i nejasnu ideju o nekom beskonačno malom "nedjeljivom" dijelu bilo kojeg poznata funkcija, predstavlja vrlo malu konstantnu vrijednost, ali nije jednaku nuli, manje od koje vrijednosti funkcije jednostavno ne mogu biti. Odavde je bio samo jedan korak do uvođenja koncepta infinitezimalnih prirasta argumenata funkcija i odgovarajućih prirasta samih funkcija, izraženih kroz derivacije potonjih. A ovaj korak su gotovo istovremeno preduzela dva pomenuta velika naučnika.

Na osnovu potrebe za rješavanjem hitnih praktičnih problema mehanike, koje je industrija i tehnologija u brzom razvoju postavila pred nauku, Newton i Leibniz su stvorili uobičajeni načini pronalaženje brzine promjene funkcija (prvenstveno u odnosu na mehaničku brzinu tijela koje se kreće duž poznate putanje), što je dovelo do uvođenja pojmova kao što su derivacija i diferencijal funkcije, a također je pronađen algoritam za rješavanje inverzni problem, kako pronaći pređenu udaljenost od poznate (promjenjive) brzine, što je dovelo do pojave koncepta integrala.

U radovima Leibniza i Newtona, prvi put se pojavila ideja da su diferencijali glavni dijelovi prirasta funkcija Δy, proporcionalni priraštajima argumenata Δx, koji se mogu uspješno primijeniti za izračunavanje vrijednosti ovo drugo. Drugim riječima, otkrili su da se prirast funkcije može izraziti u bilo kojoj tački (unutar njenog domena definicije) u smislu njenog izvoda kao 0, mnogo brže od samog Δx.

Prema osnivačima matematičke analize, diferencijali su samo prvi pojmovi u izrazima za priraštaje bilo koje funkcije. Nemajući još jasno formulisan koncept granice nizova, oni su intuitivno shvatili da vrednost diferencijala teži derivaciji funkcije kao Δh→0 - Δu/Δh→ y"(x).

Za razliku od Newtona, koji je prvenstveno bio fizičar i razmatrao matematički aparat kao pomoćno istraživačko sredstvo fizičkih zadataka, Leibniz je posvetio više pažnje samom ovom kompletu alata, uključujući sistem vizuelne i razumljive notacije matematičke veličine. On je predložio općeprihvaćenu notaciju za diferencijale funkcije dy \u003d y "(x) dx, argument dx i derivaciju funkcije u obliku njihovog omjera y" (x) \u003d dy / dx .

Moderna definicija

Šta je razlika u smislu moderne matematike? Usko je povezan sa konceptom prirasta varijabla. Ako varijabla y prvo poprimi vrijednost y = y 1, a zatim y = y 2 , tada se razlika y 2 ─ y 1 naziva prirastom y.

Prirast može biti pozitivan. negativan i jednak nuli. Riječ "inkrement" označava se sa Δ, a oznaka Δy (čitaj "delta y") označava povećanje y. pa je Δu = y 2 ─ y 1 .

Ako je vrijednost Δu proizvoljna funkcija y = f (x) može se predstaviti u obliku od samog Δx, tada je prvi („glavni“) pojam, proporcionalan Δx, diferencijal za y = f (x), označen dy ili df (x) ( čitati “de y”, “de ef from x”). Stoga su diferencijali „glavne“ linearne komponente priraštaja funkcija u odnosu na Δx.

Mehanička interpretacija

Neka je s = f(t) udaljenost od početne pozicije (t je vrijeme putovanja). Prirast Δs je putanja tačke u vremenskom intervalu Δt, a diferencijal ds = f "(t) Δt je putanja koju bi tačka prešla za isto vreme Δt da je zadržala brzinu f" (t ) dostignuto do vremena t. Za beskonačno mali Δt, imaginarni put ds se razlikuje od pravog Δs za beskonačno mali iznos, koji ima višeg reda u odnosu na Δt. Ako brzina u trenutku t nije jednaka nuli, tada ds daje približnu vrijednost malog pomaka tačke.

Geometrijska interpretacija

Neka je prava L grafik y = f(x). Tada Δ x = MQ, Δy = QM "(vidi sliku ispod). Tangenta MN dijeli segment Δy na dva dijela, QN i NM". Prvi je proporcionalan Δh i jednak je QN = MQ∙tg (ugao QMN) = Δh f "(x), tj. QN je diferencijal dy.

Drugi dio NM" daje razliku Δu ─ dy, pri Δh→0 dužina NM" opada čak i brže od priraštaja argumenta, tj. njegov red male veličine je veći od Δh. U slučaju koji se razmatra, za f "(x) ≠ 0 (tangenta nije paralelna sa OX), segmenti QM" i QN su ekvivalentni; drugim riječima, NM" opada brže (njegov red malenosti je veći) od ukupnog prirasta Δu = QM". To se vidi na slici (kako se M "približava M, segment NM" čini sve manji procenat segmenta QM").

Dakle, grafički, diferencijal proizvoljne funkcije je jednako prirast ordinate njegove tangente.

Derivat i diferencijal

Koeficijent A u prvom članu izraza za prirast funkcije jednak je vrijednosti njene derivacije f "(x). Dakle, dolazi do sljedećeg odnosa - dy \u003d f" (x) Δx, ili df (x) \u003d f "(x) Δx.

Poznato je da je prirast nezavisnog argumenta jednak njegovom diferencijalu Δh = dx. U skladu s tim, možete napisati: f "(x) dx = dy.

Pronalaženje (ponekad nazvano "rješavanjem") diferencijala se izvodi prema istim pravilima kao i za derivate. Njihova lista je data u nastavku.

Što je univerzalnije: povećanje argumenta ili njegov diferencijal

Ovdje je potrebno dati neka objašnjenja. Predstavljanje diferencijala vrijednošću f "(x) Δx je moguće kada se x razmatra kao argument. Ali funkcija može biti kompleksna, u kojoj x može biti funkcija nekog argumenta t. Tada je prikaz diferencijala izrazom f "(x) Δx je po pravilu nemoguće; osim slučaja linearna zavisnost x = na + b.

Što se tiče formule f "(x) dx = dy, tada u slučaju nezavisnog argumenta x (onda dx = Δx), iu slučaju parametarske zavisnosti x od t, to predstavlja diferencijal.

Na primjer, izraz 2 x Δx predstavlja za y = x 2 njegov diferencijal kada je x argument. Postavimo sada x= t 2 i uzmimo t kao argument. Tada je y = x 2 = t 4 .

Ovaj izraz nije proporcionalan Δt i stoga sada 2xΔh nije diferencijal. Može se naći iz jednačine y = x 2 = t 4 . Ispada da je jednako dy=4t 3 Δt.

Ako uzmemo izraz 2xdx, onda on predstavlja diferencijal y = x 2 za bilo koji argument t. Zaista, pri x= t 2 dobijamo dx = 2tΔt.

To znači da je 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, tj. da su se izrazi diferencijala zapisani u terminima dvije različite varijable poklopili.

Zamjena prirasta diferencijalima

Ako je f "(x) ≠ 0, tada su Δu i dy ekvivalentni (za Δh→0); ako je f "(x) = 0 (što znači dy = 0), oni nisu ekvivalentni.

Na primjer, ako je y = x 2, onda je Δy = (x + Δx) 2 ─ x 2 = 2xΔx + Δx 2, a dy = 2xΔx. Ako je x=3, onda imamo Δu = 6Δh + Δh 2 i dy = 6Δh, koji su ekvivalentni zbog Δh 2 →0, pri x=0 vrijednosti Δu = Δh 2 i dy=0 nisu ekvivalentne.

Ova činjenica, zajedno sa jednostavnom strukturom diferencijala (tj. linearnost u odnosu na Δx), često se koristi u aproksimativnim proračunima, pod pretpostavkom da je Δy ≈ dy za male Δx. Pronalaženje diferencijala funkcije obično je lakše od izračunavanja točne vrijednosti prirasta.

Na primjer, imamo metalnu kocku sa ivicom x = 10,00 cm.Pri zagrijavanju ivica se produžila za Δx = 0,001 cm. Koliko se povećao volumen V kocke? Imamo V = x 2, tako da je dV \u003d 3x 2 Δx = 3 10 2 0 / 01 = 3 (cm 3). Povećanje zapremine ΔV je ekvivalentno diferencijalu dV, pa je ΔV = 3 cm 3 . Potpuni proračun bi dao ΔV = 10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Ali u ovom rezultatu, sve brojke osim prve su nepouzdane; tako da, u svakom slučaju, trebate ga zaokružiti na 3 cm 3.

Očigledno je da je takav pristup koristan samo ako je moguće procijeniti veličinu unesene greške.

Diferencijal funkcija: Primjeri

Pokušajmo pronaći diferencijal funkcije y = x 3 bez pronalaženja izvoda. Hajde da povećamo argument i definišemo Δu.

Δy \u003d (Δx + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 Δx + (3xΔx 2 + Δx 3).

Ovdje koeficijent A= 3x 2 ne zavisi od Δh, tako da je prvi član proporcionalan Δh, dok drugi član 3xΔh 2 + Δh 3 na Δh→0 opada brže od prirasta argumenta. Prema tome, izraz 3x 2 Δx je diferencijal y = x 3:

dy = 3x 2 Δx = 3x 2 dx ili d (x 3) = 3x 2 dx.

U ovom slučaju, d(x 3) / dx \u003d 3x 2.

Nađimo sada dy funkcije y = 1/x u smislu njenog izvoda. Tada je d(1/x) / dx = ─1/x 2 . Prema tome, dy = ─ Δh/h 2 .

Diferencijali osnovnih algebarskih funkcija su dati u nastavku.

Približni proračuni pomoću diferencijala

Često nije teško izračunati funkciju f (x), kao i njen izvod f"(x) za x=a, ali nije lako učiniti isto u blizini tačke x=a. približni izraz dolazi u pomoć

f (a + Δh) ≈ f "(a) Δh + f (a).

On daje približnu vrijednost funkcije na malim prirastima Δh kroz njen diferencijal f "(a)Δh.

shodno tome, datu formulu daje približan izraz za funkciju u krajnjoj tački nekog segmenta dužine Δx kao zbir njegove vrijednosti u početnoj tački ovog segmenta (x=a) i diferencijala u istoj početnoj tački. Greška ove metode određivanja vrijednosti funkcije je ilustrovana na slici ispod.

Međutim, poznat je i tačan izraz za vrijednost funkcije za x=a+Δh, dat formulom za konačne priraštaje (ili, drugim riječima, Lagrangeova formula)

f (a + Δh) ≈ f "(ξ) Δh + f (a),

gdje je tačka x = a + ξ na segmentu od x = a do x = a + Δx, iako je njen tačan položaj nepoznat. Tačna formula omogućava procjenu greške približne formule. Ako u Lagrangeovu formulu stavimo ξ = Δh /2, onda iako prestaje biti tačna, obično daje mnogo bolju aproksimaciju od originalnog izraza kroz diferencijal.

Procjena greške formula primjenom diferencijala

U principu, oni su netačni i unose odgovarajuće greške u podatke mjerenja. Karakteriše ih granična ili, ukratko, marginalna greška - pozitivan broj, očito premašujući ovu grešku u apsolutnoj vrijednosti (ili barem jednak njoj). Granica se naziva količnik njenog dijeljenja sa apsolutna vrijednost izmjerena vrijednost.

Neka se za izračunavanje funkcije y koristi tačna formula y= f (x), ali vrijednost x je rezultat mjerenja i stoga unosi grešku u y. Zatim, da bismo pronašli granicu apsolutna greška│‌‌Δu│ funkcije y, koristite formulu

│‌‌Δu│≈│‌‌dy│=│ f "(x)││Δh│,

gdje je │Δh│ marginalna greška argumenta. Vrijednost │‌‌Δu│ treba zaokružiti naviše, jer netačna je sama zamjena izračuna priraštaja proračunom diferencijala.

Ako je funkcija diferencibilan u jednoj tački , onda se njegov prirast može predstaviti kao zbir dva člana

. Ovi pojmovi su beskonačno male funkcije za
.Prvi član je linearan u odnosu na
, drugi je infinitezimalni viši red od
.Stvarno,

Dakle, drugi mandat u
teži nuli brže i pri pronalaženju prirasta funkcije
prvi mandat igra glavnu ulogu
ili (jer
)
.

Definicija . Glavni dio inkrementa funkcije
u tački , linearno u odnosu na
,zove diferencijal funkcije u ovom trenutku i označenodyilidf(x)

. (2)

Dakle, možemo zaključiti: diferencijal nezavisne varijable poklapa se sa njenim prirastom, tj
.

Relacija (2) sada poprima oblik

(3)

Komentar . Formula (3) za sažetost se često piše u obliku

(4)

Geometrijsko značenje diferencijala

Razmotrimo graf diferencijabilne funkcije
. bodova
i pripadaju grafu funkcije. U tački M tangenta To na graf funkcije čiji ugao s pozitivnim smjerom ose
označiti sa
. Hajde da nacrtamo pravo MN paralelno sa osom Ox i
paralelno sa osom Oy. Prirast funkcije jednak je dužini segmenta
. Od pravougaonog trougla
, pri čemu
, dobijamo

Gornje obrazloženje nam omogućava da zaključimo:

Funkcijski diferencijal
u tački je predstavljen povećanjem ordinate tangente na graf ove funkcije u njenoj odgovarajućoj tački
.

Odnos između diferencijala i derivacije

Razmotrimo formulu (4)

Obje strane ove jednakosti dijelimo sa dx, onda

Na ovaj način, derivacija funkcije jednaka je omjeru njenog diferencijala i diferencijala nezavisne varijable.

Često ovakav stav tretira se jednostavno kao simbol koji označava derivaciju funkcije at argumentacijom X.

Zgodna notacija za derivat je također:

,
i tako dalje.

Koriste se i unosi

,
,

posebno zgodno kada se uzima derivat kompleksnog izraza.

2. Diferencijal zbira, proizvoda i količnika.

Budući da se diferencijal dobija iz derivacije množenjem diferencijalom nezavisne varijable, onda se, poznavajući izvode osnovnih elementarnih funkcija, kao i pravila za pronalaženje izvoda, može doći do sličnih pravila za nalaženje diferencijala.

1 0 . Diferencijal konstante je nula

2 0 . Diferencijal algebarskog zbira konačnog broja diferencijabilnih funkcija jednak je algebarskom zbiru diferencijala ovih funkcija

3 0 . Diferencijal proizvoda dviju diferencijabilnih funkcija jednak je zbiru proizvode prve funkcije diferencijalom druge i druge funkcije diferencijalom prve

Posljedica. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka diferencijala

Primjer. Pronađite diferencijal funkcije .

Rješenje Ovu funkciju zapisujemo u obliku

onda dobijamo

4. Parametarski zadane funkcije, njihova diferencijacija.

Definicija . Funkcija
naziva se parametarski dat ako su obje varijable X i at definirane su svaka zasebno kao jednovrijedne funkcije iste pomoćne varijable - parametrat:

gdjetvarira unutar
.

Komentar . Parametarsko dodeljivanje funkcija se široko koristi u teorijskoj mehanici, gde je parametar t označava vrijeme i jednačine
su zakoni promjene projekcija pokretne tačke
na osovini
i
.