Šta znači aritmetika? Može li se dogoditi da aritmetička sredina postane jednaka geometrijskoj sredini? Aritmetička sredina i njena svojstva

Najvažnija imovina prosjek je da odražava ono što je zajedničko svim jedinicama populacije koja se proučava. Vrijednosti karakteristika pojedinih jedinica stanovništva variraju pod utjecajem mnogih faktora, među kojima mogu biti i osnovni i slučajni. Suština prosjeka leži u činjenici da on međusobno kompenzuje odstupanja u vrijednostima atributa, koja su uzrokovana djelovanjem slučajnih faktora, te akumulira (uzima u obzir) promjene uzrokovane djelovanjem glavnih faktora. . Ovo omogućava da se odrazi prosjek tipičan nivo potpisuje i apstrahuje od individualne karakteristike, svojstveno pojedinačnim jedinicama.

Da bi prosjek bio zaista tipičan, mora se izračunati uzimajući u obzir određene principe.

Osnovni principi korištenja prosjeka.

1. Prosjek se mora odrediti za populacije koje se sastoje od kvalitativno homogenih jedinica.

2. Prosjek se mora izračunati za populaciju koja se sastoji od dovoljno veliki broj jedinice.

3. Prosjek treba izračunati za populaciju u stacionarnim uslovima (kada se uticajni faktori ne mijenjaju ili se ne mijenjaju značajno).

4. Prosjek treba izračunati uzimajući u obzir ekonomski sadržaj indikatora koji se proučava.

Proračun najspecifičnijih statistički indikatori na osnovu upotrebe:

· prosječan agregat;

· prosječna snaga (harmonična, geometrijska, aritmetička, kvadratna, kubna);

· prosječni hronološki (vidi odjeljak).

Svi prosjeci, sa izuzetkom zbirnog prosjeka, mogu se izračunati na dva načina - kao ponderisani ili neponderisani.

Prosječan agregat. Formula koja se koristi je:

Gdje w i= x i* f i;

x i- i-ta opcija karakteristika koja se usrednjuje;

f i, - težina i- ta opcija.

Srednja snaga. IN opšti pogled formula za obračun:

gdje je stepen k– tip srednje snage.

Vrijednosti prosjeka izračunatih na osnovu prosjeka snage za iste početne podatke nisu iste. Kako eksponent k raste, raste i odgovarajuća prosječna vrijednost:

Prosječan hronološki. Za trenutno vremenske serije With u jednakim intervalima između datuma, izračunato pomoću formule:

Gdje x 1 I Xn vrijednost indikatora na datum početka i završetka.

Formule za izračunavanje prosječnih snaga

Primjer. Prema tabeli. 2.1 zahteva izračunavanje prosečne plate za tri preduzeća u celini.

Tabela 2.1

Plate preduzeća AD

Kompanija	Broj industrijskih proizvodnjaosoblje (PPP), pers.	Mjesečni fond plate, rub.	Prosjek plata, rub.

		564840	2092
		332750	2750
		517540	2260
Ukupno		1415130

Specifično formula za izračunavanje zavisi koji su podaci u tabeli. 7 su originalni. Shodno tome, moguće su sljedeće opcije: podaci iz kolone 1 (broj zaposlenih) i 2 (mjesečni platni spisak); ili - 1 (broj PPP) i 3 (prosječna plata); ili 2 (mjesečna plata) i 3 (prosječna plata).

Ako su dostupni samo podaci iz kolone 1 i 2. Rezultati ovih kolona sadrže potrebne vrijednosti za izračunavanje željenog prosjeka. Koristi se prosječna zbirna formula:

Ako su dostupni samo podaci u kolonama 1 i 3, tada je imenilac originalnog omjera poznat, ali njegov brojnik nije poznat. Međutim, fond plata se može dobiti množenjem prosječne plate sa brojem nastavnog osoblja. Stoga se ukupni prosjek može izračunati korištenjem formule ponderisan aritmetički prosjek:

Mora se uzeti u obzir da je težina ( f i) V u nekim slučajevima može biti proizvod dvije ili čak tri vrijednosti.

Osim toga, prosjek se koristi i u statističkoj praksi. aritmetika neponderisana:

gdje je n obim populacije.

Ovaj prosjek se koristi kada su težine ( f i) su odsutni (svaka varijanta karakteristike se javlja samo jednom) ili su međusobno jednaki.

Ako postoje samo podaci iz kolona 2 i 3., tj. brojnik originalnog omjera je poznat, ali njegov nazivnik nije poznat. Broj zaposlenih u svakom preduzeću može se dobiti dijeljenjem platnog spiska sa prosječnom platom. Zatim se prosečna plata za tri preduzeća u celini izračunava korišćenjem formule ponderisana harmonijska sredina:

Ako su težine jednake ( f i) izračunavanje prosjeka može se izvršiti po harmonska sredina neponderisana:

U našem primjeru koji smo koristili različitih oblika prosečan, ali dobio sam isti odgovor. To je zbog činjenice da je za specifične podatke svaki put implementiran isti početni omjer prosjeka.

Prosječni indikatori se mogu izračunati korištenjem diskretnih i intervalnih serija varijacija. U ovom slučaju, proračun se vrši korištenjem ponderiranog aritmetičkog prosjeka. Za diskretne serije ovu formulu koristi se na isti način kao u gornjem primjeru. U nizu intervala za proračun se određuju sredine intervala.

Primjer. Prema tabeli. 2.2 određujemo visinu prosječnog mjesečnog novčanog dohotka po glavi stanovnika u uslovnom regionu.

Tabela 2.2

Početni podaci (serija varijacija)

Prosječni novčani prihod po glavi stanovnika mjesečno, x, rub.	Stanovništvo, % od ukupnog/
Do 400	30,2
400 — 600	24,4
600 — 800	16,7
800 — 1000	10,5
1000-1200	6,5
1200 — 1600	6,7
1600 — 2000	2,7
2000 i više	2,3
Ukupno	100

Najčešći tip prosjeka je aritmetička sredina.

Jednostavna aritmetička sredina

Prosta aritmetička sredina je prosječni pojam, pri određivanju kojeg se ukupni volumen date karakteristike u podacima jednako raspoređuje na sve jedinice uključene u ovaj set. Dakle, prosječna godišnja proizvodnja po zaposlenom je količina outputa koju bi proizveo svaki zaposleni kada bi cjelokupni obim outputa bio jednako raspoređen na sve zaposlene u organizaciji. Prosta aritmetička srednja vrijednost izračunava se pomoću formule:

Jednostavni aritmetički prosjek— Jednako omjeru sume individualne vrednosti karakteristika prema ukupnom broju karakteristika

Primjer 1 . Tim od 6 radnika prima 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 hiljada rubalja mjesečno.

Pronađite prosječnu platu
Rješenje: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 hiljade rubalja.

Ponderisan aritmetički prosjek

Ako je volumen skupa podataka velik i predstavlja seriju distribucije, tada se izračunava ponderirana aritmetička sredina. Ovako se utvrđuje ponderisana prosečna cena po jedinici proizvodnje: ukupni trošak proizvodnje (zbir proizvoda njegove količine sa cenom jedinice proizvodnje) se deli sa ukupnom količinom proizvodnje.

Zamislimo ovo u obliku sljedeće formule:

Ponderisani aritmetički prosjek— jednak omjeru (zbir proizvoda vrijednosti neke karakteristike i učestalosti ponavljanja ove karakteristike) prema (zbiru učestalosti svih karakteristika). Koristi se kada se javljaju varijante populacije koja se proučava nejednak broj puta.

Primjer 2 . Pronađite prosječnu mjesečnu platu radnika u radionici

Prosječna plata se može dobiti dijeljenjem ukupan iznos plate za ukupan broj radnici:

Odgovor: 3,35 hiljada rubalja.

Aritmetička sredina za intervalne serije

Prilikom izračunavanja aritmetičke sredine za niz intervalnih varijacija, prvo odredite srednju vrijednost za svaki interval kao polovinu zbroja gornje i donje granice, a zatim srednju vrijednost cijelog niza. U slučaju otvorenih intervala, vrijednost donjeg ili gornjeg intervala određena je veličinom intervala koji se nalaze uz njih.

Prosjeci izračunati iz intervalne serije su približne.

Primjer 3. Definiraj prosečne starosti večernji studenti.

Prosjeci izračunati iz intervalnih serija su približni. Stepen njihove aproksimacije zavisi od toga koliko se stvarna distribucija jedinica stanovništva unutar intervala približava ravnomernoj raspodeli.

Prilikom izračunavanja prosjeka, ne samo apsolutnih, već i relativne vrijednosti(učestalost):

Aritmetička sredina ima niz svojstava koja potpunije otkrivaju njenu suštinu i pojednostavljuju proračune:

1. Proizvod prosjeka zbirom frekvencija uvijek je jednak zbiru proizvoda varijante po frekvencijama, tj.

2.Srednji aritmetički zbir različite količine jednake su zbroju aritmetičkih prosjeka ovih veličina:

3. Algebarski zbir odstupanja pojedinačnih vrijednosti karakteristike od prosjeka jednak je nuli:

4. Zbir kvadrata odstupanja opcija od prosjeka manji je od zbira kvadrata odstupanja od bilo koje druge proizvoljne vrijednosti, tj.

Gubi se u izračunavanju prosjeka.

Prosjek značenje skup brojeva jednak je zbroju brojeva S podijeljenim brojem ovih brojeva. Odnosno, ispada da prosjek značenje jednako: 19/4 = 4,75.

Bilješka

Ako trebate pronaći geometrijsku sredinu za samo dva broja, onda vam nije potreban inženjerski kalkulator: uzmite drugi korijen ( Kvadratni korijen) iz bilo kojeg broja može se uraditi najobičnijim kalkulatorom.

Koristan savjet

Za razliku od aritmetičke sredine, na geometrijsku sredinu ne utiču toliko velika odstupanja i fluktuacije između odvojene vrijednosti u proučavanom skupu indikatora.

Izvori:

Online kalkulator koji izračunava geometrijsku sredinu
prosjek geometrijska formula

Prosjek vrijednost je jedna od karakteristika skupa brojeva. Predstavlja broj koji ne može biti izvan raspona određenog najvećim i najniže vrijednosti u ovom skupu brojeva. Prosjek aritmetička vrijednost- najčešće korištena vrsta medija.

Instrukcije

Saberite sve brojeve u skupu i podijelite ih brojem članova da dobijete aritmetičku sredinu. Ovisno o specifičnim uvjetima izračunavanja, ponekad je lakše podijeliti svaki od brojeva brojem vrijednosti u skupu i zbrojiti rezultat.

Koristite, na primjer, uključen u Windows OS ako nije moguće izračunati aritmetički prosjek u vašoj glavi. Možete ga otvoriti pomoću dijaloga za pokretanje programa. Da biste to uradili, pritisnite prečice WIN + R ili kliknite na dugme Start i izaberite naredbu Pokreni iz glavnog menija. Zatim unesite calc u polje za unos i pritisnite Enter ili kliknite na dugme OK. Isto se može učiniti kroz glavni meni - otvorite ga, idite na odjeljak "Svi programi" i u odjeljku "Standard" i odaberite liniju "Kalkulator".

Unesite redom sve brojeve u skupu pritiskom na tipku plus nakon svakog od njih (osim posljednjeg) ili klikom na odgovarajuće dugme u interfejsu kalkulatora. Takođe možete unositi brojeve sa tastature ili klikom na odgovarajuću dugmad interfejsa.

Pritisnite taster kose crte ili kliknite na ovo u interfejsu kalkulatora nakon unosa posljednja vrijednost postavlja i ispisuje broj brojeva u nizu. Zatim pritisnite znak jednakosti i kalkulator će izračunati i prikazati aritmetičku sredinu.

Za istu svrhu možete koristiti uređivač tablica. Microsoft Excel. U tom slučaju pokrenite uređivač i unesite sve vrijednosti niza brojeva u susjedne ćelije. Ako nakon unosa svakog broja pritisnete Enter ili tipku sa strelicom nadole ili udesno, sam uređivač će pomeriti fokus unosa na susednu ćeliju.

Kliknite na ćeliju pored posljednjeg unesenog broja ako ne želite da vidite samo prosjek. Proširite padajući meni Grčka sigma (Σ) za komande Uredi na kartici Početak. Odaberite liniju " Prosjek" i urednik će umetnuti traženu formulu za izračunavanje aritmetičke sredine u odabranoj ćeliji. Pritisnite tipku Enter i vrijednost će biti izračunata.

Aritmetička sredina je jedna od mjera centralne tendencije, koja se široko koristi u matematici i statističkim proračunima. Pronalaženje aritmetičkog prosjeka za nekoliko vrijednosti je vrlo jednostavno, ali svaki zadatak ima svoje nijanse, koje je jednostavno potrebno znati kako biste izvršili ispravne proračune.

Šta je aritmetička sredina

Aritmetička sredina određuje prosječnu vrijednost za cijeli originalni niz brojeva. Drugim riječima, iz određenog skupa brojeva bira se vrijednost zajednička svim elementima, čije je matematičko poređenje sa svim elementima približno jednako. Aritmetički prosjek se prvenstveno koristi u pripremi finansijskih i statističkih izvještaja ili za izračunavanje rezultata sličnih eksperimenata.

Kako pronaći aritmetičku sredinu

Pronalaženje prosjeka aritmetički broj za niz brojeva, trebali biste početi određivanjem algebarskog zbira ovih vrijednosti. Na primjer, ako niz sadrži brojeve 23, 43, 10, 74 i 34, tada će njihov algebarski zbir biti jednak 184. Prilikom pisanja, aritmetička sredina se označava slovom μ (mu) ili x (x sa a bar). Dalje algebarski zbir treba podijeliti sa brojem brojeva u nizu. U primjeru koji se razmatra bilo je pet brojeva, tako da će aritmetička sredina biti jednaka 184/5 i biće 36,8.

Značajke rada s negativnim brojevima

Ako niz sadrži negativni brojevi, tada se aritmetička sredina nalazi korištenjem sličnog algoritma. Razlika postoji samo kada se računa u programskom okruženju ili ako problem ima dodatne uslove. U ovim slučajevima, pronalaženje aritmetičke sredine brojeva sa različiti znakovi svodi se na tri koraka:

1. Pronalaženje opšte aritmetičke sredine standardnom metodom;
2. Pronalaženje aritmetičke sredine negativnih brojeva.
3. Izračunavanje aritmetičke sredine pozitivnih brojeva.

Odgovori za svaku radnju su napisani odvojeni zarezima.

Prirodni i decimalni razlomci

Ako je prikazan niz brojeva decimale, rješenje se provodi metodom izračunavanja aritmetičke sredine cijelih brojeva, ali se rezultat umanjuje prema zahtjevima zadatka za tačnost odgovora.

Kada radite sa prirodne frakcije treba ih dovesti zajednički imenilac, koji se množi sa brojem brojeva u nizu. Brojač odgovora će biti zbir zadatih brojnika originalnih razlomaka.

Inženjerski kalkulator.

Instrukcije

Imajte na umu da u opšti slučaj prosjek geometrijski brojevi nalazi se množenjem ovih brojeva i uzimanjem iz njih korijena stepena koji odgovara broju brojeva. Na primjer, ako trebate pronaći geometrijsku sredinu pet brojeva, tada ćete morati izvući korijen stepena iz proizvoda.

Da biste pronašli geometrijsku sredinu dva broja, koristite osnovno pravilo. Pronađite njihov proizvod, a zatim uzmite kvadratni korijen, jer je broj dva, što odgovara potenciji korijena. Na primjer, da biste pronašli geometrijsku sredinu brojeva 16 i 4, pronađite njihov proizvod 16 4=64. Iz rezultirajućeg broja izvucite kvadratni korijen √64=8. Ovo će biti željena vrijednost. Imajte na umu da je aritmetička sredina ova dva broja veća i jednaka 10. Ako se cijeli korijen ne izvuče, zaokružite rezultat na traženi nalog.

Da biste pronašli geometrijsku sredinu više od dva broja, koristite i osnovno pravilo. Da biste to učinili, pronađite proizvod svih brojeva za koje trebate pronaći geometrijsku sredinu. Iz dobivenog proizvoda izdvojite korijen stepena jednak broju brojeva. Na primjer, da biste pronašli geometrijsku sredinu brojeva 2, 4 i 64, pronađite njihov proizvod. 2 4 64=512. Budući da trebate pronaći rezultat geometrijske sredine tri broja, uzmite treći korijen iz proizvoda. Teško je to učiniti usmeno, pa koristite inženjerski kalkulator. U tu svrhu ima dugme "x^y". Birajte broj 512, pritisnite dugme "x^y", zatim birajte broj 3 i pritisnite dugme "1/x", da biste pronašli vrednost 1/3, pritisnite dugme "=". Dobijamo rezultat podizanja 512 na stepen 1/3, što odgovara trećem korijenu. Dobijte 512^1/3=8. Ovo je geometrijska sredina brojeva 2,4 i 64.

Korišćenjem inženjerski kalkulator Geometrijsku sredinu možete pronaći na drugi način. Pronađite dugme za prijavu na tastaturi. Nakon toga uzmite logaritam za svaki od brojeva, pronađite njihov zbir i podijelite ga sa brojem brojeva. Uzmi antilogaritam od rezultirajućeg broja. Ovo će biti geometrijska sredina brojeva. Na primjer, da biste pronašli geometrijsku sredinu istih brojeva 2, 4 i 64, izvršite skup operacija na kalkulatoru. Birajte broj 2, zatim pritisnite dugme dnevnika, pritisnite dugme "+", birajte broj 4 i ponovo pritisnite log i "+", birajte 64, pritisnite logo i "=". Rezultat će biti broj jednak zbiru decimalni logaritmi brojevi 2, 4 i 64. Dobijeni broj podijelite sa 3, jer je to broj brojeva za koje se traži geometrijska sredina. Iz rezultata uzmite antilogaritam prebacivanjem tipke za slučaj i koristite isti log ključ. Rezultat će biti broj 8, ovo je željena geometrijska sredina.

U matematici, aritmetička sredina brojeva (ili jednostavno prosjek) je zbir svih brojeva u ovaj set, podijeljeno njihovim brojem. Ovo je najopštiji i najrašireniji koncept prosječne veličine. Kao što ste već shvatili, da biste pronašli, morate zbrojiti sve brojeve koji su vam dati, a rezultat podijeliti s brojem pojmova.

Šta je aritmetička sredina?

Pogledajmo primjer.

Primjer 1. Dati brojevi: 6, 7, 11. Potrebno je pronaći njihovu prosječnu vrijednost.

Rješenje.

Prvo, pronađimo zbir svih ovih brojeva.

Sada podijelite rezultirajuću sumu sa brojem članova. Pošto imamo tri člana, podelićemo sa tri.

Dakle, prosek brojeva 6, 7 i 11 je 8. Zašto 8? Da, jer će zbir 6, 7 i 11 biti isti kao tri osmice. To se jasno vidi na ilustraciji.

Prosjek je pomalo poput „izjednačavanja“ niza brojeva. Kao što vidite, hrpe olovaka su postale iste razine.

Pogledajmo još jedan primjer kako bismo konsolidirali stečeno znanje.

Primjer 2. Zadati brojevi: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Potrebno je pronaći njihovu aritmetičku sredinu.

Rješenje.

Pronađite iznos.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Podijelite s brojem pojmova (u ovom slučaju - 15).

Stoga je prosječna vrijednost ove serije brojeva 22.

Pogledajmo sada negativne brojeve. Prisjetimo se kako ih sažeti. Na primjer, imate dva broja 1 i -4. Nađimo njihov zbir.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Znajući ovo, pogledajmo još jedan primjer.

Primjer 3. Pronađite prosječnu vrijednost niza brojeva: 3, -7, 5, 13, -2.

Rješenje.

Pronađite zbir brojeva.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Pošto postoji 5 članova, rezultujući zbir podijelite sa 5.

Dakle, aritmetička sredina brojeva 3, -7, 5, 13, -2 je 2,4.

U našem vremenu tehnološkog napretka, mnogo je zgodnije koristiti za pronalaženje prosječne vrijednosti kompjuterski programi. microsoft office Excel je jedan od njih. Pronalaženje prosjeka u Excelu je brzo i jednostavno. Štaviše, ovaj program je uključen u softverski paket Microsoft Office. Hajde da razmotrimo kratka uputstva, vrijednost pomoću ovog programa.

Da biste izračunali prosječnu vrijednost niza brojeva, morate koristiti funkciju AVERAGE. Sintaksa za ovu funkciju je:
= Prosjek(argument1, argument2, ... argument255)
gdje su argument1, argument2, ... argument255 ili brojevi ili reference na ćelije (ćelije se odnose na opsege i nizove).

Da bude jasnije, isprobajmo stečeno znanje.

Unesite brojeve 11, 12, 13, 14, 15, 16 u ćelije C1 - C6.
Odaberite ćeliju C7 klikom na nju. U ovoj ćeliji ćemo prikazati prosječnu vrijednost.
Kliknite na karticu Formule.
Odaberite Više funkcija > Statistički za otvaranje
Odaberite PROSJEČNO. Nakon toga bi se trebao otvoriti dijaloški okvir.
Odaberite i povucite ćelije C1-C6 tamo da biste postavili raspon u dijaloškom okviru.
Potvrdite svoje radnje tipkom "OK".
Ako ste sve uradili ispravno, trebalo bi da imate odgovor u ćeliji C7 - 13.7. Kada kliknete na ćeliju C7, funkcija (=Prosjek(C1:C6)) će se pojaviti u traci formule.

Ova funkcija je vrlo korisna za računovodstvo, fakture ili kada jednostavno trebate pronaći prosjek veoma dugačke serije brojeva. Stoga se često koristi u uredima i velikim kompanijama. Ovo vam omogućava da svoju evidenciju vodite u redu i omogućava brzo izračunavanje nečega (na primjer, prosječna mjesečna primanja). Takođe sa koristeći Excel možete pronaći prosječnu vrijednost funkcije.