Opća definicija derivata. Derivat zbira i razlike

Derivat funkcije jedna je od najtežih tema u školskom programu. Neće svaki diplomac odgovoriti na pitanje šta je derivat.

Ovaj članak jednostavno i jasno objašnjava što je derivat i zašto je potreban.. Nećemo sada težiti matematičkoj strogosti prezentacije. Najvažnije je razumjeti značenje.

Prisjetimo se definicije:

Izvod je brzina promjene funkcije.

Na slici su prikazani grafikoni tri funkcije. Šta mislite koji najbrže raste?

Odgovor je očigledan - treći. Ima najveću stopu promjene, odnosno najveći derivat.

Evo još jednog primjera.

Kostya, Grisha i Matvey su dobili posao u isto vrijeme. Pogledajmo kako su se njihova primanja promijenila tokom godine:

Možete odmah vidjeti sve na grafikonu, zar ne? Kostjina primanja su se više nego udvostručila za šest meseci. I Grišini prihodi su također porasli, ali samo malo. A Matthewov prihod se smanjio na nulu. Početni uslovi su isti, ali brzina promjene funkcije, tj. derivat, - drugačije. Što se tiče Matveya, derivat njegovog prihoda je općenito negativan.

Intuitivno možemo lako procijeniti brzinu promjene funkcije. Ali kako da to uradimo?

Ono što zaista gledamo je koliko strmo graf funkcije ide gore (ili dolje). Drugim riječima, koliko se brzo y mijenja sa x. Očigledno, ista funkcija u različitim tačkama može imati različitu vrijednost derivacije – to jest, može se mijenjati brže ili sporije.

Derivat funkcije se označava sa .

Hajde da pokažemo kako pronaći koristeći graf.

Crta se graf neke funkcije. Uzmite tačku na njoj sa apscisom. Nacrtajte tangentu na graf funkcije u ovoj tački. Želimo procijeniti koliko strmo grafik funkcije ide gore. Zgodna vrijednost za ovo je tangenta nagiba tangente.

Derivat funkcije u tački jednak je tangenti nagiba tangente povučene na graf funkcije u toj tački.

Imajte na umu - kao ugao nagiba tangente uzimamo ugao između tangente i pozitivnog smera ose.

Ponekad učenici pitaju koja je tangenta na graf funkcije. Ovo je prava linija koja ima jedinu zajedničku tačku sa grafikom u ovom odeljku, štaviše, kao što je prikazano na našoj slici. Izgleda kao tangenta na kružnicu.

Hajde da nađemo. Sjećamo se da je tangenta oštrog ugla u pravokutnom trokutu jednaka omjeru suprotne katete i susjedne. Iz trougla:

Izvod smo pronašli koristeći graf, a da nismo ni znali formulu funkcije. Ovakvi zadaci se često nalaze na ispitu iz matematike pod brojem.

Postoji još jedna važna korelacija. Podsjetimo da je ravna linija data jednadžbom

Količina u ovoj jednačini se zove nagib prave linije. Jednaka je tangenti ugla nagiba prave linije prema osi.

.

Shvatili smo to

Prisjetimo se ove formule. Izražava geometrijsko značenje izvedenice.

Derivat funkcije u tački jednak je nagibu tangente povučene na graf funkcije u toj tački.

Drugim riječima, derivacija je jednaka tangenti nagiba tangente.

Već smo rekli da ista funkcija može imati različite izvode u različitim tačkama. Pogledajmo kako je derivacija povezana s ponašanjem funkcije.

Nacrtajmo graf neke funkcije. Neka se ova funkcija povećava u nekim područjima, a smanjuje u drugim, i to različitim brzinama. I neka ova funkcija ima maksimum i minimum bodova.

U jednom trenutku, funkcija se povećava. Tangenta na graf, nacrtana u tački, formira oštar ugao; sa pozitivnim smjerom ose. Dakle, izvod je pozitivan u tački.

U ovom trenutku, naša funkcija se smanjuje. Tangenta u ovoj tački formira tupi ugao; sa pozitivnim smjerom ose. Pošto je tangenta tupog ugla negativna, derivacija u tački je negativna.

Evo šta se dešava:

Ako je funkcija rastuća, njen izvod je pozitivan.

Ako se smanjuje, njegov izvod je negativan.

A šta će se dogoditi na maksimalnim i minimalnim tačkama? Vidimo da je u (maksimalna tačka) i (tačka minimuma) tangenta horizontalna. Prema tome, tangenta nagiba tangente u ovim tačkama je nula, a derivacija je takođe nula.

Tačka je maksimalna tačka. U ovom trenutku povećanje funkcije zamjenjuje se smanjenjem. Posljedično, predznak derivacije se mijenja u tački sa "plus" na "minus".

U tački - minimalnoj tački - derivacija je također jednaka nuli, ali joj se predznak mijenja sa "minus" na "plus".

Zaključak: uz pomoć izvoda možete saznati sve što nas zanima o ponašanju funkcije.

Ako je izvod pozitivan, tada se funkcija povećava.

Ako je izvod negativan, onda je funkcija opadajuća.

U tački maksimuma derivacija je nula i mijenja predznak sa plusa na minus.

U minimalnoj tački, derivacija je također nula i mijenja predznak sa minusa na plus.

Ove nalaze zapisujemo u obliku tabele:

	povećava	maksimalni poen	opadajući	minimalna tačka	povećava
+	0	-	0	+

Hajde da napravimo dva mala pojašnjenja. Jedan od njih će vam trebati prilikom rješavanja problema. Drugi - na prvoj godini, sa ozbiljnijim proučavanjem funkcija i derivata.

Moguć je slučaj kada je derivacija funkcije u nekoj tački jednaka nuli, ali funkcija nema ni maksimum ni minimum u ovoj tački. Ova tzv :

U tački, tangenta na graf je horizontalna, a derivacija je nula. Međutim, prije točke funkcija se povećala - a nakon točke nastavlja rasti. Predznak derivacije se ne mijenja – ostao je pozitivan kakav je bio.

Takođe se dešava da u tački maksimuma ili minimuma izvod ne postoji. Na grafikonu to odgovara oštrom prekidu, kada je nemoguće nacrtati tangentu u datoj tački.

Ali kako pronaći izvod ako funkcija nije data grafom, već formulom? U ovom slučaju se primjenjuje

Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.

Kao rezultat rješavanja problema nalaženja izvoda najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i precizno definiranih pravila diferencijacije. . Isaac Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) bili su prvi koji su radili na polju pronalaženja derivata.

Stoga, u naše vrijeme, da bismo pronašli derivaciju bilo koje funkcije, nije potrebno izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već je potrebno samo koristiti tablicu izvedenica i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je pogodan za pronalaženje izvoda.

Da nađemo derivat, potreban vam je izraz ispod znaka poteza razbiti jednostavne funkcije i odredite koje akcije (proizvod, zbir, količnik) ove funkcije su povezane. Dalje, izvode elementarnih funkcija nalazimo u tabeli izvoda, a formule za izvode proizvoda, sume i količnika - u pravilima diferencijacije. Tablica derivacija i pravila diferencijacije date su nakon prva dva primjera.

Primjer 1 Pronađite izvod funkcije

Odluka. Iz pravila diferencijacije saznajemo da je derivacija zbira funkcija zbir izvoda funkcija, tj.

Iz tabele derivacija saznajemo da je izvod "X" jednak jedan, a izvod sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbir derivacija i nalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2 Pronađite izvod funkcije

Odluka. Diferencirati kao derivaciju sume, u kojoj je drugi član sa konstantnim faktorom, može se izvaditi iz predznaka izvoda:

Ako i dalje postoje pitanja odakle nešto dolazi, ona, po pravilu, postaju jasna nakon čitanja tablice izvedenica i najjednostavnijih pravila diferencijacije. Idemo do njih upravo sada.

Tablica izvoda jednostavnih funkcija

1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek nula. Ovo je veoma važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno
2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "x". Uvek jednak jedan. Ovo je takođe važno zapamtiti
3. Derivat stepena. Kada rješavate probleme, morate pretvoriti nekvadratne korijene u stepen.
4. Derivat varijable na stepen -1
5. Derivat kvadratnog korijena
6. Sinusni derivat
7. Kosinusni derivat
8. Tangentni izvod
9. Derivat kotangensa
10. Derivat arcsinusa
11. Derivat arc kosinusa
12. Derivat arc tangente
13. Derivat inverzne tangente
14. Derivat prirodnog logaritma
15. Derivat logaritamske funkcije
16. Derivat eksponenta
17. Derivat eksponencijalne funkcije

Pravila diferencijacije

1. Derivat zbira ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom
3. Derivat količnika
4. Derivat kompleksne funkcije

Pravilo 1Ako funkcije

su diferencibilne u nekoj tački , a zatim u istoj točki funkcije

i

one. izvod algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencibilne funkcije razlikuju za konstantu, onda su njihovi derivati, tj.

Pravilo 2Ako funkcije

su diferencibilni u nekoj tački , onda je njihov proizvod također diferencibilan u istoj točki

i

one. derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbiru proizvoda svake od ovih funkcija i izvoda druge.

Posljedica 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:

Posljedica 2. Derivat proizvoda nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbiru proizvoda izvoda svakog od faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3Ako funkcije

diferenciran u nekom trenutku i , onda je u ovom trenutku njihov količnik također diferenciran.u/v , i

one. izvod količnika dviju funkcija jednak je razlomku čiji je brojilac razlika umnožaka nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a nazivnik je kvadrat prethodnog brojioca .

Gdje pogledati na drugim stranicama

Prilikom pronalaženja izvoda proizvoda i količnika u realnim problemima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, pa više primjera o ovim izvodnicama ima u članku."Derivat proizvoda i količnika".

Komentar. Ne treba brkati konstantu (tj. broj) kao pojam u zbiru i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana, njegova derivacija je jednaka nuli, a u slučaju konstantnog faktora vađena je iz predznaka izvoda. Ovo je tipična greška koja se javlja u početnoj fazi proučavanja izvedenica, ali kako prosječan student riješi nekoliko jedno-dvokomponentnih primjera, ova greška više ne pravi.

I ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, pri čemu u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i stoga će cijeli član biti jednak nuli (takav slučaj je analiziran u primjeru 10) .

Druga uobičajena greška je mehaničko rješenje derivacije složene funkcije kao derivacije jednostavne funkcije. Dakle derivat kompleksne funkcije posvećeno posebnom članku. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnike za novi Windows Akcije sa moćima i korijenima i Radnje sa razlomcima .

Ako tražite rješenja za derivate s potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda , zatim slijedi lekcija "Izvod zbira razlomaka sa stepenom i korijenima".

Ako imate zadatak kao , onda ste u lekciji "Izvodi jednostavnih trigonometrijskih funkcija".

Korak po korak primjeri - kako pronaći derivat

Primjer 3 Pronađite izvod funkcije

Odluka. Određujemo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja proizvod, a njegovi činioci su zbrojevi, u drugom od kojih jedan od članova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i derivacije druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbira: derivacija algebarskog zbira funkcija jednaka je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbroju, drugi član sa predznakom minus. U svakom zbroju vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "x" se pretvara u jedan, a minus 5 - u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi sa 2, tako da množimo dva sa istom jedinicom kao izvod "x". Dobijamo sljedeće vrijednosti derivata:

Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbir proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

Primjer 4 Pronađite izvod funkcije

Odluka. Od nas se traži da pronađemo izvod količnika. Primjenjujemo formulu za razlikovanje količnika: derivacija količnika dvije funkcije jednaka je razlomku čiji je brojilac razlika između umnožaka nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a imenilac je kvadrat prethodnog brojnika. Dobijamo:

Već smo pronašli derivaciju faktora u brojiocu u primjeru 2. Ne zaboravimo i da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru, uzet sa predznakom minus:

Ako tražite rješenja za takve probleme u kojima morate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i stupnjeva, kao što je npr. onda dobrodosli na cas "Izvod zbira razlomaka sa potencijama i korijenima" .

Ako trebate saznati više o izvodima sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijskih funkcija, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda imate lekciju "Derivati ​​jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5 Pronađite izvod funkcije

Odluka. U ovoj funkciji vidimo proizvod čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, sa čijom smo derivacijom upoznali u tabeli derivacija. Prema pravilu diferencijacije proizvoda i tabelarnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobivamo:

Primjer 6 Pronađite izvod funkcije

Odluka. U ovoj funkciji vidimo kvocijent čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Prema pravilu diferencijacije količnika, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobijamo:

Da biste se riješili razlomka u brojiocu, pomnožite brojilac i imenilac sa .

Apsolutno je nemoguće riješiti fizičke probleme ili primjere iz matematike bez znanja o derivatu i metodama za njegovo izračunavanje. Izvod je jedan od najvažnijih koncepata matematičke analize. Odlučili smo posvetiti današnji članak ovoj temeljnoj temi. Šta je derivacija, koje je njeno fizičko i geometrijsko značenje, kako izračunati izvod funkcije? Sva ova pitanja mogu se spojiti u jedno: kako razumjeti derivat?

Geometrijsko i fizičko značenje izvedenice

Neka postoji funkcija f(x) , dato u nekom intervalu (a,b) . Točke x i x0 pripadaju ovom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika njegovih vrijednosti x-x0 . Ova razlika je zapisana kao delta x i naziva se povećanje argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija izvedenice:

Derivat funkcije u tački je granica omjera prirasta funkcije u datoj tački i priraštaja argumenta kada potonji teži nuli.

Inače se može napisati ovako:

Koja je svrha u pronalaženju takve granice? ali koji:

derivacija funkcije u tački jednaka je tangenti ugla između ose OX i tangente na graf funkcije u datoj tački.

Fizičko značenje izvedenice: vremenski izvod puta jednak je brzini pravolinijskog kretanja.

Zaista, još od školskih dana svi znaju da je brzina privatan put. x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina u određenom vremenskom periodu:

Da biste saznali brzinu kretanja u datom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: izbacite konstantu

Konstanta se može izvaditi iz predznaka derivacije. Štaviše, to se mora uraditi. Prilikom rješavanja primjera iz matematike uzmite po pravilu - ako možete pojednostaviti izraz, budite sigurni da ste ga pojednostavili .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbira funkcija

Derivat zbira dviju funkcija jednak je zbroju izvoda ovih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo dati dokaz ove teoreme, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite derivaciju funkcije:

Treće pravilo: derivacija proizvoda funkcija

Derivat proizvoda dvije diferencijabilne funkcije izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite derivaciju funkcije:

Odluka:

Ovdje je važno reći o izračunavanju izvoda složenih funkcija. Derivat kompleksne funkcije jednak je umnošku derivacije ove funkcije u odnosu na međuargument na derivaciju srednjeg argumenta u odnosu na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru nailazimo na izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na peti stepen. Da bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo razmatramo derivaciju eksterne funkcije u odnosu na međuargument, a zatim množimo derivacijom samog međuargumena u odnosu na nezavisnu varijablu.

Četvrto pravilo: Derivat količnika dvije funkcije

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dvije funkcije:

Pokušali smo razgovarati o derivatima za lutke od nule. Ova tema nije tako jednostavna kao što zvuči, pa budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.

Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam da riješite najtežu kontrolu i da se nosite sa zadacima, čak i ako se nikada prije niste bavili proračunom izvedenica.

Sastavite omjer i izračunajte granicu.

Gdje je tabela derivata i pravila diferencijacije? Zahvaljujući jednom ograničenju. Čini se kao magija, ali u stvarnosti - spretnost ruku i bez prevare. Na lekciji Šta je derivat? Počeo sam razmatrati konkretne primjere, gdje sam, koristeći definiciju, pronašao izvode linearne i kvadratne funkcije. U svrhu kognitivnog zagrijavanja nastavit ćemo ometati tabela derivata, usavršavanje algoritma i tehničkih rješenja:

Primjer 1

Zapravo, potrebno je dokazati poseban slučaj izvoda funkcije stepena, koji se obično pojavljuje u tabeli: .

Odluka tehnički formalizovan na dva načina. Počnimo s prvim, već poznatim pristupom: ljestve počinju daskom, a derivirajuća funkcija počinje derivacijom u tački.

Razmislite neki(specifična) tačka kojoj pripada domene funkcija koja ima izvod. Postavite inkrement u ovom trenutku (naravno, ne daljeo/o -ja) i sastavite odgovarajući prirast funkcije:

Izračunajmo granicu:

Neizvesnost 0:0 eliminiše se standardnom tehnikom koja se razmatra još u prvom veku pre nove ere. Pomnožite brojilac i imenilac sa spojnim izrazom :

Tehnika rješavanja takve granice detaljno je obrađena u uvodnoj lekciji. o granicama funkcija.

Budući da se BILO KOJA točka intervala može odabrati kao, onda, zamjenom , dobivamo:

Odgovori

Još jednom, radujemo se logaritmima:

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije koristeći definiciju izvoda

Odluka: razmotrimo drugačiji pristup promociji istog zadatka. Potpuno je isti, ali racionalniji u smislu dizajna. Ideja je da se riješite indeksa na početku rješenja i koristite slovo umjesto slova .

Razmislite proizvoljno tačka kojoj pripada domene funkciju (interval ) i postavite inkrement u njoj. I ovdje, usput, kao iu većini slučajeva, možete bez ikakvih rezervi, jer je logaritamska funkcija diferencibilna u bilo kojoj točki u domeni definicije.

Tada je odgovarajući prirast funkcije:

Nađimo derivat:

Lakoća dizajna je uravnotežena konfuzijom koju početnici (i ne samo) mogu iskusiti. Uostalom, navikli smo na činjenicu da se slovo "X" mijenja u granici! Ali ovdje je sve drugačije: - starinska statua, i - živi posjetitelj, koji žustro hoda hodnikom muzeja. To jest, "x" je "kao konstanta".

Komentar ću eliminaciju neizvjesnosti korak po korak:

(1) Koristimo svojstvo logaritma .

(2) U zagradama dijelimo brojilac sa nazivnikom član po član.

(3) U nazivniku umjetno množimo i dijelimo sa "x" da bismo koristili divna granica , dok kao beskonačno mali izdvaja.

Odgovori: po definiciji derivata:

Ili ukratko:

Predlažem da samostalno konstruišem još dvije tabelarne formule:

Primjer 3

U ovom slučaju, kompajlirani inkrement je odmah zgodno svesti na zajednički nazivnik. Okvirni uzorak zadatka na kraju lekcije (prva metoda).

Primjer 3:Odluka : razmotriti neku tačku , koji pripada opsegu funkcije . Postavite inkrement u ovom trenutku i sastavite odgovarajući prirast funkcije:

Nađimo derivaciju u tački :

Pošto kao možete izabrati bilo koju tačku opseg funkcije , onda i
Odgovori : po definiciji derivata

Primjer 4

Pronađite izvod po definiciji

I ovdje se sve mora svesti na divna granica. Rješenje je uokvireno na drugi način.

Slično, niz drugih tabelarne izvedenice. Potpunu listu možete pronaći u školskom udžbeniku, ili, na primjer, u prvom tomu Fihtenholca. Ne vidim puno smisla u prepisivanju iz knjiga i dokaza o pravilima diferencijacije - i ona su generirana formulom.

Primjer 4:Odluka , u vlasništvu , i postavite povećanje u njemu

Nađimo derivat:

Iskoristite divnu granicu

Odgovori : a-priorat

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije koristeći definiciju derivacije

Odluka: Koristite prvi vizuelni stil. Hajde da razmotrimo neku tačku koja pripada , postavimo inkrement argumenta u njoj. Tada je odgovarajući prirast funkcije:

Možda neki čitaoci još uvijek nisu u potpunosti razumjeli princip po kojem bi trebalo napraviti povećanje. Uzimamo tačku (broj) i u njoj nalazimo vrijednost funkcije: , odnosno u funkciju umjesto"x" treba zamijeniti. Sada također uzimamo vrlo specifičan broj i također ga zamjenjujemo u funkciju umjesto"x": . Zapisujemo razliku, dok je to neophodno u potpunosti staviti u zagrade.

Povećanje sastavljene funkcije korisno je odmah pojednostaviti. Zašto? Olakšati i skratiti rješenje daljnje granice.

Koristimo formule, otvaramo zagrade i smanjujemo sve što se može smanjiti:

Ćuretina je iznutricana, nema problema sa pečenjem:

Pošto se za kvalitet može izabrati bilo koji realan broj, izvršimo zamjenu i dobijemo .

Odgovori: a-priorat.

U svrhu provjere, nalazimo derivat koristeći pravila diferencijacije i tabele:

Uvijek je korisno i ugodno znati tačan odgovor unaprijed, pa je bolje mentalno ili na nacrtu diferencirati predloženu funkciju na „brzi“ način na samom početku rješenja.

Primjer 6

Naći izvod funkcije po definiciji izvoda

Ovo je "uradi sam" primjer. Rezultat leži na površini:

Primjer 6:Odluka : razmotriti neku tačku , u vlasništvu , i postavite inkrement argumenta u njemu . Tada je odgovarajući prirast funkcije:


Izračunajmo derivaciju:


ovako:
Jer kao bilo koji realan broj se može izabrati i
Odgovori : a-priorat.

Vratimo se stilu #2:

Primjer 7

Hajde da odmah saznamo šta bi trebalo da se desi. By pravilo diferencijacije složene funkcije:

Odluka: razmotrite proizvoljnu tačku koja pripada , postavite inkrement argumenta u njoj i sastavite inkrement funkcije:

Nađimo derivat:


(1) Upotreba trigonometrijska formula .

(2) Ispod sinusa otvaramo zagrade, ispod kosinusa dajemo slične pojmove.

(3) Pod sinusom reduciramo članove, pod kosinusom dijelimo brojilac sa nazivnikom član po član.

(4) Zbog neparnosti sinusa izbacujemo “minus”. Pod kosinusom označavamo da je termin .

(5) Vještački množimo imenilac da ga koristimo prva divna granica. Tako je neizvjesnost eliminirana, češljamo rezultat.

Odgovori: a-priory

Kao što vidite, glavna poteškoća problema koji se razmatra leži u složenosti samog ograničenja + blagoj originalnosti pakiranja. U praksi se susreću oba načina projektovanja, pa oba pristupa opisujem što je moguće detaljnije. One su ekvivalentne, ali je ipak, po mom subjektivnom utisku, svrsishodnije da se lutke drže 1. opcije sa “X nula”.

Primjer 8

Koristeći definiciju, pronađite izvod funkcije

Primjer 8:Odluka : uzeti u obzir proizvoljnu tačku , u vlasništvu , postavimo inkrement u njemu i napravi povećanje funkcije:

Nađimo derivat:

Koristimo trigonometrijsku formulu i prva izuzetna granica:


Odgovori : a-priorat

Analizirajmo rijeđu verziju problema:

Primjer 9

Nađite izvod funkcije u tački koristeći definiciju izvoda.

Prvo, šta bi trebalo da bude suština? Broj

Izračunajmo odgovor na standardni način:

Odluka: sa stanovišta jasnoće, ovaj zadatak je mnogo jednostavniji, jer formula umjesto toga uzima u obzir određenu vrijednost.

Postavljamo inkrement u tački i sastavljamo odgovarajući prirast funkcije:

Izračunaj derivaciju u tački:

Koristimo vrlo rijetku formulu za razliku tangenta i još jednom reducirati rješenje na prva divna granica:

Odgovori: po definiciji derivacije u tački.

Zadatak nije tako težak za rješavanje i "općenito" - dovoljno ga je zamijeniti ili jednostavno, ovisno o metodi dizajna. U ovom slučaju, naravno, ne dobijate broj, već funkciju derivacije.

Primjer 10

Koristeći definiciju, pronađite izvod funkcije u tački (od kojih se jedna može ispostaviti da je beskonačna), o kojoj sam već govorio uopšteno teorijska lekcija o izvodu.

Neke funkcije zadane po komadima su također diferencibilne na “spojnim” točkama grafa, na primjer, mačka-pas ima zajedničku derivaciju i zajedničku tangentu (os apscise) u tački . Krivulja, da se može razlikovati po ! Oni koji to žele mogu se uvjeriti u to na modelu upravo riješenog primjera.

©2015-2019 stranica
Sva prava pripadaju njihovim autorima. Ova stranica ne tvrdi autorstvo, ali omogućava besplatno korištenje.
Datum kreiranja stranice: 11.06.2017

U zadatku B9 dat je graf funkcije ili derivacije iz kojeg je potrebno odrediti jednu od sljedećih veličina:

1. Vrijednost derivacije u nekoj tački x 0,
2. Visoke ili niske tačke (ekstremalne tačke),
3. Intervali rastućih i opadajućih funkcija (intervali monotonosti).

Funkcije i derivacije predstavljene u ovom problemu su uvijek kontinuirane, što uvelike pojednostavljuje rješenje. Unatoč činjenici da zadatak pripada dijelu matematičke analize, sasvim je u moći i najslabijih učenika, jer ovdje nije potrebno duboko teorijsko znanje.

Da biste pronašli vrijednost derivacije, ekstremnih tačaka i intervala monotonosti, postoje jednostavni i univerzalni algoritmi - svi će biti razmotreni u nastavku.

Pažljivo pročitajte uslov zadatka B9 kako ne biste napravili glupe greške: ponekad naiđu prilično obimni tekstovi, ali postoji nekoliko važnih uslova koji utiču na tok rešenja.

Proračun vrijednosti derivata. Metoda u dve tačke

Ako je problemu zadan graf funkcije f(x), tangentan na ovaj graf u nekoj tački x 0 , i potrebno je pronaći vrijednost derivacije u ovoj tački, primjenjuje se sljedeći algoritam:

1. Nađite dvije "adekvatne" tačke na grafu tangente: njihove koordinate moraju biti cijeli broj. Označimo ove tačke kao A (x 1 ; y 1) i B (x 2 ; y 2). Zapišite ispravno koordinate - to je ključna tačka rješenja, a svaka greška ovdje vodi do pogrešnog odgovora.
2. Poznavajući koordinate, lako je izračunati prirast argumenta Δx = x 2 − x 1 i prirast funkcije Δy = y 2 − y 1 .
3. Konačno, nalazimo vrijednost izvoda D = Δy/Δx. Drugim riječima, trebate podijeliti inkrement funkcije sa inkrementom argumenta - i to će biti odgovor.

Još jednom napominjemo: tačke A i B moraju se tražiti upravo na tangenti, a ne na grafu funkcije f(x), kao što je često slučaj. Tangenta će nužno sadržavati najmanje dvije takve točke, inače će problem biti pogrešno formuliran.

Uzmite u obzir tačke A (−3; 2) i B (−1; 6) i pronađite priraštaje:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 = 6 - 2 \u003d 4.

Nađimo vrijednost izvoda: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Zadatak. Na slici je prikazan graf funkcije y = f (x) i tangenta na nju u tački sa apscisom x 0. Odrediti vrijednost izvoda funkcije f(x) u tački x 0 .

Razmotrite tačke A (0; 3) i B (3; 0), pronađite priraštaje:
Δx \u003d x 2 - x 1 = 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Sada nalazimo vrijednost derivacije: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Zadatak. Na slici je prikazan graf funkcije y = f (x) i tangenta na nju u tački sa apscisom x 0. Odrediti vrijednost izvoda funkcije f(x) u tački x 0 .

Razmotrite tačke A (0; 2) i B (5; 2) i pronađite priraštaje:
Δx \u003d x 2 - x 1 = 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Ostaje pronaći vrijednost derivacije: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Iz posljednjeg primjera možemo formulirati pravilo: ako je tangenta paralelna s osom OX, derivacija funkcije u tački tangentnosti jednaka je nuli. U ovom slučaju ne morate ništa da izračunate - samo pogledajte grafikon.

Izračunavanje visokih i niskih bodova

Ponekad se umjesto grafa funkcije u zadatku B9 daje graf derivacije i potrebno je pronaći maksimalnu ili minimalnu tačku funkcije. U ovom scenariju, metoda dvije tačke je beskorisna, ali postoji drugi, još jednostavniji algoritam. Prvo, hajde da definišemo terminologiju:

1. Tačka x 0 naziva se maksimalnom tačkom funkcije f(x) ako u nekom susjedstvu ove tačke vrijedi sljedeća nejednakost: f(x 0) ≥ f(x).
2. Tačka x 0 naziva se minimalnom tačkom funkcije f(x) ako u nekom susjedstvu ove tačke vrijedi sljedeća nejednakost: f(x 0) ≤ f(x).

Da biste pronašli maksimalnu i minimalnu tačku na grafu derivacije, dovoljno je izvršiti sljedeće korake:

1. Ponovo nacrtajte graf derivata, uklanjajući sve nepotrebne informacije. Kao što praksa pokazuje, dodatni podaci samo ometaju odluku. Stoga označavamo nule derivacije na koordinatnoj osi - i to je to.
2. Saznajte predznake izvoda na intervalima između nula. Ako je za neku tačku x 0 poznato da je f'(x 0) ≠ 0, tada su moguće samo dvije opcije: f'(x 0) ≥ 0 ili f'(x 0) ≤ 0. Predznak izvoda je lako odrediti iz originalnog crteža: ako graf derivacije leži iznad ose OX, tada je f'(x) ≥ 0. Obrnuto, ako graf derivacije leži ispod ose OX, tada je f'(x) ≤ 0.
3. Ponovo provjeravamo nule i predznake derivacije. Tamo gdje se predznak mijenja iz minusa u plus, postoji minimalna tačka. Suprotno tome, ako se predznak derivacije promijeni iz plusa u minus, ovo je maksimalna tačka. Brojanje se uvijek vrši s lijeva na desno.

Ova šema radi samo za kontinuirane funkcije - nema drugih u problemu B9.

Zadatak. Na slici je prikazan grafik izvoda funkcije f(x) definisane na segmentu [−5; 5]. Pronađite minimalnu tačku funkcije f(x) na ovom segmentu.

Oslobodimo se nepotrebnih informacija - ostavićemo samo granice [−5; 5] i nule izvoda x = −3 i x = 2.5. Takođe obratite pažnju na znakove:

Očigledno, u tački x = −3, predznak izvoda se mijenja sa minusa na plus. Ovo je minimalna tačka.

Zadatak. Na slici je prikazan grafik izvoda funkcije f(x) definisane na segmentu [−3; 7]. Pronađite maksimalnu tačku funkcije f(x) na ovom segmentu.

Ponovo nacrtajmo graf, ostavljajući samo granice [−3; 7] i nule izvoda x = −1,7 i x = 5. Zabilježite znakove izvoda na rezultirajućem grafu. Imamo:

Očigledno, u tački x = 5, predznak derivacije se mijenja sa plusa na minus - ovo je maksimalna tačka.

Zadatak. Na slici je prikazan grafik izvoda funkcije f(x) definisane na segmentu [−6; 4]. Odrediti broj maksimalnih tačaka funkcije f(x) koje pripadaju segmentu [−4; 3].

Iz uslova zadatka slijedi da je dovoljno uzeti u obzir samo dio grafa omeđen segmentom [−4; 3]. Stoga gradimo novi graf na kojem označavamo samo granice [−4; 3] i nule izvoda unutar njega. Naime, tačke x = −3,5 i x = 2. Dobijamo:

Na ovom grafu postoji samo jedna maksimalna tačka x = 2. U njoj se predznak derivacije mijenja iz plusa u minus.

Mala napomena o tačkama sa necelobrojnim koordinatama. Na primjer, u posljednjem zadatku razmatrana je tačka x = −3,5, ali sa istim uspjehom možemo uzeti x = −3,4. Ako je problem pravilno formuliran, takve promjene ne bi trebale utjecati na odgovor, jer točke „bez određenog mjesta stanovanja“ nisu direktno uključene u rješavanje problema. Naravno, s cijelim brojevima takav trik neće raditi.

Pronalaženje intervala povećanja i smanjenja funkcije

U takvom problemu, poput tačaka maksimuma i minimuma, predlaže se pronalaženje područja u kojima sama funkcija raste ili opada iz grafa derivacije. Prvo, hajde da definišemo šta su uzlazno i ​​silazno:

1. Funkcija f(x) se naziva rastućom na segmentu ako je za bilo koje dvije tačke x 1 i x 2 iz ovog segmenta tačna izjava: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Drugim riječima, što je veća vrijednost argumenta, to je veća vrijednost funkcije.
2. Funkcija f(x) naziva se opadajućom na segmentu ako je za bilo koje dvije tačke x 1 i x 2 iz ovog segmenta tačan iskaz: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). One. veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

Formuliramo dovoljne uslove za povećanje i smanjenje:

1. Da bi kontinuirana funkcija f(x) porasla na segmentu, dovoljno je da njen izvod unutar segmenta bude pozitivan, tj. f'(x) ≥ 0.
2. Da bi se kontinuirana funkcija f(x) smanjila na segmentu, dovoljno je da njen izvod unutar segmenta bude negativan, tj. f'(x) ≤ 0.

Prihvatamo ove tvrdnje bez dokaza. Tako dobijamo šemu za pronalaženje intervala povećanja i smanjenja, koja je u mnogome slična algoritmu za izračunavanje ekstremnih tačaka:

1. Uklonite sve suvišne informacije. Na originalnom grafu derivacije nas prvenstveno zanimaju nule funkcije, pa ostavljamo samo njih.
2. Označite predznake izvoda na razmacima između nula. Gdje je f'(x) ≥ 0, funkcija raste, a gdje je f'(x) ≤ 0, ona opada. Ako zadatak ima ograničenja na varijablu x, dodatno ih označavamo na novom grafikonu.
3. Sada kada znamo ponašanje funkcije i ograničenja, ostaje da izračunamo traženu vrijednost u problemu.

Zadatak. Na slici je prikazan grafik izvoda funkcije f(x) definisane na segmentu [−3; 7.5]. Naći intervale opadajuće funkcije f(x). U svom odgovoru napišite zbir cijelih brojeva uključenih u ove intervale.

Kao i obično, ponovo crtamo graf i označavamo granice [−3; 7.5], kao i nule izvoda x = −1.5 i x = 5.3. Zatim označavamo predznake derivacije. Imamo:

Budući da je izvod negativan na intervalu (− 1,5), ovo je interval opadajuće funkcije. Ostaje da se zbroje svi cijeli brojevi koji se nalaze unutar ovog intervala:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) definisane na segmentu [−10; 4]. Naći intervale rastuće funkcije f(x). U svom odgovoru napišite dužinu najvećeg od njih.

Oslobodimo se suvišnih informacija. Ostavljamo samo granice [−10; 4] i nule izvoda, za koje se ovaj put ispostavilo da su četiri: x = −8, x = −6, x = −3 i x = 2. Zabilježite znakove izvoda i dobijete sljedeću sliku:

Zanimaju nas intervali rastuće funkcije, tj. gdje je f'(x) ≥ 0. Postoje dva takva intervala na grafu: (−8; −6) i (−3; 2). Izračunajmo njihove dužine:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Pošto je potrebno pronaći dužinu najvećeg intervala, kao odgovor zapisujemo vrijednost l 2 = 5.