Formula ukupne vjerovatnoće: teorija i primjeri rješavanja problema. Formula ukupne vjerovatnoće i Bayesove formule

Razmotrimo kompletnu grupu događaja (nekompatibilnih u paru, koji se nazivaju hipotezama), a ako se događaj može dogoditi samo kada se pojavi jedna od ovih hipoteza, tada se vjerovatnoća događaja izračunava kao formula puna vjerovatnoća:

gdje je vjerovatnoća hipoteze. .

– uslovna vjerovatnoća događaja prema ovoj hipotezi. Ako su prije eksperimenta vjerovatnoće hipoteza bile , a kao rezultat eksperimenta se pojavio događaj, tada se, uzimajući u obzir ovaj događaj, "novi", odnosno uslovni, vjerovatnoće hipoteza izračunavaju po Bayesova formula:

Bayesova formula omogućava da se ponovo procijene vjerovatnoće hipoteza, uzimajući u obzir već poznati rezultat iskustvo.

Primjer 1.

Postoje tri identične urne. U prvom su bijele i crne kuglice; u drugom - bijelo i crno; treći sadrži samo bijele kuglice. Neko nasumce prilazi jednoj od urni i vadi loptu iz nje. Nađi vjerovatnoću da je ova lopta bijela.

Rješenje.

Neka događaj bude pojava bela lopta. Formuliramo hipoteze: – izbor prve glasačke kutije;

– izbor druge glasačke kutije;

– izbor treće urne;

, , ;

prema formuli ukupne vjerovatnoće

Primjer 2.

Postoje dvije urne: prva sadrži bijele i crne kuglice, druga sadrži obje crne kugle. Jedna kugla se prenosi iz prve urne u drugu; Kuglice se pomiješaju, a zatim se jedna kuglica prebaci iz druge urne u prvu. Nakon toga, iz prve urne se nasumično uzima jedna kuglica. Pronađite vjerovatnoću da je bio bijelac.

Rješenje.

Hipoteze: – sastav kuglica u prvoj urni nije promijenjen;

– u prvoj urni jedna crna kugla se zamjenjuje bijelom;

– u prvoj urni jedna bijela kugla zamjenjuje se crnom;

;

Rezultirajuće rješenje sugerira da se vjerovatnoća izvlačenja bijele lopte neće promijeniti ako su udjeli bijelih i crnih loptica u obje urne isti .

odgovor: .

Primjer 3.

Uređaj se sastoji od dva čvora, rad svakog čvora je apsolutno neophodan za rad uređaja u cjelini. Pouzdanost (vjerovatnoća neometanog rada u određenom vremenskom periodu) prvog čvora jednaka je onoj drugog. Uređaj se testira na određeno vrijeme, uslijed čega se otkriva da je pokvario (kvar). Pronađite vjerovatnoću da je samo prvi čvor otkazao, a da je drugi u funkciji.

Rješenje.

Prije eksperimenta moguće su četiri hipoteze:

– obje jedinice su u funkciji;

– prvi čvor je otkazao, drugi je u funkciji;

– prvi je u funkciji, drugi je neispravan;

– oba čvora su otkazala;

Vjerovatnoće hipoteza:

Primijećen je događaj - uređaj nije uspio:

Prema Bayesovoj formuli:

Ponavljanje eksperimenata

Ako se nezavisni eksperimenti izvode pod identičnim uvjetima, a u svakom od njih se događaj pojavljuje vjerovatno, tada se vjerovatnoća da će se događaj dogoditi tačno jednom u ovim eksperimentima izražava formulom:

Vjerovatnoća barem jedne pojave događaja tokom nezavisnih eksperimenata pod identičnim uvjetima jednaka je:

Vjerovatnoća da će se događaj dogoditi a) manje od jednom; b) više puta; c) najmanje jednom; d) ne nalazimo više od puta prema formulama:

Opća teorema o ponavljanju eksperimenata

Ako se izvode nezavisni eksperimenti u različitim uslovima, a vjerovatnoća događaja u th eksperimentu je jednaka , tada je vjerovatnoća da će se događaj pojaviti u ovim eksperimentima tačno jednom jednaka koeficijentu pri u proširenju snaga generirajuće funkcije

, Gdje .

Primjer 1.

Uređaj se sastoji od 10 čvorova. Pouzdanost (vjerovatnoća rada bez otkaza tokom vremena) za svaki čvor . Čvorovi propadaju nezavisno jedan od drugog. Nađite vjerovatnoću da tokom vremena:

a) najmanje jedan čvor neće uspjeti;

b) tačno jedan čvor će otkazati;

c) tačno dva čvora će otkazati;

d) najmanje dva čvora će otkazati.

Rješenje.

Primjer 2.

U urni se nalazi 30 bijelih i 15 crnih kuglica. Vadi se 5 loptica u nizu, a svaka izvađena loptica se vraća u urnu pre nego što se vadi sledeća i mešaju se kuglice u urni. Kolika je vjerovatnoća da će od 5 izvučenih loptica biti 3 bijele?

Rješenje.

Vjerovatnoća izvlačenja bijele lopte može se smatrati istom u svih 5 pokušaja: tada vjerovatnoća da se bijela lopta ne pojavi. Koristeći Bernoullijevu formulu dobijamo:

Primjer 3.

Novčić se baca osam puta. Kolika je vjerovatnoća da se šest puta spusti naopako?

Rješenje.

Imamo Bernoullijevu šemu testa. Vjerovatnoća da se Ge pojavi u jednom ispitivanju , Onda

Odgovor: 0,107.

Primjer 4.

Ispaljuju se četiri nezavisna hica, a vjerovatnoća pogađanja mete je prosjek vjerovatnoće

Pronađite vjerovatnoće: .

Rješenje.

Po Bernoullijevoj formuli imamo

Primjer 5.

Postoji pet stanica sa kojima se održava komunikacija. S vremena na vrijeme komunikacija je prekinuta zbog atmosferskih smetnji. Zbog udaljenosti stanica jedna od druge, prekid komunikacije sa svakom od njih nastaje nezavisno od ostalih sa vjerovatnoćom od 0,2. Pronađite vjerovatnoću da će se u datom trenutku komunikacija održavati s najviše dvije stanice.

Rješenje.

Događaj – postoji komunikacija sa najviše dvije stanice.

Odgovor: 0,72.

Primjer 6.

Sistem radarskih stanica prati grupu objekata koja se sastoji od deset jedinica. Svaki od objekata može biti (bez obzira na ostale) izgubljen sa vjerovatnoćom 0,1. Pronađite vjerovatnoću da će barem jedan od objekata biti izgubljen.

Rješenje.

Vjerojatnost gubitka barem jednog objekta može se pronaći pomoću formule:

ali je lakše koristiti vjerovatnoću suprotan događaj– nijedan predmet nije izgubljen – i oduzmite ga od jedinice

Odgovor: 0,65.

Opcije zadatka za testni rad № 5

Opcija 1

1. Dva su bačena kockice. Pronađite vjerovatnoću da je zbir izvučenih bodova 7.

2. Neka su tri proizvoljna događaja. Napišite izraz za događaje koji se sastoji u činjenici da su se od ova tri događaja dogodila najmanje dva događaja.

3. Novčić se baca 5 puta. Nađite vjerovatnoću da će se „grb“ pojaviti: a) najmanje dva puta, b) manje od dva puta.

4. Postoje 2 identične urne. Prva urna sadrži 3 bijele i 5 crnih kuglica, druga urna sadrži 3 bijele i 7 crnih kuglica. Iz jedne nasumično odabrane urne izvlači se kugla. Odrediti vjerovatnoću da lopta
crna.

5. Na nacionalnom fudbalskom prvenstvu učestvuje 18 ekipa.Svake dvije ekipe se sastaju na fudbalskim terenima 2 puta. Koliko se utakmica igra u sezoni?

Opcija 2

1. Dok je birao telefonski broj, pretplatnik je zaboravio zadnje 3 cifre, a sjetivši se samo da su te cifre različite, birao ih je nasumično. Pronađite vjerovatnoću da su traženi brojevi pozvani.

2. Da li je istina? .

3. Nađite vjerovatnoću da će se događaj desiti najmanje 2 puta u 4 nezavisna ispitivanja, ako je vjerovatnoća da će se događaj dogoditi u jednom pokušaju 0,6.

4. Električnim aparatima radnju isporučuju tri fabrike. Prvi snabdeva 50%, drugi – 20%, treći – 30% svih proizvoda. Vjerojatnosti izrade uređaja najvišeg kvaliteta svaka biljka su respektivno jednaki: . Odredite vjerovatnoću da će uređaj kupljen u trgovini biti najviše kvalitete.

5. Morzeova azbuka se formiraju kao niz tačaka i
crtica. Koliko se različitih slova može formirati ako koristite 5
likovi?

Opcija 3

1. U kutiji sa brojevima od 1 do 10 nalazi se 10 numerisanih loptica. Jedna loptica se vadi. Kolika je vjerovatnoća da broj izvučene kuglice ne bude veći od 10?

2. Da li je jednakost istinita? ?

3. Vjerovatnoća da se događaj dogodi barem jednom tokom tri pokušaja je 0,936. Pronađite vjerovatnoću da će se događaj desiti tokom jednog ispitivanja.

4. Postoje tri identične urne. Prva urna sadrži 5 bijelih i 5 crnih kuglica, druga 3 bijele i 2 crne kugle, a treća 7 bijelih i 3 crne kuglice. Iz jedne nasumično odabrane urne izvlači se kugla. Odredite vjerovatnoću da će lopta biti bijela.

5. Na koliko načina se 12 osoba može sjesti za sto na kojem je postavljeno 12 pribora za jelo?

Opcija 4

1. U radionici radi 6 muškaraca i 4 žene. 7 ljudi je odabrano nasumično koristeći njihove brojeve osoblja. Naći vjerovatnoću da će među odabranim osobama biti 3 žene.

2. Dokažite to .

3. Neka je vjerovatnoća da je slučajno odabrani dio nestandardan jednak 0,1. Pronađite vjerovatnoću da od 5 nasumično uzetih dijelova najviše dva nisu nestandardna.

4. Postoje tri identične urne. Prva urna sadrži 3 bijele i 3 crne kuglice, druga 2 bijele i 6 crnih kuglica, a treća 5 bijelih i 2 crne kugle. Iz jedne nasumično odabrane urne izvlači se kugla. Odredite vjerovatnoću da će lopta biti crna.

5. Potrebno je kreirati raspored polazaka voza za različite dane u sedmici. U ovom slučaju potrebno je: 3 dana – 2 voza dnevno, 2 dana – 1 voz dnevno, 2 dana – 3 voza dnevno. Koliko različitih rasporeda možete kreirati?

Opcija 5

1. Kocka, čiji su svi rubovi obojeni, isječe se na 64 kocke iste veličine, koje se zatim miješaju. Nađite vjerovatnoću da slučajno nacrtana kocka ima dvije obojene strane.

2. Dokažite to .

3. Neka je vjerovatnoća da će TV-u biti potrebna popravka tokom garantnog roka jednaka 0,2. Pronađite vjerovatnoću da tokom garantnog roka od 6 televizora: a) ne više od 1 zahtijeva popravku, b) najmanje 1 neće zahtijevati popravku.

4. Tri automatske linije proizvode slične dijelove. Zbog kvarova mašine mogu se proizvesti neispravni proizvodi: po prvoj liniji sa vjerovatnoćom od 0,02; drugi – sa vjerovatnoćom 0,01; treći - sa vjerovatnoćom od 0,05. Prva linija daje 70%, druga – 20%, treća – 10% ukupne proizvodnje. Odredite vjerovatnoću dobivanja kvara.

5. U urni su bijele i crne kuglice. Na koliko načina možete birati iz urne kuglica, od kojih će biti bijelih? (Loptice svake boje su numerisane.)

Opcija 6

1. U urni se nalazi 12 loptica: 3 bijele, 4 crne i 5 crvenih loptica. Kolika je vjerovatnoća da se iz urne izvuče crvena kugla?

2. Dokažite da .

3. Vjerovatnoća dobitka na lutriji je . Pronađite vjerovatnoću pobjede na najmanje 2 listića od 6.

4. Dvije kutije sadrže iste vrste dijelova: u prvoj kutiji je 8 servisnih i 2 neispravna, u drugoj 6 servisnih i 4 neispravna. Dva dijela se nasumično uzimaju iz prve kutije, a jedan dio iz druge. Dijelovi su pomiješani i stavljeni u treću kutiju, iz koje je nasumično uzet jedan dio. Odredite vjerovatnoću da je ovaj dio upotrebljiv.

5. Na koliko načina možete izabrati 2 pika iz špila od 36 karata?

Opcija 7

1. U urni se nalazi 15 kuglica sa brojevima od 1 do 15. Kolika je vjerovatnoća da se izvuče kuglica sa brojem 18?

2. Dokažite da .

3. Vjerovatnoća da ćete pogoditi svaki hitac je 0,4. Pronađite vjerovatnoću uništenja objekta ako su potrebna najmanje 3 pogotka i ispaljeno 15 hitaca.

4. Dvije identične urne sadrže bijele i crne kuglice. Jedna lopta se prenosi iz prve urne u drugu. U drugoj urni se kuglice miješaju, a jedna kuglica se prenosi u prvu urnu. Zatim se iz prve urne izvlači jedna kugla. Pronađite vjerovatnoću da je lopta bijela.

5. Dva broja se biraju uzastopno iz skupa bez vraćanja. Koliko ima skupova u kojima je drugi broj više od prvog?

Opcija 8

1. Unutar elipse nalazi se krug. Nađite vjerovatnoću da tačka padne u prsten omeđen elipsom i kružnicom.

2. Neka su tri proizvoljna događaja. Pronađite izraze za događaje koji se sastoje od sljedećeg: a) događaji su se desili, ali se događaj nije dogodio; b) desila su se tačno 2 događaja.

3. Nađite vjerovatnoću da u porodici sa 6 djece, najmanje
2 djevojke. (Vjerovatnoće da ćete imati dječaka i djevojčicu smatraju se istim.)

4. Postoje dvije urne. Prva urna sadrži 3 bijele i 5 crnih kuglica, druga urna sadrži 4 bijele i 6 crnih kuglica. Dvije kuglice se prenose iz prve urne u drugu bez gledanja. Kuglice u drugoj urni se dobro izmešaju i iz nje se uzima jedna kugla. Pronađite vjerovatnoću da će lopta biti
bijela.

5. Na koliko načina se vrhovi datog trougla mogu označiti slovima? ?

Opcija 9

1. Pet slova podijeljena abeceda, sastavljena je riječ “knjiga”. Dijete koje ne zna čitati raspršilo je ova slova, a zatim ih sakupilo nasumičnim redoslijedom. Pronađite vjerovatnoću da je ponovo dobio riječ „knjiga“.

2. Pronađite sve događaje tako da , gdje i su neki događaji.

3. Od 15 srećke, dobitnih je 4. Kolika je vjerovatnoća da će među 6 nasumično uzetih listića biti dva dobitna?

4. Postoje tri identične urne. Prva urna sadrži 4 bijele i 2 crne kuglice, druga - 3 bijele i 3 crne kuglice, treća - 1 bijelu i 5 crnih kuglica. Iz druge i treće urne, ne gledajući, prebacite dvije kuglice u prvu urnu. Kuglice u prvoj urni se miješaju i iz nje se nasumično izvlače dvije kuglice. Pronađite vjerovatnoću da će biti bijeli.

5. Od pet šahista, dva moraju biti poslata da učestvuju na turniru. Na koliko načina se to može učiniti?

Opcija 10

1. Tri se nasumično izvlače iz špila od 52 karte. Nađite vjerovatnoću da će to biti trojka, sedam i as.

2. S obzirom na dva duplikata bloka i . Zabilježite događaj da je sistem zdrav.

3. Za signalizaciju nesreće, instalirana su dva nezavisno delujuća alarma. Verovatnoća da će se alarm aktivirati tokom nesreće je 0,95 za prvi i 0,9 za drugi. Nađite vjerovatnoću da će se tokom nesreće samo jedan alarm uključiti.

4. Tri automatske linije proizvode dijelove istog imena. Prva linija daje 70%, druga – 20%, treća – 10% ukupne proizvodnje. Vjerojatnosti prijema neispravnih proizvoda na svakoj liniji su, respektivno, jednake: 0,02; 0,01; 0.05. Ispostavilo se da je dio uzet za sreću neispravan. Odredite vjerovatnoću da je dio proizveden u prvoj liniji.

5. Na krugu je odabrano 10 tačaka. Koliko se tetiva može povući sa krajevima u ovim tačkama.

Opcija 11

1. Urna sadrži bijele, crne i crvene kuglice. Tri kuglice se izvlače nasumično. Kolika je vjerovatnoća da će biti različite boje.

2. Da li je jednakost istinita? ?

3. Odjel tehničke kontrole provjerava standardnost proizvoda. Vjerovatnoća da je proizvod standardan je 0,9. Pronađite vjerovatnoću da je od dva testirana proizvoda samo jedan standardan.

4. Tri strijelca gađaju metu nezavisno jedan od drugog, svaki ispaljuje po jedan hitac. Verovatnoća da pogodi metu za prvog strelca je 0,4, za drugog - 0,6 i za trećeg - 0,7. Nakon gađanja otkrivena su dva pogotka u metu. Odredite vjerovatnoću da pripadaju prvoj i trećoj strelici.

5. Na koliko načina se 5 crvenih, 4 crne i 5 bijelih loptica mogu postaviti u red tako da kuglice koje leže na ivicama budu iste boje?

Opcija 12

1. Sastanak od 25 ljudi, uključujući 5 žena, bira delegaciju od 3 osobe. S obzirom da svaki od prisutnih može biti izabran sa jednakom vjerovatnoćom. Pronađite vjerovatnoću da će u delegaciji biti 2 žene i jedan muškarac.

3. Naći vjerovatnoću iz datih vjerovatnoća , .

4. Kod 1111 sa vjerovatnoćom 0,2, kod 0000 sa vjerovatnoćom 0,3 i kod 1001 sa vjerovatnoćom 0,5 mogu se prenijeti preko komunikacijskog kanala. Zbog uticaja smetnji, verovatnoća ispravan prijem svaka cifra (0 ili 1) koda je jednaka 0,9, a cifre su izobličene nezavisno jedna od druge. Pronađite vjerovatnoću da se kod 1111 prenese ako se kod 1011 primi na prijemnom uređaju.

5. Koliko različitih ruta može odabrati pješak ako odluči hodati 9 blokova, od toga 5 na zapad, 4 na sjever.

Opcija 13

1. Grupa od 10 muškaraca i 10 žena nasumično se dijeli na dva jednaka dijela. Naći vjerovatnoću da u svakom dijelu ima jednak broj muškaraca i žena.

2. i – neki događaji. Da li je jednakost istinita? ?

3. Nađite vjerovatnoću iz datih vjerovatnoća , , .

4. Preko komunikacione linije moguće je prenijeti kod 1234 sa vjerovatnoćom od 0,6 i kod 4321 sa vjerovatnoćom od 0,4. Šifra se prikazuje na displeju, što može izobličiti brojeve. Vjerovatnoća da se 1 uzme kao 1 je 0,8, a 1 kao 4 je 0,2. Vjerovatnoća da se uzme 4 za 4 je 0,9, a 4 za 1 je 0,1. Vjerovatnoća pogreške 2 za 2 i 3 za 3 je 0,7. Vjerovatnoća da se uzme 2 za 3 i 3 za 2 je 0,3. Operator je prihvatio kod 4231. Odredite vjerovatnoću da je kod prihvaćen:
a) 1234; b) 4321.

5. Između tri osobe - potrebno je podijeliti 15 razne predmete, i treba da dobije 2 stavke, – 3 i – 10. Na koliko načina se može izvršiti ova distribucija?

Opcija 14

1. U seriji od 10 proizvoda, postoje 4 neispravna. Oni biraju nasumce
5 proizvoda. Odredite vjerovatnoću da će među ovih 5 proizvoda biti tri neispravna.

2. Dokazati da , , čine potpunu grupu događaja.

3. Učenik zna 20 od 25 pitanja u programu. Naći vjerovatnoću da će student odgovoriti na 2 pitanja koja mu je predložio ispitivač.

4. Postoje 4 serije delova. U prvoj seriji ima 3% defekata, u drugoj – 4%, u trećoj i četvrtoj nema nedostataka. Kolika je vjerovatnoća da se uzme neispravan dio ako se jedan dio uzme iz nasumično odabrane serije? Kolika je vjerovatnoća da uzeti dio pripada prvoj seriji ako se pokaže da je neispravan?

5. Student mora položiti 4 ispita u roku od 10 dana. Na koliko načina možete napraviti raspored za njega?

Opcija 15

1. U sali ima 50 mjesta. Nađite vjerovatnoću da će od 10 ljudi 5 zauzeti određena mjesta ako ih nasumično zauzmu mjesta.

2. Dokažite to .

3. Tri strijelca gađaju metu nezavisno jedan od drugog. Verovatnoća da pogodi metu za prvog strelca je 0,75, za drugog – 0,8, za trećeg – 0,9. Pronađite vjerovatnoću da će sva tri strijelca pogoditi metu.

4. Iz urne koja sadrži 4 crne i 6 bijelih kuglica izgubljena je loptica nepoznate boje. Da bi se odredio sastav loptica u urni, iz nje su nasumično izvučene dvije kuglice. Ispostavilo se da su bijeli. Nađite vjerovatnoću da je bela lopta izgubljena.

5. Na koliko načina se 7 knjiga može složiti na policu ako dvije određene knjige uvijek stoje jedna pored druge?

4. Vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu je 0,7. Odredite vjerovatnoću da će šest nezavisnih hitaca rezultirati sa pet pogodaka.

5. Auto ima 7 sjedišta. Na koliko načina 7 ljudi može ući u ovaj automobil ako samo troje od njih mogu zauzeti vozačko mjesto?

Opcija 18

1. Za industrijska praksa za 30 učenika obezbeđeno je 15 mesta u Moskvi, 8 u Tajgi i 7 u Novosibirsku. Kolika je vjerovatnoća da će dva određena studenta dobiti praksu u istom gradu?

2. Neka su tri proizvoljna događaja. Pronađite izraze za događaje koji se sastoje od onoga što se dogodilo: a) samo ; b) samo jedan događaj.

3. U kutiji se nalazi 6 bijelih i 8 crnih loptica. Iz kutije se vade dvije lopte (bez vraćanja uklonjene lopte u kutiju). Nađi vjerovatnoću da su obje lopte bijele.

3. U prvoj kutiji su 2 bijele i 10 crnih loptica, u drugoj 8 bijelih i
4 crne lopte. Iz svake kutije je uzeta po jedna lopta. Kolika je vjerovatnoća da su obje lopte bijele?

4. Testirano je 25 motora. Vjerovatnoća neometanog rada svakog motora je ista i jednaka je 0,95. Odredite najvjerovatniji broj neispravnih motora.

5. Tanja ima 20 maraka, Nataša 30. Na koliko načina možete zamijeniti jednu Tanjinu marku za jednu Natašu?

Opcija 20

1. Bacaju se 4 kocke. Pronađite vjerovatnoću koju svi dobiju isti broj bodova.

2. Da li se događaji i ako je potrebno poklapaju?

3. Tri strijelca gađaju metu nezavisno jedan od drugog. Verovatnoća da pogodi metu za prvog strelca je 0,75, za drugog - 0,8. za treći – 0,9. Odredite vjerovatnoću da će barem jedan strijelac pogoditi metu.

4. Testirana je serija tranzistora. Vjerovatnoća neometanog rada svakog tranzistora je 0,92. Odredite koliko tranzistora treba testirati da bi se barem jedan kvar mogao otkriti s vjerovatnoćom od najmanje 0,95.

5. Koliko petocifrenih brojeva se može sastaviti od cifara 1, 2, 4, 6, 7, 8, ako se svaka cifra u bilo kojem broju ne koristi više od 1 puta?

Primjer br. 1. Kompanija za proizvodnju računara dobija identične komponente od tri dobavljača. Prvi snabdeva 50% svih komponenti, drugi - 20%, treći - 30% delova.
Poznato je da kvalitet isporučenih delova varira, a kod proizvoda prvog dobavljača procenat kvarova je 4%, drugog - 5%, a trećeg - 2%. Odredite vjerovatnoću da će dio koji je nasumično odabran od svih primljenih biti neispravan.

Rješenje. Označimo događaje: A - “odabrani dio je neispravan”, H i – “odabrani dio je primljen od i-tog dobavljača”, i = 1, 2, 3 Hipoteze H 1, H 2, H 3 form kompletna grupa nekompatibilni događaji. Po uslovu
P(H 1) = 0,5; P(H2) = 0,2; P(H 3) = 0,3
P(A|H 1) = 0,04; P(A|H 2) = 0,05; P(A|H 3) = 0,02

Prema formuli ukupne vjerovatnoće (1.11), vjerovatnoća događaja A je jednaka
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0,5 0,04 + 0,2 · 0,05 + 0,3 · 0,02=0,036
Vjerovatnoća da će nasumično odabran dio biti neispravan je 0,036.

Pretpostavimo da se u uslovima prethodnog primjera događaj A već dogodio: odabrani dio se pokazao neispravnim. Kolika je vjerovatnoća da je došao od prvog dobavljača? Odgovor na ovo pitanje daje Bayesova formula.
Analizu vjerovatnoća smo započeli samo sa preliminarnim, a priori vrijednostima vjerovatnoća događaja. Potom je izveden eksperiment (dio je odabran) i dobili smo Dodatne informacije o događaju koji nas zanima. Imati ovo nove informacije, možemo precizirati vrijednosti prethodnih vjerovatnoća. Nove vrijednosti vjerovatnoće istih događaja će već biti aposteriorne (posteksperimentalne) vjerovatnoće hipoteza (slika 1.5).

Šema ponovne evaluacije hipoteze
Neka se događaj A realizuje samo zajedno sa jednom od hipoteza H 1 , H 2 , …, H n (potpuna grupa nekompatibilnih događaja). Prethodne vjerovatnoće hipoteza označili smo kao P(H i), a uslovne vjerovatnoće događaja A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n. Ako je eksperiment već izveden i kao rezultat toga se dogodio događaj A, tada će posteriorne vjerovatnoće hipoteze biti uslovne vjerovatnoće P(H i |A), i = 1, 2,…, n. U notaciji prethodnog primjera, P(H 1 |A) je vjerovatnoća da je odabrani dio koji se pokazao neispravnim primljen od prvog dobavljača.
Zanima nas vjerovatnoća događaja H k |A Razmotrimo zajedničku pojavu događaja H k i A, odnosno događaj AH k. Njegova vjerovatnoća se može naći na dva načina, koristeći formule za množenje (1.5) i (1.6):
P(AH k) = P(H k)P(A|H k);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).

Hajde da izjednačimo desne strane ovih formula
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),

stoga je posteriorna vjerovatnoća hipoteze H k jednaka

Imenilac sadrži ukupnu verovatnoću događaja A. Zamenivši njegovu vrednost umesto P(A) prema formuli ukupne verovatnoće (1.11), dobijamo:
(1.12)
Formula (1.12) se zove Bayesova formula i koristi se za ponovnu procjenu vjerovatnosti hipoteza.
U uslovima prethodnog primera naći ćemo verovatnoću da je neispravni deo primljen od prvog dobavljača. Sažmimo u jednu tabelu apriorne verovatnoće hipoteza P(H i) koje su nam poznate po uslovu i uslovne verovatnoće P(A|H i) izračunate tokom procesa rešavanja zajedničke verovatnoće P(AH i) = P(H i) P(A|H i) i posteriorne vjerovatnoće P(H k |A) izračunate pomoću formule (1.12), i,k = 1, 2,…, n (tabela 1.3) .

Tabela 1.3 – Ponovna evaluacija hipoteza

Hipoteze H i	Vjerovatnoće
Hipoteze H i	A priori P(H i)	Uslovno P(A\|H i)	Zglob P(AH i)	A posteriori P(H i \|A)
1	2	3	4	5
H 1 - dio primljen od prvog dobavljača	0.5	0.04	0.02
H 2 - dio primljen od drugog dobavljača	0.2	0.05	0.01
H 3 - dio primljen od trećeg dobavljača	0.3	0.02	0.006
Suma	1.0	-	0.036	1

Pogledajmo zadnji red ove tabele. Drugi stupac sadrži zbir vjerovatnoća nekompatibilnih događaja H1, H2, H3, koji čine kompletnu grupu:
P(Ω) = P(H 1 + H 2 + H 3) = P(H 1) + P(H 2) + P(H 3) = 0,5 + 0,2 + 0,3 = 1
U četvrtoj koloni vrijednost u svakom redu (zajedničke vjerovatnoće) dobija se po pravilu množenja vjerovatnoća množenjem odgovarajućih vrijednosti u drugom i trećem stupcu, a u posljednjem redu 0,036 je ukupna vjerovatnoća događaja A ( koristeći formulu ukupne vjerovatnoće).
Kolona 5 izračunava posteriorne vjerovatnoće hipoteza koristeći Bayesovu formulu (1.12):

Posteriorne vjerovatnoće P(H 2 |A) i P(H 3 |A) izračunavaju se na sličan način, pri čemu je brojnik razlomka zajedničke vjerovatnoće zapisane u odgovarajućim redovima kolone 4, a imenilac je ukupna vjerovatnoća događaja A napisano u zadnjem redu kolone 4.
Zbir vjerovatnoća hipoteza nakon eksperimenta jednak je 1 i upisan je u posljednjem redu pete kolone.
Dakle, vjerovatnoća da je neispravni dio primljen od prvog dobavljača je 0,555. Posteksperimentalna vjerovatnoća je veća od apriorne (zbog velikog obima ponude). Verovatnoća nakon testiranja da je neispravan deo primljen od drugog dobavljača je 0,278 i takođe je veća od verovatnoće pre testiranja (zbog velika količina brak). Vjerovatnoća nakon testiranja da je neispravni dio primljen od trećeg dobavljača je 0,167.

Primjer br. 3. Postoje tri identične urne; prva urna sadrži dvije bijele i jednu crnu kuglu; u drugom - tri bijela i jedna crna; u trećoj su dvije bijele i dvije crne lopte. Za eksperiment se nasumično bira jedna urna i iz nje se izvlači kugla. Nađi vjerovatnoću da je ova lopta bijela.
Rješenje. Razmotrimo tri hipoteze: H 1 - odabrana je prva urna, H 2 - druga urna je odabrana, H 3 - treća urna je odabrana i događaj A - izvučena je bijela kugla.
Pošto su hipoteze prema uslovima problema podjednako moguće, onda

Uslovne vjerovatnoće događaja A pod ovim hipotezama su respektivno jednake:
Prema formuli ukupne vjerovatnoće

Primjer br. 4. U piramidi se nalazi 19 pušaka, od kojih 3 sa optičkim nišanom. Strijelac, koji puca iz puške sa optičkim nišanom, može pogoditi metu sa vjerovatnoćom od 0,81, a pucajući iz puške bez optičkog nišana sa vjerovatnoćom od 0,46. Pronađite vjerovatnoću da će strijelac pogoditi metu koristeći nasumično odabranu pušku.
Rješenje. Ovdje je prvi test nasumično biranje puške, drugi je pucanje u metu. Razmotrite sljedeće događaje: A - strijelac pogađa metu; H 1 - strijelac će uzeti pušku sa optičkim nišanom; H 2 - strijelac će uzeti pušku bez optičkog nišana. Koristimo formulu ukupne vjerovatnoće. Imamo

S obzirom da se puške biraju jedna po jedna i po formuli klasična verovatnoća, dobijamo: P(H 1) = 3/19, P(H 2) = 16/19.
Uslovne vjerovatnoće su specificirane u iskazu problema: P(A|H 1) = 0,81 i P(A|H 2) = 0,46. dakle,

Primjer br. 5. Iz urne koja sadrži 2 bijele i 3 crne kuglice, dvije se kuglice nasumce izvlače i 1 bijela kugla se dodaje u urnu. Pronađite vjerovatnoću da slučajno odabrana loptica bude bijela.
Rješenje. Događaj „izvučena je bijela kugla“ označavamo sa A. Događaj H 1 - dvije bijele kuglice se izvlače nasumično; H 2 - nasumično su izvučene dvije crne lopte; H 3 - izvučene su jedna bela i jedna crna loptica. Zatim vjerovatnoće postavljenih hipoteza

Uslovne vjerovatnoće pod ovim hipotezama su respektivno jednake: P(A|H 1) = 1/4 - vjerovatnoća izvlačenja bijele lopte ako se trenutno nalaze jedna bijela i tri crne kugle u urni, P(A|H 2) = 3/ 4 - vjerovatnoća izvlačenja bijele lopte ako se trenutno nalaze tri bijele i jedna crna kugla u urni, P(A|H 3) = 2/4 = 1/2 - vjerovatnoća izvlačenja bijele lopte ako postoje trenutno dvije bijele i jedna crna kugla u urni dvije crne kuglice. Prema formuli ukupne vjerovatnoće

Primjer br. 6. Dva hica se ispaljuju u metu. Verovatnoća pogotka pri prvom udarcu je 0,2, pri drugom - 0,6. Verovatnoća uništenja mete sa jednim pogotkom je 0,3, sa dva - 0,9. Pronađite vjerovatnoću da će meta biti uništena.
Rješenje. Neka događaj A - meta je uništena. Da biste to učinili, dovoljno je pogoditi jednim udarcem od dva ili pogoditi metu sa dva hica u nizu bez promašaja. Postavimo hipotezu: H 1 - oba udarca pogodila su metu. Tada je P(H 1) = 0,2 · 0,6 = 0;12. H 2 - prvi ili drugi put je napravljen promašaj. Tada je P(H 2) = 0,2 · 0,4 + 0,8 · 0,6 = 0,56. Hipoteza H 3 - oba hica su promašena - nije uzeta u obzir, jer je vjerovatnoća uništenja mete nula. Tada su uslovne verovatnoće respektivno jednake: verovatnoća uništenja mete, pod uslovom da su oba uspešna hica napravljena, je P(A|H 1) = 0,9, a verovatnoća uništenja mete, pod uslovom da je samo jedan uspešan hitac P(A|H 2) = 0,3. Tada je vjerovatnoća uništenja cilja prema formuli ukupne vjerovatnoće jednaka.

Posljedica obje glavne teoreme - teoreme sabiranja vjerovatnoća i teoreme množenja vjerovatnoća - je takozvana formula ukupne vjerovatnoće.

Neka je potrebno odrediti vjerovatnoću nekog događaja koji se može dogoditi zajedno s jednim od događaja:

formirajući kompletnu grupu nespojivih događaja. Ove događaje ćemo nazvati hipotezama.

Dokažimo to u ovom slučaju

, (3.4.1)

one. vjerovatnoća događaja se izračunava kao zbir proizvoda vjerovatnoće svake hipoteze i vjerovatnoće događaja prema ovoj hipotezi.

Formula (3.4.1) se naziva formula ukupne vjerovatnoće.

Dokaz. Budući da hipoteze čine kompletnu grupu, događaj se može pojaviti samo u kombinaciji s bilo kojom od ovih hipoteza:

Pošto su hipoteze nekonzistentne, kombinacije takođe nekompatibilan; Primjenjujući teoremu sabiranja na njih, dobivamo:

Primjenjujući teoremu množenja na događaj, dobivamo:

Q.E.D.

Primjer 1. Postoje tri urne identičnog izgleda; prva urna sadrži dvije bijele i jednu crnu kuglu; u drugom - tri bijela i jedna crna; u trećoj su dvije bijele i dvije crne lopte. Neko nasumce odabere jednu od urni i iz nje uzme loptu. Nađi vjerovatnoću da je ova lopta bijela.

Rješenje. Razmotrimo tri hipoteze:

Odabir prve glasačke kutije

Odabir druge urne

Odabir treće urne

a događaj je pojava bijele lopte.

Pošto su hipoteze, prema uslovima problema, podjednako moguće, onda

Uslovne vjerovatnoće događaja prema ovim hipotezama su respektivno jednake:

Prema formuli ukupne vjerovatnoće

Primjer 2. U avion se ispaljuju tri pojedinačna metka. Verovatnoća pogotka pri prvom udarcu je 0,4, pri drugom – 0,5, pri trećem – 0,7. Tri pogotka su očigledno dovoljna da onesposobe avion; sa jednim udarcem letelica kvari sa verovatnoćom 0,2, sa dva pogotka - sa verovatnoćom 0,6. Pronađite vjerovatnoću da će se avion onesposobiti kao rezultat tri hica.

Rješenje. Razmotrimo četiri hipoteze:

Ni jedna granata nije pogodila avion,

Jedna granata je pogodila avion,

Avion su pogodile dvije granate,

Avion su pogodile tri granate.

Koristeći teoreme sabiranja i množenja, nalazimo vjerovatnoće ovih hipoteza:

Uslovne vjerovatnoće događaja (kvara aviona) prema ovim hipotezama su jednake:

Primjenom formule ukupne vjerovatnoće dobijamo:

Imajte na umu da se prva hipoteza ne može uvesti u razmatranje, jer odgovarajući član u formuli ukupne vjerovatnoće nestaje. To je ono što se obično radi kada se primjenjuje formula ukupne vjerovatnoće, uzimajući u obzir ne kompletnu grupu nekompatibilnih hipoteza, već samo one od njih pod kojima je dati događaj moguć.

Primjer 3. Radom motora upravljaju dva regulatora. U razmatranju određenom periodu vrijeme tokom kojeg je poželjno osigurati nesmetan rad motora. Ako su prisutna oba regulatora, motor otkazuje sa vjerovatnoćom, ako samo prvi radi - sa vjerovatnoćom, ako radi samo drugi -, ako pokvare oba regulatora - sa vjerovatnoćom. Prvi od regulatora ima pouzdanost, drugi -. Svi elementi otkazuju nezavisno jedan od drugog. Pronađite ukupnu pouzdanost (vjerovatnost rada bez greške) motora.

Korisna stranica? Sačuvajte ili recite prijateljima

Opća formulacija problema je otprilike sljedeća:

Urna sadrži $K$ bijelih i $N-K$ crnih kuglica (ukupno $N$ kuglica). Iz njega se nasumično i bez zamjene izvlače $n$ loptice. Pronađite vjerovatnoću da će biti odabrane tačno $k$ bijele i $n-k$ crne kuglice.

By klasična definicija vjerovatnoća, željena vjerovatnoća se nalazi pomoću hipergeometrijske formule vjerovatnoće (vidi objašnjenje):

$$ P=\frac(C_K^k \cdot C_(N-K)^(n-k))(C_N^n). \qquad (1) $$

*Da objasnim šta znači „otprilike“: lopte se mogu uzeti ne iz urne, već iz korpe, ili ne biti crno-bele, već crvene i zelene, velike i male itd. Glavno je da su DVE vrste, onda jednu vrstu smatrate uslovno „belim kuglicama“, drugu – „crne kugle“ i slobodno koristite formulu za rešavanje (ispravljanje teksta na pravim mestima, od kurs :)).

Video tutorial i Excel šablon

Pogledajte naš video o rješavanju problema s kuglicama u shemi hipergeometrijske vjerovatnoće, naučite kako koristiti Excel za rješavanje uobičajenih problema.

Excel proračunsku datoteku iz videa možete besplatno preuzeti i koristiti za rješavanje vaših problema.

Primjeri rješenja problema oko odabira lopti

Primjer 1. U urni se nalazi 10 bijelih i 8 crnih kuglica. 5 loptica se bira nasumično. Pronađite vjerovatnoću da će među njima biti tačno 2 bijele kuglice.

U formulu (1) zamjenjujemo sljedeće vrijednosti: $K=10$, $N-K=8$, ukupno $N=10+8=18$, odabiremo $n=5$ kuglica, od kojih bi trebalo biti $ k=2$ bijelo i shodno tome, $n-k=5-2=3$ crno. Dobijamo:

$$ P=\frac(C_(10)^2 \cdot C_(8)^(3))(C_(18)^5) = \frac(45 \cdot 56)(8568) = \frac(5) (17) = 0,294. $$

Primjer 2. U urni se nalazi 5 bijelih i 5 crvenih kuglica. Kolika je vjerovatnoća da se obje bijele kuglice izvuku nasumično?

Ovdje lopte nisu crno-bijele, već crveno-bijele. Ali to nimalo ne utiče na tok odluke i odgovora.

U formulu (1) zamjenjujemo sljedeće vrijednosti: $K=5$ (bijele kuglice), $N-K=5$ (crvene kuglice), ukupno $N=5+5=10$ (ukupno loptice u urni) , izaberite $n=2 $ kuglice, od kojih treba da bude $k=2$ bijela i, shodno tome, $n-k=2-2=0$ crvena. Dobijamo:

$$ P=\frac(C_(5)^2 \cdot C_(5)^(0))(C_(10)^2) = \frac(10 \cdot 1)(45) = \frac(2) (9) = 0,222. $$

Primjer 3. U košu se nalaze 4 bijele i 2 crne lopte. Iz koša su uzete 2 lopte. Kolika je vjerovatnoća da su iste boje?

Ovdje zadatak postaje malo složeniji, a mi ćemo ga rješavati korak po korak. Unesite traženi događaj
$A = $ (Odabrane kuglice iste boje) = (Odabrane su 2 bijele ili 2 crne kuglice).
Zamislimo ovaj događaj kao zbir dva nekompatibilna događaja: $A=A_1+A_2$, gdje je
$A_1 = $ (2 bijele loptice odabrane),
$A_2 = $ (odabrane su 2 crne kuglice).

Zapišimo vrijednosti parametara: $K=4$ (bijele lopte), $N-K=2$ (crne lopte), ukupno $N=4+2=6$ (ukupno lopti u košu). Biramo $n=2$ loptice.

Za događaj $A_1$ od njih treba biti $k=2$ bijeli i, shodno tome, $n-k=2-2=0$ crni. Dobijamo:

$$ P(A_1)=\frac(C_(4)^2 \cdot C_(2)^(0))(C_(6)^2) = \frac(6 \cdot 1)(15) = \frac (2)(5) = 0,4. $$

Za događaj $A_2$, odabrane lopte moraju sadržavati $k=0$ bijele i $n-k=2$ crne. Dobijamo:

$$ P(A_2)=\frac(C_(4)^0 \cdot C_(2)^(2))(C_(6)^2) = \frac(1 \cdot 1)(15) = \frac (1)(15). $$

Tada je vjerovatnoća željenog događaja (izvučene kuglice iste boje) zbir vjerovatnoća ovih događaja:

$$ P(A)=P(A_1)+P(A_2)=\frac(2)(5) + \frac(1)(15) =\frac(7)(15) = 0,467. $$

Postoje tri urne identičnog izgleda; u prvoj urni su 2 bijele i 1 crne kuglice; u drugoj urni su 3 bijele i 1 crna kugla; treća sadrži 2 bijele i 2 crne lopte.

Neko nasumce odabere jednu od urni i iz nje izvuče loptu. Nađi vjerovatnoću da je ova lopta bijela.

Razmotrimo tri hipoteze:

H1-izbor prve urne

H2-izbor druge urne

H3-izbor treće urne

Kompletna grupa nespojivih događaja.

Neka je događaj A pojava bijele lopte. Jer hipoteze, prema uslovima problema su podjednako moguće, tada je P(H1) = P(H2) = P(H3) =1\3

Uslovne vjerovatnoće događaja A prema ovim hipotezama su respektivno jednake: P(A/H1) =2\3; P(A/H2) =3\4; P(A/H3) =1/2.

Prema formuli ukupne vjerovatnoće

P(A) =1\3*3\2+1\3*3\4+1\3*1\2=23\36

Odgovor: 23\36

P.2. Teorema hipoteza.

Posljedica teoreme množenja i formule ukupne vjerovatnoće je takozvana teorema hipoteze, ili Bayesova formula.

Postavimo sljedeći problem.

Postoji kompletna grupa nekonzistentnih hipoteza H1, H2,. . Nn. vjerovatnoće ovih hipoteza su poznate prije eksperimenata i jednake su P(H1), P(H2) ..., P(Hn). Proveden je eksperiment u kojem je uočena pojava nekog događaja A. Postavlja se pitanje kako bi se promijenile vjerovatnoće hipoteza u vezi sa nastankom ovog događaja?

Evo, u suštini mi pričamo o tome o pronalaženju uslovne vjerovatnoće P(H1/A) za svaku hipotezu.

Iz teoreme množenja imamo:

R(A*Ni) =P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi), (i=1,2,3, .n) ili, odbacivši lijevu stranu Nutrend enduro bcaa 120caps kupiti.

P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi),(i=1,2,. .,n)

Gdje je P (Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) ÷P(A),(i=1,2,3, . . n)

Izražavajući sa P(A) koristeći ukupnu vjerovatnoću, imamo

P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) ÷∑P(Hi) P(A\Hi),(i=1,2,3, . . n) (2)

Formula (2) se zove Baysova formula ili teorem hipoteze

Primer 2. U fabrici 30% proizvoda proizvodi mašina I, 25% proizvoda mašina II, ostatak proizvoda mašina III. Za mašinu I otpada 1% proizvoda, za mašinu II - 1,5%, za mašinu III - 2%, slučajno odabrana proizvodna jedinica pokazala se neispravnom. Kolika je vjerovatnoća da ga je proizvela mašina I?

Hajde da uvedemo notaciju za događaje.

A-ispostavilo se da je odabrani proizvod neispravan

H1-proizvod proizveden mašinom I

H2 - proizvod proizveden mašinom II

H3 - proizvod proizveden mašinom III

P(H1) =0,30; P(H2) =0,25; P(H3) =0,45

P(A/H1) =0,01,

P(A/H2) =0,015

P(A/H3) =0,02

P(A) =0,01*0,30+0,015*0,25+0,02*0,45=0,015,

P(H1/A) = 0,01*0,30÷0,015=0,20

Odgovor: 20% svih neispravnih proizvoda proizvodi mašina I.

§9. Bernulijeva formula

Zakon veliki brojevi

Neka A slučajni događaj u odnosu na neko iskustvo σ. Nas će zanimati samo da li se događaj A dogodio ili nije kao rezultat iskustva, stoga ćemo prihvatiti sljedeću tačku gledišta: prostor elementarni događaji, povezan sa iskustvom σ, sastoji se od samo dva elementa - A i A. Označimo verovatnoće ovih elemenata sa p i q, (p+q=1).

Pretpostavimo sada da se eksperiment σ pod nepromijenjenim uvjetima ponavlja određeni broj puta, na primjer, 3 puta. Složimo se da trostruku realizaciju σ smatramo izvesnom novo iskustvoη. Ako nas i dalje zanima samo pojavljivanje ili nepostojanje A., onda bi očigledno trebalo prihvatiti da se prostor elementarnih događaja koji odgovaraju iskustvu η sastoji od svih mogućih nizova dužine 3: (A, A, A) , (A, A, A), ( A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), ( A, A, A), koji se može sastaviti od A i A.

Svaka od navedenih sekvenci označava jedan ili drugi slijed pojavljivanja ili nenastupanja događaja A u tri eksperimenta σ, na primjer, sekvenca (A, A, A) znači da se A dogodio u prvom eksperimentu, a A dogodio se u drugi i treći. Definišimo koje vjerovatnoće treba dodijeliti svakom od nizova (1)

Uslov da se sva tri puta eksperiment σ izvede pod nepromenjenim uslovima treba da znači sledeće: ishod svakog od tri eksperimenta ne zavisi od toga koji su se ishodi desili u druga dva eksperimenta. One. svaka kombinacija ishoda tri eksperimenta je trostruka nezavisnih događaja. U ovom slučaju, prirodno je da se elementarnom događaju (A, A, A) dodijeli vjerovatnoća jednaka p*q*q, a događaju (A, A, A) vjerovatnoća jednaka q*y*y , itd.

To. Dolazimo do sljedećeg opisa probabilističkog modela za eksperiment η (tj. za trostruku implementaciju eksperimenta σ). Prostor Ω elementarnih događaja je skup od 2 do 3 niza stepena. (1). Svaki niz je povezan kao vjerovatnoća sa brojem p na stepen k, q na stepen od e, pri čemu eksponenti određuju koliko se puta simboli A i A pojavljuju u izrazu za dati niz.

Vjerovatni modeli ove vrste nazivaju se Bernoullijevim šemama. IN opšti slučaj Bernoullijeva shema je određena vrijednostima brojeva n i p, gdje je n broj ponavljanja početnog eksperimenta σ (u prethodnom eksperimentu smatrali smo n=3), a p je vjerovatnoća događaja A u odnosu na eksperiment σ.

Teorema 1. neka je vjerovatnoća događaja A jednaka p, i neka je Pmn vjerovatnoća da u nizu od n nezavisni testovi ovaj događaj će se desiti m puta.

Tada vrijedi Bernoullijeva formula.

Pmn=Cn na stepen od m *P na stepen od m *q na stepeni n-m

Novčić se baca 10 puta. Kolika je vjerovatnoća da će se grb pojaviti tačno 3 puta?

IN u ovom slučaju uspjehom se smatra gubitak grba; vjerovatnoća p ovog događaja u svakom eksperimentu jednaka je 1\2.

Dakle: R10.3=S10 do 3 stepena*(1\2) do 3 stepena*(1\2) do 7 stepeni=10*9*8÷1*2*3*(1÷2 do 10 stepeni) = 15\128

Odgovor: 15\128

At veliki broj testovima, relativna učestalost pojave događaja malo se razlikuje od vjerovatnoće ovog događaja. Matematičku formulaciju ove kvalitativne tvrdnje daje Bernoullijev zakon velikih brojeva, koji je precizirao Čebišev.

Teorema 2. Neka je vjerovatnoća događaja A u testu p jednaka p, i neka se izvede niz od n nezavisnih ponavljanja ovog testa.

Neka m označava broj pokušaja u kojima se dogodio događaj A. Zatim za bilo koji pozitivan brojα vrijedi nejednakost:

Z(|m\n-p|> α)

Značenje ove nejednakosti je da je izraz m÷n jednak relativnoj frekvenciji događaja A u seriji eksperimenata, a |m\n-p|> α znači da je odstupanje ove relativne frekvencije od teorijske vrijednosti p. Nejednakost |m\n-p|> α znači da se pokazalo da je odstupanje veće od α. Ali pri konstantnoj vrijednosti α sa povećanjem n desni deo nejednakost (3) teži nuli. Drugim riječima, serije u kojima je odstupanje eksperimentalne frekvencije od teorijske veliko čine mali dio svih mogućih testnih serija.

Teorema implicira izjavu koju je dobio Bernoulli: pod uslovima teoreme, za bilo koju vrijednost α>0 imamo