Da li kvadrati imaju jednake površine? Svojstva površina poligona Jednaki poligoni imaju jednake površine

VIII razred: Tema 3. Površine figura. Pitagorina teorema.

1. Koncept područja. Figure jednake veličine.

Ako je dužina numerička karakteristika linije, tada je površina numerička karakteristika zatvorene figure. Uprkos činjenici da nam je pojam područja iz svakodnevnog života dobro poznat, ovom pojmu nije lako dati striktnu definiciju. Ispada da se površina zatvorene figure može nazvati bilo kojom nenegativnom količinom koja ima sljedeće svojstva mjerenja površina figura:

Jednake figure imaju jednake površine. Ako je data zatvorena figura podijeljena na nekoliko zatvorenih figura, tada je površina figure jednaka zbroju površina njenih sastavnih figura (figura na slici 1 podijeljena je na n figure; u ovom slučaju, područje figure, gdje Si- kvadrat i-ta figura).

U principu, bilo bi moguće doći do skupa veličina koje imaju formulirana svojstva i stoga karakteriziraju područje figure. Ali najpoznatija i najprikladnija vrijednost je ona koja karakterizira površinu kvadrata kao kvadrat njegove stranice. Nazovimo ovaj "sporazum" trećim svojstvom mjerenja površina figura:

Površina kvadrata jednaka je kvadratu njegove stranice (slika 2).

Sa ovom definicijom, površina figura se mjeri u kvadratnim jedinicama ( cm 2, km 2, ha=100m 2).

Figure koje imaju jednake površine nazivaju se jednake veličine .

komentar: Jednake figure imaju jednake površine, odnosno jednake figure su jednake veličine. Ali figure jednake veličine nisu uvijek jednake (na primjer, slika 3 prikazuje kvadrat i jednakokraki trokut koji se sastoji od jednakih pravokutnih trokuta (usput rečeno, takav figure pozvao podjednako sastavljena ); jasno je da su kvadrat i trokut jednaki po veličini, ali nisu jednaki, jer se ne preklapaju).

Zatim ćemo izvesti formule za izračunavanje površina svih glavnih tipova poligona (uključujući i dobro poznatu formulu za pronalaženje površine pravokutnika), na osnovu formuliranih svojstava mjerenja površina figura.

2. Površina pravougaonika. Površina paralelograma.

Formula za izračunavanje površine pravougaonika: Površina pravokutnika jednaka je proizvodu njegove dvije susjedne stranice (slika 4).

Dato:

A B C D- pravougaonik;

AD=a, AB=b.

Dokazati: SABCD=a× b.

dokaz:

1. Proširite stranu AB za segment B.P.=a, i sa strane AD- za segment D.V.=b. Napravimo paralelogram APRV(Slika 4). Od Ð A=90°, APRV- pravougaonik. Gde AP=a+b=AV, Þ APRV– kvadrat sa stranom ( a+b).

2. Označimo B.C.Ç RV=T, CDÇ PR=Q. Onda BCQP– kvadrat sa stranom a, CDVT– kvadrat sa stranom b, CQRT- pravougaonik sa stranicama a I b.

Formula za izračunavanje površine paralelograma: Površina paralelograma jednaka je umnošku njegove visine i osnove (slika 5).

komentar: Osnova paralelograma se obično naziva stranom na koju je povučena visina; Jasno je da bilo koja strana paralelograma može poslužiti kao baza.

Dato:

A B C D– p/g;

B.H.^AD, HÎ AD.

dokazati: SABCD=AD× B.H..

dokaz:

1. Idemo u bazu AD visina CF(Slika 5).

2. B.C.ïê HF, B.H.ïê CF, Þ BCFH- p/g po definiciji. Ð H=90°, Þ BCFH- pravougaonik.

3. BCFH– p/g, Þ prema svojstvu p/g B.H.=CF, Þ D BAH=D CDF duž hipotenuze i kraka ( AB=CD prema St. p/g, B.H.=CF).

4. SABCD=SABCF+S D CDF=SABCF+S D BAH=SBFH=B.H.× B.C.=B.H.× AD. #

3. Površina trougla.

Formula za izračunavanje površine trokuta: Površina trokuta jednaka je polovini umnoška njegove visine i osnove (slika 6).

komentar: U ovom slučaju, osnova trokuta je strana na koju je povučena visina. Bilo koja od tri strane trougla može poslužiti kao njegova osnova.

Dato:

BD^A.C., DÎ A.C..

dokazati: .

dokaz:

1. Završimo D ABC do p/y ABKC prolaskom kroz vrh B ravno B.K.ïê A.C., i kroz vrh C- ravno CKïê AB(Slika 6).

2. D ABC=D KCB sa tri strane ( B.C.– general, AB=KC I A.C.=K.B. prema St. p/g), Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_34.gif" width="107" height="36">).

Korol 2: Ako uzmemo u obzir p/u D ABC sa visinom A.H., povučen na hipotenuzu B.C., To . dakle, u p/u Visina D-ke povučena hipotenuzom jednaka je omjeru umnoška njegovih kateta i hipotenuze . Ova relacija se dosta često koristi pri rješavanju problema.

4. Posljedice iz formule za pronalaženje površine trokuta: omjer površina trouglova jednakih visina ili osnova; jednaki trouglovi u figurama; svojstvo površina trouglova formiranih dijagonalama konveksnog četvorougla.

Iz formule za izračunavanje površine trokuta na elementaran način slijede dvije posljedice:

1. Omjer površina trouglova jednakih visina jednak omjeru njihovih baza (na slici 8 ).

2. Omjer površina trouglova sa jednakim osnovama jednak omjeru njihovih visina (na slici 9 ).

komentar: Prilikom rješavanja zadataka vrlo se često susreću trouglovi zajedničke visine. U ovom slučaju, u pravilu, njihove baze leže na istoj pravoj liniji, a vrh nasuprot bazama je uobičajen (na primjer, na slici 10. S 1:S 2:S 3=a:b:c). Trebali biste naučiti vidjeti ukupnu visinu takvih trouglova.

Također, formula za izračunavanje površine trokuta daje korisne činjenice koje vam omogućavaju da pronađete jednaki trokuti u figurama:

1. Medijan proizvoljnog trougla dijeli ga na dva jednaka trougla (na slici 11 kod D A.B.M. i D ACM visina A.H.– opšte i osnove B.M. I CM. jednak po definiciji medijane; proizilazi da je D A.B.M. i D ACM jednake veličine).

2. Dijagonale paralelograma dijele ga na četiri jednaka trougla (na slici 12 A.O.– medijana trougla ABD svojstvom dijagonala p/g, Þ zbog prethodnih svojstava trouglova ABO I ADO jednake veličine; jer B.O.– medijana trougla ABC, trouglovi ABO I BCO jednake veličine; jer CO– medijana trougla BCD, trouglovi BCO I DCO jednake veličine; dakle, S D ADO=S D ABO=S D BCO=S D DCO).

3. Dijagonale trapeza dijele ga na četiri trokuta; dva od njih, uz bočne strane, jednake su veličine (Slika 13).

Dato:

A B C D– trapez;

B.C.ïê AD; A.C.Ç BD=O.

Dokazati: S D ABO=S D DCO.

dokaz:

1. Nacrtajmo visine B.F. I CH(Slika 13). Zatim D ABD i D ACD baza AD– opšte i visine B.F. I CH jednako; Þ S D ABD=S D ACD.

2. S D ABO=S D ABD ‑ S D AOD=S D ACD ‑ S D AOD=S D DCO. #

Ako nacrtate dijagonale konveksnog četverougla (slika 14), formiraju se četiri trokuta čije su površine povezane vrlo lako pamtljivim omjerom. Izvođenje ovog odnosa oslanja se isključivo na formulu za izračunavanje površine trokuta; međutim, u literaturi se nalazi prilično rijetko. Budući da je koristan u rješavanju problema, relacija koja će biti formulirana i dokazana u nastavku zaslužuje veliku pažnju:

Svojstvo površina trokuta formiranih dijagonalama konveksnog četvorougla: Ako su dijagonale konveksnog četverokuta A B C D seku u tački O, zatim (Slika 14).

A B C D– konveksni četvorougao;

https://pandia.ru/text/78/214/images/image025_28.gif" width="149" height="20">.

dokaz:

1. B.F.– ukupna visina D AOB i D BOC; Þ S D AOB:S D BOC=A.O.:CO.

2. D.H.– ukupna visina D AOD i D C.O.D.; Þ S D AOD:S D C.O.D.=A.O.:CO.

5. Omjer površina trouglova koji imaju jednake uglove.

Teorema o odnosu površina trouglova koji imaju jednake uglove: Površine trouglova koji imaju jednake uglove odnose se kao produkti stranica koje zatvaraju ove uglove (slika 15).

Dato:

D ABC, D A 1B 1C 1;

Ð BAC=Ð B 1A 1C 1.

dokazati:

.

dokaz:

1. Položite ga na zraku AB linijski segment AB 2=A 1B 1, i na gredi A.C.- linijski segment A.C. 2=A 1C 1 (Slika 15). Zatim D AB 2C 2=D A 1B 1C 1 na dvije strane i ugao između njih ( AB 2=A 1B 1 i A.C. 2=A 1C 1 po konstrukciji, i R B 2A.C. 2=r B 1A 1C 1 po uslovu). Znači,.

2. Povežite tačke C I B 2.

3. CH– ukupna visina D AB 2C i D ABC, Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image033_22.gif" width="81" height="43 src=">.

6. Svojstvo simetrale trougla.

Koristeći teoreme o odnosu površina trokuta jednakih uglova i o odnosu površina trokuta jednakih visina, jednostavno dokazujemo činjenicu koja je izuzetno korisna u rešavanju problema i nije direktno povezana sa površinama figura. :

Svojstvo simetrale trokuta: Simetrala trougla dijeli stranu na koju je povučen na segmente proporcionalne stranicama koje su im susjedne.

Dato:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image036_22.gif" width="61" height="37">.

dokaz:

1..gif" width="72 height=40" height="40">.

3. Iz tačaka 1 i 2 dobijamo: , Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image041_19.gif" width="61" height="37">. #

komentar: Budući da se ekstremni ili srednji članovi mogu zamijeniti u ispravnom omjeru, zgodnije je zapamtiti svojstvo simetrale trokuta u sljedećem obliku (slika 16): .

7. Površina trapeza.

Formula za izračunavanje površine trapeza: Površina trapeza jednaka je umnošku njegove visine i polovine zbira njegovih baza.

Dato:

A B C D– trapez;

B.C.ïê AD;

B.H.- visina.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image044_21.gif" width="127" height="36">.

dokaz:

1. Nacrtajmo dijagonalu BD i visina DF(Slika 17). BHDF– pravougaonik, Þ B.H. = DF.

Posljedica: Omjer površina trapeza jednakih visina jednak je omjeru njihovih srednjih linija (ili omjeru zbira baza).

8. Površina četvorougla sa međusobno okomitim dijagonalama.

Formula za izračunavanje površine četvorougla sa međusobno okomitim dijagonalama: Površina četverokuta sa međusobno okomitim dijagonalama jednaka je polovini umnoška njegovih dijagonala.

A B C D– četvorougao;

A.C.^BD.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_20.gif" width="104" height="36">.

dokaz:

1. Označimo A.C.Ç BD=O. Zbog A.C.^BD, A.O.– visina D ABD, A CO– visina D CBD(Slike 18a i 18b za slučajeve konveksnih i nekonveksnih četvorouglova, respektivno).

2.
(znakovi “+” ili “-” odgovaraju slučajevima konveksnih i nekonveksnih četvorougla, respektivno). #

Pitagorina teorema igra izuzetno važnu ulogu u rješavanju širokog spektra problema; omogućava vam da pronađete nepoznatu stranu pravouglog trougla sa njegove dve poznate stranice. Postoje mnogi poznati dokazi Pitagorine teoreme. Predstavimo najjednostavniji od njih, zasnovan na formulama za izračunavanje površina kvadrata i trokuta:

Pitagorina teorema: U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta.

Dato:

D ABC– p/u;

Ð A=90°.

dokazati:

B.C. 2=AB 2+A.C. 2.

dokaz:

1. Označimo A.C.=a, AB=b. Stavimo to na zrak AB linijski segment B.P.=a, i na gredi A.C.- linijski segment životopis=b(Slika 19). Hajde da prođemo kroz tačku P direktno PRïê AV, i kroz tačku V– ravno VRïê AP. Onda APRV- p/g po definiciji. Štaviše, budući da je R A=90°, APRV- pravougaonik. I zato AV=a+b=AP, APRV– kvadrat sa stranom a+b, And SAPRV=(a+b)2. Zatim ćemo podijeliti stranu PR dot Q u segmente PQ=b I QR=a, i sa strane RV– tačka T u segmente RT=b I TV=a.

2.D ABC=D PQB=D RTQ=D VCT sa dvije strane, Þ Ð ACB=Ð PBQ=Ð RQT=Ð VTC, B.C.=QB=T.Q.=C.T. i https://pandia.ru/text/78/214/images/image055_17.gif" width="115" height="36">.

3. Jer B.C.=QB=T.Q.=C.T., CBQT- romb U isto vrijeme QBC=180°-(r ABC+Ð PBQ)=180°-(R ABC+Ð ACB)=Ð BAC=90°; Þ CBQT- kvadrat, i SCBQT=B.C. 2.

4. . dakle, B.C. 2=AB 2+A.C. 2. #

Inverzna Pitagorina teorema je znak pravouglog trougla, odnosno omogućava vam da pomoću tri poznate stranice trougla proverite da li je pravougao.

Obratna Pitagorina teorema: Ako je kvadrat stranice trokuta jednak zbiru kvadrata njegove druge dvije stranice, tada je trokut pravougao i njegova najduža stranica je hipotenuza.

Dato:

B.C. 2=AB 2+A.C. 2.

dokazati: D ABC– p/u;

Ð A=90°.

dokaz:

1. Konstruirajte pravi ugao A 1 i stavite segmente na njegove strane A 1B 1=AB I A 1C 1=A.C.(Slika 20). U rezultirajućem p/u D A 1B 1C 1 po Pitagorinoj teoremi B 1C 12=A 1B 12+A 1C 12=AB 2+A.C. 2; ali prema stanju AB 2+A.C. 2=B.C. 2; Þ B 1C 12=B.C. 2, Þ B 1C 1=B.C..

2.D ABC=D A 1B 1C 1 na tri strane ( A 1B 1=AB I A 1C 1=A.C. po izgradnji, B 1C 1=B.C. iz tačke 1), Þ Ð A=Ð A 1=90°, Þ D ABC- p/u. #

Zovu se pravokutni trouglovi čije su dužine stranica izražene prirodnim brojevima Pitagorini trouglovi , a trojke odgovarajućih prirodnih brojeva su Pitagorine trojke . Pitagorine trojke je korisno zapamtiti (veći od ovih brojeva jednak je zbiru kvadrata druga dva). Evo nekoliko pitagorinih trojki:

3, 4, 5;

5, 12, 13;

8, 15, 17;

7, 24, 25;

20, 21, 29;

12, 35, 37;

9, 40, 41.

Pravokutni trokut sa stranicama 3, 4, 5 korišten je u Egiptu za konstruiranje pravih uglova, te je stoga takav trougao pozvao Egipatski .

10. Heronova formula.

Heronova formula vam omogućava da pronađete površinu proizvoljnog trokuta sa njegove tri poznate strane i neophodna je u rješavanju mnogih problema.

Heronova formula: Površina trougla sa stranicama a, b I c izračunava se pomoću sljedeće formule: , gdje je poluperimetar trokuta.

Dato:

B.C.=a; A.C.=b; AB=c.). Onda .

4. Zamijenite rezultirajući izraz za visinu u formulu za izračunavanje površine trokuta: . #

Izvor posla: Odluka 2746.-13. OGE 2017 Matematika, I.V. Yashchenko. 36 opcija.

Zadatak 11. Stranica romba je 12, a udaljenost od točke presjeka dijagonala romba do nje je 1. Nađite površinu ovog romba.

Rješenje.

Površina romba se može izračunati na isti način kao i površina paralelograma, odnosno kao proizvod visine h romba na dužinu stranice a na koju je povučen:

Na slici crvena linija zajedno sa crnom pokazuje visinu h romba, koja je jednaka (pošto su dužine crne i crvene linije jednake). Dužina stranice je a=12 takođe prema uslovima zadatka. Dobijamo površinu romba:

odgovor: 24.

Zadatak 12. Romb je prikazan na kariranom papiru kvadrata veličine 1x1. Odredite dužinu njegove duže dijagonale.

Rješenje.

Na slici plave linije pokazuju dijagonale romba. Može se vidjeti da je velika dijagonala 12 ćelija.

odgovor: 12.

Zadatak 13. Koje od sljedećih izjava su istinite?

1) Postoji pravougaonik čije su dijagonale međusobno okomite.

2) Svi kvadrati imaju jednake površine.

3) Jedan od uglova trougla uvek ne prelazi 60 stepeni.

Kao odgovor, zapišite brojeve odabranih iskaza bez razmaka, zareza ili drugih dodatnih znakova.

Rješenje.

1) Tačno. Ovo je pravougaonik koji se pretvara u kvadrat.

“Magareći most” Dokaz Pitagorine teoreme smatran je veoma teškim u krugovima srednjovjekovnih studenata i ponekad se nazivao Pons Asinorum “magareći most” ili elefuga – “let bijednika”, budući da su neki “jadni” studenti koji nije imao ozbiljnu matematičku obuku pobegao je od geometrije. Slabi učenici koji su pamtili teoreme napamet, bez razumijevanja, pa su zbog toga dobili nadimak „magarci“, nisu bili u stanju da savladaju Pitagorinu teoremu, koja im je služila kao nepremostivi most.

Dato: ABC, C=90°, B=60°, AB=12 cm AC=10 cm Nađi: SABC Usmeno riješi CA B Zadato: ABC, C=90°, AB=18 cm, BC=9 cm Nađi: B , A Odgovor: A=30º, B=60º Odgovor: 30 cm²

C² = a 2 + b 2 a b c C A B c = a 2 + b cba U pravokutnom trouglu, a i b su katete, c je hipotenuza. Popunite tabelu. b =c²-a² a =c²-b² b 2 =c²-a² a 2 =c²-b²

Rešenje 3. ACD je pravougaona, D=45° DAC=45°ACD - jednakokraka CD = AC = 4 SADC = 8. Dakle, površina cele figure S ABCB = SABC + SADC = Dato je: AB=2 3, BC=2, B= 90 ACD=90 BAC=3 0, D=45 Nađi: S ABCB. Zadatak 30º D C B A Površina cele figure S ABCB = SABC + SADC 2. ABC je pravougaona, SABC = 2 3; BAC=30° AC = 2BC = 4.

497 Jedna od dijagonala paralelograma je njegova visina. Nađi ovu dijagonalu ako je obim paralelograma 50 cm, a razlika između susjednih stranica 1 cm. AD ​​CB Dato: ABCD - paralelogram, BD AD, P ABCD = 50 cm, AB-AD = 1 cm. BD. Rješenje. Neka je AD=x cm, tada je AB=(x+1) cm P ABCD =2·(AB+AD), zatim 50=2·(x+1+x) 25=2x+1 x=12, što znači AD=12 cm, AB=13 cm. 1. AD=12 cm , AB=13 cm 2. Pronađite BD koristeći Pitagorinu teoremu: AB²=VD²+AD² BD=5 (cm) 12 cm 13 cm

BC za 6 cm Nađite: BC, CD, AD. " title="Problem Površina pravougaonog trapeza je 120 cm², a visina mu je 8 cm. Nađi sve stranice trapeza ako je jedna od njegovih osnova 6 cm veća od druge. D BC A N Dato : ABCD - trapez, AB AD , S ABCD = 120 cm², AB = 8 cm, AD>BC za 6 cm Nađi: BC, CD, AD." class="link_thumb"> 16 !} Zadatak Površina pravokutnog trapeza je 120 cm², a visina mu je 8 cm. Pronađite sve stranice trapeza ako je jedna od njegovih osnova 6 cm veća od druge. D BC A N Dato: ABCD - trapez, AB AD, S ABCD = 120 cm², AB = 8 cm, AD>BC za 6 cm. Nađi: BC, CD, AD. Rješenje. Neka je BC=x cm, tada AD=(x+6) cm Jer S ABCD = ·8·(x+6+x)=120, 4(2x+6)=120 2x+6 = 30 x = 12, što znači BC 12 cm, AD=18 cm AB=8 cm, BC= 12 cm, AD=18 cm Dodatna konstrukcija: CH AD, tada je ABCN pravougaonik. CH=AB=8 cm, AH=BC=12 cm, zatim HD=AD-AH=6 cm 12 cm 18 cm 6 cm Nađite CD koristeći Pitagorinu teoremu: CD2=CH2+HD2 CD=8²+6²CD=10 (cm ) Odgovor: AB=8 cm, BC=12 cm, CD=10 cm, AD=18 cm. BC za 6 cm Nađite: BC, CD, AD. "> BC za 6 cm. Pronađite: BC, CD, AD. Rješenje. Neka je BC=x cm, a zatim AD=(x+6) cm jer je S ABCD = ·8·(x+6+x)= 120, 4 (2x+6)=120 2x+6 = 30 x = 12, što znači BC 12 cm, AD=18 cm 1. 2. AB=8 cm, BC=12 cm, AD=18 cm Dodatna formacija: CH AD, tada je ABCN pravougaonik CH=AB=8 cm, AH=BC=12 cm, zatim HD=AD-AH=6 cm 12 cm 18 cm 6 cm Nađi CD koristeći Pitagorinu teoremu: CD²=CH²+HD² CD=8² +6²CD=10 (cm) Odgovor: AB=8 cm, BC=12 cm, CD=10 cm, AD=18 cm."> BC za 6 cm. Nađi: BC, CD, AD. " title="Problem Površina pravougaonog trapeza je 120 cm², a visina mu je 8 cm. Nađi sve stranice trapeza ako je jedna od njegovih osnova 6 cm veća od druge. D BC A N Dato : ABCD - trapez, AB AD , S ABCD = 120 cm², AB = 8 cm, AD>BC za 6 cm Nađi: BC, CD, AD."> title="Zadatak Površina pravokutnog trapeza je 120 cm², a visina mu je 8 cm. Pronađite sve stranice trapeza ako je jedna od njegovih osnova 6 cm veća od druge. D BC A N Dato: ABCD - trapez, AB AD, S ABCD = 120 cm², AB = 8 cm, AD>BC za 6 cm. Nađi: BC, CD, AD."> !} AB C M N Dato: ABC, BC=7,5 cm, AC=3,2 cm, AM BC, BN AC, AM=2,4 cm Nađi: BN Rješenje: SABC =½AM·CB=½·2,4 ·7,5=9 cm² S ABC =½BN· AC BN=2·S ABC:AC=2·9:3.2=5.625 cm Odgovor: 5.625 cm Dve stranice trougla su 7.5 cm i 4 cm Visina povučena na veću stranicu jednaka je 2.4 cm. Nađi visinu privučeni manjoj od ovih strana. 470

Površina pravokutnog trokuta je 168 cm². Pronađite njegove noge ako je omjer njihovih dužina 7:12. A C B Dato: ABC, C = 90º, AC: BC = 7:12, S ABC = 168 cm² Nađi: AC, BC. Rješenje: SABC =½AC·BC 168=½7x·12x 168=42x² x=2 AC=14 cm, BC=24 cm Odgovor: 14 cm i 24 cm 472

Svojstva područja 10. Jednaki poligoni imaju jednake površine. D B A C N ABC = NFD F

Svojstva površina 20. Ako je poligon sastavljen od više poligona, onda je njegova površina jednaka zbiru površina ovih poligona. C B D A F

Svojstva površina 30. Površina kvadrata jednaka je kvadratu njegove stranice. 3 cm S=9 cm 2 Koristeći svojstva površina, pronađi površine figura

Jedinice mjerenja površine 1 m 2 = 100 dm 2 1 dm 2 = 100 cm 2

Jedinice mjerenja površine 1 km 2 1 ha 1 a 1 m 2 1 dm 2 1 cm 2 1 mm 2: 100: 100

Površina pravougaonika b S Dokažimo da je S = ab a a KVADRAT SA STRANICOM a 2 a+b = S + a 2 + b 2 a 2 +2 ab + b 2 = 2 S + a 2 + b 2 S (a+b) 2 S 2 ab = 2 S S = ab b 2 b: 2

Pod prostorije, koji ima oblik pravougaonika sa stranicama 5, 5 m i 6 m, mora biti obložen pravougaonim parketom. Dužina svake parketne daske je 30 cm, a širina 5 cm Koliko je takvih dasaka potrebno za pokrivanje poda? 6 m 5,5 m 5 cm 30 cm

Površine kvadrata izgrađenih na stranicama pravougaonika su 64 cm 2 i 121 cm 2. Nađite površinu pravougaonika. 121 cm 2 S-? 64 cm 2

Stranice svakog od pravougaonika ABCD i ARMK jednake su 6 cm i 10 cm. Nađite površinu figure koju čine sve tačke koje pripadaju barem jednom od ovih pravougaonika. A 10 cm P B 6 cm 10 cm D K C 6 cm M

ABCD je pravougaonik, AC je dijagonala. Pronađite površinu trokuta ABC. A a D ABC = ADC b SABC = B C

ABCD je pravougaonik. Nađi: SABF. B CE = DE, C F E A D SABCD = Q

AB = BC = 3, AF = 5, Nađi: SABCDEF. B EF = 2. C 3 D E 3 A 2 5 F

S=102 C Tačke K, M, T i E nalaze se 5 redom na stranicama AD, AB, BC i DC kvadrata E ABCD tako da je KD=7, AK=3, AM=5, BT=8, CE=5 . Nađite površinu četverokuta KMTE. D T B 2 8 M 5 7 K 3 A

Površina petougla ABCD je 48 cm 2. Nađite površinu i obim kvadrata ABCD. C B O A 1) 48: 3 * 4 = 64 (cm 2) SAVSD 2) AB = 8 (cm), PAVSD = 8 * 4 = 32 (cm) D

ABCD i MDKP su jednaki kvadrati. AB = 8 cm Nađite površinu četvorougla ASKM. B C 64 cm 2 8 cm 32 cm 2 D A 32 cm 2 M K 32 cm 2 R

ABCD i DSMK su kvadrati. AB = 6 cm Nađite površinu četvorougla OSPD. C H 6 cm A O M R D K

ABCD – pravougaonik; M, K, P, T su sredine njegovih stranica, AB = 6 cm, AD = 12 cm. Pronađite površinu četvorougla MKRT. H K 6 cm M A C R T 12 cm D

ABCD – pravougaonik; M, K, P, T su sredine njegovih stranica, AB = 16 cm, BC = 10 cm. Pronađite površinu šestougla AMKSRT. C P 10 cm K B D T M 16 cm A