Poliedar čija su lica 4 trougla. Pravilni poliedri: elementi, simetrija i površina

Poliedri ne samo da zauzimaju istaknuto mjesto u geometriji, već se pojavljuju i u Svakodnevni život svaka osoba. Da ne spominjemo umjetno stvorene kućne predmete u obliku raznih poligona, počevši od kutija šibica i završavajući arhitektonskim elementima, u prirodi postoje i kristali u obliku kocke (sol), prizme (kristal), piramide (šeelit), oktaedra (dijamant) itd.

Pojam poliedra, vrste poliedra u geometriji

Geometrija kao nauka sadrži deo stereometrije koji proučava karakteristike i svojstva trodimenzionalnih tela čije su stranice u trodimenzionalni prostor formirane ograničenim ravnima (licama), nazivaju se "poliedri". Vrste poliedara uključuju više od desetak predstavnika, koji se razlikuju po broju i obliku lica.

Međutim, svi poliedri imaju zajednička svojstva:

Svi oni imaju 3 integralne komponente: lice (površinu poligona), vrh (uglove formirane na spoju lica), ivicu (strana figure ili segment formiran na spoju dva lica). ).
Svaka ivica poligona povezuje dva, i to samo dva, lica koja su jedna uz drugu.
Konveksnost znači da se tijelo u potpunosti nalazi samo na jednoj strani ravni na kojoj leži jedno od lica. Pravilo se odnosi na sve strane poliedra. Takve geometrijske figure u stereometriji nazivaju se konveksni poliedri. Izuzetak su zvjezdani poliedri, koji su derivati pravilnih poliedara. geometrijska tijela.

Poliedri se mogu podijeliti na:

Vrste konveksnih poliedara, koji se sastoje od sljedećih klasa: obični ili klasični (prizma, piramida, paralelepiped), pravilni (koji se nazivaju i Platonova tijela), polupravilni (drugi naziv - Arhimedova tijela).
Nekonveksni poliedri (zvezdani).

Prizma i njena svojstva

Stereometrija kao grana geometrije proučava svojstva trodimenzionalnih figura, vrste poliedara (prizma je jedna od njih). Prizma je geometrijsko tijelo koje nužno ima dva potpuno identična lica (nazivaju se i baze) koje leže u paralelne ravni, i n-ti broj bočnih strana u obliku paralelograma. Zauzvrat, prizma također ima nekoliko varijanti, uključujući takve vrste poliedra kao:

Paralelepiped se formira ako je osnova paralelogram - mnogokut sa 2 para jednakih suprotnih uglova i 2 para podudarnih suprotnih strana.
Prava prizma ima ivice okomite na osnovu.
karakterizira prisustvo nepravih uglova (osim 90) između lica i baze.
Pravilnu prizmu karakteriziraju baze u obliku s jednakim bočnim stranama.

Glavna svojstva prizme:

Kongruentne baze.
Sve ivice prizme su jednake i paralelne jedna s drugom.
Sve bočne strane imaju oblik paralelograma.

Piramida

Piramida je geometrijsko tijelo, koje se sastoji od jedne baze i n-tog broja trouglastih lica, povezanih u jednoj tački - vrhu. Treba napomenuti da ako su bočne strane piramide nužno predstavljene trokutima, tada u osnovi može biti ili trokutasti poligon, ili četverokut, i petougao, i tako dalje do beskonačnosti. U ovom slučaju, naziv piramide će odgovarati poligonu u bazi. Na primjer, ako se u osnovi piramide nalazi trokut - ovo je četverokut - četverokut itd.

Piramide su poliedri u obliku konusa. Vrste poliedara ove grupe, pored gore navedenih, uključuju i sljedeće predstavnike:

Pravilna piramida u osnovi ima pravilan poligon, a visina joj je projektovana na centar kruga koji je upisan u osnovu ili opisan oko njega.
Pravokutna piramida nastaje kada se jedna od bočnih ivica siječe s bazom pod pravim uglom. U ovom slučaju, također je pošteno nazvati ovu ivicu visinom piramide.

Svojstva piramide:

Ako su sve bočne ivice piramide podudarne ( iste visine), tada se svi sijeku s bazom pod jednim kutom, a oko baze možete nacrtati krug sa centrom koji se poklapa s projekcijom vrha piramide.
Ako pravilni mnogokut leži u osnovi piramide, tada su sve bočne ivice podudarne, a lica su jednakokraki trouglovi.

Pravilni poliedar: vrste i svojstva poliedara

U stereometriji posebno mjesto zauzimaju geometrijska tijela sa apsolutno jednakim licima, na čijim vrhovima je povezan isti broj ivica. Ova tijela se nazivaju Platonova tijela ili pravilni poliedri. Vrste poliedara s takvim svojstvima imaju samo pet figura:

Tetrahedron.
Heksaedar.
Oktaedar.
Dodecahedron.
Ikosaedar.

Pravilni poliedri svoje ime duguju starogrčkom filozofu Platonu, koji je u svojim spisima opisao ova geometrijska tijela i povezao ih sa prirodnim elementima: zemljom, vodom, vatrom, zrakom. Petoj figuri je dodijeljena sličnost sa strukturom svemira. Po njegovom mišljenju, atomi prirodnih elemenata po obliku nalikuju tipovima pravilnih poliedara. Zbog svog najuzbudljivijeg svojstva - simetrije, ova geometrijska tijela su predstavljena veliko interesovanje ne samo za antičke matematičare i filozofe, već i za arhitekte, slikare i vajare svih vremena. Prisustvo samo 5 tipova poliedara sa apsolutnom simetrijom smatralo se temeljnim otkrićem, čak su dobili vezu s božanskim principom.

Heksaedar i njegova svojstva

U obliku šesterokuta, nasljednici Platona pretpostavili su sličnost sa strukturom atoma zemlje. Naravno, trenutno je ova hipoteza potpuno opovrgnuta, što, međutim, ne sprječava figure da privlače umove u moderno doba. poznate ličnosti sa svojom estetikom.

U geometriji, heksaedar, poznat i kao kocka, smatra se posebnim slučajem paralelepipeda, koji je, zauzvrat, neka vrsta prizme. U skladu s tim, svojstva kocke su povezana s jedinom razlikom što su sve strane i uglovi kocke jednaki jedni drugima. Iz ovoga proizilaze sljedeća svojstva:

Sve ivice kocke su podudarne i leže u paralelnim ravnima jedna u odnosu na drugu.
Sva lica su kongruentni kvadrati (u kocki ih ima ukupno 6), od kojih se svako može uzeti kao osnova.
Svi međuuglovi su 90.
Iz svakog vrha dolazi jednak broj ivica, odnosno 3.
Kocka ima 9 od kojih se svi sijeku u tački presjeka dijagonala heksaedra, koja se zove centar simetrije.

Tetrahedron

Tetraedar je tetraedar jednakih strana u obliku trouglova, čiji je svaki vrh spojna tačka tri lica.

Svojstva pravilnog tetraedra:

Sve strane tetraedra - ovo iz čega slijedi da su sve strane tetraedra podudarne.
Pošto je osnova predstavljena pravilnom geometrijskom figurom, to jest, ima jednake strane, tada se lica tetraedra konvergiraju pod istim uglom, odnosno svi uglovi su jednaki.
Zbir ravnih uglova u svakom od vrhova je 180, pošto su svi uglovi jednaki, tada je svaki ugao pravilnog tetraedra 60.
Svaki od vrhova se projektuje u tačku preseka visina suprotnog (ortocentra) lica.

Oktaedar i njegova svojstva

Opisujući vrste pravilnih poliedara, ne može se ne primijetiti takav objekt kao što je oktaedar, koji se može vizualno predstaviti kao dvije četverokutne pravilne piramide zalijepljene zajedno na osnovama.

Osobine oktaedra:

Sam naziv geometrijskog tijela sugerira broj njegovih lica. Oktaedar je sastavljen od 8 kongruentnih jednakostranični trouglovi, na čijem se vrhu konvergira jednak broj lica, odnosno 4.
Pošto su sve strane oktaedra jednake, jednaki su i njegovi međuuglovi, od kojih je svaki jednak 60, pa je zbir ravnih uglova bilo kog vrha 240.

Dodecahedron

Ako zamislimo da su sva lica geometrijskog tijela pravilan pentagon, onda ćemo dobiti dodekaedar - figuru od 12 poligona.

Svojstva dodekaedra:

Tri lica se sijeku u svakom vrhu.
Sve ivice su jednake i imaju iste dužine ivice, kao i jednaku površinu.
Dodekaedar ima 15 osi i ravni simetrije, a svaka od njih prolazi kroz vrh lica i sredinu suprotnog ruba.

ikosaedar

Ništa manje zanimljiv od dodekaedra, ikosaedar je trodimenzionalno geometrijsko tijelo sa 20 jednakih lica. Među svojstvima pravilnog dvadesetedra mogu se primijetiti sljedeće:

Sve strane ikosaedra su jednakokraki trouglovi.
Pet lica konvergira na svakom vrhu poliedra, i zbir susjedni uglovi vrh je 300.
Ikosaedar, kao i dodekaedar, ima 15 osa i ravni simetrije koje prolaze kroz sredine suprotnih strana.

Polupravilni poligoni

Pored Platonovih tijela, grupa konveksnih poliedara uključuje i Arhimedova tijela, koja su skraćeni pravilni poliedri. Tipovi poliedara ove grupe imaju sljedeća svojstva:

Geometrijska tijela imaju parno jednaka lica nekoliko tipova, na primjer, skraćeni tetraedar ima 8 lica, baš kao i pravilan tetraedar, ali u slučaju arhimedovog čvrstog tijela, 4 lica će biti trokutna, a 4 će biti šesterokutna.
Svi uglovi jednog temena su podudarni.

Zvjezdani poliedri

Predstavnici nevolumetrijskih tipova geometrijskih tijela su poliedri u obliku zvijezde, čija se lica međusobno sijeku. Mogu se formirati spajanjem dva pravilna trodimenzionalna tijela ili nastavljanjem njihovih lica.

Tako su takvi zvjezdani poliedri poznati kao: zvjezdani oblici oktaedra, dodekaedra, ikosaedra, kuboktaedra, ikosidodekaedra.

Lekcija 7 na temu: „Poliedri. Vrhovi, ivice, lica poliedra"

Svrha lekcije: upoznati učenike sa jednom od vrsta poliedara - kockom; mjerenjem i posmatranjem pronaći što više svojstava kocke.

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva

Metode:

Prema izvorima znanja: verbalni, vizuelni;

Prema stepenu interakcije nastavnik-učenik: heuristički razgovor;

U pogledu didaktičkih zadataka: priprema za opažanje;

Što se tiče prirode kognitivne aktivnosti:reproduktivni, djelimično istraživački.

Oprema: Tutorijal:Matematika: Vizuelna geometrija. 5-6 razreda I.F. Sharygin, multimedijalni projektor, kompjuter.

Ishodi učenja:

Lični: sposobnost emocionalne percepcije matematički objekti sposobnost izražavanja ideja jasno i tačno.

metasubjekt: sposobnost razumijevanja i korištenja vizuelnih pomagala.

Predmet: naučite crtati skenove i praviti oblike uz njihovu pomoć.

Oprema: udžbenik „Vizuelna geometrija. 5 - 6 razred "S. Sharygin, interaktivna tabla, makaze.

UUD:

kognitivni: analiza i klasifikacija objekata

regulatorno: postavljanje ciljeva; prepoznavanje i razumijevanje onoga što je već poznato i onoga što treba naučiti

komunikativan: obrazovna saradnja sa nastavnikom i vršnjacima.

Tokom nastave

Organiziranje vremena.

Aktuelizacija i fiksiranje osnovnih znanja.

Na stolu su poliedri u kojima su se učenici susreli osnovna škola. Koje figure možete navesti? Koje brojke su najviše?

Teško je naći osobu koja ne bi bila upoznata sa kockom. Uostalom, kocke su omiljena igra za djecu. Čini se da znamo sve o kocki. Ali je li?

Kocka je predstavnik velike porodice poliedara. Neke ste već upoznali - ovo je piramida, kuboid. Unaprijed vas čeka susret s drugima.

Poliedri, uprkos svojim razlikama, imaju niz zajedničkih svojstava.

Površina svakog od njih sastoji se od ravnih poligona, koji se nazivajulica poliedra . Dva susedna ravna poligona imaju zajedničku stranu -ivica poliedra . Krajevi rebara suvrhovi poliedar.

U prošloj lekciji su vas zanimale vrste poliedara i evo 5 predstavnika pravilnih poligona.

Tetrahedron oktaedar ikosaedar heksaedar dodekaedar

Generalizacija i sistematizacija znanja

Razmotrite sliku kocke na slici, nacrtajte je u bilježnici i potpišite nazive glavnih elemenata kocke. Zapamtite i koristite ove termine u budućnosti.

Kocka je pravilan poliedar čija su lica kvadrati i na svakom vrhu konvergiraju tri ivice i tri lica. Ima 6 lica, 8 vrhova i 12 ivica.

Rad sa modelima.

Radite sa sweepovima.

№ 2 (Matematika: Vizuelna geometrija. 5-6 razredi I.F. Sharygin) Na komadu papira nacrtajte skeniranu kocku. Izrežite ga i izvaljajte kocku, zalijepite.

Izrezana figura se zovecube scan . Razmislite zašto je tako nazvana.

№ 3 (Matematika: Vizuelna geometrija. 5-6 razredi I.F. Sharygin) Pokušajte da sastavite kocku od predloženih skeniranja i prenesite ih u svoju bilježnicu.

№ 5 (Matematika: Vizuelna geometrija. 5-6 razred I.F. Sharygin) Kocka je rasklopljena. Koja od kocki na slici 30, a-c se može zalijepiti iz nje? Odaberite kocku i opravdajte svoj izbor.

№ 12 (Matematika: Vizuelna geometrija. 5-6 razredi I.F. Sharygin) Postoji traka papira dimenzija 1 * 7. Kako složiti jednu kocku od nje?

№ 15 (Matematika: Vizuelna geometrija. 5-6 razred I.F. Sharygin) Pauk i muva sjede na suprotnim vrhovima kocke. Koji je najkraći put da pauk stigne do muve? Objasni odgovor

Odraz obrazovne aktivnosti.

danas sam saznao...

bilo je zanimljivo…

bilo je teško…

Radio sam zadatke...

kupio sam...

Naučio sam…

uspio sam…

mogao sam...

Pokušat ću…

iznenadilo me...

dao mi lekciju za ceo zivot...

Zadaća. Napravite model kocke od kartona.

Tema.„Poliedar. Elementi poliedra su lica, vrhovi, ivice.

Ciljevi. Stvorite uslove za širenje teorijsko znanje o prostornim figurama: uvesti pojmove "poliedar", "lice", "vrh", "ivica"; osigurati razvoj sposobnosti učenika da istaknu ono glavno u kognitivni objekat; promovirati razvoj prostorna imaginacija studenti.

Edukativni materijali. Udžbenik „Matematika. 4. razred "(autor V.N. Rudnitskaya, T.V. Yudacheva); kompjuter; projektor; prezentacija "Poligoni"; štampani obrasci "Koordinatni ugao", "Poligoni", "Problem"; modeli poliedara, razvoj poliedara; ogledala; makaze.

TOKOM NASTAVE

Prije početka časa djeca se dijele u tri grupe prema nivou znanja - visok, srednji, nizak.

I. Organizacioni momenat

Učitelju. Dragi moji fidžeri, još jednom vas pozivam fascinantan svet matematike. I siguran sam da ćete na ovoj lekciji naučiti nove stvari, učvrstiti naučeno i moći stečeno znanje primijeniti u praksi.

Danas bih našu lekciju započeo riječima engleskog filozofa Rogera Bacona o matematici: "Onaj ko ne zna matematiku ne može proučavati druge nauke i ne može upoznati svijet." Mislim da ćemo u lekciji sigurno naći potvrdu riječi ovog filozofa.

II. Ponavljanje obrađenog materijala. Konstrukcija poligona po koordinatama

U. Na časovima matematike u 1., 2., 3. razredu učili smo različite ravne geometrijske figure, a učili smo i kako da ih gradimo. Predlažem da se ugradite koordinatni ugao ravne figure prema datim koordinatama.

Zadatak se izvodi na štampanim obrascima.

Grupa 1

Konstruirajte figuru ako su koordinate poznate ALI (0; 2), AT (2; 5), OD(9; 2). Koju si cifru dobio?

Grupa 2

Konstruirajte pravougaonik ako tačke ALI(3; 2) i AT(6; 5) su njegovi suprotni vrhovi. Imenujte koordinate suprotnih vrhova. Koje je drugo ime za ovu figuru?

Grupa 3

Konstruirajte figuru ako su poznate koordinate njenih vrhova ALI (2; 3), AT (2; 6), OD (5; 8), D (8; 6), K (8; 3), M(5; 1). Koju si cifru dobio?

Kako možete nazvati sve ove brojke?

Djeca. Ovo su poligoni.

slajd 1

U. Znamo da svi poligoni imaju vrhove i stranice. Imenujte ih i pokažite ih.

Jedna osoba iz grupe završava zadatak za tablom.

III. Uvod u novi materijal

U. Danas ću vas upoznati sa voluminoznim geometrijski oblici, koji se nazivaju poligoni. Njihovi modeli su predstavljeni na vašim stolovima.

Učenici na stolovima imaju volumetrijske figure: kocka, paralelepiped, piramide, prizme.

- Sjednite udobno, pažljivo pogledajte, pažljivo slušajte i zapamtite.

Upoznavanje sa pojmovima "poliedar", "lice", "vrh", "ivica"

- Ako uzmete 4 trougla, možete kreirati volumetrijska figura – piramida. Od kvadrata možete dobiti još jednu figuru - kocku, od pravokutnika - paralelepiped. Na stolu imate još jednu figuru - prizmu, koja se sastoji od pravougaonika i trouglova. Sve ove brojke se zovu poliedri .

Svaki od poligona (in ovaj slučaj trouglovi) se nazivaju rub poliedar. Stranice poligona se nazivaju rebra poliedar. I, naravno, vrhovi poligona će biti vrhovi poliedar. Ovako izgleda crtež poliedra na komadu papira.

slajd 2

Čini se da je figura napravljena od stakla. Šta mislite šta je prikazano isprekidanom linijom na crtežu?

D. Nevidljiva rebra.

Djeca rade na crtežu na tabli.

U. Pa šta je to?

D. Poliedar.

U. Imenujte i pokažite lica poliedra, njegove ivice i vrhove.

Djeca pokazuju pokazivačem i listom.

- Ako piramidu presečete od vrha do dna po ivicama, dobijate takav zamah.
A sada, dragi moji fidžeri, pronađite obrazac sa poligonom na stolu, pažljivo pročitajte upute:

1. Pažljivo razmotrite crtež poligona.
2. Pronađite željeni poligon koji se odvija (modeli na ploči).
3. Sastavite model poligona.
4. Odredite broj vrhova __ , lica __ , ivica __ poligona.
5. Imenujte svaki vrh __ , ivicu __ , lice __ poligona.

Grupa 1

Grupa 2

Grupa 3

- Na tabli su razvoji poliedara. Pokušajte pronaći razvoj svoje figure na crtežu i sastavite poliedar. Radite zajedno i mislim da ćete uspjeti.

Provjera izvršenja zadatka (slajdovi 3, 4, 5).

vrhovi – 8; rebra – 12; lica – 6;
vrhovi - M, B, C, A, X, K, O, T;
rebra - MB, MA, MT, TX, TO, XK, XA, KO, KC, CB, AC, BO;
lica - MBOT, MBCA, KCBO, TXKO, ACKX, MAXT.

vrhovi – 8; rebra – 12; lica – 6;
vrhovi - M, B, C, A, X, K, O, T;
rebra - MB, MA, MT, TX, TO, XK, XA, KO, KC, CB, AC, BO;
lica - MBOT, MBCA, KCBO, TXKO, ACKX, MAXT.

vrhovi – 12; rebra – 18; lica – 8;
vrhovi - Y, B, A, X, N, M, P, E, D, F, L, C;
rebra - YB, YX, BA, XA, XN, NM, AM, ME, EP, NP, ED, PF, DF, FL, LC, CD, LY, CB;
lica - BAMEDC, YXNPFL, YBAX, XAMN, NMEP, EDFP, DFLC, CLYB.

IV. Generalizacija i sistematizacija znanja

U. Recite mi, postoje li objekti u svijetu oko nas koji imaju oblik poliedra?

Čuju se odgovori djece. U toku je improvizovana "šetnja" po školskom dvorištu. Djeca "razmatraju" modele školske zgrade, pomoćnih prostorija, koji izgledaju kao poliedri.

- Dovršite zadatak:

Vuk i zec zalijepili su kuću od papira u boji. Koliko vam je lica svake boje bilo potrebno? Koji oblik poligona ima ivica svake boje?

slajd 6

V. Konsolidacija prethodno naučenog

U. Ljudi, zamislite sebe kao arhitekte, dizajnere ili građevinare i pokušajte riješiti probleme.

Zadatak za grupu 1

Pronađite površinu koju će nova školska zgrada zauzimati ako je njena dužina 74 m, a širina 13 m. ( Odgovor: 962 sq. m.)

Zadatak za grupu 2

Površina igrališta u dvorištu naše škole iznosi 1080 kvadratnih metara. m. Ovo je 1320 kvadratnih metara. m manje od površine hokejaškog klizališta. Izračunajte površinu hokejaškog klizališta. ( Odgovor: 2400 sq. m)

Zadatak za grupu 3

Za izgradnju nove zgrade za našu školu, zemljište od 2500 m2. m. Poznato je da će zgrada biti široka 13 m, duga 74 m. Koja će površina parcele ostati za cvjetnjake i staze nakon izgradnje? ( Odgovor: 1) 962 kv. m; 2) 1538 kv. m)

Djeca provjeravaju rješenja problema, objašnjavaju kako su ih riješila.

VI. Sažetak lekcije

U. Ispostavilo se da je Roger Bacon bio u pravu kada je rekao: "Onaj ko ne zna matematiku ne može proučavati druge nauke i ne može upoznati svijet."

Nastavnik ocjenjuje rad grupa.

1. Na slici 1 označiti konveksne i nekonveksne poliedre.

Odgovor: Konveksno - b), e); nekonveksan - a), c), d).

2. Navedite primjer nekonveksnog poliedra čija su sva lica konveksni mnogouglovi.

Odgovor: Slika 1, a).

3. Da li je tačno da je unija konveksnih poliedara konveksni poliedar?

Odgovor: Ne.

4. Može li broj vrhova poliedra biti jednak broju njegovih strana?

Odgovor: Da, tetraedar.

5. Uspostaviti odnos između broja ravnih uglova P poliedra i broja njegovih ivica P.

Odgovor: P = 2R.

6. Površine konveksnog poliedra su samo trouglovi. Koliko vrhova B i lica D ima ako ima: a) 12 ivica; b) 15 rebara? Navedite primjere takvih poliedara.

7. Iz svakog vrha konveksnog poliedra izlaze tri ivice. Koliko vrhova B i lica D ima ako ima: a) 12 ivica; b) 15 rebara? Nacrtajte ove poliedre.

Odgovor: a) B \u003d 8, D \u003d 6, kocka; b) H \u003d 10, D \u003d 7, pentagonalna prizma.

8. Na svakom vrhu konveksnog poliedra konvergiraju se četiri ivice. Koliko vrhova B i lica D ima ako je broj ivica 12? Nacrtajte ove poliedre.

9. Dokazati da bilo koji konveksni poliedar ima trouglasto lice ili da se tri ivice sastaju na nekom od njegovih vrhova.

10. Razmislite gdje je u argumentima koji pokazuju valjanost Ojlerove relacije korištena konveksnost poliedra.

11. Šta je B - P + G za poliedar prikazan na slici 6?

Pravilni poliedri

Konveksni poliedar se naziva regularnim ako su mu strane jednake pravilni poligoni, a svi poliedarski uglovi su jednaki.

Razmotrimo moguće pravilne poliedre i prije svega one od njih čija su lica pravilni trouglovi. Najjednostavniji takav pravilan poliedar je trouglasta piramida čija su lica pravilni trouglovi (slika 7). Tri lica konvergiraju na svakom od njegovih vrhova. Sa samo četiri lica, ovaj poliedar se naziva i pravilan tetraedar, ili jednostavno tetraedar, što je u prevodu sa grčki znači četvorougao.

Poliedar čije su strane pravilni trouglovi, a četiri lica konvergiraju u svakom vrhu, prikazan je na slici 8. Njegova površina se sastoji od osam pravilnih trouglova, pa se naziva oktaedar.

Poliedar, u čijem se vrhu konvergira po pet pravilnih trouglova, prikazan je na slici 9. Njegova površina se sastoji od dvadeset pravilnih trouglova, pa se naziva ikosaedar.

Imajte na umu da pošto više od pet pravilnih trouglova ne može konvergirati u vrhovima konveksnog poliedra, nema drugih pravilnih poliedara čija su lica pravilni trouglovi.

Slično, pošto samo tri kvadrata mogu konvergirati u vrhovima konveksnog poliedra, onda, osim kocke (slika 10), ne postoje drugi pravilni poliedari čije su strane kvadrati. Kocka ima šest strana i stoga se naziva i heksaedar.

Poliedar čija su lica pravilni petouglovi i tri lica se konvergiraju u svakom vrhu prikazan je na slici 11. Njegova površina se sastoji od dvanaest pravilnih peterokuta, zbog čega se naziva dodekaedar.

Razmotrite koncept pravilnog poliedra sa stajališta topologije nauke, koja proučava svojstva figura koje ne ovise o raznim deformacijama bez diskontinuiteta. S ove tačke gledišta, na primjer, svi trokuti su ekvivalentni, jer se jedan trokut uvijek može dobiti iz bilo kojeg drugog odgovarajućim sažimanjem ili širenjem stranica. Općenito, svi poligoni s istim brojem strana su ekvivalentni iz istog razloga.

Kako možemo definirati pojam topološki pravilnog poliedra u takvoj situaciji? Drugim riječima, koja svojstva u definiciji pravilnog poliedra su topološki stabilna i treba ih ostaviti, a koja nisu topološki stabilna i treba ih odbaciti.

U definiciji pravilnog poliedra, broj stranica i broj lica su topološki stabilni, tj. nepromijenjen pod kontinuiranom deformacijom. Pravilnost poligona nije topološki stabilno svojstvo. Tako dolazimo do sljedeće definicije.

Konveksni poliedar naziva se topološki pravilan ako su njegove strane poligoni s istim brojem strana i konvergiraju na svakom vrhu isti broj lica.

Za dva poliedra se kaže da su topološki ekvivalentna ako se jedan može dobiti od drugog kontinuiranom deformacijom.

Na primjer, sve trouglaste piramide su topološki pravilni poliedri, ekvivalentni jedni drugima. Svi paralelepipedi su takođe topološki pravilni poliedri koji su međusobno ekvivalentni. Oni nisu topološki pravilni poliedri, na primjer, četverokutne piramide.

Hajde da otkrijemo pitanje koliko ima topološki pravilnih poliedara koji međusobno nisu ekvivalentni.

Kao što znamo, postoji pet pravilnih poliedara: tetraedar, kocka, oktaedar, ikosaedar i dodekaedar. Čini se da bi trebalo biti mnogo više topološki pravilnih poliedara. Međutim, pokazalo se da ne postoje drugi topološki pravilni poliedri koji nisu ekvivalentni već poznatim pravilnim poliedrima.

Da bismo ovo dokazali, koristimo Ojlerovu teoremu. Neka je zadan topološki pravilan poliedar čija su lica n -uglova, a m ivica konvergiraju u svakom vrhu. Jasno je da su n i m veći ili jednaki tri. Označimo, kao i ranije, B - broj vrhova, P - broj ivica i G - broj lica ovog poliedra. Onda

nG = 2P; G = ; mB = 2P; B = .

Prema Ojlerovoj teoremi, B - P + G = 2 i, prema tome,

Gdje je R = .

Iz rezultirajuće jednakosti, posebno, slijedi da mora vrijediti nejednakost 2n + 2m - nm > 0, što je ekvivalentno nejednakosti (n - 2)(m - 2)< 4.

Pronađite sve moguće vrijednosti n i m koje zadovoljavaju pronađenu nejednakost i popunite sljedeću tabelu


tetraedar	V=6, R=12, D=8	V=12, P=30, D=20 ikosaedar
V=8, P=12, D=4	Ne postoji	Ne postoji
V=20, P=30, D=12 dodecahedron	Ne postoji	Ne postoji

Na primjer, vrijednosti n = 3, m = 3 zadovoljavaju nejednakost (n - 2) (m - 2)< 4. Вычисляя значения Р, В и Г по приведенным выше формулам, получим Р = 6, В = 4, Г = 4.

Vrijednosti n = 4, m = 4 ne zadovoljavaju nejednakost (n - 2) (m - 2)< 4 и, следовательно, соответствующего многогранника не существует.

Ostale slučajeve provjerite sami.

Iz ove tabele sledi da su jedini mogući topološki pravilni poliedri gore navedeni pravilni poliedri i njima ekvivalentni poliedri.

Definicija. Poliedar se naziva pravilnim ako je: 1) konveksan; 2) sve njegove strane su pravilni mnogouglovi međusobno jednaki; 3) isti broj ivica konvergira na svakom njegovom vrhu; 4) svi njegovi diedari su jednaki.

Primjer pravilnog poliedra je kocka: to je konveksan poliedar, sve njegove strane su jednaki kvadrati, tri ivice se konvergiraju na svakom vrhu, a svi diedralni uglovi kocke su pravi. Pravilan tetraedar je i pravilan poliedar.

Postavlja se pitanje: koliko razne vrste pravilni poliedri?

Pet tipova pravilnih poliedara:

Razmotrimo proizvoljan pravilan poliedar M , koji ima B vrhove, P ivice i G lica. Prema Ojlerovoj teoremi, za ovaj poliedar vrijedi sljedeća jednakost:

V - R + G \u003d 2. (1)

Neka svako lice datog poliedra sadrži m ivice (stranice), a na svakom vrhu konvergiraju n rebra. Očigledno,

Pošto poliedar B ima vrhove, a svaki od njih ima n ivica, dobijamo n ivica. Ali bilo koja ivica povezuje dva vrha poliedra, tako da će svaki rub dvaput ući u proizvod n. Dakle, poliedar ima razne rebra. Onda

Iz (1), (3), (4) dobijamo - R + = 2, odakle

+ = + > . (5)

Dakle, imamo

Iz nejednačina 3 i 3 slijedi da lica pravilnog poliedra mogu biti ili pravilni trouglovi, ili pravilni četverouglovi, ili pravilni petouglovi. Štaviše, u slučajevima m = n = 4; m = 4, n = 5; m = 5, n = 4; m = n = 5 dolazimo do kontradikcije sa uslovom. Stoga ostaje pet slučajeva mogućih: 1) m = n = 3; 2) m = 4, n = 3; 3) m = 3, n = 4; 4) m = 5, n = 3; 5) m = 3, n = 5. Razmotrimo svaki od ovih slučajeva koristeći relacije (5), (4) i (3).

1) m=n=3(svako lice poliedra je pravilan trougao. Ovo nam je poznato pravilni tetraedar (« tetraedar" znači tetraedar).

2) m = 4, n = 3(svako lice je kvadrat, a tri ivice konvergiraju na svakom vrhu). Imamo

P = 12; B = 8; G = 6.

Dobijamo pravilan šesterokut, u kojem je svako lice kvadrat. Ovaj poliedar se zove pravilan heksaedar i kocka je (" heksaedar"-- heksaedar), svaki paralelepiped je heksaedar.

3) m = 3, n = 4(svako lice je pravilan trougao, četiri ivice konvergiraju na svakom vrhu). Imamo

P = 12; B = =6; G \u003d \u003d 8.

Dobijamo pravilan oktaedar, u kojem je svako lice pravilan trougao. Ovaj poliedar se zove pravilan oktaedar ("oktaedar" -- oktaedar).

4) m = 5, n = 3(svako lice je pravilan petougao, tri ivice konvergiraju na svakom vrhu). Imamo:

P = 30; B = = 20; G \u003d \u003d 12.

Dobijamo pravilan dodekaedar, u kojem je svako lice pravilan pentagon. Ovaj poliedar se zove pravilni dodekaedar (« dodecahedron"- dodekaedar).

5) m = 3, n = 5(svako lice je pravilan trougao, pet ivica konvergira na svakom vrhu). Imamo

P = 30; B = =12; G = = 20.

Dobijamo ispravan dvadesetostrani. Ovaj poliedar se zove pravilan ikosaedar (« ikosaedar"- dvadesetostrano).

Tako smo dobili sljedeću teoremu.

Teorema. Postoji pet različitih (do sličnosti) tipova pravilnih poliedara: pravilni tetraedar, pravilni heksaedar (kocka), pravilni oktaedar, pravilni dodekaedar i pravilni ikosaedar.

Do ovog zaključka se može doći na malo drugačiji način.

Zaista, ako je lice pravilnog poliedra pravilan trokut i konvergira na jednom vrhu k rebra, tj. svi ravni konveksni uglovi k-edrački uglovi su tada jednaki. shodno tome, prirodni broj k može imati vrijednosti: 3;4;5. dok je G = , R = . Na osnovu Ojlerove teoreme imamo:

B+-= 2 ili B (6 - k) = 12.

Zatim u k\u003d 3 dobijamo: B = 4, G = 4, P = 6 (pravilni tetraedar);

at k = 4 dobijamo: B = 6, G = 8, P = 12 (pravilni oktaedar);

at k = 5 dobijamo: B = 12, G = 20, P = 30 (pravilni ikosaedar).

Ako je lice pravilnog poliedra pravilan četverougao, onda. Ovaj uslov odgovara jedinom prirodnom broju k= 3. Tada je: G = , R= ; B + - = 2 ili. Dakle, B = 8, G = 6, P = 12 - dobijamo kocku (pravilni heksaedar).

Ako je lice pravilnog poliedra pravilan pentagon, onda I ovaj uslov je samo ispunjen k= 3 i G = ; R = . Slično prethodnim proračunima dobijamo: i B = 20, G = 12, P = 30 (pravilni dodekaedar).

Počevši od pravilnih šesterokuta, vjerovatno lica pravilnog poliedra, ravni uglovi ne postaju manji, već uži k= 3 njihov zbir postaje najmanje, što je nemoguće. Dakle, postoji samo pet tipova pravilnih poliedara.

Slike pokazuju raspored svakog od pet pravilnih poliedara.

pravilni tetraedar

Regularni oktaedar

Regularni heksaedar

Regularni ikosaedar

Regularni dodekaedar

Neka svojstva pravilnih poliedara data su u sljedećoj tabeli.

Tip lica	ravan ugao na vrhu	Pogled na poliedarski ugao na vrhu	Zbir ravnih uglova na vrhu			Ime poliedra
U redu trougao	3-sided			pravilni tetraedar
U redu trougao	4-sided			Regularni oktaedar
U redu trougao	5-sided			Regularni ikosaedar
	3-sided			U redu heksaedar (kocka)
U redu pentagon	3-sided				U redu dodecahedron

Za svaki od pravilnih poliedara, pored već navedenih, najčešće će nas zanimati:

1. Vrijednost toga diedarski ugao na rebru (sa dužinom rebra a).
2. Postavite ga na kvadrat puna površina(za dužinu rebra a).
3. Njegov volumen (sa dužinom rebra a).
4. Poluprečnik sfere opisane oko nje (sa dužinom ivice a).
5. Poluprečnik sfere upisane u njega (sa dužinom ivice a).
6. Poluprečnik kugle koja dodiruje sve njene ivice (sa dužinom ivice a).

Najjednostavnije rješenje je izračunati ukupnu površinu pravilnog poliedra; jednaka je G, gdje je G broj lica pravilnog poliedra, a površina jednog lica.

Prisjetimo se sin = , što nam daje priliku da zapišemo u radikalima: ctg =. S obzirom na to pravimo tabele:

a) za površinu lica pravilnog poliedra

b) za ukupnu površinu pravilnog poliedra

Sada pređimo na izračunavanje vrijednosti diedralnog ugla pravilnog poliedra na njegovoj ivici. Za pravilan tetraedar i kocku možete lako pronaći vrijednost ovog ugla.

U pravilnom dodekaedru, svi ravni uglovi njegovih strana su jednaki, stoga, primjenom kosinusne teoreme za triedarske uglove na bilo koji triedarski ugao datog dodekaedra u njegovom vrhu, dobijamo: cos, odakle

Na prikazanom pravilnom oktaedru ABCDMF možete vidjeti da je diedarski ugao na ivici oktaedra 2arctg.

Da bismo pronašli vrijednost diedarskog ugla na ivici pravilnog ikosaedra, možemo uzeti u obzir troedarski ugao ABCD na vrhu A: njegovi ravni uglovi BAC i CAD su jednaki, i treći ravan ugao BAD, naspram kojeg je diedarski ugao B (AC)D = leži, jednako je (BCDMF - pravilan pentagon). Po kosinusnom teoremu za triedarski ugao ABCD imamo: . S obzirom na to, shvatili smo gdje. Dakle, diedarski ugao na ivici ikosaedra je jednak.

Dakle, dobijamo sledeću tabelu vrednosti diedarskih uglova na ivicama pravilnih poliedara.

Prije pronalaženja volumena jednog ili drugog pravilnog poliedra, prvo razgovaramo o tome kako pronaći volumen pravilnog poliedra u općenitom obliku.

Pokušajte prvo dokazati da ako je središte svakog lica bilo kojeg pravilnog poliedra prava linija, okomito na ravan ovo lice, tada će se sve nacrtane linije preseći u nekoj jednoj tački O, udaljen od svih strana datog poliedra za istu udaljenost, koju označavamo sa r. Dot O ispada da je centar sfere upisane u dati poliedar, i r- njegov radijus. Povezivanjem rezultirajuće tačke O sa svim vrhovima datog poliedra, podijelit ćemo ga na G piramida jednakih jedna drugoj (G je broj strana pravilnog poliedra): osnove formiranih piramida su r. Zatim volumen ovog poliedra jednak je zbiru zapremine svih ovih piramida. Pošto je poliedar pravilan, njegov volumen V može se pronaći pomoću formule:

Ostaje pronaći dužinu radijusa r.

Da biste to učinili, spajanjem tačke O sa sredinom To ivice poliedra, pokušajte da se uverite da je koso KO na lice poliedra koji sadrži ivicu, pravi ugao sa ravninom ove površine jednak polovini vrednosti ugla diedra na ovoj ivici poliedra; projekcija je kosa KO na ravan ovog lica pripada njegovoj apotemi i jednaka je poluprečniku kružnice koja je u nju upisana. Onda

gdje je p poluperimetar lica. Tada iz (1) i (2) dobijamo formulu za izračunavanje njihovih volumena zajedničku za sve pravilne poliedre:

Ova formula je potpuno nepotrebna za pronalaženje volumena kocke, pravilnog tetraedra i oktaedra, ali prilično olakšava pronalaženje volumena pravilnog ikosaedra i dodekaedra.