Nehomogen sistem metodom varijacije proizvoljnih konstanti. ODE

Zamislite linearnu nehomogenu diferencijalna jednadžba With konstantni koeficijenti proizvoljni n-ti red:
(1) .
Metoda konstantne varijacije, koju smo razmatrali za jednačinu prvog reda, primjenjiva je i na jednačine višeg reda.

Rješenje se izvodi u dvije faze. U prvoj fazi odbacujemo desnu stranu i rješavamo homogenu jednačinu. Kao rezultat, dobijamo rješenje koje sadrži n proizvoljnih konstanti. U drugom koraku mijenjamo konstante. Odnosno, smatramo da su ove konstante funkcije nezavisne varijable x i nalazimo oblik ovih funkcija.

Iako ovdje razmatramo jednadžbe sa konstantnim koeficijentima, ali Lagrangeova metoda je također primjenjiva za rješavanje bilo koje linearne nehomogene jednačine. Za to, međutim, mora biti poznat osnovni sistem rješenja homogena jednačina.

Korak 1. Rješenje homogene jednačine

Kao iu slučaju jednačina prvog reda, prvo tražimo zajednička odluka homogena jednačina, izjednačavajući desni nehomogeni dio sa nulom:
(2) .
Opšte rješenje takve jednačine ima oblik:
(3) .
Ovdje su proizvoljne konstante; - n linearno nezavisnih rješenja homogene jednačine (2), koja čine osnovni sistem rješenja ove jednačine.

Korak 2. Varijacija konstanti - Zamjena konstanti funkcijama

U drugom koraku bavit ćemo se varijacijama konstanti. Drugim riječima, zamijenit ćemo konstante funkcijama nezavisne varijable x:
.
Odnosno, tražimo rješenje izvorne jednadžbe (1) u sljedećem obliku:
(4) .

Ako zamijenimo (4) u (1), dobićemo jednu diferencijalnu jednadžbu za n funkcija. U ovom slučaju ove funkcije možemo povezati dodatnim jednadžbama. Tada dobijete n jednadžbi, iz kojih možete odrediti n funkcija. Mogu se napraviti dodatne jednačine Različiti putevi. Ali to ćemo učiniti na takav način da rješenje ima najjednostavniji oblik. Da biste to učinili, prilikom diferenciranja morate izjednačiti s nultim pojmovima koji sadrže derivate funkcija. Hajde da to demonstriramo.

Za zamjenu predloženog rješenja (4) u originalnu jednačinu (1), potrebno je pronaći izvode prvih n redova funkcije zapisane u obliku (4). Razlikovati (4) primjenom pravila diferencijacije zbira i radi:
.
Hajde da grupišemo članove. Prvo, ispisujemo pojmove s izvedenicama od , a zatim termine s izvedenicama od :

.
Funkcijama namećemo prvi uslov:
(5.1) .
Tada će izraz za prvi izvod u odnosu na imati jednostavniji oblik:
(6.1) .

Na isti način nalazimo i drugi izvod:

.
Drugi uslov namećemo funkcijama:
(5.2) .
Onda
(6.2) .
I tako dalje. Pod dodatnim uslovima, članove koji sadrže derivate funkcija izjednačavamo sa nulom.

Dakle, ako odaberemo sljedeće dodatne jednadžbe za funkcije:
(5.k) ,
tada će prvi derivati u odnosu na imati najjednostavniji oblik:
(6.k) .
Evo.

Nalazimo n-ti izvod:
(6.n)
.

Zamjenjujemo u originalnu jednačinu (1):
(1) ;

.
Uzimamo u obzir da sve funkcije zadovoljavaju jednačinu (2):
.
Tada zbir članova koji sadrže daje nulu. Kao rezultat, dobijamo:
(7) .

Kao rezultat, dobili smo sistem linearnih jednačina za izvode:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Rješavajući ovaj sistem, nalazimo izraze za derivacije kao funkcije od x. Integracijom dobijamo:
.
Ovdje su konstante koje više ne zavise od x. Zamjenom u (4) dobijamo opće rješenje originalne jednačine.

Imajte na umu da nikada nismo koristili činjenicu da su koeficijenti a i konstantni za određivanje vrijednosti izvoda. dakle Lagrangeova metoda je primjenjiva za rješavanje bilo koje linearne nehomogene jednadžbe, ako je poznat osnovni sistem rješenja homogene jednačine (2).

Primjeri

Jednačine rješavati metodom varijacije konstanti (Lagrange).

Metoda varijacije proizvoljnih konstanti se koristi za rješavanje nehomogenih diferencijalnih jednadžbi. Ova lekcija dizajniran za one studente koji su već manje-više upućeni u temu. Ako tek počinjete da se upoznajete sa daljinskim upravljačem, tj. Ako ste čajnik, preporučujem da počnete s prvom lekcijom: Diferencijalne jednadžbe prvog reda. Primjeri rješenja. A ako već završavate, odbacite moguću pretpostavku da je metoda teška. Jer je jednostavan.

U kojim slučajevima se koristi metoda varijacije proizvoljnih konstanti?

1) Za rješavanje se može koristiti metoda varijacije proizvoljne konstante linearni nehomogeni DE 1. reda. Pošto je jednačina prvog reda, onda je i konstanta (konstanta) jedna.

2) Za rješavanje nekih koristi se metoda varijacije proizvoljnih konstanti linearne nehomogene jednadžbe drugog reda. Ovdje variraju dvije konstante (konstante).

Logično je pretpostaviti da će se lekcija sastojati od dva pasusa .... Napisao sam ovaj prijedlog i oko 10 minuta bolno razmišljao o tome koje još pametno sranje da dodam za lagani prijelaz na praktični primjeri. Ali iz nekog razloga, nakon praznika nema misli, iako se čini da nisam ništa zloupotrijebio. Dakle, skočimo odmah na prvi pasus.

Metoda proizvoljnih konstantnih varijacija
za linearnu nehomogenu jednačinu prvog reda

Prije razmatranja metode varijacije proizvoljne konstante, poželjno je upoznati se sa člankom Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda. Na toj lekciji smo vežbali prvi nacin resenja nehomogena DE 1. reda. Ovo prvo rješenje, podsjećam, zove se metoda zamjene ili Bernulijeva metoda(ne treba se brkati sa Bernoullijeva jednadžba!!!)

Sada ćemo razmotriti drugi način rješavanja– metoda varijacije proizvoljne konstante. Navest ću samo tri primjera, a uzet ću ih iz gornje lekcije. Zašto tako malo? Jer će u stvari rješenje na drugi način biti vrlo slično rješenju na prvi način. Osim toga, prema mojim zapažanjima, metoda varijacije proizvoljnih konstanti se koristi rjeđe od metode zamjene.

Primjer 1

(Diffur iz primjera br. 2 lekcije Linearni nehomogeni DE 1. reda)

Odluka: Ova jednadžba je linearno nehomogena i ima poznati oblik:

Prvi korak je rješavanje jednostavnije jednačine:
Odnosno, glupo resetujemo desnu stranu - umjesto toga pišemo nulu.
Jednačina Ja ću nazvati pomoćna jednačina.

AT ovaj primjer riješi sljedeću pomoćnu jednačinu:

Pred nama odvojiva jednačina, čije vam rješenje (nadam se) više nije teško:

Na ovaj način:
je opće rješenje pomoćne jednadžbe .

Na drugom koraku zamijeniti konstanta nekih još nepoznata funkcija koja ovisi o "x":

Otuda i naziv metode - variramo konstantu. Alternativno, konstanta može biti neka funkcija koju sada moramo pronaći.

AT original nehomogena jednačina Zamenimo:

Zamjena i u jednačinu :

kontrolni trenutak - dva termina na lijevoj strani se poništavaju. Ako se to ne dogodi, trebali biste potražiti gornju grešku.

Kao rezultat zamjene dobija se jednadžba sa odvojivim varijablama. Odvojite varijable i integrirajte.

Kakav blagoslov, i eksponenti se smanjuju:

Pronađenoj funkciji dodajemo "normalnu" konstantu:

On završna faza zapamtite našu zamjenu:

Funkcija upravo pronađena!

Dakle, generalno rješenje je:

odgovor: zajednicka odluka:

Ako odštampate dva rješenja, lako ćete primijetiti da smo u oba slučaja pronašli iste integrale. Jedina razlika je u algoritmu rješenja.

Sad nešto komplikovanije, komentirat ću i drugi primjer:

Primjer 2

Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe
(Diffur iz primjera br. 8 lekcije Linearni nehomogeni DE 1. reda)

Odluka: Dovodimo jednačinu u formu :

Postavite desnu stranu na nulu i riješite pomoćnu jednačinu:

Opće rješenje pomoćne jednadžbe:

U nehomogenoj jednadžbi napravićemo zamenu:

Prema pravilu diferencijacije proizvoda:

Zamjena i u originalnu nehomogenu jednačinu:

Dva termina na lijevoj strani se poništavaju, što znači da smo na na pravi način:

Integriramo po dijelovima. Ukusno slovo iz formule za integraciju po dijelovima već je uključeno u rješenje, pa koristimo, na primjer, slova "a" i "be":

Pogledajmo sada zamjenu:

odgovor: zajednicka odluka:

I jedan primjer za nezavisno rešenje:

Primjer 3

Naći određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje odgovara datom početnom uvjetu.

,
(Diffur iz primjera lekcije 4 Linearni nehomogeni DE 1. reda)
Odluka:
Ovaj DE je linearno nehomogen. Koristimo metodu varijacije proizvoljnih konstanti. Rešimo pomoćnu jednačinu:

Odvajamo varijable i integrišemo:

Zajednička odluka:
U nehomogenoj jednadžbi napravićemo zamenu:

Uradimo zamjenu:

Dakle, generalno rješenje je:

Pronađite određeno rješenje koje odgovara datom početnom uvjetu:

odgovor: privatno rješenje:

Rješenje na kraju lekcije može poslužiti kao okvirni model za završetak zadatka.

Metoda varijacije proizvoljnih konstanti
za linearnu nehomogenu jednačinu drugog reda
sa konstantnim koeficijentima

Često se čulo mišljenje da metoda varijacije proizvoljnih konstanti za jednačinu drugog reda nije laka stvar. Ali pretpostavljam sljedeće: najvjerovatnije se metoda mnogima čini teškom, jer nije tako česta. Ali u stvarnosti nema posebnih poteškoća - tok odluke je jasan, transparentan i razumljiv. I predivno.

Za savladavanje metode poželjno je biti sposoban za rješavanje nehomogene jednačine metoda drugog reda odabira određenog rješenja prema obliku desne strane. Ova metoda detaljno razmotreno u članku. Nehomogena DE 2. reda. Podsjećamo da linearna nehomogena jednadžba drugog reda sa konstantnim koeficijentima ima oblik:

Metoda selekcije, koja je razmatrana u gornjoj lekciji, radi samo u ograničenom broju slučajeva, kada su polinomi, eksponenti, sinusi, kosinusi na desnoj strani. Ali šta učiniti kada je na desnoj strani, na primjer, razlomak, logaritam, tangenta? U takvoj situaciji u pomoć dolazi metoda varijacije konstanti.

Primjer 4

Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda

Odluka: Na desnoj strani zadata jednačina postoji razlomak, tako da odmah možemo reći da metoda odabira određenog rješenja ne funkcionira. Koristimo metodu varijacije proizvoljnih konstanti.

Ništa ne najavljuje grmljavinu, početak rješenja je sasvim običan:

Hajde da nađemo zajednička odluka relevantan homogena jednadžbe:

Sastavljamo i rješavamo karakterističnu jednačinu:

– dobiju se konjugirani kompleksni korijeni, pa je opće rješenje:

Obratite pažnju na zapis općeg rješenja - ako postoje zagrade, onda ih otvorite.

Sada radimo gotovo isti trik kao i za jednadžbu prvog reda: mijenjamo konstante, zamjenjujući ih nepoznatim funkcijama. To je, opšte rešenje nehomogenog Tražićemo jednadžbe u obliku:

Gdje - još nepoznate funkcije.

Izgleda kao deponija smeća, ali sad ćemo sve srediti.

Derivati funkcija se ponašaju kao nepoznanice. Naš cilj je pronaći izvode, a pronađeni derivati moraju zadovoljiti i prvu i drugu jednačinu sistema.

Odakle dolaze "igre"? Roda ih donosi. Pogledamo prethodno dobijeno opšte rešenje i zapišemo:

Nađimo derivate:

Bavili smo se lijevom stranom. Šta je na desnoj strani?

- ovo je desni deo originalna jednačina, in ovaj slučaj:

Koeficijent je koeficijent na drugom izvodu:

U praksi, gotovo uvijek, i naš primjer nije izuzetak.

Sve je raščišćeno, sada možete kreirati sistem:

Sistem je obično riješen prema Cramerovim formulama koristeći standardni algoritam. Jedina razlika je u tome što umjesto brojeva imamo funkcije.

Pronađite glavnu determinantu sistema:

Ako ste zaboravili kako se otkriva odrednica „dva po dva“, pogledajte lekciju Kako izračunati determinantu? Link vodi do table srama =)

Dakle: , dakle sistem ima jedinstveno rješenje.

Nalazimo derivat:

Ali to nije sve, do sada smo pronašli samo derivat.
Sama funkcija se vraća integracijom:

Pogledajmo drugu funkciju:

Ovdje dodajemo "normalnu" konstantu

U završnoj fazi rješenja, prisjećamo se u kojem obliku smo tražili opšte rješenje nehomogene jednačine? U takvim:

Potrebne funkcije upravo pronađeno!

Ostaje izvršiti zamjenu i zapisati odgovor:

odgovor: zajednicka odluka:

U principu, odgovor bi mogao otvoriti zagrade.

Potpuna provjera odgovora vrši se prema standardnoj šemi, koja je razmatrana u lekciji. Nehomogena DE 2. reda. Ali provjera neće biti laka, jer moramo pronaći prilično teške derivate i izvršiti glomaznu zamjenu. Ovo je gadna karakteristika kada rješavate ovakve razlike.

Primjer 5

Riješite diferencijalnu jednadžbu metodom varijacije proizvoljnih konstanti

Ovo je "uradi sam" primjer. U stvari, desna strana je također razlomak. Sećamo se trigonometrijska formula, usput, morat će se primijeniti u toku rješenja.

Najviše je metoda varijacije proizvoljnih konstanti univerzalna metoda. Oni mogu riješiti bilo koju jednačinu koja se može riješiti način odabira određenog rješenja prema obliku desne strane. Postavlja se pitanje zašto se i tu ne koristi metoda varijacije proizvoljnih konstanti? Odgovor je očigledan: odabir određenog rješenja, koje je razmatrano u lekciji Nehomogene jednadžbe drugog reda, značajno ubrzava rješenje i smanjuje notaciju - nema petljanja s determinantama i integralima.

Razmotrimo dva primjera sa Cauchy problem.

Primjer 6

Naći određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje odgovara datom početni uslovi

Odluka: Opet razlomak i eksponent u zanimljivo mjesto.
Koristimo metodu varijacije proizvoljnih konstanti.

Hajde da nađemo zajednička odluka relevantan homogena jednadžbe:

– dobijaju se različiti pravi koreni, pa je opšte rešenje:

Opće rješenje nehomogenog tražimo jednadžbe u obliku: , gdje - još nepoznate funkcije.

Kreirajmo sistem:

U ovom slučaju:
,
Pronalaženje derivata:
,

Na ovaj način:

Sistem rješavamo korištenjem Cramerovih formula:
, tako da sistem ima jedinstveno rješenje.

Vraćamo funkciju integracijom:

Koristi se ovdje metoda dovođenja funkcije pod diferencijalni predznak.

Vraćamo drugu funkciju integracijom:

Takav integral je riješen varijabilna metoda zamjene:

Iz same zamjene izražavamo:

Na ovaj način:

Ovaj integral se može naći metoda ekstrakcije pun kvadrat , ali u primjerima s diffursima, radije bih proširio razlomak metoda nesigurnih koeficijenata:

Pronađene obje funkcije:

Kao rezultat, opšte rješenje nehomogene jednadžbe je:

Pronađite određeno rješenje koje zadovoljava početne uslove .

Tehnički se provodi potraga za rješenjem na standardan način, o čemu je bilo riječi u članku Nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda.

Čekaj, sada ćemo pronaći izvod pronađenog opšteg rješenja:

Evo takve sramote. Nije potrebno pojednostavljivati, lakše je odmah sastaviti sistem jednačina. Prema početnim uslovima :

Zamijenite pronađene vrijednosti konstanti u opšte rešenje:

U odgovoru, logaritmi se mogu malo spakovati.

odgovor: privatno rješenje:

Kao što vidite, poteškoće mogu nastati u integralima i derivatima, ali ne i u algoritmu metode varijacije proizvoljnih konstanti. Nisam vas ja zastrašio, sve je ovo kolekcija Kuznjecova!

Da se opustimo, konačni, jednostavniji primjer koji se sam rješava:

Primjer 7

Riješite Cauchyjev problem

Primjer je jednostavan, ali kreativan, kada pravite sistem, pažljivo ga pogledajte prije nego što odlučite ;-),

Kao rezultat, generalno rješenje je:

Pronađite određeno rješenje koje odgovara početnim uvjetima .

Pronađene vrijednosti konstanti zamjenjujemo u opće rješenje:

odgovor: privatno rješenje:

Razmotrimo sada linearnu nehomogenu jednačinu
. (2)
Neka je y 1 ,y 2 ,.., y n osnovni sistem rješenja i opće rješenje odgovarajuće homogene jednačine L(y)=0. Slično kao u slučaju jednačina prvog reda, tražit ćemo rješenje jednačine (2) u obliku
. (3)
Provjerimo da rješenje u ovom obliku postoji. Da bismo to učinili, zamjenjujemo funkciju u jednadžbu. Da bismo ovu funkciju zamijenili u jednačinu, nalazimo njene derivate. Prvi derivat je
. (4)
Prilikom izračunavanja drugog izvoda, četiri člana se pojavljuju na desnoj strani (4), kada se računa treći izvod, osam članova, itd. Stoga se, radi pogodnosti daljih proračuna, pretpostavlja da je prvi član u (4) jednak nuli. Imajući to na umu, drugi izvod je jednak
. (5)
Iz istih razloga kao i ranije, u (5) smo također postavili prvi član jednak nuli. konačno, n-ti derivat je jednako
. (6)
Zamjenom dobivenih vrijednosti izvoda u originalnu jednačinu imamo
. (7)
Drugi član u (7) jednak je nuli, jer su funkcije y j , j=1,2,..,n rješenja odgovarajuće homogene jednačine L(y)=0. Kombinacijom sa prethodnim dobijamo sistem algebarske jednačine pronaći funkcije C" j (x)
(8)
Determinanta ovog sistema je determinanta Wronskyja osnovnog sistema rješenja y 1 ,y 2 ,..,y n odgovarajuće homogene jednačine L(y)=0 i stoga nije jednaka nuli. Stoga postoji jedinstveno rješenje za sistem (8). Nakon što smo ga pronašli, dobijamo funkcije C "j (x), j=1,2,…,n, i, posljedično, C j (x), j=1,2,...,n Zamjenom ovih vrijednosti u (3), dobijamo rješenje linearne nehomogene jednadžbe.
Opisani metod nazivamo metodom varijacije proizvoljne konstante ili Lagrangeovom metodom.

Primjer #1. Pronađite opšte rješenje jednačine y "" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Razmotrite odgovarajuću homogenu jednačinu y "" + 4y" + 3y = 0. Njeni korijeni karakteristična jednačina r 2 + 4r + 3 = 0 su -1 i -3. Dakle, osnovni sistem rješenja homogene jednačine sastoji se od funkcija y 1 = e - x i y 2 = e -3 x. Tražimo rješenje nehomogene jednadžbe u obliku y \u003d C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Da bismo pronašli izvode C " 1 , C" 2 sastavljamo sistem jednačina (8)

rješavajući koje, nalazimo , Integrirajući dobivene funkcije, imamo

Konačno dobijamo

Primjer #2. Riješite linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima metodom varijacije proizvoljnih konstanti:

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Odluka:
Ova diferencijalna jednadžba pripada linearnim diferencijalnim jednadžbama sa konstantnim koeficijentima.
Rješenje jednačine tražit ćemo u obliku y = e rx. Da bismo to učinili, sastavljamo karakterističnu jednačinu linearne homogene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Korijeni karakteristične jednadžbe: r 1 = 4, r 2 = 2
Dakle, osnovni sistem rješenja su funkcije:
y 1 = e 4x, y 2 = e 2x
Opće rješenje homogene jednačine ima oblik:

Tražiti određeno rješenje metodom varijacije proizvoljne konstante.
Da bismo pronašli izvode od C "i, sastavljamo sistem jednačina:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Izrazi C" 1 iz prve jednadžbe:
C" 1 \u003d -c 2 e -2x
i zamena u drugom. Kao rezultat, dobijamo:
C" 1 \u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C" 2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Dobijene funkcije C" i integriramo:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Zbog , tada zapisujemo rezultirajuće izraze u obliku:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Dakle, opšte rješenje diferencijalne jednadžbe ima oblik:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
ili
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Konkretno rješenje nalazimo pod uslovom:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Zamjenom x = 0 u pronađenu jednačinu dobijamo:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Nalazimo prvi izvod dobijenog opšteg rešenja:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Zamjenom x = 0 dobijamo:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Dobijamo sistem od dve jednačine:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
ili
C * 1 + C * 2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
ili
C * 1 + C * 2 = 2
2C1 + C2 = 2
gdje:
C1=0, C*2=2
Konkretno rješenje će biti zapisano kao:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Teoretski minimum
U teoriji diferencijalnih jednadžbi postoji metoda koja tvrdi da ima dovoljno visok stepen univerzalnosti za ovu teoriju.
Riječ je o metodi varijacije proizvoljne konstante, primjenjivoj na rješavanje različitih klasa diferencijalnih jednadžbi i njihovih
sistemima. To je upravo slučaj kada je teorija - ako izvučete dokaz tvrdnji iz zagrada - minimalna, ali vam omogućava da postignete
značajne rezultate, pa će glavni fokus biti na primjerima.
Opća ideja metode je prilično jednostavna za formuliranje. Neka zadata jednačina(sistem jednačina) je teško riješiti ili uopće nije jasan,
kako to riješiti. Međutim, može se vidjeti da kada se neki članovi izuzmu iz jednačine, ona je riješena. Tada rješavaju baš tako pojednostavljeno
jednadžbe (sistema), dobijete rješenje koje sadrži određeni broj proizvoljnih konstanti - ovisno o redoslijedu jednačine (broj
jednačine u sistemu). Tada se pretpostavlja da konstante u pronađenom rješenju zapravo nisu konstante, već pronađeno rješenje
se zameni u originalnu jednačinu (sistem), dobije se diferencijalna jednačina (ili sistem jednačina) da bi se odredile "konstante".
Postoji određena specifičnost u primeni metode varijacije proizvoljne konstante na različite zadatke, ali to su već pojedinosti koje će biti
prikazano na primjerima.
Razmotrimo posebno rješenje linearnih nehomogenih jednačina višeg reda, tj. jednačine oblika
.
Opće rješenje linearne nehomogene jednadžbe je zbir opšteg rješenja odgovarajuće homogene jednačine i posebnog rješenja
zadata jednačina. Pretpostavimo da je opšte rešenje homogene jednačine već pronađeno, odnosno da je konstruisan osnovni sistem rešenja (FSR)
. Tada je opće rješenje homogene jednadžbe .
Potrebno je pronaći bilo koje posebno rješenje nehomogene jednačine. Za ovo se smatra da su konstante zavisne od varijable.
Zatim morate riješiti sistem jednačina
.
Teorija garantuje da ovaj sistem algebarskih jednadžbi u odnosu na izvode funkcija ima jedinstveno rešenje.
Prilikom pronalaženja samih funkcija, integracijske konstante se ne pojavljuju: na kraju krajeva, traži se bilo koje jedno rješenje.
U slučaju rješavanja sistema linearnih nehomogenih jednačina prvog reda oblika

algoritam ostaje gotovo nepromijenjen. Prvo morate pronaći odgovarajući FSR homogeni sistem jednadžbi, sastavljaju osnovnu matricu
sistema, čije su kolone elementi FSR-a. Dalje, jednadžba
.
Rješavajući sistem, određujemo funkcije i na taj način nalazimo određeno rješenje za originalni sistem
(osnovna matrica se množi sa stupcem pronađenih karakteristika).
Dodajemo ga opštem rešenju odgovarajućeg sistema homogenih jednačina, koji je izgrađen na osnovu već pronađenog FSR-a.
Dobija se generalno rješenje originalnog sistema.
Primjeri.
Primjer 1 Linearne nehomogene jednadžbe prvog reda.
Razmotrimo odgovarajuću homogenu jednačinu (traženu funkciju označavamo sa ):
.
Ova jednačina se lako rješava odvajanjem varijabli:

.
Sada predstavljamo rješenje originalne jednadžbe u obliku , gdje se funkcija tek treba pronaći.
Ovu vrstu rješenja zamjenjujemo u originalnu jednačinu:
.
Kao što vidite, drugi i treći termin na lijevoj strani se međusobno poništavaju - to je karakteristika metoda varijacije proizvoljne konstante.

Ovdje već - zaista, proizvoljna konstanta. Na ovaj način,
.
Primjer 2 Bernoullijeva jednadžba.
Ponašamo se slično kao u prvom primjeru - rješavamo jednačinu

metoda razdvajanja varijabli. Ispostavit će se , pa tražimo rješenje originalne jednadžbe u obliku
.
Zamijenite ovu funkciju u originalnu jednačinu:
.
I opet ima rezova:
.
Ovdje morate zapamtiti da se prilikom dijeljenja s rješenjem ne izgubi. I kućište odgovara rješenju originala
jednačine. Setimo ga se. dakle,
.
Hajde da pišemo.
Ovo je rješenje. Prilikom pisanja odgovora treba navesti i ranije pronađeno rješenje, jer ono ne odgovara nijednoj konačnoj vrijednosti
konstante .
Primjer 3 Linearne nehomogene jednadžbe višeg reda.
Odmah napominjemo da se ova jednačina može jednostavnije riješiti, ali je zgodno prikazati metodu na njoj. Iako neke prednosti
metoda varijacije proizvoljne konstante je također ima u ovom primjeru.
Dakle, morate početi s FSR-om odgovarajuće homogene jednadžbe. Podsjetimo da bi se pronašao FSR, karakteristika
jednačina
.
Dakle, opšte rešenje homogene jednačine
.
Ovdje uključene konstante moraju se mijenjati. Sastavljanje sistema

Okrenimo se razmatranju linearnih nehomogenih diferencijalnih jednadžbi oblika

gdje - željena argument funkcija , i funkcije

su date i kontinuirane na nekom intervalu
.

Uvedemo u razmatranje linearnu homogenu jednačinu čija se leva strana poklapa sa levom stranom nehomogene jednačine (2.31),

Jednačina oblika (2.32) se zove homogena jednačina koja odgovara nehomogenoj jednačini (2.31).

Vrijedi sljedeća teorema o strukturi općeg rješenja nehomogene linearne jednačine (2.31).

Teorema 2.6. Opće rješenje linearne nehomogene jednadžbe (2.31) u domeni

je zbir bilo kojeg njegovog posebnog rješenja i opšteg rješenja odgovarajuće homogene jednačine (2.32) u domeni (2.33), tj.

gdje - određeno rješenje jednačine (2.31),
je osnovni sistem rješenja homogene jednačine (2.32), i
su proizvoljne konstante.

Dokaz ove teoreme može se naći u .

Na primjeru diferencijalne jednadžbe drugog reda, predstavljamo metodu kojom se može naći određeno rješenje linearne nehomogene jednadžbe. Ova metoda se zove Varijacije proizvoljnih konstanti Lagrangeove metode.

Dakle, neka je data nehomogena linearna jednačina

(2.35)

gdje su koeficijenti
i desnu stranu
kontinuirano u nekom intervalu
.

Označiti sa
i
osnovni sistem rješenja homogene jednačine

(2.36)

Tada njegovo opšte rješenje ima oblik

(2.37)

gdje i su proizvoljne konstante.

Tražit ćemo rješenje jednačine (2.35) u istom obliku , kao i opće rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe, zamjenjujući proizvoljne konstante nekim diferencijabilnim funkcijama (mi variramo proizvoljne konstante), one.

gdje
i
su neke diferencibilne funkcije iz , koji su još uvijek nepoznati i koje ćemo pokušati odrediti kako bi funkcija (2.38) bila rješenje nehomogene jednadžbe (2.35). Diferencirajući obje strane jednakosti (2.38), dobijamo

Tako da prilikom obračuna nema derivata drugog reda od
i
, to zahtijevamo svuda
stanje

Onda za će imati

Izračunajte drugi izvod

Zamjena izraza za ,,iz (2.38), (2.40), (2.41) u jednačinu (2.35), dobijamo

Izrazi u uglaste zagrade, jednaki su nuli svuda u
, as i - pojedinačna rješenja jednadžbe (2.36). U ovom slučaju, (2.42) poprima oblik Kombinujući ovaj uslov sa uslovom (2.39), dobijamo sistem jednačina za određivanje
i

(2.43)

Potonji sistem je sistem dvije algebarske linearne nehomogene jednadžbe u odnosu na
i
. Determinanta ovog sistema je determinanta Wronskyja za osnovni sistem rješenja ,i stoga je svuda različit od nule
. To znači da sistem (2.43) ima jedinstveno rješenje. Riješivši to na bilo koji način u vezi
,
nađi

gdje
i
su dobro poznate funkcije.

Izvodeći integraciju i uzimajući u obzir da kao
,
treba uzeti bilo koji par funkcija, postavljamo konstante integracije jednake nuli. Get

Zamjenom izraza (2.44) u relacije (2.38), možemo zapisati željeno rješenje nehomogene jednačine (2.35) u obliku

Ova metoda se može generalizirati kako bi se pronašlo određeno rješenje linearne nehomogene jednačine -th red.

Primjer 2.6. riješiti jednačinu
at
if funkcije

formiraju fundamentalni sistem rješenja odgovarajuće homogene jednačine.

Hajde da nađemo određeno rešenje ove jednačine. Da bismo to učinili, u skladu sa Lagrangeovom metodom, prvo treba riješiti sistem (2.43), koji u našem slučaju ima oblik
Smanjenje obje strane svake od jednadžbi za dobijamo

Oduzimanjem prve jednačine član po član od druge jednačine, nalazimo
a zatim iz prve jednačine slijedi
Izvođenje integracije i postavljanje konstanti integracije jednake nuli, imamo

Konkretno rješenje ove jednačine može se predstaviti kao

Opće rješenje ove jednačine tada ima oblik

gdje i su proizvoljne konstante.

Konačno, napominjemo jedno izuzetno svojstvo, koje se često naziva principom nametanja rješenja i opisano je sljedećom teoremom.

Teorema 2.7. Ako između
funkcija
- posebno rješenje jednadžbe funkcije
određeno rješenje jednadžbe na istom intervalu, funkcija
je posebno rješenje jednačine