Maksimalna brzina opružnog klatna. A

Tijela pod djelovanjem elastične sile čija je potencijalna energija proporcionalna kvadratu pomaka tijela iz ravnotežnog položaja:

gdje je k krutost opruge.

Sa slobodnim mehaničkim vibracijama, kinetička i potencijalna energija se periodično mijenjaju. Pri maksimalnom odstupanju tijela od ravnotežnog položaja, njegova brzina, a time i kinetička energija, nestaje. U ovom položaju potencijalna energija oscilirajućeg tijela dostiže svoju maksimalnu vrijednost. Za opterećenje horizontalno postavljene opruge, potencijalna energija je energija elastičnih deformacija opruge.

Kada tijelo u svom kretanju prođe kroz ravnotežni položaj, njegova brzina je maksimalna. U ovom trenutku ima maksimalnu kinetičku i minimalnu potencijalnu energiju. Povećati kinetička energija nastaje zbog smanjenja potencijalna energija. Daljnjim kretanjem potencijalna energija počinje rasti zbog smanjenja kinetičke energije itd.

Dakle, tokom harmonijskih oscilacija dolazi do periodične transformacije kinetičke energije u potencijalnu i obrnuto.

Ako nema trenja u oscilatornom sistemu, onda ukupno mehanička energija ostaje nepromenjena tokom slobodnih vibracija.

Za opružno opterećenje:

Početak oscilatornog kretanja tijela vrši se pomoću tipke Start. Dugme Stop vam omogućava da zaustavite proces u bilo kom trenutku.

Grafički prikazuje odnos između potencijalne i kinetičke energije tokom oscilacija u bilo kom trenutku. Imajte na umu da u odsustvu slabljenja ukupna energija oscilatornog sistema ostaje nepromijenjen, potencijalna energija dostiže svoj maksimum pri maksimalnom odstupanju tijela od ravnotežnog položaja, a kinetička energija uzima maksimalna vrijednost kada tijelo prođe kroz ravnotežni položaj.

(1.7.1)

Ako se kuglica pomakne iz ravnotežnog položaja za udaljenost x, tada će izduženje opruge postati jednako Δl 0 + x. Tada će rezultujuća sila poprimiti vrijednost:

Uzimajući u obzir uslov ravnoteže (1.7.1), dobijamo:

Znak minus označava da su pomak i sila u suprotnim smjerovima.

Elastična sila f ima sljedeća svojstva:

Proporcionalan je pomaku lopte iz ravnotežnog položaja;
Uvek je usmeren ka ravnotežnom položaju.

Da biste sistemu rekli pomak x, morate izvesti protiv elastična sila posao:

Ovo posao u izradi stvoriti rezervu potencijalne energije sistema:

Pod dejstvom elastične sile, lopta će se kretati ka ravnotežnom položaju sa sve većom brzinom. Dakle, potencijalna energija sistema će se smanjiti, ali će kinetička energija porasti (zanemarujemo masu opruge). Kada dođe u ravnotežni položaj, lopta će nastaviti da se kreće po inerciji. Ovo je usporeno kretanje i prestat će kada se kinetička energija potpuno pretvori u potencijalnu. Zatim će se isti proces nastaviti kada lopta uđe obrnuti smjer. Ako u sistemu nema trenja, lopta će oscilirati beskonačno.

Jednačina drugog Newtonovog zakona u ovom slučaju je:

Transformirajmo jednačinu ovako:

Uvodeći oznaku , dobijamo linearnu homogenu diferencijalna jednadžba drugi red:

Direktnom zamjenom to je lako provjeriti zajednička odluka jednačina (1.7.8) ima oblik:

gdje je a amplituda, a φ početna faza oscilacije - konstante. Dakle, fluktuacija opružno klatno je harmoničan (slika 1.7.2).

Rice. 1.7.2. harmonijske oscilacije

Zbog periodičnosti kosinusa, različita stanja oscilatornog sistema se ponavljaju nakon određenog vremenskog perioda (perioda oscilovanja) T, tokom kojeg faza oscilovanja dobija prirast od 2π. Period možete izračunati pomoću jednačine:

odakle slijedi:

Broj oscilacija u jedinici vremena naziva se frekvencija:

Jedinica frekvencije je frekvencija takve oscilacije, čiji je period 1 s. Ova jedinica se zove 1 Hz.

Iz (1.7.11) proizilazi da:

Dakle, ω 0 je broj oscilacija napravljenih u 2π sekundi. Vrijednost ω 0 naziva se kružna ili ciklična frekvencija. Koristeći (1.7.12) i (1.7.13), pišemo:

Diferencirajući () s obzirom na vrijeme, dobijamo izraz za brzinu lopte:

Iz (1.7.15) slijedi da se i brzina mijenja prema harmonijskom zakonu i da je ispred faznog pomaka za ½π. Diferencirajući (1.7.15), dobijamo ubrzanje:

1.7.2. Matematičko klatno

Matematičko klatno naziva se idealizovani sistem koji se sastoji od neprotegljivog bestežinski konac na kojoj je obješeno tijelo čija je cijela masa koncentrisana u jednoj tački.

Odstupanje klatna od ravnotežnog položaja karakteriše ugao φ koji formira nit sa vertikalom (slika 1.7.3).

Rice. 1.7.3. Matematičko klatno

Kada klatno odstupi od ravnotežnog položaja, obrtni moment, koji teži da vrati klatno u njegov ravnotežni položaj:

Napišimo jednačinu dinamike za klatno rotaciono kretanje, s obzirom da je njegov moment inercije jednak ml 2:

Ova jednačina se može dovesti do oblika:

Ograničavajući se na slučaj malih fluktuacija sinφ ≈ φ i uvodimo oznaku:

jednačina (1.7.19) se može predstaviti na sljedeći način:

koja se po formi poklapa sa jednacinom oscilacija opružnog klatna. Stoga će njegovo rješenje biti harmonijska oscilacija:

Iz (1.7.20) proizilazi da je frekvencija ciklične oscilacije matematičko klatno zavisi od njegove dužine i ubrzanja slobodan pad. Koristeći formulu za period oscilovanja () i (1.7.20), dobijamo poznatu relaciju:

1.7.3. fizičko klatno

Fizičko klatno se zove solidan sposoban da oscilira fiksna tačka, što se ne poklapa sa centrom inercije. U ravnotežnom položaju, centar inercije klatna C je ispod tačke vešanja O na istoj vertikali (slika 1.7.4).

Rice. 1.7.4. fizičko klatno

Kada klatno odstupi od ravnotežnog položaja za ugao φ, javlja se moment koji teži da vrati klatno u ravnotežni položaj:

gdje je m masa klatna, l je udaljenost između tačke ovjesa i centra inercije klatna.

Napišimo jednačinu za dinamiku rotacionog kretanja za klatno, uzimajući u obzir da je moment inercije jednak I:

Za male fluktuacije sinφ ≈ φ. Zatim, uvodeći notaciju:

koja se takođe po formi poklapa sa jednačinom oscilovanja opružnog klatna. Iz jednačina (1.7.27) i (1.7.26) slijedi da za mala odstupanja fizičko klatno iz ravnotežnog položaja vrši harmonijsku oscilaciju čija frekvencija zavisi od mase klatna, momenta inercije i udaljenosti između ose rotacije i centra inercije. Koristeći (1.7.26), možete izračunati period oscilacije:

Upoređujući formule (1.7.28) i () dobijamo da je matematičko klatno dužine:

imaće isti period oscilovanja kao i razmatrano fizičko klatno. Količina (1.7.29) se zove smanjena dužina fizičko klatno. Dakle, smanjena dužina fizičkog klatna je dužina takvog matematičkog klatna, čiji je period oscilovanja jednak periodu oscilovanja datog fizičkog klatna.

Tačka na pravoj liniji koja povezuje tačku ovjesa sa centrom inercije, a koja leži na udaljenosti smanjene dužine od ose rotacije, naziva se zamahni centar fizičko klatno. Prema Steinerovoj teoremi, moment inercije fizičkog klatna je:

gdje je I 0 moment inercije oko centra inercije. Zamjenom (1.7.30) u (1.7.29) dobijamo:

Stoga je smanjena dužina uvijek veća od udaljenosti između tačke ovjesa i centra inercije klatna, tako da tačka vješanja i centar ljuljanja leže duž različite strane od centra inercije.

1.7.4. Energija harmonijskih vibracija

Prilikom harmonijskog oscilovanja dolazi do periodične međusobne transformacije kinetičke energije oscilirajućeg tijela E k i potencijalne energije E p, zbog djelovanja kvazielastične sile. Iz ovih energija dodaje se ukupna energija E oscilatornog sistema:

Hajde da napišemo poslednji izraz

Ali k \u003d mω 2, pa dobijamo izraz za ukupnu energiju oscilirajućeg tijela

Dakle, ukupna energija harmonijske oscilacije je konstantna i proporcionalna kvadratu amplitude i kvadratu kružne frekvencije oscilacije.

1.7.5. prigušene vibracije .

Prilikom studiranja harmonijske vibracije sile trenja i otpora koje postoje u stvarni sistemi. Djelovanje ovih sila značajno mijenja prirodu kretanja, oscilacija postaje fading.

Ako u sistemu, pored kvazielastične sile, deluju i sile otpora sredine (sile trenja), onda se drugi Njutnov zakon može zapisati na sledeći način:

gdje je r koeficijent trenja, koji karakterizira svojstva medija da se odupire kretanju. Zamjenjujemo (1.7.34b) u (1.7.34a):

Grafikon ove funkcije prikazan je na slici 1.7.5 kao puna kriva 1, a isprekidana linija 2 prikazuje promjenu amplitude:

Pri vrlo malom trenju, period prigušenih oscilacija je blizak periodu neprigušenih slobodne oscilacije(1.7.35.b)

Brzina smanjenja amplitude oscilacije određena je pomoću faktor prigušenja: što je veći β, to je jači efekat usporavanja medija i amplituda se brže smanjuje. U praksi se često karakteriše stepen slabljenja logaritamski dekrement prigušenja, što znači vrijednost jednaku prirodni logaritam omjer dviju uzastopnih amplituda oscilacija razdvojenih vremenskim intervalom jednakim periodu oscilovanja:

;

Stoga je faktor prigušenja i logaritamski dekrement slabljenja su povezana prilično jednostavnom zavisnošću:

Uz jako prigušenje, iz formule (1.7.37) se može vidjeti da je period oscilovanja imaginarna veličina. Pokret se u ovom slučaju već zove aperiodično. Aperiodični graf kretanja prikazan je na Sl. 1.7.6. Kontinuirano i prigušene oscilacije pozvao vlastiti ili besplatno. Nastaju zbog početnog pomaka ili početna brzina a izvode se u odsustvu spoljni uticaj od prvobitno uskladištene energije.

1.7.6. Prisilne vibracije. Rezonancija .

prinuđen oscilacije su one koje se javljaju u sistemu sa učešćem spoljna sila, koji varira u skladu sa periodičnim zakonom.

Pretpostavimo to na materijalna tačka pored kvazielastične sile i sile trenja, djeluje i vanjska pokretačka sila

gdje je F 0 - amplituda; ω - kružna frekvencija oscilacija pokretačke sile. Sastavljamo diferencijalnu jednačinu (Njutnov drugi zakon):

Amplituda prinudne oscilacije (1.7.39) je direktno proporcionalna amplitudi pokretačke sile i ima kompleksna zavisnost na koeficijent prigušenja sredine i kružne frekvencije prirodnih i prisilnih oscilacija. Ako su za sistem dati ω 0 i β, onda je amplituda prisilne vibracije ima maksimalnu vrijednost kod nekih određenu frekvenciju prisilna sila tzv rezonantan.

Sama pojava - dostizanje maksimalne amplitude za date ω 0 i β - naziva se rezonancija.

Rice. 1.7.7. Rezonancija

U nedostatku otpora, amplituda prisilnih oscilacija u rezonanciji je beskonačno velika. U ovom slučaju, iz ω res = ω 0, tj. rezonancija u sistemu bez prigušenja nastaje kada se frekvencija pokretačke sile poklapa sa frekvencijom prirodnih oscilacija. Grafička zavisnost amplitude prisilnih oscilacija od kružne frekvencije pokretačke sile pri različita značenja koeficijent slabljenja prikazan je na sl. 5.

Mehanička rezonanca može biti i korisna i štetna. Štetno djelovanje rezonancije je uglavnom zbog razaranja koje može izazvati. Dakle, u tehnologiji, uzimajući u obzir različite vibracije, potrebno je obezbijediti mogućih pojava rezonantnim uslovima, inače može doći do uništenja i katastrofe. Tijela obično imaju nekoliko prirodnih frekvencija vibracija i, shodno tome, nekoliko rezonantnih frekvencija.

Ako koeficijent slabljenja unutrašnjih organa osobe ne bi bio velik, tada bi rezonantne pojave nastale u tim organima pod utjecajem vanjskih vibracija ili zvučni talasi, može dovesti do tragičnih posljedica: rupture organa, oštećenja ligamenata itd. Međutim, takvi se fenomeni praktički ne primjećuju pod umjerenim vanjskim utjecajima, jer je koeficijent slabljenja bioloških sistema prilično velik. Ipak, rezonantne pojave pod dejstvom spoljašnjeg mehaničke vibracije odvijati tokom unutrašnje organe. To je, očigledno, jedan od razloga negativnog utjecaja infrazvučnih oscilacija i vibracija na ljudsko tijelo.

1.7.7. Samooscilacije

Postoje i takvi oscilatorni sistemi koji sami regulišu periodično dopunjavanje izgubljene energije i stoga mogu dugo fluktuirati.

Neprigušene oscilacije koje postoje u bilo kom sistemu u odsustvu promenljivog spoljašnjeg uticaja nazivaju se samooscilacije, i sami sistemi samooscilirajući.

Amplituda i frekvencija samooscilacija zavise od svojstava u samom samooscilirajućem sistemu, a za razliku od prisilnih oscilacija, one nisu određene vanjskim utjecajima.

U mnogim slučajevima, samooscilirajući sistemi mogu biti predstavljeni sa tri glavna elementa (slika 1.7.8): 1) stvarni oscilirajući sistem; 2) izvor energije; 3) regulator snabdijevanja energijom stvarnog oscilatornog sistema. Oscilirajući sistem po kanalu povratne informacije(slika 6) utiče na regulator, obaveštavajući regulator o stanju ovog sistema.

Klasičan primjer mehaničkog samooscilirajućeg sistema je sat u kojem je klatno ili vaga oscilatorni sistem, opruga ili podignut uteg je izvor energije, a sidro je regulator ulaza energije iz izvora u oscilatorni sistem.

Mnogi biološki sistemi(srce, pluća, itd.) samoosciliraju. Tipičan primjer elektromagnetnog samooscilirajućeg sistema su generatori samooscilirajućih oscilacija.

1.7.8. Sabiranje vibracija u jednom smjeru

Razmotrimo sabiranje dvije harmonijske oscilacije istog smjera i iste frekvencije:

x 1 \u003d a 1 cos (ω 0 t + α 1), x 2 = a 2 cos (ω 0 t + α 2).

Harmonična oscilacija se može odrediti pomoću vektora čija je dužina jednaka amplitudi oscilacija, a smjer formira ugao s nekom osom jednak početnoj fazi oscilacija. Ako se ovaj vektor rotira sa ugaona brzinaω 0 , tada će se njegova projekcija na odabranu osu promijeniti prema harmonijskom zakonu. Na osnovu toga biramo neku osu X i predstavljamo oscilacije pomoću vektora a 1 i a 2 (slika 1.7.9).

Iz slike 1.7.6 slijedi da

Šeme u kojima su oscilacije grafički prikazane kao vektori na ravni nazivaju se vektorski dijagrami.

To proizilazi iz formule 1.7.40. Da ako je razlika faza obe oscilacije jednaka nuli, amplituda rezultirajuće oscilacije jednaka je zbiru amplituda dodatih oscilacija. Ako je razlika faza dodanih oscilacija jednaka , tada je amplituda rezultirajuće oscilacije jednaka . Ako frekvencije dodatih oscilacija nisu iste, tada će se vektori koji odgovaraju tim oscilacijama rotirati različitim brzinama. U ovom slučaju, rezultujući vektor pulsira u veličini i rotira se nekonstantnom brzinom. Posljedično, kao rezultat sabiranja, ne dobija se harmonijska oscilacija, već složen oscilatorni proces.

1.7.9. otkucaji

Razmotrite dodavanje dvije harmonijske oscilacije istog smjera, malo različite frekvencije. Neka je frekvencija jednog od njih jednaka ω , a frekvencija drugog ω + ∆ω, i ∆ω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 = a cos ωt, x 2 = a cos (ω + ∆ω) t.

Zbrajanjem ovih izraza i upotrebom formule za zbir kosinusa, dobijamo:

Oscilacije (1.7.41) se mogu posmatrati kao harmonijska oscilacija sa frekvencijom ω, čija amplituda varira u skladu sa zakonom . Ova funkcija je periodična sa frekvencijom dvostrukom frekvencijom izraza pod znakom modula, tj. sa frekvencijom ∆ω. Dakle, frekvencija amplitudnih pulsacija, nazvana frekvencija otkucaja, jednaka je razlici u frekvencijama dodatih oscilacija.

1.7.10. Sabiranje međusobno okomitih vibracija (Lissajousove figure)

Ako materijalna točka oscilira i duž x-ose i duž y-ose, tada će se kretati duž neke krivolinijske putanje. Neka je frekvencija oscilacije ista i početna faza prve oscilacije jednaka nuli, tada zapisujemo oscilacijske jednačine u obliku:

Jednačina (1.7.43) je jednačina elipse, čije su osi proizvoljno orijentisane u odnosu na x i y koordinatne ose. Orijentacija elipse i veličina njenih poluosi zavise od amplituda a i b i fazne razlike α. Razmotrimo neke posebne slučajeve:

(m=0, ±1, ±2, …). U ovom slučaju, jednačina ima oblik

Ovo je jednačina elipse, čije osi se poklapaju sa koordinatnim osa, a njene poluose su jednake amplitudama (slika 1.7.12). Ako su amplitude jednake, tada elipsa postaje kružnica.

Sl.1.7.12

Ako se frekvencije međusobno okomitih oscilacija razlikuju za mali iznos ∆ω, mogu se smatrati oscilacijama iste frekvencije, ali sa sporo promjenjivom faznom razlikom. U ovom slučaju, jednačine oscilovanja se mogu napisati

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

a izraz ∆ωt+α se smatra faznom razlikom koja se polako mijenja s vremenom prema linearnom zakonu. Rezultirajuće kretanje u ovom slučaju prati krivulju koja se polako mijenja, koja će sukcesivno poprimiti oblik koji odgovara svim vrijednostima fazne razlike od -π do +π.

Ako frekvencije međusobno okomitih oscilacija nisu iste, onda trajektorija rezultujućeg kretanja ima oblik prilično složenih krivulja tzv. Lissajous figure. Neka se, na primjer, frekvencije dodatnih oscilacija povežu kao 1 : 2 i fazna razlika π/2. Tada jednačine oscilovanja imaju oblik

x=a cos ωt, y=b cos.

Dok duž x-ose tačka uspeva da se pomeri iz jednog ekstremnog položaja u drugi, duž y-ose, napuštajući nultu poziciju, uspeva da dođe do jednog ekstremnog položaja, zatim drugog i da se vrati. Prikaz krive je prikazan na sl. 1.7.13. Kriva sa istim odnosom frekvencija, ali faznom razlikom jednakom nuli prikazana je na slici 1.7.14. Odnos frekvencija dodatih oscilacija je inverzan odnosu broja tačaka preseka Lissajousovih figura sa pravim linijama paralelnim sa koordinatnim osama. Stoga se po izgledu Lissajousovih figura može odrediti omjer frekvencija dodatih oscilacija ili nepoznate frekvencije. Ako je poznata jedna od frekvencija.

Sl.1.7.13

Sl.1.7.14

Što je racionalni razlomak koji izražava omjer frekvencija vibracija bliži jedinici, to su rezultirajuće Lissajousove figure složenije.

1.7.11. Širenje talasa u elastičnom mediju

Ako se na bilo kojem mjestu elastičnog (čvrstog tekućeg ili plinovitog) medija pobuđuju vibracije njegovih čestica, tada će se zbog interakcije između čestica ta vibracija širiti u mediju od čestice do čestice određenom brzinom υ. proces širenja vibracija u prostoru naziva se talas.

Čestice medija u kojem se širi talas ne uključuju talas u translaciono kretanje, one samo osciliraju oko svojih ravnotežnih položaja.

U zavisnosti od pravca oscilacija čestica u odnosu na smer u kome se talas širi, postoje uzdužni i poprečno talasi. U uzdužnom talasu, čestice medija osciliraju duž prostiranja talasa. U poprečnom talasu, čestice medija osciliraju u pravcima okomitim na pravac širenja talasa. Elastični poprečni valovi mogu nastati samo u mediju sa otporom na smicanje. Stoga se u tekućim i plinovitim medijima mogu pojaviti samo longitudinalni valovi. U čvrstom mediju moguća je pojava i longitudinalnih i poprečnih talasa.

Na sl. 1.7.12 prikazuje kretanje čestica tokom širenja u sredini poprečnog talasa. Brojevi 1, 2 itd. označavaju čestice koje zaostaju jedna za drugom za razmak jednak (¼ υT), tj. putem udaljenosti koju je prešao val u četvrtini perioda oscilacija koje su napravile čestice. U trenutku uzetom za nulu, val, koji se širio duž ose slijeva nadesno, stigao je do čestice 1, zbog čega je čestica počela da se kreće prema gore iz ravnotežnog položaja, vukući za sobom sljedeće čestice. Nakon četvrtine perioda, čestica 1 dostiže najgornji ravnotežni položaj čestice 2. Nakon još jedne četvrtine perioda, prvi dio će proći ravnotežni položaj, krećući se u smjeru od vrha prema dnu, druga čestica će stići do najgornje položaj, a treća čestica će početi da se kreće prema gore iz ravnotežnog položaja. U trenutku vremena jednakom T, prva čestica će završiti kompletan ciklus oscilovanja i biće u istom stanju kretanja kao i početni trenutak. Talas do trenutka T, nakon što je prošao putanju (υT), doći će do čestice 5.

Na sl. 1.7.13 prikazuje kretanje čestica tokom širenja u medijumu uzdužnog talasa. Sva razmatranja koja se tiču ponašanja čestica u poprečnom talasu mogu se primeniti i na ovaj slučaj sa pomacima gore i dole zamenjenim pomeranjima udesno i ulevo.

Sa slike se vidi da se tokom širenja longitudinalnog talasa u mediju stvaraju naizmjenične kondenzacije i razrjeđivanje čestica (mjesta kondenzacije su na slici zaokružena isprekidanom linijom), krećući se u smjeru prostiranja talasa. sa brzinom υ.

Rice. 1.7.15

Rice. 1.7.16

Na sl. 1.7.15 i 1.7.16 prikazane su oscilacije čestica čiji položaji i ravnoteže leže na osi x. U stvarnosti, ne samo da čestice osciliraju duž ose x, već skup čestica zatvorenih u određeni volumen. Šireći se od izvora oscilacija, talasni proces pokriva sve više i više delova prostora, mesto tačaka, do kojih oscilacije dosežu do vremena t, naziva se talasni front(ili talasni front). Valna fronta je površina koja odvaja dio prostora koji je već uključen u valni proces od područja u kojem oscilacije još nisu nastale.

Geometrijsko mjesto tačaka koje osciliraju u istoj fazi naziva se talasna površina . Talasna površina se može povući kroz bilo koju tačku u prostoru pokrivenom valnim procesom. Posljedično, postoji beskonačan broj valnih površina, dok u svakom trenutku postoji samo jedan valni front. Valne površine ostaju nepokretne (prolaze kroz ravnotežne položaje čestica koje osciliraju u istoj fazi ). Talasni front se stalno kreće.

Valne površine mogu biti bilo kojeg oblika. U najjednostavnijim slučajevima imaju oblik ravni ili sfere. Shodno tome, val se u ovim slučajevima naziva ravan ili sferičan. U ravnom talasu, valne površine su skup ravnina paralelnih jedna s drugom, u sfernom talasu - skup koncentričnih sfera.

Rice. 1.7.17

Neka se ravni talas širi duž ose x. Tada sve tačke sfere, položaji, čije ravnoteže imaju istu koordinatu x(ali razlika u vrijednostima koordinata y i z), osciliraju u istoj fazi.

Na sl. 1.7.17 prikazuje krivu koja daje pomak ξ iz ravnotežnog položaja tačaka sa različitim x u nekom trenutku. Ovaj crtež ne treba uzeti kao vidljivu sliku vala. Na slici je prikazan graf funkcija ξ (x, t) za neke fiksne tačka u vremenu t. Takav graf se može napraviti i za longitudinalne i za poprečne valove.

Udaljenost λ, za kratak talas koji se širi u vremenu jednakom periodu oscilovanja čestica medija, naziva se talasna dužina. Očigledno je da

gdje je υ brzina talasa, T je period oscilovanja. Talasna dužina se takođe može definisati kao rastojanje između najbližih tačaka medija, koje osciliraju sa faznom razlikom jednakom 2π (vidi sliku 1.7.14)

Zamjenom u odnosu (1.7.45) T kroz 1/ν (ν je frekvencija oscilovanja), dobijamo

Do ove formule može se doći i iz sljedećih razmatranja. U jednoj sekundi, izvor talasa vrši ν oscilacija, generišući u medijumu tokom svake oscilacije jedan "vrh" i jedno "koro" talasa. Do trenutka kada izvor završi ν -tu oscilaciju, prvi "greben" će imati vremena da prođe kroz putanju υ. Shodno tome, ν "vrbovi" i "doline" talasa moraju stati u dužinu υ.

1.7.12. Jednačina ravnih talasa

Valna jednadžba je izraz koji daje pomak oscilirajuće čestice kao funkciju njenih koordinata x, y, z i vrijeme t :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(što znači koordinate ravnotežnog položaja čestice). Ova funkcija mora biti periodična s obzirom na vrijeme t , i u odnosu na koordinate x, y, z. . Periodičnost u vremenu proizlazi iz činjenice da su tačke odvojene jedna od druge na udaljenosti λ , fluktuiraju na isti način.

Pronađite tip funkcije ξ u slučaju ravnog talasa, uz pretpostavku da su oscilacije harmonijske. Da pojednostavimo, usmjeravamo koordinatne ose tako da os x poklapa se sa pravcem širenja talasa. Tada će valne površine biti okomite na osu x a pošto sve tačke talasne površine osciliraju podjednako, pomeranje ξ zavisiće samo od toga x i t:

ξ = ξ (x, t) .

Sl.1.7.18

Neka oscilacije tačaka leže u ravni x = 0 (Sl. 1.7.18), imaju oblik

Nađimo vrstu oscilacije tačaka u ravni koja odgovara proizvoljnoj vrijednosti x . Da odem daleko od aviona x=0 do ove ravni, talasu treba vremena ( υ je brzina prostiranja talasa). Posljedično, oscilacije čestica koje leže u ravni x , zaostat će u vremenu τ od vibracija čestica u ravni x = 0 , tj. će izgledati

dakle, jednačina ravnih talasa(uzdužne i poprečne), šireći se u smjeru ose x , kao što slijedi:

Ovaj izraz definira odnos između vremena t i to mesto x , u kojem faza ima fiksnu vrijednost. Rezultirajuća vrijednost dx/dt daje brzinu kojom se kreće data vrijednost faze. Diferencirajući izraz (1.7.48), dobijamo

Jednačina talasa koji se širi u pravcu opadanja x :

Prilikom izvođenja formule (1.7.53), pretpostavili smo da amplituda oscilovanja ne zavisi od x . Za ravan talas, ovo se primećuje kada medij ne apsorbuje energiju talasa. Prilikom širenja u mediju koji apsorbira energiju, intenzitet vala postupno opada s udaljenosti od izvora oscilacija - uočava se slabljenje vala. Iskustvo pokazuje da se u homogenom mediju takvo prigušenje događa prema eksponencijalnom zakonu:

Odnosno jednačina ravnih talasa, uzimajući u obzir prigušenje, ima sljedeći oblik:

(1.7.54)

(a 0 je amplituda u tačkama ravni x = 0).

Kada se oscilacije dešavaju u školi, one su ilustrovane dvama najjednostavnijim primjerima: utegom na oprugi i matematičkim klatnom (tj. tačkastim utegom na nerastezljivoj niti) u polju gravitacije. U oba slučaja uočena je važna pravilnost u oscilacijama: njihov period ne zavisi od amplitude - barem dok je ta amplituda mala - već je određen samo mehaničkim svojstvima sistema.

Hajde sada da spojimo ova dva primjera i razmotrimo vibracije utega okačenog na zateznu oprugu u gravitacionom polju (slika 1).

Radi jednostavnosti, zanemarujemo treću dimenziju i pretpostavljamo da ovo opružno klatno oscilira striktno u ravnini figure. U ovom slučaju, težina (koja se takođe smatra tačkastim utegom) može se kretati u vertikalnoj ravni u proizvoljnom smjeru, a ne samo gore-dolje ili lijevo-desno, kao što je prikazano na sl. 2. Ali ako se opet ograničimo na samo mala odstupanja od ravnotežnog položaja, tada se horizontalne i vertikalne oscilacije javljaju gotovo nezavisno, sa svojim periodima T x i T y.

Čini se da budući da su ove oscilacije određene potpuno različitim silama i karakteristikama sistema, onda njihovi periodi mogu biti potpuno proizvoljni, ni na koji način međusobno povezani. Ispostavilo se - ne!

Zadatak

Dokazati da je za takvo klatno period horizontalnih oscilacija uvijek veći od perioda vertikalnih: T x > T y.

Clue

U početku vas problem može iznenaditi činjenicom da se čini da u njemu ništa nije dato, ali nešto treba dokazati. Ali tu nema ništa loše. Kada je problem formuliran na ovaj način, to znači da možete za sebe uvesti neku notaciju koja vam je potrebna, izračunati s njima ono što je potrebno i onda doći do zaključka koji je već ne zavisi od ovih vrednosti. Uradite to za ovaj zadatak. Uzmite formule za periode zamaha, razmislite o uključenim količinama i uporedite dva perioda međusobno dijeleći jedan s drugim.

Rješenje

Period oscilacije masenog utega m na oprugu za ukrućenje k i dužina L 0 je

Ova formula se ne mijenja čak i ako je težina suspendirana u gravitacijskom polju sa ubrzanjem slobodnog pada g. Naravno, ravnotežni položaj utega će se pomeriti naniže na visinu Δ L = mg/k- s takvim izduženjem opruge elastična sila kompenzira silu gravitacije. Ali period vertikalnih oscilacija oko ovog novog ravnotežnog položaja sa istegnutom oprugom ostaće isti.

Period horizontalnih oscilacija rastegnutog klatna izražava se kao gravitacijsko ubrzanje g i njegov kompletan dužina L = L 0 +Δ L:

To saznajemo zahvaljujući dodatnom istezanju u gravitacionom polju

To je cijelo rješenje.

Pogovor

Uprkos svojoj prividnoj jednostavnosti, klatno na oprugi je sistem koji je prilično bogat fenomenima. Ovo je jedan od najjednostavnijih primjera simpatičnog fenomena - Fermijeve rezonance. Sastoji se u ovome. Uopšteno govoreći, ako se težina nekako povuče i oslobodi, tada će oscilirati i okomito i horizontalno. Ove dvije vrste oscilacija jednostavno će se preklapati i neće ometati jedna drugu. Ali ako su periodi vertikalnih i horizontalnih oscilacija povezani relacijom T x = 2T y, tada će horizontalne i vertikalne oscilacije, kao protiv svoje volje, postepeno prelaziti jedna u drugu, kao u animaciji s desne strane. Energija vibracija će se, takoreći, pumpati iz vertikalnih vibracija u horizontalne vibracije i obrnuto.

To izgleda ovako: povučete težinu prema dolje i otpustite je. U početku samo oscilira gore-dolje, zatim se sam počinje ljuljati u stranu, na trenutak oscilacija postaje gotovo potpuno horizontalna, a zatim se ponovo vraća u vertikalnu. Iznenađujuće, striktno vertikalna oscilacija se pokazala nestabilnom.

Objašnjenje ovog izuzetnog efekta, kao i magični odnos T x:T y= 2:1, to je to. Označiti sa x i y odstupanja težine od ravnotežnog položaja (os y usmjereno prema gore). S takvim odstupanjem potencijalna energija raste za iznos

Ovo je tačna formula, pogodna je za sva odstupanja, velika i mala. Ali ako x i y mali, mnogo manje L, tada je izraz približno jednak

plus drugi termini koji sadrže još veće stepene odstupanja. Količine U y i U x su obične potencijalne energije iz kojih se dobijaju vertikalne i horizontalne oscilacije. A ovdje je vrijednost označena plavom bojom Uxy je poseban aditiv koji stvara interakcija između ovih vibracija. Zbog ove male interakcije, vertikalne vibracije utiču na horizontalne vibracije i obrnuto. Ovo postaje prilično transparentno ako izvršimo dalje proračune i napišemo jednadžbu za horizontalne i vertikalne oscilacije:

gdje je notacija

Bez plavog dodatka, imali bismo uobičajene nezavisne oscilacije okomito i horizontalno sa frekvencijama ωy i ω x. Ovaj aditiv igra ulogu pokretačka snaga, dodatno pumpanje vibracija. Ako su frekvencije ωy i ω x su proizvoljni, onda ova mala sila ne dovodi do nekog značajnog efekta. Ali ako je odnos ωy = 2ω x, počinje rezonancija: pokretačka sila za oba tipa oscilacija sadrži komponentu sa istom frekvencijom kao i sama oscilacija. Kao rezultat, ova sila polako ali postojano stvara jednu vrstu oscilacija i potiskuje drugu. Tako se horizontalne i vertikalne vibracije prelivaju jedna u drugu.

Dodatne ljepote nastaju ako se u ovom primjeru iskreno uzme u obzir treća dimenzija. Pretpostavljamo da teg može vertikalno sabijati-rastezati oprugu i ljuljati se poput klatna u dva horizontalna smjera. Zatim, kada je uslov rezonancije ispunjen, kada se gleda odozgo, težina ispisuje putanju zvijezde, kao što je, na primjer, na sl. 3. To se dešava zato što ravan oscilovanja ne ostaje nepomična, već se rotira - ali ne glatko, već kao u skokovima. Sve dok titranje ide s jedne na drugu stranu, ova se ravan manje-više drži, a okretanje se događa u tom kratkom intervalu kada je njihanje gotovo okomito. Pozivamo čitaoce da sami razmisle koji su razlozi ovakvog ponašanja i šta određuje ugao rotacije aviona. A oni koji žele bezglavo uroniti u ovaj prilično dubok zadatak mogu pogledati članak Stepwise Precession of the Resonant Swinging Spring , koji ne samo da pruža detaljnu analizu problema, već govori i o njegovoj povijesti i povezanosti ovog problema s drugim dijelovi fizike, posebno atomske fizike.

Opružno klatno je oscilatorni sistem koji se sastoji od materijalne tačke mase m i opruge. Zamislite horizontalno opružno klatno (slika 13.12, a). To je masivno tijelo izbušeno u sredini i postavljeno na horizontalnu šipku po kojoj može kliziti bez trenja (idealan oscilatorni sistem). Šipka je pričvršćena između dva vertikalna nosača. Za tijelo je na jednom kraju pričvršćena opruga bez težine. Njegov drugi kraj je pričvršćen za oslonac, koji u najjednostavnijem slučaju miruje u odnosu na inercijski referentni okvir u kojem klatno oscilira. Na početku opruga nije deformisana, a tijelo je u ravnotežnom položaju C. Ako se istezanjem ili sabijanjem opruge tijelo izvuče iz ravnoteže, tada će sa strane deformirane opruge početi djelovanje elastične sile. da deluje na njega, uvek usmereno ka ravnotežnom položaju. Satisnemo oprugu pomerajući telo u položaj A i otpustimo \((\upsilon_0=0).\) Pod dejstvom elastične sile, ono će se kretati brže. U ovom slučaju u položaju A na tijelo djeluje maksimalna elastična sila, jer je ovdje apsolutno izduženje x m opruge najveće. Stoga je u ovom položaju ubrzanje maksimalno. Kada se tijelo pomakne u ravnotežni položaj, apsolutno rastezanje opruge se smanjuje, a posljedično se smanjuje i ubrzanje koje daje sila elastičnosti. Ali budući da je ubrzanje tokom ovog kretanja ko-usmjereno sa brzinom, brzina klatna se povećava i u ravnotežnom položaju bit će maksimalna. Kada dostigne ravnotežni položaj C, tijelo se neće zaustaviti (iako u ovom položaju opruga nije deformirana, a elastična sila je nula), ali će se, imajući brzinu, kretati dalje po inerciji, istežući oprugu. Rezultirajuća elastična sila je sada usmjerena protiv kretanja tijela i usporava ga. U tački D brzina tijela će biti jednaka nuli, a ubrzanje maksimalno, tijelo će se na trenutak zaustaviti, nakon čega će se pod djelovanjem elastične sile početi kretati u suprotnom smjeru, u ravnotežni položaj. Nakon što ga ponovo prođe po inerciji, tijelo će, sabijajući oprugu i usporavajući kretanje, doći do tačke A (pošto nema trenja), tj. pravi puni zamah. Nakon toga, kretanje tijela će se ponoviti opisanim redoslijedom. Dakle, uzroci slobodnih oscilacija opružnog klatna su djelovanje elastične sile koja nastaje kada se opruga deformira i inercija tijela.

Prema Hookeovom zakonu \(~F_x=-kx.\) Prema drugom Newtonovom zakonu \(~F_x = ma_x.\) Prema tome, \(~ma_x = -kx.\) Otuda

\(a_x = -\frac(k)(m)x\) ili \(a_x + -\frac(k)(m)x = 0 \) - dinamička jednačina kretanja opružnog klatna.

Vidimo da je ubrzanje direktno proporcionalno pomaku i usmjereno suprotno od njega. Upoređujući rezultirajuću jednačinu sa jednadžbom harmonijskih oscilacija \(~a_x + \omega^2 x = 0,\) vidimo da opružno klatno vrši harmonijske oscilacije sa cikličkom frekvencijom \(\omega = \sqrt \frac(k) (m)\) Pošto je \(T = \frac(2 \pi)(\omega),\), onda

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(m)(k) )\) je period oscilovanja opružnog klatna.

Ista formula se može koristiti za izračunavanje perioda oscilovanja vertikalnog opružnog klatna (slika 13.12. b). Zaista, u ravnotežnom položaju, zbog djelovanja gravitacije, opruga je već istegnuta za određeni iznos x 0, što je određeno relacijom \(~mg=kx_0.\) Kada se klatno pomakne iz ravnotežnog položaja O na X projekcija elastične sile \(~F"_(ynpx) = -k(x_0 + x)\) i prema drugom Newtonovom zakonu \(~ma_x=-k(x_0+ x) + mg.\) Zamjenjujući ovdje vrijednost \( ~kx_0 =mg,\) dobijamo jednačinu kretanja klatna \(a_x + \frac(k)(m)x = 0,\) koja se poklapa sa jednačinom kretanja horizontalnog klatna.

Književnost

Aksenovich L. A. Fizika u srednjoj školi: teorija. Zadaci. Testovi: Proc. dodatak za institucije koje pružaju op. okruženja, obrazovanje / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsia i vykhavanne, 2004. - S. 377-378.

1. Djelovanje elastične sile na tijelo proporcionalno pomaku tijela x iz ravnotežnog položaja i uvijek usmjereno prema ovom položaju.

2. Inercija oscilirajućeg tijela, zbog koje se ono ne zaustavlja u ravnotežnom položaju (kada elastična sila nestane), već se nastavlja kretati u istom smjeru.

Izraz za cikličnu frekvenciju je:

gdje je w ciklička frekvencija, k je krutost opruge, m je masa.

Ova formula pokazuje da frekvencija slobodnih oscilacija ne zavisi od početnih uslova i u potpunosti je određena sopstvenim karakteristikama samog oscilatornog sistema – u ovom slučaju, krutošću k i masom m.

Ovaj izraz definiše period slobodnog oscilovanja opružnog klatna.

Kraj rada -

Ova tema pripada:

Brzina putovanja Prosječna brzina kretanja trenutna brzina/brzina vožnje

Kinematika tačaka je deo kinematike koji proučava matematički opis kretanja materijalnih tačaka.Glavni zadatak kinematike je..glavni zadatak mehanike je da odredi položaj tela u bilo kom trenutku..mehaničko kretanje je promena u položaju tela u prostoru tokom vremena u odnosu na druga tela..

Ako vam je potreban dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučujemo da koristite pretragu u našoj bazi radova:

Šta ćemo sa primljenim materijalom:

Ako vam se ovaj materijal pokazao korisnim, možete ga spremiti na svoju stranicu na društvenim mrežama:

Sve teme u ovoj sekciji:

Elastična talasna energija
vektor gustine energetskog fluksa fizičkog polja; brojčano jednak energiji

Maxwellov zakon raspodjele molekula prema brzinama toplinskog kretanja
Maxwellov zakon je opisan nekom funkcijom f(v), koja se naziva funkcija raspodjele brzina molekula. Ako podijelimo raspon brzina molekula na male intervale jednake dv, onda

Toplota
Toplota je jedna od dvije metode prijenosa energije poznate modernoj prirodnoj nauci - mjera prijenosa neuređenog kretanja. Količina prenesene energije naziva se količina toplote.

Toplotni motori i rashladne mašine. Carnot ciklus
Carnotov ciklus je idealan termodinamički ciklus. Carnot toplotni motor u radu